ch82反常积分的收敛判别法
习题反常积分的收敛判别法
页脚内容278习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+a dx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况.解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数.则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时⎰∞+adx x )(ϕ也发散.证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：Kdx x A A εϕ<⎰')(.于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(.于是页脚内容279≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散.（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ.则当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散.例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ.显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散.设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)()(limx x f x ϕ.则当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ也收敛；但当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能发散，也可能收敛.例如xx f 1)(=，)21(1)(>=p xx p ϕ，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ϕ.显然有 ⎰∞+1)(dx x f 发散，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当121≤<p 时发散，当1>p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）.证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数.⑴ 若f x Kxp ()≤，且p >1，则⎰∞+a dx x f )(收敛；页脚内容280⑵ 若f x Kx p()≥，且p ≤1，则⎰∞+a dx x f )(发散. 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，且lim ()x p x f x l →+∞=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且p >1，则⎰∞+adx x f )(收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则⎰∞+adx x f )(发散.证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ϕ取为p x1. ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴11321x ex dx x-++-+∞⎰ln ; ⑵⎰∞++131tan arc dx xx; ⑶110++∞⎰x x dx |sin |;⑷x x dxq p11++∞⎰（+∈R q p ,）. 解 （1）当+∞→x 时，1ln 123++--x ex x～231x ，所以积分11321x e x dx x -++-+∞⎰ln 收敛.页脚内容281（2）当+∞→x 时，31arctan x x +～32x π， 所以积分⎰∞++131tan arc dx x x收敛.（3）因为当0≥x 时有xx x +≥+11sin 11，而积分dx x⎰∞++011发散，所以积分110++∞⎰x x dx |sin |发散. （4）当+∞→x 时，pqxx +1～q p x -1， 所以在1>-q p 时，积分x x dx qp11++∞⎰收敛，在其余情况下积分 x x dx qp11++∞⎰发散. ⒋ 证明：对非负函数f x ()，)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛与f x dx ()-∞+∞⎰收敛是等价的. 证 显然，由f x dx ()-∞+∞⎰收敛可推出)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛，现证明当0)(≥x f 时可由)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛推出f x dx ()-∞+∞⎰收敛.由于)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛，可知极限页脚内容282+∞→A lim =)(A F +∞→A lim⎰-AAdx x f )(存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，00A ∃>，0,A A A ≥'∀：ε<-)'()(A F A F ， 于是0,A A A ≥'∀与0',A B B ≥∀，成立≤⎰'A Adx x f )(ε<-)'()(A F A F与≤⎰--BB dx x f ')(ε<-)'()(B F B F ，这说明积分⎰∞+0)(dx x f 与⎰∞-0)(dx x f 都收敛，所以积分f x dx ()-∞+∞⎰收敛.⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：⑴ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰; ⑵sin x x dxp1+∞⎰（+∈R p ）; ⑶⎰∞+1tan arc sin dx xx x p（+∈R p ）⑷sin()x dx 20+∞⎰;⑸⎰∞+an m xdx x q x p sin )()( （p x m ()和q x n ()分别是m 和n 次多项式， q x n ()在),[+∞∈a x 范围无零点.）解 （1）因为⎰=Axdx A F 2sin )(有界，xx ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim=+∞→x xx ，由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰收敛； 由于≥x x x sin ln ln ln x x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x xx-=，而积分页脚内容283⎰∞+2ln ln ln dx xx发散，⎰∞+22cos ln ln ln xdx xx收敛，所以积分⎰∞+2sin ln ln ln dx x xx发散，即积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰条件收敛. （2）当1>p 时，ppx x x 1sin ≤，而⎰∞+11dx x p 收敛，所以当1>p 时积分 sin xx dx p1+∞⎰绝对收敛； 当10≤<p 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，p x 1在),1[+∞单调，且01lim =+∞→p x x，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p1+∞⎰收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1|sin |dx x x p发散，所以当10≤<p 时积分sin x x dx p 1+∞⎰条件收敛.（3）当1>p 时，≤px xx arctan sin px 2π，而⎰∞+11dx xp 收敛，所以当1>p 时积分⎰∞+1tan arc sin dx x x x p 绝对收敛；当10≤<p 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，p x x arctan 在),1[+∞单调，且0arctan lim =+∞→p x xx ，由Dirichlet 判别法，积分⎰∞+1arctan sindx x x x p 收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1sin arctan dx x xxp 发散，所以当10≤<p 时积分⎰∞+1arctan sindx x xx p条件收敛.（4）令2x t =，=⎰∞+02)sin(dx x ⎰∞+02sin dt tt ，由于⎰∞+02sin dt tt 条件收敛，可知积分sin()x dx 20+∞⎰条件页脚内容284收敛.（5）当1+>m n 且x 充分大时，有x x q x p n m sin )()(2xK ≤，可知当1+>m n 时积分⎰∞+a n mxdx x q x p sin )()(绝对收敛.当1+=m n 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，且当x 充分大时，)()(x q x p n m 单调且0)()(lim =+∞→x q x p nmx ，由Dirichlet 判别法可知⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(收敛；但由于当+∞→x 时，)()(x q x p n m ～x a ，易知⎰∞+1sin )()(dx x x q x p n m 发散，所以当1+=m n 时，积分⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(条件收敛. 当1+<m n 时，由A x q x p n m x =+∞→)()(lim，A 为非零常数、∞+或∞-，易知积分⎰∞+a n mxdx x q x p sin )()(发散.⒍ 设f x ()在[,]a b 只有一个奇点x b =，证明定理8.2.'3和定理8.2.'5.定理8.2.'3（Cauchy 判别法） 设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，若当x 属于b 的某个左邻域[,)b b -η0时，存在正常数K ，使得⑴ f x K b x p ()()≤-，且p <1，则f x dx ab()⎰收敛； ⑵ f x K b x p()()≥-，且p ≥1，则f x dx ab()⎰发散. 证 （1）当p <1时，积分⎰-bapdx x b )(1收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理，页脚内容2850>∀ε，0>∃δ，),0(',δηη∈∀：K dx x b b b pεηη<-⎰--')(1. 