教案抛物线的几何性质
《抛物线的简单几何性质》 学历案
《抛物线的简单几何性质》学历案一、学习目标1、掌握抛物线的定义、标准方程。
2、理解并掌握抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等。
3、能够运用抛物线的几何性质解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）抛物线的几何性质。
（2）利用几何性质求抛物线的方程和解决相关问题。
2、难点（1）抛物线的几何性质的应用。
（2）与抛物线相关的综合问题。
三、知识回顾1、抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
2、抛物线的标准方程：（1）焦点在 x 轴正半轴上，方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（2）焦点在 x 轴负半轴上，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（3）焦点在 y 轴正半轴上，方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
（4）焦点在 y 轴负半轴上，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。
四、新课导入我们已经学习了抛物线的定义和标准方程，那么抛物线还有哪些重要的几何性质呢？这些性质又能帮助我们解决哪些问题呢？让我们一起来探究吧。
五、抛物线的几何性质1、范围以抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）为例，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以对于抛物线上任意一点 M（x，y），有\（x ＼geq 0\），即抛物线在 x 轴的右侧（包括 x 轴）。
同理，对于抛物线 y²＝－2px（p ＞ 0），有\（x ＼leq 0\），即抛物线在 x 轴的左侧（包括 x 轴）。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质（一）导学案【教学目标】知识与技能：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．过程与方法：从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质。
培养学生分析、归纳、推理等能力．情感态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，解决抛物线中的弦的问题．【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.教学重难点：1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质和焦点弦几何性质推理和应用的方法渗透．学情分析：【知识回顾】1．抛物线的定义、标准方程。
（生口述完成）2．焦半径直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，3.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴）方程，焦点，准线，开口.1.26y x=2.()1,0F-3.1y=-4.2270x y+=二、新课讲授【问题探究一】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？(生通过预习，完成导学案上的表格，并小组之间互相分享结果，互相讨论)1．抛物线的几何性质（方程的方法进行验证）(生口述完成) 研究抛物线)0(22>=p px y ： （1）范围因为0>p ，由方程可知0≥x ，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当0=y 时0=x ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知1=e例题1：【引题】已知斜率为1直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.求线段AB 的长。
教学设计3：2.4.2抛物线的几何性质
2.4.2抛物线的几何性质教学目标1.知识与技能(1)理解抛物线的几何性质及应用．(2)掌握与抛物线有关的轨迹的求法及直线与抛物线的位置关系．2．过程与方法通过对抛物线几何性质的探究与应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辨证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受激发学生对美好事物的追求．教学重点：(1)抛物线的几何性质．(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．教学难点：抛物线各个几何性质的灵活应用，直线与抛物线的位置关系问题．抛物线的几何性质我们根据抛物线的标准方程，y2＝2px（p＞0）①来研究抛物线的几何性质.1.范围因为p＞0，由方程①可知，对于抛物线上的点M (x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同;当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口向右．2.对称性以－y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫抛物线的对称轴.3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．4.离心率抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．按照抛物线的定义可知，e=1．．在直角坐标平面内，顶点在原点、轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应地有四种形式，它们都叫做抛物线的标准方程.设焦点到准线的距离为p(p>0),则抛物线标准方程的四种形式如下表所示x轴y轴典例精析例1已知抛物线以x轴为轴，顶点是坐标原点且开口向右，又抛物线经过点M(4，23)，求它的标准方程.解根据已知条件，设抛物线的方程为y2＝2px (p>0).因为点M(4,2 3 )在抛物线上，所以(2 3 )2＝2p·4，得2p＝3.因此，所求方程为y2＝3x.例2．汽车前灯反射镜与轴截面的脚线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处.已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点（即截得的抛物线的顶点）距离是多少？