正态分布的概念概述

％。
3、标准正态总体的函数为
（1）证明f(x)是偶函数； （2）求f(x)的最大值；
1 f ( x) e 2
x2 2
, x (, ).
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（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。
4、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函数的最大
值等于
式。
1 4 2
，求该正态分布的概率密度函数的解析 x2
(1) f(x )
1 2
e

x2
2
（1） 0， 1
1 （2）f ( x ) e 2 2
( x 1) 2 8
,x R
（2） 1， 2
2 2 ( x1) （3）f ( x) e ,x R 2 1 (3) 1, 2
2
(3)正态曲线的性质：
(2)E(x ) 20,D(x ) 2
(3)0.6826
思考：P(20 x 20
2) ?
f(x )
1
4 2
e

32
y
5、如图，是一个正态曲线，根据图象 1 （1）写出其正态分布的概率密度函数 2
的解析式；
（2）求出总体随机变量的期望和方差； （3）求概率 P(20
5 10 15 20 25 30 35 x
2 x 20 2)
(1) f(x )
1 2
e
( x 20)2 4
二、正态分布 （1）正态函数的定义
( x )2 2 2
f(x )
1 2
e
,x (,)
其中：E =，D =
2
（总体标准差是衡量总体波动大小的特征数，常用样本标准 差去估计）
（2）正态分布与正态曲线
若总体密度曲线就是或近似地是函数
1 f x e 2
15
25 20 12 6 2
0.15
0.25 0.20 0.12 0.06 0.02
0.030
0.050 0.040 0.024 0.120 0.004
第二步：根据频率分布表画出频率分布直方图
y
频率/组距
－ － － － － －
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
0
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
x
各小长方形的面积表示相应各组的频率， 各小长方形面积的总和等于1
第三步：得到总体密度曲线 若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形 成一条光滑的曲线，我们称此曲线为密度曲线． 频率 组距 密度曲线
a
阴影部分的面积表示总体在区间
b
(a , b) 内取值的频率
①曲线在X轴的上方，与X轴不相交； ②曲线关于x ③当 x
对称，且在x 时位于最高点；
时曲线上升；当 x 时曲线下降；
左右可以无限延展，以X轴为渐近线，向它无限靠近。
④曲线与X轴之间的面积为1； ⑤曲线的形状由 确定：
越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体越集中；
P( x ) 0.6826
P( 2 x 2 ) 0.9544
a a
P( 3 x 3 ) 0.9974
正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在
3 , 3 以外取值的概率只有0.3
2.画出三条正态曲线：
(1) 1, 0.5;
(2) 0, 1;
(3) 1, 2;
(4).概率(P73):
N ( , )，则对于任何实数 a>0, a P( a x a ) ,dx
若x
2
a
表示图中阴影部分的面积 要记住：
x 2
2 2
, x , 的图象，
则其分布叫正态分布，记作：N ( , 2 )
f x 的图象称为正态曲线。
当
0, 1 时，正态总体称为标准正态总体，记为N (0,1)
1 e 2
x2 2
f x 相应的函数表达式是：
, xR
1.已知函数表达式，试指出相应的参数：
一、复习：样本数据频率分布的密度曲线（必修3P69） 1、列数据频率分布表
区间号 区间 频数 频率 频率/组距
1
2 3
[85,90]
(90,95] (95,100]
2
7 11
0.02
0.07 0.11
0.004
0.014 0.022
4
5 6 7 8 9
(100,105]
(105,110] (110,115] (115,120] (120,125] (125,130]