第八章-动态规划
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动态规划
多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状 态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理， 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域， 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又 称为无后效性 。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点 。
动态规划
动态规划规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。
在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。
所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。
将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。
显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。
当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。
多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。
动态规划（dynamic programming）同前面介绍过的各种优化方法不同，它不是一种算法，而是考察问题的一种途径。
动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。
当然，由于动态规划不是一种特定的算法，因而它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，动态规划必须对具体问题进行具体的分析处理。
在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。
动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。
20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。
1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。
该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。
1961年贝尔曼出版了他的第二部著作，并于1962年同杜瑞佛思（Dreyfus）合作出版了第三部著作。
在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。
第8章动态规划PPT课件
fk
1
(sk
1 )
过程指标（阶段递推）函数:
第23页/共103页
k= 4
7
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
A1 4
B1 1
k= 3
2
6
f f
3( 3(
B B
1 2
) )
= =
m m
i i
n n
{ {
1 6
+ +
f f
4( 4(
C C
1 1
) )
= =
4 9
* ,
,
34++f 4f(4QC( C22) =)4=78*
; 的 最 优 控 制 等 问 题
第9页/共103页
§7.2 动态规划的基本概念和基本思想
一、基本概念
使用动态规划方法求解决策问题首先要将问题改造成符合动态规划求解要求的 形式,要涉及以下概念:
(1)阶段
(2)状态
(3)决策与策略
(4)状态转移方程
(5)指标函数
(6)基本方程
第10页/共103页
(1) 划分阶段
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
第6页/共103页
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义精确的算法, 它强调具体问题具体分 析, 依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤其在处理非线性、离散性问题时有 其独到的特点。
第7页/共103页
何找到的这个终点）无关；-----无后效性
• 3、逐段地求解最优路径，势必会找到一个全过程最优路径。-----
动态规划
《动态规划》课件
《动态规划》ppt课 件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
《动态规划课件》课件
应用场景：求解最短路径、背 包问题等
注意事项：避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义：将问题划分为 若干个较小的子问题， 并逐个解决子问题， 最终得到原问题的解
特点：将原问题分解为 更小的子问题，通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景：适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例：背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算：使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量：通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式：根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈：通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法：动态规划可以优化算法，提高计算效率 避免重复计算：通过记忆化搜索，避免重复计算，提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
动态规划与分治法比较：分治法将 问题分解为子问题，而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较：回溯法会 穷举所有可能解，而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义：矩阵链乘法问题是一种优化问题，通过动态规划算法来求解
