土建工程制图 第3章 点、直线、平面的投影
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工程制图第3章 点、直线和平面的投影
W X
β
SH
O
α
Y
H
YH
V
a
A
a
b c
B
b
H
水平面
a
b a W c
C
a
c
b c
b c
b a c
投影特性： 1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影abc反映 ABC实形
V b
正平面
b
b
a
B
b
c
W
a
a
A a
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
α
H
V SB
A
b
b
侧垂面
SbW
c β c
a
W
α a
c
C
a
b c
H
a
投影特性： 1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
V S
侧垂面的迹线表示 Z
SH
b
QV
a
A
c
C
正垂面
b
β
SH
O
α
Y
H
YH
V
a
A
a
b c
B
b
H
水平面
a
b a W c
C
a
c
b c
b c
b a c
投影特性： 1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影abc反映 ABC实形
V b
正平面
b
b
a
B
b
c
W
a
a
A a
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
α
H
V SB
A
b
b
侧垂面
SbW
c β c
a
W
α a
c
C
a
b c
H
a
投影特性： 1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
V S
侧垂面的迹线表示 Z
SH
b
QV
a
A
c
C
正垂面
b
第三章 点、直线、平面的投影
《建筑制图与识图》 图3.8 一般位置平面
《建筑制图与识图》
3 各种位置平面及投影特性
《建筑制图与识图》
《建筑制图与识图》
零，三个投影中必有两个投影位于投影轴上， 另一个投影则与坐标原点重合； ❖ 当点在坐标原点上时，它的三个坐标均为零。
《建筑制图与识图》
两点的相对位置
空间两点的相对位置可以用三面正投影图来标定；反之，根据点的投影也可以判断 出空间两点的相对位置。
在三面投影中，规定：OX轴向左、OY轴向前、OZ轴向上为三条轴的正方向。 在投影图中，x坐标可确定点在三投影面体系中的左右位置，y坐标可确定点的前后 位置，z坐标可确定点的上下位置。
平面倾斜于投影面时，其投影为不反映实形且缩小了 的类似形线框，这种性质称为收缩性，如图3.42(c)。
《建筑制图与识图》
2.平面的三面投影
❖平面通常是由点、线或线、线所围成。 因此，求作平面的投影，实质上也是求 作点和线的投影。
❖如图3.8，空间一平面△ABC，若将其三 个顶点A、B、C的投影作出，再将各同 面投影连接起来，即为三角形ABC平面 的投影。
第三章 点、直线、平面的投影
甘肃建筑职业技术学院
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《建筑制图与识图》
本章内容
3.1 点的投影 3.2 直线的投影 3.3 平面的投影
点的投影 3.1 《建筑制图与识图》
图3.1 点的坐标
《建筑制图与识图》
❖ 把三投影面体系看作空间直角坐标系，投影轴OX、 OY、OZ相当于坐标轴X、Y、Z轴，投影面H、V、 W相当于坐标平面，投影轴原点O相当于坐标系原 点。
《建筑制图与识图》
2. 直线的三面投影
图3.4 作直线的三面正投影图（投影面的倾斜线）
土木工程制图第3章点直线平面的投影
3.2 直线的投影
图3-29 判断两侧平线是否平行
3.2 直线的投影
2.两条直线相交
(1)若两条直线的三组同面投影都相交，且交点的投影符合点
(2)如果两条直线均为一般位置直线，只要有任意两组同面投 影相交，且交点符合点的投影规律，则这两条直线在空间相交。
(3)两条直线中有一条直线平行于某一投影面，则需画出两条 直线在该投影面上的投影来判断其是否相交，或者通过定比性来 判断。
作图步骤如图3-36(b) (1)从图3-36(a)可知AB为水平线，所以过点c向ab作垂线，得垂 足d，过d向上作联系线，交a′b′于点d′，连接c′d′ (2)cd为距离的水平投影，c′d′为距离的正面投影，可利用直角三 角形法求距离的实长，过点d在ab上截取dD0等于C、D两点的Z轴 坐标差，连接cD0，则cD0即为点C到水平线AB的距离。
(1)侧面投影反映实 长，与Y轴夹角为α， 与Z轴夹角为β。
(2)正面投影平行于 Z轴。
(3)水平投影平行于 Y轴。
3.2 直线的投影
3.2.3 一般位置直线的实长与倾角
(1)在α所存在的直角三角形中，α所相邻的一条直角边为 H面投影长，所对应的直角边为Z坐标差ΔZ，如图3-23(a)所示。
(2)在β所存在的直角三角形中，β所相邻的一条直角边为 V面投影长，所对应的直角边为Y坐标差ΔY，如图3-23(b)所示。
