人教版九年级数学上册课件：第21章一元二次方程复习
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人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
（2）一元二次方程地二次项、二次项系数、一次项、一次 项系数、常数项等都是针对一般形式而言的。
（3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符 号
?
2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它 们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1）
2）（x-2）(x+3)=8
3)
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数：
3x(x 1) 5(x 2)
（1）一元二次方程地一般形式不是唯一地，但习 惯上都把二次项地系数化为正整数。
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
一元二次方程解的概念
❖方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根
例4 已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，
（3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符 号
?
2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它 们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1）
2）（x-2）(x+3)=8
3)
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数：
3x(x 1) 5(x 2)
（1）一元二次方程地一般形式不是唯一地，但习 惯上都把二次项地系数化为正整数。
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
一元二次方程解的概念
❖方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根
例4 已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，
九年级数学上册 第21章 一元二次方程小节与复习课件1 (新版)新人教版
C.没有实数根
b24ac 0
D.根的情况无法
3. 关于x的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的 值及该方程的根。
解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。
次项系数和次项系数．
回顾与复习 2
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
x1 a,x2 a
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0， x＝3/2或x=1.
下课了!
结束寄语
• 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型.
• 用列方程的方法去解释或解答一些 生活中的现象或问题是一种重要的 数学方程方法——即方程的思想.
一半的平方;
4.变形:化成(x m )2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
xb2b2a 4a.bc24a0 c.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 单元复习(一) 一元二次方程
A．16 B．24 C．16或24 D．48
16．(2020·山西)如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个 全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2 的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为__2___cm.
17．(大连中考)某村2016年的人均收入为20000元， 2018年的人均收入为24200元． (1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率； (2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同， 请你预测2019年该村的人均收入是多少元？ 解：(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意得 20000(1＋x)2＝24200，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去).答： 2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10% (2)24200×(1＋10%) ＝26620(元).答：预测2019年该村的人均收入是26620元
解：(1)Δ＝16－4(k＋1)＝16－4k－4＝12－4k≥0，∴k≤3 (2)由题意可知：x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1，∵x31 ＋x32 ＝x1x2－4， ∴3（xx11＋x2x2） ＝x1x2－4，∴k3×＋41 ＝k＋1－4， ∴k＝5 或 k＝－3，由(1)可知 k≤3，∴k＝－3
15．(2020·黔东南州)若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程 x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为( B)
此方程可变形为( A )
A．(x＋2ba )2＝b2－4a42ac
B．(x＋2ba )2＝4a4c－a2 b2
C．(x－2ba )2＝b2－4a42ac
D．(x－2ba )2＝4a4c－a2 b2
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级数学上册《21一元二次方程 公式法 课件
将a，b，c 代入式子
x b
b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公
式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式
可知，一元二次方程最多有两个实数根.
注意 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
探究新知
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
典例精析
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，
则b2-(4a2c)>20，4同k 时0要求二次项系数不为0，
即
，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
∴方程有两个相等的实数根．
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
(3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程有两个相等的实数根．
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程PPT教学课件
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
(1) x2=4 (2) x2=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得
(3) x2+1=0
x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
探究归纳
一般的，对于可化为方程 x2 = p, 的实数根 x1 p ， x2 p ；
c 称为常数项.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、
c 可以为零吗？ 当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
含两个未知数
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（C ）
1 A.x 2 0 不是整式方程 B. 3x 2 5 xy y 2 0 x C. ( x 1)( x 2) 0 D. ax 2 bx c 0
根
使方程左右两边相等的
未知数的值.
课后作业
见《学练优》本课时练习
九年级数学上（RJ） 教学课件
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
(1) x2=4 (2) x2=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得
(3) x2+1=0
x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
探究归纳
一般的，对于可化为方程 x2 = p, 的实数根 x1 p ， x2 p ；
c 称为常数项.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、
c 可以为零吗？ 当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
含两个未知数
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（C ）
1 A.x 2 0 不是整式方程 B. 3x 2 5 xy y 2 0 x C. ( x 1)( x 2) 0 D. ax 2 bx c 0
根
使方程左右两边相等的
未知数的值.
课后作业
见《学练优》本课时练习
九年级数学上（RJ） 教学课件
人教版九年级数学上第21章一元二次方程复习课课件(35张ppt)
x1x2+x2=1-a,所以 2 即 3a 1 - 2a =1-a,
a
=1-a, a－1 解得a1=1,
a
a a a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根 ,不合题意,舍去.