应用场景：在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理：通过动态规划算法，将矩阵链乘法问题转化为子问题，从而避免重复计算，提高 计算效率
应用场景：背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用，如资源分配、路径规划、时间表安 排等。
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
Vk,n (sk , uk , , sn1) fk [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , 1)] ③函数 fk (sk , uk ,Vk 1,n ) 对于变量 Vk1,n 要严格单调。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
运筹学第八章动态规划
□状态转移律为： xk+1 = uk( xk )
B1 C2
（5）策略（policy）和子策略（subpolicy）
□策略：由依次进行的n个阶段决策构成的决策序列就构成一个
策略，用 p1n{ u1(x1), u2(x2), …, un(xn) } 表示。
7
B1 5
6
2
3
1
C1 4
6
D1 3
A5
3
B2
15
□状态集合：状态变量 xk 的取值集合称为状态集合，状态集合 实际上是关于状态的约束条件。
□通常用Sk表示状态集合，xkSk。
□第1阶段 S1={A}；
x1
x2
□第2阶段具有3个状
态B1、B2和B3，故
S2={B1, B2, B3}。 □……
x3
x4
x5
16
（3）决策（decision）
□当过程处于某一阶段的某状态时，可以做出不同的决定，从而
第八章 动态规划
1
引言
□动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。 □该方法是由美国数学家贝尔曼（R. E. Bellman）等人在20世 纪50年代初提出的。并成功地解决了生产管理、工程技术等方 面的许多问题，从而建立了运筹学的一个新的分支，即动态规 划。Bellman在1957年出版了《Dynamic Programming》一 书，是动态规划领域中的第一本著作。
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。
□例1中，如 f3( C2 ) = 3+略 p1n ◎最优值：最优指标 f1(A)
□从第2阶段的状态 B1出发，如我们决 定选择C2（也即确 定了下一阶段的状 态）。
B1 C2
B1 C2
（5）策略（policy）和子策略（subpolicy）
□策略：由依次进行的n个阶段决策构成的决策序列就构成一个
策略，用 p1n{ u1(x1), u2(x2), …, un(xn) } 表示。
7
B1 5
6
2
3
1
C1 4
6
D1 3
A5
3
B2
15
□状态集合：状态变量 xk 的取值集合称为状态集合，状态集合 实际上是关于状态的约束条件。
□通常用Sk表示状态集合，xkSk。
□第1阶段 S1={A}；
x1
x2
□第2阶段具有3个状
态B1、B2和B3，故
S2={B1, B2, B3}。 □……
x3
x4
x5
16
（3）决策（decision）
□当过程处于某一阶段的某状态时，可以做出不同的决定，从而
第八章 动态规划
1
引言
□动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。 □该方法是由美国数学家贝尔曼（R. E. Bellman）等人在20世 纪50年代初提出的。并成功地解决了生产管理、工程技术等方 面的许多问题，从而建立了运筹学的一个新的分支，即动态规 划。Bellman在1957年出版了《Dynamic Programming》一 书，是动态规划领域中的第一本著作。
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。
□例1中，如 f3( C2 ) = 3+略 p1n ◎最优值：最优指标 f1(A)
□从第2阶段的状态 B1出发，如我们决 定选择C2（也即确 定了下一阶段的状 态）。
B1 C2
算法-第8章-动态规划(李静)
2013-6-26
第八章 动态规划
21
P222 习题8.2-1
• 应用Warshall算法 求下列邻接矩阵的 传递闭包。
2013-6-26
第八章 动态规划
22
Floyd算法 the All-Pairs Shortest-path Problem
• 完全最短路径问题要求找出一个有n个节点的加权连 通图中每个节点到其他所有节点之间的最短距离。
2013-6-26
第八章 动态规划
26
8.3 最优二叉查找树
• 最优二叉查找树就是在查找中的平均键值比较次数最 低的。 • 设a1,…,an是从小到大排列的互不相等的键，p1,…pn是 它们的查找概率。Tij是由键ai,…aj构成的二叉树，C[i,j] 是在这棵树中成功查找的最小的平均查找次数。 • 为了推导出动态规划算法中隐含的递推关系，需要考 虑从键ai,…aj中选择一个根的所有可能的方法。即
当k≥1, dij(0)=wij时
dij(k)=min{dij(k-1), dik(k-1)+dkj(k-1)}
2013-6-26
第八章 动态规划
24
Floyd算法实例
dij(k)=min{dij(k-1),dik(k-1)+dkj(k-1)}
2013-6-26
第八章 动态规划
25
最优性原则
• 最优性原则即涉及最优问题的动态规划算法的一般性 原则。 • 这个原则是：一个最优问题的任何实例的最优解是由 该实例的子实例的最优解组成的。 • 在开发一个动态规划算法的时候，难点不是在于检验 该原则的适用性，而是在于要判断何种较小的子实例 是值得考虑的，并推导出一个等式，把任意实例的解 和它较小的子实例关联起来。
第八章 动态规划
21
P222 习题8.2-1
• 应用Warshall算法 求下列邻接矩阵的 传递闭包。
2013-6-26
第八章 动态规划
22
Floyd算法 the All-Pairs Shortest-path Problem
• 完全最短路径问题要求找出一个有n个节点的加权连 通图中每个节点到其他所有节点之间的最短距离。
2013-6-26
第八章 动态规划
26
8.3 最优二叉查找树
• 最优二叉查找树就是在查找中的平均键值比较次数最 低的。 • 设a1,…,an是从小到大排列的互不相等的键，p1,…pn是 它们的查找概率。Tij是由键ai,…aj构成的二叉树，C[i,j] 是在这棵树中成功查找的最小的平均查找次数。 • 为了推导出动态规划算法中隐含的递推关系，需要考 虑从键ai,…aj中选择一个根的所有可能的方法。即
