傅里叶变换的性质

算。如果 ，信号 表示 在时间轴上压缩；如果
，信号
表示 在时间轴上展宽。信号的压缩意味着信号波形以较快的速率变化，信 号的展宽则表示信号的波形比原来的变化要慢。
在频域，如果 ，
表示频谱函数
在频率轴上扩
展 倍；如果
，
表示频谱函数 百度文库频率轴上压缩。
尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频 谱函数的扩展与压缩。由于时域信号的压缩或扩展影响信号的总能量，对应于 频域频谱函数的幅度将有相应的 1/|a|的改变。
以 代替 ，有
若将上式中变量 与 互换，可以得到
显然，上式就是 的傅里叶变换式，即
根据对偶性质，若已知 的频谱函数为 ，为求得 之
频谱就可以利用
给出。当 为偶对称函数时，进一步有
例如，单位冲激函数 的傅里叶变换等于 ，即 对偶性质就意味着常数 1 的傅里叶变换为
4-2）
（5.
可见，直流信号的傅里叶变换是一个出现在 5.4-2 所示。
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
频率的正弦或余弦信号相乘使信号 的频谱搬移到不同频率处实现的通信
方式称为频分复用。通信系统中的调制、解调及频分复用等都是应用傅里叶变 换的频移特性才得以实现的。
五、微分
时域微分性质：若
，则
（5.4-7）
证明 两边对 t 求导，得
所以
同理可推出 对 t 求 n 阶导数的傅里叶变换为
例 5.4-4 利用时域微分性质求符号函数
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
利用对偶性质还可求得
的傅里叶变换。根据式（5.3-9），当矩形脉冲
的高度 E=1，宽度 时，有
应用对偶性质得
则 （5.4-3）
即 三、尺度变换
若
信号的频谱为矩形脉冲。 ，对于任意不等于零的实数 ，有
（5.4-4） 根据傅里叶变换的定义式，读者可自行证明之。
将 变换为 是一种在时域对信号进行压缩或扩展的运
解
可表示为
根据频域移位性质有
的频谱。
图 5.4-6 示出了信号 的频谱 被搬移的情况。
(a) (b)
图 5.4-6 频谱搬移特性示例
例 5.4-3 中的 与
相乘得到的信号
在通信系统中称为
幅度调制信号。信号 与频率较高的正弦或余弦信号相乘的过程称为调制，
已调信号再次与正弦或余弦信号相乘的过程又称为解调。信号 通过与不同
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
求出，即
解 设 表示中间的矩形脉冲信号，相应的频谱函数前已
由图可知 应用时移性质可得其频谱函数为
假设
， 的频谱如图 5.4-4(b)所示。
例 5.4-2 求
和
的频谱函数。
解 由欧拉公式
利用傅里叶变换的线性性质和频域移位性质，有
类似地，还可得到
图 5.4-5 示出了
的频谱。
图 5.4-5
的频谱
例 5.4-3 已知信号 的频谱为 ，求
频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右移 单位，在时域就对 应于其时间信号 乘以 。
证明如下：
移位性质容易由傅里叶变换的定义式证明。例如频移性质可
由移位性质可得
例 5.4-1 试求图 5.4-4（a）所示三个矩形脉冲信号 的 频谱，设脉宽为 ，脉冲重复间隔为 。
(a) (b)
图 5.4-4 三矩形脉冲及其频谱
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
处的冲激函数。频谱如图
图 5.4-2 常数 1 的频谱 若直接利用傅里叶变换式求解，由于常数 1 不满足绝对可积条件，傅里叶积 分需要用极限的方法求解。常数 1 可看作双边指数函数当 a 趋近于零的极限， 即
由式（5.3-8）
当
时，由第一章冲激函数的内容，上式极限为
性质求得的结果一致。
，它与利用对偶
的傅里叶变换。 解 由于符号函数的导数为
因此，根据式（5.4-7）
由该式得
这里
项只有在 处不为零，它是 的时域平均值。一般情况下，
在 中应考虑
项的存在，这是由于时域微分运算意味着表达式
将失去时域平均值的信息。在本例中，符号函数的时域平均值为零，
即 。故
图 5.4-7 给出了符号函数的频谱，它为虚奇对称函数。
给上式时域和频域同乘以常数 j，则
（5.4-12）
图 5.4-3 给出了矩形脉冲尺度变换的几种情况。
图 5.4-3 矩形脉冲的尺度变换 四、移位
若
，有
-5）
（5.4
（5.4-6）
式（5.4-5）称为傅里叶变换的时移性质，式（5.4-6）称为傅里叶变换的频 移性质。
时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位 谱产生附加相移 。