不等式的解法典型例题

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不等式的题目

不等式的题目一、一元一次不等式1. 解不等式3x - 5 < 4- 解析：- 首先将不等式进行移项，得到3x<4 + 5，即3x<9。

- 然后两边同时除以3，解得x < 3。

2. 解不等式2(x+1)-3x≥0- 解析：- 先展开括号得2x+2 - 3x≥0。

- 合并同类项得-x+2≥0。

- 移项得-x≥ - 2。

- 两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得x≤2。

3. 不等式5x+12 - 8(x - 1)<0的解集是多少？- 解析：- 先展开括号得5x + 12-8x + 8<0。

- 合并同类项得-3x+20 < 0。

- 移项得-3x<-20。

- 两边同时除以-3，不等号方向改变，解得x>(20)/(3)。

4. 解不等式(2x - 1)/(3)≤(3x+2)/(4)-1- 解析：- 首先给不等式两边同时乘以12去分母，得到4(2x - 1)≤3(3x + 2)-12。

- 展开括号得8x-4≤9x + 6-12。

- 移项得8x-9x≤6 - 12 + 4。

- 合并同类项得-x≤ - 2。

- 两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得x≥2。

5. 若关于x的不等式3x - m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是多少？- 解析：- 解不等式3x - m≤0，得x≤(m)/(3)。

- 因为正整数解是1，2，3，所以3≤(m)/(3)<4。

- 解3≤(m)/(3)得m≥9；解(m)/(3)<4得m < 12。

- 所以m的取值范围是9≤ m<12。

二、一元一次不等式组6. 解不等式组cases(x+3>02x - 1≤3)- 解析：- 解不等式x + 3>0，得x>- 3。

- 解不等式2x-1≤3，移项得2x≤3 + 1，即2x≤4，解得x≤2。

- 所以不等式组的解集为-3 < x≤2。

7. 解不等式组cases(3x - 1>2x+12x<4)- 解析：- 解不等式3x - 1>2x + 1，移项得3x-2x>1 + 1，解得x>2。

高中不等式经典例题

高中不等式经典例题例1解不等式：(1)2x ³-x ²-15x>0;(2)(x+4)(x+5)²(2-x)³<0.分析：如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正：②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图.典型例题二例2解下列分式不等式： (1)3x−2≤1−2x+2; (2)x 2−4x+13x 2−7x+2<1分析：当分式不等式化为 f (x )g (x )<0(或≤0)时，要注意它的等价变形(1) 解：原不等式等价于3x−2≤x x+23x−2−x x+2≤03(x+2)−x (x−2)(x−2)(x+2)≤0−x 2+5x+6(x−2)(x+2)≤0可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况。

解:(1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0x 1=0,x 2=−52,x 3=3顺次标上数轴，然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分，∴原不等式解集为(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)³(x -2)³>0x>2 ∴原不等式解集为或-5<x<-4或x>2}f (x )g (x )<0f (x )⋅g (x )<0;(x−6)(x+1)(x−2)(x+2)≥0{(x −6)(x +1)(x −2)(x +2)≥0(x +2)(x −2)≠0(2) 解法一：原不等式等价于2x 2−3x+13x 2−7x+2>0 (2x 2−3x +1)(3x 2−7x +2)>0{2x 2−3x +1>03x 2−7x +2>0或 {2x 2−3x +1<03x 2−7x +2<0x <13或 12<x <1或x>2，∴原不等式解集为 (−∞,13)∪(12,1)∪(2,+∞). 解法二：原不等式等价于典型例题三例3解不等式|x ²-4|<x+2 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 |a|={a (a ≥0)−a(a <0)二是根据绝对值的性质： |x|<a −a <x <a,|x|ax >a 或x<-a, 因此本题有如下两种解法。

不等式解法15种典型例题

不等式解法15种典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2450)2)(4(05x x x x x x 或 ∴原不等式解集为 {}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ① 0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； ② ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f （1）解：原不等式等价于0223223≤+--⇔+≤-x x x x x x 0)2)(2(650)2)(2()2()2(32≤+-++-⇔≤+---+⇔x x x x x x x x x⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(x x x x x x x x x x 用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

