排队论及其在通信中的应用

排队论及其在通信中的应用

姓名：徐可学号：2012202120131 专业：通信与信息系统

摘要：排队论又称随机服务系统理论，它广泛应用于通信领域，是通信网络流量设计的基础理论。本文通过对排队论基本概念的介绍，进而阐述了排队论在通信网中的应用，以实例分析的方法揭示了排队论在通信网络流量设计中的重要作用。

关键词：排队论通信网络

Abstract:Queuing theory which is also called the theory of random service system is widely used in the communication field,and it is the basic theory of traffic flow in the communication network design.This paper introduce the basic concept of queuing theory, and expounds the queuing theory in communication network applications. with a case analysis,this paper reveals the important role of the queuing theory in communication network design .

Key words: Queuing theory communication network

1 排队论基本概念

1.1 排队系统的概念

把要求服务的一方称为顾客，把提供服务的一方称为服务机构，而把服务机构内的具体设施称为服务员（或服务窗口）。

顾客要求的随机性和服务设施的有限性是产生排队现象的根本原因。排队论就是利用概率论和随机过程理论，研究随机服务系统内服务机构与顾客需求之间的关系，以便合理地设计和控制排队系统[1]。

由于顾客到达的数目和要求提供服务的时间长短都是不确定的，这种由要求随机性服务的顾客和服务机构两方面构成的系统称为随机服务系统或排队系统。

1.2 排队系统的基本参数

排队系统的基本参数包括：顾客到达率λ，服务员数目m，和服务员服务速率μ。

1.2.1 顾客到达率λ

顾客到达率λ是单位时间内平均到达排队系统的顾客数量。λ反映了顾客到达系统的快慢程度，λ越大，说明系统的负载越重。

一般，排队系统中顾客的到达是随机的，即任意相邻两顾客到达的时间间隔T是一个随机变量。T的统计平均T就是顾客到达的平均时间间隔，其倒数为顾客到达率，即

1

λ=

T

1.2.2服务员数目m

服务员数目m就是排队系统内可以同时提供服务的设备或者窗口数，它表征服务机构的资源。

1.2.3 服务员服务速率μ

服务员服务速率μ指的是单位时间内由一个服务员进行服务而离开排队系统的平均顾客数。

设一个顾客被服务的时间为τ，它也是一个随机变量。τ的统计平均τ就是一个顾客被服务的平均时间，即为单个服务员对顾客的平均服务时间，显然其倒数为服务员服务速率，即

1

μ

=

τ

1.3 排队系统的三个特征

排队系统在运行中包括三个过程：

顾客输入过程——它说明了顾客到达的规律，与顾客的到达率和顾客到达时间的随机性有关；

排队过程——与排队规则有关；

顾客接受服务（然后离去）的过程——取决于服务机构的效率和服务时间的长短。

1.3.1 顾客到达间隔时间的分布函数

如果顾客的输入过程满足下述的三个条件，则称该输入为最简单流。

（1）平稳性。在某一指定的时间间隔t 内，到达k 个顾客的概率只与t 的长度有关，而与这间隔的起始时刻无关。

（2）稀疏性。将t 分成n 个足够小的区间t ，在t 内到达两个或者两个以上的顾客的概率为零。

（3）无后效性（或独立性）。在某一个t 内顾客到达的概率和其他t 区间上顾客到达的概率无关。

当输入是最简单流时，在给定时间间隔t 内系统有k 个顾客到达的概率为

()

()0,1,2,!k

t k t P t e k k λλ-==

该分布为泊松分布。由此可见，最简单流在t 时间间隔内到达系统的顾客数量服从泊松分布。

相应地，顾客到达间隔时间T 的概率密度函数为

()t T f t e λλ-=

即，最简单流的顾客到达时间间隔T 服从负指数分布规律。

1.3.2 服务时间的分布函数

假设顾客接受服务的过程也满足最简单流的平稳性，稀疏性和独立性。可以得到服务时间τ的概率分布函数为

()1t F t e μτ-=-

其概率密度函数为

()t f t e μτμ-=

可见，服务时间τ也服从负指数分布。

综上可见，对最简单流，所对应的概率分布是负指数分布，又称为M 分布。

1.3.3 排队规则

（1） 损失制系统（即时拒绝方式）。电话通信网一般采用即时拒绝方式。

（2）等待制系统（不拒绝方式）。

（3）混合制系统（时延拒绝方式）

2 排队系统

2.1 排队系统的表示

排队系统通常用符号X/Y/m/n 表示。其中X 是顾客到大间隔时间的分布，Y 是服务时间的分布，m 是服务员个数，n 是排队系统中允许的顾客数，也称为截止队长。当n 为∞时（即为不拒绝方式），可省略。

常用的分布符号有：M ——负指数时间分布；D ——定长时间分布；k E ——k 阶爱尔兰时间分布；k H ——k 阶超指数时间分布。

2.2 常见排队系统

一些常见的排队系统有：

（1） M/M/m/n 排队系统。顾客到达间隔时间的分布和服务时间的分布均

为负指数分布。

（2） M/D/1排队系统。顾客到达间隔时间为负指数分布，服务时间为定长

分布，只有一个服务员。

（3） M/k E /1排队系统。顾客到达间隔时间为负指数分布，服务时间为k

阶爱尔兰分布，只有一个服务员。

（4） M/k H /1排队系统。顾客到达间隔时间为负指数分布，服务时间为k

阶超指数时间分布，只有一个服务员。

3 排队论在通信网中的应用

3.1 排队论在电话通信网中的应用

当系统中的顾客数等于窗口数时，新的顾客就会遭到拒绝，这种系统就M/M/m/n 即时拒绝系统。电话通信网一般采用即使拒绝系统[2]。

顾客到达时间间隔T 服从参数为λ的负指数分布。一个顾客的服务时间服从参数为μ的负指数分布。对于M/M/1排队系统，排队强度为/ρλμ=。

可以推到得到，对于电话网通信系统，队长为k （即系统里面有k 个顾客）的概率k p 为