排队论及其在通信中的应用

排队论及其在通信中的应用姓名：徐可学号：2012202120131 专业：通信与信息系统摘要：排队论又称随机服务系统理论，它广泛应用于通信领域，是通信网络流量设计的基础理论。

本文通过对排队论基本概念的介绍，进而阐述了排队论在通信网中的应用，以实例分析的方法揭示了排队论在通信网络流量设计中的重要作用。

关键词：排队论通信网络Abstract:Queuing theory which is also called the theory of random service system is widely used in the communication field,and it is the basic theory of traffic flow in the communication network design.This paper introduce the basic concept of queuing theory, and expounds the queuing theory in communication network applications. with a case analysis,this paper reveals the important role of the queuing theory in communication network design .Key words: Queuing theory communication network1 排队论基本概念1.1 排队系统的概念把要求服务的一方称为顾客，把提供服务的一方称为服务机构，而把服务机构内的具体设施称为服务员（或服务窗口）。

顾客要求的随机性和服务设施的有限性是产生排队现象的根本原因。

排队论就是利用概率论和随机过程理论，研究随机服务系统内服务机构与顾客需求之间的关系，以便合理地设计和控制排队系统[1]。

由于顾客到达的数目和要求提供服务的时间长短都是不确定的，这种由要求随机性服务的顾客和服务机构两方面构成的系统称为随机服务系统或排队系统。

1.2 排队系统的基本参数排队系统的基本参数包括：顾客到达率λ，服务员数目m，和服务员服务速率μ。

1.2.1 顾客到达率λ顾客到达率λ是单位时间内平均到达排队系统的顾客数量。

λ反映了顾客到达系统的快慢程度，λ越大，说明系统的负载越重。

一般，排队系统中顾客的到达是随机的，即任意相邻两顾客到达的时间间隔T是一个随机变量。

T的统计平均T就是顾客到达的平均时间间隔，其倒数为顾客到达率，即1λ=T1.2.2服务员数目m服务员数目m就是排队系统内可以同时提供服务的设备或者窗口数，它表征服务机构的资源。

1.2.3 服务员服务速率μ服务员服务速率μ指的是单位时间内由一个服务员进行服务而离开排队系统的平均顾客数。

设一个顾客被服务的时间为τ，它也是一个随机变量。

τ的统计平均τ就是一个顾客被服务的平均时间，即为单个服务员对顾客的平均服务时间，显然其倒数为服务员服务速率，即1μ=τ1.3 排队系统的三个特征排队系统在运行中包括三个过程：顾客输入过程——它说明了顾客到达的规律，与顾客的到达率和顾客到达时间的随机性有关；排队过程——与排队规则有关；顾客接受服务（然后离去）的过程——取决于服务机构的效率和服务时间的长短。

