线性规划问题规范型算法计算机实现研究
线性规划的应用及计算机求解
金融投资
在金融投资领域，如何合理配置资产以实现最大收益或最小风险是投资者关注的问题。线性规划可以用于制定最优的资产配 置方案，考虑风险和收益的平衡，以实现投资效益的最大化。
例如，一个养老基金可以使用线性规划来配置股票、债券和现金等资产，以实现长期稳定的收益并控制风险。
农业优化
在农业生产中，如何合理安排种植、养殖等 生产活动以达到最优的经济效益是农业经营 者关注的问题。线性规划可以用于解决农业 生产的优化问题，考虑土地、水资源、劳动 力等资源的限制，通过调整生产结构实现农 业生产的效益最大化。
其中，单纯形法是最常用的一种，它 通过迭代的方法逐步逼近最优解，直 到找到最优解或确定无解为止。
02
线性规划的应用领域
生产计划
生产计划是企业运营管理中的重要环节，线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最小化生产成本 或最大化利润为目标，考虑生产能力、市场需求、产品组合等因素，通过调整生产资源的配置，实现 生产效益的最大化。
金融投ห้องสมุดไป่ตู้优化案例
总结词
金融投资优化
数学模型
目标函数通常是最大化预期收益或最小化 风险，约束条件包括投资限额、资产种类
限制等。
详细描述
线性规划在金融投资优化中具有实际应用 价值，通过合理配置投资组合，降低投资 风险，提高投资收益。
求解方法
使用计算机求解线性规划问题，常用的算 法有单纯形法、椭球法等。
资源分配优化案例
总结词 详细描述 数学模型 求解方法
资源分配优化
线性规划在资源分配优化中起到关键作用，通过合理分配有限 资源，实现资源利用的最大化，提高资源效益。
目标函数通常是最小化总成本或最大化总效益，约束条件包括 资源限制、需求约束等。
线性规划问题计算机求解方法研究
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关 键 词 ： 性 规 划 问题 ； 算 机 求解 ； ｔ ｂ Ｌｎ ｏ Ｅ ｃｌ 线 计 Ｍａｌ ； ｉｇ ； ｘｅ ａ
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第 １卷 第 ９ ｌ 期
软 件 导 刊
Ｖ １１ ＮＯ９ Ｏ． ｌ ．
线 性 规 划 问 题 计 算 机 求 解 方 法 研 究
常雨芳 ， 王 粟 ， 文聪 ， 黄 肖义 平 ， 丹 雯 ， 吴 李利 荣
（ 北 工 业 大 学 电 气 与 电子 工程 学 院 ， 北 武 汉 ４ ０ ６ ） 湖 湖 ３ ０ ８
Ｏｐ ｉ ｉ ａ ｉ ｎ ｔ ｒ ｉ ａ ｅ ｕ ｃ ｓ ｆ ｌｙ ｔｍ ｚ ｔｏ ｅ ｍ ｎ ｔ ｄ ｓ ｅ ｅ ｓ ｕ ｉ ．
线性规划问题的求解算法和应用
线性规划问题的求解算法和应用线性规划是一种常见的数学优化问题，求解线性规划问题具有广泛的应用。
本文将对线性规划相关算法进行介绍，并讨论线性规划在实际问题中的应用。
一、线性规划基本概念线性规划是指在一定约束条件下，优化一个线性目标函数的问题。
线性规划问题的一般形式如下：\begin{equation}\begin{aligned} \max/min & \quadc_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...c_{n}x_{n} \\ \text{s.t.} & \quada_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...a_{1n}x_{n}\leq b_{1} \\ & \quada_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...a_{2n}x_{n}\leq b_{2} \\ & \quad ... \\ & \quad a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...a_{mn}x_{n}\leq b_{m} \\ & \quad x_{i}\geq 0(i=1,2,...,n) \end{aligned}\end{equation}其中，$c_{i}$是目标函数的系数，$a_{ij}$是约束条件的系数，$b_{i}$是约束条件的右端常数，$x_{i}$是决策变量。
线性规划的基本概念包括可行解、最优解、最优值等。
可行解是指满足约束条件的解。
最优解是指目标函数取得最优值时的决策变量取值。
最优值是指目标函数在可行解集合中取得的最大或最小值。
二、线性规划的求解方法线性规划的求解方法主要分为两种：单纯形法和内点法。
下面对这两种方法进行简要介绍。
1. 单纯形法单纯形法是目前解决线性规划问题的最主要方法。
其基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，最终找到最优解。
它的具体步骤是：选择一个基本可行解作为起始点，然后通过寻找相邻可行解的方式来不断移动，直至找到最优解。
线性规划问题的算法综述
线性规划问题的算法综述本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！线性规划概念是在1947年的军事行动计划有关实践中产生的，而相关问题1823年Forier和口1911年PQusi就已经提出过，发展至今已有将近100年的历史了。
现在已成为生产制造、市场营销、银行贷款、股票行情、出租车费、统筹运输、电话资费、电脑上网等等热点现实问题决策的依据。
线性规划就是在满足线性约束下，求线性函数的极值。
毋庸置疑，数学规划领域的重大突破总是始于线形规划。
提到线性规划算法，人们最先想到的是单纯形法和内点法。
单纯形法是实际应用中使用最普遍的一种线性规划算法，而研究者们已证明在最坏的情况下单纯形法的计算复杂度是指数级的，内点算法的计算复杂度是多项式时间的。
把两种算法相提并论，要么是这两种算法都已经非常完备，要么都有需改进之处。
显然不属于前者，即两者都有需要改进之处。
几十年来，研究者通过不断努力，在两种算法的计算上都取得相当的进展。
1数学模型线性规划问题通常表示成如下两种形式:标准型、规范型。
设jj(2…，n)是待确定的非负的决策变量；认2…，n)是与决策变量相对应的价格系数；K2…mj=l2…n)是技术系数；b(i12…，m)是右端项系数；线性规划是运筹学最基本、运用最广泛的分支，是其他运筹学问题研究的基础。
在20世纪50年代到60年代期间，运筹学领域出现许多新的分支：非线性规划（nonlinearprogranming、商业应用（crnxmereialpplieation、大尺度方法(laresealemeh-Qd)随机规划（stochasticPKgiamniig)、整数规划(ntegerprogramming)、互补转轴理论（amplmentaiyPivotheor)多项式时间算法（polynomialtjneagatm)等。
用电脑解线性规划问题