作图步骤如图3-37(b) (1)在水平投影图上过d点(也可是cd上的其他点)作ab的垂直线(也 可过ab上的任意一点作cd的垂直线)，交ab于e点。连接d、e两点 得公垂线DE的水平投影de。由e点垂直向上作投影联系线，交a′b′ 于点e′，连接点d′、e′得公垂线DE的正面投影d′e′ (2)已知公垂线DE的两面投影，即可利用直角三角形法求出公垂线 DE的实长。
第3章 工程制图点、直线、平面的投影
例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
①
b
k●
c
②
b d
●k
c
a x
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
x a' a
b d
●k
c 通过在面内作辅助线求解
例：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一
b
解法二 b
a
k
c a
c
x
d
d
x d
d
a
k
ca
如何判断？
求出侧面投影 AB与CD不平行。
例：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
x
o
a
d
k c●
b
先作正面投影
思考：如果给出CD的长度，解题 过程有何变化？
4. 两直线垂直（直角投影定理）
定理：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投 影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
⒊ 两直线交叉
a c'
1(2
)
3 ●●●4 Nhomakorabeac a
2
●
●
●
1
3(4 )
d
两投为直影什线么特相？交性吗：？
b ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间
b 一个点的投影规律。
d ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影，
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 用其可帮助判断两直线 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 的空间位置。
Z
f' f"
a'
c' a" c "
工程制图d(唐福官)第三章 点直线平面的投影
① a
c
b
②
a
c
●
b b a c b
a
c
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
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例2：判断点K是否在线段AB上。
a k● b
a k● b a
●
k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
另一判断法?
应用定比定理
电气学院学习部资料库
[例题3] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分 点C的投影c、c 。
b
电气学院学习部资料库
例二、已知立体上直线 AB、CD 的空间位置， 在投影图中标注其投影位置，填。
a’
b’
a ’’
c’ d’
b ’’
(c ’’ )
(d ’’ )
a
b
（d ） c 一般位置
铅垂
电气学院学习部资料库
2、 直线上点的投影
直线上的点具有两个特性： 1．从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用 这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
（7）一般位置直线
b
b B a b X a b b Y Z a
A a
O
b
a a Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长 2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3．不反映 、 电气学院学习部资料库 、 实角
直线对投影面的相对位置分类 （一）投影面平行线 水平线//水平面 正平线//正平面 侧平线//侧平面
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（4）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
a A b b a a Z a
b
c
b
②
a
c
●
b b a c b
a
c
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
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例2：判断点K是否在线段AB上。
a k● b
a k● b a
●
k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
另一判断法?
