有两个约束条件条件极值
费马定理极值必要条件
费马定理极值必要条件1.引言1.1 概述费马定理是数学中的一个重要定理，它关于极值问题给出了一个必要条件。
极值问题是数学中研究函数在一定区间上取得最大值或最小值的问题，它在经济学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
费马定理通过对函数的导数进行分析，给出了一个在极值点附近的特殊性质。
本文将首先介绍费马定理的背景和相关概念，然后从数学推导的角度解释极值必要条件，并最终利用费马定理推导出极值必要条件的表达式。
通过本文的阐述，读者将能够更加深入地理解极值问题以及费马定理的作用。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构和目的三个小节。
概述部分将简要介绍费马定理的极值问题及其重要性。
文章结构部分将详细说明本文按照怎样的顺序和方式来讨论费马定理的极值必要条件。
目的部分将阐明本文的写作目的，即通过对费马定理的极值必要条件的推导和讨论，帮助读者更好地理解和运用该定理。
正文部分主要分为费马定理的介绍与极值问题的背景两个小节。
费马定理的介绍将回顾费马定理的基本定义和主要内容，介绍其在求解极值问题中的重要作用。
极值问题的背景将探讨极值问题的起源和应用领域，并举例说明极值问题在实际生活和科学研究中的重要性。
结论部分主要包括极值必要条件的推导和费马定理的极值必要条件两个小节。
极值必要条件的推导将详细推导出费马定理的极值必要条件，通过对导数的分析和运用，解释为什么该定理能够有效地帮助我们找到极值点。
费马定理的极值必要条件将阐述该定理在实际问题中的应用，并列举一些实例进行说明。
综上所述，本文将通过分析费马定理的极值必要条件，帮助读者更好地理解和运用该定理，并展示该定理在求解极值问题中的重要性和应用价值。
1.3 目的本文旨在探讨费马定理在极值问题中的应用，并推导出极值条件的必要性。
通过深入研究费马定理的原理和极值问题的背景，我们将阐述费马定理的极值必要条件，帮助读者更好地理解极值问题的求解过程。
约束极值问题 二阶充分条件
约束极值问题二阶充分条件
二阶充分条件是约束极值问题的重要工具。
在求解约束极值问题时，我们经常会遇到需要判断某个点是否为极值点的情况。
这时，二阶充分条件可以帮助我们判断一个点是否为极值点。
首先，假设我们要求解的问题是一个二元函数的极值问题，即有两个自变量。
我们需要找到这个函数的所有偏导数，并计算它们的值。
然后，我们可以通过二阶偏导数来判断这个点是否为极值点。
二阶充分条件的核心思想是利用二阶偏导数的性质来判断极值点的类型。
如果一个点满足以下两个条件，则可以判断该点为极值点：
1. 一阶偏导数为零：在二元函数中，首先要计算函数关于两个自变量的一阶偏导数，然后令它们等于零。
这将得到一组方程，解方程可以得到极值点的自变量取值。
2. 二阶偏导数的符号：在找到极值点的自变量取值后，计算这些点的二阶偏导数。
如果二阶偏导数是正定（即二阶偏导数的主子式为正），则该点为局部极小值点；如果二阶偏导数是负定（即二阶偏导数的主子式为负），则该点为局部极大值点；如果二阶偏导数无法确定正负，那么该点不是极值点。
需要注意的是，这种方法只适用于二元函数的极值问题。
对于多元函数的极值问题，我们需要利用更复杂的方法进行求解。
总结起来，二阶充分条件是解决约束极值问题时的一个重要工具。
通过计算一阶和二阶偏导数，我们可以判断一个点是否为极值点，并进一步确定该点的类型。
这种方法在实际问题中具有广泛的应用，帮助我们求解各种复杂的优化问题。
拉格朗日约束条件求极值
拉格朗日约束条件求极值一、引言拉格朗日约束条件求极值是一种常用的优化方法，可以用于解决在一定约束条件下的极值问题。
其核心思想是通过引入拉格朗日乘子，将原始约束条件转化为一个无约束问题，进而求解极值点。
二、基本概念在讨论拉格朗日约束条件求极值之前，我们首先需要了解一些基本概念：1. 极值点极值点是函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
对于一个函数 f(x) ，如果存在一个点 x0 ，使得在其附近的任意点 x ，都有f(x0) ≥ f(x) 或f(x0) ≤ f(x) 成立，则称 x0 是函数 f(x) 的一个极大值点或极小值点。
2. 无约束极值问题无约束极值问题是指在没有任何附加条件下，求一个函数的最大值或最小值。
对于一个函数 f(x) ，如果它在整个定义域上有最大值或最小值，则称该问题为无约束极值问题。