当k≥1, dij(0)=wij时
dij(k)=min{dij(k-1), dik(k-1)+dkj(k-1)}
2013-6-26
第八章 动态规划
24
Floyd算法实例
dij(k)=min{dij(k-1),dik(k-1)+dkj(k-1)}
2013-6-26
第八章 动态规划
25
最优性原则
• 最优性原则即涉及最优问题的动态规划算法的一般性 原则。 • 这个原则是：一个最优问题的任何实例的最优解是由 该实例的子实例的最优解组成的。 • 在开发一个动态规划算法的时候，难点不是在于检验 该原则的适用性，而是在于要判断何种较小的子实例 是值得考虑的，并推导出一个等式，把任意实例的解 和它较小的子实例关联起来。
第八章动态规划1PPT课件
第八章 动态规划
３.决策（Decision) uk(sk) 决策指从一个阶段的某个状态演变到下一个阶段的
某个状态的选择。
uk(sk)表示第k阶段当状态处于sk时的决策变量。 Ｄk(sk)表示决策集合。 Ｄ1(s1)= u1(A) = B1,B2 ; D2(S2)= u2(B1),u2(B2) =
C1,C2,C3;C2,C3,C4 ……
第八章 动态规划
二、动态规划的基本概念和基本原理
以书中例1最短路线问题为例，说明动态 规划的基本概念。
第八章 动态规划
1.阶段（stage)k 阶段指作出决策的若干轮次。将所给问题的过程，按
时间或空间特征分解成若干个相互联系的阶段，以 便按次序去求每阶段的解，常用k表示阶段变量。 如上例中我们把从A到G看成一个六阶段问题，k（阶 段变量）分别等于1，2，3，4，5，6
1、离散确定型； 2、离散随机型； 3、连续确定型； 4、连续随机型；
第八章 动态规划
• 应用
– 最短路问题 – 资源分配问题 – 生产调度问题 – 库存问题 – 排序问题 – 设备更新问题 – 生产过程最优控制问题
第八章 动态规划
多阶段决策过程最优化问题举例
1、最短路问题：运输网络如下图，求从A到E的最短路。
D5(S5)= u5(E1),u5(E2),u5(E3) = F1,F2; F1,F2; F1,F2 = F1,F2
D6(S6)= u6(F1),u6(F2) = G,G = G
第八章 动态规划
4.策略(policy)和子策略（sub-policy)
策略是指全过程中按顺序排列的各阶段决策 组成的集合。记为：p1,n(s1)
增加产量
成本降低 库存费增加
动态规划
动态规划算法一、基本概念动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。
一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
二、基本思想与策略基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。
在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。
依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。
由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。
与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。
三、适用的情况能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：(1) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
(2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。
也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
（3）有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。
（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）四、求解的基本步骤动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题，一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。
这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线(通常是求最优的活动路线)。
如图所示。
动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。
初始状态→│决策１│→│决策２│→…→│决策ｎ│→结束状态图1 动态规划决策过程示意图(1)划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。
动态规划
B1
5 6 4 3 6
C1
2
1 2 2 3
D1 D2 D3
3 4
2
A
4 2
B2
5
C2
6
E
B3
C3
3
2、 状态 、 各个阶段开始时的自然状况和客观 条件称为状态。用 sk表示第 k 阶段的状态，称 条件称为状态。 阶段的状态， 为状态变量； 为状态变量；第k阶段所有状态的 集合，称为可 阶段所有状态的 集合， 达状态集合。 达状态集合。 阶段有三个状态B1、 、 ， 第2阶段有三个状态 、B2、B3，故可达状态集 阶段有三个状态 可取的值。 合是 {B1、B2、B3}，即状态变量 可取的值。 、 、 ，
从给定的问题可知， 从给定的问题可知，它可以化为五个阶段的 决策问题。 年初拥有的资源量， 决策问题。如用 sk 表示第 k 年初拥有的资源量，
xk表示第 年A方式利用的资源，则 sk − xk 表示第k年 方式利用的资源 方式利用的资源，
表示第k年 方式利用的资源 这样第k年的效益 方式利用的资源， 年的效益： 表示第 年B方式利用的资源，这样第 年的效益：
B1
5
6 4 3 6
C1
2
1 2 2 3
D1 D2 D3
3 4
2
A
4 2
B2
5
C2
6
E
B3
C3
3
可以看出，各个阶段的决策不同， 可以看出，各个阶段的决策不同，铺设的管道也 不同， 始点给定后， 不同，并且当某个阶段的 始点给定后，它直接影响 着后面各阶段的行进路线和管道的长短， 着后面各阶段的行进路线和管道的长短，而后面各阶 段的路线的选取不受这点以前各阶段路线的影响。 段的路线的选取不受这点以前各阶段路线的影响。 因此，最短路线问题可简化为四个阶段决策问题， 因此，最短路线问题可简化为四个阶段决策问题， 使由这四个阶段决策组成决策序列， 使由这四个阶段决策组成决策序列，也 称为策略所 决定的一条路线的总长度最短。 决定的一条路线的总长度最短。