应用定比定理
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[例题3] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分 点C的投影c、c 。
b
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例二、已知立体上直线 AB、CD 的空间位置， 在投影图中标注其投影位置，填。
a’
b’
a ’’
c’ d’
b ’’
(c ’’ )
(d ’’ )
a
b
（d ） c 一般位置
铅垂
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2、 直线上点的投影
直线上的点具有两个特性： 1．从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用 这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
（7）一般位置直线
b
b B a b X a b b Y Z a
A a
O
b
a a Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长 2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3．不反映 、 电气学院学习部资料库 、 实角
直线对投影面的相对位置分类 （一）投影面平行线 水平线//水平面 正平线//正平面 侧平线//侧平面
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（4）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
a A b b a a Z a
b
工程制图第三章-点、直线、平面投影
从属于投影面的直线 从属于投影面的铅直线 从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
工程制图第3章点线面投影
14:10
水平投影ab‖ OYH，正面投影 a’b’ ‖OZ，都不反映实长； a”b”与OYW夹角反映α实际大小， a”b”与OZ夹角反映β实际大小。
投影面平行线的投影特性
名称 水平线(‖H面，对V、W面 倾斜) 正平线(‖V面，对H、W面 倾斜) 侧平线(‖W面，对H、V 面倾斜)
投 影 图
投 影 特 性
二、三视图的投影规律及方位对应关系
主、俯视图——共同反映物体的长度方向的尺寸，简称“长对正”； 主、左视图——共同反映物体的高度方向的尺寸，简称“高平齐”； 俯、左视图——共同反映物体的宽度方向的尺寸，简称“宽相等”。
14:10
3.2 点的投影
一、点的三面投影
空间点用大写拉丁字母 如A、B、C…表示； 水平投影用相应小写字母 a表示； 正面投影用相应小写字母 加一撇a’表示；
侧面投影用相应小写字母 加二撇a”表示。
14:10
二、点的三面投影规律
aa’⊥OX，a’az=aayh=XA （A到W面的距离）
a’a”⊥OZ，a’ax=a”ayw=ZA （A到H面的距离） 点的三投影展开 .swf 14:10
aax=a”az=YA （A到V面的距离）
点的投影
作图时，为了表示aax=a”az的关系，常
用过原点O的45°斜线或以O为圆心的圆弧
14:10
把点的H面与W面投影关系联系起来。
例3-1 已知点A的两面投影，求点A的第三面投影。
解题步骤：
(1) 过原点O作45°辅助线； (2) 过a作平行OX轴的直线与 45°辅助线相交一点；
(3) 过交点作⊥OYW的直线；
(4) 该直线与过a’且平行OX轴 的直线相交于一点即为a” 。
1.侧面投影a”b”=AB； 2.水平投影ab‖ OYH，正 面投影a’b’ ‖OZ，都不反 映实长； 3.a”b”与OYW夹角反映α实 际大小，a”b”与OZ夹角反 映β实际大小。
水平投影ab‖ OYH，正面投影 a’b’ ‖OZ，都不反映实长； a”b”与OYW夹角反映α实际大小， a”b”与OZ夹角反映β实际大小。
投影面平行线的投影特性
名称 水平线(‖H面，对V、W面 倾斜) 正平线(‖V面，对H、W面 倾斜) 侧平线(‖W面，对H、V 面倾斜)
投 影 图
投 影 特 性
二、三视图的投影规律及方位对应关系
主、俯视图——共同反映物体的长度方向的尺寸，简称“长对正”； 主、左视图——共同反映物体的高度方向的尺寸，简称“高平齐”； 俯、左视图——共同反映物体的宽度方向的尺寸，简称“宽相等”。
14:10
3.2 点的投影
一、点的三面投影
空间点用大写拉丁字母 如A、B、C…表示； 水平投影用相应小写字母 a表示； 正面投影用相应小写字母 加一撇a’表示；
侧面投影用相应小写字母 加二撇a”表示。
14:10
二、点的三面投影规律
aa’⊥OX，a’az=aayh=XA （A到W面的距离）
a’a”⊥OZ，a’ax=a”ayw=ZA （A到H面的距离） 点的三投影展开 .swf 14:10