3. 约束条件约束条件是指在求解极值问题时，对变量的取值范围做出的限制。
在拉格朗日约束条件求极值中，约束条件通常是一组等式和不等式。
三、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的优化方法，可以用于解决在一定约束条件下的极值问题。
它的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将原始约束条件转化为一个无约束问题，从而求解极值点。
1. 拉格朗日函数设有函数f(x1, x2, …, xn) 和约束条件g(x1, x2, …, xn) = 0 ，则拉格朗日函数定义为：L(x1, x2, …, xn, λ) = f(x1, x2, …, xn) + λ · g(x1, x2, …, xn)其中，λ 是拉格朗日乘子。
2. 极值的必要条件通过对拉格朗日函数求偏导数并令其等于零，可以得到极值的必要条件。
对于一个有 n 个自变量的问题，我们需要求解 n+1 个方程，即：∂L/∂x1 = 0 ∂L/∂x2 = 0 … ∂L/∂xn = 0 g(x1, x2, …, xn) = 0这个问题可以通过求解方程组的方法得到。
3. 极值的充分条件在满足一定条件下，求得的极值点能够确保是极大值或极小值。
拉格朗日两个约束条件求极值
拉格朗日两个约束条件求极值在数学中，拉格朗日方程指的是由拉格朗日于1840年发现的此类问题的常用的方法，可用来求解因限定最大或最小化数据而导致的约束条件下的优化问题。
拉格朗日方程由两个核心组件组成：一个目标函数和一系列的约束函数。
目标函数是一个数学函数，表明你要最大化，或者最小化（即优化）的数据。
约束函数是一系列限定性函数，表明希望你保持在特定范围之内，否则优化会失去效用，或者没有意义。
为了使用拉格朗日方程，我们首先要写出我们想要最大化或最小化的目标函数，这不是一个死板死板的步骤，但最重要的是，目标函数是要求极值的，例如，我们可以有：\begin{align}\text{目标函数}= x+y\end{align}接着，需要定义一些约束条件，这可以将函数空间缩小到一定的范围，以求极值。
定义约束条件时，需要注意确保每个约束只能确定其中一个变量，一般而言，这些约束会用一系列不等式来表示，比如：\begin{align}2x + y &\leq 6 \\-x + 3y &\geq 3\end{align}拉格朗日方程的核心含义就在于要在上述最大或最小化的条件下解析约束条件，求得此问题唯一的极值：把我们的目标函数与每个约束展开，将它们组合在一起，好让它们满足约束加以最大或最小化，结果就是一个拉格朗日方程。
它的形式如下：\begin{align}\text{拉格朗日方程}= c_0 + c_1x + c_2y + \lambda_1 (2x + y - 6) +\lambda_2 (-x + 3y - 3)\end{align}其中，$c_0, \ c_1, \ c_2$ 表示原目标函数中的常数系数，而$\lambda_1,\ \lambda_2$ 表示对应变量的拉格朗日系数，且拉格朗日系数正负代表此变量约束的号数，以及是否应当被最大或最小化。
解拉格朗日方程的方式有多种，一般可将它归结于求解多元函数的偏导等式来进行求解，这里，我们采取逐步求解的方式。
约束条件下的极值
在数学优化问题中，当我们寻找某个函数在满足一定约束条件下的极值（最大值或最小值）时，我们通常面对的是带有约束条件的优化问题。
这个问题可以通过拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）或者KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions，对于非线性优化问题中的约束条件）等方法来解决。
例如，设有函数f(x, y)要在区域D内找极值，区域D由g(x, y)=c这样的一组或几组约束条件定义，这里的c是一个常数。
拉格朗日乘数法的基本思想是构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) - λ(g(x, y) - c)，其中λ是拉格朗日乘子。
接下来需要求解L(x, y, λ)的偏导数，并令它们等于零，得到一组方程组，解这个方程组就可以找到可能的极值点。
对于KKT条件，它扩展了拉格朗日乘数法，适用于更广泛的优化问题，包括不等式约束。
在满足KKT条件的情况下，优化问题的解有可能是最优解。
具体步骤如下：
1.构造拉格朗日函数（若有不等式约束，需要构造广义拉格朗日函数）。
