二次函数翻折题
二次函数(基础思想)讲义
二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。
2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。
⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。
基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。
5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。
7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。
二次函数与角有关的问题整理
二次函数与角有关的问题整理二次函数与角有关的问题整理二次函数背景下与角有关的存在性问题是各地中考和模拟考试的热点问题。
这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。
为此，我们将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理。
首先，我们将这些题大致分成两大类：相等角问题和半角或倍角问题。
相等角问题又分为三种：第一种是将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。
例如，在例1中，抛物线y=-x2+3x+4与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。
我们可以发现符合条件的点M有两个，一个在OP上方，一个在OP下方。
当M在OP上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA，则M与C点重合。
当M在OP下方时，这两角组成的三角形是等腰三角形。
设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD2、PD2长，根据OD2=PD2列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。
第二种是将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。
这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例如，在例2中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.1）求抛物线的解析式及点D的坐标；2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标。
通过已知条件易得抛物线表达式为y=x2-2x-6及各定点坐标。
第二问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。
在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=2，则tan∠FAB=2.过F作x轴垂线，构造∠FAB所在直角三角形，接着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据XXX∠FAB=AH/FH，列方程求解即可。
二次函数29个难题的解法
二次函数精选1、如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，问当x为何值时△PD Q的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PD Q M是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.2、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（1）设x到后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）3、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）4、如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
二次函数知识点总结
1.平移步骤：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
⑵保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
2平移规律
在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
（2）已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
二次函数解析式的几种求法
二次函数的解析式的求法是数学学习的重点与难点，基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下：
③没有交点 抛物线与 轴相离.
4平行于 轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.
5一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点;②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与 没有交点.
将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．
（2）求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=221221x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（202*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（202*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（202*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c<0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．6、已知二次函数y＝ax2（a≥1）的图像上两点A、B的横坐标分别是－1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为。
九年级数学上册第二十二章二次函数高频考点知识梳理(带答案)
九年级数学上册第二十二章二次函数高频考点知识梳理单选题1、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据题意分a>0,a<0两种情况讨论，结合函数图象即可求解．解：A.正比例函数中a<0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故A 不正确；B.正比例函数中a>0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中a>0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，故C正确；D. .正比例函数中a<0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故D不正确；故选C小提示：本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．2、函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．答案：D分析：先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；故选D．小提示：本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．3、在平面直角坐标系中，若抛物线y=2(x+5)(x−3)经一次变换后得到抛物线y=2(x+3)(x−5)，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移8个单位D．向下平移8个单位答案：B分析：先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．故选：B．小提示：本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．4、若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a＞0C．a＞2D．a≠0答案：A分析：根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案．解：由题意得：a−2≠0，则a≠2．故选：A．小提示：本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．5、某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元答案：D分析：将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250∵－2＜0故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D．小提示：此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．6、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（）A．小球在空中经过的路程是40mB．小球运动的时间为6sC．小球抛出3s时，速度为0D．当t=1.5s时，小球的高度ℎ=30m答案：A分析：选项A、B、C可直接由函数图象中的信息分析得出答案；选项D可由待定系数法求得函数解析式，再将t＝1.5s代入计算，即可作出判断．解：A、由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故选项A 错误；B、由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故选项B正确；C、小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故选项C正确；D、设函数解析式为ℎ=a(t−3)2+40，将（0，0）代入得：0=a(0−3)2+40，解得a=−40，9∴函数解析式为ℎ=−40(t−3)2+40，9∴当t＝1.5s时，ℎ=−40(1.5−3)2+40=30，9∴选项D正确．故选：A．小提示：本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的关键．7、某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足函数关系式y=−5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（）A．90元，4500元B．80元，4500元C．90元，4000元D．80元，4000元答案：B分析：设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．解：设每月总利润为w，依题意得：w=y(x−50)=(−5x+550)(x−50)=−5x2+800x−27500=−5(x−80)2+4500∵−5<0，此图象开口向下，又x≥50，∴当x=80时，w有最大值，最大值为4500元．故选：B．小提示：本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．8、下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于-6D．当x>1时，y的值随x值的增大而增大答案：C分析：利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题意得：{4a −2b +c =6c =−4a +b +c =−6 ，解得：{a =1b =−3c =−4， ∴二次函数的解析式为y =x 2−3x −4=(x −32)2−254，∵a =1>0，∴这个函数的图象开口向上，故A 选项不符合题意；∵△=b 2−4ac =(−3)2−4×1×(−4)=25>0，∴这个函数的图象与x 轴有两个不同的交点，故B 选项不符合题意；∵a =1>0，∴当x =32时，这个函数有最小值−254<−6，故C 选项符合题意；∵这个函数的图象的顶点坐标为(32，−254)，∴当x >32时，y 的值随x 值的增大而增大，故D 选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键．9、抛物线y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，则c 的值为（ ）A ．−14B ．14C ．−4D ．4答案：B分析：根据抛物线与x 轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c 的值．解：∵y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，∴x 2+x +c =0有两个相等的实数根， ∴△=1-4c =0，解得：c =14．故选：B ．小提示：此题考查了抛物线与x 轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．10、小嘉说：将二次函数y =x 2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D分析：根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．解：①将二次函数y=x2向右平移2个单位长度得到：y=(x−2)2，把点(2,0)代入得：y=(2−2)2=0，所以该平移方式符合题意；②将二次函数y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：y=(x−1)2−1，把点(2,0)代入得：y=(2−1)2−1=0，所以该平移方式符合题意；③将二次函数y=x2向下平移4个单位长度得到：y=x2−4，把点(2,0)代入得：y=22−4=0，所以该平移方式符合题意；④将二次函数y=x2沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：y=−x2+4，把点(2,0)代入得：y=−22+4=0，所以该平移方式符合题意；综上所述：正确的个数为4个；故选D．小提示：本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．填空题11、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝−1（x﹣5）2＋66（1）雕塑高OA的值是____m；（2）落水点C，D之间的距离是____m．答案： 116##156 22 分析：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 的坐标，进而可得出雕塑高OA 的值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标，进而可得出OD 的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC 的长，结合CD ＝OC +OD 即可求出落水点C ，D 之间的距离；解：（1）当x ＝0时，y =−16×（0﹣5）2+6=116，∴点A 的坐标为（0，116），∴雕塑高116m ． 所以答案是：116． （2）当y ＝0时，−16（x ﹣5）2+6＝0，解得：x 1＝﹣1（舍去），x 2＝11，∴点D 的坐标为（11，0），∴OD ＝11m ．∵从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC ＝OD ＝11m ，∴CD ＝OC +OD ＝22m ．所以答案是：22．小提示：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A 的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D 的坐标；．12、已知抛物线y =(x −1)(x −5)与x 轴的公共点坐标是A(x 1,0),B(x 2,0)，则x 1+x 2=_______．答案：6分析：令y=0，可得(x−1)(x−5)=0，解出即可求解．解：∵抛物线y=(x−1)(x−5)与x轴的公共点坐标是A(x1,0),B(x2,0)，令y=0，则(x−1)(x−5)=0，解得：x1=1,x2=5，∴x1+x2=1+5=6．所以答案是：6．小提示：本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．13、如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米答案：0.64分析：根据抛物线，建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求得OC的长．解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)，由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，代入y=ax2(a≠0)，有y F=(−0.6)2a=0.36a，y A=(−0.8)2a=0.64a，点A 的纵坐标即为OC 的长，∴0.36a ＋0.28＝0.64a ，解得a ＝1，∴抛物线解析式为y =x 2，y A =(−0.8)2=0.64，故OC 的长为：0.64m ．小提示：本题考查根据抛物线构建直角坐标系，解决实际问题，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键．14、已知二次函数y =ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：答案：y =2x 2+2x −74 分析：将点(−1,−74)，(0,−74)，(1,94)代入y =ax 2+bx +c 中，进行计算即可得．解：将点(−1,−74)，(0,−74)，(1,94)代入y =ax 2+bx +c 中，得{ a −b +c =−74c =−74a +b +c =94解得，{a =2b =2c =−74，则二次函数的解析式为：y =2x 2+2x −74， 所以答案是：y =2x 2+2x −74． 小提示：本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．15、如图，已知抛物线y =−2x 2+4x +6与x 轴相交于于点A ，B ，与y 轴的交于点C ．点P(m ，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设ΔPBC 的面积为S ．下列结论：①AB =4；②OC =6；③S 最大值=274，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）答案：①②③分析：y=−2x2+4x+6中令y=0得：−2x2+4x+6=0，得A（-1，0），B（3，0），从而判断①；y=−2x2+4x+6中令x=0得：y=6，得C（0，6），从而判断②；过点P作PF//y轴，交BC于点F，求出BC的函数关系式，得出点P的坐标为(m,−2m2+4m+6)，点F的坐标为(m,−2m+6)，再列出S关于m的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③．∵抛物线y=−2x2+4x+6与x轴相交于于点A，B，∴令y=0得：−2x2+4x+6=0，解得：x1=−1,x2=3，∴A（-1，0），B（3，0），∴AB=4故①正确；∵抛物线y=−2x2+4x+6与y轴相交于于点C，∴令x=0得：y=6，∴C（0，6），∴OC=6，故②正确；过点P作PF//y轴，交BC于点F，如图1所示．设直线BC 的解析式为y =kx +c ，将B(3,0)、C(0,6)代入y =kx +c ，得{3k +c =0c =6 ，解得{k =−2c =6， ∴直线BC 的解析式为y =−2x +6．∵点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴点P 的坐标为(m,−2m 2+4m +6)，则点F 的坐标为(m,−2m +6)，∴PF =−2m 2+4m +6−(−2m +6)=−2m 2+6m ，∴S =12PF ⋅OB =−3m 2+9m =−3(m −32)2+274， ∴当m =32时，ΔPBC 面积取最大值，最大值为274．故③正确，所以答案是：①②③．小提示：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键．解答题16、跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B 、C 相距20cm ，头顶A 离地175cm ，相距60cm 的双手D 、E 离地均为80cm ．点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B 、C 两点，且甩绳形状始终保持不变．(1)求经过脚底B、C时绳子所在抛物线的解析式．(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．答案：(1)y=110x2−90.(2)不成功，理由见解析分析：（1）建立如图所示的坐标系：结合题意可得：D(−30,0),E(30,0),由双手D、E离地均为80cm，可得C 点坐标为：(10,−80),再利用待定系数法求解解析式即可；（2）由175−80=95>80,可得跳绳不过头顶A，从而可得答案．（1）解：建立如图所示的坐标系：结合题意可得：D(−30,0),E(30,0),∵双手D、E离地均为80cm．∴C点坐标为：(10,−80),设抛物线为：y=ax2−80,{0=900a+b−80=100a+b,解得：{a=110b=−90,所以抛物线为y=110x2−90.（2）解：∵y=0.1x²－90，∴顶点为（0，－90）.即跳绳顶点到手的距离是90cm，∵175−90=85>80,∴跳绳不过头顶A，∴小明此次跳绳能不成功．小提示：本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，建立合适的坐标系是解本题的关键．