（图2-24（1））如图2-24解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标与那点，建立平面直角坐标系xOy ，如图2-24（2）所示.如图2-24因为灯口直径|AB |=24，灯深|OP |=10，所以点A 的坐标是（10,12）. 设抛物线的方程为y 2=2px （p >0）. 因为点A (10，12)在抛物线上，得 122=2p ×10，所以p =7.2，抛物线焦点F 的坐标为（36，0）. 因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6cm.例3 已知点A 在平行于y 轴的直线l 上，且l 与x 轴的交点为(4,0).动点P 满足AP →平行于x 轴，且OA →⊥OP →，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.解 设动点P 的坐标为(x ，y )，则由已知得A 点坐标为(4，y )，所以OA →＝(4，y )， OP →＝(x ，y ).因为OA →⊥OP →，所以OA →·OP →＝0， 因此4x ＋y 2＝0，即P 的轨迹方程为4x ＋y 2＝0. 轨迹的形状为抛物线. 变式训练1、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点M （2，），求它的标准方程.解：因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （2，），所以，可设它的标准方程为因为点M 在抛物线上，所以 即p =2.因此,所求抛物线的标准方程是--22(0)y px p =>2(22,p -=⨯24.y x =课堂检测1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x【解析】 由题意知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴标准方程为y 2＝8x . 【答案】 B2．直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 的公共点的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【解析】 直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 的对称轴平行，故直线与抛物线只有一个公共点． 【答案】 B3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.【解析】 |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 【答案】 8 课堂小结1．求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线动点的规律，一般用定义法．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，设而不求，能避免求交点坐标的复杂运算．3．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质等.。
教学设计2：2.4.2 抛物线的简单几何性质
教学内容 2.4.2 抛物线的简单几何性质三维目标【知识与技能】1．掌握抛物线的简单的几何性质，能根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程；2．能由抛物线方程解决简单的应用问题；3．学会判断抛物线与直线的位置关系；4．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．【过程与方法】通过抛物线性质的学习，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。
【情感态度与价值观】通过抛物线性质的学习，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。
教学重点抛物线的几何性质及其运用，以及抛物线与直线的位置关系。
教学难点抛物线性质的应用．教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。
教学过程复习引入一．引入新课【师】复习提问：1、抛物线定义：平面内到一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数1的点的轨迹（或平面内到一个定点F和一条直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹）是抛物线。
点F叫做焦点．．，l叫做准线。
．．．2、抛物线的标准方程标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图形焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下那么，抛物线有哪些几何性质呢？点题，板书课题。
新课学习二．新课讲解1．抛物线的简单几何性质标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图像范围0≥x0≤x0≥y0≤y 对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称顶点()0,0()0,0()0,0()0,0离心率1=e焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下2．通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。
直接应用抛物线定义，得到通径：pd2=。
三．练习领会师生共同解答下列各例：【例1】已知点()2,0A和抛物线C：xy62=，求过点A且与抛物线C相切的直线L的方程。
数学物理教案：抛物线的性质与应用
数学物理教案：抛物线的性质与应用一、抛物线的性质实践教案1.1 抛物线的定义与基本性质抛物线是二次函数的图像，具有特殊的几何性质和应用价值。
在数学中，我们常用一般式方程 y=ax^2+bx+c （其中a≠0 ）来描述抛物线。
在这个教案中，我们将重点探讨抛物线的性质与应用。
首先，我们来介绍抛物线的基本性质。
抛物线的对称轴与 x 轴平行，方程形式为 x= -b/2a。
对称轴上的点称为抛物线的顶点，也是对称中心。
通过点对称性，可以得出抛物线关于顶点对称。
抛物线在顶点处取得最值，当 a>0 时，最小值为 -D/4a；当 a<0 时，最大值为 -D/4a。
其中 D=b^2 - 4ac 称为方程的判别式。
抛物线的开口方向由 a 的正负决定，当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。