用電腦解線性規劃問題撰寫學生 : 張馨云指導老師 : 吳秉鋒 主任摘要：線性規畫所研究的問題主要有兩類:1.一項任務確定後，如何統籌安排，盡量做到用最少的人力、物力資源去完成這一任務；2.有一定數量的人力物力資源，如何安排使用它們，使得完成任務最多。
總之，就是尋求整個問題的某個整體指標最優的問題。
應用在運輸問題、生產的組織與計劃問題、合理下料問題、配料問題、佈局問題等。
線性規劃最基本的理論和方法是：圖上作法和單純形法,但如果要計算較複雜的問題,例如要算報表之類的問題,用圖上作法或單純形法會花很多時間,所以可使用excel解決此類問題,便可很快速算出所要的答案。
關鍵字：線性規劃、試算表、excel壹、專題動機在一次機緣下問了一題有關線性規劃的問題,老師告訴我這種問題可以使用電腦一下子就算出來,比親手算的速度快好幾倍,在好奇心的驅使下,變想要一探究竟,產生莫大的興趣。
貳、專題目標有了這個技巧,以後要算報表.最佳工讀生值班表.投資理財最有效的投資組合等這種要算最大利潤或最小成本之類的問題,就可以很有效率的算出來,對生活有很大的幫助。
参、所遇問題與其解決方法剛開始很多有關線性規劃的問題,不知道如何解,加上用excel解線性規畫是我第一次的經驗,過程許多都看不懂,但經過老師的指導後,終於恍然大悟。
肆、相關研究及討論一、介紹線性規劃在數學中，線性規劃問題是目標函數和約束條件都是線性的最優化問題。
線性規劃是最優化問題中重要的領域之一。
很多運籌學中的實際問題都可以用線性規劃問題來表述。
線性規劃的某些特殊情況，例如網路流問題和多商品流量問題，都被認為很重要，以致產生出對其專門的演算法的大量研究。
同樣地，在微觀經濟學和商業管理領域，線性規劃被大量應用地於收入極大化或生產過程的成本極小化。
喬治．丹齊格被認爲是線性規劃之父。
線性規劃理論所能解決的管理問題，其中有關的未知數，應變數與自變數之間，係呈線性關係。
問題中的應變數，通常表示求取某項經濟上的目標，例如利潤、成本、產量、容量的極大值或極小值。
线性规划问题计算机解法
线性规划问题计算机解法本节将简要介绍几种软件求解线性规划问题的方法．1.6.1应用EXCEL求解线性规划问题以EXCEL2007为例，首先加载EXCEL规划求解加载项，具体操作步骤为：Office按钮——EXCEL选项——加载项——转到——加载宏——规划求解加载项，此时在“数据”选项卡中出现带有“规划求解”按钮的“分析”组．下面仍然以例１．５为例，说明其求解过程：１设计电子表格将模型中的数据直接输入到工作表中并保存文档．其中，Ａ列为说明性文字，Ａ3为决策变量的初始值，可以任意给定，本例均设为０；在Ｄ4其中键入“=SUMPRODUCT (B$3:C$3,B4:C4)”或者从直接从函数中选择，SUMPRODUCT是EXCEL的一个内置函数，,x x初始其功能是两个向量或者矩阵对应元素乘积的和，因此表示表示目标函数值，由于12值设为０，因而显示０；同理在Ｄ5其中键入“=SUMPRODUCT(B$3:C$3,B5:C5)”，以此类推，其显示值均为０．２设置规划求解参数点击“分析”组中的“规划求解”按钮即可弹出如下对话框：在设计目标目标单元格中键入$D$4，或者直接点击单元格D4，并选择“最大值”选项，如下图所示点击对话框中“添加”，弹出如下对话框在“单元格引用位置”栏中键入“$D$ 5”（或点击单元格D5），选择“<=”(点击出现下拉菜单，可以选择其他约束形式)，在约束值栏中键入“$F$5”（或点击单元格F5），确定后弹出下面对话框：类似于上一步操作，添加所有的约束条件后如下图所示：3 应用规划求解工具：点击“求解”弹出如下对话框，选择“保存规划求解结果”与“运算结果报告”确定后则形成一张新的工作表：如果想得到价值系数、资源向量等条件对最优值的影响，可以在步骤3中选择输出“敏感性报告”．1.6.1应用LINGO求解线性规划问题从上面的介绍中看出，用EXCEL求解线性规划问题时操作简单，而其在输入数据方面有其方便之处．但如果决策变量和约束条件很多的话，其运行速度就不及专业的优化软件了．本节介绍一种专业的优化软件－－LINGO的使用方法．LINDO 是 Linear Interactive Discrete Optimizer的缩写，是一个线性和整数规划的软件系统. LINDO /386 5.3以上版本，最大规模的模型的非零系数可以达到1,000,000个，最大变量个数可以达到100,000个，最大目标函数和约束条件个数可以达到32000个，最大整数变量个数可以达到100,000个。
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解方式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常用的方法是图解法和单纯性法，而图解法简单方便，但只适用于二维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适用于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及大量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量大，复杂繁琐。
在这个计算机高速发展的阶段，利用Excel建立电子表格模型，并利用它提供的“规划求解”工具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
无论利用哪种方法进行求解线性规划问题，首先都需要对线性规划问题建立数学模型，确定目标函数和相应的约束条件，进而进行求解。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1、根据所求目标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求目标的函数关系确定目标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
以下是分别利用单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种方法对例题进行求解的过程。
例题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，工厂中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每生产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的生产数量的哪种组合能使总利润最大？问题的决策变量有两个：产品I的生产数量和产品II的生产数量；目标是总利润最大；需满足的条件是：(1)两种产品使用设备的台时<= 台时限量值(2) 生产两种产品使用原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的生产数量均>=0。
第三章线性规划的应用及计算机求解
