大学物理教案-第4章 机械振动 机械波

动的时刻)。
反映 t=0 时刻的振动状态(x0、v0)。
x0 Acos0
v0 Asin0 x
m
A
0=0
o
A
X0 = A
o x
-A x
t T
0 = /2
m
A
o X0 = 0
m
-A
o
X0 = -A
o x
-A x
A
o x
-A
t T
0 = Tt
4、振幅和初位相由初始条件决定
由
x0 Acos0
v0 Asin 0
A A12 A22 2 A1A2 cos2 1 ，
tan A1 sin 1 A2 sin 2 。 A1 cos1 A2 cos2
3. 两种特殊情况
（1）若两分振动同相 2 1 2k ，则 A A1 A2 , 两分振动相互加强， 如 A1=
A2 ,则 A = 2A1
（2）若两分振动反相，2 1 2k 1 ， 则 A | A1 A2 | ,两分振动相互减弱，
波动是振动的传播过程。 机械波----机械振动的传播 波动 电磁波----电磁场的传播 粒子波----与微观粒子对应的波动 虽然各种波的本质不同，但都具有一些相似的规律。
一、 弹簧振子的振动 m
o X0 = 0
§4.1
m
简谐振动的动力学特征
二、谐振动方程 f=-kx
a f k x
x
mm
令 k 2 则有 m
教学内容
备注
1
大学物理学
大学物理简明教程教案
第 4 章 机械振动 机械波
前言 1. 振动是一种重要的运动形式 2. 振动有各种不同的形式 机械振动:位移 x 随 t 变化；电磁振动；微观振动 广义振动:任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。 3. 振动分类
振动
受迫
自由
阻尼 无阻尼
自由非谐 自由谐动
其中： At 2Acos2 1 t ，随ｔ缓变。 2 1 。随ｔ快变。 这样，合振
2
2
动可看作振幅缓变的简谐振动。
拍 (beat)── 合振动的强弱 A2(t)随ｔ变化的现象。 拍频：单位时间内强弱变化的次数.
b | 2 1 | 或 b | 2 1 |
b 即为 A2(t) 或 |A(t)|的变化频率。
如 A1=A2，则 A=0， (以上 k =0,1,2,……)。
三. 同方向不同频率的简谐振动的合成 分振动:设 x1 Acos1t , x2 Acos2t
7
大学物理学
大学物理简明教程教案
合振动:
x x1 x2
合振动不是简谐振动。当 21 时 , 2- 12+1 ,
x 可写作
x Atcost
kA2
2、 势能
Ek
1 2
kx2
1 2
kA2
cos2 t
Ep 随 t 变：
Ep
，
max
Ep
，
min
Ep
与动能情况相同。
平均
3、 机械能
E
Ek
Ep
1 2
kA2 。
简谐振动系统机械能守恒，能量没有输入，也无损耗。各时刻的机械能均等于起始能量
6
大学物理学
大学物理简明教程教案
E0 (t=0 时输入的能量)。
得
A
x02
v02
2
0
arctg ( v0 x0
)
4
大学物理学
大学物理简明教程教案
三、旋转矢量法 (1) 矢量长度 = A
以为角速度绕ｏ点逆时针旋转 ｔ=0 时矢量与ｘ轴夹角为
(2)矢量端点在 X 轴上的投影做简谐振动 x Acos(t 0 )
A t=t
t=0
相差
如果有两个谐振动
t+0
A 0
o
频率: 单位时间内，波动向前推进的距离内所包含的完整波的数目，或单位时间内通过
波线上某点的完整波的数目，用 表示。 1 。
T
3、 波速： 单位时间内一定振动状态或位相沿波线传播的距离。用 u 表示。
uT u 。
波速决定于介质的弹性模量和密度。
固体中横波与纵波的波速分别为 u G （横波）， u
个谐振动，它们任意时刻的位相差 是一个恒量，
10 20 。
§4.3 简谐振动的能量
一、简谐振动系统的能量特点