一元二次不等式例题20道

例题1 题目：解不等式x 2 −4x+3>0。

答案：x<1 或x>3。

例题2 题目：解不等式2x 2 −5x−3≤0。

答案：− 2 1 ≤x≤3。

例题3 题目：解不等式x 2 −6x+9<0。

答案：无解。

例题4 题目：解不等式4x 2 −12x+9≥0。

答案：x= 2 3 。

例题5 题目：解不等式x 2 +2x−3<0。

答案：−3<x<1。

例题6 题目：解不等式x 2 −2x−8>0。

答案：x<−2 或x>4。

例题7 题目：解不等式3x 2 −5x−2≤0。

答案：− 3 1 ≤x≤2。

例题8 题目：解不等式x 2 +4x+4>0。

答案：x =−2。

例题9 题目：解不等式2x 2 +x−3≥0。

答案：x≤− 2 3 或x≥1。

例题10 题目：解不等式−x 2 +4x−4<0。

答案：x =2。

例题11 题目：解不等式x 2 −5x<0。

答案：0<x<5。

例题12 题目：解不等式4x 2 −4x+1>0。

答案：无解（因为不等式左侧是完全平方，始终非负，但等号不成立）。

例题13 题目：解不等式x 2 −3x−10≤0。

答案：−2≤x≤5。

例题14 题目：解不等式2x 2 +7x+3>0。

答案：x<− 2 3 或x>− 2 1 。

例题15 题目：解不等式x 2 −2 2 x+2≤0。

答案：x= 2 。

例题16 题目：解不等式x 2 +x−6<0。

答案：−3<x<2。

例题17 题目：解不等式x 2 −4x−5≥0。

答案：x≤−1 或x≥5。

例题18 题目：解不等式4x 2 −12x−5<0。

答案：需要求解对应的二次方程找到根，然后判断不等式的解集。

例题19 题目：解不等式−2x 2 +5x+3>0。

答案：− 2 1 <x<3。

例题20 题目：解不等式x 2 +6x+8≤0。

几种常见不等式的解法练习

几种常见不等式的解法练习一、一元一次不等式1、2x+3>02、⎩⎨⎧<->+1403x 2x二、绝对值不等式 1、5500≤-x . 2、752>+x 3、32≥-x 4、1≤ | 2x -1 | < 5. 5、 |4x -3|>2x+1三、一元二次不等式1、02322≥--x x2、01692>++x x3、542<-x x4、（x -1）(x+3)<0解不等式组（1）22371002520x x x x ⎧--≤⎨-+>⎩ （2）2223054x x x x ⎧-->⎨->⎩拓展：3.若不等式02>++c bx ax 的解集为(-2,3),求不等式02<-+b ax cx 的解集.4. 当k 为何值时，不等式08322<-+kx kx 对于一切实数x 都成立？5、若关于x 的不等式270x ax -+>在()2,7上有实数解，则a 的取值范围是（）A ．(),8∞-B ．(],8∞-C ．(,-∞D ．11,2⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭6、若存在()2,1x ∈--，使得不等式220x kx -+>成立，则实数k 的取值范围为（）A ．()-+∞B ．(,-∞-C ．()3,-+∞D ．[)3,∞-+7、若不等式230ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．8、若22x x a ++≥对R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为四、分式不等式（1）x －3x ＋7 ＜0 （2）3＋2x ＜0 （3）4x －3 ＞2－x 3－x－3 （4） 3x ＞1五、根式不等式1、0231≤---x x2、125->-x x3、x x x 211322+>+-4、x x x 211322+<+-六、指数不等式与对数不等式1、82x <2、813x < 3、4121x <）（ 4、lgx<1 5、41log 2>x6、集合{}240x A x =->，{}lg 10B x x =-<，则A B =（） A ．()2,e B ．()e,10 C ．()2,10 D ．()0,107、已知集合{}122x A x =<<，{}1B x x =≥，则（） A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =RD ．A B =∅七、抽象不等式1、已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，若()()211f a f ->，则实数a 的取值范围为___________.2、已知函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为______．3、已知在R 上可导的函数()f x 的图象如下图所示，则不等式()()()10x f x f x '->的解集为______．。

