全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题三角函数的图象与性质

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高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是( )A．6B．C．D．【答案】D【解析】将f(x)＝sinωx的图象向左平移个单位，所得图象关于x＝，说明原图象关于x＝－对称，于是f(－)＝sin(－)＝±1，故(k∈Z)，ω＝3k＋(k∈Z)，由于ω＞0，故当k＝0时取得最小值.选D考点:三角函数的图象与性质2.已知函数的最大值是2，且．（1）求的值；（2）已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先由辅助角公式将化为一个的三角函数，利用最大值为2求出A，再利用列出关于的方程，解出的值；（2）由（1）可得的解析式，由可求得和，再由同角三角函数基本关系式求出，将2C代入将用C表示出来，利用三角形内角和定理及诱导公式，将化为A，B的函数，再利用两角和与差的三角公式，化为A,B的三角函数，即可求出.试题解析：（1）∵函数的最大值是2，，∴ 2分∵又∵，∴ 4分（2）由（1）可知 6分，∴ 8分∵∴， 10分∴12分考点: 辅助角公式；三角函数图像与性质；诱导公式；两角和与差的三角公式；运算求解能力3.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足，故，，∴，∵，∴，∴，∴，∴.【考点】由三角函数图象确定函数解析式.4.设则A．B．C．D．【答案】C．【解析】故选C．【考点】1.三角函数基本关系式（商关系）；2. 三角函数的单调性．5.设函数.（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期。

（2）设A、B、C为⊿ABC的三个内角，若，，且C为锐角，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用领个角的和的余弦公式、二倍角化简整理得，由可求得函数的最大值，根据求出函数的最小正周期；（2）将代入，再利用倍角公式求得，从而得到角，由，根据，求得，由结合诱导公式、两个角的和的正弦公式求出结论.（1）.∴当，即(k∈Z)时，，（4分）f(x)的最小正周期，故函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.（6分）（2）由，即，解得.又C为锐角，∴.（8分）∵，∴.∴.（12分）【考点】三角函数的和差公式、二倍角公式.6.（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【答案】（1）﹣1（2）【解析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解：（1）f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．7.已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，故命题为真命题；结合正切函数图象可知，正切函数在区间上是增函数，因此函数在区间上是增函数，故命题为假命题，因此命题、、为假命题，为真命题，故选D.【考点】1.三角函数的基本性质；2.复合命题8.（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B9.已知函数,.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）实数的取值范围是．【解析】（1）求函数的最小正周期，需对函数化简，把它化为一个角的一个三角函数，利用来求，因此本题的关键是化简，由形式，需对三角函数降次，因此利用二倍角公式将函数化为，由，即可得，即可求出周期；（2）若函数有零点，即，有解，移项得，因此，方程有解，只要在函数的值域范围即可，因此只需求出即可．（1） 4分6分∴周期 7分（2）令，即， 8分则， 9分因为， 11分所以， 12分所以，若有零点，则实数的取值范围是. 13分【考点】三角恒等变化，三角函数的周期，值域．10.已知向量，设函数．(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0，]上的最大值和最小值．【答案】(1)π(2)最大值是1，最小值是－【解析】(1)f(x)=a·b=(cosx，－)·(sinx，cos2x)=cosxsinx－cos2x=sin2x－cos2x=sin(2x－)f(x)的最小正周期为T=π，(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤．由正弦函数的性质知，sin(2x－)∈[－，1]当2x－=，即x=时，f(x)取得最大值1．当2x－=－，即x=0时，f(0)=－，因此， f(x)在[0，]上的最大值是1，最小值是－．11.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值。

2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

高考数学_三角函数的图像和性质问题(解析版)

[高考地位]近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是高考的重点和难点。

要充分运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题.[方法点评]类型一求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意参数,A ω的正负；第二步利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数,且在同一单调区间；第三步运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1 函数cos(2)4y x π=-的单调递增区间是〔 A ．[k π＋8π,k π＋85π] B ．[k π－83π,k π＋8π]C ．[2k π＋8π,2k π＋85π]D ．[2k π－83π,2k π＋8π]〔以上k ∈Z[答案]B.考点：三角函数单调性. [点评]本题解题的关键是将24x π-作为一个整体,利用余弦函数的图像将函数cos(2)4y x π=-的单调递增区间转化为24x πθ=-在区间[]2,2k k πππ-+上递减的.[变式演练1]已知函数),0)(62sin()(>+=ωπωx x f 直线21,x x x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称轴,且21x x -的最小值为2π．求函数)(x f 的单调增区间； [答案]Z k k k ∈++-],6,3[ππππ.[解析]试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期,根据周期求ω,根据公式求此函数的单调递增区间. 试题解析：由题意得,π=T 则1,()sin(2).6f x x πω=∴=+由222,262k x k πππππ-+≤+≤+解得.,63Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ故)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],6,3[ππππ.考点：1．()ϕω+=x A y sin 的单调性；[变式演练2]已知函数()sin()+(00 )2f x A x B A πωϕωϕ=+>><，，的一系列对应值如下表：x6π-3π 56π 43π 116π73π 176πy2-42-4〔1根据表格提供的数据求函数()f x 的解析式；〔2求函数()f x 的单调递增区间和对称中心； [答案]〔1()3sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭〔252 2()66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，+ 1(3k k ππ∈Z)（，）. 〔2当22()232k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ,即52 ()266x k k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦∈Z ，时,函数()f x 单调递增．令=(3x k k ππ-∈Z),得=+(3x k k ππ∈Z),所以函数()f x 的对称中心为+ 1(3k k ππ∈Z)（，）．考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法类型二由sin()y A x ωϕ=+的图象求其函数式使用情景：一般函数sin()y A x ωϕ=+求其函数式解题模板：第一步观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与x 轴交点坐标等；第二步利用特殊点代入函数解析式计算得出参数,,A ωϕ中一个或两个或三个；第三步要从图象的升降情况找准第一个零点的位置,并进一步地确定参数；第四步得出结论.例2 已知函数sin()y A x ωϕ=+),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的图象如图所示,则该函数的解析式是〔〔A )48sin(4π-π-=x y 〔B )48sin(4π-π=x y 〔C )48sin(4π+π=x y 〔D )48sin(4π+π-=x y[答案]D考点：()ϕω+=x A y sin 的图像[点评]本题的解题步骤是：首先根据已知图像与x 轴的交点坐标可得其周期为T ,进而可得ω的大小；然后观察图像知其振幅A 的大小；最后将图像与x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到φ的大小. [变式演练3]已知函数()()sin f x A x ωϕ=+〔其中0,0,2A πωϕ>><的部分图象如图所示,则()f x 的解析式为〔 A ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭[答案]B [解析]考点：由)sin(ϕω+=x A y 的部分图像确定解析式。

2021年高考数学真题分类汇编考点14 三角函数的图象与性质理（含解析）(1)

考点14 三角函数的图象与性质一、选择题1.（2021·湖北高考文科·Ｔ6）与（2021·湖北高考理科·Ｔ4）相同将函数y=3cosx+sinx （x ∈R ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所取得的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值是（） A.12π B. 6π C. 3π D 65π 【解题指南】先化简，再平移，余弦函数关于y 轴对称。

【解析】选B.由已知1sin )2sin(),23y x x x π=+=+当m 6π=时，平移后函数为2sin()2cos 2y x x π=+=，其图象关于y 轴对称，且现在m 最小。

2. （2021·天津高考文科·Ｔ6）函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是=（）A. -1B.C.D. 0【解题指南】先确信24-x π的范围，再依照正弦曲线的单调性求最小值. 【解析】选B.因为0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x π，因此32,444⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x πππ，依照正弦曲线可知，当244-=x ππ时，()f x 取得最小值。

3. （2021·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ9）函数x x x f sin )cos 1()(-=在],[ππ-的图像大致为（）【解题指南】第一判定函数的奇偶性进行排除，然后再依照函数的图象特点取最正确值进行验证排除.【解析】选C.因为x x x f sin )cos 1()(--=-，即)()(x f x f -=-，而概念域∈x ],[ππ-关于原点对称，因此函数)(x f 为奇函数，排除B.又当2π=x 时012sin )2cos 1()2(>=-=πππf ，排除 A. 当43π=x 时121243sin )43cos 1()43(>+=-=πππf ，排除D. 二、填空题4.(2021·江苏高考数学科·T1)函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 . 【解题指南】利用三角函数周期公式2||T πω=【解析】函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期22T ππ== 【答案】π三、解答题 5.（2021·陕西高考文科·Ｔ16）与（2021·陕西高考理科·Ｔ16）相同已知向量R x x x b x a ∈=-=),2cos ,sin 3(),21,(cos , 设函数b a x f ⋅=)(.(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【解题指南】利用三角变换化简三角函数求得函数周期；利用数形结合的思想方式直观简单地求出函数在规定区间上的最值.【解析】(Ⅰ) b a x f ⋅=)(=)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x 。

三角函数的图象与性质高考数学真题分类题库2020解析版考点14

考点14三角函数的图象与性质一、选择题1..(2020·全国卷Ⅲ文科·T12)已知函数f(x)=sin x+1sin,则()A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=π对称D.f(x)的图象关于直线x=π2对称【命题意图】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性,考查基本分析判断能力.【解析】选D.因为sin x可以为负,所以A错;因为sin x≠0,所以x≠kπ(k∈Z),因为f(-x)=-sin x-1sin=-f(x),所以f(x)关于原点对称;故B错;因为f(2π-x)=-sin x-1sin≠f(x),故C错,f(π-x)=sin x+1sin=f(x),所以f(x)关于直线x=π2对称,D对.2.(2020·浙江高考·T4)函数y=x cos x+sin x在区间[-π,π]的图像大致为()【命题意图】本题主要考查函数的图像与函数的奇偶性等基础知识,考查识图的能力,体现逻辑推理与直观想象等核心素养.【解析】选A.-x cos(-x)+sin(-x)=-x cos x-sin x,故y=x cos x+sin x为奇函数,排除C,D选项,当x=π时,y=-π,故选A.二、填空题3.(2020·全国卷Ⅲ理科·T16)关于函数f(x)=sin x+1sin有如下四个命题:①f(x)的图象关于y轴对称.②f(x)的图象关于原点对称.③f(x)的图象关于直线x=π2对称.④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.【命题意图】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解,考查推理能力与计算能力.【解析】对于①,由sin x≠0可得函数的定义域为≠χ,∈Z,故定义域关于原点对称,由f(-x)=sin(-x)+1sin(-)=-sin x-1sin=-f(x),所以函数为奇函数,图像关于原点对称,①错②对.对于③,由于f(π-x)=sin(π-x)+1sin(π-)=sin x+1sin=f(x),所以f(x)关于x=π2对称,③对.对于④,令t=sin x,t∈[-1,0)∪(0,1],由对勾函数g(t)=t+1的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④错.答案:②③。

高考数学最新真题专题解析—三角函数(全国通用)