3. 线性规划的应用及计算机求解迄今为止,线性规划可以说是最成功的定量分析工具之一。
特别是随着信息技术的发展, 线性规划在国民经济的各行各业中,特别是在金融,企业管理,市场销售,人力资源,和生产管理等领域获得广泛应用。
实践证明,利用线性规划分配资源可为企业和社会节约大量财富。
在本章中,我们将要研究常见的资源配置问题并说明如何利用线性规划工具求解最优配置问题。
对于那些愿意将工作完成更好的个人或机构,为满足某一特定目标而对有限资源进行分配是一件非常重要的工作。
3.1线性规划在制造业中的应用:制定生产计划在制造行业中,利用线性规划制订企业的生产计划是非常普遍现象。
详细的生产计划包括决定生产那些规格的产品以及对应于每种产品的数量,同时生产计划一方面应当考虑市场需求和有效地满足企业现有的原材料,人力,材料供应,和设备加工能力等约束条件,另一方面应当考虑产品之间的关系。
线性规划能够根据管理者的目标在各种可行的生产方案中挑选出一个最优的方案,比如说,寻求利润最大的生产方案。
3.1.1汽车生产计划首都汽车制造厂生产五种不同档次轿车,而生产轿车的关键原材料或部件,以及熟练技术工人的工时都是有限的,工厂经营者需要决定每款轿车的产量,使得总利润最大。
为了建立线性规划模型,我们首先定义决策变量如下:=1X 豪华型轿车的产量=2X 高档轿车的产量=3X 中档轿车的产量=4X 经济型轿车的产量=5X 微型豪华轿车的产量每辆轿车的车身都必须使用用同一种混合材料制造,其库存总量是000,502m 。
装配任何一款轿车都用到两种基础配件:配件A 和配件B ,而工厂现有库存量分别是000,10件和000,25件。
装配线上的工人必须接受过专业训练,工厂技术工人的总工时为000,2小时。
我们假设其他在轿车生产过程中的其他辅助材料,零配件,像轮胎,皮革,塑料成品等可以随叫随到,不受限制,还假设其他工种工人的工时数不受限制。
每款轿车的单车利润是单车销售收入减单车生产成本,假设各款轿车的单车利润分别为人民币58,43,25,17,和28万元,所以下述目标函数反应了生产计划的总利润:543212817254358X X X X X P ++++=在资源使用方面,每辆豪华型轿车的车身需用去252m 混合材料,高档轿车,中档轿车,经济型轿车,和微型豪华轿车的单车用料分别为15,10,5,和12m 。
求解线性规划问题的整数规划算法研究
求解线性规划问题的整数规划算法研究Introduction线性规划问题是运筹学中最基本的问题之一，是一种优化问题，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
而整数规划算法则是针对线性规划问题中所有变量都必须取整的情况而设计的一类算法。
在实际应用中，很多情况下最优解需要得到整数解。
本文主要研究求解线性规划问题的整数规划算法，并介绍其中比较常见的两种算法：分支定界法和割平面法。
分支定界法分支定界法是将整数规划问题分成若干个子问题，每个子问题是原问题的一个部分，可以得到其最优解。
该算法的基本思想是先找到一个松弛线性规划问题的最优解，然后选择一个变量进行分支。
具体实现方式是拆分成两个子问题，一个子问题中该变量小于等于其整数部分，另一个子问题中该变量大于等于其整数部分加1，然后分别对这两个子问题进行求解，直到找到最优解。
当子问题的最优下界大于等于全局最优解的上界时，就可以在子问题中停止搜索。
分支定界法的主要思想是通过不断地削减搜索空间，来避免不必要的计算。
割平面法割平面法是将整数规划问题转化成线性规划问题，并在每个子问题中添加一些割平面来逼近整数解。
该算法的基本思想是先转化成松弛线性规划问题，在其中添加限制条件，即割平面，来求出一组整数解。
割平面是原问题整数约束条件的线性组合，可以有效地削减搜索空间，进而提高搜索效率。
该方法的主要难点在于如何构造合适的割平面，以减小搜索空间的大小并在短时间内找到最优解。
相比于分支定界法，割平面法在求解时需要添加额外的限制条件，使得问题转化为线性规划问题。
因此，该算法需要更多的计算资源。
但是，相对于分支定界法，割平面法的搜索空间更小，因此在实际应用中经常会使用这种方法来求解整数规划问题。
Conclusion整数规划问题作为线性规划问题的一种扩展，广泛应用于各个领域。
分支定界法和割平面法是求解整数规划问题时使用较为频繁的算法。
虽然它们的实现细节不同，但都具有削减搜索空间、减小计算量的优点。
线性规划的计算机求解
Min z = 0.1x1+0.3x2+0.9x3+1.1x5+0.2x6+0.8x7+1.4x8 约束条件：
s.t. 2x1+x2+x3+x4
≥ 100
2x2+x3 +3x5+2x6+ x7 ≥ 100
x1 +x3+3x4 +2x6+3x7+4x8 ≥ 100
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8≥ 0，整数
例1. 农场灌溉问题
▪ 4)种植作物面积占总耕地面积比例约束
▪ 即各农场种植作物面积（灌溉面积）占总耕地面积 的比例相同。
▪ 5) 决策变量的非负约束 ▪ xij ≥ 0， i = 1，2，3，4；j = 1，2，3。
例1. 农场灌溉问题
例2. 证券投资问题
▪ 一证券投资者将1000万元资金用于证券投资， 已知各种证券（A、B、C、D、E、F）的评 级、到期年限、每年税后收益如表所示。管 理层对该投资者提出下列要求：
▪ 国债投资额不能少于300万元； ▪ 投资证券的平均评级不超过1.5； ▪ 投资证券的平均到期年限不超过5年。
▪ 问：每种证券投资多少可以使得税后收益最 大？
例2. 证券投资问题
例2. 证券投资问题
▪ 引入决策变量xA、xB、xC、xD、xE、xF分别表示 证券A、B、C、D、E、F的投资金额（单位：万 元），相应的目标函数（税后收益）为：
的关系可由下图（图2-15）表示：
例4.多阶段生产安排问题
▪ 容易得到下列约束：
例4.多阶段生产安排问题
▪ 另外有非负约束： ▪ xj ≥ 0, Ij ≥ 0， j= 1，2，3，4，5，6 ▪ 目标为总成本 最小化:
线性规划问题的求解方法与实践
线性规划问题的求解方法与实践线性规划是一种常见的优化问题，可以用来研究诸如资源分配、生产优化等问题。
线性规划问题的求解方法也十分重要，常用的方法有单纯形法、内点法、整数规划等。
本文将从理论和实践两个层面讨论线性规划问题的求解方法。
一、单纯形法单纯形法是一种求解线性规划问题的标准算法，在实践中得到广泛应用。
其基本思想是将线性规划问题转化为标准型，并通过不断的迭代来达到最优解。
标准型是指将目标函数和限制条件均转化为等式的形式。
具体来说，假设有线性规划问题：max c1*x1 + c2*x2 + … + cn*xns.t.a11*x1 + a12*x2 + … + a1n*xn ≤ b1a21*x1 + a22*x2 + … + a2n*xn ≤ b2…am1*x1 + am2*x2 + … + amn*xn ≤ bm其中，x1~xn为决策变量，c1~cn为目标函数的系数，a11~amn 为各限制条件的系数，b1~bm为约束条件的右值。
