系统方程的算子表示法
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R
+
系统方程的算子表示法
+ uc -
C
dr (t) C .R r (t ) e(t ) dt
dr (t) r (t ) 1 e(t ) dt RC RC
e(t)
-
1 1 d n dn 1 t )r ( t ) e( t ) 微分算子：p ; p n ; ( )d ; ( p RC RC dt dt p
1 ...k 称 为 自 然 频 率
响应中包含 e k t叫 自 然 响 应
( n 1 )
( 0 ) 1
( n 1 )
C1 2
( n 1 )
C 2 ... n
Cn
第三节
奇异函数
1 熟练掌握阶跃函数及其表示信号的方法 2 **充分理解冲激函数的定义
3 熟练掌握冲激函数的性质
例2:连续系统转移算子
r ''(t ) 4r '(t ) 3r (t ) 0
，
且r(0)=2, r (1)=0.42，求此系统的响应。
4 3 0
2
r (t ) C1et C2e3t
C1 C 2 2 C1e C 2e
1 3
0.42
r (t ) et e3t
微分和积分的次序不能交换
1 1 问：p p ? p p
问:px(t)=py(t)
x(t)=y(t)
一般的微分方程：
dn d n1 d r ( t ) an1 n1 r ( t ) ... a1 r ( t ) a0 r ( t ) n dt dt dt dm d m 1 d bm m e( t ) bm 1 m 1 e( t ) ... b1 e( t ) b0 e( t ) dt dt dt
第二节 零输入响应
熟练掌握零输入响应的经典法 零输入响应:系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初 始状态引起的响应。
一、经典法
( p n an1 p n1 ... a1 p a0 )r ( t ) 0
p3 例1：已知一系统 H ( p) 2 , 且r (0) 1, r ' (0) 2, p 3p 2 求系统零输入响应
冲激信号的一种理解：
0ห้องสมุดไป่ตู้
单位冲激平移
0
t0
t
（2）冲激函数的性质
1偶函数 2 积分 3 筛选
(t ) ( t )
例：在 t 0点连续的信号 f (t ) 强度为f(0)的冲激函数 则f (t ) ( t ) f (0) (t )
f (t ) (t )
f ( 0)
3 筛选：f(t)在t0点连续
(t)
(1) f(0) 0
f(t) t
例： 2 (t 8) (t 4)dt
2 (t 4) (t 8)dt
例1：写出所示信号的时域表达式f(t)，并画出f(t)的导数的波形。
f(t) （1）
4
f(t) （2）
A
4
t 0
( p n an1 p n1 ... a1 p a0 )r ( t ) 0
1 写解的形式：
rzi ( t ) C1e
若有k阶重根：
1t
C 2e
2 t
... C n e
n t
rzi ( t ) (C1 C 2 t C 3 t ... C k t
r (t ) 4et 3e2t t 0
分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母D(p)
解：第一步 求微分方程的特征根
2 3 2 0
1 1, 2 2
r (t ) C1et C2e2t
第二步 代入初始条件 C1+C2=1 - C1-2C2=2 C1=4 C2=-3
一
阶跃函数
1. 定义
0 (t 0) (t ) 1 (t 0)
(t )
1
0
t
用 ( t ) 来描述开关的动作 t = 0合闸 e(t) = E ( t )
E
K
u(t)
E(t )
u(t)
2. 单位阶跃函数的延迟
(t-t0)
1
0
t0
t
0 ( t t 0 ) (t t0 ) 1 ( t t 0 )
5. (t)f(t)= (t)f(0), (t-t0)f(t)= (t- t0)f(t0)
6.