5 6 4 3 6
C1
2
1 2 2 3
D1 D2 D3
3 4
2
A
4 2
B2
5
C2
6
E
B3
C3
3
2、 状态 、 各个阶段开始时的自然状况和客观 条件称为状态。用 sk表示第 k 阶段的状态，称 条件称为状态。 阶段的状态， 为状态变量； 为状态变量；第k阶段所有状态的 集合，称为可 阶段所有状态的 集合， 达状态集合。 达状态集合。 阶段有三个状态B1、 、 ， 第2阶段有三个状态 、B2、B3，故可达状态集 阶段有三个状态 可取的值。 合是 {B1、B2、B3}，即状态变量 可取的值。 、 、 ，
从给定的问题可知， 从给定的问题可知，它可以化为五个阶段的 决策问题。 年初拥有的资源量， 决策问题。如用 sk 表示第 k 年初拥有的资源量，
xk表示第 年A方式利用的资源，则 sk − xk 表示第k年 方式利用的资源 方式利用的资源，
表示第k年 方式利用的资源 这样第k年的效益 方式利用的资源， 年的效益： 表示第 年B方式利用的资源，这样第 年的效益：
B1
5
6 4 3 6
C1
2
1 2 2 3
D1 D2 D3
3 4
2
A
4 2
B2
5
C2
6
E
B3
C3
3
可以看出，各个阶段的决策不同， 可以看出，各个阶段的决策不同，铺设的管道也 不同， 始点给定后， 不同，并且当某个阶段的 始点给定后，它直接影响 着后面各阶段的行进路线和管道的长短， 着后面各阶段的行进路线和管道的长短，而后面各阶 段的路线的选取不受这点以前各阶段路线的影响。 段的路线的选取不受这点以前各阶段路线的影响。 因此，最短路线问题可简化为四个阶段决策问题， 因此，最短路线问题可简化为四个阶段决策问题， 使由这四个阶段决策组成决策序列， 使由这四个阶段决策组成决策序列，也 称为策略所 决定的一条路线的总长度最短。 决定的一条路线的总长度最短。
《动态规划》课件
《动态规划》PPT课件
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
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特点
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
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什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
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• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
第八章 动态规划
xk
终端的边际效果一般为 f0(s0,x0)=1 从第1阶段开始，利用边际效果和边界条件 ，可以递推到最后阶段
在上面的计算过程中，利用了第 k阶段与第k+1阶段的关系：
fk(Sk)= Min v(Sk,dk(Sk))+fk+1(Sk+1)
dk(Sk)
k=1,2,3,4,5
f6(S6)=0
这种递推关系称为动态规划 的函数基本方程。
例2设有某种机器设备，用于完成两类工作A 和B。若k年初完好机器的数量为Sk ，若以 数量xk 用于A ，余下的用于B ，则该年的预 期收入为
g ( xk ) h(sk xk ), g ( xk )、h(sk xk )是已知函数 且h(0) g （0）=0
，机器使用中会损坏用于一年后完好机器数 是年初的，即下一年完好的数量为，设第一 年初机器总数为，问在连续3年内如何分配 给，使三年效益最大？
最短路径问题
如图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的 最短路径。
以上求从A到E的最短路径问题，可以转 化为三个性质完全相同，但规模较小的子 问题，即分别从B1 、B2 、B3 到E的最短路 径问题。 记从Bi (i=1, 2, 3) 到E的最短路径为S(Bi)， 则从A到E的最短距离S(A)可以表示为：
动态规划是现代企业管理 中的一种重要决策方法，可用 于最优路径问题、资源分配问 题、生产计划和库存问题、投 资问题、装载问题、排序问题 及生产过程的最优控制等。
动态规划模型的分类：
以“时间”角度可分成：
离散型和连续型。
从信息确定与否可分成： 确定型和随机型。
从目标函数的个数可分成：
单目标型和多目标型。
n+1
终端的边际效果一般为 f0(s0,x0)=1 从第1阶段开始，利用边际效果和边界条件 ，可以递推到最后阶段
在上面的计算过程中，利用了第 k阶段与第k+1阶段的关系：
fk(Sk)= Min v(Sk,dk(Sk))+fk+1(Sk+1)
dk(Sk)
k=1,2,3,4,5
f6(S6)=0
这种递推关系称为动态规划 的函数基本方程。
例2设有某种机器设备，用于完成两类工作A 和B。若k年初完好机器的数量为Sk ，若以 数量xk 用于A ，余下的用于B ，则该年的预 期收入为
g ( xk ) h(sk xk ), g ( xk )、h(sk xk )是已知函数 且h(0) g （0）=0
，机器使用中会损坏用于一年后完好机器数 是年初的，即下一年完好的数量为，设第一 年初机器总数为，问在连续3年内如何分配 给，使三年效益最大？
最短路径问题
如图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的 最短路径。
以上求从A到E的最短路径问题，可以转 化为三个性质完全相同，但规模较小的子 问题，即分别从B1 、B2 、B3 到E的最短路 径问题。 记从Bi (i=1, 2, 3) 到E的最短路径为S(Bi)， 则从A到E的最短距离S(A)可以表示为：
动态规划是现代企业管理 中的一种重要决策方法，可用 于最优路径问题、资源分配问 题、生产计划和库存问题、投 资问题、装载问题、排序问题 及生产过程的最优控制等。
动态规划模型的分类：
以“时间”角度可分成：
离散型和连续型。
从信息确定与否可分成： 确定型和随机型。
从目标函数的个数可分成：
单目标型和多目标型。
n+1
动态规划
状态 B1 在决策 u2 ( B1 ) 作用下的一个新的状态，记作u2 ( B1 ) C2 . 4、策略 策略是一个按顺序排列的决策组成的集合。由过程的第 k 阶段开始到 终止状态为止的过程，称为问题的后部子过程（或称为 k 子过程）。
返回 结束
动态规划
由每段的决策按照顺序排列组成的决策函数序列
k 1,2,, n.
