离散数学 第2章 习题解答
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第2章习题解答
2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域.
(1) 令x
(是鸟
x
F:)
(会飞翔.
G:)
x
x
命题符号化为
x
F
∀.
G
x→
)
(
))
(
(x
(2)令x
x
(为人.
F:)
(爱吃糖
G:)
x
x
命题符号化为
x
F
x→
G
⌝∀
))
(
)
(
(x
或者
F
x⌝
x
∧
∃
)
))
(
(
(x
G
(3)令x
x
(为人.
F:)
G:)
(爱看小说.
x
x
命题符号化为
x
F
∃.
G
x∧
(x
(
))
(
)
(4) x
(为人.
x
F:)
(爱看电视.
G:)
x
x
命题符号化为
F
x⌝
∧
⌝∃.
x
G
(
)
(
))
(x
分析 1°如果没指出要求什么样的个体域,就使用全总个休域,使用全总个体域时,往往要使用特性谓词。(1)-(4)中的)
F都是特性谓词。
(x
2°初学者经常犯的错误是,将类似于(1)中的命题符号化为
F
x
∀
G
x∧
(
))
(
)
(x
即用合取联结词取代蕴含联结词,这是万万不可的。将(1)中命题叙述得更透彻些,是说“对于宇宙间的一切事物百言,如果它是鸟,则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧,使(1)中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。
3° (2)与(4)中两种符号化公式是等值的,请读者正确的使用量词否定等值式,证明(2),(4)中两公式各为等值的。
2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为
)(x xF ∀
其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。
(2) 在)(),(),(c b a 中均符号化为
)(x xG ∃
其中02:)(=+x x G ,此命题在(a )中为假命题,在(b)(c)中均为真命题。
(3)在)(),(),(c b a 中均符号化为
)(x xH ∃
其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题,在(c)中为真命题。 分析 1°命题的真值与个体域有关。
2° 有的命题在不同个体域中,符号化的形式不同,考虑命题
“人都呼吸”。
在个体域为人类集合时,应符号化为
)(x xF ∀
这里,x x F :)(呼吸,没有引入特性谓词。
在个体域为全总个体域时,应符号化为
))()((x G x F x →∀
这里,x x F :)(为人,且)(x F 为特性谓词。x x G :)(呼吸。
2.3 因题目中未给出个体域,因而应采用全总个体域。
(1) 令:x x F :)(是大学生,x x G :)(是文科生,x x H :)(是理科生,命题符号化为
))()(()((x H x G x F x ∨→∀
(2)令x x F :)(是人,y y G :)(是化,x x H :)(喜欢,命题符 号化为
))),()(()((y x H y G y x F x →∀∧∃
(3)令x x F :)(是人,x x G :)(犯错误,命题符号化为
)),()((x G x F x ⌝∧⌝∃
或另一种等值的形式为
)()((x G x F x →∀
(4)令x x F :)(在北京工作,x x G :)(是北京人,命题符号化为
)),()((x G x F x →⌝∀
或
)),()((x G x F x ⌝∧∃
(5)令x x F :)(是金属,y y G :)(是液体,x y x H :),(溶解在y 中,命题符号化为
))).,()(()((y x H y G y x F x ∧∃→∀
(6)令x x F :)(与y 是对顶角,x y x H :),(与y 相等,命题符号化为
)).,(),((y x H y x F y x →∀∀
分析 (2),(5),(6)中要使用2无谓词,用它们来描述事物之间的关系。
2.4 (1)对所有的x ,存在着y ,使得0=⋅y x ,在)(),(b a 中为真命题,在)(),(d c 中为假命题。
(2)存在着,x 对所有的y ,都有0=⋅y x ,在)(),(b a 中为真命题,在)(),(d c 中为假命题。
(3)对所有x ,存在着y ,使得1=⋅y x ,在))((),(c b a 中均为假命题,而在)
(d