2.对目标函数和所有的约束函数分别求偏导数，并令它们等于零，得到必要条
件。
3.检验求得的点是否满足KKT条件，包括互补松弛条件、梯度条件以及可行
性条件（即该点必须位于可行域内）。
4.对于可能的极值点，还需进行二阶条件检验（如海森矩阵判别法）来判断是
局部极大值、局部极小值还是鞍点。
通过这些方法，我们可以在给定约束条件下寻找到函数的极值点。
多元函数的极值与条件极值的求解方法
多元函数的极值与条件极值的求解方法一、引言多元函数在数学和应用领域中扮演着重要的角色。
求解多元函数的极值是一个常见的数学问题，而条件极值则进一步考虑了多个约束条件下的最优解。
本文将介绍多元函数极值和条件极值的求解方法。
二、多元函数极值的求解方法要求解多元函数的极值，需要判断函数在特定点的局部极值，并进一步确定全局极值。
常用的方法包括二阶条件、梯度以及拉格朗日乘子法。
1. 二阶条件法对于一个二次可导函数，可以通过计算其二阶偏导数来确定函数的极值。
具体步骤如下：a. 计算函数的一阶偏导数，并令其等于零，得到临界点；b. 计算函数的二阶偏导数，并检查其正负性；c. 若二阶偏导数为正，则临界点是局部极小值；若二阶偏导数为负，则临界点是局部极大值。
2. 梯度法梯度法可以用于求解多元函数的极值，其思想是在梯度的指引下，逐步迭代寻找函数的最优解。
具体步骤如下：a. 计算函数的梯度向量，并初始化变量值；b. 根据梯度向量的反方向更新变量的取值；c. 重复步骤b，直到满足收敛条件。
3. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法用于求解多元函数在一组约束条件下的极值。
通过构建拉格朗日函数，并利用约束条件和拉格朗日乘子进行求解，得到函数的条件极值。
三、条件极值的求解方法在现实问题中，多元函数的极值求解往往伴随着条件限制。
求解条件极值需要考虑约束条件，并结合优化理论中的拉格朗日乘子法。
1. 求解过程a. 构建拉格朗日函数，将约束条件引入目标函数中，得到增广拉格朗日函数；b. 求解增广拉格朗日函数的临界点，即通过求解方程组来确定目标函数的条件极值点。
c. 验证求得的临界点是否满足约束条件，并通过比较确定全局的条件极值。
2. 案例分析假设有一个三角形，其面积为目标函数，而周长为约束条件。
通过使用拉格朗日乘子法，可以求解出在给定周长下，使得三角形面积最大的顶点。
四、总结本文介绍了多元函数极值和条件极值的求解方法。
对于多元函数极值的求解，可以使用二阶条件法、梯度法和拉格朗日乘子法来确定函数的极值点。
条件极值的几何意义
条件极值的几何意义
条件极值是数学中一个重要的概念，对于我们理解某些几何问题的几何意义非常重要。
条件极值在数学上通常指的是一个函数在满足一定条件下的最大值或最
小值。
而对于几何意义来说，它通常可以被解释为某种几何对象在满足一定条件下的最大值或最小值。
例如，有一个圆的半径为r，我们想要在这个圆中寻找一个矩形，使得这个矩
形的面积最大。
这时，我们可以使用条件极值的方法来求解。
首先，我们设这个矩形的长为x，宽为y，则其面积为S=xy。
由于这个矩形必须在圆内，并且一定要接触到圆的边缘，因此我们可以列出如下的约束条件：
x≤2r (矩形的长必须小于等于圆的直径)
y≤2r (矩形的宽必须小于等于圆的直径)
x²+y²≤4r² (矩形的对角线必须小于等于圆的直径)
接下来，我们可以将面积函数S=xy代入这些约束条件中，使用拉格朗日乘数法，求出函数的极值。
当我们求解完之后，即可得到这个圆中面积最大的矩形是
什么样子的。
除了这个例子以外，条件极值在几何中还可以被应用到更为复杂的问题中。
比如，求解平行于坐标轴的正四面体在单位球体内能够包含的最大体积，或者是求解一个定点在y轴上，移动的动点在x轴上，两点之间的距离为1时，动点横坐标的最大值等问题。
总之，条件极值作为一种数学工具，对于几何问题的解决有着非常重要的作用。
通过应用条件极值的方法，我们能够解决许多几何问题，更好地理解几何中的一
些概念和定理。
条件极值——精选推荐
于是 grad f ( x0, y0 ) 和 gradg(x0, y0 ) 平行 ．
再假定 gradg(x0, y0 ) ≠ 0 , 于是存在常数 λ ，使得 grad f (x0, y0 ) = λgradg(x0, y0 ) ．
f (x, y) 称为目标函数 ；g(x, y) = 0 称为约束条件 ．
此时 (x0, y0 ) 称为问题的一个解．
二元函数条件极值的拉格朗日乘子法
为了求解条件极值问题：
⎧min f (x, y)
⎩⎨s.t g(x, y) = 0 .