高考数学最新真题专题解析—三角函数（全国通用）考向一三角函数的图像【母题来源】2022年高考全国I 卷【母题题文】设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A. 513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B. 519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【试题解析】解：依题意可得0>ω，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：C ．【命题意图】本题主要考查正弦型函数的图象的变换，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道中档题．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择形式出现．多为低档题，本类题型主要考查三角函数的图像和性质以及三角函数的平移变换问题. 常见题型：平移变换、辅助角公式、诱导公式. 【得分要点】（1）利用降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简；（2）利用三角函数的一些性质解题. 考向二三角函数的性质【母题来源】2022年高考北京卷【母题题文】已知函数22()cos sin f x x x =-，则（） A.()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C. ()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C【试题解析】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C.【命题意图】本题考查倍角公式及三角函数的单调性.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）三角函数的图像；（2）三角函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性等；【得分要点】（3）利用倍角公式、降幂公式及辅助角公式对三角函数进行化简；（4）利用三角函数的一些性质解题. 真题汇总及解析一、单选题1．（2022·天津市求真高级中学高二期末）函数()()sin 0f x x ωω=>的最小正周期为2π，则ω的值为（） A ．4 B ．2 C ．1D ．12【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的周期计算公式2T πω=即可求解.【详解】由2T πω=，∴2242Tππωπ===.故选：A. 2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x yxy（）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值【答案】D 【解析】【分析】结合余弦函数，可分别得到2cos x ，2cos y ，()cos xy 的范围，再确定端点值是否可以同时取等，即可判断. 【详解】由[]22cos ,cos 0,1x y ∈，()[]cos 1,1xy ∈-，易知22cos cos cos 1,3x yxy.同时，由于π是无理数，因此当cos cos 0xy时，cos 1xy ；当22cos cos 1xy时，cos 0xy，故两端均不能取得等号.补充证明：二元表达式22cos cos cos x yxy（,x y R ）可以取到任意接近1-和3的值，从而该式无最值.①取x π=，y n （*n ∈N ），则222cos cos cos 2cos x y xy n .对任意0ε>，由抽屉原理，存在*N N ，使得22N N .再考虑*k ∈N ，使得1k k（由π的无理性，两头都不取等）.则nkN 时，212122NN kkN k，从而2cos 1,coskN，22cos cos cos 2cos ,3x y xy ，即证.②取2x π=，2yn（*n ∈N ），则22221cos cos cos cos4n x y xy .对任意0ε>，由抽屉原理，存在*N N ，使得224N N .再考虑k ∈Z ，使得4k k（不取等的理由同上）.则nkN 时，2244244N kN N kk，从而221cos cos ,14kN ，22cos cos cos 1,cosxy xy，即证.故选：D 【点睛】易错点点睛：2cos x ，2cos y ，()cos xy 均有最值，但三者加和后，需确定能否同时取得最值.3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数()sin cos f x a x b x c ωω=++（a ，b ，0>ω）的部分图象如图所示，则=a （）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】【分析】整理()()22f x a b x c ωϕ=+++，且tan b aϕ=222a b +，利用相邻对称轴的距离求得ω，根据对称轴求得ϕ，进而可得tan 1ϕ=，即a b =，即可求解. 【详解】由题，()()22sin cos f x a x b x c a b x c ωωωϕ=+++++，tan b aϕ=，223a b c +=，221a b c -+=-，所以1c =222a b +，又51882T ππ-=，所以T π=，则22T πω==，因为对称轴为8x π=，所以2282k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，则24k ϕπ=+π，k ∈Z 所以tan 1ϕ=，即a b =，所以2a = 故选：B4．（2023·广西柳州·模拟预测（文））若()4sin π5α-=，则cos2α＝（） A ．－2425B ．725C ．－725D ．2425【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答. 【详解】依题意，4sin 5α=，所以2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C5．（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2cos 34cos f x x x 的最小正周期为（） A ．23πB ．43π C ．π D ．2π【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期. 【详解】222cos 22cos 2cos 1cos 2sin cos2sin sin 2cos2cos f xx x x x x xx x x xcos3x =-，所以，函数()f x 的最小正周期为23T π=. 故选：A.6．（2022·上海闵行·二模）“角,αβ的终边关于y 轴对称”是“cos cos 0αβ+="的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条许 D ．既不充分也不必要各件【答案】B 【解析】【分析】先证明充分性，再举出反例说明必要性不成立，得到答案. 【详解】由角,αβ的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，可知cos cos αβ=-，即cos cos 0αβ+=成立，充分性成立；当cos cos 0αβ+=时，角,αβ的终边关于y 轴对称或(21),k k Z αβπ=++∈，所以“角,αβ的终边关于y 轴对称”是“cos cos 0αβ+=”的充分不必要条件，故选：B.7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（） A ．6π=ϕB ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈【答案】D 【解析】【分析】由已知得()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，由2πϕ<可求得ϕ，可判断A 选项，由此有()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对于B ，由,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦得12363x πππ-≤-≤-，由正弦函数的单调性可判断；对于C ，由[],x ππ∈-得12366x πππ-≤-≤，由此得()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=；对于D ，()11+2sin +336f x x πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈. 【详解】解：因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32k k Z ππϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故A 不正确；所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于B ，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间,2单调递增，故B 不正确；对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=，故C 不正确；对于D ，若()f x θ+为偶函数，且()()111+2sin +2sin +36336f x x x ππθθθ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，故选：D.8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()23sin cos cos 0f x x x x ωωωω+>，若函数f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简解析式，然后利用正弦函数的单调性解决即可. 【详解】函数()()()2313sin cos cos 0sin 21cos222f x x x x x x ωωωωωω=+>=++311sin 2cos2222x x ωω=++1sin 262x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2,2666x πππωωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，得26232262k k ππωππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，k ∈Z ，解12233k k ω+≤≤+，k ∈Z .又因为ω>0，12222πππω⨯≥-，所以k ＝0，所以实数ω的取值范围是12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B9．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数()y f x =的图像，则函数()f x 可能是（）A ．sin y x x =B ．cos y x x =C ．sin cos y x x x x =+D ．sin cos y x x x x =-【答案】C 【解析】【分析】由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可. 【详解】由图可知：()f x 是非奇非偶函数，且在y 轴右侧，先正后负．若()sin f x x x =，则()()()sin sin f x x x x x -=--=，所以函数sin y x x =为偶函数，与条件矛盾，A 错，若()cos f x x x =，则()()()cos cos f x x x x x -=--=-，所以函数cos y x x =为奇函数，与条件矛盾，B 错，若()sin cos f x x x x x =-，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2sin 04f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，与所给函数图象不一致，D 错，若()sin cos f x x x x x =+，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当304x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，又2()4f π=， ()04f π-=，所以函数sin cos y x x x x =+为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，故选：C ．10．（2022·北京·北大附中三模）如图矩形,6ABCD AB =，沿PQ 对折使得点B 与AD 边上的点1B 重合，则PQ 的长度可以用含α的式子表示，那么PQ 长度的最小值为（）A ．4B ．8C ．2D 93【答案】D 【解析】【分析】设PQ y =，由三角比的定义可得sin PB y α=，sin cos2PA y αα=⋅，继而求得()262sin 1sin y αα=-，令()()221g t t t =-和2sin t α⎛=∈ ⎝⎭，求导可得()g t 的最大值为：343g =⎝⎭PQ 长度的最小值. 【详解】设PQ y =，1PB PB =，11180APB B PB ∠+∠=，12180B PB α+∠=，则12APB α∠=，则有sin PB y α=和11cos cos2PA PB APB PB ∠α==，代入6AB PA PB =+=，解得：()()266sin 1cos22sin 1sin y αααα==+-，令()()221g t t t =-和2sin t α⎛=∈ ⎝⎭，导函数()226g t t '=-，即可得()g t 的最大值在3t =此时343g =⎝⎭min 93y =，故选：D .二、填空题11．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知tan 2α=，则222222cos 2sin 2cos 3sin sin 1cos 2αααααα--+=++_________．【答案】16799-##68199-【解析】【分析】利用同角间的三角函数关系，把待求式化为关于tan α的式子，然后代入已知计算．【详解】2222222222222222cos 2sin 2cos 3sin cos 2sin 2cos 3sin sin 1cos 2sin sin cos cos 2(sin cos )αααααααααααααααα----+=+++++++22222222cos 2sin 2cos 3sin 2sin cos 2sin 3cos αααααααα--++=+222212tan 23tan 2tan 12tan 3αααα--+=++ 182128183--=+++16799=-．故答案为：16799-． 12．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））将最小正周期为π的函数()2sin(2)1(0)6f x x πωω=-+>的图像向左平移4π个单位长度，得到()g x 的图像，则函数()g x 的一个对称中心为___________【答案】,13π⎛⎫⎪⎝⎭，不唯一【解析】【分析】根据最小正周期求出ω ，再根据函数平移规则即可求出()g x 的解析式. 【详解】由题意，T π= ，2,12ππωω∴== ，即()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，()f x 向左平移4π得()g x ， ()2sin 212sin 21463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，令2,33x x πππ+== ，∴()g x 的一个对称中心为,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭；故答案为： ,13π⎛⎫⎪⎝⎭.13．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数2()322cos 1f x x x =-+，且方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[2,1]- 【解析】【分析】由题意可得()a f x =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，a 的取值范围即为函数()f x 的值域.【详解】2()322cos 132cos 22sin(2)6f x x x x x x π-+=-=-，方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，即()a f x =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根， ,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，得2()1f x -≤≤，即a 的取值范围是[2,1]-，故答案为：[2,1]-14．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数ππ()sin()sin()44f x x x =+-给出下列四个结论： ①f (x )的值域是[1,1]-； ②f (x )在π[0,]2上单调递减： ③f (x )是周期为π的周期函数④将f (x )的图象向左平移π2个单位长度后，可得一个奇函数的图象其中所有正确结论的序号是___________．【答案】②③ 【解析】【分析】先将()f x 化简，然后根据余弦函数的性质逐一判断即可【详解】ππ()sin()sin()44f x x x =+-2222()()x x x x =+ 2211cos sin 22x x =- 1cos22x =所以()f x 的值域为11[,]22- ，故①错误；令2π2π2π,k x k k Z ≤≤+∈ ，πππ,2k x k k Z ∴≤≤+∈当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为π[0,]2，故②正确；()f x 的周期2ππT ω== ,故③正确()f x 的图像向左平移π2个单位长度后得到的函数图像对应的解析式为π1π1()()cos[2()]cos 22222g x f x x x =+=+=- ，是偶函数，故④错误故答案为：②③ 三、解答题15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值； (2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．【答案】(1)2；π6ϕ=；(2)71A =. 【解析】【分析】（1）利用()f x 的解析式求出周期，再由给定的最高点P 求出ϕ作答.（2）由（1）求出点M ，N 的坐标，结合图形求出PMN ∠和PNM ∠的正切，再利用和角公式计算作答.(1)函数()sin(π)f x A xϕ=+的最小正周期2π2πT==，因1(,)3P A是函数()f x图象的最高点，则1ππ2π,Z32k kϕ+=+∈，而02πϕ≤≤，有0k=，π6ϕ=，所以函数()f x的最小正周期为2，π6ϕ=.(2)由（1）知，π()sin(π)6f x A x=+，由ππ06x+=得16x=-，即点1(,0)6M-，由ππ2π6x+=得116x，即点11(,0)6N，于是得tan211()36APMN A∠==--，2tan111363APNM A∠==-，而π4PMN PNM∠+∠=，则22tan tan3tan()121tan tan123A APMN PNMPMN PNMPMN PNM A A+∠+∠∠+∠===-∠⋅∠-⋅，又0A>，解得712A=-，所以712A=-.16．（2022·上海奉贤·二模）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处．20AB=km，10BC=km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为y km．(1)设BAOθ∠=（弧度），将y表示成θ的函数并求函数的定义域；(2)假设铺设的污水管道总长度是(10103+km ，请确定污水处理厂的位置．【答案】(1)2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤(2)位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 103km 【解析】【分析】（1）依据题给条件，先分别求得OA OB OP 、、的表达式，进而得到管道总长度y 的表达式，再去求其定义域即可解决；（2）先解方程2010sin 1010103cos θθ-+=+π6θ=，再去确定污水处理厂的位置. (1)矩形ABCD 中，20AB =km ，10BC =km ，DP PC =，DC PO ⊥，BAO ABO θ∠=∠=则()10km,1010tan km cos OA OB OP θθ===-， 201010tan cos y OA OB OP θθ∴=++=+- 则2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤(2)令2010sin 1010103cos θθ-+=+π10sin 10320,20sin 20,3θθθ⎛⎫∴+=∴+= ⎪⎝⎭则πsin 1,3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又π04θ≤≤，即ππ7π3312θ≤+≤，则ππ32θ+=，则π6θ=此时π101010tan 103(km)63OP =-=所以确定污水处理厂的位置是在线段AB的中垂线上且离AB103km。

高考数学复习专题训练—三角函数的图象与性质(含解析)

高考数学复习专题训练—三角函数的图象与性质一、单项选择题1.(2021·山东青岛一模)已知角θ终边上有一点P(tan4π3,2sin(-17π6)),则cos θ的值为()A.12B.-12C.-√32D.√322.(2021·新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sin x-π6单调递增的区间是()A.(0,π2) B.(π2,π) C.(π,3π2) D.(3π2,2π)3.(2021·山西临汾一模)已知θ=π3,则下列各数中最大的是()A.sin(sin θ)B.sin(cos θ)C.cos(sin θ)D.cos(cos θ)4.(2021·浙江金华期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)的图象经过点(π24,0),一条对称轴方程为x=π6,则函数f(x)的周期可以是()A.3π4B.π2C.π4D.π125.(2021·广东广州月考)将函数f(x)=sin(2x+θ)(-π2<θ<π2)的图象向右平移φ(φ>1)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P(0,√32),则φ的值可以是()A.3π2B.5π6C.π2D.π66.(2021·山东日照期末)已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有6个零点,则实数ω的取值范围为()A.[176,+∞) B.(176,+∞) C.[176,103) D.(176,103)7.(2021·江西临川期末)函数f(x)=x-1x ·cos(π2x)的大致图象可能为()8.(2021·湖北荆门模拟)已知函数f (x )=a sin 2x-b sin 2x (a>0,b>0),若f (π2)=f (5π6),则下列结论正确的是( )A.f (0)<f (12)<f (1)B.f (0)<f (1)<f (12)C.f (12)<f (1)<f (0)D.f (1)<f (12)<f (0)二、多项选择题9.(2021·山西太原月考)已知函数f (x )=2(2|cos x|+cos x )sin x ,则下列结论错误的是( ) A.当x ∈[0,3π2]时,f (x )∈[0,3] B.函数f (x )的最小正周期为π C.函数f (x )在区间[π,5π4]上单调递减 D.函数f (x )的对称中心为(2k π,0)(k ∈Z )10.(2021·辽宁锦州模拟)已知ω>13,函数f (x )=sin (2ωx -π3)在区间(π,2π)上没有最值,则下列结论正确的是( )A.f (x )在区间(π,2π)上单调递增B.ω∈[512,1124]C.f (x )在区间[0,π]上没有零点D.f (x )在区间[0,π]上只有一个零点三、填空题11.(2021·四川绵阳期中)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 215°,cos 215°),则α=.12.(2021·海南海口中学期末)已知函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在区间(0,4π3)上单调递增,在区间(4π3,2π)上单调递减,则ω=.13.(2021·河北石家庄期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π3)满足f(x+π)=f(x),f(π12)=1,则f(-π12)的值等于.14.(2021·浙江金华月考)已知函数f(x)=sin 4x-2cos 4x,若对任意的x∈R都有f(x)≥f(x0),则f(x0+π8)=.答案与解析1.D 解析因为tan 4π3=tan (π+π3)=tan π3=√3,sin (-17π6)=sin (-2π-π+π6)=sin (-π+π6)=-sin π-π6=-sin π6=-12,所以2sin (-17π6)=-1,所以P (√3,-1).所以cos θ=√3√(√3)2+(-1)=√32. 2.A 解析由x-π6∈[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z ,得x ∈[-π3+2kπ,2π3+2kπ],k ∈Z .当k=0时,得函数f (x )=7sin (x -π6)的单调递增区间为[-π3,2π3],∵(0,π2)∈[-π3,2π3],∴(0,π2)是函数f (x )的一个单调递增区间.故选A . 3.D 解析当θ=π3时,sin θ=√32,cos θ=12,则sin(sin θ)=sin √32=cos (π2-√32),sin(cos θ)=sin 12=cos (π2-12),cos(sin θ)=cos √32,cos(cos θ)=cos 12,∵0<12<π2−√32<√32<π2−12<π,且函数y=cos x 在区间(0,π)上单调递减, ∴cos 12>cos (π2-√32)>cos √32>cos (π2-12),∴最大的是cos 12,即最大的是cos(cos θ).4.B 解析由题意得π6−π24=2k+14T (k ∈Z ),则T=π4k+2(k ∈Z ).结合四个选项可知,只有选项B 符合.5.B 解析依题意g (x )=sin[2(x-φ)+θ]=sin(2x+θ-2φ),因为f (x ),g (x )的图象都经过点P (0,√32),所以{sinθ=√32,sin (θ-2φ)=√32,因为-π2<θ<π2,所以θ=π3,θ-2φ=π3+2k π或θ-2φ=2π3+2k π(k ∈Z ),即φ=-k π或φ=-k π-π6(k ∈Z ).结合四个选项可知,只有选项B 符合.6.C解析令f(x)=0,即ωx+π3=kπ(k∈Z),故x=-π3ω+kπω(k∈Z),又ω>0,可知在区间[0,2π]上,从左到右f(x)的第1个零点为x1=-π3ω+πω=2π3ω,而第6个零点为x6=-π3ω+6πω=17π3ω,第7个零点为x7=-π3ω+7πω=20π3ω,故17π3ω≤2π<20π3ω,解得176≤ω<103.7.A解析函数f(x)=(x-1x )cos(π2x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)=(-x-1-x)cos(-πx2)=-(x-1 x )cos(πx2)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除B,C选项;当0<x<1时,x-1x=x2-1x<0,0<πx2<π2,则cos(πx2)>0,所以f(x)<0,排除D选项.8.B解析由题意得f(x)=a sin 2x-b1-cos2x2=√a2+b24·sin(2x+φ)-b2(其中tanφ=b2a,0<φ<π2).令g(x)=sin(2x+φ),由f(π2)=f(5π6),得g(π2)=g(5π6),则g(π2+5π62)=±1,即sin(4π3+φ)=±1,解得φ=-5π6+kπ,k∈Z,∴φ=π6,∴g(x)=sin(2x+π6).故g(0)=12,g(1)=sin(2+π6)>sinπ6=12,又函数g(x)的图象关于直线x=π6对称且函数g(x)在区间[0,π6]上单调递增,π6−12<1-π6,∴g(12)>g(1),于是g(0)<g(1)<g(12),从而f(0)<f(1)<f(12).9.ABD解析依题意f(x)={3sin2x,-π2+2kπ≤x<π2+2kπ,-sin2x,π2+2kπ≤x<3π2+2kπ(k∈Z),画出函数f(x)的大致图象如图所示.由图象知,当x ∈[0,3π2]时,f (x )∈[-1,3],故A 错误;函数f (x )的最小正周期为2π,故B 错误;函数f (x )在区间[π,5π4]上单调递减,故C 正确;函数f (x )的对称中心为(k π,0)(k ∈Z ),故D 错误.10.BD 解析由函数f (x )=sin (2ωx -π3)在区间(π,2π)上没有最值,得2k π-π2≤2ωπ-π3<4ωπ-π3≤2k π+π2,或2k π+π2≤2ωπ-π3<4ωπ-π3≤2k π+3π2,k ∈Z ;解得k-112≤ω≤k 2+524,或k+512≤ω≤k2+1124,k ∈Z ,由T2≥2π-π=π,得T ≥2π,即2π2ω≥2π,则ω≤12.又ω>13,所以13<ω≤12.所以可取k=0,得ω∈[512,1124],且f (x )在区间(π,2π)上单调递减;所以A 错误,B 正确;当x ∈[0,π]时,2ωx-π3∈[-π3,2ωπ-π3],且2ωπ-π3∈[π2,7π12],所以f (x )在区间[0,π]上只有一个零点,所以C 错误,D 正确. 11.235° 解析由三角函数的定义可得cos α=√sin 2215°+cos 2215°=sin 215°=cos235°,sin α=√sin 2215°+cos 2215°=cos 215°=sin 235°,所以α=235°.12.12 解析由题意f (4π3)=sin (4π3ω-π6)=1⇒4π3ω-π6=2k π+π2(k ∈Z )⇒ω=32k+12(k ∈Z ),若k>0,则ω≥2,T ≤π与已知矛盾;若k<0,ω<0,与已知不符,当k=0时,得ω=12满足题意. 13.-12 解析设f (x )的最小正周期为T ,因为f (x+π)=f (x ),所以nT=π(n ∈N *),所以T=πn =2πω(n ∈N *),所以ω=2n (n ∈N *),又f (π12)=1,所以当x=π12时,ωx+φ=n ·π6+φ=π2+2k π(n ∈N *,k ∈Z ),所以φ=π2+2k π-n ·π6(n ∈N *,k ∈Z ),因为0<φ<π3,所以0<π2+2k π-n ·π6<π3(n ∈N *,k ∈Z ),整理得1<n-12k<3(n ∈N *,k ∈Z ),因为n-12k ∈Z (n ∈N *,k ∈Z ),所以n-12k=2(n ∈N *,k ∈Z ),所以φ=π2+2k π-(2+12k )·π6=π6(k ∈Z ),则n ·π6+π6=π2+2k π(n ∈N *,k ∈Z ),所以nπ6=π3+2k π(n ∈N *,k ∈Z ),所以f (-π12)=sin [2n ·(-π12)+π6]=sin -nπ6+π6=sin (-π3-2kπ+π6)=sin (-π6)=-12(n ∈N *,k ∈Z ).14.0 解析由于f (x )=sin 4x-2cos 4x=√5sin(4x-φ)(其中tan φ=2),所以函数f (x )的最小正周期T=2π4=π2,而f (x )≥f (x 0),因此f (x )在x=x 0处取得最小值,而x 0+14T=x 0+π8,所以点(x 0+π8,0)是f (x )图象的对称中心,故f x 0+π8=0.。

