定积分在几何中的应用
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复习
如何用定积分表示下列图形的面积?
例1.计算由曲线:y2=x , y = x2 所围图形的面积S .
小结:求平面图形面积的步骤: ①画草图; ②选择积分变量,被积函数及 积分上下限; ③计算定积分,表示出面积
练习1:求下列曲线围成的平面面积.
①y =
2 x
,y =2x+3
②y =ex , y =e ,x = 0 ③y =
3 x
, y = 2x
例2.计算由直线y = x－4, 曲线y = 2x 以及x轴所围图形的面积S.
思 考 ？
思考：本题其它解法如何？并比较这些 方法
变式训练： 计算由直线 y x 4, 曲线 y 2 2 x 以及 x 轴所围成图形的面积 S .
1.思想方法: 数形结合及转化. 2.求解步骤: ①画草图; ②选择积分变量,被积函数及 积分上下限; ③计算定积分,表示出面积
知识要点1
作变速直线运动的物体在时间区间 a , b 上所经过的 路程 S ，等于其速度函数 v v(t )(v(t ) 0) 在时间区 b 间 a , b 上的 定积分 ，即 S v ( t )dt
a
例 1 已知一辆汽车的速度——时间的曲线如图所示 30
求（1）汽车 10 s 行驶的路程； （2）汽车 50 s 行驶的路程； （3）汽车 1 min 行驶的路程.
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
第六节 定积分在物理中的应用 例1 设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要 使弹簧伸长0.1米，需作多少功？ 解 如图：建立直角坐标系。 因为弹力的大小与弹簧的 伸长（或压缩）成正比， 即 F kx 已知 F 1N , x 0.01 代入上式得 E 100
10 40 60
变式 1：变速直线运动的物体速度为 v(t ) 1 t 2 , 初 始位置为 x0 1, 求它在前 2 s 内所走的位移及 2 s 末 所在的位置.
知识要点2
如果物体在变力 F ( x) 的作用下做直线运动，并且物 体沿着与 F ( x) 相同方向从 x a 移动到 x b(a b), 则变力 F ( x) 所作的功 b W= F ( x )dx .
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
在区间 [a , b] 内任取一小区间[ x , x dx ], 功的微元数 dW F ( x )dx 所以
o a
x
x dx
F ( x)
b
x
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
W dW F ( x )dx
a a
b
b
后退
主 页 目录 退 出
a
例 2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置 lm 处，求克服弹力所作的功.
o
x x
定积分在几何中的应用
例 3：直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x 与 x 轴 所围成图形为面积相等的两部分， 求 k 的值．
y
2
x
O
定积分在物理中的应用 如图：以 x 为积分变量，积分区间为 [a , b].
A B
P
从而变力为 F 100 x
所求的功
后退
主 页 目录 退 出
W 100 xdx 0.5J
0
0ห้องสมุดไป่ตู้1
问题 有一条水沟,沟沿是两条长100米平行线段,
沟宽AB为2米,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一 段抛物线,抛物线的顶点为O,对称轴与地面垂直, 沟深1.5米,沟中水深1米. ①问沟中的水有多少立方米? ②若要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰 梯形的沟,使沟的底面与地面平行,则改挖后的 沟底宽为多少米时,所挖的土最少?
如何用定积分表示下列图形的面积?
例1.计算由曲线:y2=x , y = x2 所围图形的面积S .
小结:求平面图形面积的步骤: ①画草图; ②选择积分变量,被积函数及 积分上下限; ③计算定积分,表示出面积
练习1:求下列曲线围成的平面面积.
①y =
2 x
,y =2x+3
②y =ex , y =e ,x = 0 ③y =
3 x
, y = 2x
例2.计算由直线y = x－4, 曲线y = 2x 以及x轴所围图形的面积S.
思 考 ？
思考：本题其它解法如何？并比较这些 方法
变式训练： 计算由直线 y x 4, 曲线 y 2 2 x 以及 x 轴所围成图形的面积 S .
1.思想方法: 数形结合及转化. 2.求解步骤: ①画草图; ②选择积分变量,被积函数及 积分上下限; ③计算定积分,表示出面积
知识要点1
作变速直线运动的物体在时间区间 a , b 上所经过的 路程 S ，等于其速度函数 v v(t )(v(t ) 0) 在时间区 b 间 a , b 上的 定积分 ，即 S v ( t )dt
a
例 1 已知一辆汽车的速度——时间的曲线如图所示 30
求（1）汽车 10 s 行驶的路程； （2）汽车 50 s 行驶的路程； （3）汽车 1 min 行驶的路程.
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
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本节 复习 指导
第六节 定积分在物理中的应用 例1 设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要 使弹簧伸长0.1米，需作多少功？ 解 如图：建立直角坐标系。 因为弹力的大小与弹簧的 伸长（或压缩）成正比， 即 F kx 已知 F 1N , x 0.01 代入上式得 E 100
10 40 60
变式 1：变速直线运动的物体速度为 v(t ) 1 t 2 , 初 始位置为 x0 1, 求它在前 2 s 内所走的位移及 2 s 末 所在的位置.
知识要点2
如果物体在变力 F ( x) 的作用下做直线运动，并且物 体沿着与 F ( x) 相同方向从 x a 移动到 x b(a b), 则变力 F ( x) 所作的功 b W= F ( x )dx .
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
在区间 [a , b] 内任取一小区间[ x , x dx ], 功的微元数 dW F ( x )dx 所以
o a
x
x dx
F ( x)
b
x
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
W dW F ( x )dx
a a
b
b
后退
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a
例 2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置 lm 处，求克服弹力所作的功.
o
x x
定积分在几何中的应用
例 3：直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x 与 x 轴 所围成图形为面积相等的两部分， 求 k 的值．
y
2
x
O
定积分在物理中的应用 如图：以 x 为积分变量，积分区间为 [a , b].
A B
P
从而变力为 F 100 x
所求的功
后退
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W 100 xdx 0.5J
0
0ห้องสมุดไป่ตู้1
问题 有一条水沟,沟沿是两条长100米平行线段,
沟宽AB为2米,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一 段抛物线,抛物线的顶点为O,对称轴与地面垂直, 沟深1.5米,沟中水深1米. ①问沟中的水有多少立方米? ②若要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰 梯形的沟,使沟的底面与地面平行,则改挖后的 沟底宽为多少米时,所挖的土最少?