对于动态规划模型的指标函数，应具有可分离性，并满足递推关系
Vk ,n k [ sk , uk ,Vk 1,n ( sk 1 ,, sn1 )]
在实际问题中指标函数都满足这个性质。 常见的指标函数有下列两种形式 （1）过程和任一子过程的指标是它所包含的各阶段指标的和，即
指标函数的最优值，称为最优值函数，记作 f k (sk ) 它表示从第 k 阶段 的状态 sk 开始到第 n 阶段的终止状态的过程，采取最优策略所得到的 指标函数值。即
f k ( sk ) opt Vk ,n ( sk , uk ,, sn1 )
uk ,,un
返回 结束
动态规划
在不同的问题中，指标函数的含义不同，它可能是距离，利润，成本 ，产品的产量，资源消耗等。 二、动态规划的基本思想和基本方程 结合最短路问题介绍动态规划的基本思想 。最短路线有一个重要特性，
这种递推关系式称为动态规划的基本方程。
返回
结束
动态规划
资源分配问题 某工业部门根据国家计划的安排，将某种高效率的设备 五台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂，各工厂若获得 这种设备之后，可以为国家提供盈利如表2-2所示。
问这五台设备应如何分配给工厂，才能使国家得到的 盈利最大。
返回
结束
动态规划
表2-2
动态规划基本方法
（2）合理正确地选择状态变量sk，并确定初始状态 s1的值；
（3）确定决策变量uk及允许决策集Dk(sk)； （4）给出状态转移方程 sk+1=Tk(sk,uk)； （5）给出满足要求的过程指标函数Vk,n及相应的最 优值函数；
（6）写出递推方程和边界条件，建立基本方程； （7）按照基本方程递推求解。
0≤x1≤s1
=23.7s1
(x1*=0)
f1(1000)=23.7╳1000=23700
s1=1000 s2=900
s3=810
x1*=0
x2*=0
x3*=810
s1-x1*=1000 s2-x2*=900 s3-x3*=0
s4=567 x4*=567 s4-x4*=0
s5=397 x5*=397 s5-x5*=0
2.2 动态规划的基本方程 动态规划的最优性原理（贝尔曼原理）：作为整 个过程的最优策略具有这样的性质，即无论过去的状 态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余 下的诸决策必须构成最优策略。简言之，最优策略的 子策略也必是最优的。 根据此原理，要求全过程最优策略，可从子过程 策略的最优化入手。对于过程指标函数是阶段指标函 数和的形式，考虑k-子过程最优值函数fk(sk):
第4节 动态规划和静态规划的关系
静态规划所研究的问题是与时间无关的，而动态
规划所研究的问题是和时间有关的。对于某些静态规 划问题，也可人为地引入时间因素，把它看做一个按 阶段进行的动态规划问题，用动态规划的方法求解。
例 用动态规划法求解
max F=4x12-x22+2x32+12 3x1+2x2+x3≤9 xi≥0 i=1,2,3
0≤x4≤s4
0≤x4≤s4
（3）确定决策变量uk及允许决策集Dk(sk)； （4）给出状态转移方程 sk+1=Tk(sk,uk)； （5）给出满足要求的过程指标函数Vk,n及相应的最 优值函数；
（6）写出递推方程和边界条件，建立基本方程； （7）按照基本方程递推求解。
0≤x1≤s1
=23.7s1
(x1*=0)
f1(1000)=23.7╳1000=23700
s1=1000 s2=900
s3=810
x1*=0
x2*=0
x3*=810
s1-x1*=1000 s2-x2*=900 s3-x3*=0
s4=567 x4*=567 s4-x4*=0
s5=397 x5*=397 s5-x5*=0
2.2 动态规划的基本方程 动态规划的最优性原理（贝尔曼原理）：作为整 个过程的最优策略具有这样的性质，即无论过去的状 态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余 下的诸决策必须构成最优策略。简言之，最优策略的 子策略也必是最优的。 根据此原理，要求全过程最优策略，可从子过程 策略的最优化入手。对于过程指标函数是阶段指标函 数和的形式，考虑k-子过程最优值函数fk(sk):
第4节 动态规划和静态规划的关系
静态规划所研究的问题是与时间无关的，而动态
规划所研究的问题是和时间有关的。对于某些静态规 划问题，也可人为地引入时间因素，把它看做一个按 阶段进行的动态规划问题，用动态规划的方法求解。
例 用动态规划法求解
max F=4x12-x22+2x32+12 3x1+2x2+x3≤9 xi≥0 i=1,2,3
0≤x4≤s4
0≤x4≤s4
动态规划(运筹学讲义).