aax=a”az=YA （A到V面的距离）
点的投影
作图时，为了表示aax=a”az的关系，常
用过原点O的45°斜线或以O为圆心的圆弧
14:10
把点的H面与W面投影关系联系起来。
例3-1 已知点A的两面投影，求点A的第三面投影。
解题步骤：
(1) 过原点O作45°辅助线； (2) 过a作平行OX轴的直线与 45°辅助线相交一点；
(3) 过交点作⊥OYW的直线；
(4) 该直线与过a’且平行OX轴 的直线相交于一点即为a” 。
1.侧面投影a”b”=AB； 2.水平投影ab‖ OYH，正 面投影a’b’ ‖OZ，都不反 映实长； 3.a”b”与OYW夹角反映α实 际大小，a”b”与OZ夹角反 映β实际大小。
工程制图 点、直线及平面的投影
工程制图
B b b
A a
a
a
b
Z
b
a
a
X a
b
O
YW
b
YH
27
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于V 投影面的铅垂线
工程制图
Z
a
a
b
b
X
O
YW
a(b)
YH
28
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于OX轴的直线
工程制图
Z
X a
b O
YW
(b)
a
b a(b)
YH
29
工学院 机械系 张文斌
红河学院
二、一般位置直线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
20
工学院 机械系 张文斌
红河学院 (1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线 工程制图
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
24
工学院 机械系 张文斌
红河学院 （2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线 工程制图
(a)b
(a)b
z a
b
A
工程图学：点、直线和平面的投影
b′ (b′) B A A ba
b″ a″ a″
B (b″) b″ B Ab a(b) a
a″
⊥H 点 积聚性
Y
∥Ｖ、Ｗ 直线 实形性
a′b′∥OZ a″b″∥OZ
3）．侧垂线
X
Z
a′ a′ (b′) a′ b′
b″ b′
a″ a″
a″(b″) b″ O
YW
⊥Ｗ ab∥OX
点
积聚性
a
b b a(b)
过空间点A的投射线与投影面P的交点 即为点A在P面上的投影。
●
A
a
●
点在一个投影面上的投影不能 确定点的空间位置。
P
B2
●
B1
●
●
b
B3
●
采用多面投影。
二.点在两个投影面上的投影 1.两投影面体系的建立
V
X
水平投影面 —— H
正面投影面 —— V 投 影 轴 —— OX
O
2 .两投影面体系中点的投影 V
X
o
◆侧面投影面（简称侧面或W面） 投影轴 OX轴 OY轴 OZ轴 V面与H面的交线 H面与W面的交线 V面与W面的交线
H
Y
三个投影面互相垂 直
2.空间点A在三个投影面上的投影
Z a a a 点A的正面投影 点A的水平投影 X V a ● A ● ●a
o
● a H
W
点A的侧面投影
Y
空间点用大写字母表示，点的 投影用小写字母表示。
由此得出求水平迹点的方法：
（1） 延长直线的正面投影a′b′,与OX轴相交得m′； （2）由m′定出m，则m和m′为所求水平迹点M的两投影。
同理可求得正面迹点N。
土建工程制图第章点直线平面的投影_图文
已知
作图
直线的投影——两直线的相对位置
3.过E点作一直线与已知两交叉直线AB、C直线的相对位置
4.求作正平线MN与交叉三直线AB、CD、EF相交。
已知
作图
直线的投影——两直线的相对位置
5.作直线GH,使其与CD和EF相交且AB平行。
已知
作图
直线的投影——应用题
3.判断直线EF或点K是否在给定的平面上。
已知
作图
平面的投影——各种位置平面的投影
4.求平面内点的另一投影。
已知
作图
平面的投影——各种位置平面的投影
5.求平面ABC内直线EF的H面投影
（a）已知
（b）作图
分析：线段EF在平面ABC上，它一定通过平面上两个点， 作图过程及结果见上图(b)。
平面的投影——各种位置平面的投影
4.已知A、B、C三点的各一投影a、b′、c“，且Bb′=10， Aa=20，C c"=5。完成各点的三面投影，并用直线连接各同
面投影。
已知
点的投影
作图
点的投影
5.作出A、B两点的W面投影，并判断它 们的相对位置
A在B
A在B左前上方
已知
作图
分析：已知点的两投影可以求出点的第三投影，作图过程及 结果见上图（b)
1)过点A作正垂面P,其α为30° 2）过AB作铅垂面△ABC.
3) 过点A作一般面△ABC.
4) 过AB作一般面△ABC.
1)
2)
3)
4)
已知
平面的投影——各种位置平面的投影
3.过已知点、线作平面。
1)过点A作正垂面P,其α为30° 2）过AB作铅垂面△ABC.