f (t ) (t )dt f (0)
f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
作业：2. 4 2.5 2.7 2.8(a) 2.9(a,d) 2.10
d n dn 1 t 微分算子：p ; p n ; ( )d ; dt dt p
( p n a n1 p n1 ... a1 p a0 )r ( t ) (bm p m bm 1 p m 1 ... b1 p b0 )e( t )
bm p m bm 1 p m 1 ... b1 p b0 H ( p) p n an1 p n1 ... a1 p a0
Qc i(t )dt =1
0
i ( t ) ( t 0); i ( t ) 0, ( t 0, t 0)
Qc i (t )dt
0 0
(1)冲激函数定义
•连续时间单位冲激信号: 持续时间无穷小，瞬间 幅度无穷大，涵盖面积恒为1的一种理想信号
(t ) t 0 0, t 0 (t ) 0, t 0 (t ) dt 1
3.表示定义域 例：画出f(t-2)(t-2)的波形 f(t) 1 1 t 0 1 2 t
f(t-2) (t-2)
1
-1 0
二
冲激函数 R i(t)
研究此电路电流：
+ uc C=1F
+
(t )
-
uc (t ) (1 e
t RC
) ( t )
uc (0 ) 0
若R->0
t 1 RC i (t ) e (t ) R
2
k 1
)e
1 t
C k 1e
k 1 t
... C n e
n t
2 利用初始条件，求待定系数
r (0) C1 C 2 ... C n r ' (0) 1C1 2C 2 ... nC n .......... .. r
( n 1 )
特征根：
t
t1
t2
t
（3）
2 1 -1
f(t)
1
t
总结：(t) 1.冲激函数的图形表示方法：位置，强度。 2.该函数只在t=0处为非零值，其它各处都为零；
t d 3. (t ) (t ) (t ) ( )d dt
f (t ) A (t t0 )
(A)
t0
t
4.冲激函数是一个偶函数(t)= (-t)
转移算子:
H ( p)
1 r (t ) RC 1 e( t ) (p ) RC
r(t ) H ( p)e(t )
注意:上面只是微分方程的一种简单记法，并不是代数量
算子运算法则
1 : mp np (m n) p
2 : p m p n p mn
m,n为任意整数
m , n同为正数或负数
+
系统方程的算子表示法
+ uc -
C
dr (t) C .R r (t ) e(t ) dt
dr (t) r (t ) 1 e(t ) dt RC RC
e(t)
-
1 1 d n dn 1 t )r ( t ) e( t ) 微分算子：p ; p n ; ( )d ; ( p RC RC dt dt p
1 ...k 称 为 自 然 频 率
响应中包含 e k t叫 自 然 响 应
( n 1 )
( 0 ) 1
( n 1 )
C1 2
( n 1 )
C 2 ... n
Cn
第三节
奇异函数
1 熟练掌握阶跃函数及其表示信号的方法 2 **充分理解冲激函数的定义
3 熟练掌握冲激函数的性质
例2:连续系统转移算子
r ''(t ) 4r '(t ) 3r (t ) 0
，
且r(0)=2, r (1)=0.42，求此系统的响应。
4 3 0
2
r (t ) C1et C2e3t
C1 C 2 2 C1e C 2e
1 3
0.42
r (t ) et e3t
微分和积分的次序不能交换
1 1 问：p p ? p p
问:px(t)=py(t)
x(t)=y(t)
一般的微分方程：
dn d n1 d r ( t ) an1 n1 r ( t ) ... a1 r ( t ) a0 r ( t ) n dt dt dt dm d m 1 d bm m e( t ) bm 1 m 1 e( t ) ... b1 e( t ) b0 e( t ) dt dt dt
第二节 零输入响应
熟练掌握零输入响应的经典法 零输入响应:系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初 始状态引起的响应。
一、经典法
( p n an1 p n1 ... a1 p a0 )r ( t ) 0