)
min
d d
( (
E2 E2
, ,
F1) F2 )
f6 (F1) f6 (F2 )
min
5 2
4 3
5
u*5 (E2 )= F2
f5
(E3
)
min
d d
( (
E3 E3
, ,
F1) F2 )
f6 (F1) f6 (F2 )
min
fk
(sk
)
opt
uk Dk ( sk
)
vk (sk ,uk ) fk1(sk1)
fn1(sn1) 0
k=n, n 1, ,1
(8.4a) (8.4b)
Opt 可根据题意取 min 或 max
11
动态规划的基本思想如下：
（1）动态规划方法的关键在于正确写出基本递推关系式和恰当的边界条 件，因此必须将多阶段决策过程划分为n个相互联系的阶段，恰当地选取 状态变量、决策变量及定义最优指标函数，从而把问题化为一族同类型 的子问题，然后逐个求解 （2）求解时从边界条件开始，逆（或顺）过程逐段递推寻优。在每一个 子问题求解中，均利用了它前面子问题的最优结果，最后一个子问题的 最优解，就是这个问题的最优解。 （3）动态规划方法既把当前阶段与未来阶段分开，又把当前效益和未来 效率结合，因此每段的最优决策选取是从全局来考虑。 （4）在求这个问题的最优解时，由于初始状态是已知，而每阶段的决策 都是该段状态的函数，故最优策略所经过的各各阶段状态可逐次变换得 到，从而确定最优路线。
量最高。
决策
决策
决策
动态规划
§12.4 动态规划[学习目标]1. 能建立动态规划问题的数学模型；2. 会表述动态规划问题的一般形式；3. 会求解简单的动态规划问题。
动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。
这种方法把困难的多阶段决策问题变换成一系列互相联系比较容易的单阶段问题，解决了这一系列比较容易的单阶段问题，也就解决了这困难的多阶段决策问题。
多阶段决策问题，是指这样一类活动的过程，在它的每个阶段都需要做出决策，并且一个阶段的决策确定以后，常影响下一个阶段的决策，从而影响整个过程决策的效果。
多阶段决策问题就是要在允许的各阶段的决策范围内，选择一个最优决策，使整个系统在预定的标准下达到最佳的效果。
有时阶段可以用时间表示，在各个时间段，采用不同决策，它随时间而变动，这就有“动态”的含意。
动态规划就是要在时间的推移过程中，在每个时间阶段选择适当的决策，以便整个系统达到最优。
用动态规划可以解决管理中的最短路问题、装载问题、库存问题、资源分配、生产过程最优化问题。
近几十年来，动态规划在理论、方法和应用等方面取得了突出的进展，并在工程技术、经济、工业生产与管理、军事工程等领域得到广泛的应用。
下面我们先看一个简单的例子。
一、引例：最短线路问题如图形5.5，从A 0地要铺设一条管道到A 6地，、中间必须经过五个中间站。
第一可以在A B 11,两地中任选取一个，类似地，第二、三、四、五站可供选择的地点分别是{}{}{}{}A B C D A B C A B C A B 222233344455,,,,,,,,,,,。
连接两点间的管道的距离用图3-7上的数字表示，两点间没有连线的相应两点间不能铺设管道，现要选择一条从A 0到A 6的铺管线路，使总距离最短。
解 最短线路问题有一个特性，如果最短线路在第k 站通过p k ，则这一线路在由p k出发到达终点的所有可能选择的不同线路来说，必定也是距离最短的。
最短线路的这一特性，启发我们从最后一段开始，用从后向前逐渐递推的方法，示出各点到A 6的最短线路，最后球得从A 0到A 6的最短线路。
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例1 生产与存储问题 某车间需要按月在月底供应一定数 量的某种部件给总装车间，由于生产条件 的变化，该车间在各月份中生产每单位这 种部件所需耗费的工时不同，各月份的生 产量与当月的月底前，全部要存入仓库以 备后用。已知总装车间的各个月份的需求 量以及在加工车间生产该部件每单位数量 所需工时数如表所示。
f k ( sk ) min [ ak u k f k 1 ( sk u k d k )] k 0,1,...,6 u k Dk ( s k ) f 7 ( s7 ) 0
