等差等比数列(学生用)

等差等比数列
【基础过关】
1．等差数列的定义： － ＝d (d 为常数)； 等比数列的定义：( )( )
＝q (q 为不等于零的常数)． 2．等差数列的通项公式：
（1）a n ＝a 1＋ ×d ； （2）a n ＝a m ＋ ×d
等比数列的通项公式：
（1） a n ＝a 1q n －1； （2）a n ＝a m q n －m
3．等差数列的前n 项和公式：S n ＝ ＝ ．
等比数列的前n 项和公式：S n ＝ 1 1q q ≠⎧⎨=⎩
4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝ ． 等比中项：如果a 、b 、c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b 2＝ （或b ＝ ）．
5．等差数列{a n }的两个重要性质：
（1）m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．
（2）数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．
等比数列{a n }的几个重要性质：
（1）m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．
（2）S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．
（3）若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列，则{a n }的公比q ＝ ．
6．判断和证明数列{a n }是等差（等比）数列常有三种方法：
（1）定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n ―a n ―1（1
n n a a -）为同一常数． （2）通项公式法：
①若a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a k ＋(n －k )d ，则{a n }为等差数列；
②若a n ＝a 1q n ―1＝a k q n ―k ，则{a n }为等比数列．
（3）中项公式法：验证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(21n a +＝a n ＋a n ＋2)n ∈N 都成立．
【基础自测】
1．等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________．
2．已知等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项为5，a 3与a 7的等差中项为7，则a n ＝ ．
3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 6＝36，S n ＝324，S n －6＝144(n ＞6)，则n 等于 ．
4．已知等比数列{a n }公比为13
q =，则135246a a a a a a ++++＝ ． 5．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 ．
6．“b 2＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的 条件．
7．在等比数列{a n }中，a n ＞0，(n ∈N *)且a 3a 6a 9＝8，则
log 2a 2＋log 2a 4＋log 2a 6＋log 2a 8＋log 2a 10＝ ．
8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝20－a 6，则S 10＝ ．
9．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 ．
①{}
2n a ；②{a 2n }；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；④{}lg n a 10．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝0，对任意正整数n ，m (n ＞m )满足a n 2－a m 2＝a n －m a n ＋m ， 则a 119＝ ．
11．在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点(
52，32)有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长的弦长为a n ，若公差d ∈(16，13
]，那么 n 的取值集合为 ． 12．数列{a n }中a 1＝1，a 5＝13，a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1；数列{b n }中，b 2＝6，b 3＝3，b n ＋2b n ＝b 2n ＋1，在直
角坐标平面内，已知点列P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)，P 3(a 3，b 3)，…，P n (a n ，b n )，…，则向量12PP ＋34P
P ＋56P P ＋…＋20052006P P 的坐标为 ．
13．已知各项均正的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15的值为 ．
14．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N ＋都有
211n n n n
a a a a +++--＝k (k 为常数)，则称{a n }为等差比数列， k 称为公差比．现给出下列命题：
（1）等差比数列的公差比一定不为0； （2）等差数列一定是等差比数列；
（3）若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列；
（4）若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．
其中正确的命题的序号为 ．
【题例分析】
例1．设数列{a n }为等比数列，数列{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1，1，2…，求{c n }的前10项和．
例2．已知数列{a n }中，a 1＝1且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若函数f (n )＝1231111n
n a n a n a n a ++++++++ (n ∈N *，且n ≥2)，求函数f (n )的最小值．
例3．有固定项的数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值是79．
（1）求数列{a n }的通项a n ；
（2）求这个数列的项数，抽取的是第几项．
例4．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 2是a 1与a 4的等比中项，已知1213n k k k a a a a a ，，，，，，成等比数列，求数列{k n }的通项公式．
【巩固训练】
1．已知{a n }为等差数列，前10项的和为S 10＝100，前100项的和S 100＝10，求前110项的和S 110．
2．已知数列{a n}的通项公式a n＝(n＋1)
10
11
n
⎛⎫
⎪
⎝⎭
(n∈N＋)，试问数列{a n}有没有最大项？若有，求最大
项和最大项的项数；若无，说明理由．
练习：已知a n(n∈N＋)，则在数列{a n}中的前30项中，最大项和最小项分别为什么？
3．数列{a n}的前n项为S n，S n＝2a n－3n(n∈N*)．
（1）证明：数列{a n＋3}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；
（3）数列{a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
4．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2＝a 1＋a 3，数列}是公差为d 的等差数列．
①求数列{a n }的通项公式（用n ，d 表示）；
②设c 为实数，对满足m ＋n ＝3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m ＋S n ＞cS k 都成立． 求证：c 的最大值为92
．
5．已知数列{a n }、{b n }中，对任何正整数n 都有：
11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=-- ．
（1）若数列{a n }是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{b n }是等比数列；
（2）若数列{b n }是等比数列，数列{a n }是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由．。