3) 过点A作一般面△ABC.
工程制图 第三章3-2
§3-2 点、直线、平面的投影任何物体的表面都是由点、线、面等几何元素组成。
如图3-11所示三棱锥，是由四个平面、六条棱线和四个点组成。
由于工程图样是用线框图形来表达，所以绘制三棱锥的三视图，实际上就是绘制构成三棱锥表面的这些点、棱线和平面的三面投影1。
因此，要正确绘制和阅读物体的三视图，须掌握这些基本几何元素的投影规律。
图3-11三棱锥一、点的投影１．点的三面投影形成如图3-12a所示，过空间点A分别向三个投影面作垂线，其垂足a、a′、a″2即为点A 在三个投影面上的投影。
按前述三投影面体系的展开方法将三个投影面展开（图3-12b），去掉表示投影面范围的边框，即得点A的三面投影图（图3-12c）。
图中a x、a y、a z分别为点的投影连线与投影轴OX、OY、OZ的交点。
图3-12点的三面投影形成２．点的三面投影规律从图3-12中点A的三面投影形成可得出点的三面投影规律：（1）点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX。
（2）点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。
（3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aa x＝a″a z.此外，从图3-12a还可看出点的投影到投影轴的距离，分别等于空间点到相应投影面的距1本书中，体的多面投影称为视图。
点、线、面等几何元素的投影一般称为投影图。
2空间点用大写字母表示，H面投影用相应的小写字母表示，V面投影用相应的小写字母加“′”表示，W 面投影用相应的小写字母加“″”表示。
离。
如：a′a z＝aa YH反映点A到W面的距离；a′a x＝a″a Yw反映点A到H面的距离； aa x＝a″a z反映点A到V面的距离.根据上述点的三面投影规律，在点的三面投影中，只要知道其中任意两个面的投影，就可求作出该点的第三面投影。
〔例3-2〕已知点B的V面投影b′与H面投影b，求作W面投影b″（图3-13a）。
土建工程制图 第3章 点、直线、平面的投影
已知
a'
作图
d'
c'
直线的投影——应用题
3.求直线AB与CD的距离.
c m b' c' a' a' X d' a c(d ) O
X
土木工程制图 习题集
b'
d'
c'
a' X d' a
a
距离
O
c(d )
b
姓名
土木工程制图 习题集
a' a' O b
a'
△
b'
c' b' O
b' X
X
X
b
b
△
c
a a a
20
姓名
C0
直线的投影
直线上点
班级
已知
作图
直线的投影——直线上的点
4.在直线AB上求一点C，使点C与H、V面等距。
b' a' X
b
土木工程制图 习题集
Z
b' c' a'
YW
Z
a″ c″ b″
45°
X
b
YW
c
a'
d'
a' m' 20 n'
d'
c' X c a
b' O d
X X
c'
b' O
c a m
n
d
b
4.求作正平线MN与交叉三直线AB、CD、EF相交。
b
4.求作正平线MN与交叉三直线AB、CD、EF相交。
土木工程制图第三章点-直线和平面的投影
方法一 方法二 立体图
六、空间两点的相对位置
1.相对位置的判断 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
X坐标值大的点在左，小的在右。 Y坐标值大的点在前，小的在后。 Z坐标值大的点在上，小的在下。
点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
点的两面投影规律：
二.点的两面投影
点的水平投影和正面投影之间的连系线垂直于OX轴。a′a⊥OX。
点的水平投影到OX轴的距离等于空间点A到V面的距离aaX= Aa′。
点的正面投影到OX轴的距离等于空间点A到H面的距离a′aX=Aa。
三.点在三面投影体系中的投影
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。
A、C为H面的重影点
●
●
●
●
●
a
a
c
c