将其转化为标准型：max cxs.t.Ax = bx ≥ 0其中，x = (x1, x2, …, xn)T，c和x为向量，A为mxn的矩阵，b为m维的向量。
线性规划问题的解可以存在于顶点中，而顶点又可以表示为n-m个线性约束的交点。
单纯形法就是借助这一点来求解问题，每次从一个顶点出发，向相邻的顶点移动，最终找到全局最优解。
二、内点法内点法是求解线性规划问题的另一种常见方法，也被称为封闭框架法。
其基本思想是通过构造一个特殊的迭代序列，将问题转化为无约束的非光滑的优化问题，然后使用牛顿迭代等方法求解。
内点法的优点在于可以直接求解非线性约束和整数规划问题，同时有较好的收敛性和鲁棒性。
内点法的基本思路是将约束条件改写为一组等效条件，并考虑在这些等效条件内部寻找最优解。
这些等效条件称为“内点”，表示在这些条件下寻找的最优解都在可行域内部。
例如，在松弛的线性规划问题中，对于每个限制条件，都可以构造一个内点，使得其满足该约束条件，并使用初始可行解来初始化算法。
线性规划问题规范型算法的改进及计算机实现
常熟理工学院学报（自然科学）Journal of Changshu Institute Technology （Natural Sciences ）第26卷第10Vol.26No.102012年10月Oct.,2012线性规划问题规范型算法的改进及计算机实现高培旺（闽江学院数学系，福建福州350108）摘要：线性规划的规范性算法是从一个初始基出发，通过一种单纯形变式求得可行基的方法.提出了求等式约束方程的初始基的方法，该方法不需要计算辅助目标函数的缩减费用，在约束无冗余的假定下经过至多m （等式个数）次迭代后一定得到一个初始基或者问题无可行基的结论，并对规范型算法进行了简化.为了验证改进的规范型算法的计算性能，通过MATLAB 编程在计算机上实现大规模数值试验，结果表明，与经典单纯形算法相比，改进的算法平均每次迭代花费更少的执行时间，因而具有更高的计算效率，且随着问题规模的扩大，其计算优越性更明显.关键词：线性规划；可行基；单纯形算法；规范型；计算机实现中图分类号：O221.1文献标识码：A文章编号：1008-2794（2012）10-0018-051引言单纯形法是求解线性规划实际问题非常有效的算法，由于其在选择初始顶点和迭代路径上的灵活性，因而引起了许多研究者的兴趣.对于含有等式约束的线性规划问题，常采用经典的两阶段法[1-2]来求解.在第一阶段单纯形算法中，每个等式需要引入一个人工变量，然后使人工变量之和最小作为辅助的目标函数，以获得问题的一个初始可行解.为了改进第一阶段单纯形算法，人们提出了一种设想：尽可能少地引入人工变量[3-4]或不引入人工变量[5-8].然而，Enge 和Huhn [9]，文献[10]都指出，一些无人工变量的初等变换方法实际上隐含着人工变量，只不过字面上没有写出来而已.在初等变换过程中每产生一个新的单位列向量，相当于主枢轴元所在行的人工变量从基中旋转出去.文献[8]提出了一种线性规划问题的规范性算法，有趣的是，该算法在获得一个初始基（不可行）的前提下，通过简单而巧妙的初等变换，将右手边全部化成非负项，产生了规范型LP （2），继而以变换前最负右手边所对应的等式约束为“目标”，给出了一种单纯形算法.该算法非常类似于“选择进出基变元的新准则”[11-12]，其目的就是在每次迭代过程中使目标函数获得最大的增益，虽然这种方法对某些问题可以减少迭代次数，但逐列搜寻枢轴主元的过程会带来指数时间的计算工作量[9]，从而造成总的计算效率下降，文献[13]通过对中大规模问题的计算试验证实了这一点.注意到这种规范性算法是从一个初始基（不可行）出发求得可行基的过程，因而是一种后处理方法，但文献[8]并没有给出在等式约束条件下求一个初始基的方法.本文提出了求等式约束方程的初始基的方法，该方法不需要计算辅助目标函数的缩减费用，在约束相收稿日期：2012-09-20基金项目：闽江学院人才引进基金资助课题“线性规划枢轴算法的大规模计算比较分析及改进”（MJ2012001）作者简介：高培旺（1964—），男，湖南宁远人，教授，博士，研究方向：最优化理论及其应用．10高培旺：线性规划问题规范型算法的改进及计算机实现容且无冗余的假定下经过与等式个数相同的迭代次数后一定得到一个初始基.如果这个初始基是不可行的，为了方便快捷地获得一个可行基，对规范型算法进行了简化，一是最负右手边所对应的等式约束保持不变，即该等式约束的右手边在变换后仍然为负；二是应用经典单纯形算法的“最负判别数准则”选择枢轴列.为了验证改进的规范型算法的计算性能，我们从线性规划标准测试库NETLIB [14]和整数规划标准测试库MIPLIB [15]中选取了26个典型算例，通过MATLAB 编程在计算机上实现大规模数值试验，结果表明，与经典单纯形算法相比，本文提出的改进算法对大部分问题具有更高的计算效率，且随着问题规模的扩大，其计算优越性更加明显.2线性规划规范型算法的改进考虑如下形式的线性规划问题：（LP ）max f =c T xs .t .Ax =bx ≥0这里，A ∈R m ×n （m <n ），且假定rank (A )=m ，c 、b 是相应维数的向量，且b ≥0.在（LP ）的等式约束条件中引入非负人工变量向量x Art ∈R m ，构造一个人工单位基I ∈R m ×m 如下：Ax +I x Art =b通过基变量与非基变量的枢轴交换将产生新的基，用B 表示，令B -1A =(a ˉij )，B -1b =b ˉ，显然，当b ˉ≥0时，相应的基是可行的；否则，不可行.下面的命题给出了判断问题（LP ）不可行性的一个准则.命题1对于含有人工基变量的任意第i （1im ）个约束，取a ˉL i =min 1≤j ≤n (a ˉij )，a ˉU i =max 1≤j ≤n (a ˉij).如果b ˉi <0时，有a ˉL i ≥0，或b ˉi >0时，有a ˉU i ≤0，则问题（LP ）无可行解.证明对于x ≥0，x Art =0，第i 个含有人工基变量的等式约束可以表示为：∑j =1na ˉij x j =bˉi 如果b ˉi <0时，有a ˉL i ≥0，则∑j =1na ˉij x j ≥a ˉLi ∑j =1nx j ≥0>bˉi 这意味着在x ≥0，x Art =0中没有满足第i 个约束的变量取值，因而问题（LP ）无可行解.类似地，可以证明如果b ˉi >0时，有a ˉU i ≤0，则问题（LP ）亦无可行解.在无冗余约束的假定下，下列命题明显成立.命题2假定rank (A )=m ，对于含有人工基变量的任意第i （1im ）个约束，取a ˉ0i =max 1≤j ≤n(|a ˉij |)，如果b ˉi =0，则必有a ˉ0i >0.基于上述命题，我们可以将人工基变量逐一从基中旋转出去，具体算法步骤描述如下：算法A步骤1）置i =1，转下一步.步骤2）如果i =m ，算法以获得一个初始基结束；否则，如果b ˉi <0，转步骤3）；如果b ˉi =0，转步骤4）；如果b ˉi >0，转步骤5）.