高中数学文科选修1-2知识点总结知识讲解

高中数学文科选修1-2知识点总结

高中数学选修1-2知识点总结

第一章 统计案例

1．线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧

（最小二乘法）

其中，1

22

1n

i i i n

i

i x y nx y b x nx a y bx

==⎧

-⎪

⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .

2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=

n

i n

i i i

n

i i i

y y x x

y y x x

r 1

1

2

21

)()()

)((

注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；

⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

1．(2011·山东)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

广告费用x /万元 4 2 3 5 销售额y /万元

49

26

39

54

根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^

为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( )．

A ．63.6万元

B ．65.5万元

C ．67.7万元

D ．72.0万元

解析 ∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋54

4＝42，

又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)，∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^

＝9.1.

∴线性回归方程为y ^

＝9.4x ＋9.1.

∴当x ＝6时，y ^

＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案 B

2．(2011·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

父亲身高x /cm 174 176 176 176 178 儿子身高y /cm

175

175

176

177

177

则y 对x 的线性回归方程为 ( )． A.y ^＝x －1 B.y ^

＝x ＋1 C.y ^＝88＋12

x D.y ^

＝176

解析 因为x －＝174＋176＋176＋176＋178

5＝176，

y －＝175＋175＋176＋177＋1775

＝176，

又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y －

)， 所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案 C

3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个

样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )． A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间

C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同

D ．直线l 过点(x －，y －)

解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D.

答案 D

4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：

6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y －＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4

5

＝0.5，

可求得小李这5天的平均打篮球时间x －＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^

＝ 0.47，故回归直线方程为y ^

＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的 投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.53

5．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^

＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

解析 由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254. 答案 0.254

6．(2011·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．

解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：

对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2.

b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02

＝

26040

＝6.5，a ^＝y －－b x －＝3. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 006)＋a ^

＝6.5(x －2 006)＋3.2， 即y ^

＝6.5(x －2 006)＋260.2.

①

(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为 6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．

7．(2010·新课标全国)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？ 说明理由． 附：

K 2＝

n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

解 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