17、如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B(0,−12)，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．答案：（1）y=18(x−2)2−1；（2）见解析；（3）2√2+6，(4,−12)分析：（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m，18m2−12m−12），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=√22+22=2√2，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．解：（1）设抛物线的函数解析式为y=a(x−ℎ)2+k,由题意,抛物线的顶点为A(2,−1),∴y=a(x−2)2−1.又∵抛物线与y轴交于点B(0,−12)∴−12=a(0−2)2−1∴a=18∴抛物线的函数解析式为y=18(x−2)2−1（2）证明：∵P（m，n），∴n=18(m−2)2−1=18m2−12m−12，∴P（m，18m2−12m−12），∴d=18m2−12m−12−(−3)=18m2−12m+52，∵F（2，1），∴PF=√(m−2)2+(18m2−12m−12−1)2=√164m4−18m3+78m2−52m+254，∵d2=164m4−18m3+78m2−52m+254，PF2=164m4−18m3+78m2−52m+254，∴d2=PF2，∴PF=d．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=√22+22=2√2，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF=QH，∴DQ+DF=DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为6，∴△DFQ的周长的最小值为2√2+6，此时Q（4，-1）．2小提示：本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．18、某宾馆有240间标准房，当标准房价格150元时，每天都客满，市场调查表明，当房价在150~225元之间（含150元，225元）浮动时，每提高25元，日均入住客房数减少20间．如果不考虑其它因素，宾馆将标准房价格提高到多少元时，客房的日营业收入最大？答案：每间租金225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元分析：首先设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，以及客房租金总收入为y，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值．解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，将有20x间客房空出，客房租金总收入为y．由题意可得：y＝（150＋25x）（240−20x）＝−500x2＋3000x＋36000＝−500（x−3）2＋40500当x＝3时，y最大值＝40500．因此每间租金150＋25×3＝225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元．小提示：本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并通二次函数计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题．。
第三次课二次函数的平移翻折与旋转问题abc符号问题
二次函数的平移、翻折与旋转以及a、b、c符号问题1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a2、强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。
3、抛物线的平移抓住关键点顶点的移动；例题：1、（2015•龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质．2、（2015•湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．考点：二次函数图象与几何变换．专题：新定义．分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式．解答：解：连接AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，∵OA=MA，∴△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），则，解得：则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x，抛物线C2的解析式为y=x2+2x，故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x．w W w .x K b 1.c o M点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．3、（2015•绥化）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．考点：二次函数图象与几何变换．分析：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．解答：解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为：y=2（x+1）2﹣2．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4、（2015•岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．考点：二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．点评：（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．答案：。
二次函数知识再归纳
二次函数知识再归纳一. 二次函数的性质1.抛物线开口向上(即a ＞0)：抛物线上的点到对称轴的距离越远，y 值越大，到对称轴的距离越近，y 值越小.即：抛物线上的三点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，顶点C(0x ，0y )，若|1x -0x |＞|2x -0x |， 则1y ＞2y ；若|1x -0x |＜|2x -0x |，则1y ＜2y ；2.抛物线开口向下(即a ＜0)：抛物线上的点到对称轴的距离越远，y 值越小，到对称轴的距离越近，y 值越大.即：抛物线上的三点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，顶点C(0x ，0y )，若|1x -0x |＞|2x -0x |， 则1y ＜2y ；若|1x -0x |＜|2x -0x |，则1y ＞2y ；3.无论开口向上还是向下，抛物线上的点到对称轴的距离相等，则y 值相等；反之，抛物线上的点y 值相同，那么它们到对称轴的距离相等(即横坐标相加除以2就是对称轴)；4.已知抛物线上的三点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，C(0x ，0y )，且C 为顶点，若1y ＞2y ≥0y ，则a ＞0；若1y ＜2y ≤0y ，则a ＜0.二.平移1.图象(或图象上的)点的平移法则：左减右加，上加下减；2.表达式的平移法则：左加右减，上加下减；例如：将y=-2x ²+x-2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到：y=-2(x+1)²+(x+1)-2-2=y=-2x ²-3x-5；(1)平移不改变二次项系数“a ”①左右平移：不改变函数值(即y 值)，若图象与x 轴有两个交点，那么两交点之间的距离不变；若与x 轴交于点A(1x ，1y )，点B(2x ，2y )，则：|AB|=|21x -x |=221)x x (-=21221x x 4-)x x (+②上下平移:不改变自变量(即x)的值，对称轴不变(即a ，b 都不变)；三.轴对称(即翻折)1.关于x 轴对称(1)一般式:y=ax ²+bx+c(a ≠0)变为y=-ax ²-bx-c 顶点式:y=a(x-h)²+k(a ≠0)变为y=-a(x-h)²-k2.关于y 轴对称(1)一般式:y=ax ²+bx+c(a ≠0)变为y=ax ²-bx+c顶点式:y=a(x-h)²+k(a ≠0)变为y=a(x+h)²+k3.关于x=m 对称 【特别提示:两抛物线的交点在直线x=m 上】(1)y=ax ²+bx+c(a ≠0)思路:如图：A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，C(0，c)，作出这三点关于直线x=m 的对称点A ´、B ´、C ´，利用中点坐标公式求出三点的坐标分别为A ´(2m-1x ，0)，B ´(2m-2x ，0)，C ´(2m ，c)，再代入新抛物线的表达式中求即可.(2)顶点式：y=a(x-h)²+k(a ≠0)如图，作出顶点P(h ，k)关于直线x=m 的对称点P ´，利用中点坐标公式求得P ´(2m-h ，k)，然后代入新抛物线的表达式中求得：y=a(x-2m+h)²+k4.关于y=n 对称 【特别提示:若两抛物线有交点，则交点在直线y=n 上】(1)y=ax ²+bx+c(a ≠0)思路:如图：A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，C(0，c)，作出这三点关于直线y=n 的对称点A ´、B ´、C ´，利用中点坐标公式求出三点的坐标分别为A ´(1x ，2n-1y )，B ´(2x ，2n-2y )，C ´(0，2n-c)，然后代入新抛物线的表达式中求即可.(2)顶点式：y=a(x-h)²+k(a ≠0)如图，作出顶点P(h ，k)关于直线y=n 的对称点P ´，利用中点坐标公式求得P ´(h ，2n-k)，然后代入新抛物线的表达式中求得：y=-a(x-h)²+2n-k四.成中心对称(即绕着某一点旋转180°) 【注:旋转180°，二次项系数“a ”变为了“-a ”】1.关于原点对称(即绕着原点旋转180°)一般式：y=ax ²+bx+c(a ≠0)变为y=-ax ²+bx-c顶点式:y=a(x-h)²+k(a ≠0)变为y=-a(x+h)²-k2.关于任意一点成中心对称(即绕任意一点旋转180°)(1)y=ax ²+bx+c(a ≠0)思路:如图：A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，C(0，c)，作出这三点关于点P(m ，n)的对称点A ´、B ´、C ´，利用中点坐标公式求出三点的坐标分别为A ´(2m-1x ，2n-1y )，B ´(2m-2x ，2n-2y )，C ´(2m ，2n-c)，然后代入新抛物线的表达式中求即可.(2)顶点式：y=a(x-h)²+k(a ≠0)如图，作出顶点Q(h ，k)关于点P(m ，n)的对称点Q ´，利用中点坐标公式求得Q ´(2m-h ，2n-k)，然后代入新抛物线的表达式中求得：y=-a(x-2m+h)²+2n-k五.动点问题1.求PA+PC 最小思路:作A 点关于P 点所在直线l 的对称点B ，连接BC 与l 相交的点即所求点P.变式：求△PAC 周长的最小值 (提示:求出PA+PC 的最小值，再加上AC)2.求|PA-PC|最大值思路:若点A 、C 在P 点所在直线l 的同侧，直接连接AC 并延长与l 相交的点即P 点；若点A 、C 在P 点所在直线l 的异侧，任选一定点(如点A)作关于l 的对称点(B)，转化到l 同侧，再连接BC 并延长与l 相交的点即P 点.3.等腰三角形例如：已知：y=x ²-2x-3，与x 轴的交点A(-1,0)，C(3，0)，B(0，-3)，P 为对称轴上一点.求△PBC 为等腰三角形时，P 点的坐标.解析：设点P(1，m)，∵B(0，-3)，C(3，0)，∴PB=22)3m ()01(++-=10m 6m 2++， PC=22)0m ()31(-+-=4m 2+，BC=22)03()30(--+-=32，然后分①PB=BC ；②PC=BC ；③PB=PC 三种情况讨论.4.等边三角形(例如：如图，y=x ²-2x-3，则顶点P(1，-4)，在抛物线上是否存在M 、N 两点，使得△PMN 为等边三角形.解析：存在. 设M(t ，t ²-2t-3)，则MQ=1-t ，PQ=t ²-2t-3-(-4)=t ²-2t+1，∴PQ=3MQ ， 即t ²-2t+1=3(1-t)，解出t ，就可求出M 点的坐标，进而求出N 点的坐标(当然M 点也可能在右侧，N 点在左侧)5.直角三角形(1)动点在对称轴或其它直线上思路:设出动点的坐标，并求出其它两个已知点的坐标，利用两点间的距离公式，表示出三边，再分直角顶点讨论.例如:如图，y=x ²-2x-3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为l ，问l 上是否存在点P 使得△PBC 为直角三角形？解析：存在. 设点P(1，m)，∵B(3，0)，C(0，-3)，∴PB ²=(1-3)²+(m-0)²=m ²+4， PC ²=(1-0)²+(m+3)²=m ²+6m+10，BC ²=(3-0)²+(0+3)²=18，然后分：①∠PBC=90°，即PB ²+BC ²=PC ²；②∠PCB=90°，即PC ²+BC ²=PB ²；③∠BPC=90°，即PB ²+PC ²=BC ²三种情况讨论.(2)动点在抛物线上若直角顶点的坐标已知，利用1k .k 21-=求；若直角顶点为动点，过直角顶点构造“三垂直型的K 字型”，利用△相似求.例如：如图，y=x ²-2x-3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，问在抛物线上是否存在点P 使得△PBC 为直角三角形？解析:存在. 若∠1P CB=90°，由题意可得直线BC 的表达式为：y=x-3，∴可设BP 1的表达式为y=-x+m ，将B(3，0)代入求得m=3，∴BP 1的表达式为：y=-x+3.将y=-x+3与y=x ²-2x-3联立即可求出点P 1的坐标.若∠2P CB=90°，方法同上，先求出P 2C 的表达式为y=-x-3，然后与y=x ²-2x-3联立即可求出点P 2的坐标.若∠C 3P B=90°，过点P 3作y 轴的垂线，垂足为N ，再过B 点作BM ⊥NP 3交NP 3的延长线于点M ，BM=|p y |=-x ²+2x+3，P 3M=3-x ，P 3N=x ，CN=-3-(x ²-2x-3)=-x ²+2x ，而△CNP 3∽△P 3MB ， ∴BM N P M P CN 33=，即3x 2x x x 3x 2x -22++-=-+，解得x=2131+或x=213-1，然后代入表达式即可求出y 值.【同时也求出了满足题意的另一个点P 4的坐标】6.等腰直角三角形(1)动点在对称轴或其它直线上思路:设出动点的坐标，并求出其它两个已知点的坐标，利用两点间的距离公式，表示出三边，再分直角顶点讨论，同时让两条直角边相等.例如:如图，y=x ²-2x-3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为l ，问l 上是否存在点P 使得△PBC 为等腰直角三角形？解析：存在. 设点P(1，m)，∵B(3，0)，C(0，-3)，∴PB²=(1-3)²+(m-0)²=m²+4，PC²=(1-0)²+(m+3)²=m²+6m+10，BC²=(3-0)²+(0+3)²=18，然后分：①∠PBC=90°，即PB²+BC²=PC²，且PB²=BC²；②∠PCB=90°，即PC²+BC²=PB²，且PC²=BC²；③∠BPC=90°，即PB²+PC²=BC²，且PB²=PC²三种情况讨论.(2)动点在抛物线上思路：先在图中找出满足题意的点，分别过各自的直角顶点构造“三垂直型的K字型”，利用△全等求.例如：y=x²-2x-3的图象上是否存在一点P使△PBC为等腰直角三角形？解析:不存在.①∠BCP1时，由△CMP1≌△BOC可求得P1(3，-6)，将x=3代入得9-6-3=0，∴P1不在抛物线上，舍去；②∠CBP2时，由△CNB≌△BQP2可求得P2(3，3)，将x=3代入得9-6-3=0，∴P2也不在抛物线上，舍去；③∠CP3B=90°时，此时P3(0,0)也不满足题意.∴不存在满足题意的点P.【提示：若让在平面内找点P，那么以上三个点都满足题意】7.三角形相似【注意：“∽”只有一种情况；“相似”需分类讨论】思路：一般能够确定一组对应角相等，不确定的角，找出其中一个，然后分情况(一般有两种)讨论.例如:二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．设该二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式.解:∵A（1，0）、B（3，0），所以设y=a(x-1)(x-3)即y=ax²-4ax+3a，当x=0时，y=3a，当x=2时，y=-a，∴C（0，3a），D(2,-a) ∴OC=|3a|,∵A（1，0）、E（2，0），∴OA=1,EB=1,DE=|-a|=|a|，在△AOC 与△DEB 中，∵∠AOC=∠DEB=90°， ∴当DEEB OC AO =时，△AOC ∽△BED ，∴||1|3|1a a =时，此方程无解， ∴当EB DE OC AO =时，△AOC ∽△DEB ，∴1|||3|1a a =时，解得33=a 或33-=a 综上所得：所求二次函数的表达式为：3334332+-=x x y 或3334332-+-=x x y 8.平行四边形(1)一般的平行四边形【先在图中画出满足题的平行四边形是正确解题的关键】注意:“□ABCD ”与“以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边”的区别，前者字母顺序确定，后者字母顺序不确定.思路：①以已知边为边利用“平移”的方法求；②以已知边为对角线利用中点坐标公式求.例如：已知：y=x ²-2x-3，A ，B ，C 三点如图所示，问在x 轴上是否存在点Q ，抛物线上是否存在点P ，使得以点B,C,P ，Q 为顶点的四边形为平行四边？解析:存在. 连接BC.i) 以BC 为边(P 1、P 2、P 3)设Q(m ，0)，由图可知，当C 点向右平移3个单位，再向上平移3个单位后到达B 点， 此时Q 1平移到了P 1，Q 3平移到了P 3，得到P 1、P 3的纵坐标均为3，代入表达式即可求出P 1、P 3两个点的坐标；当B 点向左平移3个单位，再向下平移3个单位后到达C 点，此时Q 2平移到了P 2，得到P 2的纵坐标均为-3，代入表达式即可求出P 2的坐标.ii)以BC 为对角线(P 4)求出BC 的中点坐标M(23-23，)，由中点坐标公式可得到P 4的纵坐标为-3，此时和P 2重合.(2)特殊的平行四边形①菱形思路：先确定它为平行四边形，再让邻边相等或对角线垂直.②矩形思路:先确定它为平行四边形，再保证有一个内角为90°(用勾股定理逆定理：a ²+b ²=c ²)或对角线相等.例如:抛物线C:y=x ²+bx(b ＜0)与x 轴的一个交点为A ，顶点为P ，将其绕着原点旋转180°后得到抛物线C ´，点A 的对应点为点A ´，顶点为P ´，若以点A 、A ´、P 、P ´为顶点的四边形是矩形，求抛物线的表达式.解析:由题意可得P(4b -2b 2， )，OA=OA ´，OP=OP ´，∴四边形APP ´A ´是平行四边形，∴只需OP=OP ´即OA=OP ，∵OP=AP ，∴△OPA 为等边三角形，∴PE=3AE ，即4b 2=3(-2b )，解得b=-23或b=0(舍去)，∴C ´的表达式为：y=x ²-23x.③正方形思路:先确定它为平行四边，再让一组邻边垂直且相等或对角线垂直且相等.例如:已知：y=x ²-2x-3，A ，B ，C 三点如图所示，问在平面内是否存在点P 、Q ，使得以点A,C,P ，Q 为顶点且以AC 为边的四边形是正方形？解析:存在. 连接AC.当四边形ACQ 1P 1是正方形时，△AOC ≌△P 1NO ，得P 1(2,1)，又由平移得Q 1(3，-2)； 当四边形ACQ 2P 2是正方形时，△AOC ≌△P 2MA ，得P 2(-4,-1)，又由平移得Q 2(-3，-4).9.线段、面积的最值(1)求线段最大例如:已知：y=x ²-2x-3，A ，B ，C 三点如图所示，P 为线段BC 上一点，过P 点作PQ ⊥x 轴交抛物线于点Q ，求PQ 的最大值及点Q 的坐标.解析:由题意可求得BC 的表达式为:y=x-3，可设点P(m ，m-3))(0＜m ＜3)，∴Q(m ，m ²-2m-3)，∴PQ=m-3-m ²+2m+3=-(m-23)²+49，∵-1＜0，∴当m=23时，PQ 最大，最大值为49，然后将m=2代入m ²-2m-3求得y=-415，∴Q(23，-415)，PQ 的最大值为49. (2)求面积最大例如:已知：y=-x ²+2x+3，A ，B ，C 三点如图所示，在BC 上方的抛物线上是否存在一点P 使得四边形ABPC 面积最大？若存在，求出最大面积及点P 的坐标；若不存在，请说明理由.解析:存在.连接PB ，PC ，BC ，过点P 作PQ ⊥x 轴交BC 于点Q ，设P(m ，-m ²+2m+3)(0＜m ＜3)，由题意可求得BC 的表达式为：y=-x+3，∴Q(m ，-m+3)，PBC ABC ABPC S S S △△四边形+==21AB.OC+21OB.PQ=21×4×3+21×3(-m ²+2m+3+m-3) =-23(m-23)²+875，∴当m=23时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为875， 将m=23代入-m ²+2m+3得y=415，∴P(23，415)，四边形ABPC 的面积最大值为875.10.面积相等(1)公共边已知(公共边为底)思路:过(除公共边外的)另一定点作公共边的平行线与抛物线相交的点即所求点. 例如:已知：y=-x ²+2x+3，A ，B ，C 三点如图所示，在抛物线上找一点M.(2)公共边未知(公共边为底)思路:先忽略掉公共底，连接剩下的两个点，然后过公共底的已知点作连成的线段的平行线，与抛物线相交，交点即所求点.例如:已知：y=x ²-2x-3，B(1，0)，D(2,-3)，在抛物线上找一点P ，使得PCD PBD S S △△=. 解析:连接BC ，过点D 作DP ∥BC 交抛物线于点P.∵BC 的表达式为:y=3x-3，∴可设PD 的表达式为:y=3x+m ，将D(2，-3)代入得：m=-9，∴PD 的表达式为：y=3x-9，将其和y=x ²-2x-3联立即可求出点P 的坐标.