步骤3）取列指标l ，满足：a ˉil =min 1≤j ≤n (a ˉij)，如果a ˉil ≥0，算法结束，（LP ）无可行解；否则，以a ˉil 为主枢轴元进行旋转变换，置i =i +1，返回步骤2）.步骤4）取列指标l ，满足：a ˉil =max 1≤j ≤n(|a ˉij |)，以a ˉil 为主枢轴元进行旋转变换，置i =i +1，返回步骤2）.19常熟理工学院学报（自然科学）2012年步骤5）取列指标l，满足：aˉil=max1≤j≤n (aˉij)，如果aˉil≤0，算法结束，（LP）无可行解；否则，以aˉil为主枢轴元进行旋转变换，置i=i+1，返回步骤2）.在上述算法步骤3）~5）中，如果算法没有以（LP）无可行解而结束，则主枢轴元aˉil≠0，枢轴交换可以逐行进行下去，这样经过m次枢轴交换，我们就可以获得（LP）的一个初始基，仍用B表示.进一步，若bˉ≥0，这个初始基是可行的，第一阶段算法结束；否则，基B是不可行的，由此出发，我们提出改进的规范型算法来获取（LP）的一个可行基（如果存在），计算步骤可详细叙述如下：算法B步骤6）取行指标k，满足：bˉk=min1≤i≤m (bˉi)，我们称第k行为驱动行.如果bˉk≥0，第一阶段算法结束，我们已经获得（LP）的一个可行基；否则，对任意bˉi<0 (i≠k)，作变换：bˉi′=bˉi-bˉk，aˉij′=aˉij-aˉkj，为叙述方便起见，我们仍用bˉi，aˉij分别表示bˉi′，aˉij′，在第k行中再加入一个人工基变量，转下一步.步骤7）从第k行中选择枢轴列s，满足：aˉks=min1≤j≤n {aˉkj}，若aˉks≥0，则问题（LP）无可行解，算法结束；否则，计算最小列检验比：θr=bˉraˉrs=min1≤i≤m{bˉiaˉis | bˉi≥0, aˉis>0 或 bˉi<0, aˉis<0}，以r作为枢轴行，执行单纯形枢轴变换，转下一步.步骤8）如果r=k，算法结束，（LP）的一个可行基已经取得；否则，返回步骤7）.通过执行上述算法步骤，我们或者获得原问题的一个基本可行解，或者得到问题无可行解的事实.3规范型算法改进的计算机实现为了验证改进的规范型算法的计算性能，本文从线性规划标准测试库NETLIB[14]和混合整数规划标准测试库MIPLIB[15]中选取了26个典型算例，其中，问题air01、enigma、lp41、mod010属于整数规划问题，我们只求解其相应的线性规划松弛问题的解.接下来，我们使用MATLAB V7.1语言对经典单纯形算法和改进的规范型算法进行了编程，在Lenovo PentiumM计算机上执行数值试验，以对两种算法的计算效率进行比较.数值试验的环境是完全相同的，计算结果如表1所示，其中，Iters表示求解线性规划问题所需要的枢轴（迭代）数，Time表示所耗费的总的计算时间（单位为秒）.从表1我们可以看到，改进的规范型算法在每一个问题上平均迭代一次所耗费的计算时间都要比经典的单纯形算法少，并且，改进的规范型算法在14个问题上比经典的单纯形算法所用的迭代次数少，在5个问题上与经典的单纯形算法所用的迭代次数持平，即使在7算例afirosc50asc50benigmaadlittleblendshare2bsc105stocfor1scagr7israelshare1bsc205beaconfdlotfibrandye226aggscorpionsctap1air01m2750502156749610511712917411720517315322022348838830023n324848100978379103111140142225203262308249282163358480771Iters8202036285287456313382409114512050212211334353232Time(sec.)0.0100.0150.0150.0160.0160.0310.0780.0470.0940.1720.0150.3130.2970.3900.2821.0230.3911.4223.3913.7190.141Iters11202040314382456314710822691137139336986932545224Time(sec.)0.0130.0150.0150.0160.0180.0280.0670.0470.0830.2040.2190.2820.2810.3440.3130.6870.3290.9222.8903.3600.078表1第一阶段问题经典单纯形算法和新的单纯形算法的计算比较2010高培旺：线性规划问题规范型算法的改进及计算机实现个问题上比经典的单纯形算法所用的迭代次数多，除问题israel 外，相差也不大.尤其是，随着问题决策变量数的增多，规模的扩大，改进的规范型算法一般所用的计算时间更短、计算效率更高.4结束语本文对文献[8]的规范型算法作了适当的改进，提出了经过至多m 步迭代获得一个初始基的方法.如果这个基是不可行的，就用改进的规范型算法产生可行基.从数值试验的结果来看，该算法在大部分问题上比经典单纯形算法所用的迭代次数和所耗费的计算时间要少，尤其在一些较大规模的问题上，其计算优越性更加明显，因而该算法在枢轴方法中是有竞争力的.另外，该算法可以对右手边为负的不等式约束：A 1x ≤b 1不作任何变换，直接添加松弛变量，因而计算处理更方便，也利于节省存储空间.美中不足的是，改进的规范型算法并不是在所有问题上都比经典单纯形算法好，这也许与驱动行k 的选择有关.规范型算法的原理就是将驱动行的左边作为目标函数，应用经典单纯形的枢轴准则选择枢轴行，以使驱动行的右边取值单调递增，直到变成零，则产生一个可行基.于是我们设想，如果选择距离算法A 产生的初始点最近的约束超平面作为驱动行，计算效果会否更好？也就是驱动行的右边能更快地达到非负取值.这将留待以后作进一步研究.参考文献：[1]许万蓉.线性规划[M].北京：北京理工大学出版社，1990.[2]黄红选，韩继业.数学规划[M].北京：清华大学出版社，2006.[3]白岩.线性规划中两阶段法的简便计算法[J].长春师范学院学报（自然科学版），2005，24（5）：1-3.[4]孙可.线性规划两阶段法的改进算法[J].运筹与管理，2000，9（1）：79-83.[5]江树彬，周传世.解线性规划问题的一种半单纯形法[J].华南理工大学学报，1995，23（6）：93-99.[6]Arsham H.Initialization of the simplex algorithm:An artificial-free approach [J].SIAM Review,1997,39(4):736-744.[7]李炜.求线性规划初始可行基的新方法[J].运筹与管理，2004，13（1）：7-10.[8]高国成，王卓鹏，刘晓妍.线性规划问题的规范型算法[J].运筹与管理，2004，13（3）：35-38.[9]Enge A,Huhn P.A counterexample to H Arsham's "Initialization of the simplex algorithm:An artificial-free approach"[J].SIAM Review,1998,40(4):1-6.