高考数学专题复习四-4.3三角函数的图象与性质-高考真题练习(附答案)

4.3三角函数的图象与性质考点一三角函数的图象及其变换1.(多选题)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=()A.sin-2xC.cos2-2x答案BC由题图可知,2=2π3-π6=π2,∴T=π,由T=2π|U可知,2π|U=π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),又∵,0φ=0,又∵π6是f(x)的下降零点,∴π3+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=2π3+2kπ,k∈Z,不妨取φ=2π3,则f(x)=sin22=cos22π--2x-2x,故选BC.2.(2016课标Ⅰ文,6,5分)将函数y=2sin2+的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为()A.y=2sin2B.y=2sin2C.y=2sin2tD.y=2sin2t答案D该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin2t2t故选D.易错警示三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x-π4,而不是将2x变为2x-π4.评析本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.3.(2016四川理,3,5分)为了得到函数y=sin2t,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度答案D将y=sin2x的图象向右平行移动π6个单位长度得到y=sin2=sin2t,故选D.评析将y=sin2t y=sin2t.4.(2016北京理,7,5分)将函数y=sin,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin2x的图象上,则()A.t=12,s的最小值为π6的最小值为π6C.t=12,s的最小值为π3的最小值为π3答案A点,t在函数y=sin2t,∴t=sin2×π4=12.函数y=sin的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y=sin2x的图象,故s的最小值为π6.5.(2015陕西理,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C因为函数+φ+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.评析在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如y=Asin(ωx+φ)+k 的函数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的值.6.(2014课标Ⅰ理,6,5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为()答案C由题图可知:当x=π2时,OP⊥OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∈π2,OM=cosx,设点M到直线OP 的距离为d,则O=sinx,即d=OMsinx=sinxcosx,∴f(x)=sinxcosx=12sin2x≤12,排除B,故选C.7.(2012课标文,9,5分)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=()A.π4B.π3C.π2D.3π4答案A由题意得2π=254π4,∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),∴π4+φ=kπ+π2(k∈Z),φ=kπ+π4(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=π4,故选A.评析本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.8.(2016课标Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=χ2-π6(k∈Z)B.x=χ2+π6(k∈Z)C.x=χ2-π12(k∈Z)D.x=χ2+π12(k∈Z)答案B将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度得到函数y=2sin2π122π6象,由2x+π6=kπ+π2(k∈Z),可得x=χ2+π6(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=χ2+π6(k∈Z),故选B.易错警示将y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度,应该得到y=2sin2π12,而不是y=2sin2π12.9.(2022浙江,6,4分)为了得到函数y=2sin3x的图象,只要把函数y=2sin3π5)A.向左平移π5个单位长度B.向右平移π5个单位长度C.向左平移π15个单位长度D.向右平移π15个单位长度答案D因为y=2sin3=2sin3y=2sin3π15个单位长度,可以得到y=2sin3x的图象,故选D.10.(2022全国甲文,5,5分)将函数f(x)=sin Bω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C,若C 关于y轴对称,则ω的最小值是() A.16 B.14 C.13 D.12答案C设平移后的曲线C对应的函数为y=g(x),则g(x)=sin=sin B+π2又曲线C关于y轴对称,∴π2+π3=π2+kπ(k∈Z),∴ω=2k+13(k∈Z).又ω>0,∴ωmin=13.故选C.11.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=()A.sinB.sin2C.cos2D.cos−22π3−π6=π2,∴T=π,由Tπ,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),答案BC由题图可知,0,∴=0,又∵π6是f(x)的下降零点,∴π3+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=2π3+2kπ,k∈Z,不妨取φ=2π3,则f(x)=sin2=sin2=cos2f(x)=sin2=sinπ−2=2,故选BC.12.(2021全国甲文,15,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则=.2析式即可求出解析02在f(x)的图象上,∴34=13π12−π3=3π4,则T=π,所以|ω|=2π=2,不妨取ω=2,则函数f(x)=2cos(2x+φ2代入得,2×13π12+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-13π6+2kπ,k∈Z,∴=2cos2×π2−13π6+2χ=−3,k∈Z.13.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=sinx+3cosx的图象至少向右平移个单位长度得到.答案2π3解析设f(x)=sinx-3cosx=2sin+53π,g(x)=sinx+3cosx=2sin将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin t=2sin的图象,所以x-φ+π3=2kπ+x+5π3,k∈Z,此时φ=-2kπ-4π3,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为2π3.14.(2015湖南文,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=.答案π2解析由=2sinB,消去y,得sinωx-cosωx=0,即2sin B-解得x=χ+π4,k∈Z.取k=0,1,,2,-2,又两交点的距离为23,+(2+2)2=(23)2,解得ω=π2.15.(2014重庆文,13,5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)>0,-π2≤φ<的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象,则=.答案解析y=sinx y=sin2析式即可求出解析02在f(x)的图象上,∴34=13π12−π3=3π4,则T=π,所以|ω|=2π=2,不妨取ω=2,则函数f(x)=2cos(2x+φ2代入得,2×13π12+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-13π6+2kπ,k∈Z,∴=2cos2×π2−13π6+2χ=−3,k∈Z.13.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=sinx+3cosx的图象至少向右平移个单位长度得到.答案2π3解析设f(x)=sinx-3cosx=2sin+53π,g(x)=sinx+3cosx=2sin将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin t=2sin的图象,所以x-φ+π3=2kπ+x+5π3,k∈Z,此时φ=-2kπ-4π3,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为2π3.14.(2015湖南文,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=.答案π2解析由=2sinB,消去y,得sinωx-cosωx=0,即2sin B-解得x=χ+π4,k∈Z.取k=0,1,,2,-2,又两交点的距离为23,+(2+2)2=(23)2,解得ω=π2.15.(2014重庆文,13,5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)>0,-π2≤φ<的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象,则=.答案解析y=sinx y=sin即=sinπ4=16.(2013课标Ⅱ文,16,5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin2,则φ=.答案56π解析令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移π2个单位后得f=cos2t2+φ=cos(2x+φ-π)=sin(2x+φ-π)+π2=sin2x+φ-π2,因为与y=sin2+图象重合,所以φ-π2=π3+2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+56π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ=56π.17.(2011浙江文,18,14分)已知函数+φ,x∈R,A>0,0<φ<π2.y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=2π3,求A的值.解析(1)由题意得,T=2ππ3=6.因为P(1,A)在+φ的图象上,所以φ=1.又因为0<φ<π2,所以φ=π6.,-A).(2)设点Q的坐标为(x由题意可知π3x0+π6=3π2,得x0=4,所以Q(4,-A).连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ=2π3,由余弦定理得cos∠PRQ=B2+R2-P22B·B=-12,解得A2=3.又A>0,所以A=3.评析本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识.在(2)中,求出点Q 坐标,根据△PRQ 的边角关系,列出关于A 的方程是求解关键.考点二三角函数的性质及其应用1.(2018课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)=tan1+tan 2x的最小正周期为()A.π4B.π2C.πD.2π答案C 本题考查三角函数的周期.解法一:f(x)的定义域为Ux ≠kπ+2,k ∈Z .f(x)=sincos 1+sin cos2=sinx·cosx=12sin2x,∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.解法二:f(x+π)=tan(rπ)1+tan 2(x+π)=tan 1+tan 2x =f(x),∴π是f(x)的周期.f π2=tan r π21+tan 2r π2,tan +π2=sin r π2cos r π2=cos -sin =-1tan ,∴f π2=-tan1+tan 2x ≠f(x),∴π2不是f(x)的周期,∴π4也不是f(x)的周期.故选C.方法总结函数周期的求法:(1)定义法:若f(x+T)=f(x),T≠0,则T 是f(x)的一个周期.(2)若T 是函数y=f(x)的周期,则kT(k∈Z 且k≠0)也是y=f(x)的周期.(3)若定义域内都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1op (f(x)≠0)或f(x+a)=-1op (a 是常数且a≠0,f(x)≠0),则f(x)是以2|a|为周期的周期函数.(4)若f(x)的图象关于直线x=a 和x=b 对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)关于点(a,0)和直线x=b 对称,则4|a-b|是f(x)的一个周期.2.(2018课标Ⅰ文,8,5分)已知函数f(x)=2cos 2x-sin 2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4答案B本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质.f(x)=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin2x=4-3×1−cos22=52+3cos22,∴f(x)的最小正周期T=π,当cos2x=1时,f(x)取最大值,为4.故选B.解题关键解题关键是通过三角恒等变换化简函数解析式3.(2017课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)=sin2+3()A.4πB.2πC.πD.π2答案C本题考查三角函数的性质.由题意得ω=2,所以函数f(x)=sin2T=2π=π.故选C.4.(2017天津,理7,文7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π24答案A的最小正周期大于2π,∴4=11π8-5π8=3π4,得T=3π,则ω=2π=23,又5π8+φφ=1.∴5π12+φ=2kπ+π2,k∈Z,∴φ=2kπ+π12,k∈Z.∵|φ|<π,∴φ=π12,故选A.易错警示根据f(x)的最小正周期T>2π,可知14T=11π8-5π8=3π4,得T=3π.若不注意已知条件,则容易出现34T=3π4,得T=π,从而造成错误.思路分析由三角函数的图象(图略)可知4=11π8-5π8=3π4,得T=3π,ω=23,,2代入y=f(x)中解出φ的值即可.5.(2017山东文,7,5分)函数y=3sin2x+cos2x的最小正周期为()A.π2B.2π3C.πD.2π答案C本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质.y=3sin2x+cos2x=2sin2从而最小正周期T=2π2=π.6.(2017课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)=15sin+cos()A.65B.1C.35D.15答案A∵f(x)=15sin+cos tcos cosx+12sinx=35sinx+5=35×2sin=65sin∴f(x)的最大值为65.故选A.一题多解∵cos t-x-x x,∴f(x)=65sin max=65.故选A.7.(2016课标Ⅱ文,11,5分)函数-x的最大值为()A.4B.5C.6D.7答案B f(x)=1-2sin2x+6sinx=-2sint+112,当sinx=1时,f(x)取得最大值5,故选B.思路分析利用二倍角的余弦公式及诱导公式将-x转化为关于sinx的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sinx∈[-1,1].8.(2016山东理,7,5分)函数f(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)的最小正周期是()A.π2B.πC.3π2D.2π答案B∵f(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)=4sin2,∴T=2π2=π,故选B.评析本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换,属中档题.9.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关答案B f(x)=sin2x+bsinx+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c=12(1-cos2x)+c,此时f(x)的周期为π;若b≠0,则f(x)的周期为2π,所以选B.10.(2015安徽理,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)答案A∵ω>0,∴T=2π=π,∴ω=2.又即φ=-1,得φ+4π3=2kπ+3π2,k∈Z,即φ=2kπ+π6,k∈Z,又∵φ>0,∴可取f(x)=Asin2,∴f(2)=Asin4-4+,f(0)=Asinπ6.∵π<4+π6<3π2,∴f(2)<0.∵-7π6<-4+π6<-π,且y=sinx在-7π6,-π上为减函数,∴sin-4+-=sinπ6,且sin-4+从而有0<f(-2)<f(0).故有f(2)<f(-2)<f(0).评析本题考查三角函数的周期性、单调性、最值和三角函数值的大小比较.准确判断4+π6与-4+π6的范围是解题的关键.11.(2015课标Ⅰ理,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.χ-14B.2χ-14C.t14,kD.2t14,2k答案D由题图可知2=54-14=1,所以T=2.结合题图可知,在-34的一个周期)内,函数f(x)的单调递减区间为-14由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为2t14,2k故选D.12.(2014课标Ⅰ文,7,5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos2,④y=tan,最小正周期为π的所有函数为()A.①②③B.①③④C.②④D.①③答案A ①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π;②由图象知y=|cosx|的最小正周期为π;③y=cos 2T=2π2=π;④y=tan 2t T=π2.因此选A.评析本题考查三角函数的周期性,含有绝对值的函数可先变形再判断,或运用图象判断其最小正周期.13.(2012课标理,9,5分)已知ω>0,函数f(x)=sin B ,π单调递减,则ω的取值范围是()2C. D.(0,2]答案A 由π2<x<π得χ2+π4<ωx+π4<ωπ+π4,又y=sinα32π上递减,π4≥π2,+π4≤32π,解得12≤ω≤54,故选A.评析本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题.14.(2011课标理,11,5分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)>π,且f(-x)=f(x),则()A.f(x)在0,B.f(x)C.f(x)在0,D.f(x)答案A f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin ωx+φ+π4,∵周期T=2π=π,∴ω=2.又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,∴φ+π4=kπ+π2,φ=kπ+π4,k∈Z.又|φ|<π2,∴φ=π4,∴f(x)=2sin 2=2cos2x,易得f(x)在,故选A.评析本题考查三角公式和三角变换,考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的单调性、奇偶性的判定,属中等难度试题.15.(2011课标文,11,5分)设函数f(x)=sin 2+cos 2+则()A.y=f(x)在,其图象关于直线x=π4对称B.y=f(x)在,其图象关于直线x=π2对称C.y=f(x)在,其图象关于直线x=π4对称D.y=f(x)在,其图象关于直线x=π2对称答案D f(x)=sin2+cos2=2·sin2=2cos2x,其部分图象如图.故选D.评析本题考查三角恒等变换、诱导公式及三角函数的图象等知识,考查学生综合应用三角知识分析和解决问题的能力,属中等难度试题.16.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)>0,|U,x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x),则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B依题意,有·-+φ=mπ,·π4+φ=nπ+π2(m、n∈Z),∴=2(tp+1, =2(rp+14又|φ|≤π2,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=π4,由f(x),得π≥5π36-π18,∴ω≤12,取n=2,得ω=9,f(x)=sin9.当m+n=-1时,φ=-π4,ω=4n+3,取n=2,得ω=11,f(x)=sin此时,当536π时,11x-π4∈2318π,f(x)不单调,不合题意.故选B.17.(2021北京,7,4分)已知函数f(x)=cos x-cos2x,则该函数为()A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2C.奇函数,最大值为98D.偶函数,最大值为98答案D f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos2x=f(x),所以f(x)为偶函数.f(x)=cos x-cos2x=cos x-(2cos2x-1)=-2cos2x+cos x+1=-2cos+98,当cos x=14时,f(x)max=98.