(3)高相等(或相同)思路:截取相等的底例如:已知：y=-x ²+6x-5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为P ，过点C 作l ∥x 轴，l 上是否存在点Q ，使PAC PBQ S S △△=.解析:存在. CAE PAE PAC S S S △△△+=，QMB PMB PBQ S S S △△△+=，而△PAE 和△PMB 高相同，△CAE 和△QMB 高相等，∴只需底BM=AE 即可.∵A(1,0)，B(5，0)，C(0,-5)，P(3,4)，∴PC 的表达式为:y=3x-5，∴E(35，0)，∴AE=32， ∴BM=32，∴M 1(313，0)，M 2(317，0)，∴PM 1的表达式为：y=-3x+13，将其和y=-x ²+6x-5联立即可求出点Q 1的坐标；PM 2的表达式为：y=-23x+217，将其和y=-x ²+6x-5联立即可求出点Q 2的坐标；(4)不同底，也不等高思路:用21×底×高(或21×水平宽×铅垂高)表示出面积，使其和已知三角形(或四边形)的面积相等.例如:已知:y=-x ²+2x+3，A 、B 、C 三点如图所示，M 为顶点，连接BC ，BM ，CM ，在x 轴下方的抛物线上是否存在一点P ，使BCM ABP S S △△=解析:利用21×水平宽×铅垂高求出BCM S △=21OB.MN=21×3×2=3，ABP S △=21AB.|P y | =21×4×|-x ²+2x+3|=2(x ²-2x-3)=2x ²-4x-6，∴3=2x ²-4x-6，解出x 即可求出点P 的坐标.(即图中的P 1，P 2)(5)面积的倍、分关系例如:已知：y=x ²-2x-3，A ，B ，C 三点如图所示，D(4,5)，抛物线上是否存在一点P ，使 2ABP S △=ACBD S 四边形.解析:存在. ∵2ABP S △=ACBD S 四边形，∴2×21AB|P y |=21AB.D y +21AB.OC ∴4|P y |=21×4×5+21×4×3,即|x ²-2x-3|=4，求出x 即可求出满足题意的点P 的坐标. 11.角相等这类题目比较灵活，常见的解题方法有:①利用“△的相似”求解；②利用“三角函数值相等”求解；③利用“△全等”求解；④“作平行线”求解等.(1)作平行线、作对称(△全等)例如:已知：y=x ²-2x-3，A ，B ，C 三点如图所示，在抛物线上是否存在点P ，使∠ABP=∠CAB ？解析:存在. 若P 点在x 轴上方的抛物线上，过点B 作BP 1∥AC 交抛物线于点P 1，由两直线平行，内错角相等得∠ABP 1=∠CAB ；若P 点在x 轴下方的抛物线上，作C 点关于对称轴的对称点P 2，过P 2作P 2M ⊥x 轴于点M ，则△P 2BM ≌△CAO ，∴∠ABP 2=∠CAB.例如:已知:y=-x ²+2x+3，A 、B 、C 三点如图所示，D(2，3)，问抛物线上是否存在一点P 使∠CBD=∠CBP ？解析:存在.由题意可得CD ⊥y 轴，OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴∠DCB=45°，CD=2，在y 轴上截取CG=CD=2，∴G(0,1)，△DCB ≌△GCB(SAS)，∴∠CBD=∠CBP ，延长BG 交抛物线于一点，这点就是所求的点P.求出BG 的表达式为:y=-31x+1，将其与y=-x ²+2x+3联立即可求出点P 的坐标.(2)利用“三角函数值相等”(或“△的相似”)求例如:已知：y=x ²-4x+3，与x 轴交于点A ，B 与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为l ，在l 上是否存在一点M 使∠ABC=∠AMD ？解析:存在.过点A 作AE ⊥BC 于点E ，利用ABC S △=21AB.OC=21BC.AE ，得AE=BC OC AB .=2332⨯=2，∴ CE=22AE AC -=22，∴tan ∠ACB=CE AE =21222=，设M(2，m)，AN=1， ∴tan ∠AMD=MN AN =|m |1=21，∴m=±2，∴M(2，2)或(2，-2).。
求二次函数解析式的常用方法
求二次函数解析式的常用方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
一、二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
二、求二次函数解析式的方法.求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
三、探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
专题01 翻折问题(解析版)
专题01 翻折问题一、解答题1．（2020·江苏南京·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−6）2＋（x−4）2＝102，求出AD＝x＝12．【详解】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，∴∠EAF=90°．又∵AD⊥BC，∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，∴四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD，∴AE=AF，∴矩形AEGF是正方形；（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．∵BD=6，DC=4，∴BE=6，CF=4，∴BG=x﹣6，CG=x﹣4，在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102．化简得：x2﹣10x﹣24=0解得：x1=12，x2=﹣2（舍去）所以AD=x=12．2．（2019秋·江苏盐城·九年级校考期中）在初二的数学学习中，我们已经了解了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．张老师在课堂上又提出了这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？（1）经过小组合作交流后，小明代表小组发言，他们发现了AB＝2BC，证明方法如下：证明：如图2，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴点B、C、D三点共线．又∵∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，（请在下面补全小明的证明过程）（2）受到小明“翻折”方法的启发，另一组代表小刚发言：如图3，在△ABC中，如果把条件“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不变，若BC＝1，求AB的长．【答案】（1）AB=2BC；补全证明过程见解析；（2）【分析】（1）根据翻折的性质可得AB=AD，BC=BD，即可证明△ABD是等边三角形，可得AB=BD，即可AB；证明BC=12（2）如图，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，连接BD，根据翻折的性质可得∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，可得∠BAD=60°，∠BCD=90°，即可证明△ABD是等边三角形，可得AB=BD，根据勾股定理可得，即可得答案．【详解】（1）∵把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，∴AB=AD，BC=BD，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=2BC．（2）如图，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，连接BD，∵∠ACB＝135°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，∴∠BCD=360°-135°-135°=90°，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，=∴．3．（2021秋·江苏南京·九年级统考期中）问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题：（1）与AE相等的线段是．（2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下：①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程；②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程．【答案】（1）BD；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）思路见（2）（2）①过E作EF//BC，证明△AEF为等边三角形，再证明△DBE≌△EFC，即可得到BD=EF=AE；②把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，得到△EBD≌△EBF，再证明△ACE≌△BCF，即可得到AE＝BF＝BD；【详解】（1）BD（2）①小聪思路：过点E作EF//BC，交AC于F∵△ABC是等边三角形∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°，AB ＝BC ＝AC∵EF //BC ∴∠AEF ＝∠ABC ＝60°，∠AFE ＝∠ACB ＝60°，∠FEC ＝∠ECB∵又∠A ＝60° ∴△AEF 是等边三角形∴AE ＝AF ＝EF ，∠EFC ＝∠DBE ＝120°，∴CF ＝BE∵ED ＝EC∴∠D ＝∠ECB∴∠D ＝∠FEC∴∠FCE ＝∠BED在△DBE 和△EFC 中，CF BE FCE BEDCE DE =ìïÐ=Ðíï=î∴△DBE ≌△EFC （SAS ）∴BD ＝EF∴BD ＝AE②小明思路：∵DE ＝EC ∴∠ECB ＝∠D∵∠ABC ＝∠DEB +∠D ，∠ACB ＝∠ACE +∠ECB∴∠DEB ＝∠ACE∵△EBD 翻折到△EBF∴△EBD ≌△EBF ∴∠DEB ＝∠FEB ，DE ＝EF∴∠DEB ＝∠ACE ＝∠FEB∵∠CEB ＝∠CEF +∠FEB ＝∠A +∠ACE ∴∠CEF ＝∠A ＝60°∵DE ＝EF ＝CE ∴△ECF 为等边三角形∴CE ＝CF ，∠ECF ＝60°∴∠ACE +∠ECB ＝∠ECB +∠BCF∴∠ACE ＝∠BCF ，在△ACE 和△BCF 中CF BE BCF ACEAC BC =ìïÐ=Ðíï=î∴△ACE ≌△BCF （SAS ）∴AE ＝BF ＝BD4．（2022·江苏南京·统考一模）阅读下面的问题及解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题．(1)填写下面的表格．(2)将函数y ＝－2x 2＋3x ＋1的图像沿y 轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为 ．(3)将函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图像先向左平移1个单位长度，再沿y 轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式．【答案】(1)1x +，y ，61y x =+(2)2323y x x -=-+(3)2(2)y ax a b x a b c=--+---【分析】（1）阅读题干材料，弄清题中材料中图形平移的规律，“左加右减”进行求解即可；（2）根据二次函数图像与几何变换，将x 换成x -，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求得结论；（3）利用图像向左平移、关于,x y 轴翻折、绕坐标原点旋转的规律进行解答．【详解】（1）解：设平移后新的函数图像上任意点P 的坐标为(,)x y ，将点P 向右平移1个单位长度得点(1,)P x y ¢+平移后的图像对应的函数表达式为：61y x =+，故答案为：1x +，y ，61y x =+；（2）解：将二次函数2231y x x =-++的图像沿着y 轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是22()3()1y x x +=--×-+，即2323y x x -=-+，故答案为：2323y x x -=-+；（3）解：将2y ax bx c =++(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图像先向左平移1个单位长度，得2(1)(1)y a x b x c =++++，再沿y 轴翻折，得2(1)(1)y a x b x c =-++-++，即2(21)(1)y a x x b x c =-++-+，最后绕原点旋转180°，得2(21)(1)y a x x b x c -=+++++，整理得：2(2)y ax a b x a b c =--+---，故答案为：2(2)y ax a b x a b c =--+---．答：所得到的图像对应的函数表达式2(2)y ax a b x a b c =--+---．5．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）在数学活动《折纸与证明》中，有这样的一段活动材料：①如图①，把正方形ABCD 对折后再展开，折痕为EF ；②如图②，将点A 翻折到EF 上点A ¢处，且使折痕过点B ；③如图③，沿A C ¢折叠，得A BC ¢V （如图④）．回答下列问题：(1)判断：A BC ¢V 的形状为______________；并说明你的理由；(2)若正方形纸片的边长为2，则线段A F ¢的平方的值为______________．【答案】(1)等边三角形，理由见解析(2)3【分析】（1）由折叠的性质可知EF 垂直平分BC ，结合正方形的性质可知A C A B AB BC ¢¢===，可判断A BC ¢V 是等边三角形．（2）利用勾股定理解直角A FB ¢D 可得222A F A B FB ¢¢=-．【详解】（1）解：等边三角形．理由如下：∵如图②，把正方形纸片ABCD 对折，折痕为EF ，∴EF 垂直平分BC ．∵将点A 翻折，折痕过点B ，且使点A 落在EF 的点A ¢处，∴A C A B AB BC ¢¢===．∴A BC ¢V 是等边三角形．（2）解：∵正方形纸片的边长为2，EF 垂直平分BC ，∴2A B AB ¢==，112122FB BC ==´=，90A FB ¢Ð=°，∴2222213A F A B FB ¢¢=-=-=，线段A F ¢的平方的值为3．6．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt ABC V 中，9060A CB ，A Ð=°Ð=°，CD 平分ACB Ð，试判断BC 和AC AD 、之间的数量关系．【初步探索】小明发现，将ACD V 沿CD 翻折，使点A 落在BC 边上的E 处，展开后连接DE ，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）（1）写出图2中全等的三角形____________________；（2）直接写出BC 和AC AD 、之间的数量关系__________________；【类比运用】（3）如图3，在ABC V 中，2C B Ð=Ð，AD 平分32CA B ，A B ，A D Ð==，求ACD V 的周长．小明的思路：借鉴上述方法，将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的E 处，展开后连接DE ，这样可以将问题解决（如图4）；请帮小明写出解答过程：【实践拓展】（4）如图5，在一块形状为四边形ABCD 的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的ABC V 和ACD V ，若AC 平分10m 17m 9m BAD BC CD AC AD Ð====，，，．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏．【答案】（1）A C D E C D @V V ；（2）BC AC AD =+；（3）ACD V 的周长为5；（4）需要买67m 长的栅栏【分析】（1）将ACD V 沿CD 翻折得到ECD V ，则A CD E C D @V V ，即可得答案；（2）由90,60ACB A Ð=°Ð=°，得30B Ð=°，由翻折得,E C A C E D A D ==，60CED A Ð=Ð=°，得30EDB B Ð=Ð=°，所以E D E B A D ==，于是B C E C E B A C A D =+=+；（3）将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，展开后连接DE ，则,A C A E CD E D ==，2AED C B Ð=Ð=Ð，于是得2B E D B B Ð=Ð+Ð，则B EDB Ð=Ð，得EB ED CD ==，所以3A C C D A B +==，即可得答案；（4）将ACD V 沿AC 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，连接CE ，作CF AB ^于F ，设m EF BF c ==，则()9A F x m =+，可得方程()222217910x x -+=-，解得：6x =，即可求得6m EF BF ==，()21m AB =，则()91010211767m AD BC CD AB AC ++++=++++=，可得答案．【详解】解：（1）如图2，ACD QV 沿CD 翻折得到ECDV A C D E C D \@V V ；（2）BC AC AD =+，理由：90,60ACB A Ð=°Ð=°Q ，30B \Ð=°，由翻折得,E C A C E D A D ==，60CED A Ð=Ð=°，603030E D B C E D B \Ð=Ð-Ð=°-°=°，EDB B \Ð=Ð，ED EB \=，EB AD \=，B C E C E B A C A D \=+=+；（3）如图4，将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，展开后连接DE ，由翻折得,A C A E CD E D ==，2AED C B Ð=Ð=Ð，A E D E D B B Ð=Ð+ÐQ ，2B E D B B \Ð=Ð+Ð，B EDB \Ð=Ð，EB ED \=，CD EB \=，3A C C D A E E B A B \+=+==，325A C C D A D \++=+=，ACD V 的周长为5；（4）如下图5，将ACD V 沿AC 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，连接CE ，作CF AB ^于F ，10m,17m,9m BC CD CA AD ====Q ，9m,10m AE AD CE CD \====，10m BC CE \==，CF AB ^Q ，\90,A FC B FC E F B F Ð=Ð=°=，设m EF BF c ==，则()9m AF x =+，22222A C A F B C B F C F -=-=Q ，()222217910x x \-+=-，解得：6x =，6m EF BF ==Q ，()96621m AB AE EF BF \=++=++=，()91010211767m AD BC CD AB AC \++++=++++=，\需要买67m 长的栅栏．7．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有一个ABC V ，按要求回答下列问题：(1)ABC V 的面积为 ；(2)画出将ABC V 向右平移6格，再向上平移3格后的111A B C △；(3)画出ABC V 绕点B 顺时针旋转90°后的图形22A BC V ；(4)画出ABC V 沿直线EF 翻折后的图形33A B C △．【答案】(1)3(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）直接利用三角形面积求法得出答案；（2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出111A B C △；（3）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出22A BC V ；（4）直接利用翻折变换的性质得出对应点位置，进而得出33A B C △．【详解】（1）ABC V 的面积为：13232´´=；故答案为：3；（2）如图所示：111A B C △即为所求；（3）如图所示：22A BC V 即为所求；（4）如图所示：33A B C △即为所求；8．（2020·江苏无锡·统考一模）阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B '处．于是，由∠ACB ＞∠B '，∠ABC =∠B '，可得∠ACB ＞∠ABC ．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC 中，如果∠ACB ＞∠ABC ，那么AB ＞AC ．小明的思路是：沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点（不含端点），连接AM 并延长，交BC 的延长线于点N ．求证：AM ＋AN ＞2BD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）设BC的中垂线交BC于点E，交AB于点D，连接DC，结合中垂线的性质定理与三角形三边长的关系，即可得到结论；（2）延长DC到点E，使得CE=CN，连接AE交BC于点F．易证△ACE≌△CAN，得AE=AN．过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q，结合“三角形中，大角对大边”，得AP＋AQ＞2AC，QE＞CQ，PC＞PM，进而得QE＞PM，即AM＋AN＞AP＋AQ，然后即可得到结论．【详解】（1）设BC的中垂线交BC于点E，交AB于点D，连接DC．将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处．∵∠ACB＞∠ABC，∴CD在△ABC的内部，∵DE为BC的中垂线，∴DB=DC．∵在△ADC中，AD＋DC＞AC，∴AD＋DB＞AC．即AB＞AC；（2）如图4，延长DC到点E，使得CE=CN，连接AE交BC于点F．