1.2 抛物线的性质之焦点与准线接下来，我们将讨论抛物线的焦点和准线。
对于给定的抛物线，焦点F（p, q）是位于对称轴上的一个点，满足距离的性质：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到准线上的相应点的距离。
准线是过焦点 F 且垂直于对称轴的一条直线，其方程为 y=-(D/4a)。
我们可以利用这一性质来确定焦点的坐标，通过解方程组将焦点的坐标表示为（p, q）=（-b/2a, -D/4a）。
二、抛物线的应用实践教案2.1 抛物线的应用之物体运动轨迹抛物线不仅在数学领域有重要性质，而且在物理学中也具有广泛的应用。
抛物线可用于描述和分析物体在自由落体或斜抛运动中的轨迹。
在物理学中，我们知道自由落体运动是指只受重力作用的运动。
当一个物体以初速度 v₀进行向下抛掷时，其运动轨迹可以用抛物线来描述。
根据抛物线的性质，我们可以计算物体的最高点、最大高度以及落地点等重要信息。
2.2 抛物线的应用之天体运动除了物体运动轨迹外，抛物线还可以用于描述天体的运动。
在天文学中，行星、卫星和彗星等天体在星际空间中的运动轨迹往往呈现出抛物线形状。
教学设计1：2.4.2抛物线的几何性质
2．4.2抛物线的几何性质◆知识与技能目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．◆情感，态度与价值观目标（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
◆能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力◆教学过程一.复习引入抛物线的定义及标准方程二.思考分析一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点．问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对．问题3：抛物线有渐近线吗？提示：没有．三.抽象概括1．抛物线的简单几何性质2．焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F 的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P (x 0，y 0)，焦点弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表：1．抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线． 2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．3．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同． 4．抛物线的离心率e ＝1(定值)．5．抛物线方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离．由方程y 2＝2px (p ≠0)知，对同一个x ，p 越大，|y |也越大，说明抛物线开口越大．6．抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支． 四.例题分析及练习[例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路点拨] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[精解详析] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.[感悟体会] 用待定系数法求抛物线方程的步骤：训练题组11．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝±3yB ．y 2＝±6xC ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y【解析】依题意知抛物线方程为x 2＝±2py (p >0)的形式， 又p2＝3，∴p ＝6,2p ＝12，故方程为x 2＝±12y . 【答案】C2．平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．【解析】线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0， 与x 轴的交点为(54，0)，∴抛物线的焦点为(54，0)，∴其标准方程是y 2＝5x .【答案】y 2＝5x[例2] 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[思路点拨] 先证明x 轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长． [精解详析] 如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2. 又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p .∴|AB |＝2y 1＝43p .[感悟体会] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A ，B 两点关于x 轴对称．另外，抛物线方程中变量x ，y 的范围也是常用的几何性质．训练题组23．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．42【解析】双曲线的方程可化为x 23－y 2p216＝1，∴双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)． 又∵抛物线的准线为x ＝－p2，所以由题意得－ 3＋p 216＝－p 2， 解得p ＝4. 【答案】C4．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．【解】如图，设等腰直角三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上． 根据抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称． 由题意得A (2,2)在抛物线y 2＝2px 上， ∴p ＝1，抛物线的方程为y 2＝2x .[例3] 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．[思路点拨] 由弦所在直线经过焦点(1,0)，且弦长为36，可知直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可．