被挡住的投影加( )
( )
A、C为哪个投影面的重影点呢？
a c
2.重影点
H面重影点 V面重影点 W面重影点 重影点
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
第3章 点、直线和平面的投影
3.1 点的投影
如右图所示，一个形体由多个侧面围成，各侧面相交于多条侧棱，各侧棱相交于多个顶点A、B、C…J 等。如果画出各点的投影，再把各点的投影一一连接，就可以作出一个形体的投影。
点是形体的最基本的元素。点的投影规律是点、线、面投影的基础。
一、点的单面投影
过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面 上的投影。
a
b
a
x
yH
yw
z
x
z
y
A
B
六、空间两点的相对位置
1.相对位置的判断 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
X坐标值大的点在左，小的在右。 Y坐标值大的点在前，小的在后。 Z坐标值大的点在上，小的在下。
点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
点的两面投影规律：
二.点的两面投影
点的水平投影和正面投影之间的连系线垂直于OX轴。a′a⊥OX。
点的水平投影到OX轴的距离等于空间点A到V面的距离aaX= Aa′。
点的正面投影到OX轴的距离等于空间点A到H面的距离a′aX=Aa。
三.点在三面投影体系中的投影
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。
A、C为H面的重影点
●
●
●
●
●
a
a
c
c
被挡住的投影加( )
( )
A、C为哪个投影面的重影点呢？
a c
2.重影点
H面重影点 V面重影点 W面重影点 重影点
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
第3章 点、直线和平面的投影
3.1 点的投影
如右图所示，一个形体由多个侧面围成，各侧面相交于多条侧棱，各侧棱相交于多个顶点A、B、C…J 等。如果画出各点的投影，再把各点的投影一一连接，就可以作出一个形体的投影。
点是形体的最基本的元素。点的投影规律是点、线、面投影的基础。
一、点的单面投影
过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面 上的投影。
a
b
a
x
yH
yw
z
x
z
y
A
B
《土木制图技术》点直线和平面的投影节
点在平面上的投影
直线在平面上的投影
• 定义：指空间点在平面上的投影 。
• 投影特点：点在平面上的投影是 该点与平面交线的交点。
• 投影规律：点在平面上的投影仍 然保持原点与投影面的距离不变 。
ห้องสมุดไป่ตู้
• 定义：指空间直线在平面上的投 影。
• 投影特点：直线在平面上的投影 为直线的斜线段。
• 投影规律：直线的投影与原直线 的夹角保持不变，且投影长度与 原直线长度成比例。
《土木制图技术》点直线和平面的 投影节
目录
• 投影的基本知识 • 点、直线和平面的投影 • 点、直线和平面间的位置关系 • 平面立体的投影 • 平面立体的尺寸标注
01
投影的基本知识
投影的概念与分类
投影的定义
投影是指将三维空间的物体通过一定的光线投射到二维平面 上，得到物体的平面表示。
投影的分类
05
平面立体的尺寸标注
平面立体的尺寸种类及标注方法
水平投影和垂直投影的尺寸
平面立体的水平投影和垂直投影的尺寸标注包括长、宽和高三个方向上的尺寸。
局部投影的尺寸
平面立体的局部投影的尺寸标注包括斜面和圆柱等局部结构的尺寸。
定位尺寸
平面立体的定位尺寸标注包括确定平面立体各面的位置的尺寸。
平面立体尺寸标注的规则和方法
中心投影法
将物体放在一个中心点上，通过该中心点作多个 互相垂直的投影线，分别与物体相交得到多个交 点，然后将这些交点连接起来得到物体的中心投 影图。
斜投影法
将物体放在一个投影面内，用一个斜面与该投影 面相交，交线为斜投影线，然后沿着斜投影线将 物体投影到投影面上，得到物体的斜投影图。
透视投影法