所以a=-1.
a
主题4 一元二次方程的应用 【主题训练4】某校为 培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
5
【主题升华】 根的判别式的应用 1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ =b2-4ac的符号.
(1)当Δ =b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ =b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ =b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2
2
1 2
3 2
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: ×3, 1 2 +4n=21 3 ( n n) 2 n =7,n 2 解得 =-18(不合题意,舍去).
1 2
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系.
第二十一章
一元二次方程复习课
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
一元二次方程及根的有关概念 +4x+5=0是关于x ) D.无法确定
a
=1-a, a－1 解得a1=1,
a
a a a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根 ,不合题意,舍去.
所以a=-1.
a
主题4 一元二次方程的应用 【主题训练4】某校为 培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
5
【主题升华】 根的判别式的应用 1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ =b2-4ac的符号.
(1)当Δ =b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ =b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ =b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2
2
1 2
3 2
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: ×3, 1 2 +4n=21 3 ( n n) 2 n =7,n 2 解得 =-18(不合题意,舍去).
1 2
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系.
第二十一章
一元二次方程复习课
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
一元二次方程及根的有关概念 +4x+5=0是关于x ) D.无法确定
九年级数学上册 第21章 一元二次方程复习课件 (新版)新人教版
我们把代数式b2 4ac叫做方程ax2 bx c 0a 0的
根的判别式.用""来表示.即 b2 4ac.
第十一页，共38页。
回顾与反思
判别式逆定理 若方程有两个(liǎnɡ ɡè) 不相等的实数根,则b24ac＞0 若方程有两个 相等(xiāngděng)的实数根,则 b2-4ac=0
2x2 35x 123 0,
解得 :
x1
3;
x2
41 (不合题意,舍去). 2
答 :小路的宽度为3m.
第二十六页，共38页。
几何(jǐ hé)与方程
例2. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地 (gēng〃dì)上挖三条水渠,水渠的宽度都相等. 水渠把耕地(gēng〃dì)分成面积均为885m2 的6个矩形小块,水渠应挖多宽.
第一页，共38页。
1.一元二次方程的概念(gàiniàn)
只含有一个未知数，并且(bìngqiě)未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般(yībān) 形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 b的x 形c 式 0,我们把
ax2 bx c 0
解 : 设这个两位数的个位数字为x,根据题意,得
105 x x10x 5 x 736.
整理得x2 5x 6 0.
解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3,或5 x 5 3 2. 答 : 这两个数为32或23.
第二十五页，共38页。
2.几何(jǐ hé)与方程
3.公式(gōngshì) 法
一般(yībān)地,对于一元二次方程 a当x2b+2 bx4+acc=00(时a≠,它0的)根是 :
人教版九年级数学上册 第21章 一元二次方程复习课件(共25张PPT)
2018/6/30
判别式的用处
1.不解方程.判别方程根的情况, 2.根据方程根的情况,确定方程中待定常数 的值或取值范围, 3.进行有关的证明,
2018/6/30
一元二次方程根与系数的关系 设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个根,则有
x1+x2=
b a
,
x1x2=
2018/6/30
本章知识结构图
实际问题
设未知数，列方程
数学问题 2 ax bx c 0 a 0
配方法 公式法
解 方 程
降 次
检验
因式分解 法
实际问题的答案
2018/6/30
数学问题的解
b b2 4ac 2 x b 4ac≥0 2a
定义及一般形式:
二次 只含有一个未知数,未知数的最高次数是______
整 的___式方程 ,叫做一元二次方程。
一般形式:
ax2+bx+c=o (a≠o)
.
2018/6/30
1.直接开平方法
对于形如ax2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥o)的方程可以 用直接开平方法解
解方程： （1） 3 (x
（2）
c a
.