１
构造辅助函数 L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
⎪⎧min(max)
⎨ ⎪⎩s.t.
x2 +
f (x, y) = y2 −1= 0
x2
+
2x2
y
+
y2
．
1
构造辅助函数
L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
L( x, y, z,λ ) = x2 + 2x2 y + y2 − λ ( x2 + y2 − 1) .
列方程组：
3
3
3
例3 要设计一个容量为V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
有两个约束条件的条件极值
推导三元函数在两个约束条件 下取得极值的必要条件
目标函数 uf(x,y,z)
约束条件 (x,y,z)0 (x,y,z)0
设函数 u=f(x,y,z) 在点 (x, y, z) 处取得满足两 个约束条件的极值。 由隐函数知识，两个约束条件的方程可以确 定两个一元函数 y=y(x) 和 z=z(x)。将这两个 一元函数代入目标函数，则一元函数 u=f(x,y(x),z(x))=u(x) 在点 x=x 处取得极值。 由极值的必要条件，
xyd dy xzd dx z0 (3)
由 (1), (2), (3) 式知道，以下三个梯度
,z}
在点(x, y, z)处都与向量 {1, d y , d z } 垂直。 dx dx
所以这三个梯度在点 (x, y, z) 处是共面的。 这就是函数 u=f(x,y,z) 在 (x,y,z) 处取得满足两 个约束条件的极值的必要条件。
d d u xfxfyd d y xfzd d x z0 (1 )
另一方面，将两个一元函数 y=y(x) 和 z=z(x) 代入两个约束条件方程，得两个恒等式：
(x ,y (x ),z(x )) 0 (x ,y (x ),z(x )) 0
以上二式两端对 x 求导，得
xyd dy xzd dx z0 (2)
命题
函数 uf(x,y,z)取得满足
约束条件 (x,y,z)0和 (x,y,z)0
的极值的必要条件是： f,,共 面
即它们的混合积为零：
fx fy fz
[f ] x y z 0 x y z
华阳 南湖 2012.3.18
第九节具有约束条件的最值
3 4
1 4
由实际问题，此即最佳分配方案.
9
例4 在周长为2 p 的一切三角形中,求出面积最大的三角形. 解 设三角形的三条边长分别为 x , y, z ,
则面积为
S p( p x)( p y)( p z) ,
约束条件: x y z 2 p ,
目标函数取为： f ( x, y, z ) ( p x)( p y)( p z ) ,
( x, y, z ) 0下的极值. 设 F f ( x, y, z ) 1 ( x, y, z ) 2 ( x, y, z )
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
18
解出 x , y , ，其中 x , y 就是可能的极值点的坐标.
4
如果目标函数是三元函数 f ( x, y, z) ,且约束条件有两个,
g ( x , y , z ) 0 , h( x , y , z ) 0 ,
则构造拉格朗日函数为
L( x, y, z, , ) f ( x, y, z ) g( x, y, z ) h( x, y, z ).
L ( p x )( p y )( p z ) ( x y z 2 p) ，
L x ( p y )( p z ) 0 解得唯一驻点 L ( p x )( p z ) 0 y 2 令 , x y z p， L ( p x )( p y ) 0 z 3 x y z 2 p 即做成正三角形时面积最大.
长、宽、高尺寸相等 .
12
作业：
P99 习题7.9
3. 4. 5. 9.