解不等式例题50道

解不等式例题50道一、一元一次不等式1. 解不等式：2x + 5>9- 解析：- 首先对不等式进行移项，将常数项移到右边，得到2x>9 - 5。

- 计算右边式子得2x>4。

- 两边同时除以2，解得x > 2。

2. 解不等式：3x-1<8- 解析：- 移项可得3x<8 + 1。

- 即3x<9。

- 两边同时除以3，解得x<3。

3. 解不等式：5x+3≤slant2x + 9- 解析：- 移项，把含x的项移到左边，常数项移到右边，得到5x-2x≤slant9 - 3。

- 计算得3x≤slant6。

- 两边同时除以3，解得x≤slant2。

4. 解不等式：4x-7≥slant3x+1- 解析：- 移项得4x - 3x≥slant1+7。

- 即x≥slant8。

5. 解不等式：(1)/(2)x+3>x - 1- 解析：- 移项可得(1)/(2)x-x>-1 - 3。

- 通分计算，((1)/(2)-(2)/(2))x>-4，即-(1)/(2)x>-4。

- 两边同时乘以 - 2，不等号变向，解得x < 8。

6. 解不等式：(2)/(3)x-1≤slant(1)/(3)x+2- 解析：- 移项得(2)/(3)x-(1)/(3)x≤slant2 + 1。

- 计算得(1)/(3)x≤slant3。

- 两边同时乘以3，解得x≤slant9。

7. 解不等式：2(x + 3)>3(x - 1)- 解析：- 先展开括号，得到2x+6>3x - 3。

- 移项得2x-3x>-3 - 6。

- 计算得-x>-9。

- 两边同时乘以 - 1，不等号变向，解得x < 9。

8. 解不等式：3(x - 2)≤slant2(x+1)- 解析：- 展开括号得3x-6≤slant2x + 2。

- 移项得3x-2x≤slant2+6。

- 计算得x≤slant8。

不等式计算题50道

不等式计算题50道一、一元一次不等式1. 解不等式2x + 3>5- 解析：首先将常数项移到右边，得到2x>5 - 3，即2x>2。

然后两边同时除以2，解得x > 1。

2. 解不等式3x-1<8- 解析：先将常数项移到右边，3x<8 + 1，也就是3x<9。

两边同时除以3，解得x<3。

3. 解不等式(1)/(2)x+5≥slant3- 解析：先将常数项移到右边，(1)/(2)x≥slant3 - 5，即(1)/(2)x≥slant - 2。

两边同时乘以2，解得x≥slant - 4。

4. 解不等式4-(2)/(3)x>2- 解析：先将常数4移到右边，-(2)/(3)x>2 - 4，即-(2)/(3)x>-2。

两边同时乘以-(3)/(2)，不等号方向改变，解得x < 3。

5. 解不等式5x+2≤slant3x - 4- 解析：先将含x的项移到左边，常数项移到右边，5x-3x≤slant - 4 - 2，即2x≤slant - 6。