∵∠ACE=∠ACN=135°，CE=CN，AC=AC，∴△ACE≌△ACN（SAS），∴AE=AN．过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q．∵∠ACP=∠ACQ=90°，∴AP＞AC，AQ＞AC，∴AP＋AQ＞2AC．∵∠ACD＞∠E，∠ACD=45°，∠QCE=135°-90°=45°，∴∠QCE＞∠E，∴QE＞CQ．同理可得：PC＞PM．∵△ACE≌△ACN，∴∠CAN=∠CAE，又∵AC=AC，∠ACP=∠ACQ=90°，∴△ACP≌△ACQ（ASA），∴PC=CQ，∴QE＞PM，∴AM＋AN=AM＋AE=AM＋AQ＋QE＞AM＋AQ＋PM=AP＋AQ．又∵AP＋AQ＞2AC，∴AM＋AN＞2AC．∵正方形ABCD中，AC=BD，∴AM＋AN＞2BD．9．（2022秋·江苏·九年级期末）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D ＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C′DB＝_______°．（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．【答案】（1）15；（2）△ABD的面积为6；（3）∠CAB＝108°．【分析】（1）利用折叠的性质和三角形的外角性质，即可求出答案；（2）把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，得DC＇=CD=2，即可求出△ABD的面积；（3）把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，求得AB＇＝B＇C，然后得到∠B＇AC＝∠C ＝24°，从而得到∠B＝∠AB＇B＝48°，即可求出答案．【详解】解：（1）由折叠的性质，则∠AC′D=∠C=60°，∵∠B=45°，∴∠C′DB＝60°-45°=15°；故答案为：15°．（2）如图，把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，∵AD是角平分线，∠ACB＝90°，∴DC＇＝DC＝2，∠AC＇D＝∠ACD＝90°，∵DC＇是高，∴△ABD的面积为6．（3）如图，把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，∴AB＇＝AB=B＇C，∴∠B＇AC＝∠C ＝24°∴∠B＝∠AB＇B＝48°，∴∠CAB＝108°．10．（2021春·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）问题背景如图1，矩形ABCD中，AB=AB AD<，M、N分别是AB、CD的中点，折叠矩形ABCD，使点A落在MN上的点K处，折痕为BP．（1）用直尺和圆规在图1中的AD 边上作出点P （不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AK ，判断ABK V 的形状；（3）如图2，若点E 是直线MN 上的一个动点．连接EB ，在EB 左侧作等边三角形BEF ；连接MF ，则MF 的最小值是______；（4）如图3，若点E 是射线KM 上的一个动点将BEK △沿BE 翻折，得BET △，BT 所在直线交直线MN 于点Q ，当TQE △是直角三角形时，KE 的长为多少？请直接写出答案．【答案】（1）见详解；（2）ABK V 是等边三角形，理由见详解；（3（4）4或12【分析】（1）作∠ABK 的平分线交AD 于P ，点P 即为所求；（2）先求出∠BKM ＝30°；根据对称性可得∠AKB =60°，进而即可得到答案；（3）由△FBA ≌△EBK ，因为FM 、EH 分别是AB 、BK 上的中线，推出FM ＝EH ，根据垂线段最短可知，当HE ⊥MN 时，EH 的值最小，进而即可求解；（4）分四种情形分别画出图形，求解即可；【详解】解：（1）如图①中，点P 即为所求：（2）连接AK ，在Rt △BKM 中，∵sin ∠BKM ＝BM BK ＝12，∴∠BKM ＝30°．∵M 、N 分别是AB 、CD 的中点，∴MN 是矩形ABCD 的对称轴，∴∠AKM =∠BKM ＝30°，AK =BK ，∴∠AKB =60°，∴ABK V 是等边三角形；（3）如图②中，连接AF ，取BK 的中点H ，连接EH ．∵等边三角形BEF中，∴∠FBE＝∠ABK＝90°-∠BKM=90°-30°=60°，又∵BF＝BE，BA＝BK，∴∠FBA＝∠EBK，∴△FBA≌△EBK（SAS），∵FM、EH分别是AB、BK上的中线，∴FM＝EH，根据垂线段最短可知，当HE⊥MN时，EH的值最小，最小值EH＝12∴FMAB MKB=30°，（4）∵MB=12∴MK=6，如图，当∠TEQ＝90°时，则TE∥MB，∴∠MBQ=∠T=∠MKB=30°，∴MQ=，设EK=ET=x，则QE，x+x+2=6，解得：x EK如图，当∠TQE＝90°时，此时点Q与点M重合，QE=2=，∴EK=6-2=4；如图当∠TEQ＝90°时，则∠BEM=45°，∴EM=BM∴EK如图：当∠TQE＝90°时，此时点Q与点M重合，∵∠TEM=90°-∠T=60°，×60°=30°，∴∠KEB=12∴∠EKB=∠KEB=30°，∴ME=MK=6，∴EK=12．综上所述，满足条件的EK的值为4或12．11．（2022春·江苏扬州·九年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °；(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长．【答案】(1)AE＝MN，理由见解析；(2)EQ＝CQ，理由见解析；(3)45；(4)2.【分析】（1）过点B作BF//MN交CD于点F，则四边形M BFN为平行四边形，得出MN =BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE= BF，即可得出结论；（2）在图2中，连接AQ、CQ，易证△ABQ≌△CBQ，所以AQ＝CQ，再根据垂直平分线的性质得到AQ＝EQ，所以可得EQ＝CQ（3）连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD，BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD，HI ⊥BC，HI = AB= AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD= HQ，AH = QI，由H L证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH =∠QEI，证∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果；(4)延长AG交BC于E，则EG = AG= 5，得AE=10，由勾股定理得：BE，则CE= BC-BE，由折叠的性质即可得出结果．（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示：∴四边形MBFN为平行四边形，∴MN＝BF，BF⊥AE，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，{BAE CBF AB BC ABE BCFÐ=Ð=Ð=Ð，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，∴AE＝MN；（2）解：在图2中，连接AQ、CQ，在△ABQ和△CBQ中，{AB CB ABQ CBQ BQ BQ=Ð=Ð=，∴△ABQ≌△CBQ，∴AQ＝CQ，∵MN⊥AE于F，F为AE中点，∴AQ＝EQ，∴EQ＝CQ（3）解：连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD．BC于点H、I，如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD，HI⊥．BC，HI= AB= AD，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDA = 45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD=HQ，AH=QI，∵MN是AE的垂直平分线，AQ= QE，在Rt△AHQ和Rt△QIE中，∵AQ= QE，AH= QI，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)，∴∠AQH =∠QEI，∠AQH＋∠EQI = 90°，△AQ E是等腰直角三角形，∠EAQ=∠AEQ=45°，即∠AEF= 45°故答案为：∠AEF=45°；（4）解：拓展提高：由(3)延长AG交BC于E，如图4所示：则EG =AG =5，∴AE = 10，在Rt △ABE 中，BE 6==CE = BC - BE = 8-6=2，由折叠的性质得： AC '=CE =2，故答案为： AC ′=2.12．（2022·江苏盐城·校联考一模）（1）背景问题：如图①，已知矩形ABCD ，E 是边CD 上一点，将△BCE 沿BE 翻折，使得C 落在AD 上的点F 处，求证：△ABF ∽△DFE ．（1）尝试应用：如图②，已知四边形ABCD 中，∠A =∠D =90°，点E 在AD 上，∠BEC =90°，2∠BCE +∠ECD =180°，过点E 作EF ⊥BC 垂足为F ，若EF =2，BC =5，求AE 的长．（2）拓展创新：如图③，已知矩形ABCD ，AB =9，BC =12，E 是边CD 上一动点，将△BCE 沿BE 翻折至△BPE ，连接AP 在上取点T ，使得PT =2AT ，连接DT ，求出DT 长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2（3）4【分析】（1）由矩形的性质和翻折得到∠BFE ＝∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，由同角的余角相等可推得∠DEF ＝∠AFB ，证得△EDF ∽△FAB ；（2）证明△ECF ∽△BEF ，得CF =1，BF =4 ，由△ABF ∽△DFE ，2∠BCE +∠ECD =180°，构造矩形ABGD ，由BG =AD 建立方程，解方程求解即可；(3)在AB 边上取Q ，使得BO =2AQ ，连接TQ ，则ATQ APB V V ∽求得4TQ =，可得T 在以Q 为圆心4为半径的圆上，根据点圆关系求最值即可．【详解】（1）证明：如图1，在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，由翻折得∠EFB ＝∠C ＝90°．∵∠DEF ＋∠DFE ＝90°，∠AFB ＋∠DFE ＝180°−90°＝90°，∴∠DEF＝∠AFB，∴△ABF∽△DFE．（1）尝试应用：如图2，过点B作BG⊥CD，交DC的延长线于点G，设DE＝m，CD＝x．∵EF⊥BC，∴∠EFC＝∠BFE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ECF＝90°−∠CEF＝∠FEB，∴△ECF∽△BEF，EF CFBF EF\=\EF2=CF·BF25EF BC==，Q()225CF CF\=-解得CF=1，或4（舍去）\CF=1，BF=4\EC==EB==∵△ABF∽△DFE∴12 CD DE CE AE AB BC===设CD=x，则AE=2x∵2∠BCE+∠ECD=180°∴D、C、G共线，在矩形ABGD中则DG x AB==由BG=AD得2x=∴AE=（2）拓展创新：在AB边上取Q，使得BQ=2AQ，连接TQQ PT =2AT ，PAB TAQÐ=Ð\ATQ APBV V ∽\13TQ AQ AT PB AB AP ===143TQ PB \==\T 在以Q 为圆心4为半径的圆上，当点T 落在DQ 上，即DT ＝DQ−4时，DT 的值最小，9AB DC ==Q \133AQ AB ==Q 90CB =°DQ \==∴DTmin =413．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm 点E 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度是2cm/s ；点F 从点B 出发，沿BD 方向匀速运动，速度是1cm/s ，MN 是过点F 的直线，分别交AB 、BC 于点M 、N ，且在运动过程中始终保持MN ⊥BD ．连接EM 、EN 、EF ，两点同时出发，设运动时间为t （s ）（0<t <3.6），请回答下列问题：(1)求当t 为何值时，△EFD ∽△ABD ?(2)求当t 为何值时，△EFD 为等腰三角形；(3)将△EMN 沿直线MN 进行翻折，形成的四边形能否是菱形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当t 的值为207时，△EFD ∽△ABD(2)当t 的值为5021或103时△EFD 为等腰三角形(3)不存在，理由见解析【分析】（1）当△EFD ∽△ABD 时，得到相似比DE DF DA DB=，解得207t =即可；（2）根据题意，等腰三角形分三种情况：EF ＝DE 时；EF ＝DF 时；DE ＝DF 时；作出相应图形，结合条件求解即可；（3）假设存在这样的菱形，当EM EN =时，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，利用勾股定理求出两条线段长，根据相等关系列方程求解即可确定结论存在与否．【详解】（1）解：如图所示：在矩形ABCD 中，AD ＝BC ＝8cm ，∠A ＝∠ABC ＝90°，在Rt △ABD 中由勾股定理得10BD ===（cm ），由题意得：DE ＝2t cm ，BF ＝t cm ，∴()10DF BD BF t =-=-cm ，∵△EFD ∽△ABD ，∴DE DF DA DB =，∴210810t t -=，解得207t =∴当t 的值为207时，△EFD ∽△ABD ；（2）解：△EFD 为等腰三角形有三种情况：①EF ＝DE 时，点E 在DF 的垂直平分线上，过点E 作EG ⊥DF 于点G ，如图所示：则11022t DG DF -==cm ，在Rt △DEG 中，4cos 15DG DE Ð==，∴5DG ＝4DE ，∴105422t t -´=´，解得：5021t =；②EF ＝DF 时，点F 在DE 的垂直平分线上，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，如图所示：则12DH DE t ==cm ，在Rt △DHF 中，4cos 15DH DF Ð==，∴5DH ＝4DF ，∴()5410t t =-，解得409t =，∵40 3.69>，∴不合题意舍去；③DE ＝DF 时，则2t ＝10－t ，解得：103t =；综上：当t 的值为5021或103时，△EFD 为等腰三角形；（3）解：不存在．假设△EMN 沿直线MN 翻折后点E 落在点E ¢处，由折叠得：EM E M ¢=，EN E N ¢=，当翻折后的四边形为菱形时，EM E M E N E N ¢¢¢===，∴EM ＝EN ，∴22EM EN =，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，如图所示：则四边形EQCD 为矩形，∴EQ ＝CD ＝6cm ，CQ ＝DE ＝2t cm ，∴51382844NQ BC CQ BN t t t æö=--=--=-ç÷èø，∴222222131696852100416EN EQ NQ t t t æö=+=+-=-+ç÷èø，∵563AM AB BM t æö=-=-ç÷èøcm ，()82AE t =-cm ，∴()2222225616825210039ME AM AE t t t t æö=+=-+-=-+ç÷èø，∴22611695210052100916t t t t -+=-+，此方程无解，∴不存在这样的菱形．14．（2022秋·江苏·九年级期中）(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，那么BC 和AB 有怎样的数量关系？试证明你的结论”老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答小明：AB =2B C ．证明：把△ABC 沿着AC 翻折，得到△AD C ．∴∠ACD =∠ACB =90°，∴∠BCD =∠ACD +∠ACB =90°+90°=180°，即：点B 、C 、D 在一条直线上．（请在下面补全小华后面的证明过程）(2)【变式拓展】如图2，在△ABC 中，把（1）中条件“∠ACB =90°”改为“∠ACB =135°”，保持“∠BAC =30°”不变，则2AB = 2BC ．(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．如图3，点D 是△ABC 内一点，AD =AC ，∠BAD =∠CAD =20°，∠ADB +∠ACB =210°，探求AD 、DB 、BC 三者之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)2(3)222BD BC AD +=，理由见解析【分析】（1）根据翻折的性质得出点B 、C 、D 共线，再由等边三角形的判定和性质即可证明；（2）把∆ABC 沿着AC 翻折，得到∆ADC ，根据翻折的性质得出∆ABD 为等边三角形，由题意确定∠BCD =90°，运用勾股定理即可得出结论；（3）把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，由翻折及各角之间的关系得出△AEC为等边三角形，再由勾股定理及等量代换即可得出结论．【详解】（1）证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD=∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D共线，∴AB=AD，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=2BC；（2）如图所示，把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，由翻折得：AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，BC=CD，∴∠BAD=60°，∴∆ABD为等边三角形，∴AB=BD，∵∠ACB=∠ACD=135°，∴∠BCD=90°，2222\=+=，BD BC CD BC2即22AB BC=；2（3）222+=；BD BC AD理由：把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，∵∠BAD=∠CAD=20°，∴∠EAB=20°，∴∠EAC=60°，∵∠ACB +∠ADB =210°，∠AEB =∠ADB ，∴∠ACB =∠AEB =210°，∴∠EBC =360°-210°-60°=90°，∵AD =AC ，AE =AD ，∴AE =AC ，∴△AEC 为等边三角形，∴EC =AE =AD ，在Rt △EBC 中，222BE BC EC +=，∵BC =BD ，EC =AD ，∴222BD BC AD +=．15．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）问题情境：如图1，P 是O e 外的一点，直线PO 分别交O e 于点A ，B ．(1)探究证明：如图2，在O e 上任取一点C (不与点A ，B 重合)，连接PC ，求证：<AP PC ；(2)直接应用：如图3，在Rt ABC △中，=90ACB а，3AB AC ==，以BC 为直径的半圆O 交AB 于D ，P 是弧CD 上的一个动点，则AP 的最小值是 ．(3)构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，=60A а，M 是AD 的中点，N 是AB 边上一动点，将AMN V 沿MN 所在的直线翻折得到A MN ¢V ，连接A B ¢，则A B ¢长度的最小值为 ．(4)综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点()2,3A -，点()4,5B ，分别以1，2为半径作A e 、B e ，M ，N 分别是A e ，B e 上的动点，直接写出PM PN +的最小值为 ．【答案】(1)见解析321-(4)7【分析】(1)在POC △中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；(2)连接OA 交O e 于点P ，根据勾股定理求得OA ，进而求得AP ；(3)A ¢的轨迹是以M 为圆心，半径是1的圆，故连接BM ，求得BM ，进而求得A B ¢的最小值；(4)作点A 关于x 轴的对称点C ，连接CB 交x 轴于点P ，求出BC 的长，进而求得PM PN +的最小值．（1）证明：如图1，<PO OC PC -Q ，()<AP OA OC PC \+-，OA OC =Q ，<AP PC \；（2）解：如图2，连接OA ，交半O e 于点P ，13==22CO BC \，在Rt AOC V 中，OA ===∴32AP OA OP =-=，\AP 32，32；（3）解：如图3，连接BM 、BD ，交M ⊙于点1A ，∵四边形ABCD 是菱形，AB AD \=，=60BAM аQ ，ABD \V 是等边三角形，∵M 是AD 的中点，A ¢的轨迹是以M 为圆心，半径是1的圆，=90AMB \а，1112AM A M AD ===，BM \==，∴111A B BM A M =-=，A B \¢1-，1；（4）解：如图4，作点A 关于x 轴的对称点C ，连接BC ，交x 轴于点P ，交B e 于点N ，连接PA 交A e 于M ，PA PC \=，PA PB PC PB BC \+=+=，∵点()2,3A -，点()4,5B ，∴点(2,3)C --，10BC \==，∵分别以1，2为半径作A e 、B e ，=1AM \，2BN =，PM PN \+PA PB AM BN =+-- 1012=--=7，故答案是：7．16．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数32y x =-的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息：x …2-1-012 (32)y x =-…4a2-14…请按要求完成下列各小题：(1)a 的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A ．函数图像关于x 轴对称B ．