2018/6/30
回顾与复习 5
解应用题
列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
人教版数学九上21.2《解一元二次方程》(配方法)ppt课件
方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使 左边配成一个完全平方式
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？ （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项 系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 ； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方 求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？ （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项 系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 ； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方 求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫
人教版九年级数学上册课件：第二十一章一元二次方程复习
(2).当△ = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即 k 9 8
(3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即 K＜ 9
8
说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般情势，再算 出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出 待定系数的取值范围
例3、已知m为非负整数，且关于x的方程 ：
6 2x1 5
x1
3 5
又
3 5
2
k 5
k
5
3 5
2
7
所以，方程的另一根是 3，k的值是 7。 5
证明:
1、设关于x 方程 x2 2mx 2m 4 0 ，证明，
不论m为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。
2、用配方法证明：关于x的方程（m²-12m +37）x ²+3mx+1=0， 无论m取何值，此方程都是一元 二次方程
练习：用最好的方法求解下列方程
1、（3x -2）²-49=0 解： （3x-2）²=49
2、（3x -4）²=（4x -3）² 解：
3、4y = 1 -
3 2
y²
3x -2=±7 法一3x-4=±（4x-3）
解：3y²+8y -2=0
x= 2 7
x1=3，x2=
-
5 3
3
3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 b²- 4ac
例3:某印刷厂一月份印刷了科技书50 万册，第一季度共印182万册，问二、 三月份平均每月的增长率是多少？
解:设平均每月增长率是x 50+50(1+x)+50(1+x)²=182
1+1+x+ (1+x)²=3.64 2+X+1+x2²x++3xx²==03..6644
(3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即 K＜ 9
8
说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般情势，再算 出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出 待定系数的取值范围
例3、已知m为非负整数，且关于x的方程 ：
6 2x1 5
x1
3 5
又
3 5
2
k 5
k
5
3 5
2
7
所以，方程的另一根是 3，k的值是 7。 5
证明:
1、设关于x 方程 x2 2mx 2m 4 0 ，证明，
不论m为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。
2、用配方法证明：关于x的方程（m²-12m +37）x ²+3mx+1=0， 无论m取何值，此方程都是一元 二次方程
练习：用最好的方法求解下列方程
1、（3x -2）²-49=0 解： （3x-2）²=49
2、（3x -4）²=（4x -3）² 解：
3、4y = 1 -
3 2
y²
3x -2=±7 法一3x-4=±（4x-3）
解：3y²+8y -2=0
x= 2 7
x1=3，x2=
-
5 3
3
3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 b²- 4ac
例3:某印刷厂一月份印刷了科技书50 万册，第一季度共印182万册，问二、 三月份平均每月的增长率是多少？
解:设平均每月增长率是x 50+50(1+x)+50(1+x)²=182
1+1+x+ (1+x)²=3.64 2+X+1+x2²x++3xx²==03..6644
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程PPT复习课件
2＋1 m 所以当m＝－1时，方程(m－1)x ＋2mx＋3＝0
是关于x的一元二次方程．
将x＝－1代入ax2＋bx＋c＝0，得a－b＋c＝0
2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1， 且a ＝
4－c ＋ c－－ 4 2，求
2020 （a＋b） 2019c 的值．
4－c≥0，c －4≥0，
x1＋x2＝－2a， x1x2＝ a2＋4a－2
解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2a)2－4(a2＋4a－2)≥0，∴a≤
1 . 2
又∵x1＋x2＝－2a，x1x2＝a2＋4a－2，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2(a－2)2－4.
1 ，∴当a＝ 2 1 2＋x 2的值最小． ∵ a≤ 时， x 1 2 2 2 1 1 2 2 此时x1 ＋x2 ＝2× －2 － 4＝ . 2 2 1 2 2 即x1 ＋x2 的最小值为 . 2
(4)(10＋x)(50－x)＝800； 解： －x2＋40x－300＝0 x2－40x＋300＝0 (x－10)(x－30)＝0
x－10＝0或x－30＝0
∴x1＝10，x2＝30.
(5)【中考· 山西】(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
解： 4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7
x2－6x＋8＝0， (x－2)(x－4) ＝0，
7．【中考· 赤峰】如图，一块长5 m、宽4 m的地毯，
为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影
部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个 地毯面积的 .
17 配色条纹的面积＝5×4× 80
17 80
横条纹的面积＝5x×2 竖条纹的面积＝(4－2x)x×2
(1)求配色条纹的宽度； 解：设配色条纹的宽度为x m，依题意得
是关于x的一元二次方程．
将x＝－1代入ax2＋bx＋c＝0，得a－b＋c＝0
2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1， 且a ＝
4－c ＋ c－－ 4 2，求
2020 （a＋b） 2019c 的值．
4－c≥0，c －4≥0，
x1＋x2＝－2a， x1x2＝ a2＋4a－2
解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2a)2－4(a2＋4a－2)≥0，∴a≤
1 . 2
又∵x1＋x2＝－2a，x1x2＝a2＋4a－2，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2(a－2)2－4.