两边同时除以2，解得x≤slant - 3。

6. 解不等式2(x - 1)+3>3x- 解析：先展开括号2x-2 + 3>3x，即2x + 1>3x。

将2x移到右边，得到1>3x-2x，解得x < 1。

7. 解不等式3(x + 2)-1≥slant5x-2- 解析：展开括号得3x+6 - 1≥slant5x-2，即3x + 5≥slant5x-2。

移项3x-5x≥slant - 2 - 5，-2x≥slant - 7。

两边同时除以-2，不等号方向改变，解得x≤slant(7)/(2)。

8. 解不等式(3x - 1)/(2)<(2x+3)/(3)- 解析：两边同时乘以6去分母，得到3(3x - 1)<2(2x + 3)。

展开括号9x-3<4x + 6。

移项9x-4x<6 + 3，5x<9，解得x<(9)/(5)。

不等式解法种典型例题

或或
或或 .∴原不等式解集是 .
解法二：原不等式化为 .画数轴，找因式根，分区间，定符号.
符号
∴原不等式解集是．
说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解.解法二中，“定符号”是关键.当每个因式的系数为正值时,最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间;也可以先决定含０的区间符号,其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
解：(解法1)由题可判断出，是方程的两根,
∴ ，．又的解集是，说明 .
而 , ，∴ ．
∴ ,即 ,即 .
又，∴ ,∴ 的解集为 .
(解法2)由题意可判断出 , 是方程的两根,
∴ ．又的解集是 ,说明 .
而 , ．
对方程两边同除以得．
令 ,该方程即为，它的两根为 , ,
∴ ， .∴ , ，∴方程的两根为，．
典型例题八
例8解不等式．
分析:先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得 ,
∴原不等式等价于不等式组
∴原不等式的解集为．
说明：解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解.
典型例题九
例９解关于的不等式 .
∵ ，∴ ．∴不等式的解集是．
说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根；(２)结合使用韦达定理,本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数， , 的关系也用，表示出来;（3)注意解法２中用“变换”的方法求方程的根.
解法一：原不等式，即

初中不等式经典例题

初中不等式经典例题一、例题11. 若不等式3x - a ≤ 0的正整数解是1、2、3，求a的取值范围。

这题啊，可有点小绕呢。

首先我们来解这个不等式3x - a ≤ 0，把它变形一下就得到x ≤ a/3。

正整数解是1、2、3，那就是说3肯定是满足这个不等式的，所以3 ≤ a/3，这就得出a ≥ 9。

但是呢，4就不满足这个不等式了，要是4满足的话正整数解就不止1、2、3了，所以4 > a/3，也就是a < 12。

所以啊，a的取值范围就是9 ≤ a < 12。

2. 已知关于x的不等式组{x - a > 0，1 - x > 0}的整数解共有3个，求a的取值范围。

先看这个不等式组，x - a > 0，那就是x > a；1 - x > 0，变形一下就是x < 1。

这个不等式组的解集就是a < x < 1。

它的整数解共有3个，那这三个整数解肯定是 - 2， - 1，0啊。

所以 - 3 ≤ a < - 2。

为什么呢？要是a < - 3的话，整数解就不止3个了，要是a ≥ - 2的话，整数解就没3个了，是不是很有趣呢？二、例题21. 解不等式2(x - 1) + 5 < 3x。