[精解详析] ∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零． 故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， ∴直线的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)． ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k2＋2.又|AB |＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24.∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)． [感悟体会] 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．训练题组35．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A.254 B.252 C.258D ．25【解析】抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l 的方程为y ＝43(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －2)，y 2＝8x ，得B 点的坐标为(12，－2)．∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252.∴AB 的中点到准线的距离为254. 【答案】A6．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．【解】当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，如图．直线的方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p . 将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x . 五.课堂小结与归纳1．抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个．2．涉及抛物线的焦点弦问题，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．六.当堂训练1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x【解析】显然由准线方程x ＝－2，可知抛物线焦点在x 轴正半轴上，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .【答案】C2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)【解析】由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上．而F (14，0)，所以P 点的横坐标为18.代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)．【答案】B3．线段AB 是抛物线的焦点弦，F 为抛物线焦点．若A ，B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【解析】法一：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，AB 的方程为x ＝my ＋p 2.消去x 得y 2－2my －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2. 又A 1(－p 2，y 1)，B 1(－p 2，y 2)，F (p2，0)，∴1A F ＝(p ，－y 1)，1B F ＝(p ，－y 2)， 则1A F ·1B F ＝p 2＋y 1y 2＝0，即∠A 1FB 1＝90°. 法二：如图所示，∵|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， ∴∠1＝∠2，∠5＝∠6. 又∵AA 1∥BB 1∥x 轴， ∴∠1＝∠3，∠6＝∠4， ∴∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝2(∠3＋∠4)＝180°， ∴∠3＋∠4＝90°，即∠A 1FB 1＝90°. 【答案】C4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)【解析】圆心到抛物线准线的距离为p ，即4，根据已知只要|FM |>4即可．根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2.由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．【答案】C5．设点A 是抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，点M 是线段AB 的中点．若|AB |＝3，则M 到直线x ＝－1的距离为________．【解析】由题意知点B 即为抛物线的焦点， 直线x ＝－1即为抛物线的准线，如图．∵|AB |＝3，∴|AA ′|＝3.又|BB ′|＝2，MM ′即为梯形BB ′A ′A 的中位线，∴|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝52.【答案】526．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．【解析】抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52， 因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.【答案】727．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是5，求此抛物线的方程．【解】如图，设直角三角形为AOB ，直角顶点为O ，AO 边的方程为y ＝2x ， 则OB 边的方程为y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得A 点坐标为(p 2，p )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，得B 点坐标为(8p ，－4p )． ∵|AB |＝53， ∴(p ＋4p )2＋(p2－8p )2＝5.∵p >0，解得p ＝21313，∴所求抛物线方程为y 2＝41313x .8．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程．【解】由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称． 设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F (p2，0)．由题意知AF ⊥OB ， 则有y x －p 2·－y x ＝－1.∴y 2＝x (x －p2)，2px ＝x (x －p2)．∴x ≠0.∴x ＝5p2.∴直线AB 的方程为x ＝5p2.。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。