1.3.1 顾客到达间隔时间的分布函数如果顾客的输入过程满足下述的三个条件，则称该输入为最简单流。

（1）平稳性。

在某一指定的时间间隔t 内，到达k 个顾客的概率只与t 的长度有关，而与这间隔的起始时刻无关。

（2）稀疏性。

将t 分成n 个足够小的区间t ，在t 内到达两个或者两个以上的顾客的概率为零。

（3）无后效性（或独立性）。

在某一个t 内顾客到达的概率和其他t 区间上顾客到达的概率无关。

当输入是最简单流时，在给定时间间隔t 内系统有k 个顾客到达的概率为()()0,1,2,!kt k t P t e k k λλ-==该分布为泊松分布。

由此可见，最简单流在t 时间间隔内到达系统的顾客数量服从泊松分布。

相应地，顾客到达间隔时间T 的概率密度函数为()t T f t e λλ-=即，最简单流的顾客到达时间间隔T 服从负指数分布规律。

1.3.2 服务时间的分布函数假设顾客接受服务的过程也满足最简单流的平稳性，稀疏性和独立性。

可以得到服务时间τ的概率分布函数为()1t F t e μτ-=-其概率密度函数为()t f t e μτμ-=可见，服务时间τ也服从负指数分布。

综上可见，对最简单流，所对应的概率分布是负指数分布，又称为M 分布。

1.3.3 排队规则（1） 损失制系统（即时拒绝方式）。

电话通信网一般采用即时拒绝方式。

（2）等待制系统（不拒绝方式）。

（3）混合制系统（时延拒绝方式）2 排队系统2.1 排队系统的表示排队系统通常用符号X/Y/m/n 表示。

其中X 是顾客到大间隔时间的分布，Y 是服务时间的分布，m 是服务员个数，n 是排队系统中允许的顾客数，也称为截止队长。

当n 为∞时（即为不拒绝方式），可省略。

常用的分布符号有：M ——负指数时间分布；D ——定长时间分布；k E ——k 阶爱尔兰时间分布；k H ——k 阶超指数时间分布。

2.2 常见排队系统一些常见的排队系统有：（1） M/M/m/n 排队系统。

顾客到达间隔时间的分布和服务时间的分布均为负指数分布。

（2） M/D/1排队系统。

顾客到达间隔时间为负指数分布，服务时间为定长分布，只有一个服务员。

（3） M/k E /1排队系统。

顾客到达间隔时间为负指数分布，服务时间为k阶爱尔兰分布，只有一个服务员。

（4） M/k H /1排队系统。

顾客到达间隔时间为负指数分布，服务时间为k阶超指数时间分布，只有一个服务员。

3 排队论在通信网中的应用3.1 排队论在电话通信网中的应用当系统中的顾客数等于窗口数时，新的顾客就会遭到拒绝，这种系统就M/M/m/n 即时拒绝系统。

电话通信网一般采用即使拒绝系统[2]。

顾客到达时间间隔T 服从参数为λ的负指数分布。

一个顾客的服务时间服从参数为μ的负指数分布。

对于M/M/1排队系统，排队强度为/ρλμ=。

可以推到得到，对于电话网通信系统，队长为k （即系统里面有k 个顾客）的概率k p 为00()0!!k kk m a p p p k m k k ρ==<≤其中：11000()!!k k m m k k m a p k k ρ--==⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ 式中，/a λμλτ==⋅，是电话通信系统的流入话务量强度。

这里λ是单位时间内的平均呼叫次数，而1/τμ=是平均每次呼叫的服务时间。

a 是无量纲的，但通常使用爱尔兰作为它的单位，m 为线束容量。

当顾客到达系统时，若k m <，则立即接受服务；若k m =，就被拒绝而离去，因此顾客等待时间为0，平均队长N 也变成平均处于忙状态的平均窗口数量r 。

由此可以求的以下几个重要指标。

（1） 平均队长N0000()()!()!!(1)(1)kmk m k k m k k m m m k m k N r k p m k k m p a p ρρρρ=======-=-∑∑∑ （2）顾客被拒绝的概率0/!!m c m k m k a m p p a k ===∑ 这是话务理论中著名的爱尔兰呼损公式。

（3）系统效率η(1)m a p r N m m mη-=== 即时拒绝系统的呼损率c p 与流入话务量强度a 及系统效率η与线束容量m 的关系如下：(1) 呼损率c p 随着话务量强度a 的增加而上升，当话务量强度一定时，增加m ，可使呼损率下降。

(2) 允许的呼损率越大，系统效率越高，这说明牺牲服务质量，即允许较大的呼损可以换取系统效率的提高。

(3) m 越大，系统效率越高，这就是所谓的大群化效应，即尽可能多地共用出线可以获得高效率。

3.1.1 排队论在电话通信网中的应用实例分析办公室有三条电话线可以打进，也就是说在任意时刻最多能打进接待三通话者来访，打进的电话是随机的，其时间服从上午九点至下午五点的均匀分布，每次电话的持续时间是均值为6分钟的随机变量，经理关心由于占线而可能打不进来的人数。

