第四讲 压电振子及其振动模式

弹簧振子
弹簧振子的振动方程为：
k m F
d x dx m 2 +B + kx = F dt dt
阻尼系数
2
压电振子的等效电路：
1 di idt = U L1 + R1i + ∫ dt C1
5
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3.4.2 振动方程
压电振子在谐振频率附近的等效导纳：
Y= 1 R1 + jωL1 + 1 jωC1 + ωC 0
2 33
Z w
1 s = 2 2 4ρL f 2
D 33
P,E
L Y
s s = 2 1 − k33
E 33
E d33 = k33 εT s 33 33
D 33
X
19
k /(1 − k ) =
2 31 2 31
π f2
2 f1
tan
π ∆f
2 f1
∆ f = f2 – f1
E T d 31 = k31 s11 ε 33
其中f1为谐振频率，f2为反谐振频率
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3.4.4 压电振子的振动方程
利用等效阻抗求解压电常数的方法
1E7 100
f2
Impedance (Ω)
(0) 1 (0) m 1
14
1 ∂u x = − wt m E s11 ∂x
3.4.4 压电振子的振动方程
31模式压电振子
• 根据自由边界条件： F1( 0 ) = F1( l ) = 0
E lw T 2 tan(ωl s11 ρ / 2) 2 ] Y = I 3 / V = jω ε 33 [k 31 + 1 − k 31 E t ωl s11 ρ /2
n =1
∞
fn =
nv ( n = 1,2,3,...) k n l = nπ ( n = 1,2,3,...) 2l
9
3.4.3 弹性体的振动方程
一维弹性体的振动方程
• 相当于驻波形式，两列方向相反横波的叠加； • 自由条件下，弹性体的振动频率只能为其谐振频率； • 受迫振动时，弹性体的振动频率与外力（电）频率相同；
∂ 2u x ∂T1 ρ 2 dxdydz = dxdydz ∂x ∂t
S1 = ∂u x ∂x
∂S1 ∂x = ∂ 2 u x ∂x 2
E v E = 1 / s11 ρ
12
∂u x 1 ∂ 2 u x d 31 ∂E3 1 ∂ 2u x E 2 ∂u x = E − E = E = (v ) 2 2 2 ∂t s11ρ ∂x s11ρ ∂x s11ρ ∂x ∂x 2
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3.4.3 弹性体的振动方程
一维弹性体的振动方程
∂ 2u ρ ∂ 2u 1 ∂ 2u = = 2 2 2 2 ∂x c ∂t v ∂t
利用边界条件（自由振动），求解上述方程：
∂u / ∂x x =0 = 0 ∂u / ∂x x =l = 0
解得：
u (t , x ) = ∑ An cos k n x cos(ωn t − ϕ n )
31模式压电振子
d 31 ZE ZE v1 − v2 + E Vw F = − wt T − d 31 E3 = j sin( Kl ) s11 x =0 j tan( Kl ) d 31 1 ∂u x ZE ZE (l ) (l ) v1 − v2 + E Vw F2 = − wt mT2 = − wt m E − d 31 E3 = j tan( Kl ) s11 s11 ∂x x =l j sin( Kl ) 2 l l jd w d − V V T 31 31 ( ) ( ) v v j wl I 3 = w∫ jωD3 dx = d 31 wjω∫ T1dx + wjωlεT = − + ω ε − 33 1 2 33 E E 0 0 tm tm s11 s11
f2
Impedance (Ω)
80 60
3.4.3 弹性体的振动方程
一维弹性体的振动方程
x点处平面的力为：
∂u Fx = Sc ∂x
微元Sdx所受的力为：
x
∆x
dFx = Fx + dx
∂ 2u ∂F dx = Sc 2 dx − Fx = ∂x ∂x
根据牛顿第二定理，有：
∂ 2u ∂ 2u ρSdx 2 = dFx = Sc 2 dx ∂t ∂x
+ + + +
-
-
-
-
3
3.4.1 压电振子介绍
压电振子的激励 • 利用压电效应激励，给振子施加交变电场； • 按照激励方式，有31，33，15等模式； • 问题1：对于4mm点群晶体，如果施加3方向电 场，会产生几种振动模式？ • 问题2：在上面情况中，如何区分不同的振动 模式？
4
3.4.2 振动方程
1000000 100000
80
40 20 0 -20
10000
f1
150000 200000
-40 -60 -80 -100
1000 250000
Frequency (Hz)
18
Phase angle (deg.)
60
3.4.4 压电振子的振动方程
33模式压电振子
π f1 π ∆f k = tan 2 f2 2 f1
参考
《压电学》孙慷 张福学 主编 国防工业出版社 1984年
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3.4.4 压电振子的振动方程
利用等效阻抗求解压电常数的方法
X 首先可在低频下测得此样品的电容，然后根据下式算出 ε 33
X = ε 33
Ct A
其中t为样品厚度，A为样品面积
再由等效电路可得： 1 E S11 = 2 4ρL2 f1
振子的低频电容 代表机械损耗 由振子压电特性及尺寸决定
6
3.4.2 振动方程
阻抗与频率关系的一般形式
1E7 100
1000000
40 20
100000
0 -20
10000
f1
150000 200000
-40 -60 -80 -100
1000 250000
Frequency (Hz)
7
Phase angle (deg.)
0
l
10
3.4.4 压电振子的振动方程
31模式压电振子
E1 = E 2 = 0, E3 ≠ 0
D1 = D2 = 0 , D3 ≠ 0
T1 ≠ 0, T2 = T3 = T4 = T5 = T6
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3.4.4 压电振子的振动方程
31模式压电振子
∂T1 ∂T6 ∂T5 ∂T1 Fx = ( + + )dxdydz = dxdydz ∂x ∂y ∂z ∂x
3.4.4 压电振子的振动方程
31模式压电振子
令 v( x) x =0 = v1
v ( x ) x =l = v 2
1 v1 v1 v2 ] cos( Kx) + sin( Kx)[ ux = − sin( Kl ) tan( Kl ) jω jω
K = ω/ vE
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3.4.4 压电振子的振动方程
k /(1 − k ) =
2 31 2 31
π f2
2 f1
tan
π ∆f
2 f1
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E T d 31 = k31 s11 ε 33
3.4.4 压电振子的振动方程
31模式压电振子 等效电纳：
E lw T 2 tan(ωl s11ρ / 2) 2 Y = jω ε33[k31 ] + 1 − k31 E t ωl s11ρ / 2
晶体的压电效应
本章内容
3.1 压电效应及其各向异性 3.2 压电方程和机电耦合特性 3.3 声波在压电体中的传播（耦合波） 3.4 压电振动模式和压电振子
1
3.4.1 压电振子介绍
定义：被覆有电极的压电体
2
3.4.1 压电振子介绍
几种典型的振动模式 1. 垂直于电场方向的伸缩振动，可用LE模表示； 2. 平行于电场方向的伸缩振动，可用TE模表示； 3. 垂直于电场平面内的剪切振动，可用FS模表示； 4. 平行于电场平面内的剪切振动，可用TS模表示；