故选D.解题指导:先判断函数的奇偶性,再借助二倍角的余弦公式将f(x)=cos x-cos2x转化为关于cos x的二次函数,进而在[-1,1]范围内求二次函数的最值.18.(2021全国乙文,4,5分)函数f(x)=sin3+cos3的最小正周期和最大值分别是() A.3π和2 B.3π和2 C.6π和2 D.6π和2答案C解题指导:先对函数f(x)进行三角恒等变换,再利用三角函数的周期公式、求值域的方法进行求解.解析由题意知:f(x)=sin3+cos3=3cos=2sin T=2π13=6π;当,即x=34π+6kπ,k∈Z时,f(x)取最大值2,故选C.易错警示对三角恒等变换公式不熟练,不能将函数化成y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式,导致后面无法求解.19.(2021新高考Ⅰ,4,5分)下列区间中,函数f(x)=7sin()A.0,B.πC.π,D.2π答案A解题指导:由三角函数的单调递增区间表示出f(x)=7sin x 的取值范围,结合选项分析即可.解析f(x)=7sin令2kπ-π2≤−π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得2kπ-π3≤x≤2kπ+2π3,k∈Z,令k=0,得-π3≤≤2π3.故选A.20.(2022北京,5,4分)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则()A.f(x)在−π2B.f(x)在−π4C.f(x)在D.f(x答案C f(x)=cos2x-sin2x=cos2x,令2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z,解得kπ<x<kπ+π2,k∈Z,则f(x)的单调递减区间为χ,χ+k∈Z;令2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z,解得kπ-π2<x<kπ,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为χ−π2,χ,k∈Z.对于A,f(x)在−π2,−A错误;对于B,f(x)在−π0上单调递增,在B错误;对于C,f(x)在0,C正确;对于D,f(x D错误.故选C.21.(2022新高考Ⅰ,6,5分)记函数f(x)=sin B b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π,且y=f(x)的图象2中心对称,则() A.1 B.32 C.52 D.3答案A∵2π3<T<π,ω>0,∴2π3<2π<π,∴2<ω<3①.又y=f(x2中心对称,∴=2,b3π2+π4=χ(∈Z),从而ω=2316(k∈Z)②,由①②知ω=52(取k=4),∴f(x),∴f=sin32π+2=1.22.(2021全国乙理,7,5分)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π个单位长度,得到函数y=sin f(x)=()B.+C.sin2D.2答案B将函数y=sinπ3个单位长度可得函数y=sin=sin+象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=f(x)的图象,则f(x)B.易错警示(1)忽略图象的平移规律:“左加右减”,从而错选A;(2)对横坐标伸长到原来的2倍理解不清,误认为是x的系数乘2,从而错选D.23.(多选)(2022新高考Ⅱ,9,5分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<0中心对称,则()A.f(x)在区间0,12B.f(x)在区间−π12C.直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴D.直线y x是曲线y=f(x)的切线答案AD 因为f (x 0对称,所以=0,即4π3+φ=k π,k ∈Z,故φ=k π-4π3,k ∈Z .结合0<φ<π,得φ=2π3,所以f (x )=sin 2对于A ,令π2+2k π≤2x +2π3≤3π2+2k π,k ∈Z,解得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z,故f (x )的单调递减区间为-π12+k π,5π12+k π,k ∈Z .显然0,⫋−π12+χ,5π12+χ,k ∈Z,故.对于B ,f '(x )=2cos 2令f '(x )=0,得2x +2π3=k π+π2,k ∈Z,即x =χ2−π12,k ∈Z .又因为x ∈−π12x =5π12,故f (x )在区间−π12k ∈Z,故B 错误.对于C ,令2x +2π3=π2+k π,k ∈Z,解得x =-π12+χ2,k ∈Z,故C 错误.对于D ,结合B ,令2cos 2,得2x +2π3=2π3+2k π,k ∈Z 或2x +2π3=4π3+2k π,k ∈Z,解得x =k π,k ∈Z 或x =π3+k π,k ∈Z,故其中一个切点为0,y =f (x )在该点处的切线方程为y x ,即y x ,故D 正确.故选AD .24.(2022全国甲理,11,5分)设函数f (x )=sin B 0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是()答案C 由x ∈(0,π)得ωx +π3∈χf (x )=sin B 0,π)内恰有三个极值点、两个零点,则ωx +π3的取值应包括π2,π,3π2,2π,5π2,所以5π2<ωπ+π3≤3π,解得136<≤83,即ω故选C .25.(2022北京,13,5分)若函数f (x )=A sin x -3cos x 的一个零点为π3,则A =;=.答案1;-2解析由题意知,即A sin π3−3cos π3=0,解得A =1,所以f (x )=sin x -3cos =2sin=2sin=−2sinπ4=−2=−2.26.(2022全国乙理,15,5分)记函数f (x )=cos (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f (T )x =π9为f (x )的零点,则ω的最小值为.答案3解析∵T =2π,ω>0,f (T )∴cos×2π+=cosφ∵0<φ<π,∴φ=π6,∴f(x)=cos B又,∴,∴π9+π6=kπ+π2(k∈Z),∴9=+13(k∈Z),∴ω=9k+3(k∈Z).∵ω>0,∴k=0时,ω取得最小值3.27.(2021全国甲理,16,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f-7π4f(x)-f4π3>0的最小正整数x为.答案2解题指导:首先通过函数图象,确定ω和φ的取值,然后分别求出f−调性确定最小正整数x的值.解析设函数f(x)的最小正周期为T,则3413π12−π3=3π4,解得T=π,π,解得|ω|=2,不妨取ω=2,此时f(x)=2cos(2x+φ).0代入上式,得2π3+=π2+2kπ,k∈Z,∴φ=-π6+2kπ,k∈Z,取φ=-π6,∴f(x)=2cos26∴f−=−7π2=2cosπ3=1,==2cosπ2=0,∴不等式可化为(f(x)-1)f(x)>0,解得f(x)>1或f(x)<0.由f(x)>1,得2cos2,即cos2>12,①由f(x)<0,得cos2,②由①得-π3+2kπ<2x-π6<π3+2kπ,k∈Z,解得-π12+kπ<x<π4+kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=1,此时,11π12<<5π4;由②得π2+2kπ<2x-π6<3π2+2kπ,k∈Z,解得π3+kπ<x<5π6+kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=0,此时,π3<<5π6.综上,最小正整数x为2.方法点拨解本题的关键是能够正确求解f(x)的解析式,然后能结合三角函数的单调性求出x的取值范围.28.(2017课标Ⅱ文,13,5分)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.答案5解析本题主要考查三角函数的最值.由题意可知f(x)=2cosx+sinx=5sin(x+φ)(tanφ=2),∴f(x)的最大值为5.29.(2015天津文,14,5分)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.答案解析由已知得f(x)=2sin B令2kπ-π2≤ωx+π4≤2kπ+π2,k∈Z,由ω>0,得2χ-34π≤x≤2χ+π4, k∈Z,当k=0时,得f(x)的单调递增区间为-3π4所以(-ω,ω)⊆-3π4≤−ω,又y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以ω2+π4=kπ+π2,k∈Z,解得ω2=kπ+π4,k∈Z,又所以30.(2013课标Ⅰ,理15,文16,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=.答案解析由辅助角公式得cos=5sin(x-φ),其中由x=θ时,f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+π2,k∈Z,即θ=φ+π2+2kπ,∴cosθ=cos评析本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.31.(2018北京文,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-π3,m上的最大值为32,求m的最小值.解析(1)f(x)=12-12cos2x+=sin2t+12.所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.(2)由(1)知f(x)=sin2t+12.由题意知-π3≤x≤m.所以-5π6≤2x-π6≤2m-π6.要使得f(x)在-π3,m上的最大值为32,即sin2t6-π3,m上的最大值为1.所以2m-π6≥π2,即m≥π3.所以m的最小值为π3.32.(2016山东文,17,12分)设f(x)=23sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求.解析(1)f(x)=23sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2=23sin2x-(1-2sinxcosx)=3(1-cos2x)+sin2x-1=sin2x-3cos2x+3-1=2sin+3-1.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是χ-π12,kπ或kt12,k(k∈Z)(2)由(1)知f(x)=2sin+3-1.把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin t+3-1的图象,再把得到的图象向左平移π3个单位,得到y=2sinx+3-1的图象,即g(x)=2sinx+3-1.所以=2sinπ6+3-1=3.方法总结研究三角函数的单调性,首先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的形式,要视“ωx+φ”为一个整体,另外注意A的正负.评析本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质,考查三角函数图象变换.(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式是解题的关键,要视“ωx+φ”为一个整体.(2)三角函数图象变换仅对“x”而言.33.(2016天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tanxsinπ2-x·cos x-π3-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-π4.解析(1)f(x)的定义域为Ux≠2+kπ,∈Z.f(x)=4tanxcosxcos-3=4sinxcos-3cos+sin-3=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x+3(1-cos2x)-3=sin2x-3cos2x=2sin2t所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,易知函数y=2sinz的单调递增区间是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=-π4,B=U−12+kπ≤≤512∈Z,易知A∩B=-12所以,当x∈-π4,f(x)在区间-π12,在区间-π4.方法总结研究三角函数的各类性质时,首先要将所研究函数利用辅助角公式、降幂扩角公式及两角和差的正弦、余弦公式等价转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,然后类比y=sinx的性质进行研究.评析本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式,三角函数的定义域、最小正周期性、单调性等基础知识.考查运算求解能力.34.(2016北京文,16,13分)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解析(1)因为f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=2sin2B分)所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(4分)依题意,π=π,解得ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=2sin24函数y=sinx的单调递增区间为2χ-π2,2kπ分)由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z).(12分)所以f(x)的单调递增区间为χ-3π8,kπ分)易错警示本题函数解析式中含有参数ω,在用倍角公式时要注意转化成“2ωx”,在求单调区间时,也要注意x的系数.评析本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.35.(2015天津理,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2t(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-π3.解析(1)由已知,有f(x)=1−cos22-sin2-12cos2x=sin2x-14cos2x=12sin2t所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间-π3,在区间-π6,f=-14,f-=-12,f所以,f(x)在区间-π3最小值为-12.36.(2015北京理,15,13分)已知函数f(x)=2sin2cos2-2sin22.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解析(1)因为=sin所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x≤0,所以-3π4≤x+π4≤π4.当x+π4=-π2,即x=-3π4时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f-37.(2015安徽文,16,12分)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,.解析(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=2sin2所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.(2)由(1)的计算结果知,f(x)=2sin2当x∈0,,2x+π4∈由正弦函数y=sinx,当2x+π4=π2,即x=π8时,f(x)取最大值2+1;当2x+π4=5π4,即x=π2时,f(x)取最小值0.综上,f(x)在上的最大值为2+1,最小值为0.评析本题考查三角恒等变换,三角函数的周期性及最值.38.(2015湖北理,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)>的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ02π322πx356Asin(ωx+φ)05-50(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对,0,求θ的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:ωx+φ02π322πx123712561312πAsin(ωx+φ)050-50且函数表达式为f(x)=5sin(2)由(1)知f(x)=5sin得g(x)=5sin2+因为y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,令2x+2θ-π6=kπ,解得x=χ2+π12-θ,k∈Z.由于函数y=g(x),0中心对称,令χ2+π12-θ=5π12,解得θ=χ2-π3,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.39.(2014山东理,16,12分)已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点,3.(1)求m,n的值;(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.解析(1)由题意知f(x)=a·b=msin2x+ncos2x.因为y=f(x),3,-2,所以3=msinπ6+ncosπ6,-2=Lin4π3ncos4π3,即312+-2=-3212n,解得m=3,n=1.(2)由(1)知f(x)=3sin2x+cos2x=2sin2由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin2+2设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知02+1=1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g(x)得sin2因为0<φ<π,所以φ=π6.因此g(x)=2sin2由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ-π2≤x≤kπ,k∈Z,所以函数y=g(x)的单调递增区间为χ-π2,kπ,k∈Z.40.(2014重庆理,17,13分)已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)>0,-π2≤φ<x=π3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若α<求cos+.解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=2π=2.又因为f(x)的图象关于直线x=π3对称,所以2·π3+φ=kπ+π2,k=0,±1,±2,….由-π2≤φ<π2得k=0,所以φ=π2-2π3=-π6.(2)由(1)得=3sin2·2所以sin=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2,所以cos t6因此cos t=sin t cosπ6+cos sinπ6=14××12=41.(2014四川理,16,12分)已知函数f(x)=sin3(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角=45cos求cosα-sinα的值.解析(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,得-π4+2χ3≤x≤π12+2χ3,k∈Z.所以,函数f(x)的单调递增区间为-π42χ3,π12(2)由已知,有sin=45cos2α-sin2α),所以sinαcosπ4+cosαsinπ4π42α-sin2α).即sinα+cosα=45(cosα-sinα)2(sinα+cosα).当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=3π4+2kπ,k∈Z.此时,cosα-sinα=-2.当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=54.由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,此时综上所述,cosα-sinα=-2或评析本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.42.(2014天津理,15,13分)已知函数f(x)=cosx·sin-3cos2(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间-π4.解析(1)由已知,有cos-3cos2=12sinx·cosx-2=14sin2x-=14sin2x-=12sin2t所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间-π4,在区间-π12,f=-14,f-=-12,fπ4=14,所以函数f(x)在闭区间-π4上的最大值为14,最小值为-12.评析本题主要考查两角和与差的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.43.(2014江西理,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈-π2 (1)当a=2,θ=π4时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若求a,θ的值.解析(1)当a=2,θ=π4时,f(x)=sin+2cos(sinx+cosx)-2sinx4-x由x∈[0,π],知π4-x∈-3π4故f(x)在[0,π]最小值为-1.(2)由=0,oπ)=1得2θ-sint=1,由θ∈-π2cosθ≠0,解得=−1,=−π6.44.(2013北京文,15,13分)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值;(2)若,π,且求α的值.解析(1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x=cos2xsin2x+12cos4x=12(sin4x+cos4x)sin4所以f(x)的最小正周期为π2,(2)因为所以sin4因为,π所以4α+π4∈所以4α+π4=5π2.故α=9π16.。