[10]高培旺.关于解线性规划问题的一种半单纯形法的注记[J].南通大学学报（自然科学版），2011，36（1）：19-21.[11]王全文，吴育华，吴振奎，等.单纯形法选择进出基变元的一个新准则[J].数学的实践与认识，2009，39（14）：75-81.[12]申卯兴，叶微，刘毅，等.单纯形法中枢轴元素选取准则的改进[J].计算机工程与应用，2003，25（1）：57-58.[13]高培旺.关于“单纯形法选择进出基变元的一个新准则”的计算效率[J].河南工程学院学报（自然科学版），2012，24（2）：61-64.[14]Dongarra J,Golub G,Grosse E,et lib and NA-Net:Building a scientific computing community [J].IEEE Annals of the histo-ry of computing,2008,30(2):30-41.[15]Bixby R E,Ceria S,McZeal C M,et al.An updated mixed integer programming library:MIPLIB 3.0[J].Optima,1998,54(1):12-15.agg2scsd1scagr25lp41mod010516774718514630276050010862655841707142506281.2500.6419.5501.3289.5479185694183442 1.6350.3449.3560.9227.625续表12122常熟理工学院学报（自然科学）2012年Improvement and Its Computer Implementationof a New Algorithm for Linear ProgrammingGAO Pei-wang(Department of Mathematics,Minjiang University,Fuzhou350108,China)Abstract:A new algorithm for the normalized form of linear programming starts from an initial basis and then uses the simplex variant to achieve a feasible basis.This paper presents a method for finding an initial basis of the equality constraints,which does not need to compute the reduced costs of the auxiliary objective function, and under the assumption of no redundancy uses at most m iterations(equal to the number of equality con⁃straints)to get an initial basis or the conclusion of no feasible basis.Furthermore,an improved algorithm of the normalized form is proposed to achieve a feasible basis conveniently and quickly.In the improvement,one is to keep the equality constraint with the most negative right-hand side unchanged,and the other is to apply the rule of the classical simplex method to choose the pivot column.Finally,a computer implementation is accom⁃plished to test the computational performance of our improvement in comparison with the classical simplex algo⁃rithm.The computational results show that our improved algorithm averagely spends less executive time at each iteration than the classical simplex algorithm.Key words:linear programming;feasible basis;simplex algorithm;normalized form;computer implementation。
线性规划的计算机求解及应用举例
得：x天各时间段内所 需司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00 所需人员 60 70 60 50 20 30
（1）建立Excel工作表。用
举例
在电子表格上建模（生产计划）
举例
使用Excel Solver求解模型求解生产计划 案例，求解的过程如下。
例１ A工厂计划生产甲、乙两种产品。每千克产品的销售价 格和能源消耗量、以及能源资源见表，怎样安排生产计划才 能使A工厂获益最大？
解：x1：产品甲的计划生产量；x2：产品乙的计划生产量，则有如下 线性规划问题： max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制) 4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
线性规划的计算机求解 及应用举例
计算机软件求解
关于线性规划问题的求解，有许多好的专业软件和 商务软件，通过计算机可十分方便地完成求解过程。 最简便易行的求解软件是Excel，下面介绍其使用方法。 一组单元格表示变量，作 为可变单元格（空）；用几组单元格分别表示各约束 条件和目标函数的系数；用一些单元格输入公式表示 各组系数和变量的关系。 （2）打开工具栏中的“规划求解”对话框，指定存 有目标函数的单元格为目标单元格，指定表示变量的 单元格为可变单元格，建立约束条件。 （3）在规划求解对话框中按下“求解”按钮，即可 求出最优解和最优值。推出规划求解对话框。
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作 8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满 足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减少?