以水平弹簧振子为例 1、 动能
Ek
1 2
mv2
1 kA2 sin2 2
t
Ek 随 t 变:
Ek
1 kA2 max 2
，
Ek min 0
Ek
平均
1 T
t T t
Ek dt
1 4
E
(1/2)kA2
Ep
Ek
A
o
-A
x
二. 同方向同频率的简谐振动的合成
1、分振动 一物体同时参与两个谐振动
t T
x1 A1 cost 1
x2 A2 cost 2
2、合振动
x x1 x2
2 1 A2
x2 x1 x
A
A1
x Acost
由右边的矢量图可求得： 合振动是简谐振动，其频率仍为，其振幅和位相分别是
惯量为 I。t 时刻 的角位置为θ，向右为正。则当角位移为θ时，受到重力矩
M mghsin
当在角位移很小（ 5 ）情况下， sin M mghsin mgh
∴
I
d 2 dt2
mgh
d 2 dt2
mgh I
令2 mgh I
d 2 2 dt 2
即复摆在摆角很小（ 5 ）情况下，可近似为简谐振动。
t2 t1 (t2 t1)
由此可见，一个谐振动从一个状态到另一个状态经历的时间为
t
t2
t1
T 2
当 2k ( k =0,1,2,…)，两振动步调相同，称同相。
当 2k 1 ( k =0,1,2,…)，两振动步调相反，称反相。
三、位相超前和落后 若 2 1 0 ，则 x2 比 x1 较早达到正最大，称 x2 比 x1 超前(或 x1 比 x2 落后)。
o
A
x
X0 = A
m
o
-A
x
X0 = -A
a
d2x dt2
2 x
即 d2x 2x 0 dt 2
其解为
x t Acos t 0
三 单摆
如图所示，m 受合外力沿轨道切线方向分力 ft mg sin ,负号表示力的方向与 角的
方向相反。当 5 时 ft mg sin mg 有
2
大学物理学
大学物理简明教程教案
授课章节 教学目的 教学重点、难点
第 4 章 机械振动 机械波
1. 理解描述简谐振动的三个重要参量：振幅、周期（频率、圆 频率）、相位（初相位），能熟练确定这三个参量，特别是相位和初 相位。
2. 掌握描述简谐振动的旋转矢量法； 3. 理解简谐振动的动力学特征、运动学特征、能量特征； 4. 掌握同方向、同频率简谐振动的合成，了解拍振动； 5.理解波动方程及其多种表达式。 （1） 确切理解描述波动的三个重要参量：波长、周期（频率）、 波速的物理意义，并能熟练地确定这些量； （2） 掌握由波动方程求位于某位置处质点的振动方程或某时刻 的波动方程的方法，并能熟练地求出同一波线上两点间的相位差， 或同一位置处质点不同时刻的振动相位差； （3） 掌握如何写出波源不在坐标原点时的波动方程的方法； （4） 掌握由已知时刻的波形曲线写出波动方程，或写出（画出） 某位置处质点的振动方程（振动曲线）的方法。 6. 理解波动能量的特点，理解平均能量密度、平均能流密度的概 念及相关的计算； 7. 理解波动叠加原理，掌握波的相干条件及相长、相消干涉的条 件。 1. 正确运用动力学方法求系统固有角频率； 2. 正确确定振动相位，从而写出振动方程； 3. 能应用旋转矢量讨论有关问题； 4. 正确地由振动方程写出波动方程，能将给定的波动方程与波动
大学物理简明教程教案
mat
ml
ml d 2 dt 2
mg
即
d 2 g 0
dt2 l
令 2 g l
d 2 2 0 dt2
所以，在角位移很小（ 5 ）情况下，单摆的振动才是近似的简谐振动。
g ，T 2 l ， 1 g 。
l
g
2 l
四、复摆 设刚体的质量为 m，重心在 c 点，重心到轴的距离为 h，刚体对通过 o 点的转轴的转动
x
x
x = A cos(t + 0)
二、位
x1 A1 cos(t 1) ,
那么它们的位相差为
x2 A2 cos(t 2) ,
t 2 t 1 2 1.