当0x =时，函数有最小值，最小值为2-C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大②直接写出不等式1324x <-<的解集为______．(4)将该函数图像在直线1y =上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线1y =进行翻折，得到新函数图像，若经过点()2,0-的一次函数y kx b =+图像与新函数图像W 只有1个交点时，请直接写出k 满足的条件______．【答案】(1)1(2)见解析(3)①BC ；②2<<1x --或12x <<(4)3k ³或3k <-或13k =【分析】（1）把=1x -代入32y x =-即可求出a 的值；（2）先描点再连线画出函数图像即可；（3）①根据函数图象可以看出函数图像关于y 轴对称，关于x 轴不对称，即可判断A 错误；根据函数图象可判断当0x =时，函数有最小值，最小值为2-，得出B 正确；根据函数图象可判断当0x >时，y 随x 的增大而增大，得出C 正确；②根据函数图象写出不等式的解集即可；（4）根据题意画出翻折后的图像，然后数形结合求出k 的范围即可．【详解】（1）解：把=1x -代入32y x =-得：3121y =´--=，即1a =，故答案为：1．（2）解：该函数的图象，如图所示：（3）解：①A ．函数图像关于y 轴对称，故A 错误；B ．当0x =时，函数有最小值，最小值为2-，故B 正确；C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大，故C 正确；故答案为：BC ；②根据函数图象可知，当2<<1x --或12x <<时，1324x <-<；故答案为：2<<1x --或12x <<；（4）解：如图所示：设点()2,4A ，()1,1B ，()0,4C ，()11D -,，()2,4E -，设AB 的解析式为11y k x b =+，把()2,4A ，()1,1B 代入得：1111241k b k b +=ìí+=î，解得：1132k b =ìí=-î，AB 的解析式为：()321y x x =->，设CD 的解析式为22y k x b =+，把()0,4C ，()11D -,代入得：22141b k b =ìí-+=î，解得：2234k b =ìí=î，CD 的解析式为：()3410y x x =+-<<，设DE 的解析式为33y k x b =+，把()11D -,，()2,4E -代入得：3333241k b k b -+=ìí-+=î，解得：3332k b =-ìí=-î，DE 的解析式为：()341y x x =--<-，根据图像可知，当直线y kx b =+经过()2,0-和点()1,1B 时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，把()2,0-，()1,1B 代入得：201k b k b -+=ìí+=î，解得：13k =；∵123k k ==，∴AB CD ∥，根据图像可知，当直线y kx b =+与AB 平行时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，且此时直线y kx b =+绕点()2,0-继续逆时针旋转，直到与DE 平行之前，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，∴当3k ³或3k <-时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点；综上分析可知，当3k ³或3k <-或13k =时直线y kx b =+与图像W 只有一个交点．故答案为：3k ³或3k <-或13k =．17．（2017江苏省宿迁市，第25题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2=23y x x --交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将该抛物线位于x 轴上方曲线记作M ，将该抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N ，曲线N 交y 轴于点C ，连接AC 、BC ．（1）求曲线N 所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC 外接圆的半径；（3）点P 为曲线M 或曲线N 上的一动点，点Q 为x 轴上的一个动点，若以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2（3）Q （0）或（4，0）或（5，0）或（0）或（2，0）或（1，0）．【详解】试题分析：（1）由已知抛物线可求得A 、B 坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C 的坐标，利用待定系数法可求得曲线N 的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC 与AB 的垂直平分线的交点，即直线y =x 与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q （x ，0），当BC 为平行四边形的边时，则有BQ ∥PC 且BQ =PC ，从而可用x 表示出P 点的坐标，代入抛物线解析式可得到x 的方程，可求得Q 点坐标，当BC 为平行四边形的对角线时，由B 、C 的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P 点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x 的方程，可求得P 点坐标．试题解析：（1）在2=23y x x --中，令y =0可得x 2﹣2x ﹣3=0，解得x =﹣1或x =3，∴A （﹣1，0），B （3，0），令x =0可得y =﹣3，又抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折后得到曲线N ，∴C （0，3），设曲线N 的解析式为2y ax bx c =++，把A 、B 、C 的坐标代入可得：09303a b c a b c c -+=ìï++=íï=î，解得：123a b c =-ìï=íï=î，∴曲线N 所在抛物线相应的函数表达式为223y x x =-++；（2）设△ABC 外接圆的圆心为M ，则点M 为线段BC 、线段AB 垂直平分线的交点，∵B （3，0），C （0，3），∴线段BC 的垂直平分线的解析式为y =x ，又线段AB 的解析式为曲线N 的对称轴，即x =1，∴M （1，1），∴MB△ABC（3）设Q （t ，0），则BQ =|t ﹣3|．①当BC 为平行四边形的边时，如图1，则有BQ ∥PC ，∴P 点纵坐标为3，即过C 点与x 轴平行的直线与曲线M 和曲线N 的交点即为点P ，x 轴上对应的即为点Q ，当点P 在曲线M 上时，在2=23y x x --中，令y =3可解得x或x =1，∴PCPC﹣1．。
二次函数翻折
（2013海淀期末）24．抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）若点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ=n .①求2124263x x n n -++的值；② 将抛物线在PQ 下方的部分沿PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x 轴恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 .（2013西城期末）19．已知抛物线322--=x x y . （1）它与x 轴的交点的坐标为_______； （2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；（3）将该抛物线在x 轴下方的部分(不包含与x 轴的交点)记为G ，若直线b x y +=与G只有一个公共点，则b 的取值范围是_______．23. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.（2012通州）22．已知关于x 的方程2(31)220mx m x m --+-= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(31)22y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点（0,0），求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y x b =+与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围.（2012丰一）23．已知：关于x 的一元二次22240x mx m -+-=. （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C 1,将图形C 1向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线y=x b +(b <0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围.（2012西一末）20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等．（1）求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并画出它的 图象（不要求列表）； （2）若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++≥=⎨-<⎩ 又已知关于x 的方程 ()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．（2012东二）23. 已知关于x 的方程2(1)(4)30m xm x -+-+=．（1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2） 若正整数m 满足822m->，设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．（2012）23．已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。
二次函数的最值问题和像的平移翻折伸缩
二次函数的最值问题和像的平移翻折伸缩二次函数在数学中是非常重要的一个概念，它具有许多特殊的性质和应用。
其中，最值问题以及像的平移、翻折和伸缩是二次函数的基本操作和应用之一。
本文将对二次函数的最值问题和像的平移、翻折和伸缩进行探讨和讲解。
一、二次函数的最值问题二次函数的最值问题，即求解二次函数在定义域上的最大值或最小值。
要解决这个问题，首先需要明确的是二次函数的图像特点和相关知识。
对于一般的二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），其对称轴为x=-b/2a，开口方向由a的正负号决定，开口向上当a>0，开口向下当a<0。
当二次函数的a>0时，函数的最小值就是函数的顶点，即对称轴上的点；当二次函数的a<0时，函数的最大值同样是函数的顶点。
为了进一步求解二次函数在定义域上的最值，可以使用求导方法。
对二次函数进行求导，求得的导函数即为一次函数，通过解一次函数的方程可以得到最值点的横坐标。
将横坐标带入二次函数中，即可求得最值点的纵坐标。
二、像的平移、翻折和伸缩在二次函数的图像中，像的平移、翻折和伸缩是通过调整二次函数的系数来实现的。
具体而言，像的平移是通过调整二次函数的常数项c来实现的，像的翻折是通过调整二次函数的系数a的符号来实现的，像的伸缩是通过调整二次函数的系数a和b来实现的。
1. 像的平移：若二次函数的常数项c发生变化，整个二次函数的图像将上下平移。
当c>0时，图像下移；当c<0时，图像上移。
平移的距离由c的绝对值决定。
2. 像的翻折：若二次函数的系数a的符号发生变化，整个二次函数的图像将发生翻折。
当a>0时，图像翻折后开口向上；当a<0时，图像翻折后开口向下。
3. 像的伸缩：若二次函数的系数a和b发生变化，整个二次函数的图像将发生伸缩。
当a的绝对值大于1时，图像在y轴方向上发生压缩；当0<|a|<1时，图像在y轴方向上发生拉伸。
当b的绝对值大于1时，图像在x轴方向上发生压缩；当0<|b|<1时，图像在x轴方向上发生拉伸。
二次函数的图像
汇报人：
二次函数图像的形状 二次函数图像的平移 二次函数图像的对称变换 二次函数图像的翻折 二次函数图像的交点 二次函数图像的综合应用
二次函数图像的形状
开口方向
向上开口：二次项系数大于0
垂直于x轴：二次项系数等于0
添加标题
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向下开口：二次项系数小于0
添加标题
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水平线：一次项系数等于0
抛物线与坐标轴交点的应 用
抛物线在实际问题中的建 模应用
在数学竞赛中的应用
二次函数图像的综合应用可以解决数学竞赛中的代数问题。 通过分析二次函数图像，可以解决几何问题。 利用二次函数图像的性质，可以解决数列问题。 二次函数图像的综合应用在数学竞赛中具有广泛的应用价值。
在高中数学中的重要性
二次函数图像是高中数学的重要知识点，是理解和掌握函数性质的关键。 通过二次函数图像的综合应用，可以解决各种实际问题，提高数学应用能力。 二次函数图像在高中数学中占有重要地位，是高考数学的必考内容之一。 掌握二次函数图像的综合应用，有助于提高学生的数学素养和思维能力。
变化规律：顶点不变，开口方 向相反，对称轴不变
举例：y=x^2沿x轴翻折后为 y=-x^2
应用：理解次函 数图像在y轴两侧 对称翻转
效果：改变开口 方向和顶点位置
公式：将二次函 数的一般形式 y=ax^2+bx+c 中的a替换为-a， 得到新的二次函 数
上平移和下平移对函数值的影响：上平移会使函数值增大，下平移会使函数值减小。
上平移和下平移的代数表示：向上平移a个单位，函数解析式变为y=f(x+a)；向下平移 a个单位，函数解析式变为y=f(x-a)。
上平移和下平移的实际应用：在解决实际问题时，可以通过平移二次函数的图像来调整 参数，从而得到最优解。
二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题
二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题目录题型01二次函数平移问题题型02二次函数翻折问题题型03二次函数对称问题题型04二次函数旋转问题题型05二次函数折叠问题题型01二次函数平移问题1. 二次函数的平移变换平移方式(n>0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.1(2023·上海杨浦·统考一模)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a≠0与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BC 上一点，如果∠PAC =45°，求点P 的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D 平移至点E 处，过点E 作EF ⊥直线AP ，垂足为点F ，如果tan ∠PEF =12，求平移后抛物线的表达式．【答案】(1)y =x 2-2x -3(2)P 53,-43(3)y =x +1792-4【分析】(1)设点A 的横坐标为x A ，点B 的横坐标为x B ，根据对称轴，AB =4，列式x A +x B2=1,x B -x A =4，利用根与系数关系计算确定a 值即可．(2)过点C 作AC ⊥MN 于点C ，交AC 右侧的AP 的延长线于点M ，交AC 左侧的AP 的延长线于点N ，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可．(3)设抛物线向左平移了t 个单位，则点E 1-t ,-4 ，过点F 作x 轴的平行线交过点P 和y 轴的平行线于点H ，交过点E 和y 轴的平行线于点G ，证明Rt △FGE ∽Rt △PHF ，根据相似三角形的性质得出GEHF=GF HP =EF FP =1tan ∠PEF =2即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =ax 2-2ax -3a ≠0 与x 轴交于点A 、点B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，且AB =4，∴x A +x B 2=1,x B -x A =4，解得x B =3,x A =-1，∴-3a=3×-1 ，解得a=1，故抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．(2)过点C 作AC ⊥MN 于点C ，交AC 右侧的AP 的延长线于点M ，∵∠PAC =45°，∴AC =CM ，过点M 作MT ⊥y 轴于点T ，∴∠ACO =90°-∠ECM =∠CMT ∵∠ACO =∠CMT ∠AOC =∠CTM AC =CM，∴△AOC ≌△CTM AAS ，∴AO =CT ,OC =EM ，∵抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，x B =3,x A =-1，∴AO =CT =1,OC =TM =3，A -1,0 ,C 0,-3 ,B 3,0 ，∴OE =2,TM =3∴M 3,-2 ，设AM 的解析式为y =kx +b ，BC 的解析式为y =px +q ∴-k +b =03k +b =-2 ,3p +q =0q =-3 ，解得k =-12b =-12,p =1q =-3 ∴AM 的解析式为y =-12x -12，BC 的解析式为y =x -3，∴y =x -3y =-12x -12 ，解得x =53y =-43，故P 53,-43；(3)∵y =x 2-2x -3=x -1 2-4，点D 1,-4 ,设抛物线向左平移了t 个单位，则点E 1-t ,-4 ，过点F 作x 轴的平行线交过点P 和y 轴的平行线于点H ，交过点E 和y 轴的平行线于点G ，由(2)知，直线AP 的表达式为：y =-12x -12，P 53,-43设F m ,-12m -12 ∵∠EFP =90°，∴∠GFE +∠HFP =90°，∵∠GFE +∠GEF =90°，∴∠GEF =∠HFP ，∴Rt △FGE ∽Rt △PHF ，∴GE HF =GF HP =EF FP =1tan ∠PEF=2，∵GE =y F -y E =-12m -12+4，HF =x P -x F =53-m ，GF =x F -x G =m -1-t ，HP=y F -y P =-12m-12+43，∴-12m -12+453-m =m -1-t -12m -12+43=2，解得：t =269，∴y =x -1+269 2-4=x +179 2-4．【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键．2(2023·广东湛江·校考一模)如图1，抛物线y =36x 2+433x +23与x 轴交于点A ，B (A 在B 左边)，与y 轴交于点C ，连AC ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE ∥AC 交抛物线于点E ，交y 轴于点P．(1)点F 是直线AC 下方抛物线上点一动点，连DF 交AC 于点G ，连EG ，当△EFG 的面积的最大值时，直线DE 上有一动点M ，直线AC 上有一动点N ，满足MN ⊥AC ，连GM ，NO ，求GM +MN +NO 的最小值；(2)如图2，在(1)的条件下，过点F 作FH ⊥x 轴于点H 交AC 于点L ，将△AHL 沿着射线AC 平移到点A 与点C 重合，从而得到△A H L (点A ，H ，L 分别对应点A ，H ，L )，再将△A H L 绕点H 逆时针旋转α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A L 所在直线交直线DE 于Q ，交y 轴于点R ，求当△PQR 为等腰三角形时，直接写出PR 的长．【答案】(1)4+23975(2)1733-3或833【分析】(1)作FH ∥y 轴交DE 于H ．设F m ,36m 2+433m +23 ，求出直线DE 的解析式，联立方程得到x =-3时，FH 的值最大，求出答案；作点G 关于DE 的对称点T ，TG 交DE 于R ，连接OR 交AC 于N ，作NM ⊥DE 于M ，连接TM ，GM ，此时GM +MN +NO 的值最小，求出答案即可；(2)当△PQR 是等腰三角形时，易知∠QPR =120°，易知直线RQ 与x 轴的夹角为60°，得到直线RQ 的解析式为y =3x +3-3，进而求出答案，当△QPR 是等腰三角形，同理求出答案．【详解】(1)如图1中，作FH ∥y 轴交DE 于H ．设F m ,36m 2+433m +23 ．由题意可知A (-6,0)，B (-2,0)，C (0,23)，∵抛物线的对称轴x =-4，C ，D 关于直线x =-4对称，∴D (-8,23)，∴直线AC 的解析式为y =33x +23，∵DE ∥AC ，∴直线DE 的解析式为y =33x +1433，由y =33x +23y =33x +1433，解得x =8y=23 或x =2y =1633，∴E 2,1633 ，H m ,33m +1433，∵S △DEF =S △DEG +S △EFG ，△DEG 的面积为定值，∴△DEG 的面积最大时，△EFG 的面积最大，∵FH 的值最大时，△DEF 的面积最大，∵FH 的值最大时，△EFG 的面积最大，∵FH =-36m 2-3m +833，∵a <0．开口向下，∴x =-3时，FH 的值最大，此时F -3,-32．如图2中，作点G 关于DE 的对称点T ，TG 交DE 于R ，连接OR 交AC 于N ，作NM ⊥DE 于M ，连接TM ，GM ，此时GM +MN +NO 的值最小．∵直线DF 的解析式为：y =-32x -23，由y =-32x -23y =33x +23，解得x =-245y =235，∴G -245,232 ，∵TG ⊥AC ，∴直线GR 的解析式为y =-3x -2235，由y =33x +1433y =-3x -2235 ，解得x =-345y =1235，∴R -345,1235，∴RG =4,OR =23975，∵GM =TM =RN ，∴GM +MN +ON =RN +ON +RG =RG +ON =4+23975．∴GM +MN +NO 的最小值为4+23975．