求解线性规划问题算法
u4 u5 b 0 04 1 0 14 0 13 0 0 Z=0 0 17 1 -3 5 0 13 0 0 Z=-9
0 u3 0 0 1 -1/5 8/5 6
-2 u2 0 1 0 1/5 –3/5 1
-3 u1 1 0 0 1/5 2/5 4
cs ciais 0 0 0 1 0 Z=-14
x4
1 -2 1 cB xB x1 x2 x3 1 x1 1 1 3 0 x5 0 -2 1 0 x6 0 -1 6
cs ciais 0 -3 -2
1 x1 1 3 2 -3 x4 0 -2 1 0 X6 0 -3 7
3 -11 7
-3 0 0 x4 x5 x6 100 110 -1 0 1 -4 0 0 0 10 1 10 0 01 000
给新问题列单纯形表
cB xB M x4 M x5
M x4 4 x1
1 x3 4 x1
1 x3 1 x2
4 1 1 MM x1 x2 x3 x4 x5 2 12 10 3 31 01
4-5M 1-4M 1-3M 0 0
b 4 3
J=7M
比值 4/ 2 3/3
0 -1 4/3 1 -2/3 2
3/2
cs ciais 11/3 0
2/3 0 7/3 1 90 28/3 0
-1/3 0 1/3 0 01 1/3 0
b 6 3 4 J=6 6 15 10 J =-12
1 5 10 J =-17
比值 6/ 1 3/-2 4/-1
6/1 15/3 10/0
四 求初始基本可行解的方法 由标准形化为典范形的方法
第二步：从原来的基本变量中选出一个使其进入非基本变量 中，即令这个选中的为零称这个为离基变量。
线性规划问题的优化算法研究
线性规划问题的优化算法研究线性规划是数学中的一个重要领域，它研究的是如何在一些限制条件下优化线性函数的取值。
这个问题可以用优化算法来解决，这样的算法在现代社会中得到了广泛的应用。
这篇文章将探讨线性规划问题的优化算法研究，介绍在实践中常用的一些方法以及它们的优劣。
一、线性规划问题的定义在介绍线性规划问题的优化算法之前，我们需要先了解线性规划问题的定义。
线性规划问题指的是在满足一定的约束条件下，使目标函数达到最优化的问题。
而目标函数和约束条件必须都是线性的。
也就是说，目标函数和约束条件都必须可以表示为变量的线性组合。
这个问题的一般形式可以表示为如下的式子： maximize cTxsubject to Ax<=bx>=0其中，c是一个n维向量，A是一个m*n矩阵，b是一个m维向量，x是一个n 维向量。
其中n和m为问题的维度。
二、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题的经典算法，是在二十世纪50年代被提出的。
该算法从初始的解开始，通过每一步去改变解，直至找到最优解。
单纯形法通过在可行域内移动的枢纽点来遍历整个可行域，寻求优化解。
该算法的时间复杂度为O(2^n)，在很多情况下效率不高。
三、内点法内点法是一个比较新颖的算法，和单纯形法相比，在时间上更具有优势。
它通过在可行域中找出一些内点，在这些点上求解，直至找到最优解。
这个过程中会存在很多障碍，但是最终它可以得到一个稳定的解。
内点法的时间复杂度为O(n^3L)，其中L是内点法算法的迭代次数。
这个算法的运算时间随着L的增加而增加，但是L通常是比较小的。
实践证明，内点法比单纯形法快很多。
四、分支定界法分支定界法不是一种直接求解线性规划问题的算法，但是在实践中也被广泛应用。
它将问题分成几个小的集合，然后一步步去求解每一个子问题。
每一次问题的分解都会产生一些新的问题，而分支定界法就是依次去解决这些新问题。
这个算法的时间复杂度随着问题的维度增加而增加，但是对于一些十分大的问题，分支定界法通常是一个非常好的选择。
线性规划问题规范型算法的改进及计算机实现
线性规划问题规范型算法的改进及计算机实现高培旺【摘要】A new algorithm for the normalized form of linear programming starts from an initial basis and then uses the simplex variant to achieve a feasible basis. This paper presents a method for finding an initial basis of the equality constraints, which does not need to compute the reduced costs of the auxiliary objective function, and under the assumption of no redundancy uses at most m iterations (equal to the number of equality con⁃straints) to get an initial basis or the conclusion of no feasible basis. Furthermore, an improved algorithm of the normalized form is proposed to achieve a feasible basis conveniently and quickly. In the improvement, one is to keep the equality constraint with the most negative right-hand side unchanged, and the other is to apply the rule of the classical simplex method to choose the pivot column. Finally, a computer implementation is accom⁃plished to test the computational performance of our improvement in comparison with the classical simplex algo⁃rithm. The computational results show that our improved algorithm averagely spends less executive time at each iteration than the classical simplex algorithm.% 线性规划的规范性算法是从一个初始基出发，通过一种单纯形变式求得可行基的方法。
线性规划02-线性问题计算机解法
线性规划问题的计算机求解
选择线性规划后——出现如下界面
单击“新建”按钮
