地图之数学基础

X' Y' 2 1 2 m n
该方程证明:地球面上的微小圆， 投影后通常会变为椭圆，即︰
2
2
微小圆→变形椭圆
以O'为原点，以相交成θ角的两共 轭直径为坐标轴的椭圆方程式。
特别方向︰变形椭圆上相互垂直的两个方向(a,b)及 经向和纬向(m,n)
长轴方向（极大值）a
短轴方向（极小值）b
经线方向m；纬线方向n 据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
地图投影
1地图投影的意义 地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面 上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必 须经过由曲面到平面的转换。 地图投影︰在地球椭球面和平面之间建立 点与点之间函数关系的数学方法，称为地图 投影。 x =f (φ, λ)
y =f2(φ,λ)
1
地图投影的实质︰是将地球椭球面上的经 纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。
面积比和面积变形︰投影平面上微小面积（变 形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆 面积）dF之比。
P表示面积比 Vp表示面积变形
dF ' πab P 2 a b dF πl
P = a‧b = m ‧ n
Vp p 1
(θ = 90)
= 0不变 > 0变大 < 0变小
P = m ‧ n ‧ sinθ
M为比例尺分母） • 当制图区域相当大，制图时对景物的缩小比率也相当大，在这种情况
下采用的地图投影比较复杂，地图上的长度也因地点和方向不同而有
所变化。在这种情况下所注明的比例尺含义，其实质是在进行地图投 影时，对地球半径缩小的比率，称为地图主比例尺，地图经过投影后， 地图上只有个别的点或线没有长度变形。其它大于或小于主比例尺的 比例尺称为局部比例尺。 • 地图比例尺的精确定义︰地图上沿某方向的微分线段和地面上相应微 分线段水平长度之比。
二、地图比例尺的形式
• 直线比例尺是以直线线段形式标明图上线段长度所对应的 地面距离。
二、地图比例尺的形式
• 斜分比例尺，是一种根据相似三角形原理制成的图解比例尺，利用这 种斜分比例尺，可以量取比例尺基本长度单位的百分之一。它是由纵、 横两种分划组成的复合比例尺，纵分划为斜线，横分划及其注记与直 线比例尺相同。使用时，先在图上用量角规卡出欲量线段的长度，再 到复合比例尺上比量。比量时︰每上升一条水平线，斜线的偏值将增 加0.01基本单位；量角规的两脚务必位于同一水平在线。
d 1 D M
根据地图投影变形情况，地图比例尺分为︰
主比例尺︰在投影面上没有变形的点或在线的比例尺。 局部比例尺︰在投影面上有变形处的比例尺。
2.地图比例尺的表示
数字式比例尺 如1:10 000 文字式比例尺 如 百万分之一 图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺
特殊比例尺
变比例尺 无级别比例尺
主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。
• 注意长度比、长度变形与地图比例尺的区别。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3.3地图投影变形
1.投影变形的概念 把地图上和地 球仪上的经纬线网 进行比较，可以发 现变形表现下长度、 面积和角度三个方 面。
2.研究变形的方法
• 研究各种投影的变形规律是透过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线 网格比较而实现的。为了研究变形，首先让我们分析一下地球仪上经纬
sin( ') ab tan 将两式相除，得︰ cos cos ' a sin( ') a b sin(a b) sin( ') a b
cosacosb
tana tanb
显然当（α+α’）= 90° 时，右端 a b sin( ') sin( ') 取最大值，则最大方向变形︰ ab
(θ≠ 90)
面积比是变量，随位置的不同而变 化。
角度变形︰投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相 应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度 最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A’点的坐标为(x’、 y’ )，则 y tan x
y' tan ' x'
x' a x
y' b y
统称 主方向
m‧n‧sinθ = a‧b
3.投影变形的性质和大小 长度比和长度变形︰投影面上一微小线段（变 形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上 微小圆半径r，已按规定的比例缩小）之比。 m表示长度比，Vm表示长度变形