他们当中有人稍后可能重拨电话，而其他人则可能放弃通话，一天中接通的电话平均数是70。

仿真这个办公室的电话系统并给出如下估计：（1） 无电话占线，有一条、两条占线和三条占线的时间百分比；（2） 没有打进电话的人所占的百分比。

问题的分析：这是一个多服务台混合制模型M/M/s/K ，顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布（即顾客的到达过程为Poisson 流），服务台的个数为s ，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为μ的负指数分布，系统的空间为K 。

在办公室三部电话系统的前提下，研究其工作情况，无电话占线、有一个、有两个、三个都占线所占的时间百分比，为保证顾客源不致过多的流失，能够接通更多的电话，比较研究是否应该新增加一台电话。

假设：顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布，服务时间服从参数μ的负指数分布，)(t Pn 表示在时刻t ，服务系统的状态为n （系统中顾客数为n ）的概率，平稳状态队长N 即系统中的顾客数其期望值S L ，平稳状态排队长P N ,指系统中排队等待服务的顾客数其期望值为q L ，逗留时间T 指平稳状态顾客在系统中的停留时间，记它的期望值为S W ，等待时间p T 指平稳状态顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作q W ，n λ表示当系统处于n 时新来顾客的平均到达率，n μ表示当系统处于n 时，整个系统的平均服务率，s 是系统中并行服务的台数，μλρ/=s 为系统的服务强度。

Little 公式为：,λL W =μλ1-==W L W q q ，顾客拨打这三部电话是等可能性的。

为求平稳分布，考虑系统处的任一状态n 。

假设记录了一段时间内系统进入状态n 和离开状态n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等要么相差1。

但就这两件事件平均发生率来说，可以认为是相等的。

即当系统运行相当时间而达到平衡状态后，对任一状态n 来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流入=流出”原理[3]。

根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：0： 0011p p λ=μ1： 1112200p )(p p μ+λ=μ+λ2： 2223311p )(p p μ+λ=μ+λn-1： 1n 1n 1n n n 2n 2n p )(p p -----μ+λ=μ+λn ： n n n 1n 1n 1n 1n p )(p p μ+λ=μ+λ++--由上述平衡方程，可求得0： 0101p p μλ=1： 01201121001121212p p )p p (1p p μμλλ=μλ=λ-μμ+μλ=2： 0123012232112232323p p )p p (1p p μμμλλλ=μλ=λ-μμ+μλ=n ： 01101111111)(1p p p p p p n n n n n n n n n n n n n n n n μμμλλλμλλμμμλ +-+--+++==-+=记 11021μμμλλλ ---=n n n n n C n=1，2，… 则平稳状态的分布为： 0p C p n n = n=1，2，…由概率分布的要求10=∑∞=n n p1101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=p C n n 由上面推导知本电话系统模型中有：=n λ⎩⎨⎧≥-=K n K n 01,2,1 λ⎩⎨⎧≤≤μ≤≤μ=μK n s s sn 0n n于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤ρ<≤ρ=-Kn s p s !s s n 0p !n p 0s n 0nn其中⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=ρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ρ+ρ=-≠ρ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ρ-+-ρ-ρ+ρ=-=--∑∑1)1s K (!s !n 0n 1s 1)1(!s )s 1s K 1(!n 0n 1s p s 1s n s 1s s n 0由平稳分布n ρ，n=0,1,2,…，K,可得平均排队长为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ρ+--ρ≠ρ-ρ+-ρ--+-ρ-ρ-ρρ=-=∑=1!s 2)1s K)(s K (p 1]ss K )1s K )(1(s 1s K 1[)1(!s p p )s n (L ss 0s s 2s s s0n Ks n q为求平均队长，由∑∑∑===-=-=K sn n K s n n Ksn nP p snp p s n L )(⎪⎭⎫⎝⎛---=∑∑∑-=-==101001s n n s n n K n n p s np nps p )s n (L 1s 0n n ---=∑-=∑-=ρ-++=1s 0n n0P !n )s n (p s L L 由系统的空间的有限性，必须考虑顾客的有效到达率e λ。