2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。
3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。
教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。
2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。
3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。
步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。
b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。
d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。
步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。
2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。
步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。
2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。
3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。
步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。
2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。
教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。
2. 抛物线的图像和实例题目。
教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。
2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。
2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。
备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案教案：抛物线的简单几何性质一、教学目标：1.了解抛物线的定义和基本性质；2.掌握抛物线的几何特征，如顶点、焦点和准线等；3.能够在实际问题中应用抛物线的几何性质。
二、教学准备：1.教师准备：教材、黑板、白板、粉笔/白板笔；2.学生准备：纸、铅笔、直尺、计算器。
三、教学过程：1.导入（10分钟）：教师向学生介绍抛物线的定义，即平面上离一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离之比等于一个常数（离心率）的点的轨迹。
2.探究抛物线的性质（30分钟）：a)定义性质教师和学生一起探究抛物线的核心性质：(1)焦点离抛物线准线的距离等于焦点离顶点的距离；(2)抛物线关于准线对称；(3)抛物线拱点所在的直线过抛物线的焦点。
b)几何特征(1)顶点：抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，是抛物线的对称中心。
(2)焦点：焦点是抛物线离心率的定位点，也是抛物线的最高点或最低点离焦点最近的点。
(3)准线：准线是与抛物线平行且位于焦点上方的一条水平线。
c)抛物线方程教师给出标准抛物线方程y = ax² + bx + c，并与学生一起通过几何特征推导出方程的性质，如顶点坐标、焦点坐标、离心率等。
3.练习与应用（40分钟）：a)练习题学生完成一些关于抛物线的基本计算练习题，以加深对抛物线几何性质的理解。
b)实际应用学生在教师的指导下，应用抛物线的几何性质解决一些实际问题，例如求解最优路径、抛物线天花板设计等。
4.小结与评价（10分钟）：教师对本节课内容进行小结，并对学生的学习情况进行评价。
四、教学反思：通过本节课的教学活动，学生可以深入了解抛物线的几何性质，并能够应用这些性质解决实际问题。
为了培养学生的实际应用能力，教师可以增加更多的实际应用案例，并提供丰富的练习题目供学生练习。
为了提高教学效果，教师还可以在课堂中使用多媒体教学工具，如电子白板或投影仪，展示抛物线的几何特征和应用案例的图像。
在教学过程中，教师应该多与学生进行互动，引导学生发现问题并提出自己的解决思路。
《抛物线的几何性质》教案(公开课)
《抛物线的几何性质》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．) 3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答．四、教学过程(一)复习1．抛物线的定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．(二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．填写完毕后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了．(三)应用举例为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点程是y2=4x．后一部分由学生演板，检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况．第一象限内的几个点的坐标，得：(2)描点作图描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(如图2-33)．例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4．