13
约束优化问题的极值条件
等式约束优化问题的极值条件求解等式约束优化问题 )(min x f ..t s ()0=x h k ()m k ,,2,1⋅⋅⋅= 需要导出极值存在的条件，对这一问题有两种处理方法：消元法和拉格朗日乘子法（升维法） 一、消元法（降维法）1.对于二元函数 ),(m in 21x x f ..t s ()0,21=x x h ，根据等式约束条件，将一个变量1x 表示成另一个变量2x 的函数关系()21x x ϕ=，然后将这一函数关系代入到目标函数()21,x x f 中消去1x 变成一元函数()2x F 2.对于n 维情况 ()n x x x f ,,,m in 21⋅⋅⋅ ..t s ()0,,,21=⋅⋅⋅n k x x x h ),,2,1(l k ⋅⋅⋅= 由l 个约束方程将n 个变量中的前l 个变量用其余的l n -个变量表示：()n l l x x x x ,,,2111⋅⋅⋅=++ϕ ()n l l x x x x ,,,2122⋅⋅⋅=++ϕ...()n l l l l x x x x ,,,21⋅⋅⋅=++ϕ将这些函数关系代入到目标函数中，得到()n l l x x x F ,,,21⋅⋅⋅++ 二、拉格朗日乘子法（升维法）设T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=，目标函数是()x f ，约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的l 个等式约束方程。
为了求出()x f 的可能极值点T n x x x x ),,,(**2*1*⋅⋅⋅=，引入拉格朗日乘子k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=，并构成一个新的目标函数 ()()x h x f x F lk k k ∑=+=1),(λλ把()λ,x F 作为新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，满足约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的原目标函数()x f 的极值点。
()λ,x F 具有极值的必要条件),,2,1(0n i x F i ⋅⋅⋅==∂∂ ，),,2,1(0l k Fk⋅⋅⋅==∂∂λ可得n l +个方程，从而解得T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=和k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=共有n l +个未知变量的值。
第7章+约束极值问题
D是可行点x(0)处的可行方向的关键是，对该点的 所有起作用约束满足gj(x(0)+λD)≥0。考虑到
gj(x(0)+λD)= gj(x(0))+λ▽gj(x(0))TD+o(λ)
则对所有起作用约束，当λ足够小时，只要满足条件
▽gj(x(0))TD＞0，j∈J（起作用约束下标集）
对于非线性规划的一个可行点x(0) ，考虑方向D，若 存在实数λ0'>0，使对任意λ∈[0, λ0']，均有f(x(0)+λD)＜ f(x(0)) ，则称方向D是x(0)点的一个可行方向。
……，如此迭代下去，可得最优解x*=(1.6, 1.2)T, f(x*)=-7.2。 而原来问题的最优解为： x*=(1.6, 1.2)T, f(x*)=- f(x*) =7.2
第4节 制约函数法
使用制约函数法，可将非线性规划问题转化为一 系列无约束极值问题，因而也称为序列无约束极小化 技术，简记为SUMT。SUMT有外点法和内点法。
解得
理论上，障碍因子r越小对提高解的精度越有利。 但在实际应用中，与外点法类似，过小的r会引起很大 的舍入误差，反而会使精度降低。因而，要先取较大 的r1，若求得的解不满足要求则减小为r2，……直到求 得的解满足要求为止。就此，通过求解一系列无约束 问题，来获得约束极值问题的解。当r1>r2…>rk>…>0 趋于0时，求得的解趋于原问题的极小点。
其一为gj(x(0))＞0。这时，它对x(0)点的微小变动不 起限制作用，称该约束为x(0)点的不起作用约束。
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题是数学建模中一个经典的问题，用于描述某事物的最优或最坏状态。
它的特点是求解给定某一特定约束条件下的极值，得到最优或最坏状态，而极值则是指给定约束条件下，可行范围内函数形式最大或最小值。
条件极值问题可以用于解决各种实际问题，例如经济学中的经济最优分配问题，以及机械设计问题中的最优设计问题、投资组合问题等。
在解决实际问题时，首先要确定约束条件和目标函数，然后分析不受约束的情况，如果没有约束，则定义目标函数并求解其极值；如果有约束，则确定约束条件，然后将目标函数求解为受约束的情况，接着解决等式约束和不等式约束问题，最后求解受约束情况下的极值，或者使用某些近似求解法求解极大值和极小值问题。
下面以一元函数的极值问题为例，来详细讲解条件极值的求解。
首先要确定目标函数和约束条件，比如求解函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)的极值，其约束条件可以为x∈[a,+a]。
目标函数可以写成二次函数形式f(x)=ax^2+bx+c，而极值则要求其函数最大值或最小值，即f(x)的极大值与极小值。