1 ，∴当a＝ 2 1 2＋x 2的值最小． ∵ a≤ 时， x 1 2 2 2 1 1 2 2 此时x1 ＋x2 ＝2× －2 － 4＝ . 2 2 1 2 2 即x1 ＋x2 的最小值为 . 2
(4)(10＋x)(50－x)＝800； 解： －x2＋40x－300＝0 x2－40x＋300＝0 (x－10)(x－30)＝0
x－10＝0或x－30＝0
∴x1＝10，x2＝30.
(5)【中考· 山西】(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
解： 4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7
x2－6x＋8＝0， (x－2)(x－4) ＝0，
7．【中考· 赤峰】如图，一块长5 m、宽4 m的地毯，
为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影
部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个 地毯面积的 .
17 配色条纹的面积＝5×4× 80
17 80
横条纹的面积＝5x×2 竖条纹的面积＝(4－2x)x×2
(1)求配色条纹的宽度； 解：设配色条纹的宽度为x m，依题意得
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5.开平方，求解
当堂训练二：
2.请用配方法试着解一解：
2x2 – 4x – 6 = 0
★方法点拨：
一化、二移、三配、四开、五解.
用公式法解一元二次方程的步骤是: 1.必须先将方程化为一般形式: ax2+bx+c=0(a≠0).
2. 计算b2-4ac（△），判断方程根的情况：
当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根 当b2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根 当b2-4ac＜0时，方程没有实数根 3.代入公式计算：
称为一元二次方程的一般形式，其中: 一次项c称为_______; 二次项 称为_______; ax²称为_______;bx 常数项 a、b分别称为 和 ． 二次项系数 一次项系数
方法点拨：判断一个方程是不是一 元二次方程必须先化简整理，再根 据定义的三要素判断。 1、判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一 元二次方程，请说明理由？
当堂训练一：
1、(x－1)２＝４
3 、 x 2+
√ × × ×
２、x2－2x=8
４、x２＝y+１ 6、ax2 + bx + c＝１ 8、(x+1)2=x2－9
√
1 ＝１ x
×
× ×
5、x３－２x２＝１
7、 x 1 =2
2
2、一元二次方程2x2-3x-2=x+1的二次项系数
是
2
,一次项系数是 -4 ,常数项是
期末复习课 第二十一章 一元二次方程
昨天不可复制却可传承，温故知新铸精彩今天！
复习目标：
1.会用一元二次方程及其相关概念解决相关问题； 2.会灵活运用四种方法解数字系数的一元二次方程。
自主梳理：（时间3分钟）
浏览课本P2—P14，请将你觉得重要或者遗忘 的知识点回顾一遍。
知识点一： 一元二次方程的概念 1．一元二次方程：化简后只含有 一 个未知数， 二 方程。 整式 并且未知数的最高次数为 次的 2.我们把________________________________ ax² +bx+c=0(a、b、c为常数，且a≠0）
1 + 2y =0 2
)
1 2 B. X = 0 2 D.x2 + 4 - 5 =0
x
2. 用适当的方法解下列方程：
①
-1 40 x 3x
2
②
x x 6 2 x 6
+m+1=0有两个相
3.若关于x的方程x2 - 2mx 等的实数根，求m的值。
课外延展
要求：请同学们分小组制作，小组长做好组内 成员分工，下节课分小组展示成果。
知识点二：
一元二次方程的解法 你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
公式法
配方法
因式分解法
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)法试着解一解：
① 3x² =1 ② (x－1)２＝４
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形:化成 ( x + m ) 2 = a
-3 .
方法点拨：确定一元二次方程项的系数，必 须将方程化为一般形式，注意带上符号。
3、若方程 (m 2) x
m2 2
(m 1) x 2 0
-2 。 是关于x的一元二次方程，则m的值为______
方法点拨：此类型的题要用到分类讨论思想， 既要考虑未知数的最高次是2次，还要考虑二 次项系数不能为0.
当堂训练二：
4.请用因式分解法试着解一解：
2 3x =4x
★方法点拨：
一移、二分、三化、四解
今天的目标你达到了吗？
1.会用一元二次方程及其相关概念解决相关问题；
2.会灵活运用四种方法解数字系数的一元二次方程。
当堂检测
1.下列方程中,一定是一元二次方程的是(
A.ax2 C.3x2 + bx + c=0
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
2
当堂训练二：
3.请用公式法试着解一解：
★方法点拨： 一化、二判、三代、四解
1.用因式分解法的条件是: 方程左边能够因式分解,而右边等于零; 2.理论依据是: 如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零 . 3.因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;