离散数学 第2章 习题解答

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第2章习题解答

2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域.

(1) 令x

(是鸟

x

F:)

(会飞翔.

G:)

x

x

命题符号化为

x

F

∀.

G

x→

)

(

))

(

(x

(2)令x

x

(为人.

F:)

(爱吃糖

G:)

x

x

命题符号化为

x

F

x→

G

⌝∀

))

(

)

(

(x

或者

F

x⌝

x

)

))

(

(

(x

G

(3)令x

x

(为人.

F:)

G:)

(爱看小说.

x

x

命题符号化为

x

F

∃.

G

x∧

(x

(

))

(

)

(4) x

(为人.

x

F:)

(爱看电视.

G:)

x

x

命题符号化为

F

x⌝

⌝∃.

x

G

(

)

(

))

(x

分析 1°如果没指出要求什么样的个体域,就使用全总个休域,使用全总个体域时,往往要使用特性谓词。(1)-(4)中的)

F都是特性谓词。

(x

2°初学者经常犯的错误是,将类似于(1)中的命题符号化为

F

x

G

x∧

(

))

(

)

(x

即用合取联结词取代蕴含联结词,这是万万不可的。将(1)中命题叙述得更透彻些,是说“对于宇宙间的一切事物百言,如果它是鸟,则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧,使(1)中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。

3° (2)与(4)中两种符号化公式是等值的,请读者正确的使用量词否定等值式,证明(2),(4)中两公式各为等值的。

2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为

)(x xF ∀

其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。

(2) 在)(),(),(c b a 中均符号化为

)(x xG ∃

其中02:)(=+x x G ,此命题在(a )中为假命题,在(b)(c)中均为真命题。

(3)在)(),(),(c b a 中均符号化为

)(x xH ∃

其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题,在(c)中为真命题。 分析 1°命题的真值与个体域有关。

2° 有的命题在不同个体域中,符号化的形式不同,考虑命题

“人都呼吸”。

在个体域为人类集合时,应符号化为

)(x xF ∀

这里,x x F :)(呼吸,没有引入特性谓词。

在个体域为全总个体域时,应符号化为

))()((x G x F x →∀

这里,x x F :)(为人,且)(x F 为特性谓词。x x G :)(呼吸。

2.3 因题目中未给出个体域,因而应采用全总个体域。

(1) 令:x x F :)(是大学生,x x G :)(是文科生,x x H :)(是理科生,命题符号化为

))()(()((x H x G x F x ∨→∀

(2)令x x F :)(是人,y y G :)(是化,x x H :)(喜欢,命题符 号化为

))),()(()((y x H y G y x F x →∀∧∃

(3)令x x F :)(是人,x x G :)(犯错误,命题符号化为

)),()((x G x F x ⌝∧⌝∃

或另一种等值的形式为

)()((x G x F x →∀

(4)令x x F :)(在北京工作,x x G :)(是北京人,命题符号化为

)),()((x G x F x →⌝∀

)),()((x G x F x ⌝∧∃

(5)令x x F :)(是金属,y y G :)(是液体,x y x H :),(溶解在y 中,命题符号化为

))).,()(()((y x H y G y x F x ∧∃→∀

(6)令x x F :)(与y 是对顶角,x y x H :),(与y 相等,命题符号化为

)).,(),((y x H y x F y x →∀∀

分析 (2),(5),(6)中要使用2无谓词,用它们来描述事物之间的关系。

2.4 (1)对所有的x ,存在着y ,使得0=⋅y x ,在)(),(b a 中为真命题,在)(),(d c 中为假命题。

(2)存在着,x 对所有的y ,都有0=⋅y x ,在)(),(b a 中为真命题,在)(),(d c 中为假命题。

(3)对所有x ,存在着y ,使得1=⋅y x ,在))((),(c b a 中均为假命题,而在)

(d

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