将物体放在一个透视投影面上，用一个假想的光 源从该面的一个或多个位置向物体投射光线，然 后将光线与物体相交得到的交点连接起来得到物 体的透视投影图。
工程制图3(点线面体的投影)
b′ A C a c
a″ B b b″ c″
直线、点在平面上
a′ c′ Ｘ c a b
Ｚ a〞 b′ c〞 Ｏ YW b〞
YＨ
例：判断直线、点是否在平面上。
a′ c′ Ｘ c a b b′ Ｏ
例：完成平面ABCDE的投影。
c′ b′ a′ Ｘ b c a b e′ b′ d′ a′ a
c′ d′ e′ e d c
另外两种方法： 解法一: 解法一
a′● ′ ax az
●
a″ ″
a● 解法二: 解法二 用圆规直接量取a″az=aax 用圆规直接量取 ″
a′● ′ ax az
●
a″ ″
a●
点的空间位置 点在投影体系中有 四种位置情况： 四种位置情况：
V a′ A X aX H a
Z aZ a″ O aY
W
1. 在空间（X，Y，Z） 在空间（
特点： 1.和V.W.H 三 面的关系。 2在三个面 上的特点。
特点： 1.和 V.W.H三 面的关系。 2在三个 面上的特 点。
投影面垂直面投影特性
垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面。 垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面。 正垂面：垂直于V 正垂面：垂直于V面，对H，W面倾斜 铅垂面：垂直于H 铅垂面：垂直于H面，对V，W面倾斜 侧垂面：垂直于W 侧垂面：垂直于W面，对H，V面倾斜 投影面垂直面的投影特性： 投影面垂直面的投影特性： 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线， 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，与投 影轴的夹角， 影轴的夹角，分别反映平面对另两个投影面的真实 倾角. 积聚性） 倾角.（积聚性） 在另外两个投影面上的投影均为缩小的平面图形。 在另外两个投影面上的投影均为缩小的平面图形。 类似性） （类似性）。
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土木工程制图 习题集
2.求点M到水平线AB的距离。
7.求点M到水平线AB的距离。 m'
a' X
a
m'
△
b'
a'
O
X
b'
a
O
△
b' O
b
m
b
9.已知等腰三角形ABC,C点在直线DE上,AB为 正平线,求作三角形ABC的两面投影。
已知
距离
m
b
9.已知等腰三角形ABC,C点在直线DE上,AB为 正平线,求作三角形ABC的两面投影。
c(d) e
b
m'
a'
f' O
X
a
f
m
b' c' e'
d'
c(d) e
b
n'
f'
O
X
f n
已知
作图
直线的投影——两直线的相对位置
5.作直线GH,使其与CD和EF相交且AB平行。
土木工程制图 习题集
a' X
a
b' e'
c'(d′)
c
d
b
e
已知
f' O
f
a' X
a
h'
g' c'(d′)
g c
f' O
f
O X
a'
d'
a d
a'
d' c'
e' b'
O OX
b
a
e
e'
b'
O
b e
dc
姓名
成绩
7
已知
作图
平面的投影——各种位置平面的投影
土木工程制图 习题集
1.求作下图的W投影，在投影图上注明各指定表面名称， 并在表格内填写各指定表面与投影面的相对位置。
q' s'
q s
（1）
（2）
P
Q
R
S
N M
（3）
（4）
第3章 点、直线、平面的投影
土木工程制图 习题集
习题集：33页
第三章 点、直线、平面的投影
土木工程制图 习题集
2.已知点A（20，15，25），B（25，0，15），C（0，0，5）
的坐标，求它们的投影图和立体图。
Z
Z
Ｖ
Ｗ
X
YW
O
X
O
Ｈ
Y
YH
Z
b'
ｂ″
３.已知Ａ、Ｂ、Ｃ三点的各一投影a、b'、ｃ″，且Ｂ
e
YH
f
YH
已知
作图
直线的投影——直线的实长和倾角
土木工程制图 习题集
(4)已知AB∥V面及a、 a'，α=30°，B在A的右下方的H面上。