因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意在抛物线上且|MF|=5，故本例小结：(1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式：设P(x0，这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p(详见课本习题)．例3 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B 两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．综合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，本例小结：(1)涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．(2)本例命题1是课本习题中结论，要求学生记忆．(四)练习1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值．由学生练习后口答．由焦半径公式得：|AB|=x1+x2+p=82．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．请一同学演板，其他同学练习，教师巡视．证明：可设抛物线方程故抛物线y2=2px与平行于其轴的直线只有一个交点．(五)全课小结1．抛物线的几何性质；2．抛物线的应用．五、布置作业1．在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标．2．有一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上，另一顶点在原点，求这个三角形的边长．3．图2-35是抛物线拱桥的示意图，当水面在l时，拱顶高水面2m，水面宽4m，水下降11m后，水面宽多少？4．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切．作业答案：3．建立直角坐标系，设拱桥的抛物线方程为x2=-2py，可得抛物线4．由抛物线的定义不难证明六、板书设计。
抛物线的几何性质教案
2.4.2《抛物线的几何性质》教案新泰一中李光红【教学目标】1.抛物线的性质及其灵活运用；2.抛物线的定义在求解最值问题中的运用.【导入新课】复习导入1.抛物线的定义；2.抛物线的方程的推导.自主预习1.抛物线的几何性质(1) 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2) 抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3) 抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．具体归纳如下表：特征：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1.合作探究题型一：由抛物线的几何性质求抛物线方程例1. 已知抛物线关于x 轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点M(2, -), 求它的标准方程.思考:对于上例中,若对称轴不确定时,应如何考虑?变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：从方程形式上看，求抛物线标准方程只需确定一个待定系数p ，但在实际问题中要根据草图对开口方向和p 进行讨论。
题型二：直线与抛物线相交的弦长问题例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.解：抛物线的焦点 F(1 , 0), 1l y x =-直线的方程为：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩121233 22x x y y ⎧⎧=+=-⎪⎪⇒⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩或AB ==8思考:若上例中的直线不与x 轴垂直时,应如何处理?变式练习：斜率为1的直线经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线交于两点A 、B ，求线段AB 的长.（思考用不同方法求解）引申：直线l 经过抛物线px y 22=（0>p ）的焦点交抛物线于A （11,y x ）、B ()22,y x 两点，则线段AB 的长度为 （用含p x x ,,21的式子表达）。
教案抛物线的几何性质
抛物线的几何性质教学目标：1. 理解抛物线的定义和基本性质；2. 学会如何绘制和识别抛物线；3. 掌握抛物线的焦点、准线和顶点等几何性质；4. 能够应用抛物线的几何性质解决实际问题。
教学内容：第一章：抛物线的定义与方程1.1 抛物线的定义1.2 抛物线的标准方程1.3 抛物线的开口方向与焦距第二章：抛物线的绘制与识别2.1 抛物线的绘制方法2.2 抛物线的识别方法2.3 抛物线的对称性第三章：抛物线的焦点与准线3.1 焦点与准线的定义3.2 焦点与准线的关系3.3 焦点与准线的性质第四章：抛物线的顶点与对称轴4.1 顶点的定义与性质4.2 对称轴的定义与性质4.3 顶点与对称轴的关系第五章：抛物线的切线与法线5.1 切线的定义与性质5.2 法线的定义与性质5.3 切线与法线的关系教学过程：一、引入新课1. 通过展示一些实际生活中的抛物线现象，引发学生对抛物线的兴趣；2. 引导学生思考抛物线的特点和性质，激发学生的探究欲望。
二、教学内容的讲解与演示1. 使用PPT或板书，讲解抛物线的定义与方程，并通过图形进行演示；2. 讲解抛物线的绘制与识别方法，引导学生进行实践操作；3. 通过示例，讲解焦点与准线的性质，并引导学生进行实际计算；4. 讲解顶点与对称轴的性质，并引导学生进行实际计算；5. 讲解切线与法线的性质，并引导学生进行实际计算。
三、课堂练习与讨论1. 布置一些有关抛物线几何性质的练习题，让学生独立完成；2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和解题方法；3. 邀请学生上台展示和讲解自己的解题过程，给予肯定和指导。
四、总结与拓展1. 对本节课的教学内容进行总结，强调重点和难点；2. 提出一些与抛物线几何性质相关的拓展问题，激发学生的思考；3. 鼓励学生在课后进行进一步的探究和深入学习。
教学评价：1. 通过课堂讲解、演示和练习，评价学生对抛物线几何性质的理解程度；2. 通过课堂讨论和展示，评价学生的合作能力和表达能力；3. 通过课后拓展问题和作业，评价学生的探究能力和深入学习的能力。
抛物线的几何性质教案