s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7
因要求期终库存量为0，所以s7=0。
因每月的生产是供应下月的需要，
动态规划模型的分类：
以“时间”角度可分成：
离散型和连续型。
从信息确定与否可分成： 确定型和随机型。
从目标函数的个数可分成：
单目标型和多目标型。
例2 投资决策问题
某公司现有资金Q亿元，在今 后5年内考虑给A、B、C、D四个项 目投资，这些项目的投资期限、回 报率均不相同，问应如何确定这些 项目每年的投资额，使到第五年末 拥有资金的本利总额最大。
u5 11 s5
10u5 10 (11 s5 ) 110 10 s5 最优解：u *5 11 s5
当k 4时， f 4 ( s4 ) min (a4u4 f 5 ( s5 ))
u 4 D4 ( s 4 )
min (20u4 110 10 s5 )
月份k 需求量dk
0 0
1 8
2 5
3 3
4 2
5 7
6 4
单位工时ak
11 18 13 17 20 10
设仓库容量限制为H=9，开始库存量为 2，期终库存量为0。需要制定一个半年 的逐月生产计划，即满足需要和库容量 的限制，又使生产这种部件的总耗费工 时数为最少。
多阶段决策过程最优化
多阶段决策过程是指这样一类 特殊的活动过程，他们可以按时间 顺序分解成若干相互联系的阶段， 在每个阶段都要做出决策，全部过 程的决策是一个决策序列。
第八章 动态规划
多阶段决策过程最优化问题
例1 生产与存储问题 某车间需要按月在月底供应一定数 量的某种部件给总装车间，由于生产条件 的变化，该车间在各月份中生产每单位这 种部件所需耗费的工时不同，各月份的生 产量与当月的月底前，全部要存入仓库以 备后用。已知总装车间的各个月份的需求 量以及在加工车间生产该部件每单位数量 所需工时数如表所示。
动态规划的基本概念 P163
阶段 状态变量
决策变量
指标函数 状态方程
1 阶段（Stage）
将所给问题的过程，按时间或 空间特征分解成若干个相互联系的 阶段，以便按次序去求每阶段的解， 常用k表示阶段变量。
2 状态（State）
各阶段开始时的客观条件 叫做状态。描述各阶段状态的 变量称为状态变量，常用sk表 示第k阶段的状态变量，状态 变量的取值集合称为状态集合， 用Sk表示。
各个阶段决策确定后，整个问 题的决策序列就构成一个策略，用 p1,n(d1,d2,…dn)表示。对每个实际 问题，可供选择的策略有一定的范 围，称为允许策略集合，用P表示。 使整个问题达到最优效果的策略就 是最优策略。
4 状态转移方程 动态规划中本阶段的状态往 往是上一阶段的决策结果。如果 给定了第k段的状态Sk ，本阶段 决策为Uk(Sk) ，则第k+1段的状态 Sk+1由公式： Sk+1=Lk（ Sk， Uk） 确定，称为状态转移方程。
d 3 s2 u 2 d 2 H 3 s2 u 2 - 5 9 得8 s2 u 2 14 s2 又 u 2 0， max[ 0,8 s2 ] u 2 14 s2
f 2 ( s2 ) 4u2 17 s2 329 4(14 s2 ) 17 s2 329 273 13 s2 最优解：u 14 s2
例8-3 设备更新问题
企业在使用设备时都要考虑 设备的更新问题，因为设备越陈 旧所需的维修费用越多，但购买 新设备则要一次性支出较大的费 用。
现在某企业要决定一台设备未来8 年的更新计划，已预测到第j年购 买设备的价格为Kj，Gj为设备经 过j年后的残值，Cj为设备连续使 用j-1年后在第j年的维修费用 (j=1,2…8)，问应在哪年更新设备 可使总费用最小。
当k 3时， f 3 ( s3 ) min [a3u3 f 4 ( s4 )]
u3 D3 ( s3 )
min [a3u3 f 4 ( s3 u3 d 3 )]
u3D3 ( s3 ) u3D3 ( s3 ) u3D3 ( s3 )
min (17u3 220 20( s3 u3 d 3 )) min (3u3 20 s3 280 )
5 指标函数
用于衡量所选定策略优 劣的数量指标称为指标函数。 最优指标函数记为fk(Sk)。