高中试卷-5.4 三角函数的图象和性质(含答案)

5.4 三角函数的图象和性质1. 用“五点法”作三角函数的图象；2. 利用图象变换作三角函数的图象；3. 利用正、余弦函数的图象解三角不等式；4. 利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数；5. 求三角函数的周期；6. 三角函数奇偶性的判断；7. 三角函数奇偶性与周期性的综合运用；8. 求三角函数的单调区间；9. 三角函数对称轴、对称中心；10. 与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题；11. 求定义域；12.三角函数的图像和性质的综合应用.一、单选题1．（浙北四校2021届高三12月模拟）若函数f (x )=2x ，x ∈R ，则f (x )是（）A ．最小正周期为π为奇函数B ．最小正周期为π为偶函数C ．最小正周期为π2为奇函数 D ．最小正周期为π2为偶函数【答案】A 【解析】∵+2x =-sin2x ，∴f（x ）=-sin2x ，可得f （x ）是奇函数，最小正周期T=2π2=π故选：A ．2．（2021·永州市第四中学高一月考）函数1sin y x =-，[]0,2x p Î的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】当0x =时，1y =；当2x p=时，0y =；当πx =时，1y =；当3π2x =时，2y =；当2x p =时，1y =.结合正弦函数的图像可知B 正确.故选B.3．（2021·全国高三课时练习（理））已知函数，则()f x 在[]0,2p 上的零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】由下图可得()f x 在[]0,2p 上的零点的个数为3，故选C.4．（2021·河南濮阳·高一期末（文））下列函数中，为偶函数的是（）A ．()21y x =+B ．2xy -=C ．sin y x =D ．()()lg 1lg 1y x x =++-【答案】C 【解析】对于A,函数关于1x =-对称，函数为非奇非偶函数，故A 错误；对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B 错误；对于C,()()()sin sin sin f x x x x f x -=-==-=，则函数()f x 是偶函数，满足条件，故C 正确；对于D,由1010x x +>ìí->î得11x x >-ìí>î得1x >，函数的定义为()1,+¥，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D 错误.故选：C.5．（2021·河南信阳·°的大小属于区间（A ．1,02æö-ç÷èøB ．æççèC ．10,2æöç÷èøD ．【答案】B 【解析】cos 2020cos(5360220)cos 220cos(18040)cos 40°=´°+°=°=°+°=-°，因为cos y x =在(0,90)°上递减，且304045°<°<°，所以cos30cos 40cos 45°>°>°，cos 40>°>所以cos 40<-°<所以cos 2020<°<故选：B6．（2021·辽宁大连·高一期末）函数()cos 26f x x p æö=+ç÷èø的图像的一条对称轴方程为（）A ．6x p=B ．512x p =C ．23x p =D ．23x p =-【答案】B 【解析】函数()cos 26f x x p æö=+ç÷èø令()26x k k pp +=ÎZ ，则,212k x k p p=-ÎZ ，当1k =时，512x p =，故选B.7．（2021·海南枫叶国际学校高一期中）函数()f x =cos()x w j +的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）A ．13(,44k k k Z p p -+ÎB ．13(2,2),44k k k Z p p -+ÎC ．13(,),44k k k Z-+ÎD ．13(2,244k k k Z-+Î【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42pw j p w j ==，解得=w p ，=4p j ，所以()cos()4f x x p p =+，令22,4k x k k Z pp p p p <+<+Î，解得124k -＜x ＜324k +，k Z Î，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z Î，故选D.8．（2021·河南林州一中高一月考）函数()21sin 1xf x x eæö=-ç÷+èø的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x xxe f x x x ee æö-æö=-=ç÷ç÷++èøèø故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x ®> 故选：A.9．（2021·山东聊城·高一期末）用五点法作函数()sin 0,0,2y A x A p w j w j æö=+>><ç÷èø的图象时，得到如下表格：x6p 23p x w j+02pp32p 2py4-4则A ，w ，j 的值分别为（）A ．4，2，3p-B ．4，12，3p C ．4，2，6pD ．4，12，6p -【答案】A 【解析】由表中的最大值为4，最小值为4-，可得4A =，由21362T p p -=，则T p =，22p w p\==，4sin(2)y x j =+Q ，图象过(6p，0)，04sin(2)6p j \=´+，\226k pj p ´+=，()k ÎZ ，解得23k pj p =-，||2pj <Q ，\当0k =时，3pj =-．故选：A ．10．（2021·镇原中学高一期末）若点,26P p æö-ç÷èø是函数()()sin 0,2f x x m p w j w j æö=++><ç÷èø的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为2p，则（）A ．()f x 的最小正周期是pB ．()f x 的值域为[]0,4C ．()f x 的初相3pj =D ．()f x 在4,23p p éùêúëû上单调递增【答案】D 【解析】由题意得()62k k Z m pw j p ì-+=Îïíï=î，且函数的最小正周期为422T p p =´=，故21T p w ==.代入()6k k Z p w j p -+=Î，得()6k k Z pj p =+Î，又2p j <，所以6π=j .所以()sin 26f x x p æö=++ç÷èø.故函数()f x 的值域为[]1,3，初相为6p.故A ，B ，C 不正确，当4[,2]3x p p Î时，313[,626x p p p +Î，而sin y x =在313[,26p p 上单调递增，所以()f x 在4,23p p éùêúëû上单调递增，故D 正确.故选：D.二、多选题11．（2021·陕西渭滨·高一期末）函数tan(2)6y x p=-的一个对称中心是（）A ．(,0)12pB ．2(,0)3pC ．(,0)6pD ．(,0)3p【答案】AD 【解析】因为tan()01266f p p p æö=-=ç÷èø；24tan()tan 3366f pp p p æö=-==ç÷èø；tan 66f p p æö==ç÷èø；当3x p =时， 2362p p p ´-=.所以(,0)12p 、(,0)3p 是函数tan(2)6y x p=-的对称中心.故选：AD12.（2021·浙江高三专题练习）下列函数中，是奇函数的是（）．A ．2sin y x x=B ．sin y x =，[0,2]x p ÎC ．sin y x =，[,]x p p Î-D ．cos y x x=【答案】ACD 【解析】对A ，由()2sin ==y f x x x ，定义域为R ，且()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-，故函数2sin y x x =为奇函数，故A 正确对B ，由函数的定义域为[0,2]x p Î，故该函数为非奇非偶函数，故B 错对C ，()sin y gx x ==，定义域关于原点对称，且()()()sin sin -=-=-=-g x x x g x ，故C 正确对D ，()cos ==y m x x x 的定义域为R ，且()()()()cos cos -=--=-=-m x x x x x m x ，故该函数为奇函数，故D 正确故选：ACD13．（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）下图是函数()sin()f x A x w j =+（其中0A >，0>w ，0||x j <<）的部分图象，下列结论正确的是（）A ．函数12y f x p æö=-ç÷èø的图象关于顶点对称B ．函数()f x 的图象关于点,012p æö-ç÷èø对称C ．函数()f x 在区间,34p p éù-êúëû上单调递增D ．方程()1f x =在区间23,1212p p éù-êúëû上的所有实根之和为83p 【答案】ABD 【解析】由已知，2A =，2543124T p p p=-=，因此T p =，∴22pw p==，所以()2sin(2)f x x j =+，过点2,23p æö-ç÷èø，因此43232k p pj p +=+，k ÎZ ，又0||j p <<，所以6π=j ，∴()2sin 26f x x p æö=+ç÷èø，对A ，2sin 212y f x x p æö=-=ç÷èø图象关于原点对称，故A 正确；对B ，当12x p=-时，012f p æö-=ç÷èø，故B 正确；对C ，由222262k x k pppp p -£+£+，有36k x k ppp p -££+，k ÎZ 故C 不正确；对D ，当231212x pp -££时，2[0,4]6x pp +Î，所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，12317822663x x x x p p p+++=´+´=，故D 正确.故选：ABD.14．（2021·江苏海安高级中学高二期末）关于函数()sin cos f x x x =+()x R Î，如下结论中正确的是（）．A ．函数()f x 的周期是2pB ．函数()f x 的值域是éëC ．函数()f x 的图象关于直线x p =对称D ．函数()f x 在3,24p pæöç÷èø上递增【答案】ACD 【解析】A ．∵()sin cos f x x x =+，∴sin cos cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x p p p æöæöæö+=+++=+-=+=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，∴()f x 是周期为2p的周期函数，A 正确，B ．当[0,]2x p Î时，()sin cos 4f x x x x p æö=+=+ç÷èø，此时3,444x p p p éù+Îêúëû，，∴()f x Î，又()f x 的周期是2p，∴x ÎR 时，()f x 值域是，B 错；C ．∵()()(2)sin 2cos 2sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x p p p -=-+-=-+=+=，∴函数()f x 的图象关于直线x p =对称，C 正确；D ．由B 知[0,2x pÎ时，()4f x x p æö=+ç÷èø，当[0,]4x p Î时，[,]442x p p p +Î，()f x 单调递增，而()f x 是周期为2p的周期函数，因此()f x 在3,24p p æöç÷èø上的图象可以看作是在0,4p æöç÷èø上的图象向右平移2p 单位得到的，因此仍然递增．D 正确．故选：ACD ．三、填空题15．（2021·山东高一期末）函数tan 2xy =的定义域为_____．【答案】{}2,x x k k Z p p ¹+Î【解析】解不等式()22x k k Z pp ¹+Î，可得()2x k k Z p p ¹+Î，因此，函数tan2xy =的定义域为{}2,x x k k Z p p ¹+Î.故答案为：{}2,x x k k Z p p ¹+Î.16．（2021·河南林州一中高一月考）函数224sin 6cos 633y x x x pp æö=+--££ç÷èø的值域________．【答案】16,4éù-êúëû【解析】224sin 6cos 64(1cos )6cos 6y x x x x =+-=-+-22314cos 6cos 24(cos )44x x x =-+-=--+，233x p p -££Q ，1cos 12x \-££ ，故231164(cos )444x -£--+£，故答案为：16,4éù-êúëû17．（2021·全国高考题）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f（x ）的图像关于y 轴对称．②f（x ）的图像关于原点对称．③f（x ）的图像关于直线x=2p对称．④f（x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f p æö=+=ç÷èø，152622f p æö-=--=-ç÷èø，则66f f p p æöæö-¹ç÷ç÷èøèø，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z p ¹Î，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x æö-=-+=--=-+=-ç÷-èø，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x p p p æöæö-=-+=+ç÷ç÷æöèøèø-ç÷èøQ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x p p p æöæö+=++=+ç÷ç÷æöèøèø+ç÷èø，则22f x f x p p æöæö-=+ç÷ç÷èøèø，所以，函数()f x 的图象关于直线2x p=对称，命题③正确；对于命题④，当0x p -<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.18．（2021·上海高一课时练习）函数42cos 133æö=+-ç÷èøx y p ，当x =_________时有最小值，最小值是___________.【答案】3,22k k Z pp +Î 3- 【解析】当4cos 133x p æö+=-ç÷èø时，即4233x k p p p +=+，可得3,22x k k Z pp =+Î，此时y 取得最小值；此时，最小值为3-；故答案为：3,22k k Z pp +Î； 3-.19．（2021·浙江高一课时练习）设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____.【答案】121- 【解析】根据题意，得3212A B A B ì-=ïïíï+=-ïî，解得1,12A B ==-.故答案为：1,12-20．（2021·上海高一课时练习）函数sin 2sin =+xy x的最大值是________，最小值是________.【答案】131- 【解析】Q 21si 2sin 2sin n x y x x -==++，Q 221sin 11sin 232sin 23x x x -££Þ£+£Þ-£-£-+，\2111sin 23x -£-£+，\函数sin 2sin =+xy x 的最大值是13；最小值是1-.故答案为：13;1-.21．（2021·上海高一课时练习）若函数2()cos sin (0)=-+>f x x a x b a 的最大值为0，最小值为4-，则实数a =_________，b =________.【答案】2 2- 【解析】Q 2sin si )n (1x f a x b x =--++，令sin (11)t x t =-££，则21(11)y t at b t --++££=-，函数的对称轴为2a t =-，当12a-£-，即2a ³时，110,2,114,2,a b a a b b -+++==ììÞíí--++=-=-îî当102a -<-<，即02a <<时，2((1022a aa b ---×-++=且114a b --++=-，此时方程组无解；\2,2,a b =ìí=-î故答案为：2,2-.五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）y =（2）sin cos tan x xy x+=.【答案】（1）{|22,}x k x k k Z p p p ££+Î；（2）|,2k x x k Z p ìü¹Îíýîþ【解析】（1）要使函数有意义，必须使sin 0x ³.由正弦的定义知，sin 0x ³就是角x 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.∴角x 的终边应在x 轴或其上方区域，∴22,k x k k Z p p p ££+Î.∴函数y ={|22,}x k x k k Z p p p ££+Î.（2）要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan 0x ¹.∴,()2x k k Z x k p p pì¹+ïÎíï¹î∴,2kx k Z p ¹Î.∴函数sin cos tan x x y x +=的定义域为|,2k x x k Z p ìü¹Îíýîþ.23.（2021·涡阳县第九中学高一月考）已知函数()()2sin (0,0)f x x w j w j p =+><<最小正周期为p，图象过点4p æçè.（1）求函数()f x 解析式（2）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）()2sin(2)4f x x p=+；（2）()3,88k k k Z p p p p éù-++Îêúëû.【解析】（1）由已知得2pp =w，解得2w =.将点4p æçè2sin 24p j æö=´+ç÷èø，可知cos j =，由0j p <<可知4pj =，于是()2sin 24f x x p æö=+ç÷èø.（2）令()222242k x k k Z pppp p -+£+£+Î解得()388k x k k Z p pp p -+££+Î，于是函数()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z p pp p éù-++Îêúëû.24．（2021·全国高三（文））(1)利用“五点法”画出函数1()sin()26f x y x p==+在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:126x p +x y 作图:(2)并说明该函数图象可由sin (R)y x x =Î的图象经过怎么变换得到的.(3)求函数()f x 图象的对称轴方程.【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) 22,3x k k Z pp =+Î.【解析】（1）先列表,后描点并画图126x p +02pp32p 2px3p-23p 53π83p 113p y 01-1；（2）把sin y x =的图象上所有的点向左平移6p个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到1sin(26y x p=+的图象，即1sin(26y x p=+的图象；（3）由12,2,2623x kx x k k Z p p pp +=+=+Î，所以函数的对称轴方程是22,3x k k Z pp =+Î.25．（2021·全国高一课时练习）求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.【答案】定义域为5|,,318k x x x k p p ìüÎ¹+ÎíýîþR Z 且，值域为R ，非奇非偶函数，递增区间为5,()183183k k k p p p pæö-++Îç÷èøZ 【解析】tan y t =的定义域为|,2t t k k Z p p ìü¹+Îíýîþ，单调增区间为,,22k k k Z pp p p æö-+Îç÷èø.又tan 33y x p æö=-ç÷èø看成tan ,33y t t x p==-的复合函数，由2t k pp ¹+得5,318k x k Z p p¹+Î，所以所求函数的定义域为5|,318k x x k Z p p ìü¹+Îíýîþ，值域为R ；函数tan 33y x p æö=-ç÷èø的定义域不关于原点对称，因此该函数是非奇非偶函数；令3232k x k pppp p -<-<+，解得5,318318k k x k Z p p p p -<<+Î，即函数tan 33y x p æö=-ç÷èø的单调递增区间为5,,318318k k k Z p p p p æö-+Îç÷èø.26．（2021·陕西省汉中中学（理））已知函数()2sin(1(0)6f x x pw w =-->的周期是p .（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在[0,2p上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z p p p p éù-++Îêúëû；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x p =时，()max 1f x =.【解析】（1）解：∵2T pp w==,∴2w =,又∵0>w ,∴2w =,∴()2sin 216f x x p æö=--ç÷èø,∵222262k x k pppp p -+£-£+,k Z Î,∴222233k x k p pp p -+££+,k Z Î,∴63k x k ppp p -+££+,k Z Î,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z p p p p éù-++Îêúëû（2）解：∵02x p££,∴02x ££p ,∴52666x ppp-£-£,∴1sin 2126x p æö-£-£ç÷èø,∴12sin 226x p æö-£-£ç÷èø,∴22sin 2116x p æö-£--£ç÷èø,当0x =时,()min 2f x =-,当226x ππ-=,即3x p=时,()max 1f x =27．（2021·镇原中学高一期末）已知函数()()()sin 0,0,f x A x A w j w j p =+>><，在一周期内，当12x p=时，y 取得最大值3，当712x p=时，y 取得最小值3-，求（1）函数的解析式；（2）求出函数()f x 的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；（3）当,1212x p p éùÎ-êúëû时，求函数()f x 的值域.【答案】（1）()3sin 23f x x p æö=+ç÷èø；（2）增区间为()5,1212k k k Z p p p p éù-+Îêúëû，对称轴方程为212k x p p =+，k Z Î，对称中心为,062k p p æö-+ç÷èø（k Z Î）；（3）3,32éùêúëû.【解析】(1)由题设知，3A =，周期7212122T p p p =-=，T p =，由2T p w =得2w =.所以()()3sin 2f x x j =+.又因为12x p=时，y 取得最大值3，即3sin 36j p æö+=ç÷èø，262k p p j p \+=+，解得23k p j p =+，又j p <，所以3pj =，所以()3sin 23f x x p æö=+ç÷èø.(2)由222232k x k pppp p -£+£+，得51212k x k p p p p -££+.所以函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.由232x k ppp +=+，k Z Î，得212k x p p=+，k Z Î.对称轴方程为212k x p p=+，k Z Î..由23x k pp +=，得62πkπx =-+（k Z Î）.所以，该函数的对称中心为,062k p p æö-+ç÷èø（k Z Î）.(3)因为,1212x p p éùÎ-êúëû，所以2,362x p p p éù+Îêúëû，则1sin 2,132x p æöéù+Îç÷êúèøëû，所以33sin 2323x p æö£+£ç÷èø.所以值域为：3,32éùêúëû.所以函数()f x 的值域为3,32éùêúëû.。