可见，对两同频率的谐振动其位相差等于初相差。
以上讨论的是两个振动在同一时刻的位相之差。同样地，同一振动在 t1 ，t2 两个不同时
刻的位相差为
在波向 x 轴正向传播时 p 点的振动比 o 点的振动在时间上落后 Δ t x ，所以，p 处质点 u
任意时刻 t 离开自己平衡位置的位移等于原点在（ t t ）时刻的位移，即
y(x,t) y0 (t t) 。
所以，沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波函数为
y
Acos 。
y0 A cos( t 0 ) ，
9
大学物理学
大学物理简明教程教案
式中 A 是振幅， 是圆频率，0 是 o 点处质点振动的初位相， y0 就是 o 点处质点任意时刻
t 离开其平衡位置的位移。当振动沿波线传播到坐标为 x 的 p 点时，p 处质点将以 y u
o
p
x
x
相同的振幅和频率重复 o 点质点的振动，但振动从 o 点传到 p 点须经历 t x 的时间，即 u
（2）频率 ─单位时间的振动次数 1 (Hz) T
（3） 圆频率 ─2秒内的振动次数 2 (1/S 或 rad /S)
3.位相
（1） t 0 是 t 时刻的位相。反映 t 时刻的振动状态(x、v、a)。
由
x
Acos
t
0
、v
dx dt
A sin(t
0 )
、
(2)初相 是 t=0 时刻的位相。(t=0 称时间零点, 是开始计时的时刻, 不一定是开始运
三、 波线与波面
波传播到的空间称为波场。 波线--- 用带箭头的线表示波的传播方向，该线称为波线。 波源的振动状态沿着波线传播到波场中的各质点，引起各质点的振动。振动状态的传播 也就是位相的传播。 波面 --- 波场中同一时刻振动位相相同的点连成的面称为波面。
8
大学物理学
大学物理简明教程教案
波前（波阵面）--- 某时刻波场中最前面的那个波面，即该面上的位相等于波源开始振 动时的位相 。
T 2 I
，
mgh
1 mgh 。 2 I
§4.2 简谐振动的运动学
一、 简谐振动的运动学程： x Acos(t 0 )
速度：
v
dx dt
A
sin(t
0
)
3
大学物理学
大学物理简明教程教案
加速度：
a
d2x dt2
A 2
cos(t
0 )
2 x
二、描述简谐振动的特征量 1.振幅 ── 最大位移的绝对值 (A 恒为正). 2.周期和频率——反映振动的快慢 （1）周期 T ─ 振动一次所需时间。
波线
波前
波线
波面
波面 （a）平面波
波前 （b）球面波
四、 描述波动的几个物理量
1、 1、 波长：
2、
同一波线上位相差为 2 的两质点间的距离，即一个完整波的长度，称为波长，用 表
示。
2、周期和频率 ： 周期: 波传播一个波长所需要的时间，或者说，一个完整波通过波线上某点所需的时间，
称为波的周期，用T 表示；
方程的标准形式比较，从而获得波振幅 A，波动角频率 （或周期 T，频率 ）、波长 （或波速度 u）；
5. 理解波速与振动速度的区别； 6. 能够由波动方程读出波线上某点的振动相位与坐标原点的相 位相比是超前还是滞后； 7. 由已知时刻的波形图建立波动方程（设传播方向已知）； 8 由已知点的振动曲线建立波动方程.
若这列平面简谐波沿 x 轴负向传播，则波函数为
y
A cos[
(t
x) u
0 ]
因为 2 2 ， u ，所以上面的波函数也可写成以下几种形式：
T
y Acos(2 t
2
x 0 ) ;
;
y Acos[ 2 (u t
x) 0 ] .
二、波函数的物理意义
1、 如果 x = x0 为给定值，
例：双簧管(oboe)；钢琴(piano)调音.
§4.4 机械波的形成和传播
一、 机械波产生的条件
波源 --- 作机械振动的物体 弹性介质--- 内部各相邻质点间有弹性力相互联系的气体、液体或固体介质。
二、 横波与纵波
横波--- 质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波。 纵波--- 质点的振动方向与波的传播方向平行的波。
ρ
E （纵波）。 ρ
绳上或弦上的横波波速 u T 。
§4.5 平面简谐波的波函数 波的能量
一、平面简谐波的波函数
设有一平面简谐行波，在无吸收的均匀无限大介质中沿 x 轴正向传播，波速为 u。取 x 轴为其一条波线，并任选波线上一点 o 为坐标原点（注意：o 不一定是波源）。如图所示
设原点处（x = 0）质点的振动方程为
5
大学物理学
大学物理简明教程教案
由图 t 0, x1 0 ， 0 A1 cos1
1
2
又 t 0, x2 A2 ， A2 A2 cos2 ，
2 0
A1 A2
o 10 20
x
两个同频率的谐振动的位相关系还可以直接用旋转矢量 图示法进行比较：如图 A1、A2 分别表示圆频率相等的两