p3 例1：已知一系统 H ( p) 2 , 且r (0) 1, r ' (0) 2, p 3p 2 求系统零输入响应
冲激信号的一种理解：
0ห้องสมุดไป่ตู้
单位冲激平移
0
t0
t
（2）冲激函数的性质
1偶函数 2 积分 3 筛选
(t ) ( t )
例：在 t 0点连续的信号 f (t ) 强度为f(0)的冲激函数 则f (t ) ( t ) f (0) (t )
f (t ) (t )
f ( 0)
3 筛选：f(t)在t0点连续
(t)
(1) f(0) 0
f(t) t
例： 2 (t 8) (t 4)dt
2 (t 4) (t 8)dt
例1：写出所示信号的时域表达式f(t)，并画出f(t)的导数的波形。
f(t) （1）
4
f(t) （2）
A
4
t 0
( p n an1 p n1 ... a1 p a0 )r ( t ) 0
1 写解的形式：
rzi ( t ) C1e
若有k阶重根：
1t
C 2e
2 t
... C n e
n t
rzi ( t ) (C1 C 2 t C 3 t ... C k t
r (t ) 4et 3e2t t 0
分析： 系统的特征方程就是转移算子的分母D(p)
解：第一步 求微分方程的特征根
2 3 2 0
1 1, 2 2
r (t ) C1et C2e2t
第二步 代入初始条件 C1+C2=1 - C1-2C2=2 C1=4 C2=-3
一
阶跃函数
1. 定义
0 (t 0) (t ) 1 (t 0)
(t )
1
0
t
用 ( t ) 来描述开关的动作 t = 0合闸 e(t) = E ( t )
E
K
u(t)
E(t )
u(t)
2. 单位阶跃函数的延迟
(t-t0)
1
0
t0
t
0 ( t t 0 ) (t t0 ) 1 ( t t 0 )
5. (t)f(t)= (t)f(0), (t-t0)f(t)= (t- t0)f(t0)
6.
f (t ) (t )dt f (0)
f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
作业：2. 4 2.5 2.7 2.8(a) 2.9(a,d) 2.10
d n dn 1 t 微分算子：p ; p n ; ( )d ; dt dt p
( p n a n1 p n1 ... a1 p a0 )r ( t ) (bm p m bm 1 p m 1 ... b1 p b0 )e( t )
bm p m bm 1 p m 1 ... b1 p b0 H ( p) p n an1 p n1 ... a1 p a0
Qc i(t )dt =1
0
i ( t ) ( t 0); i ( t ) 0, ( t 0, t 0)
Qc i (t )dt
0 0
(1)冲激函数定义
•连续时间单位冲激信号: 持续时间无穷小，瞬间 幅度无穷大，涵盖面积恒为1的一种理想信号
(t ) t 0 0, t 0 (t ) 0, t 0 (t ) dt 1
3.表示定义域 例：画出f(t-2)(t-2)的波形 f(t) 1 1 t 0 1 2 t
f(t-2) (t-2)
1
-1 0
二
冲激函数 R i(t)
研究此电路电流：
+ uc C=1F
+
(t )
-
uc (t ) (1 e
t RC
) ( t )
uc (0 ) 0
若R->0
t 1 RC i (t ) e (t ) R
2
k 1
)e
1 t
C k 1e
k 1 t
... C n e
n t
2 利用初始条件，求待定系数
r (0) C1 C 2 ... C n r ' (0) 1C1 2C 2 ... nC n .......... .. r
( n 1 )
特征根：
t
t1
t2
t
（3）
2 1 -1
f(t)
1
t
总结：(t) 1.冲激函数的图形表示方法：位置，强度。 2.该函数只在t=0处为非零值，其它各处都为零；
t d 3. (t ) (t ) (t ) ( )d dt
f (t ) A (t t0 )
(A)
t0
t
4.冲激函数是一个偶函数(t)= (-t)
转移算子:
H ( p)
1 r (t ) RC 1 e( t ) (p ) RC
r(t ) H ( p)e(t )
注意:上面只是微分方程的一种简单记法，并不是代数量
算子运算法则
1 : mp np (m n) p
2 : p m p n p mn
m,n为任意整数
m , n同为正数或负数