多阶段决策过程
决策u1 决策u2 决策uk 决策un 状态 阶段1 状态 阶段2 状态... 状态 阶段k 状态... 状态 阶段n 状态 s
s1
s2
s3
sk
sk+1
xn
n+1
贝尔曼(Ballman)最优化原理
C3
4
D3
5
E2
2
F
1
B2 4 A 3 2
2
C2 5 B1 4 3
3
D2 3 C1 3
4
E1 2 D1
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
1 8 7 2
6 5 8
1 5
3 2
A
9
7 6 7
8 9
2
6 2 1
3
4 3 B
5 3
3
3
动态规划的缺点：
k 1
• 状态转移方程： sk 1 sk uk d k
d k sk H
允许决策集合Dk(sk)：
k 0,1,2,..., 6
Dk (sk ) {uk : uk 0, d k 1 sk uk d k H }
生产与存储问题
• 最优值函数fk(sk)：在第k段开始的库存量 为sk时，从第k段至第6段所生产部件的 最小累计工时数。 • 逆推关系式：
月份k 需求量dk
0 0
1 8
2 5
3 3
4 2
5 7
6 4
单位工时ak
11 18 13 17 20 10
设仓库容量限制为H=9，开始库存量为 2，期终库存量为0。需要制定一个半年 的逐月生产计划，即满足需要和库容量 的限制，又使生产这种部件的总耗费工 时数为最少。
• • • •
解：按月份划分阶段K。 状态变量Sk：第k段开始时部件库存量。 决策变量uk：第k段内的部件生产量。 6 全过程目标管理函数 f1 uk
* 2
当k 1时，
生产与存储问题 f1 ( s1 ) min [ a1u1 f 2 ( s2 )]
u1D1 ( s1 ) u1D1 ( s1 ) u1D1 ( s1 ) u1D1 ( s1 )
min [ a1u1 f 2 ( s1 u1 d1 )] min [18u1 273 13( s1 u1 8)] min (5u1 13 s1 377 ) 13 s1 u1 17 s1 f1 ( s1 ) 442 18 s1 最优解：u 13 s1
u 4 D4 ( s4 ) u 4 D4 ( s4 ) u 4 D4 ( s4 )
min (20u4 110 10 ( s4 u4 2)) min (10u4 10 s4 130 )
d 5 s4 u 4 d 4 H 7 s4 u 4 - 2 9 得9 s4 u4 11 s4 又 u4 0， max[ 0,9 s4 ] u4 11 s4 由d k sk H , 知s4 9 D4 ( s4 )为： 9 s 4 u 4 11 s 4 f 4 ( s4 ) 10 (9 s4 ) 10 s4 130 220 20 s4 最优解：u *4 9 s4
动态规划中的状态具有如下性质：
当某阶段状态给定以后，在这 阶段以后的过程的发展不受这段以 前各段状态的影响。即：过程的过 去历史只能通过当前状态去影响它 未来的发展，这称为无后效性。如 果所选定的变量不具备无后效性， 就不能作为状态变量来构造动态规 划模型。
3 决策（Decision）
当各段的状态确定以后，就可 以做出不同的决定（或选择），从 而确定下一阶段的状态，这种决定 称为决策。决策变量用Uk(Sk)表示。
* 1
当k 0时， f 0 ( s0 ) min [ a0u0 f1 ( s1 )]
u 0 D0 ( s0 )
min [ a0u0 f1 ( s0 u0 d 0 )]
u 0 D0 ( s0 ) u 0 D0 ( s0 ) u 0 D0 ( s0 )
min [11u0 442 18( s0 u0 0)] min ( 7u0 18 s0 442 ) 8 s0 u 0 9 s0 f 0 ( s0 ) 379 11s0 最优解：u 9 s0
动态规划是解决多阶段决策过程 最优化问题的一种方法。 由美国数学家贝尔曼（Ballman） 等人在20世纪50年代提出。他们针对 多阶段决策问题的特点，提出了解决 这类问题的“最优化原理”，并成功 地解决了生产管理 、 工程技术等方 面的许多实际问题。