求解极值的一般方法有以下几步：1.先求解函数的一阶导数，得到f(x)=2ax+b；2.f(x)=0时，找到函数的极值点 x0；3.断函数的一阶导数的变化趋势，即判断f(x)=2ax+b的大小关系，从而可以推断函数在极值点处的最大值或者最小值；4.据f(x)=2a，若f(x)>0，则函数在极值点处是极小值；若f(x)<0，则函数在极值点处是极大值；5.函数的极值与给定的约束条件进行比较，挑选出给定约束条件下的极值点。
在经济学、机械设计、投资组合等领域，都有着大量关于条件极值问题的研究和应用，无论是从数学的角度求解极值，还是应用于实际问题的求解，都有着重要的意义。
以上就是本文关于条件极值问题的简介，希望对读者有所帮助。
条件极值与拉格朗日乘数法
§4条件极值一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。
决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。
我们知道点),,(z y x 到点),,(000z y x 的距离为202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题.又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值22221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下，求函数f 的极小值问题。
这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ限制下， 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值.对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出xyVz =, 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy xy V y x F ++=)11(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有3221V z =, 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.然而, 在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 二、条件极值的必要条件设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有0)(='+=x g f f dx dzy x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,即 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使(x f , y f ) +λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0, 0y yx x f f λϕλϕ三、 Lagrange 乘数法:由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 . 例2 求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题（ConditionalExtremumProblem）是数学优化学中一种经典的问题。
它是寻找函数代数形式中给定条件下的极大值或极小值的问题，也称为特征值问题。
条件极值问题是非线性规划中最重要的研究内容之一，它在工程、科学和经济领域有广泛的应用。
条件极值问题的基本概念是以决策变量给定的函数的形式而存在。
它是一种非线性的数学问题，可以用来模拟复杂的现实系统，并得出最优解。
条件极值问题可以分为线性条件极值问题、二次条件极值问题、多项式条件极值问题和非线性条件极值问题四大类。
线性条件极值问题的特点是，它的结果是一个固定的最优值，而不是函数的极值，这样优化问题就可以转换为数学模型，从而解决函数极值的求解问题。
它的求解方法可以是单纯形法、拉格朗日法和变分法等。
二次条件极值问题涉及到函数结构和约束条件，使用等式和不等式条件限制函数极值，从而实现函数最优化。
这些条件中必须包含几个变量，以使求解过程更加复杂。
一般来说，这类问题的求解方法可以是梯度法、拉格朗日法和凸规划法等。
多项式条件极值问题是指函数极大值和极小值在一定条件下运行的问题，它通常采用一系列多项式来表示，而这系列多项式都符合条件限制。
多项式条件极值问题的求解方法可以是微积分法、牛顿法和拉格朗日法等。
非线性条件极值问题是指函数极大值和极小值在一定条件下运行的问题，它通常采用一系列非线性函数来表示，而这系列函数都符合条件限制。
非线性条件极值问题的求解方法可以是拉格朗日法、曲线法、局部搜索法和迭代法等。
条件极值问题有着广泛的应用。
在工程设计中，如汽车设计、机床设计和航空设计等，都需要考虑优化问题，如参数选择、尺寸设定和构型设计等，这些问题都可以用条件极值问题解决。
在经济学领域，它可以用来模拟复杂的经济体系，以求最终的最优解。
条件极值问题有着广泛的应用，其解决方法也非常多，但其都存在某些不足。
例如，很多方法往往只能求解一些特定的问题，而在复杂的环境中，常常无法得出全局最优解；另外，由于它涉及到非线性条件，这些条件也影响求解的结果。
两个约束条件下的拉格朗日乘数法
两个约束条件下的拉格朗日乘数法一、引言拉格朗日乘数法是一种求解约束优化问题的方法，它通过引入拉格朗日乘子，将约束条件与目标函数结合起来，从而将带约束的优化问题转化为无约束的优化问题。