2.42 抛物线的几何性质（一）教师：陈娟 单位：芜湖市火龙岗中学课型：新授课 课时：两课时 教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握抛物线的几何性质（2）能运用抛物线的方程推导出他的几何性质 （3）能利用抛物线的几何性质求解抛物线方程 2、过程与方法由椭圆与双曲线的几何性质对比引出抛物线几何性质的学习，通过类比、归纳、总结及数形结合的方法分析抛物线的几何性质，由例题及练习讲解巩固抛物线几何性质的运用。
3、情感态度价值观让学生感受数形结合的方法优势，学会用类比、归纳的方法进行新旧知识的迁移，激发学生的学习兴趣，提高学生的综合能力。
教学重难点教学重点：抛物线的几何性质教学难点：正确的根据抛物线的方程讨论曲线的几何性质，注意椭圆、双曲线、抛物线的性质的区别与联系教学过程一、复习回顾，引出新课1、前面几节课我们分别从哪几个方面讨论圆锥曲线的几何性质的？ （范围、对称点、顶点、离心率四个主要方面）2、双曲线的几何性质与椭圆相比有哪些特别的地方？ （离心率的范围、范围、渐近线）那么抛物线的几何性质又是怎样的呢？ 二、启发诱导，教授新课 设抛物线的方程为2(0)y px p =>1、范围20y > 20px ∴> 又0p >∴0x ≥ y R ∈图象位置: y 轴右侧 y 的值随x 的值的增大而增大 2、对称性设00(,)M x y 是上任一点，有2002y px =（1）100(,)M x y - 20()y -=2002y px = ∴100(,)M x y -在抛物线上1M 与M关于x 轴对称 因此，抛物线关于x 轴对称（2）200(,)M x y - 2002y px = 02()p x -=02px -又0022px px ≠- ∴2M 不在抛物线上 因此，抛物线不关于y 轴对称 （3）300(,)M x y -- 22000()2y y px -== 02()p x -=02px - 又0022px px ≠- ∴2M 不在抛物线上 因此，抛物线不关于原点对称 3、顶点令0x = 即220y px == ∴ 0y = 因此，抛物线的顶点是（0,0） 4、离心率（1）思考：用离心率的定义式可以求出抛物线的离心率吗？（2）抛物线离心率的定义：抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离之比所以，有抛物线的定义知，抛物线的离心率为常数1 三、例题讲解，提炼方法例1、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并经过(2,M -，求它的标准方程.解析：解决此类问题的步骤通常是：（1）做判断，确定方程形式由“抛物线关于X 轴对称，它的顶点在坐标原点”及0m x >知焦点在x 轴正半轴（2）设方程为22y px =（3）找关系，列等式 由“抛物线经过M点”得22(22p-=⨯ （4）解方程，得结果 解得2p =思考：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，且过点M 的抛物线有几条？（提示：画图验证为两条24y x =与24x y =）自我演练：练习１（１）、（４）例2、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点(3,)M m 到焦点的距离那等于5，求抛物线方程和m 的值。
抛物线的几何性质教案
抛物线的几何性质教案抛物线的几何性质教案一、教学目标：1. 知识与技能：掌握抛物线的定义，了解抛物线的几何性质。
2. 过程与方法：通过观察实例、辨析图形等方式，培养学生的观察能力和分析能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对几何形状的兴趣，通过发现规律和解决问题的过程，提高学生的动手实践能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点：1. 教学重点：抛物线的定义，抛物线的几何性质。
2. 教学难点：通过具体实例推导抛物线的一般式方程。
三、教学过程：Step 1：导入新课1. 通过投射物体的实例，引出抛物线的定义并写在黑板上。
2. 引导学生观察抛物线的形状，并讨论抛物线的特点。
Step 2：抛物线的定义1. 提问：根据之前的观察，你能用自己的话解释一下什么是抛物线吗？2. 学生回答后，教师给出正确答案并进行解释。
3. 学生跟随教师的解释，将定义写在笔记本上。
Step 3：抛物线的性质1. 引导学生观察抛物线的对称性，并讨论抛物线的对称轴是什么。
2. 引导学生发现抛物线的定点，并解释为什么这些点在同一条直线上。
3. 教师引导学生用引例方法，用一个实际问题（如抛射运动）解释为什么会产生抛物线，引导学生探索抛物线的另外两个性质。
（如，抛物线在对称轴上的点到定点的距离相等，抛物线上任意一点到定点和对称轴的距离相等）Step 4：抛物线的一般式方程1. 教师提出具体实例，引导学生观察，并用抛物线的定义和已知条件推导出一般式方程。
2. 学生与教师一起完成推导过程，并将结果写在黑板上。
3. 学生跟随教师的推导过程，将结果写在笔记本上。
Step 5：练习与巩固1. 教师出示几个实例，并要求学生根据观察结果，写出相应的抛物线方程。
2. 学生进行练习，并相互检查和讨论结果。
四、教学反思：通过本节课的教学，学生们对抛物线的定义和几何性质有了初步的了解。
通过观察、探索的方式，激发了学生的兴趣，让他们在实践中感受到了数学的魅力。
在教学过程中，教师注重培养学生的观察能力和分析能力，通过引导学生发现规律和解决问题的过程，培养学生的动手实践能力和逻辑思维能力。
抛物线的几何性质教案
抛物线的几何性质教案教案内容：1. 知识目标：- 了解抛物线的定义和基本特征；- 掌握抛物线的焦点、准线和顶点的计算方法；- 理解抛物线的对称性和切线的性质。
2. 教学重点：- 抛物线的焦点、准线和顶点的计算方法；- 抛物线的对称性和切线的性质。
3. 教学难点：- 抛物线焦点、准线和顶点的计算方法的理解和运用；- 对称性和切线的性质的理解和应用。
4. 教学准备：- 抛物线的定义和基本性质的讲义或教材；- 几何工具：尺子、直角尺、铅笔、橡皮等。
5. 教学步骤：步骤1：引入抛物线的定义和基本性质（10分钟）- 提问学生是否了解抛物线的概念，并带领学生一起回顾抛物线的定义和基本性质；- 引导学生思考抛物线的几何性质以及与直线的关系。
步骤2：计算抛物线的焦点、准线和顶点（20分钟）- 通过几何工具和步骤演示，向学生展示如何计算抛物线的焦点、准线和顶点；- 解释计算方法的原理和推导过程。
步骤3：探究抛物线的对称性（15分钟）- 引导学生思考抛物线的对称性特点，通过举例以及几何工具，让学生发现抛物线的对称轴；- 解释对称轴的定义和特点，并举例说明对称轴的作用。
步骤4：认识抛物线的切线性质（15分钟）- 通过几何工具和步骤演示，向学生展示如何找到抛物线上的切线；- 解释切线的定义和性质，并通过实例让学生理解切线的应用。
步骤5：练习和拓展（10分钟）- 给学生一些练习题目，巩固和拓展所学内容；- 鼓励学生自主学习和探究更多与抛物线相关的问题。
