导数与零点专题(一)PPT课件

训练3：
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解 (1)由题知ff′ee＝＝－－22e，， 得ab＝ ＝1e，， 所以 f(x)＝x2－(e＋1)xlnx－e。 (2)x2－(e＋1)xlnx－e＝0⇒x－(e＋1)lnx－ex＝0，x∈(0，e4]。 设 g(x)＝x－(e＋1)lnx－ex，x∈(0，e4]， 则 g′(x)＝1－e＋x 1＋xe2＝x－1x2x－e。 由 g′(x)＝0 得 x1＝1，x2＝e， 当 x∈(0,1)时，g′(x)>0， 当 x∈(1，e)时，g′(x)<0， 当 x∈(e，e4]时，g′(x)>0， 所以 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，在(e，e4]上单调递增。
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极大值 g(1)＝1－e<0，极小值 g(e)＝－2<0，g(e4)＝e4－4(e＋1)－e13， 因为 4(e＋1)＋e13<4×4＋1＝17，e4>2.74>2.54>62＝36， 所以 g(e4)>0。 综上，g(x)在(0，e4]内有唯一零点， 因此，f(x)在(0，e4]内有唯一零点。
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利用导数判断零点的个数（主要考虑极值与0的大小关 系或者转换为两个函数的交点个数）
例 23 函数 f (x) 1 x ln x 的零点个数为（ C ） 3
A.0
B.1
C.2
D.3
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【训练 2】函数 f (x) ln x 的零点个数为（ B ） x
A.0
B.1
C.2
D.3
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3
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重要的转化关系
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(3)零点的存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有__f(a)∙f(b)＜0__，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点， 即存在 c (a,b) ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f (x) 0 的根．
故：当 a ＝1e 时，f（x）有 1 个零点；当 0＜ a ＜1e 时，f（x）有 2 个零点．
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（ⅱ）若 a＝0，则 f（x）＝﹣lnx，易得 f（x）有 1 个零点．
（ⅲ）若 a＜0，则 f (x) 1 a 0 在 (0， ) 上恒成立， x
即： f (x) ln x ax 在 (0， ) 上是单调增函数，
当 x→0 时，f（x）→﹣∞；当 x→﹢∞时，f（x）→﹢∞． 此时，f（x）有 1 个零点．
综上所述：当 a ＝1e 或 a＜0 时，f（x）有 1 个零点；当 0＜ a ＜1e 时，f（x）有 2 个零点．
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【训练 3】已知函数 f (x) 1 x2 a ln x (a 1)x(其中a 1) ，则函数 f (x) 有 2
f (x) Leabharlann Baidu a 1 ax (x 0) ．
x
x
（ⅰ）若 0＜ a ≤1e ，令 f (x) ＞0 得增区间为（0，1a ）；
令 f (x) ＜0 得减区间为（1a ，﹢∞）．
当 x→0 时，f（x）→﹣∞；当 x→﹢∞时，f（x）→﹣∞；
当 x＝1a 时，f（1a ）＝﹣lna－1≥0，当且仅当 a ＝1e 时取等号．
3
（2）重要的转化关系
函数 y＝f(x)有零点 ⇔ 方程 f(x)＝0 有实数根 ⇔ 函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝0(即 x 轴)有交点．
函数 y＝f(x)－g(x)有零点 ⇔ 方程 f(x)－g(x)＝0 有实数根 ⇔ 函数 y＝f(x)－g(x)的图象与 y＝0(即 x 轴)有交点．
函数 y＝f(x)－g(x)有零点 ⇔ 方程 f(x)＝g(x)有实数根 ⇔ 函数 y＝f(x)的图象与 y＝g(x)有交点．
函数零点专题（一）
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目标： （1）判断简单函数的零点个数 （2）判断含参函数的零点个数
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知识回顾
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使方程__f(x)＝0__成立 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点．
注：1.函数的零点不是点，是函数 f(x)与 x 轴交点的横坐标； 2．并不是所有的函数都有零点； 3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．
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判断含参函数零点的个数
例3
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例 4、设函数 f (x) ln x ax ， g(x) ex ax ，其中 a 为实数．若 g(x) 在 (1,) 上是 单调增函数，试求 f (x) 的零点个数，并证明你的结论．
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解： g(x) e x a ≥0 在 (1,) 上恒成立，则 a ≤ex，故： a ≤1e ．
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判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线， 且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对 称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象， 看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
注：1.由零点存在性定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数． 2.定理成立的条件：一是函数 y f (x) 在区间[a,b] 上的图象是连续
不断的一条曲线；二是 f (a) f (b) 0
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类型一、判断零点个数（结合单调性，极值，最值，端点值）
6
C
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【训练 1】若函数 f (x) x3 9 x2 6x a 有且仅有一个零点，则实数 a 的取值范围是 2
个零点
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