ds ' m ds
= 0不变 > 0变大 < 0变小
Vm m 1
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
地图之数学基础
地图的基本特性与定义
── 基本特性
地图必须遵循一定的数学法则 地图必须经过科学概括
地图具有完整的符号系统
地图是地理讯息的载体
地图的定义
地图是遵循一定的数学法则，将地理讯息 透过科学的概括综合，运用符号系统表示在一 定的载体上的图形，以传递它们的数量、质量 在时间和空间上的分布规律和发展变化。
第二节
地图比例尺
• 地球与地图的大与小的矛盾
一、地图比例尺的概念
• 当制图区域比较小，景物缩小的比例也比较小时，这时不论采用何种 投影，图上各处长度缩小的比率都可以看成是相等的，地图比例尺的 含义可以理解为图上长度与地面相应水平长度之比。（1/M=d/D，
d为地图上线段的长度，D为地面上相应直线距离的水平投影长度，
二、地图比例尺的形式
• 复式比例尺又称投影比例尺，是一种根据地图主比例尺和局部 比例尺组合成的一种图解比例尺。地图投影使得不同部位长度
变形程度不同，复式比例尺既有适用于没有变形的点或在线的
直线比例尺（主比例尺），又有对每条纬线或经线单独设计的 直线比例尺。
特殊比例尺
• 变比例尺︰当制图的主区分散且间隔的距离比较远时，为 了突出主区和节省图面，可将主区以外部分的距离按适当 比例相应压缩，而主区仍按原来规定的比例尺表示。 • 无级别比例尺︰是一种随数字制图的出现而与传统的比例 尺系统相对而言的一个新概念，并没有一个具体的表现形 式。在数字制图中，由于计算器或数据库里可以储存物体 的实际长度面积体积等数据，并且根据需要可以很容易按 比例任意缩小或放大这些数据，因此没有必要将地图数据
网的特点︰
• 所有经线圈都是透过两极的大圆，长度相等；所有纬线除赤道是大圆外， 其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。
• 经线表示南北方向；纬线表示东西方向。
• 经线和纬线是相互垂直的。 • 纬差相等的经线弧长相等；同一纬线上经差相等的纬线弧长相等，不同 的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极缩小。 • 同一纬度带，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面 积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐 缩小。
二、地图比例尺的形式
• 传统地图上的比例尺通常有以下几种表现形式 • 数字式比例尺︰如“1：10000”
• 文字式比例尺︰如“图上1厘米等于实地1千米”
• 图解比例尺︰ • 直线比例尺 • 斜分比例尺 • 复式比例尺。
2地图的比例尺 1.地图比例尺的含义
地图比例尺︰地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影 长度之比。 可表达为（d为图上距离，D为实地距离）
by b tan ' tan ax a
将上式两边各减和加tan即︰
b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a
a b sin( ') ab
以ω表示角度最大变形
地图的构成要素
1.图形要素 2.数学要素
地图投影 坐标系统 比例尺 控制点
表达地理信息的各种图 形符号、文字注记。 确定地图空间信息的依 据，包括比例尺、地图投影 各种坐标系统、控制点。
3.辅助要素 4.补充说明
图名、图例、地图编号 编制出版信息等辅助地图使 对主要图件在内容与形 用的要素。
式上的补充。
2.变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影 响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会 变为椭圆，透过对这个椭圆的研究，分析地图投影 的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
X' m 为经线长度比； X
Y' n 为纬线长度比 Y
变形椭圆
X' m X
Y' n Y
代入︰ X2 + Y2 = 1，得
固定在某一比例尺上。
主比例尺和局部比例尺
• 平常地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地
图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比
例尺缩小，如制1:100万地图，将地球缩小100万倍， 而后将其投影到平面上，则1:100万就是地图的主比例尺。 由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投影后没有 变形的点或在线，而其他地方不是比主比例尺大，就是比