这题看着简单，可也有不少同学会犯错哦。

我们先把括号展开，2x - 2 + 5 < 3x，然后把含有x的项移到一边，常数项移到另一边，就得到2x - 3x < 2 - 5，也就是 - x < - 3。

两边同时除以 - 1，注意哦，除以一个负数的时候，不等式要变号，所以x > 3。

2. 若不等式组{x + 8 < 4x - 1，x > m}的解集是x > 3，求m 的取值范围。

先解x + 8 < 4x - 1，移项得到x - 4x < - 1 - 8， - 3x < - 9，x > 3。

这个不等式组的解集是x > 3，还有个x > m，那m肯定是小于等于3的。

不等式的解集典型例题

（3）不正确．因为小于1的数是不等式2x+1＜7的解，但是大于1小于3的数（如2，2．5等）也是不等式的解，因此x＜1，并不是不等式的所有解，因此不是不等式2x+1＜7的解集．
（4）正确，因为x＜3是不等式2x+1＜7的所有解组成的集合．
说明：要注意区分“不等式的解”与“不等式解集”的意义．
例2将下列不等式的解集在数轴上表示出来：
（1）x＞2；（2）x＜2；（3）x≥2；
（4）x≤2；（5）x≥－3；（6）x≤a（a＞0）
解：（1）如图
（2）如图
（3）如图
（4）如图
（5）如图
（6）如图
说明：在数轴上表示不等式的解集时，要特别注意画线的方向和起点：大于向右画，小于向在画；不等号中含有等号起点画实心圆点，不含有等号起点画圆圈．
例3分别用x的不等式表示下列用数轴表示的不等式的解集：
典型例题
例1判断下列说法是否正确？为什么？
（1）x=1是不等式2x+1＜7的解；
（2）x=1是不等式2x+1＜7的解集；
（3）不等式2x+1＜7的解集为x＜3
解：（1）正确．因为1能使不等式2x+1＜7成立．
（2）不正确．因为不等式2x+1＜7有无数个解，而x=1仅是其中的一个，因此不能称为解集．
解：（1）x≥－2；（2）x＜－2
例4求不等式x+3＜6的正整数解．
解：由不等式的基本性质1，得x＜6－3，即x＜3是不等式x+3＜6的解集，因此不等式x+3＜6的正整数解为1，2，共两个．
说明：本例是求不等式的特殊解（正整数解），可先利用不等式的基本性质求出不等式的所有解（即不等式的解集），然后从所有解中筛选出特殊解．

不等式的解法练习题

不等式的解法练习题一、简单不等式的解法解下列不等式：1. 2x + 3 < 92. 5 - 3x ≤ 73. -4x > 244. 2(x - 4) ≥ 10解答：1.首先，将不等式2x + 3 < 9转化为等价的方程2x + 3 = 9，然后解这个方程。

2x + 3 = 92x = 9 - 32x = 6x = 6 / 2x = 3由此可得，不等式的解集为x < 3。

2.首先，将不等式5 - 3x ≤ 7转化为等价的方程5 - 3x = 7，然后解这个方程。

5 - 3x = 7-3x = 7 - 5-3x = 2x = 2 / -3由此可得，不等式的解集为x ≥ -2/3。

3.首先，将不等式-4x > 24转化为等价的方程-4x = 24，然后解这个方程，并注意反号。

-4x = 24x = 24 / -4x = -6由此可得，不等式的解集为x < -6。

4.首先，将不等式2(x - 4) ≥ 10进行展开计算，然后解这个方程。

2(x - 4) ≥ 102x - 8 ≥ 102x ≥ 10 + 8x ≥ 18 / 2x ≥ 9由此可得，不等式的解集为x ≥ 9。

二、复杂不等式的解法解下列复杂不等式：1. 3(x + 2) - 5(x - 1) ≤ 102. 4x - 3 > 5(x + 2)3. 2(3 - x) + 7x > 13解答：1.首先，对于3(x + 2) - 5(x - 1) ≤ 10，先进行分配律的运算再整理。

3x + 6 - 5x + 5 ≤ 10-2x + 11 ≤ 10-2x ≤ 10 - 11-2x ≤ -1由于系数-2为负数，所以不等号方向要改变，同时需要将整个不等式乘以-1。