6. 总结回顾：- 小结抛物线的几何性质，强调焦点、准线、顶点、对称性和切线的重要性和应用；- 鼓励学生积极思考和讨论，激发他们对几何学的兴趣。
7. 课堂作业：- 布置一些练习题目，让学生巩固和拓展对抛物线几何性质的理解和应用；- 鼓励学生提出自己关于抛物线的问题，促进他们思考和探索。
8. 教学反思：- 回顾教学过程，总结教学效果，重点回顾和巩固学生易错点；- 准备下节课的教学内容，思考如何更好地帮助学生理解和应用抛物线的几何性质。
教学设计2：抛物线的几何性质
《抛物线的几何性质》教学设计【教学目标】1.记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量；2.会简单应用抛物线的几何性质；3.强化数形结合的思想.【重点难点】抛物线的几种不同状态下的标准方程的几何性质和应用.【教学过程】（一）复习：(1)平面内，到定点F的距离与到定直线的距离比为常数的点的轨迹,(定点F不在定直线上)当01<<时,是______; 当时,是________; 当时,是________.e(2)抛物线的标准方程①开口向右②开口向左③开口向上④开口向下（3）基本量的几何意义.（二）新课讲解：归纳总结 (1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率是确定的，为１,（5）抛物线的通径为2P, 2p 越大，抛物线的张口越大.(三)例题讲解例1：求顶点在原点，焦点为F(5,0)的抛物线的方程。
例2：汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm ，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm 。
由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线。
为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？（精确到1mm ）（四）基础达标（1）已知点A (2,3)-与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是, 则（2）抛物线24y x =的弦AB 垂直轴，若|AB|=, 则焦点到AB 的距离为（3）已知直线2x y -=与抛物线24y x =交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 __(4)抛物线20(0)mx ny m n +=⋅≠的顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径长 ．(5)抛物线22y x =上的两点、到焦点的距离之和为5，则线段的中点的横坐标是 ．(6)若点(3,2)A ，点为抛物线22y x =的焦点，则使||||MA MF +取最小值的抛物线上点的坐标 ．(7)若抛物线的通径长为7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程．(8)点、是抛物线22y mx =上两点，垂直于这条抛物线的对称轴，且||5OP =，为坐标原点，||6PQ =，求的值．我的收获。
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教案抛物线的几何性质
§2.4.2 抛物线的几何性质
高二（1）班星期四第七节（11月15日） 郭
味纯
【目标】
1.掌握抛物线的的简单的几何性质；
2.能根据抛物线方程解决简单的应用问题
【重点】抛物线的几何性质及应用
【难点】抛物线性质的应用.
【程序】（附课件）
一. 问题情境：
▲1．复习抛物线的定义、标准方程及其推
导过程
二. 引入新知 探索新知
▲2. 问题1: 已知抛物线的标准方程是y 2
= －8x ，请画出它的大致图象。
问题2: 从画抛物线图象，感觉到应关注
抛物线哪些重要的几何性质？
Key ： 范围、对称性、.顶点和开口方向 ▲3. 对于抛物线)0(22>=p px y
１、范围： ， （即图象在y 轴的右侧）
２、对称性：关于X 轴对称（抛物线的对称轴叫抛物线的轴）；没有对称中心
（因此，抛物线又叫做无心圆锥曲线。
而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线.）
３.顶点和开口方向：
定义：抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点.
抛物线只有一个顶点
▲4.
填
空练习
▲5. 通径
问题1: 请同学们通过看课本P46中间那一段后,回答什么叫做抛物线的通径?
0≥x R y ∈
问题2: 方程中p 的变化对抛物线有什么影响?
三、例题与训练
▲6. 例 1 求顶点在原点,焦点为(5,0)F -的抛物线的方程.
Key ：220y x =- 变式：求顶点在原点, 焦点为 (0,6)F -的抛物线的方程..
Key ：224x y =-
▲7..练习 1 根据下列条件写出抛物线的标准方程
（
1）准线方程是32=y . Key ： 283
x y =- （2）焦点到准线的距离是
5.
Key ： 221010y x x y =±=±或 练习2．求以直线0632=+-y x 与坐标轴的交
点为焦点的抛物线的标准方程.
四．数学应用
▲8. 例 2. 汽车前灯的反光曲面与轴截
面的交线为抛物线，灯口直径为197mm ，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm ，由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光
线。
为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？（精确到1mm ）
▲9. 练习3．如图，一个抛物线
型拱桥，当水面离拱桥顶2m 时，水面
宽4m .若水面下降1m ，求水面宽度.
练习4．
（1）．抛物线
24x y =上一点M 到焦点的距离为1，则M 点的纵坐标是( B ) A.1617
B.
1615 C. 87
D.0
（2）（07高考广东卷理11)在平面直角坐
标系xoy 中,有一定点)1,2(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点, 则该抛物线的
准线方程是 45-=x . ▲10. 补充练习
求满足下列条件的抛物线的方程:
（1）顶点在原点，准线是x ＝4
（2）焦点是F(0,5), 准线是y=-5
（3）顶点在原点，焦点在x 轴上，过点A(-2,4)
（4）求顶点在原点,以x 轴为对称轴,且通径长为8的抛物线方程.
Key ：（1）x y 162-=；（2）y x 202=； （3）x y 82-=.（4）y 2=-8x 或y 2=8x.
五．课堂小结
六. 作业
课后练习: 课本P47, 练习第1-3题
课后作业: 课本P47, 习题2.4 第4，5，7 题
□后记：。