由于≤⎰--')(ηηb b dx x f εηη<-⎰--')(b b pdx x b K，所以f x dx a b ()⎰收敛. （2）当1≥p 时，积分⎰-bapdx x b )(1发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 00>∃ε，0>∀δ，),0(',δηη∈∃：K dx x b b b p0')(1εηη≥-⎰--. 由于≥⎰--')(ηηb b dx x f 0')(εηη≥-⎰--b b pdx x b K，所以f x dx a b ()⎰发散. 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，且lim()()x b p b x f x l →--=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且p <1，则f x dx a b()⎰收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≥1，则f x dx a b()⎰发散.证 （1）由lim()()x b p b x f x l →--= （+∞<≤<l p 0,1），可知0>∃δ，),(b b x δ-∈∀：px b l x f )(1)(-+<， 再应用定理8.2.'3的（1）.页脚内容286（2）由lim()()x b p b x f x l →--= （+∞≤<≥l p 0,1），可知0>∃δ，),(b b x δ-∈∀：px b lx f )(2)(->， 再应用定理8.2.'3的（2）.定理8.2.'5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dx a b()()⎰收敛： ⑴（Abel 判别法）f x dx a b()⎰收敛，g x ()在[,)a b 上单调有界；⑵（Dirichlet 判别法）⎰-=ηηb adx x f F )()(在],0(a b -上有界，g x ()在[,)a b 上单调且0)(lim =-→x g b x .证 （1）设G x g ≤|)(|，因为f x dx a b()⎰收敛，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，0>∃δ，),(,b b A A δ-∈'∀：Gdx x f A A2)(ε<⎰'.由积分第二中值定理，⎰'A Adx x g x f )()(⎰⎰'⋅'+⋅≤A Adx x f A g dx x f A g ξξ)()()()(⎰⎰'+≤A A dx x f G dx x f G ξξ)()(εεε=+<22.（2）设M F ≤|)(|η，于是),[,b a A A ∈'∀，有M dx x f A A2)(<⎰'.因为0)(lim =-→x g b x ，0>∀ε，0>∃δ，),(b b x δ-∈∀，有Mx g 4)(ε<.由积分第二中值定理，⎰'A Adx x g x f )()(⎰⎰'⋅'+⋅≤A Adx x f A g dx x f A g ξξ)()()()(页脚内容287|)(|2|)(|2A g M A g M '+≤εεε=+<22.所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy 收敛原理，都有⎰∞+adx x g x f )()(收敛的结论.⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴112301x x dx ()-⎰;⑵ln xx dx 2011-⎰;⑶12202cos sin x xdx π⎰; ⑷102-⎰cos xxdx pπ; ⑸|ln |x dx p 01⎰; ⑹x x dx p q ---⎰11011();⑺⎰---1011|ln |)1(dx x x xq p .解 （1）因为32)1(1x x -～321x )0(+→x ，32)1(1x x -～31)1(1x -)1(-→x ，所以积分112301x x dx()-⎰收敛.（2）因为1ln lim 21--→x x x 21=，且对任意10<<δ，01ln lim 20=-+→x x x x δ，即当0>x 充分小时，有δxx x 11ln 2<-，所以积分ln xx dx 2011-⎰收敛. （3）因为x x 22sin cos 1～21x )0(+→x ，x x 22sin cos 1～2)2(1x -π)2(-→πx ，所以积分12202cos sin x xdx π⎰发散.页脚内容288（4）因为p x x cos 1-～221-p x )0(+→x ，所以当3<p 时积分102-⎰cos x x dx p π收敛，当3≥p 时积分102-⎰cos xxdx pπ发散. （5）首先对任意的10<<δ与任意的p ，有0]|ln |[lim 0=+→p x x x δ，即当0>x 充分小时，有δxxp1ln <；且 px ln ～p x --)1(1)1(-→x .所以当1->p 时，积分|ln |x dx p 01⎰收敛，当1-≤p 时，积分|ln |x dx p 01⎰发散.（6）11)1(---q p x x ～px -11)0(+→x ，11)1(---q p x x ～qx --1)1(1)1(-→x ，所以在0,0>>q p 时积分x x dx p q ---⎰11011()收敛，在其余情况下积分x x dx p q ---⎰11011()发散.（7）|ln |)1(11x x x q p ---～qx --)1(1)1(-→x ，且 0|)]ln |)1(([lim 11210=----+→x x x xq p p x ，即当0>x 充分小时，有21111ln )1(p q p xx x x ---<-，所以当1,0->>q p 时积分⎰---1011|ln |)1(dx x x x q p 收敛，在其余情况下积分⎰---1011|ln |)1(dx x x x q p 发散.