2x ≥ 1由此可得，不等式的解集为x ≥ 1/2。

2.首先，对于4x - 3 > 5(x + 2)，先进行分配律的运算再整理。

4x - 3 > 5x + 10-x > 13由于系数-1为负数，所以不等号方向要改变，同时需要将整个不等式乘以-1。

不等式典型例题学生版

典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++245)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或∴32<≤x 或21<<x故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或．典型例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x ．．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322．分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ．由012>++x x 恒成立，知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x ．解之，得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或．说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．说明：解不等式时，由于R m ∈，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当0=m 时，原不等式化为03<-，此时不等式的解集为R ，所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情况来讨论．在解出03222=-+mx x m 的两根为mx 31-=，m x 12=后，认为mm13<-，这也是易出现的错误之处．这时也应分情况来讨论：当0>m 时，mm13<-；当0<m 时，mm 13>-．典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x 由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a ，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥．综上可知，当20≤<a 时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．说明：本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2a x >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．典型例题八例8 解不等式331042<--x x ．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ．(1)当2a a <（即1>a 或0<a ）时，不等式的解集为：{}2a x a x x ><或；(2)当2a a >（即10<<a ）时，不等式的解集为：{}a x a x x><或2；(3)当2a a =（即0=a 或1）时，不等式的解集为：{}a x R x x≠∈且．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．解：(解法1)由题可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根， ∴ab -=β+α，ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ．而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ， ∴0022<++⇔>++c a x c b x a bx cx ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--=+-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+),1)(1(1,11βααββααββαβαβαa c c b a c ab∴02<++ca x cb x ，即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x ，即0)1)(1(<β-α-x x ．又β<α<0，∴β>α11，∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x ． (解法2)由题意可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根，∴ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ．而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ．对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得 0)1()1(2=+⋅+⋅c x b x a ．令xt 1=，该方程即为02=++c t b t a ，它的两根为α=1t ，β=2t ，∴α=11x ，β=21x ．∴α=11x ，β=12x ，∴方程02=++a bx cx 的两根为α1，β1．∵β<α<0，∴β>α11．∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x．说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十三例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．典型例题十四例15 解不等式x x x ->--81032．说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ，这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032，则所求不等式的解集为A 的补集A ，由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x ．即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．。

不等式的解集典型例题

（3）不正确．因为小于1的数是不等式2x+1＜7的解，但是大于1小于3的数（如2，2．5等）也是不等式的解，因此x＜1，并不是不等式的所有解，因此不是不等式2x+1＜7的解集．
（4）正确，因为x＜3是不等式2x+1＜7的所有解组成的集合．
说明：要注意区分“不等式的解”与“不等式解集”的意义．
例2将下列不等式的解集在数轴上表示出来：
解：（1）x≥－2；（2）x＜－2
例4求不等式x+3＜6的正整数解．
解：由不等式的基本性质1，得x＜6－3，即x＜3是不等式x+3＜6的解集，因此不等式x+3＜6的正整数解为1，2，共两个．
说明：本例是求不等式的特殊解（正整数解），可先利用不等式的基本性质求出不等式的所有解（即不等式的解集），然后从所有解中筛选出特殊解．
（1）x＞2；（2）x＜2；（3）x≥2；
（4）x≤2；（5）x≥－3；（6）x≤a（a＞0）
解：（1）如图
（2）如图
（3）如图
（4）如图
（5）如图
（6）如图
说明：在数轴上表示不等式的解集时，要特，不含有等号起点画圆圈．
例3分别用x的不等式表示下列用数轴表示的不等式的解集：
典型例题
例1判断下列说法是否正确？为什么？
（1）x=1是不等式2x+1＜7的解；
（2）x=1是不等式2x+1＜7的解集；
（3）不等式2x+1＜7的解集为x＜1；
（4）不等式2x+1＜7的解集为x＜3
解：（1）正确．因为1能使不等式2x+1＜7成立．
（2）不正确．因为不等式2x+1＜7有无数个解，而x=1仅是其中的一个，因此不能称为解集．

高中数学不等式解法15种典型例题

x + 5 0 (x + 4)(x
−
2)
0
x x
−5 −4或x
2
∴原不等式解集为 x x −5或 − 5 x −4或x 2
说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中 x 的系数必为正；②对
于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．
典型例题七
∴原不等式解集是{x x −2，或1 x 5，或x 6} ．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式 x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
2x2 3x2
− −
3x 7x
+ +
1200或32xx22
− −
3x 7x
+ +
1 0 20
∴原不等式解集为
(−,
1) 3
(
1 2
,1)
(2,+)
。
x 1 或 1 x 1或x 2 32
解法二：原不等式等价于 (2x −1)(x −1) 0 (3x −1)(x − 2)
(2x −1)(x −1)(3x −1) (x − 2) 0 用“穿根法”∴原不等式解集为 (−, 1) (1 ,1) (2,+)
画数轴，找因式根，分区间，定符号． (x − 1)(x − 5) 符号 (x + 2)(x − 6)
解之，得原不等式的解集为{x −1 x 2或x 3}．
说明：此题易出现去分母得 x2 + 2x − 2 x(3 + 2x − x2 ) 的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．