2023届全国高考数学真题分类专项(三角函数)汇编解析(附答案)

2023届全国高考数学真题分类专项（三角函数）汇编解析第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1 ”是“sin cos 0 ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【详细分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解. 【过程解析】当2，0 时，有22sin sin 1 ，但sin cos 0 ，即22sin sin 1 推不出sin cos 0 ；当sin cos 0 时， 2222sin sin cos sin 1 ，即sin cos 0 能推出22sin sin 1 .综上可知，22sin sin 1 是sin cos 0 成立的必要不充分条件. 故选B.2.（2023北京卷13）已知命题:p 若, 为第一象限角，且，则tan tan .能说明p 为假命题的一组, 的值为； .【详细分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义详细分析求解.【过程解析】因为 tan f x x 在π0,2上单调递增，若00π02 ，则00tan tan ，取1020122π,2π,,k k k k Z ，则 100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k ，即tan tan ，令12k k ，则 102012002π2π2πk k k k ，因为 1200π2π2π,02k k ，则 12003π2π02k k ，即12k k ，则 . 不妨取1200ππ1,0,,43k k ，即9ππ,43满足题意. 故答案为：9ππ;43.第二节三角恒等变换1.（2023新高考I 卷6）过点 0,2 与圆22410x y x 相切的两条直线的夹角为，则sin （）A.1B.4C.4D.4【过程解析】 222241025x y x x y ，所以圆心为 2,0B ，记 0,2A ，设切点为,M N ，如图所示.因为AB ，BM，故AMcos cos2AM MAB AB，sin 2，sin 2sincos2224.故选B.2.（2023新高考I 卷8）已知 1sin 3，1cos sin 6，则 cos 22 （） A.79B.19C.19D.79【过程解析】 1sin sin cos cos sin 3，1cos sin 6，所以1sin cos 2，所以 112sin sin cos cos sin 263， 2221cos 22cos 212sin 1239.故选B.3.（2023新高考II 卷7）已知为锐角，1cos 4，则sin 2 （）A.38 B.18 C.34 D.14【过程解析】21cos 12sin 24，所以2231sin 284，则1sin24或1sin 24.因为为锐角，所以sin02，sin2sin 2故选D. 第三节三角函数的图像与性质1.（2023新高考II 卷16）已知函数 sin f x x ，如图所示，A ，B 是直线12y 与曲线 y f x 的两个交点，若π=6AB ，则 πf _______.【过程解析】sin y x 的图象与直线12y两个相邻交点的最近距离为2π3，占周期2π的13，所以12ππ36，解得4 ，所以 sin 4f x x . 再将2π,03代入 sin 4f x x 得的一个值为2π3 ，即 2πsin 43f x x.所以 2ππsin 4π32f. 2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知 f x 为函数cos 26y x向左平移6 个单位所得函数，则 y f x 与1122y x交点个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4【过程解析】因为函数πcos 26y x向左平移π6个单位可得 sin 2.f x x而1122y x 过10,2 与 1,0两点，分别作出 f x 与1122y x 的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x，即3π3π7π,,444x x x 处 f x 与1122y x 的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数 sin f x x 在区间2,63单调递增，直线6x和23x 为函数 y f x 的图像的两条对称轴，则512f（）A. B.12 C.12 【过程解析】2222362T T，所以 sin 2.f x x又222,32k k Z ，则52,6k k Z .所以5555sin 22sin 121263f k故选D.【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列 n a 的公差为23，集合*cos n S a n N ，若 ,S a b ，则ab （）A.1B.12C.0D.12【过程解析】解法一（利用三角函数图像与性质）因为公差为23，所以只考虑123,,a a a ，即一个周期内的情形即可. 依题意， cos ,n S a a b ，即S 中只有2个元素，则123cos ,cos ,cos a a a 中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为123,,a a a 的点对应图像中123,,A A A 点.①当12cos cos a a 时，且2123a a，所以图像上点的位置必为如图1所示，12,A A 关于x 对称，且1223A A ，则1233a，2433a，32a . 所以11122ab.②当13cos cos a a 时，3143a a，所以图像上点的位置必为如图2所示，13,A A 关于x 对称，且1343A A ，则133a，3533a，2a .图1图2所以 11122ab. 综上所述，12ab .故选B.解法二（代数法） 11113n a a n d a n， 21cos cos 3a a ，31cos cos 3a a，由于*cos ,n S a n a b N ，故123cos ,cos ,cos a a a 中必有2个相等.①若121111cos cos cos cos 322a a a a a，即113cos 22a a ，解得11cos 2a 或11cos 2a .若11cos 2a ，则1sin a ，3111113cos cos cos 132244a a a a，若11cos 2a，则1sin a ，3111113cos cos cos 13244a a a a，故131cos cos 2a a ab .②若131111cos cos cos cos sin 322a a a a a，得113cos 22a a ，解得11cos 2a 或11cos 2a .当11cos 2a 时，1sin a ，2111113cos cos cos 132244a a a a，当11cos 2a 时，1sin a ，213cos 144a ，故121cos cos 2a a ab .③若23cos cos a a ，与①类似有121cos cos 2a a ab .综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数 sin cos cos sin ,0,2f x x x .（1）若 0f ，求的值；（2）若 f x 在区间2,33上单调递增，且213f，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 f x 存在，求, 的值.条件①：3f；条件②：13f；条件③： f x 在,23上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【详细分析】（1）把0x 代入()f x 的过程解析式求出sin ，再由π||2即可求出的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的过程解析式化简，根据() f x 在π2π,33上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出的值；把的值代入()f x 的过程解析式，由π13f和π||2 即可求出的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x 处取得最小值1 ，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【过程解析】（1）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x所以 (0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ，因为π||2，所以π3. （2）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ，所以 π()sin ,0,||2f x x，所以() f x 的最大值为1，最小值为1 .若选条件①：因为 ()sin f x x 最大值为1，最小值为1，所以π3f无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33上单调递增，且2π13f，π13f，所以2πππ233T ,所以2πT ,2π1T,所以 ()sin f x x ，又因为π13f ，所以πsin 13，所以ππ2π,32k k Z ，所以π2π,6k kZ ，因为||2 ，所以π6 .所以1 ，π6；若选条件③：因为() f x 在π2π,33 上单调递增，在ππ,23上单调递减，所以() f x 在π3x处取得最小值1 ，即π13f. 以下与条件②相同．的故选B.第四节解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在ABC △中，2AB ，60BAC，BC D 为BC 上一点，AD 平分BAC ，则AD .【过程解析】如图所示，记,,,AB c AC b BC a由余弦定理可得22222cos606b b，解得1b （负值舍去）.由ABC ABD ACD S S S △△△可得，1112sin602sin30sin30222b AD AD b ，解得1212AD b . 2.（2023全国甲卷文科17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A.（1）求bc . （2）若cos cos 1a Bb A b，求ABC △面积 .3.（2023全国乙卷理科18）在ABC △中，120BAC ，2AB ，1AC. （1）求sin ABC；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ，求ADC △的面积. 【过程解析】（1）利用余弦定理可得2222cos 14212cos120527BCAC AB AC AB BAC.故BC .又由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC.故sin sin 14AC BAC ABC BC. （2）由（1）可知tan 5ABC，在Rt BAD △中，tan 2ADAB ABC故11222ABD S AB AD△，又11sin 21sin120222ABC S AB AC BAC△，所以ADC ABC ABD S S S△△△. C5.（2023新高考I 卷17）已知在ABC △中，3A B C ， 2sin sin A C B . （1）求sin A ；（2）设=5AB ，求AB 边上的高.【过程解析】（1）解法一因为3A B C ，所以4A B C C ，所以4C ， 2sin()sin()A C A C2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A Csin cos 3cos sin A C A Ctan 3tan 3sin 10A C A . 解法二因为3ABC ，所以4A B C C ，所以4C ，所以4A B ，所以4B A ，故2sin()sin()4A C A ，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 4444A A A A ，得sin 3cos A A .又22sin cos 1A A ， 0,A ，得sin 10A. （2）若||5AB . 如图所示，设AC 边上的高为BG ，AB 边上的高为CH ， ||CH h ，由（1）可得cos 10A ，||||cos ||102AG AB A AB ，||||2BG CG ，所以||AC ，||||2||6||5AC BGCHAB.6.（2023新高考II卷17）记ABC△的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知ABC△的面，D为BC的中点，且1AD .（1）若π3ADC，求tan B；（2）若228b c，求,b c.【过程解析】（1）依题意，122ADC ABCS S△△，1sin242ADCS AD DC ADC DC△，解得2DC ，2BD .如图所示，过点A作AE BC于点E.因为60ADC，所以12DE,2AE ,则15222BE，所以tan5AEBBE.（2）设ABc，ACb，由极化恒等式得2214AB AC AD BC=，即2114b c=b c，化简得22244b c=b c，GHCBA即cos cos 2BAC bc BAC b c =b c ①，又1sin 2ABC S bc BAC △，即sin bc BAC . ②①得tan BAC 0πBAC 得2π3BAC ，代入①得4bc =，与228b c 联立可得2b c .7.（2023北京卷7）在ABC △中， sin sin sin sin a c A C b A B ，则C （） A.6 B.3 C.3 D.6【详细分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【过程解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B ，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b ，即222a c ab b ，则222a b c ab ，故2221cos 222a b c ab C ab ab ，又0πC ，所以π3C . 故选B.。