在实际问题中，往往会存在多个约束条件，本文将以两个约束条件下的拉格朗日乘数法为主题，详细介绍其原理和应用。
二、原理对于一个带有两个约束条件的优化问题，假设目标函数为f(x)，约束条件为g1(x)=0和g2(x)=0。
根据拉格朗日乘数法，我们可以构建拉格朗日函数L(x,λ1,λ2) = f(x) + λ1*g1(x)+ λ2*g2(x)，其中λ1和λ2是拉格朗日乘子。
通过求解拉格朗日函数的驻点，即对变量x 和拉格朗日乘子λ1、λ2求偏导数并令其为零，可以得到一组方程组。
解这组方程组，即可求得问题的最优解。
三、应用下面通过一个具体的例子来说明两个约束条件下的拉格朗日乘数法的应用。
假设我们要求解如下优化问题：求函数f(x) = x^2 + y^2 的极小值，满足约束条件g1(x, y) = x + y - 1 = 0和g2(x, y) = x - y - 1 = 0。
1. 构建拉格朗日函数根据拉格朗日乘数法，我们可以构建拉格朗日函数L(x, y, λ1, λ2) = x^2 + y^2 + λ1*(x + y - 1) + λ2*(x - y - 1)。
2. 求解驻点方程对变量x, y和拉格朗日乘子λ1、λ2分别求偏导数，并令其为零，得到以下方程组：∂L/∂x = 2x + λ1 + λ2 = 0∂L/∂y = 2y + λ1 - λ2 = 0g1(x, y) = x + y - 1 = 0g2(x, y) = x - y - 1 = 0解这个方程组，我们可以得到x = 1/2，y = 1/2，λ1 = -1/2，λ2 = 1/2。
3. 检验极值条件根据极值条件，我们需要判断二阶偏导数的符号。
计算二阶偏导数，可以得到：∂^2L/∂x^2 = 2∂^2L/∂y^2 = 2∂^2L/∂x∂y = 0由于二阶偏导数都为正，所以x = 1/2，y = 1/2确实是f(x)的极小值。
函数的极值条件
函数的极值条件前言我们处理的各种优化问题可以大致分为两类：有约束的优化问题和无约束的优化问题。
工程优化问题往往都是有约束的，但经过适当的处理可以用无约束的优化方法加以解决。
因此无约束极值点存在的条件是优化理论的基本问题。
关键字：无约束有约束优化求解无约束优化问题的实质是求解目标函数f(x)在n维空间R n中的极值。
我们先来看看一元函数的极值条件。
1.无约束优化问题的极值条件1.1一元函数的极值条件由高等数学可知，任何一个单值、连续、可微的一元函数f(x)在给定区间内某点x=x∗有极值的必要条件，是它在该点处的一阶导数为零，即：f′(x∗)=0即函数的极值必须在驻点处取得。
此条件是必要的，但不是充分的，也就是说驻点不一定就是极值点。
如图1.1-1所示，x=0是驻点，但a b图1.1-1其中图a中的x∗点是极小值点，而图b中的x∗并不是极值点。
驻点是否为极值点，还需要函数在该点的二阶导数来判断。
驻点为极小值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)>0驻点为极大值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)<0若：f′′(x∗)=0则x∗是否为极值点，还需要逐次检验其更高阶导数的符号。
开始不为零的导数阶数为偶数，则为极值点；若为奇次，则为拐点，而不是极值点。
1.2二元函数的极值条件对于二维无约束优化问题，即对二元函数f(x)=f(x1，x2)来说，若在X∗（x1∗，x2∗）处取得极值，其必要条件是：ðf(x1，x2)ðx1=df(x1，x2∗)dx1|x1=x1∗=0ðf(x1，x2)ðx2=df(x1∗，x2)dx2|x2=x2∗=0写成梯度形式可得：∇f(x)=[ðf(x1，x2)ðx1，ðf(x1，x2)ðx2]T=0为推得二元函数极值存在的充分条件，将二元函数f(x)在驻点x∗=[x1∗，x2∗]T作泰勒二次近似展开，得到近似表达式为：f(x)=f(x∗)+[∇f(x∗)]T(x−x∗)+12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)因为驻点满足∇f(x∗)=0，故由上式可得：f(x)−f(x∗)=12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)当f(x)−f(x∗)>0，则由上式可知，应有：12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)>0此时，x∗为极小值。
高等数学求极值的方法
高等数学求极值的方法
高等数学中，求极值的方法有以下几种：
1. 导数法：对于一元函数，求解其导数，然后按照导数的性质判断临界点的类型（最大值、最小值还是拐点），再根据函数在临界点和区间端点的取值情况确定极值。
2. 条件极值法：对于含有一个或多个约束条件的极值问题，可以通过构建拉格朗日函数，并利用约束条件求解导数为零的点，然后根据约束条件和拉格朗日函数在这些点上的取值情况确定极值。
3. 二阶导数法：对于二次函数，可以利用二阶导数的符号判断极值点的类型（凹点还是凸点），然后根据函数在极值点和区间端点的取值情况确定极值。
4. 参数法：对于含有参数的函数，可以通过求导数并整理化简后，推导出关于参数的方程，进而求解参数值对应的极值点。
5. 函数图像法：通过观察函数的图像，寻找函数的极大值和极小值。
多元函数的极值解读
3
又
定义域为 r 0, h 0. 解方程组
S 2 rH 2 r r 2 h2 2V 4 rh 2 r r 2 h2 r 3
S 2V 4 4 r 2 2 h 2 2 h 0 2 2 r 3 r r h S 4 r 2 rh 0 3 r 2 h2 h