(2)如图3中，如图当△PQR 是等腰三角形时，易知∠QPR =120°，PQ =PR易知直线RQ 与x 轴的夹角为60°，L 3-32,23+32，直线RQ 的解析式为y =3x +3-3，∴R (0,3-3)，∴PR =1433-(3-3)=1733-3．如图4中，当△QPR 是等腰三角形，∵∠QPR =60°，∴△QPR 是等边三角形，同法可得R (0,23)，∴PR =OP -OC =1433-23=833综上所述，满足条件的PR 的值为1733-3或833．【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题．3(2023·广东潮州·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PQ OQ 的值最大时，求点P 的坐标和PQ OQ的最大值；(3)把抛物线y =-12x 2+bx +c 沿射线AC 方向平移5个单位得新抛物线y ，M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N 点的坐标，并把求其中一个N 点坐标的过程写出来．【答案】(1)抛物线的函数表达式为y =-12x 2+x +4(2)当m =2时，PQ OQ取得最大值12，此时，P (2,4)(3)N 点的坐标为N 12,52 ,N 22,-112 ,N 32,-52.其中一个N 点坐标的解答过程见解析【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；(2)运用待定系数法求得直线BC 的解析式为y =-x +4，如图1，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D (m ,-m +4)，证明△PDQ ∽△OCQ ，得出：PQ OQ =PD OC=-12m 2+2m 4=-18(m -2)2+12，运用求二次函数最值方法即可得出答案；(3)设M t -12t 2+2t +92,N (2,s )，分三种情况：当BC 为▱BCN 1M 1的边时；当BC 为▱BCM 2N 2的边时；当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．【详解】(1)∵抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点(点A 在点B 的左侧)，∴-12×(-2)2-2b +c =0-12×42+4b +c =0,解得：b =1c =4 ，∴抛物线的函数表达式为y =-12x 2+x +4；(2)∵抛物线y =-12x 2+x +4与y 轴交于点C ，∴C (0,4)，∴OC =4，设直线BC 的解析式为y =kx +d ，把B (4,0),C (0,4)代入，得：4k +d =0,d =4 解得：k =-1d =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4，如图1，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D (m ,-m +4)，∴PD =-12m 2+2m ，∵PD ∥OC ，∴△PDQ ∽△OCQ ，∴PQ OQ =PD OC=-12m 2+2m 4=-18(m -2)2+12,∴当m =2时，PQ OQ取得最大值12，此时，P (2,4)．(3)如图2，沿射线AC 方向平移5个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，∴新的物线解析式为y =-12(x -2)2+132=-12x 2+2x +92，对称轴为直线x =2，设M t ,-12t 2+2t +92,N (2,s )，当BC 为▱BCN 1M 1的边时，则BC ∥MN ,BC =MN ，∴t -2=4s =-12t 2+2t +92+4解得：t =6s =52，∴N 12,52;当BC 为▱BCM 2N 2的边时，则BC ∥MN ,BC =MN ，∴t -2=-4s =-12t 2+2t +92-4 ,解得：t =-2s =-112，∴N 22,-112;当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时，则t +2=4-12t 2+2t +92+s =4，解得：t =2s =-52，∴N 32,-52;综上所述，N 点的坐标为：N 12,52 ,N 22,-112 ,N 32,-52.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．4(2023·湖北襄阳·校联考模拟预测)坐标综合：(1)平面直角坐标系中，抛物线C 1：y 1=x 2+bx +c 的对称轴为直线x =3，且经过点6,3 ，求抛物线C 1的解析式，并写出其顶点坐标；(2)将抛物线C 1在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线C 2：y 2=x 2-2mx +m 2-1，①如图1，设自变量x 在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1．此时，若y 2的最大值比最小值大12m ，求m 的值；②如图2，直线l ：y =-12x +n n >0 与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点.过点A 、点C 分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点B ．设抛物线C 2与x 轴交于E 、F 两点(点E 在左边)．现将图中的△CBA 沿直线l 折叠，折叠后的BC 边与x 轴交于点M ．当8≤n ≤12时，若要使点M 始终能够落在线段EF (包括两端点)上，请通过计算加以说明：抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向左还是向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？【答案】(1)抛物线C 1的解析式为y 1=x 2-6x +3，抛物线C 1的顶点坐标为3,-6(2)①m 的值为2或9-154；②抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位【分析】(1)根据对称轴为直线x =3，可得b =-6，再把把6,3 代入，即可求解；(2)①根据配方可得当x =m 时，函数有最小值-1，再由自变量x 在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1，可得1≤m ≤2，然后两种情况讨论，即可求解；②先求出点A ，C 的坐标，可得点B 的坐标，再根据图形折叠的性质可得CM =AM ，在Rt △COM 中，根据勾股定理可得CM =54n ，从而得到点M 的坐标，继而得到n 的取值范围，然后根据点M 始终能够落在线段EF (包括两端点)上，可得m 取值范围，即可求解．【详解】(1)解：∵y 1=x 2+bx +c 的对称轴为直线x =3，∴-b2=3，解得：b =-6，把6,3 代入y 1=x 2-6x +c ，得3=62-6×6+c ，解得：c =3，∴抛物线C 1的解析式为y 1=x 2-6x +3，当x =3时，y 1=32-6×3+3=-6，∴抛物线C 1的顶点坐标为3,-6 ；(2)解：①∵y 2=x 2-2mx +m 2-1=x -m 2-1，∴抛物线C 2的对称轴为直线x =m ，当x =m 时，函数有最小值-1，∵在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1，∴1≤m ≤2，当1≤m ≤32时，x =2时y 2有最大值为m 2-4m +3，∴m 2-4m +3+1=12m ，解得m =9±154，∴m =9-154；当32≤m ≤2时，x =1时y 2有最大值为m 2-2m ，∴m 2-2m +1=12m ，解得m =2或m =12(舍)，综上所述：m 的值为2或9-154；②直线l ：y =-12x +n 与x 轴的交点A 2n ,0 ，与y 轴的交点C 0,n ，∴B 2n ,n ，∵△CBA 沿直线l 折叠，∴∠BCA =∠ACM ，∵∠BCA =∠CAM ，∴∠ACM =∠MAC ，∴CM =AM ，在Rt △COM 中，CM 2=CO 2+OM 2，即CM 2=n 2+2n -CM 2，解得CM =54n ，∴OM =34n ，∴M 34n ,0 ，∵8≤n ≤12，∴6≤34n ≤9，当x 2-2mx +m 2-1=0时，解得：x =m +1或x =m -1，∴E m -1,0 ，F m +1,0 ，∵点M 始终能够落在线段EF 上，∴m +1≥6，m -1≤9，∴5≤m ≤10，∵y 1=x 2-6x +3=x -3 2-6，y 2=x -m 2-1，当m =5时，抛物线C 1沿x 轴向右平移2个单位，向上平移5个单位，当m =10时，抛物线C 1沿x 轴向右平移7个单位，向上平移5个单位，∴抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对称图形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．5(2023·浙江湖州·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2-4x +c 的图象与y 轴的交点坐标为0,5 ，图象的顶点为M ．矩形ABCD 的顶点D 与原点O 重合，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，顶点B 的坐标为1,5 ．(1)求c 的值及顶点M 的坐标，(2)如图2，将矩形ABCD 沿x 轴正方向平移t 个单位0<t <3 得到对应的矩形A B C D ．已知边C D ，A B 分别与函数y =x 2-4x +c 的图象交于点P ，Q ，连接PQ ，过点P 作PG ⊥A B 于点G ．①当t =2时，求QG 的长；②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t ，使得△PGQ 的面积为1？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)c =5，顶点M 的坐标是2,1(2)①1；②存在，t =12或52【分析】(1)把0,5 代入抛物线的解析式即可求出c ，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；(2)①先判断当t =2时，D ，A 的坐标分别是2,0 ，3,0 ，再求出x =3，x =2时点Q 的纵坐标与点P 的纵坐标，进而求解；②先求出QG =2，易得P ，Q 的坐标分别是t ,t 2-4t +5 ，t +1,t 2-2t +2 ，然后分点G 在点Q 的上方与点G 在点Q 的下方两种情况，结合函数图象求解即可．【详解】(1)∵二次函数y =x 2-4x +c 的图象与y 轴的交点坐标为0,5 ，∴c =5， ∴y =x 2-4x +5=x -2 2+1，∴顶点M 的坐标是2,1 ．(2)①∵A 在x 轴上，B 的坐标为1,5 ，∴点A 的坐标是1,0 ．当t =2时，D ，A 的坐标分别是2,0 ，3,0 ．当x =3时，y =3-2 2+1=2，即点Q 的纵坐标是2，当x =2时，y =2-2 2+1=1，即点P 的纵坐标是1．∵PG ⊥A B ，∴点G 的纵坐标是1， ∴QG =2-1=1． ②存在．理由如下：∵△PGQ 的面积为1，PG =1，∴QG =2．根据题意，得P ，Q 的坐标分别是t ,t 2-4t +5 ，t +1,t 2-2t +2 ．如图1，当点G 在点Q 的上方时，QG =t 2-4t +5-t 2-2t +2 =3-2t =2，此时t =12(在0<t <3的范围内)，如图2，当点G 在点Q 的下方时，QG =t 2-2t +2-t 2-4t +5 =2t -3=2，此时t =52(在0<t <3的范围内)．∴t =12或52．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．6(2023·江苏·统考中考真题)如图，二次函数y =12x 2+bx -4的图像与x 轴相交于点A (-2,0)、B ，其顶点是C ．(1)b =；(2)D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，tan ∠AOD =52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(k ,0)作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知△PCQ 是直角三角形，求点P 的坐标．【答案】(1)-1；(2)k ≤-3；(3)3,-52 或-1,-52 ．【分析】(1)把A (-2,0)代入y =12x 2+bx -4即可求解；(2)过点D 作DM ⊥OA 于点M ，设D m ,12m 2-m -4 ，由tan ∠AOD =DM OM=-12m 2+m +4-m =52，解得D -1,-52，进而求得平移后得抛物线，平移后得抛物线为y =12x +3 2-92，根据二次函数得性质即可得解；(3)先设出平移后顶点为P p ,12p 2-p -4 ，根据原抛物线y =12x -1 2-92，求得原抛物线的顶点C 1,-92 ，对称轴为x =1，进而得Q 1,p 2-2p -72，再根据勾股定理构造方程即可得解．【详解】(1)解：把A (-2,0)代入y =12x 2+bx -4得，0=12×-2 2+b ×-2 -4，解得b =-1，故答案为-1；(2)解：过点D 作DM ⊥OA 于点M ，∵b =-1，∴二次函数的解析式为y =12x 2-x -4设D m ,12m 2-m -4 ，∵D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，tan ∠AOD =52，∴tan ∠AOD =DM OM=-12m 2+m +4-m =52，解得m =-1或m =8(舍去)，当m =-1时，12m 2-m -4=12+1-4=-52，∴D -1,-52，∵y =12x 2-x -4=12x -1 2-92，∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为y =12x +a 2-92，把D -1,-52 代入y =12x +a 2-92得-52=12-1+a 2-92，解得a =3或a =-1(舍去)，∴平移后得抛物线为y =12x +3 2-92∵过点(k ,0)作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，在y =12x +3 2-92的对称轴x =-3的左侧，y 随x 的增大而减小，此时原抛物线也是y 随x 的增大而减小，∴k ≤-3；(3)解：由y =12x -1 2-92，设平移后的抛物线为y =12x -p 2+q ，则顶点为P p ,q ，∵顶点为P p ,q 在y =12x -1 2-92上，∴q =12p -1 2-92=12p 2-p -4，∴平移后的抛物线为y =12x -p 2+12p 2-p -4，顶点为P p ,12p 2-p -4 ，∵原抛物线y =12x -1 2-92，∴原抛物线的顶点C 1,-92，对称轴为x =1，∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，∴Q 1,p 2-2p -72，∵点Q 、C 在直线x =1上，平移后的抛物线顶点P 在原抛物线顶点C 的上方，两抛物线的交点Q 在顶点P 的上方，∴∠PCQ 与∠CQP 都是锐角，∵△PCQ 是直角三角形，∴∠CPQ =90°，∴QC 2=PC 2+PQ 2，∴p 2-2p -72+92 2=p -1 2+12p 2-p -4+922+p -1 2+12p 2-p -4-p 2+2p +722化简得p -1 2p -3 p +1 =0，∴p =1(舍去)，或p =3或p =-1，当p =3时，12p 2-p -4=12×32-3-4=-52，当p =-1时，12×-1 2+1-4=-52，∴点P 坐标为3,-52 或-1,-52．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．7(2023·湖北宜昌·统考模拟预测)如图，过原点的抛物线y 1=ax (x -2n )(a ≠0,a ,n 为常数)与x 轴交于另一点A ，B 是线段OA 的中点，B -4,0 ，点M (-3,3)在抛物线y 1上．(1)点A 的坐标为；(2)C 为x 轴正半轴上一点，且CM =CB ．①求线段BC 的长；②线段CM 与抛物线y 1相交于另一点D ，求点D 的坐标；(3)将抛物线y 1向右平移(4-t )个单位长度，再向下平移165个单位长度得到抛物线y 2，P ，Q 是抛物线y 2上两点，T 是抛物线y 2的顶点．对于每一个确定的t 值，求证：矩形TPNQ 的对角线PQ 必过一定点R ，并求出此时线段TR 的长．【答案】(1)-8,0(2)①BC =5；②D -54,2716 (3)证明见解析，RT =5【分析】(1)根据中点公式求C 点坐标即可；(2)①设C x ,0 ，根据CM =CB ，建立方程(x +3)2+9=x +4，求出C 点坐标即可求BC ；②求出直线CM 的解析式为y =-34x +34，将A -8,0 代入y 1=ax (x -2n )，求出n =-4，将M 点代入y 1=ax (x +8)，求出a =-15，从而求出抛物线y 1=-15x (x +8)，直线CM 与抛物线的交点即为点D -54,2716；(3)根据平移的性质可求y 2=-15(x +t )2，则T (-t ,0)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，P m ,-15(m +t )2 ，Q n ,15(n +t )2 当kx +b =-15(x +t )2时，整理得x 2+(2t +5k )x +5b +t 2=0，由根与系数的关系可得m +n =-2t -5k ，mn =5b +t 2，过点P 作PF ⊥x 轴交于F 点，过Q 点作QE ⊥x 轴交于E 点，证明△FPT ∽△ETQ ，则PF TE =FT EQ ，即15(m +t )2n +t =-t -m 15(n +t )2，整理得，(m +t )(n +t )=-25，求出b =kt -5，所以直线PQ 的解析式为y =kx +kt -5=k (x +t )-5，对于每一个确定的t 值，直线PQ 必经过定点R (-t ,-5)，RT =5．【详解】(1)∵B 是线段OA 的中点，B -4,0 ，∴OA =8，∴A -8,0 ，故答案为：-8,0 ；(2)①设C x ,0 ，∵CM =CB ，∴(x +3)2+9=x +4，解得x =1，∴BC =5；②设直线CM 的解析式为y =k 'x +b '，∴k '+b '=0-3k '+b '=3 ，解得k '=-34b '=34，∴直线CM 的解析式为y =-34x +34，将A -8,0 代入y 1=ax (x -2n )，∴-8a (-8-2n )=0，∵a ≠0，∴-8-2n =0，解得n =-4，∴y 1=ax (x +8)，将M 点代入y 1=ax (x +8)，∴-3a (-3+8)=3，解得a =-15，∴抛物线y 1=-15x (x +8)，当-34x +34=-15x (x +8)时，解得x =-3或x =-54，∴D -54,2716；(3)证明：∵y 1=-15x (x +8)=-15(x +4)2+165，∴y 2=-15(x +t )2，∴T (-t ,0)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，P m ,-15(m +t )2 ，Q n ,15(n +t )2 ，当kx +b =-15(x +t )2时，整理得x 2+(2t +5k )x +5b +t 2=0，∴m +n =-2t -5k ，mn =5b +t 2，过点P 作PF ⊥x 轴交于F 点，过Q 点作QE ⊥x 轴交于E 点，∵四边形TPNQ 是矩形，∴∠PTQ =90°，∴∠FTP +∠ETQ =90°，∵∠FTP +∠TPF =90°，∴∠ETQ =∠TPF ，∴△FPT ∽△ETQ ，∴PF TE =FTEQ，即15(m +t )2n +t=-t -m15(n +t )2，整理得，(m +t )(n +t )=-25，∴mn +t (m +n )+t 2=-25，∴b -kt =-5，即b =kt -5，∴直线PQ 的解析式为y =kx +kt -5=k (x +t )-5，∴对于每一个确定的t 值，直线PQ 必经过定点R (-t ,-5)，∴RT =5．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，题型02二次函数翻折问题二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
二次函数中的翻折问题
备用图二次函数中的翻折问题1、．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根； （2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．。
2、 已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数.（1）求k 的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.！-3、关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ．（1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的 值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．。
二次函数的图像及其性质教案
教学过程一、复习预习1. 常量、变量和函数在某一过程中可以取不同数值的量，叫做变量．在整个过程中保持统一数值的量或数，叫做常量或常数．一般地，设在变化过程中有两个互相关联的变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量．2. 函数的表示方法(1) 解析法(2) 列表法(3) 图像法3. 函数的图像若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在直角坐标平面上描出一个点(x，f(x))，这些点构成一个图形F，这个图形F就是函数y=f(x)的图像．知道函数的解析式，要画函数的图像，一般分为列表，描点，连线三个步骤．4、正比例函数：一般地，函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k 叫做变量y与x之间的比例常数，确定了比例常数k，就可以确定一个正比例函数．正比例函数y=kx有下列性质:(1) 当k>0时，它的图像经过第一、三象限，y随着x的值增大而增大；当k<0时，他的图像经过第二、四象限，y随着x的增大而减小．(2)随着比例常数的绝对值的增加，函数图像渐渐离开x轴而接近于y轴，因此，比例系数k 和直线y=kx与x轴正方向所成的角有关据此，k叫做直线y=kx的斜率．二、知识讲解考点1 二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．考点2二次函数的基本形式及图像性质1. 二次函数基本形式：2y ax =（b 、c 为0 时）的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