高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（）（A）（B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。

【高考真题分类汇编】专题12 三角函数图象与性质(解析版)

专题12 三角函数图象与性质考点39 三角函数性质1．（2020全国Ⅲ文12理16）已知函数()1sin sin f x x x=+，则（） A ．()f x 的最小值为2 B ．()f x 的图像关于y 轴对称 C ．()f x 的图像关于直线x =π对称 D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A ；根据奇偶性可判断B ；根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；()()()1sin 0,,sin sin x x k k f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-Z ，()f x ∴关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选D ．2．（2019•新课标Ⅱ，理9）下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，)2π单调递增的是( ) A ．()|cos2|f x x = B ．()|sin 2|f x x =C ．()cos ||f x x =D ．()sin ||f x x =【答案】A【解析】()sin ||f x x =不是周期函数，可排除D 选项；()cos ||f x x =的周期为2π，可排除C 选项；()|sin 2|f x x =在4π处取得最大值，不可能在区间(4π，)2π单调递增，可排除B ．故选A ．3．（2019•新课标Ⅲ，理12）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，2]5ππω+，()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，5265πππωπ∴+<，∴1229510ω<，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,)10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+，若()f x 在(0,)10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<，1229510ω<，故③正确，故选D ． 4．（2019•新课标Ⅱ，文8）若14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω= ) A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A 【解析】14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，322()44T ππππω∴=-==，2ω∴=，故选A ．5．（2018•新课标Ⅱ，理10）若()cos sin f x x x =-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是( ) A ．4πB ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】()cos sin (sin cos ))4f x x x x x x π=-=--=-，由ππk 22+-≤πππk x 224+≤-，k Z ∈，得ππππk x k 24324+≤≤+-，k Z ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[a -，]a 是减函数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-434ππa a ，∴4π≤a ，则a 的最大值是4π，故选A ．6．（2018•新课标Ⅱ，文10）若()cos sin f x x x =-在[0，]a 是减函数，则a 的最大值是( ) A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】C【解析】()cos sin (sin cos ))4f x x x x x x π=-=--=-，由22422πππππ+≤-≤+-k x k ， k Z ∈，得43224ππππ+≤≤+-k x k ，k Z ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[0，]a 是减函数，得43π≤a ，则a 的最大值是34π，故选C ．7．（2018•新课标Ⅲ，文6）函数2tan ()1xf x tan x=+的最小正周期为( ) A ．4πB ．2π C ．πD ．2π【答案】C 【解析】函数222tan sin cos 1()sin 21cos sin 2x x x f x xtan x x x ===++的最小正周期为22ππ=，故选C ．8．（2017新课标卷3，理6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D ．π9．（2017新课标卷2，文3）函数()f x =πsin （2x+）3的最小正周期为A ．4πB ．2πC ． πD ．2π 【答案】C 【解析】由题意22T ππ==，故选C ． 10．（2014新课标I ，文7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A ． ②④B ． ①③④C ． ①②③D ． ①③ 【答案】C【解析】∵|2|cos x y ==cos2x ，∴T =22π=π；由|cos |x y =图像知其周期为π，由周期公式知，)62cos(π+=x y 为π，)42tan(π-=x y 为2π，故选C ．11．（2012全国新课标，理9）已知ω＞0，函数()f x =sin()4x πω+在（2π，π）单调递减，则ω的取值范围是（）A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0， 12] D ．(0，2]【答案】A【解析】∵ω＞0，x ∈（2π，π），∴4x πω+∈（24ωππ+，4πωπ+），∵()f x =sin()4x πω+在（2π，π）单调递减，∴（24ωππ+，4πωπ+）⊂（2π，32π），∴2π≤24ωππ+且4πωπ+≤32π，解得12≤ω≤54，故选A ．12．（2012全国新课标，文9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【答案】A【解析】由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈），∴ϕ=4k ππ+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A ． 13．（2011全国课标，理11）设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++（ω＞0，||ϕ＜2π）的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x （A ）在（0，2π）单调递减 (B)在（4π，34π）单调递减(C) 在（0，2π）单调递增 (D)在（4π，34π）单调递增【答案】A【解析】∵()f x +)4x πωϕ+，由题意知2πω=π且+4πϕ=2k ππ+，解得ω=2，ϕ=4k ππ+，又∵||ϕ＜2π，∴ϕ=4π，∴()f x +)2x π2x ，当x ∈（0，2π）时，2x ∈（0，π），故()f x 在（0，2π）单调递减，故选A ． 14．设函数()f x =sin(2)cos(2)44x x ππ+++，则y =()f x （A ）在（0，2π）单调递增，其图像关于直线x =4π对称 (B) 在（0，2π）单调递增，其图像关于直线x =2π对称 (C) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x =4π对称 (D) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x =2π对称【答案】D【解析】()f x =sin(2)cos(2)44x x ππ+++)2x π+2x ，∵2u x =在（0，2π）上是增函数，值域为(0,)π，y u =在(0,)π是减函数， ∴()f x 在（0，2π）是减函数，又∵()4f π)4π⨯=0，不是最值，()2f π2π⨯）=是最小值， ∴()f x 图像关于直线x =2π对称，故选D ． 15．（2017天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A 【解析】由题意5π8x =取最大值，11π8x =与x 相交，设()f x 周期为T ，所以11538844T πππ-==或34T ，所以3T π=或T π=，又()f x 的最小正周期大于2π，所以3T π=，所以223T πω==，排除C 、D ；由5π()28f =，即252sin()238πϕ⨯+=，102242k ππϕπ+=+，即212k πϕπ=+，令0k =，12πϕ=．选A ． 16．（2015四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A ．cos(2)2y x π=+B ．sin(2)2y x π=+C ．sin 2cos 2y x x =+D ．sin cos y x x =+ 【答案】A 【解析】由cos(2)sin 22yxx π，可知该函数的最小正周期为π 且为奇函数，故选A ．17．（2015安徽）已知函数()()sin f x Αx ωϕ=+（Α，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是A ．()()()220f f f <-<B ．()()()022f f f <<-C ．()()()202f f f -<<D ．()()()202f f f <<- 【答案】A【解析】∵()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为π，且23x π=是经过函数()f x 最小值点的一条对称轴，∴2326x πππ=-=是经过函数()f x 最大值的一条对称轴．∵12|2|66ππ--=，512|(2)|66πππ---=，|0|66ππ-=，∴|2||(2)||0|666ππππ->-->-，且2233ππ-<<，2233πππ-<-<，2033ππ-<<， ∴(2)(2)(0)f f f π<-<，即(2)(2)(0)f f f <-<，故选A ． 18．（2011山东）若函数（ω>0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=A ．B ．C ．2D ．3【答案】B【解析】由于的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，3π为函数()f x 的四分之一周期，故243ππω=，解得32ω=． 19．（2011安徽）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈ 恒成立，且()sin f x x ω=0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2332()sin f x x ω=()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】因为当x R ∈时，()|()|6f x f π≤恒成立，所以()sin()163f ππϕ=+=±，可得26k πϕπ=+或526k πϕπ=-，k Z ∈，因为()sin()sin ()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=->=+=，故sin 0ϕ<，所以526k πϕπ=-，所以5()sin(2)6f x x π=-，由5222262k x k πππππ-+-+≤≤（k Z ∈），得263k x k ππππ++≤≤（k Z ∈），故选C ． 20．（2019•新课标Ⅰ，文15）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为．【答案】4- 【解析】3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-2cos23cos 2cos 3cos 1x x x x =--=--+，令cos t x =，则11≤≤-t ，2()231f t t t =--+的开口向上，对称轴34t =-，在[1-，1]上先增后减，故当1t =即cos 1x =时，函数有最小值4-．21．（2018•新课标Ⅲ，理15）函数()cos(3)6f x x π=+在[0，]π的零点个数为．【答案】3 【解析】()cos(3)06f x x π=+=，362x k πππ∴+=+，k Z ∈，193x k ππ∴=+，k Z ∈，当0k =时，9x π=，当1k =时，49x π=，当2k =时，79x π=，当3k =时，109x π=， [0x ∈，]π，9x π∴=，或49x π=，或79x π=，故零点的个数为3．22．(2018北京)设函数π()cos()(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___．【答案】23,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【解析】由于对任意的实数都有π()()4f x f ≤成立，故当4x π=时，函数()f x 有最大值，故()14f π=，246k πωππ-=(k ∈Z )，∴283k ω=+(k ∈Z )，又0ω>，∴min 23ω=． 23．(2018江苏)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是．【答案】π6-【解析】由函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，得2sin()13πϕ+=±，因为22ϕππ-<<，所以27636πππϕ<+<，则232ππϕ+=，6πϕ=-．24．(2011安徽)设()f x =sin 2cos2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数 ④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)．【答案】①③【解析】()sin 2cos2)f x a x b x x ϕ=+=+（其中tan baϕ=），因此对一切x R ∈，()|()|6f x f π≤恒成立，所以sin()13πϕ+=±，可得()6k k Z πϕπ=+∈，故())6f x x π=+．而1111())012126f πππ=⨯+=，所以①正确；74717|()||||123030f πππ==，17|()|||530f ππ=，所以7|()||()|105f f ππ=，故②错；③明显正确；④错误：由函数())6f x x π=+和())6f x x π=+的图象（图略）可知，不存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，故⑤错误．25．（2017浙江）已知函数22()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ．（Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【解析】（Ⅰ）由2sin3π=21cos 32π=-， 2()3fπ2211()()22=---- 得2()23f π=．（Ⅱ）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin(2)6f x x x x π=-=-+所以()f x 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+++≤≤，k ∈Z 解得263k x k ππππ++≤≤，k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++(k ∈Z )． 26．（2013北京）已知函数（1）求的最小正周期及最大值；（2）若，且，求的值．【解析】：（1）21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+()f x (,)2παπ∈()2f α=α21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+11sin 4cos 422x x =+所以，最小正周期当()，即()时，．（2）因为，所以，因为，所以，所以，即． 27．（2012广东）已知函数()2cos()6f x x πω=+，（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π． (1)求ω的值； (2)设,[0,]2παβ∈，56(5)35f απ+=-，516(5)617f βπ-=，求cos()αβ+的值．【解析】（1）21105T ππωω==⇔=．（2）56334(5)cos()sin ,cos 352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔== 516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==． 4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-．28．（2018上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若()14f π=，求方程()1f x =-ππ-［，］上的解．【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；即22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ，化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；(2)2()sin(2)2cos ()11444πππ=⨯+=+=f a a，所以=a故2()22cos =+f x x x ．)24x π=+242T ππ==4242x k πππ+=+k Z ∈216k x ππ=+k Z∈max ()2f x=())242f παα=+=sin(4)14πα+=2παπ<<9174444πππα<+<5442ππα+=916πα=则方程()1=f x 222cos 1+=x x222cos 1+-=x x ，化简即为2sin(2)6π+=x即sin(2)6π+=x ，解得1124ππ=-+x k 或524ππ'=-+x k ，,'∈Z k k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,]2424∈-k ，1929[,]2424'∈-k ，即0=k 或1；0'=k 或1，对应的x 的值分别为：1124π-、1324π、524π-、1924π．考点40三角函数图像1．（2020全国Ⅰ文理7）设函数()cos π6f x x ω=+⎛⎫⎪⎝⎭在[],-ππ的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为（）A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3 D ．3π2【答案】C【思路导引】由图可得：函数图像过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图像与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解．【解析】由图可得：函数图像过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图像与x 轴负半轴的第一个交点，∴4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=，∴函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===，故选C ． 2．（2020浙江4）函数cos sin y x x x =+在区间[],-ππ的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【思路导引】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图像．【解析】()()()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=--+-=-+=-，[],x ππ∈-， ∴函数是奇函数，故排除C ，D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin 0x x x +>，∴排除B ，故选A ． 3．（2020山东10）右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()=x ωϕ+（）A ．πsin()3x +B ．πsin(2)3x -C ．πcos(2)6x +D ．5πcos(2)6x -【答案】BC【思路导引】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A ，当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，故选BC ． 4．（2016全国新课标卷2，文3）函数=sin()y A x ωϕ+ 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(+)6y x π= （D ）2sin(+)3y x π=【答案】A5．（2015新课标Ⅰ，理8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（） (A)（kπ−14，kπ+34，），k ∈z (B)（2kπ−14，2kπ+34），k ∈z(C)（k −14，k +34），k ∈z (D)（2k −14，2k +34），k ∈z【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x xππ=+，令22,4k x k k Zπππππ<+<+∈，解得124k-＜x＜324k+，k Z∈，故单调减区间为（124k-，324k+），k Z∈，故选D．6．（2011辽宁）已知函数)(xf=A tan（ωx+ϕ）（2||,0πϕω<>），y=)(xf的部分图像如下图，则=)24(πfA．B C．3D．2【答案】B【解析】半周期为3884πππ-=，即最小正周期为2π，所以2ω=．由题意可知，图象过定点3(,0)8π，所以30tan(2)8Aπϕ=⨯+，即34kπϕπ+=()k Z∈，所以3()4k k Zπϕπ=-∈，又||2πϕ<，所以4πϕ=，又图象过定点(0,1)，所以1A=．综上可知()tan(2)4f x xπ=+，故有()tan(2)tan242443fππππ=⨯+==7．（2014江苏）已知函数与(0≤)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是．【答案】6π【解析】由题意交点为1(,)32π，所以21sin()32πϕ+=，又0ϕπ<≤，解得6πϕ=．8．（2011江苏）函数()sin(),(,,f x A x A wωϕϕ=+是常数，0,0)Aω>>的部分图象如图所示，则(0)f = ．xy cos=)2sin(ϕ+=xyπϕ<3πϕ【答案】2【解析】由图可知：A =741234T πππ=-=，所以T π=，22T πω==，又函数图象经过点(,0)3π，所以23πϕπ⨯+=，则3πϕ=，故())3f x x π=+，所以(0)3f π==9．(2012湖南)函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．（1）若，点P 的坐标为（0），则；（2）若在曲线段与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为．【答案】（1）3；（2）【解析】（1），当，点P 的坐标为（0）时； 10．(2016江苏省) 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．()y f x '=6πϕ=ω=ABC 4π()y f x '=cos()x ωωϕ=+6πϕ=cos 36πωω=∴=11．（2012湖南）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (,x R ∈0ω>，0)2πϕ<<的部分图像如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期．因为点在函数图像上，所以．又即．又点在函数图像上，所以，故函数()f x 的解析式为（Ⅱ）()2sin[2()]2sin[2()]126126g x x x ππππ=-+-++()f x ()()()1212g x f x f x ππ=--+11522(),21212T Tππππω=-=∴==5(,0)12π55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，=6πϕ0,1（）sin1,26A A π==()2sin(2).6f x x π=+2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin22(sin 22)2x x x =-sin 22x x =2sin(2),3x π=-由得的单调递增区间是考点41三角函数图像变换1．（2020天津8）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．① B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【思路导引】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可．【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确．故选B ．2．（2017课标卷1，理9）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C222,232k x k πππππ-≤-≤+5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈()g x ∴5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理，πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ，注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12． 3．（2016•新课标Ⅰ，文6）将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（） A ．2sin(2)4y x π=+B ．2sin(2)3y x π=+C ．2sin(2)4y x π=-D ．2sin(2)3y x π=-【答案】D【解析】函数2sin(2)6y x π=+的周期为22T ππ==，由题意即为函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移4π个单位，可得图象对应的函数为2sin[2()]46y x ππ=-+，即有2sin(2)3y x π=-，故选D ． 4．（2016北京）将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0s >)个单位长度得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则A ．12t =，s 的最小值为6π B ．2t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．2t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】因为点(,)4P t π在函数sin(2)3y x π=-的图象上，所以sin(2)43t ππ=⨯-=1sin62π=，又1(,)42P s π'-在函数sin 2y x =的图象上，所以1sin 2()24s π=-，则2()246s k πππ-=+或52()246s k πππ-=+，k Z ∈，得6s k ππ=-+或 6s k ππ=--，k Z ∈．又0s >，故s 的最小值为6π，故选A ． 5．（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．2 【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=．将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=，所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x =．若24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2sin 244g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即2A =，所以()2sin 2f x x=，3322sin 22sin 228842f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选C ．6．(2015山东)要得到函数4sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】B【解析】sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位，故选B ． 7．（2014浙江）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像A ．向右平移12π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位【答案】A【解析】因为sin 3cos3))412y x x x x ππ=+=-=-，所以将函数y x =的图象向右平移12π个单位后，可得到)4y x π=-的图象，故选A ．8．（2013福建）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是 A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把代入，解得，所以，把代入得，或，故选B 9．（2012安徽）要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移 12个单位D ．向右平移12个单位【答案】C【解析】cos 2y x =向左平移12→1cos 2()cos(21)2y x x =+=+，故选C ． 10．（2012浙江）把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】cos 21cos 1cos(1)1cos(1)y x y x y x y x =+⇒=+⇒=++⇒=+，故选A ．)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f )0(>ϕϕ)(x g )(),(x g x f )23,0(P ϕ35π65π2π6π)23,0(P )22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 3πθ=)232sin()(ϕπ-+=x x g )23,0(P πϕk =6ππϕ-=k11．（2012天津）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是 A ．13 B ．1 C ．53D ．2 【答案】D【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω，所以ω的最小值为2，选D ．12．（2020江苏10）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是．【答案】524x π=-【解析】∵()3sin(2)4f x x π=+，将函数()3sin(2)4f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得()()3sin(2)3sin(2)63412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈，0k =时，724x π=，1k =-时，524x π=-，∴平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-．13．（2016新课标卷3，理14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】【解析】因为，＝，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．14．（2016全国新课标卷3，文14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．sin y x x =-sin y x x =32πsin 2sin()3y x x x π==+sin 2sin()3y x x x π==-2sin[()]33x π2π+-sin y x x =sin y x x =+32πsin y x x =-2sin y x =【答案】【解析】因为，所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到． 15．（2013新课标Ⅰ，文16）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤π的图象重合，则ϕ=_________．【解析】因为cos(2)y x ϕ=+=cos(2)x ϕ--= 16．（2014重庆）将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______．【答案】2【解析】把函数sin y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象，再把函数sin()6y x π=+图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数1()sin()26f x x π=+的图象，所以=⎪⎭⎫⎝⎛6πf 1sin()sin 26642πππ⨯+==．3πsin 3cos 2sin()3y x x x π=-=-sin 3cos y x x =-2sin y x =3π。