所以 B AC 4 0, 而A 0, 故函数在点（0，1） 取得极小值，为0。
2
例2 求函数z x 4 y 4 x 2 2 xy y 2 的极值。 解：此函数的定义域为 {( x, y) | x R, y R}
解方程组
z 3 4 x 2x 2 y 0 x z 4 y3 2 x 2 y 0 y
z 62 (8)2 12 6 16 (8) 100
在D的边界上，将 x 5 cos , y 5 sin , 0 2 代入函数中得
由于 0 2 , 所以在边界上函数的最大值为 125，最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上 的最大值为125，最小值为-100。 例5 要制作一个中间是圆柱，两端为相等的 圆锥形中空浮标，如图。 在体积V是一定量的情况 下，如何选择圆柱和圆锥 的尺寸，才能使制作的材 料最省？
( 1)
k
( 1)
k
2 1 e 1 )(1) k 2
k为 奇 数 k为 偶 数 k为 奇 数 k为 偶 数
2 e 1 [(1) k (1) k 1 2] 1
2 2 2 B AC 0 ( 1 e ) ( e ) 0, z无极值。 k 故当 为奇数时，
二 多元函数的最值
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题是数学中有关条件变量的局部最大值和最小值的问题。
它也称为最佳化问题，是研究优化问题的基础。
主要的研究内容是寻求满足所给出条件的极值，即在给定的条件下，函数的极值或局部极值。
条件极值问题由极值，限制变量和条件组成，因此也称为有约束的极值问题。
极值是指所求的最大值或最小值，限制变量是指限制条件影响的变量，条件是指检验最大值或最小值是否为最优解的条件。
条件可以约束极值，也可以检验极值是否为最优解，即检验条件是否有效。
条件极值问题的解法一般分为三步：1、明确极值（函数的最大值或最小值）；2、数学约束（限制变量和条件）；3、求解极值（按照条件计算最优解）。
在明确极值时要先考虑函数的定义域和值域，并确定函数的正、负局部极值点；而在求解极值时可以用微分法、迭代法、最优化法和随机搜索等方法。
在条件极值问题中，处理限制变量和条件也很重要，可以用函数单调性、区间分析、多重极值和表达式的变换等方法。
单调性对于判断局部极值是否是全局最优解很有用，它是指在一定区间内，当函数增加时，其值也随之增加；当函数减少时，其值也随之减少。
区间分析是指在极值点之间画出函数的几何图像，通过几何图像判断极值点的极性。
而多重极值和表达式的变换能够限制变量或条件，有助于求解问题。
条件极值问题在许多实际问题中有所应用，比如在经济学和财务学中，用来确定生产技术的最佳资源配置方式；在社会科学中，可以用来研究社会经济系统的优化配置；在计算机科学中，可以用来优化算法和数据结构；在数学中，可以用来研究函数的最优解等等。
条件极值问题是一个有效的工具，可以求解复杂的优化问题。
它的优点在于可以有效地求解函数的最优解，并且条件和约束可以用数学关系式来表示，这样可以得到更准确的解。
综上所述，条件极值问题是一个重要的数学研究主题，也是优化研究的基础，有着广泛的应用领域。
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{ x , y , z } dy dz , } 垂直。 在点(x, y, z)处都与向量 {1, dx dx
所以这三个梯度在点 (x, y, z) 处是共面的。 这就是函数 u=f(x,y,z) 在 (x,y,z) 处取得满足两 个约束条件的极值的必要条件。
四川大学数学学院 徐小湛 30 March 2012
设函数 u=f(x,y,z) 在点 (x, y, z) 处取得满足两 个约束条件的极值。 由隐函数知识，两个约束条件的方程可以确 定两个一元函数 y=y(x) 和 z=z(x)。将这两个 一元函数代入目标函数，则一元函数 u=f(x,y(x),z(x))=u(x) 在点 x=x 处取得极值。 由极值的必要条件，
四川大学数学学院
du dy dz fx f y fz 0 dx dx dx
徐小湛
(1)
30 March 2012
Santa II, p.156
另一方面，将两个一元函数 y=y(x) 和 z=z(x) 代入两个约束条件方程，得两个恒等式：
( x, y( x), z( x)) 0 ( x, y( x), z( x)) 0
以上二式两端对 x 求导，得
dy dz x y z 0 dx dx dy dz x y z 0 dx dx
四川大学数学学院 徐小湛
(2) (3)
30 March 2012
Santa II, p.156
由 (1), (2), (3) 式知道，以下三个梯度
f { f x , f y , f z } { x , y , z }
Santa II, p.156
有两个约束条件的条件极值 推导三元函数在两个约束条件 下取得极值的h 2012
目标函数 约束条件
u f ( x, y, z)
Santa II, p.156
( x, y, z) 0 ( x, y, z) 0
四川大学数学学院 徐小湛 30 March 2012
华阳 南湖 2012.3.18
Santa II, p.156
四川大学数学学院
徐小湛
30 March 2012
Santa II, p.156
命题
u f ( x, y, z) 取得满足 约束条件 ( x, y, z ) 0和 ( x, y, z ) 0
函数 的极值的必要条件是： f , , 即它们的混合积为零：
共面
fx f y fz [f ] x y z 0 x y z