二次函数翻折
二次函数翻折二次函数是数学中常见的函数类型，可以用来描述很多实际问题，例如抛物线的形状、物体的轨迹等。
二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是常数，且a≠0。
翻折是指对二次函数的图像进行关于x轴或y轴的镜像变换，使得图像在某个轴上对称。
翻折后的二次函数图像仍然是抛物线形状，但位置和方向可能发生改变。
一、关于x轴的翻折：如果对二次函数f(x) = ax^2 + bx + c进行关于x轴的翻折，即将函数图像沿x轴翻转，那么得到的新函数g(x)的表达式可以表示为g(x) = -ax^2 - bx - c。
这时，原来抛物线的顶点位置不变，但抛物线的开口方向改变为向下。
例如，原二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1的图像是一个顶点位于(-1, 0)的开口向上的抛物线。
进行关于x轴的翻折后，得到的新函数g(x) = -x^2 - 2x - 1的图像是一个顶点位于(-1, 0)的开口向下的抛物线。
二、关于y轴的翻折：如果对二次函数f(x) = ax^2 + bx + c进行关于y轴的翻折，即将函数图像沿y轴翻转，那么得到的新函数g(x)的表达式可以表示为g(x) = ax^2 - bx + c。
这时，原来抛物线的顶点的x坐标保持不变，y轴方向的对称性变化。
例如，原二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1的图像是一个顶点位于(-1, 0)的开口向上的抛物线。
进行关于y轴的翻折后，得到的新函数g(x) = x^2 - 2x + 1的图像是一个顶点位于(1, 0)的开口向上的抛物线。
三、翻折前后的性质对比：无论是关于x轴的翻折还是关于y轴的翻折，二次函数的顶点位置都保持不变。
但是开口方向和曲线在平面上的位置发生了改变。
在进行翻折前后，二次函数的系数也发生了改变。
具体来说，关于x轴的翻折会使a的符号变为相反数，而关于y轴的翻折会使b的符号变为相反数。
在实际问题中，通过翻折可以达到一些特定的目的。
2019年初升高数学衔接辅导之二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(含答案)
04二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换问题 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表：再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．典型考题【典型例题】二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【变式训练】下列说法错误的是( )A．二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0B．二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大C．在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点【能力提升】抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（）A．y=x2B．y=﹣3x2C．y=﹣x2D．y=2x2高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a -．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a -．典型考题【典型例题】如图，已知抛物线C 1：y ＝﹣x 2+4，将抛物线C 1沿x 轴翻折，得到抛物线C 2（1）求出抛物线C 2的函数表达式；（2）现将抛物线C 1向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线C 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为D ，E ．在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图，抛物线轴的负半轴相交于点，将抛物线平移得到抛物线相交于点，直线于点，且.(1)求点的坐标；(2)写出一种将抛物线平移到抛物线的方法；(3)在轴上找点，使得的值最小，求点的坐标.【能力提升】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．专题验收测试题1．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法正确的有多少个①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x=；④抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；⑤在对称轴左侧，y随x增大而减少．A．2 B．3 C．4 D．52．如图，一条抛物线与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动，M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），x1的最小值为﹣4，则x2的最大值为（）A．6 B．4 C．2 D．﹣23．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当x2+bx+c＞2x时，x＞2；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0，其中正确的序号是（）A．①②④B．②③④C．②④D．③④4．定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x 的图象大致是（）A．B．C．D．5．若抛物线y＝ax2+2ax+4a(a＞0)上有A(32，y1)、B(2，y2)、C(32，y3)三点，则y1、y2、y 3的大小关系为( ). A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 16．下列函数是二次函数的是( ). A ．y ＝2x B ．y =1x+x C ．y ＝x +5D ．y ＝(x +1)(x ﹣3)7．下列对二次函数2y x x =-的图象的描述，正确的是（ ） A ．经过原点 B ．对称轴是y 轴 C ．开口向下D ．在对称右侧部分是向下的8．已知函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）（其中a ＞b ）的图象如图所示，则函数y ＝ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点(﹣1，0)，以下结论：①2a +b ＞0；②a +c ＜0；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣5a 2＞2a c ．其中正确的是( )A ．①②B ．③④C ．②③④D ．①②③④10．二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(﹣2，﹣9a )，下列结论：①abc ＞0；②4a +2b +c ＞0；③5a ﹣b +c ＝0；④若方程a (x +5)(x ﹣1)＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；⑤若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．如图，与抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3关于直线x ＝2成轴对称的函数表达式为______．12．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝5的一个根是2，且二次函数y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是直线x ＝2，则抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为_____．13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1、3，与y 轴负半轴交于点C ．下面三个结论：①2a +b ＝0；②a +b +c ＞0；③只有当12a =时，△ABD 是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是_____．（只填你认为正确结论的序号）15．把二次函数y=x2+2x+3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到二次函数____的图象．16．已知当2≤x≤3时，关于x的多项式x2﹣2kx+k2﹣k﹣1（k为大于2的常数）有最小值﹣2，则常数k的值为___．17．已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=25，求m的值；（3）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接B D．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与直线y＝32x﹣3交于点C（0，﹣3），直线y＝32x﹣3与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式（2）点P是抛物线上第四象限上的一个动点连接PC，PD，当△PCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l，点E是直线l上一点，连接OE，BE，若直线l上存在使sin∠BEO最大的点E，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y＝mx+12交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．21．现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0，（1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．（2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围．（3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h＜1，请求出m的取值范围．22．如图，在直角坐标系中，直线y＝13x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标；（3）若点Q在第二象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．专题04二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换问题函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表：再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．典型考题【典型例题】二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】C【解析】由图象可得，，，故错误，当时，，故正确，当时，，由得，，则，得，故正确，，得，故正确，故选：C．【变式训练】下列说法错误的是( )A．二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0B．二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大C．在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点【答案】C【解析】A、a=-2＜0，抛物线开口向下，当x=0时，y有最大值是0，故该选项正确；B、二次函数y=4x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故该选正确；C、因为|2|＞|-1|＞|-0.5|，所以，y=2x2的图象开口最小，y=-0.5x2的图象开口最大，故该选错误；D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确．故选C．【能力提升】抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（）A．y=x2B．y=﹣3x2C．y=﹣x2D．y=2x2【答案】A【解析】∵二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，又∵，∴抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是y=x2，故选A．高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a -．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a -．典型考题【典型例题】如图，已知抛物线C 1：y ＝﹣x 2+4，将抛物线C 1沿x 轴翻折，得到抛物线C 2（1）求出抛物线C 2的函数表达式；（2）现将抛物线C 1向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线C 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为D ，E ．在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝x 2﹣4（2）当m ＝3时，以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形 【解析】（1）∵抛物线C 1的顶点为（0，4）， ∴沿x 轴翻折后顶点的坐标为（0．﹣4），∴抛物线C 2的函数表达式为y ＝x 2﹣4；（2）存在连接AN ，NE ，EM ，MA ，依题意可得：M （﹣m ，4），N （m ，﹣4），∴M，N关于原点O对称OM＝ON，原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣2，0），（2，0），∴A（﹣2﹣m，0），E（2+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA＝OE∴四边形ANEM为平行四边形，∴AM2＝22+42＝20，ME2＝（2+m+m）2+42＝4m2+8m+20，AE2＝（2+m+2+m）2＝4m2+16m+16，若AM2+ME2＝AE2，∴20+4m2+8m+20＝4m2+16m+16，解得m＝3，此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90，∴当m＝3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．【变式训练】如图，抛物线轴的负半轴相交于点，将抛物线平移得到抛物线相交于点，直线于点，且.(1)求点的坐标；(2)写出一种将抛物线平移到抛物线的方法；(3)在轴上找点，使得的值最小，求点的坐标.【答案】(1)A(-2，0)，B(3，5)，C(8，10)；(2)先将向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到；(3)P(0，).【解析】（1）M1：y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，∴A（-2，0），∵AB=BC，C（8，m），∴，设AB直线解析式为y=kx+b，∵y=x2-4与相交于点A和B，∴m=10，∴B（3，5），C（8，10）；（2）∵抛物线M1平移得到抛物线M2，∴a=1，∵B（3，5），C（8，10）在抛物线y=x2+bx+c上，∴y=x2-10+26=（x-5）2+1，由M1平移得到抛物线M2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'与y轴的交点即为P，∴B'（-3，5），设直线B'C的直线解析式为y=mx+n，.【能力提升】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）将抛物线向上平移4个单位．【解析】（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）把x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），所以需将抛物线向上平移4个单位．专题验收测试题1．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法正确的有多少个①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x=；④抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；⑤在对称轴左侧，y随x增大而减少．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】的对称性，逐一判断．【详解】根据图表，抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），∴①正确；根据图表，抛物线与y轴交与（0，6），②正确；∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），∴对称轴为x=，∴③正确；设抛物线经过点（x，0），∴x=解得：x=3∴抛物线一定经过（3，0），④正确；在对称轴左侧，y随x增大而增大，∴⑤错误，故选C.2．如图，一条抛物线与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动，M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），x1的最小值为﹣4，则x2的最大值为（）A．6 B．4 C．2 D．﹣2【答案】B【解析】由题意可知，当P在M点时，x1有最小值﹣4，∵M的坐标分别为（﹣1，2），∴x2＝2；∴x2与对称轴的距离是3；当P在N点时，x2有最大值，∵N的坐标分别为（1，2），∴x2的最大值为4.故选B．3．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当x2+bx+c＞2x时，x＞2；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0，其中正确的序号是（）A．①②④B．②③④C．②④D．③④【答案】C【解析】∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；∴b2﹣4c＜0故①不正确；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，即3b+c+6＝0；故②正确；把（1，1）（3，3）代入y＝x2+bx+c，得抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+3，当x＝2时，y＝x2﹣3x+3＝1，y＝2x＝1，抛物线和双曲线的交点坐标为（2，1）第一象限内，当x＞2时，x2+bx+c＞2x；或第三象限内，当x＜0时，x2+bx+c＞2x；故③错误；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确；故选：C．4．定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x 的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解:y=2※x=，当x>0时,图象是y=对称轴右侧的部分;当x＜0时,图象是y=对称轴左侧的部分，所以C选项是正确的.5．若抛物线y＝ax2+2ax+4a(a＞0)上有A(32，y1)、B(2，y2)、C(32，y3)三点，则y1、y2、y3的大小关系为( ).A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【答案】B【解析】解：抛物线的对称轴是x＝﹣1，开口向上，且与x轴无交点，∴与对称轴距离越近的点对应的纵坐标越小．A、B、C三点与对称轴距离按从小到大顺序是A、C、B，∴y1＜y3＜y2，故选：B．6．下列函数是二次函数的是( ).A ．y ＝2xB ．y =1x +xC ．y ＝x +5D ．y ＝(x +1)(x ﹣3)【答案】D【解析】解：A 、y ＝2x ，是一次函数，故此选项错误；B 、y ＝1x +x ，不是整式，故此选项错误；C 、y ＝x +5，是一次函数，故此选项错误；D 、y ＝(x +1)(x ﹣3)，是二次函数，故此选项正确．故选：D ．7．下列对二次函数2y x x =-的图象的描述，正确的是（）A ．经过原点B ．对称轴是y 轴C ．开口向下D ．在对称右侧部分是向下的【答案】A【解析】解：A 、当x ＝0时，y ＝x 2﹣x ＝0，∴抛物线经过原点，选项A 正确；B 、∵122ba -=, ∴抛物线的对称轴为直线12x =，选项B 不正确；C 、∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项C 不正确；D 、∵a ＞0，抛物线的对称轴为直线12x =， ∴当12x >时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确．故选：A ．8．