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.已知函数（1）求函数的最小正周期和值域；（2）若，求的值．【答案】（1）最小正周期为，值域为;（2）.【解析】（Ⅰ）将化为或的形式,即可求得f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）由可求得cos（α+）=，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2α的值．试题解析：（1）由已知，4分所以的最小正周期为，值域为. 6分（2）由（1）知，所以. 8分所以， 12分或由得： 8分两边平方得：，所以． 12分【考点】1．三角函数中的恒等变换应用；２．二倍角的正弦；３．三角函数的周期性及其求法．2.已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(，－2)．（1）求φ的值；（2）若f()＝，－＜α＜0，求sin(2α－)的值．【答案】（1）φ＝．（2）．【解析】（1）因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(，－2)，所以f()＝2sin(π＋φ)＝－2，即sinφ＝1．因为0＜φ＜2π，所以φ＝．（2）由（1）得，f(x)＝2cos2x．因为f()＝，所以cosα＝．又因为－＜α＜0，所以sinα＝－．所以sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝－．从而sin(2α－)＝sin2αcos－cos2αsin＝．试题解析：解：（1）因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(，－2)，所以f()＝2sin(π＋φ)＝－2，即sinφ＝1． 4分因为0＜φ＜2π，所以φ＝． 6分（2）由（1）得，f(x)＝2cos2x． 8分因为f()＝，所以cosα＝．又因为－＜α＜0，所以sinα＝－． 10分所以sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝－． 12分从而sin(2α－)＝sin2αcos－cos2αsin＝． 14分【考点】三角函数解析式，两角差的正弦公式，二倍角公式3.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（）A．是奇函数B．的周期是C．的图像关于直线对称D．的图像关于对称【答案】D【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数，因为，所以，选D.【考点】三角函数图象的变换，三角函数诱导公式，三角函数的图象和性质.4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ<2π)在R上的部分图象如图所示，则f(2014)的值为________．【答案】－【解析】由三角函数图象可得A＝5，T＝12＝，ω＝，且函数图象经过点(2,5)，所以5sin(2×＋φ)＝5，又0≤φ<2π，所以φ＝，所以f(x)＝5sin(x＋)，f(2014)＝5sin(×2014＋)＝5sin(336π－)＝－．5.设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处的切线斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为()【答案】C【解析】由题意可知g(x)＝cosx，y＝x2cosx，该函数是偶函数，且当x＝0时，函数值为0，故只能是选项C中的图象．6.函数的最小正周期为．【答案】【解析】【考点】三角函数的周期.7.若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为．【答案】【解析】原方程变形为，如图作出函数的图象，可见当时，直线与图象有两个交点.【考点】方程的解与函数图象的交点.8. [2014·海淀模拟]同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f(x＋π)＝f(x)恒成立；②图象关于直线x＝对称；③在[－，]上是增函数”的函数可以是()A．f(x)＝sin(＋)B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝cos(2x＋)D．f(x)＝cos(2x－)【答案】B【解析】依题意，知满足条件的函数的最小正周期是π，以x＝为对称轴，且在[－，]上是增函数．对于A，其周期为4π，因此不正确；对于C，f()＝－1，但该函数在[－，]上不是增函数，因此C不正确；对于D，f()≠±1，因此D不正确．9.已知函数，(l)求函数的最小正周期；(2)当时，求函数f(x)的单调区间。

高考数学专题《三角函数的图象与性质》习题含答案解析

专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。

高考数学常考试题第11讲三角函数的图象与性质6大题型(解析版)

第11讲三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【答案】B【分析】根据函数图象得到()f x 、()g x 的解析式，然后利用图象平移的结论进行图象平移即可.【详解】根据图象可得2A =，周期T π=，因为2T πω=，所以2ω=，()()2sin 2f x x ϕ=+，将,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()f x 可得()2222sin 2332k k πππϕϕπ⎛⎫=+⇒+=+∈⎪⎝⎭Z ，解得()26k k πϕπ=-+∈Z ，因为0πϕ-<<，所以6πϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2sin 2g x x =，因为()2sin 212f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 向左平移12π个单位长度即可得到()g x 的图象.故选：B.【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．62B ．32C ．22D ．1-【答案】A【分析】由函数()f x 的部分图象以及五点法作图，求出()f x 的解析式，再计算2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值．【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴【答案】C【分析】根据已知图象可确定相关参数，求得函数解析式，判断A;根据正弦函数的图象的平移变换规律可得平移后的解析式，判断B;利用正弦函数的单调性可判断C ；将7π12x =代入函数中解析式求得其值，可判断D.【详解】由题意得，πππ43124T =-=，则2ππ,2T T ω===，而π212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππ2π(Z)62k k ϕ+=+∈，解得π2π(Z)3k k ϕ=+∈，∵||2ϕπ<，∴π3ϕ=，∴π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，得到π2sin 26f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,该函数图象关于原点对称，放B 正确；∵2ππ,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴π5π2,π33x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，则()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上先增后减，故C 错误；∵7π3π2sin 2122f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴直线712x π=为()f x 图象的一条对称轴，故D 正确．故选：C ．4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象【答案】C【分析】由已知图象求得函数解析式，将πx =代入解析式，由其结果判断A;求出函数的对称中心可判断B;当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]622x +∈-，结合正弦函数的单调性判断C;根据三角函数图象的平移变换可得平移后函数解析式，判断D.【详解】由函数图象可知，2A =,最小正周期为5ππ4()π126T =-=，所以2π2πω==，将点π(,2)6代入函数解析式中，得：π22sin()3ϕ=+，结合π2ϕ<，所以π6ϕ=，故π()2sin(2)6f x x =+，对于A ，当πx =时，π(π)2sin(2π)16f =+=，故直线πx =不是()f x 图象的一条对称轴，A 错误;对于B ，令π()2sin(2)06f x x =+=，则πππ2π,Z,,Z 6122k x k k x k +=∈∴=-+∈，即()f x 图象的对称中心为ππ(,0)122k -+，Z k ∈，故B 错误；对于C ，当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]622x +∈-，由于正弦函数sin y x =在ππ[,]22-上递增，故()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；对于D ，将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到πππ()2sin[2()]2sin(2)1263g x x x =++=+的图象，该函数不是奇函数，故D 错误；故选：C5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。

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C3 三角函数的图象与性质【数学理卷·2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】9.已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且函数f (x )＝1＋2sin 2xsin 2x 的最小值为b ，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜x ＜π28x 2－6bx ＋4⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ≤π4，则不等式g (x )≤1的解集为 ( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，π2 【知识点】三角函数的图象与性质C3【思路点拨】利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出f （x ）的最小值即b ．再利用一元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出．【数学理卷·2015届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（201411）】7. 函数44sin cos y x x =+是 ( )A ．最小正周期为2π，值域为⎤⎥⎦的函数B ．最小正周期为4π，值域为⎤⎥⎦的函数C ．最小正周期为2π，值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦的函数D ．最小正周期为4π,值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦的函数【知识点】三角函数的周期；三角函数的值域.C3【答案】【解析】C 解析：()24422223cos 4sin cos sin cos 2sin cos 44xy x x x x x x =+=+-=-，最小正周期为242T ππ==,因为1cos 41x -≤≤,所以13cos 41244x ≤-≤,即值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故选C. 【思路点拨】先把原函数化简整理，再利用周期公式求解即可，然后求出值域。

【数学理卷·2015届浙江省慈溪市慈溪中学高三上学期期中考试（201411） (1)】18．（本小题满分14分）已知向量,sin ),(cos ,sin )x x x x ==a b ，其中[,]2x ππ∈．（1）若2-=a b ，求x 的值；（2）设函数()f x =⋅a b ，求()f x 的值域．【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】（1）23x π=（2）1[,1]2-（1）因为cos ,0)x x -=-a b ，所以22cos )4x x -=-=a b所以cos 2x x -=±即sin()16x π-=±,因为[,]2x ππ∈，所以23x π=（2）因为21cos 2()cos sin 22xf x x x x x -=⋅=+=+a b 1sin(2)62x π=-+ ，5112[,]666x πππ-∈ （Q [,]2x ππ∈ 所以当5266x ππ-=即2x π=时，max [()]1f x =当3262x ππ-=即56x π=时，min 1[()]2f x =-, 所以()f x 的值域为1[,1]2-。

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