线性规划问题的计算机求解
单击“新建”按钮后——出现如下界面
随光标闪烁位置依次输入各参数
线性规划问题的计算机求解
以P10, 例1为例输入所有参数后——出现如下界面
1、此时可保持此模型 2、如要求解此模型，则点击“解决”按钮
900 1000
8 6
1 2
500 600
800 900
5 6
3 4
线性规划 Linear Programming（LP）
线性规划其他应用例子
线性规划 Linear Programming（LP）
线性规划其他应用例子
例 制造某种机床，需要 A ，B ，C 三种轴件，其规格与数 量如下表，各类轴件都用 5.5 米长的同一种圆钢下料。若计划 生产 100 台机床，最少要用多少根圆钢？
第二章
线性规划问题的 计算机求解
线性规划问题的计算机求解
本章主要介绍如何使用“管理运筹学”2.0 （windows 版）软件包求解线性规划模型：
如何运行软件； 如何输入模型； 如何求解与阅读分析输出结果。
线性规划问题的计算机求解
安装运行软件后——出现如下界面
选择你需求解的问题类型——线性规划
线性规划问题的计算机求解
点击“解决”按钮后——出现如下结果输出界面
线性规划 Linear Programming（LP）
线性规划其他应用例子
线性规划 Linear Programming（LP）
线性规划其他应用例子
例 发电厂有两台锅炉，每台锅炉投入运行时生产的蒸汽量 一定要维持在最高产汽量和最低产汽量之间。每个锅炉的产汽 量范围和生产成本（如表1），锅炉生产的蒸汽可送到两台汽 轮机组发电，每台汽轮机组的蒸汽消耗量也有最低和最高限制， 且运行成本和每吨蒸汽的发电量亦不同（如表2）。 请建立一个线性规划模型使发电厂在满足8000度发电计 划的前提下运行成本最低。
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线性规划问题规范型算法的计算机实现研究
摘要：随着科技的飞速发展，现如今世界已经步入信息时代，掌握一定的计算机技能是每一个当代人必备的一项生存手段。
然而在计算机专业技术的教学和学习过程中，算法便是计算机编程技术的核心思想，如何将算法研究到位制约着计算机技术学习得好坏，因此，笔者在平时的计算机学习与教学过程中比较关注各种计算机算法的应用，本文重点阐述关于线性规划问题规范算法的计算机实现研究，希望本文的研究成果能够为从事计算机事业和教育界带来一些有意义的帮助。
关键词：线性规划；规范型算法；计算机实现
中图分类号：tp301.6文献标识码：a文章编号：1007-9599 (2013) 07-0000-02
编程对于学习计算机的人而言并不陌生，对于大多数不熟悉计算机的人士而言，其实编程就是编制程序的意思。
编制程序就是在实际生活中遇到一些棘手而复杂的实际问题难以解决的时候，运用计算机语言编制一定的算法和代码，借助计算机运行来解决这些问题。
真正学好并运用好计算机必须掌握几种常见的算法。
本文主要介绍线性规划问题规范型算法的背景、定义、应用以及意义，希望这些研究对于计算机的使用和计算机技术的学习提供必要的帮助。
一、线性规划问题规范型算法的背景
对于线性规划，最初来自于数学领域，它属于运筹学的范畴，对于处理线性目标函数以及应用线性约束来求解最优化解的问题方
面，应用较多。
但是鉴于近年来越来越多的实际问题需要运用计算机编程，通过运用计算机能够处理巨大规模的运算数据的能力来解决数学、天文、生物、化学、物理、金融等各个领域的实际问题，线性规划问题规范型算法便应用而生。
经过实践证明，这种算法在使用过程中，操作比较精简而凝练，剪短了计算机运行程序的时间，降低了编制程序的复杂性，因此，它的使用相对其他算法来说是非常广泛的，目前，除了数学、物理、化学等自然科学应用这种算法外，还有像心理学、金融学、统计学等社会性质的学科也会应用这种算法处理大量数据。
二、线性规划问题规范型算法的定义
线性规划问题算法
设线性规划问题的一般形式为：
其中为待定的决策变量，已知的系数组成的矩阵，称为约束矩阵，的列向量记为，，的行向量为，，称为目标函数，记为，向量称为价值向量，称为价值系数，向量称为右端向量，条件称为非负约束。
一个满足所有约束条件的向量称为上述问题的可行解或者可行点，所有的可行点，所有的可行点组成的集合称为上述问题的可行区域，记为。
由线性代数和微积分中求条件极值的知识，给定一个线性问题，下列三种情况必居其一：
（1），称问题无解或不可行。
（2），但目标函数在上无界，此时称该问题无界。
（3），且目标函数有有限的最优值，此时称该问题有最优解。
当时，上述形式的线性规划用矩阵向量的形式表示为：
，其中，称为线性规划的规范形式。
当时，问题为
，称此形式的线性规划为标准形式。
三、线性规划问题规范型算法
（一）单纯形法
仍考虑标准形式的线性规划，这里假设，秩（），，为一的实矩阵。
假设已找到一个非退化的基本可行解，即找到一个基。
此时，可将方程组化成与之等价的方程组
（二）对偶单纯形法
考虑到大家经常使用的一般形式的线性规划问题
因此为了使用最优化原则，我们必须将其变为标准形式的线性规划问题，所以对于的每一个不等式约束，减去一个不是正的约束变量，那么我们可以得知，每一个变量，都可以用两个相关的变量来将其代替，所以我们就可以得到以下形式的线性规划问题：上述简单介绍了线性规划问题的数学模型以及数学方程概念，通过上述介绍，相信读者对于单纯形法和对偶单纯形法有了一定的了解，在学习计算机编程语言的过程中，这种最为原始的理论基础总是能够起到纵观全局的作用。
无论是单纯形法还是对偶单纯形法，这两种方法的存在都是线性规划算法的应用表现方式，一般的规划最优化原理可以总结如下：当我们的实际生活中出现一个动态的过程时，不管初始状态如何，只要以后的状态都根据第一个状态的决策来做出决策，步步紧推，就能够将整个过程的策略编程变成一个最优化的策略。
四、线性规划问题规范型算法的意义
当下数学研究领域，对于整数规划、0—1规划以及非线性规划等都是现代规划领域的难题，尤其是0—1规划问题已被确认为np难题，本文对于研究线形规划的算法，对这些问题的算法研究都是有启示及推动作用的。
线性规划问题规范型算法对于计算机编程技术带来了不同凡响的改变，使得编程变得简洁而方便，对于编程人员来讲，降低了难度和简化了测试，节省了时间和空间。
通过以上四个方面的叙述和讨论，相信读者一定对于线性规划问题规范型算法有了初步的了解，基于这样的了解，在计算机编程过程中使用，一定能够收到不错的成效。
当然本文的研究仅仅做了科研工作的小小一部分，还需要进一步深入和探讨。
参考文献：
[1]高国成.关于求线性规划初始可行基的生成算法[j].数学杂志,2000,20(3):320-322.
[2]朱明权,陈明飞.关于单纯形方法的若干新算法[j].数值计算与计算机应用,1997,18(3):206-217.。