Z a' X
O
a YH
已知
Z
a'
YW
X
30° b'
O
a″ b″ Y W
a
b
YH
作图
直线的投影——直线的实长和倾角
土木工程制图 习题集
(5)过K点作一正平线KL，到V面距离为20mm, α=45°,
b'＝１０，Ａa＝２０，Ｃｃ″
投影，并用直线连接各同面投影。
已知
Z
c″
点的投影
土木工程制图 习题集
Ｖ
a'
B b'
X
b
Z
ｂ″
A
a″
c' C
c″
Ｗ
cO
a
a'
a″
b'
ｂ″
X b
c' c″ c O
YW
a
Ｈ
Y
２.已知点的两投影，补第三投影。
b' a'
Z ｂ″
a″
ｄ'
ｄ″
作图
YH
３.已知Ａ、Ｂ、Ｃ三点的各一投影a、b'、ｃ″，
Z a'
a'
X
O
a
YW X
YH
已知
姓名
点的投影
a'
Z a″
土木工程制图 习题集
b' X
O a
b YH
作图
b″ YW
点的投影
土木工程制图 习题集
8.已知A、B两点等高，B在A之右，Aa′=20，Bb′=10，且A、 A在BB两点的H面投影相距50，求作A、BY两H 点的两面投影。
a'
YW
X
O
班级
姓名
土木工程制图 习题集
b'
a' X
O b
a 6.已知a'b'及a，β=30°，且B在A的后方，求AB实
△
a' X
△
a
实长 β
b'
O b
已知
作图
直线的投影——直线的实长和倾角
土木工程制图 习题集
5.已知AB∥W面，AB=20，α=30º，B在A的后上方，求AB的
三面投影。
Z
Z
b'
b″
20
a'
a″
a'
30° a″
1)已知AB∥H面及ab和a′，求a′b′。
(1)已知AB∥H面及ab和a'，求a'b'.
c'
a'
a'
X
O
XX
土木工程制图 习题集
b' d' OO
a
a
b
4).已知AB∥已V面知及a、a＇，α=30°，
b
＇，α=30°
作图
直线的投影——直线的实长和倾角
2)已(2知)已CD知∥CVD面∥,V且面距，V且面距20V，面求20c，d。求cd.
已知
平面 平面与投影面相对位置 P Q R S M N
（5）
平面的投影——各种位置平面的投影
土木工程制图 习题集
1.求作下图的W投影，在投影图上注明各指定表面名称，并在表格内填写各指定表面与投影面的相对位置。
q'
s' m' q
aa' '
aa' c'
d' aa''
dd' ' bb'('(cc')')
d'd'
a
d
cc
bb
aa((cc))
dd
b d
（ 交叉 ）
c
b
（ 交叉 ）
a d
（ 交叉 ）
直线的投影 两直线的相对位置
班级
姓名
b
（ 交叉 ）
成绩
5
直线的投影——两直线的相对位置
土木工程制图 习题集
2.作一水平线MN与H面相距20，并与AB、CD相交。
a YH
已知
点的投影
a' b'
c' Z
c″
a″
b″
X b
a
O
c YH
作图
土木工程制图 习题集
YW
点的投影
土木工程制图 习题集
5.作出A、B两点的W面投影，并判断它 们的相对位置
a'
Z
a'
Z
a″
b' X
O
YW
X
b' O
b″ YW
b a
b a
A在B
A在B左前上方
已知
作图
分析：已知点的两投影可以求出点的第三投影，作图过程及 结果见上图（b)
土木工程制图 习题集
2.判断点K是否在直线AB上。
Z a'
k' b'
X
YW
O
a
k
b
YH
k点
a'
Z a″
k'
k″
b'
b″
X
YW
O
a
k
b
YH
k点 不在AB上
已知
作图
直线的投影——直线上的点
土木工程制图 习题集
3..在直线AB上求一点C，使AC=20。
9.在直线AB上求一点C，使AC=20。 a'
b'
X
a'
作d' 图c'
直线的投影——应用题
3.求直线AB与CD的距离.
c m
b'
c'
a' X
a
a'
d'
a'
d'
O
X
X
a
c(d)
a
b
d
姓名
土木工程制图 习题集
b'
c'
d' O
c(d) 距离 b
已知
作图
直线的投影——应用题
土木工程制图 习题集
4.已知等腰三角形ABC，C点在直线DE上，AB为正平线。求 作三角形ABC的两面投影。
土木工程制图 习题集
1)
b'
a'
d'
c'
c
a
d
b （ 平行 ）
2)
b'
a'