已知函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：∵y＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，∵抛物线的开口向上知二次项系数＞0，与y轴的交点为在y轴负半轴上，∴ab＜0，∵对称轴在y轴的右侧，二次项系数大于0，∴﹣（a+b）＞0．∴a+b＜0，∵a＞b，∴a＞0，b＜0，∴y＝ax+b的图象是C选项，故选：C．9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点(﹣1，0)，以下结论：①2a+b＞0；②a+c＜0；③4a+2b+c ＞0；④b2﹣5a2＞2a c．其中正确的是( )A ．①②B ．③④C ．②③④D ．①②③④【答案】B【解析】 解：由图象可知a ＜0，0＜﹣2b a ＜1， ∴b ＜﹣2a ，∴2a +b ＜0，所以①错误； ∵﹣2b a＞0，a ＜0， ∴b ＞0，当x ＝﹣1时，y 1＝a ﹣b +c ＝0，∴a +c ＝b ＞0，所以②错误；∵当x ＝2时，y ＞0，∴4a +2b +c ＞0﹣﹣﹣﹣②，所以③正确；∵过(﹣1，0)，代入得a ﹣b +c ＝0，∴b 2﹣2ac ﹣5a 2＝(a +c )2﹣2ac ﹣5a 2＝c 2﹣4a 2＝(c +2a )(c ﹣2a )又∵4a +2b +c ＞04a +2(a +c )+c ＞0即2a +c ＞0①∵a ＜0，∴c ＞0则c ﹣2a ＞0②由①②知(c +2a )(c ﹣2a )＞0，所以b 2﹣2ac ﹣5a 2＞0，即b 2﹣5a 2＞2ac ，所以④正确． 故选：B ．10．二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(﹣2，﹣9a )，下列结论：①abc ＞0；②4a +2b +c ＞0；③5a ﹣b +c ＝0；④若方程a (x +5)(x ﹣1)＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；⑤若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【解析】 解：∵抛物线的开口向上，则a ＞0，对称轴在y 轴的左侧，则b ＞0，交y 轴的负半轴，则c ＜0，∴abc ＜0，所以①结论错误；∵抛物线的顶点坐标(﹣2，﹣9a )， ∴﹣b 2a -＝﹣2，244ac b a-＝﹣9a ， ∴b ＝4a ，c ＝﹣5a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+4ax ﹣5a ，∴4a +2b +c ＝4a +8a ﹣5a ＝7a ＞0，所以②结论正确，5a ﹣b +c ＝5a ﹣4a ﹣5a ＝﹣4a ＜0，故③结论错误，∵抛物线y ＝ax 2+4ax ﹣5a 交x 轴于(﹣5，0)，(1，0)，∴若方程a (x +5)(x ﹣1)＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1，正确，故结论④正确，若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，设方程ax 2+bx +c ＝1的两根分别为x 1，x 2，则122x x +＝﹣2，可得x 1+x 2＝﹣4，设方程ax 2+bx +c ＝1的两根分别为x 3，x 4，则342x x +＝﹣2，可得x 3+x 4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，故选：A ．11．如图，与抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3关于直线x ＝2成轴对称的函数表达式为______．【答案】y ＝(x ﹣3)2﹣4【解析】解：y ＝x 2﹣2x ﹣3的顶点是（1，﹣4），（1，﹣4）关于x ＝2的对称点是（3，﹣4），y ＝x 2﹣2x ﹣3关于直线x ＝2成轴对称的函数表达式为y ＝（x ﹣3）2﹣4，故答案为：y ＝（x ﹣3）2﹣4．12．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝5的一个根是2，且二次函数y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是直线x ＝2，则抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为_____．【答案】（2，5）【解析】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是直线x ＝2，方程ax 2+bx +c ＝5的一个根是2，∴当x ＝2时，y ＝ax 2+bx +c ＝5，∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．故答案为：（2，5）．13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 【答案】12 -2x , 1 【解析】∵y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数且a ≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项∴21212y x x =-+ 中，二次项系数为12，一次项是-2x ，常数项是1. 故答案是：12; -2x;1. 14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1、3，与y 轴负半轴交于点C ．下面三个结论：①2a +b ＝0；②a +b +c ＞0；③只有当12a =时，△ABD 是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是_____．（只填你认为正确结论的序号）【答案】①③【解析】解：①∵图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3，∴AB ＝4，∴对称轴x ＝﹣b 2a ＝1， 即2a +b ＝0．故选项正确；②由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，而﹣b 2a＝1， ∴b ＜0，∵对称轴x ＝1，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0．故选项错误；③要使△ABD 为等腰直角三角形，必须保证D 到x 轴的距离等于AB 长的一半； D 到x 轴的距离就是当x ＝1时y 的值的绝对值．当x ＝1时，y ＝a +b +c ，即|a +b +c |＝2，∵当x＝1时y＜0，∴a+b+c＝﹣2，又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，∴当x＝﹣1时y＝0，即a﹣b+c＝0，x＝3时y＝0，即9a+3b+c＝0，解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝12，c＝﹣32，故选项正确．故答案为：①③．15．把二次函数y=x2+2x+3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到二次函数____的图象．【答案】y=（x+2）2+1或y=x2+2x+5．【解析】∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，∴抛物线y=x2+2x+3先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后的函数关系式是：y=（x+2）2+1或y=x2+2x+5．故答案为：y=（x+2）2+1或y=x2+2x+5．16．已知当2≤x≤3时，关于x的多项式x2﹣2kx+k2﹣k﹣1（k为大于2的常数）有最小值﹣2，则常数k的值为___．【答案】4．【解析】解：x2﹣2kx+k2﹣k﹣1＝（x﹣k）2﹣k﹣1（k＞2），①当2＜k≤3时，当x＝k时取最小值，∴﹣k﹣1＝﹣2，∴k＝2，不合题意；②当k＞3时，当x＝3时取最小值，∴9﹣6k+k2﹣k﹣1＝﹣2，∴k＝4或2.5，∵k＞3，∴k＝4；综上，k＝4；故答案为：4．17．已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=25，求m的值；（3）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为-4或3；（3）a的值是±8．【解析】（1）证明：令y=0，a（x-m）2-a（x-m）=0，△=（-a）2-4a×0=a2，∵a≠0，∴a2＞0，∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）解：y=0，则a（x-m）2-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，解得x1=m，x2=m+1，∵x12+x22=25，∴m2+（m+1）2=25，解得m1=-4，m2=3．故m的值为-4或3；（3）解：∵x1=m，x2=m+1，∴AB=（m+1）-m=1，y=a（x-m）2-a（x-m）=a（x-m-12）2-4a，△ABC的面积=12×1×|-4a|=1，解得a=±8．故a的值是±8．18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接B D．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．【解析】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．抛物线的对称轴为x＝222(1)ba-=-⨯-＝1．当x＝1时，y＝4，∴点D的坐标为（1，4）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则4 30 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，则y ＝﹣2×2+6＝2， ∴点P 的坐标为（2，2）．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0），B （4，0），与直线y ＝32x ﹣3交于点C （0，﹣3），直线y ＝32x ﹣3与x 轴交于点D ． （1）求该抛物线的解析式（2）点P 是抛物线上第四象限上的一个动点连接PC ，PD ，当△PCD 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l ，点E 是直线l 上一点，连接OE ，BE ，若直线l 上存在使sin ∠BEO 最大的点E ，请直接写出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）233384y x x =--；（2）P （3，﹣815）；（3）点E 的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣. 【解析】解：（1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x +2）（x ﹣4）＝a （x 2﹣2x ﹣8），即﹣8a ＝﹣3，解得：a ＝38， 则函数的表达式为：233384y x x =--；（2）y ＝32x ﹣3，令y ＝0，则x ＝2，即点D （2，0），连接OP ，设点P （x ，233384x x --）， S △PCD ＝S △PDO +S △PCO ﹣S △OCD ＝22133113272(3)323(3)2842288x x x x ⨯-+++⨯⨯-⨯⨯=--+， ∵﹣38＜0，∴S △PCD 有最大值， 此时点P （3，﹣815）； （3）如图，经过点O 、B 的圆F 与直线l 相切于点E ，此时，sin ∠BEO 最大，过圆心F 作HF ⊥x 轴于点H ，则OH ＝12OB ＝2＝OA ，OF ＝EF ＝4，∴HF ＝，过点E 的坐标为（﹣2，﹣；同样当点E 在x 轴的上方时，其坐标为（﹣2，；故点E 的坐标为（﹣2，2，﹣）．20．已知抛物线y ＝ax 2+bx +2经过A （﹣1，0），B （2，0），C 三点．直线y ＝mx +12交抛物线于A ，Q 两点，点P 是抛物线上直线AQ 上方的一个动点，作PF ⊥x 轴，垂足为F ，交AQ 于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点P的坐标为（12，94）；（3）在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣38，1516）．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），∴将点A和点B的坐标代入得：204220a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得a＝﹣1，b＝1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）直线y＝mx+12交抛物线与A、Q两点，把A（﹣1，0）代入解析式得：m＝12，∴直线AQ的解析式为y＝12x+12．设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，12n+12），F（n，0），∴PN＝﹣n2+n+2﹣（12n+12）＝﹣n2+12n+32，NF＝12n+12．∵PN＝2NF，即﹣n2+12n+32＝2×（12n+12），解得：n＝﹣1或12．当n＝﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．∴点P的坐标为（12，94）．（3）∵y＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣12）2+94，∴M（12，94）．如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．设直线AM的函数解析式为y＝kx+b，且过A（﹣1，0），M（12，94）．根据题意得：1924k bk b-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3232kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线AM的函数解析式为y＝32x+32．∵D为AC的中点，∴D（﹣12，1）．设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2＝0，解得k＝2，∴AC的解析式为y＝2x+2．设直线DE的解析式为y＝﹣12x+c，将点D的坐标代入得：14+c＝1，解得c＝34，∴直线DE的解析式为y＝﹣12x+34．将y＝﹣12x+34与y＝32x+32联立，解得：x＝﹣38，y＝1516．∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣38，1516）．21．现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0，（1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．（2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围．（3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A 点，已知﹣1＜h ＜1，请求出m 的取值范围． 【答案】（1）y ＝x ﹣2，y =12-x 2+32+1；（2）a ＜12；（3）m ＜﹣2或m ＞0． 【解析】（1）将点（2，0），（3，1），代入一次函数y ＝mx +n 中，0213m nm n =+⎧⎨=+⎩， 解得12m n =⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式是y ＝x ﹣2，再将点（2，0），（3，1），代入二次函数y ＝mx 2+nx +1，04211931m n m n =++⎧⎨=++⎩， 解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴二次函数的解析式是213122y x =-++． （2）∵一次函数y ＝mx +n 经过点（2，0）， ∴n ＝﹣2m ，∵二次函数y ＝mx 2+nx +1的对称轴是x ＝n 2m-， ∴对称轴为x ＝1，又∵一次函数y ＝mx +n 图象经过第一、三象限， ∴m ＞0， ∵y 1＞y 2， ∴1﹣a ＞1+a ﹣1， ∴a ＜12． （3）∵y ＝mx 2+nx +1的顶点坐标为A （h ，k ）， ∴k ＝mh 2+nh +1，且h ＝n 2m-，又∵二次函数y＝x2+x+1也经过A点，∴k＝h2+h+1，∴mh2+nh+1＝h2+h+1，∴11 hm=-+，又∵﹣1＜h＜1，∴m＜﹣2或m＞0．22．如图，在直角坐标系中，直线y＝13x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标；（3）若点Q在第二象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，CQ【解析】解：（1）∵直线y＝13x+1与x轴交点为A，∴点A的坐标为（﹣3，0），∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴点C的坐标为（1，0），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，。
专题01 二次函数的图象与性质重难点题型专训(原卷版)
【题型目录】题型一a< a>0向上向下增减性在对称轴的左侧，即当时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y 随x 的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y 随x 的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y 有最小值，抛物线有最高点，当时，y 有最大值， 知识点三：二次函数的图象与a ，b ，c 的关系学生对二次函数中字母系数a 、b 、c 及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．1．基础四看“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y 轴的交点位置，看与x 轴的交点个数．“四看”是对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．2．组合二看 (1)三全看点在a 、b 、c 间的加减组合式中，最常见的如“a ＋b ＋c"，“a －b ＋c”，“4a ＋2b ＋c”，“4a －2b ＋c”等类型的式子，这类式子a 、b 、c 三个字母都在，并且c 的系数通常为1，这时只要取x 为b 前的系数代入二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 就可以得到所需的形式，从而由其对应的y 的值时进行判断即可． (2)有缺看轴当a 、b 、c 三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a 、b 之间的转换关系，如果少的是字母c ，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a 或b ，则可利用对称轴提供的a 、b 间转换信息，把a （或b ）用b （或a ）代换即可．3．取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．2b x a <-2b x a>-2b x a<-2b x a>-2b x a =-244ac b y a -=最小值2bx a=-244ac b y a-=最大值二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出,,a b c 与0的大小关系及含有,,a b c 的代数式的值的大小关系. (1)a 决定开口方向:当0a >时抛物线开口向上;当0a <时抛物线开口向下.(2),a b 共同决定抛物线的对称轴位置:当,a b 同号时，对称轴在y 轴左侧;当,a b 异号时，对称轴在y 轴右侧(可以简称为“左同右异”);当0b =时，对称轴为y 轴.(3)c 决定与y 轴交点的纵坐标:当0c >时，图象与y 轴交于正半轴;当0c =时，图象过原点;当0c <时，图象与y 轴交于负半轴.(4) 24b ac -的值决定了抛物线与x 轴交点的个数:当240b ac ->时，抛物线与x 轴有两个交点;当240b ac -=时，抛物线与x 轴有一个交点;当240b ac -<时，抛物线与x 轴没有交点.(5) a b c ++的符号由1x =时，y 的值确定:若0y >，则0a b c ++>;若0y <，则0a b c ++<. (6) a b c -+的符号由1x =-时，y 的值确定:若0y >，则0a b c -+>;若0y <，则0a b c -+<.知识点四：二次函数图象的平移由二次函数的性质可知，抛物线2()y a x h k =-+(0a ¹)的图象是由抛物线2y ax =(0a ¹)的图象平移得到的.在平移时，a 不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的h 或k 发生变化(图象的位置发生变化)。
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1 DB ，作 EF 2
ห้องสมุดไป่ตู้
⊥DE 并截取 EF=DE， 连结 AF 并延长交射线 BM 于点 C。 设 BE x ， BC y ，则 y 关于 x 的函数解析式是 A. y
12 x x4
B. y
2x x 1
C. y
3x x 1
D. y
8x x4
24.（本题 12 分） 如图，二次函数 y ax2 bx(a 0) 的图象经过点（1，4） ，对称轴是直线 x
3 ， 2
线段 AD 平行于 x 轴，交抛物线于点 D。在 y 轴上取一点 C（0，2） ，直线 AC 交抛物 线于点 B，连结 OA， OB，OD，BD。 （1）求该二次函数的解析式； （2）求点 B 坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB 的点 E 的坐标； （3）设点 F 是 BD 的中点，点 P 是线段 DO 上的动点，问 PD 为何值时，将△BPF 沿边 PF 翻折，使△BPF 与△DPF 重叠部分的面积是△BDP 的面积的
1 ？ 4