⒏ 讨论下列反常积分的敛散性：页脚内容289⑴x x xdx p q ---⎰111ln (+∈R q p ,);⑵11223x x x dx ()()--+∞⎰; ⑶ln()10++∞⎰x x dx p; ⑷⎰∞+0tan arc dx xxp; ⑸⎰2/0tan πdx x x p;⑹x dx p x --+∞⎰10e ;⑺1x x dx p q++∞⎰;⑻⎰∞+2ln 1dx xx qp . 解（1）x x x dx p q ---⎰1101ln ⎰-=2101ln dx x x p ⎰--2101ln dx x x q ⎰---+12111ln dx xx xq p . 当0>p ，0>q 时积分⎰-211ln dx x x p 与积分⎰-2101ln dx xxq 显然收敛，且当-→1x 时， =---x x x q p ln 11()[]()[]())1(1ln 1)1(11)1(111-+--+---+--x x x q p ～q p x x q p -=---1)1)((，即⎰---12111ln dx xx x q p 不是反常积分，所以积分x x x dx p q ---⎰1101ln 收敛.（2）=--⎰∞+032)2()1(1dx x x x ⎰--1032)2()1(1dx x x x ⎰--+2132)2()1(1dx x x x⎰∞+--+232)2()1(1dx x x x .页脚内容290因为32)2()1(1--x x x ～313121x ⋅-)0(+→x ，32)2()1(1--x x x ～32)1(1--x)1(-→x ，所以积分⎰--1032)2()1(1dx x x x 收敛；因为32)2()1(1--x x x ～32)1(1--x)1(+→x ，32)2()1(1--x x x ～313)2(121-⋅x)2(-→x ，所以积分⎰--2132)2()1(1dx x x x 收敛；因为32)2()1(1--x x x ～313)2(121-⋅x)2(+→x ，32)2()1(1--x x x ～341x )(+∞→x ，所以积分⎰∞+--232)2()1(1dx x x x 收敛.页脚内容291由此可知积分11223x x x dx ()()--+∞⎰收敛.（3）=+⎰∞+0)1ln(dx xx p++⎰10)1ln(dx x x p⎰∞++1)1ln(dx xx p. 由px x )1ln(+～11-p x )0(+→x ，可知当2<p 时，积分⎰+10)1ln(dx xx p收敛，当2≥p 时，积分⎰+10)1ln(dx xx p发散；当1>p 时，0)1ln(lim 213=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-+∞→p p x x x x ，即当0>x 充分大时，有 2131)1ln(-<+p px xx ，其中1213>-p ，可知当1>p 时，积分⎰∞++1)1ln(dx xx p 收敛，当1≤p 时，积分⎰∞++1)1ln(dx xx p发散； 综上所述，当21<<p 时，积分⎰∞++0)1ln(dx x x p 收敛，在其余情况下积分⎰∞++0)1ln(dx x x p发散.（4）⎰∞+0tan arc dx x x p ⎰=10tan arc dx x x p ⎰∞++1tan arc dx xxp. 由p x x arctan ～11-p x )0(+→x ,可知当2<p 时积分⎰10tan arc dx xx p 收敛； 由p x x arctan ～p x 2π)(+∞→x ，可知当1>p 时积分⎰∞+1tan arc dx xxp 收敛. 所以当21<<p 时积分⎰∞+0tan arc dx xxp收敛，在其余情况下积分页脚内容292⎰∞+0tan arc dx xxp发散. （5）⎰2/0tan πdx xx p⎰=4/0tan πdx xx p⎰+2/4/tan ππdx xx p.由pxxtan ～211-p x)0(+→x ，可知当23<p 时积分⎰4/0tan πdx x x p收敛，当23≥p 时积分⎰4/0tan πdx xx p发散；由pxx tan ～122()2pp x ππ-)2(-→πx ，可知积分⎰2/4/tan ππdx xx p收敛.所以当23<p 时积分⎰2/0tan πdx x x p收敛，当23≥p 时积分 ⎰2/0tan πdx xx p发散.（6）x dx p x --+∞⎰10e ⎰--=101e dx x x p ⎰∞+--+11e dx x x p .由于积分⎰∞+--11e dx x x p 收敛，及x p e x --1～px -11)0(+→x ，所以当0>p 时积分x dx p x --+∞⎰10e 收敛，当0≤p 时积分x dx p x --+∞⎰10e 发散.（7）10x x dx p q++∞⎰⎰+=101dx x x q p ⎰∞+++11dx x x q p . 当q p =时，显然积分1x x dx p q++∞⎰发散；页脚内容293当q p ≠时，由于q p x x +1～),min(1q p x )0(+→x ，q p x x +1～),max(1q p x)(+∞→x ， 所以当1),min(<q p ，且1),max(>q p 时积分10x x dx p q++∞⎰收敛，其余情况下积分10x x dx p q ++∞⎰发散.（8）设1>p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有211ln 1+<p qp xxx ，因为121>+p ，可知积分⎰∞+2ln 1dx xx qp 收敛. 设1<p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有211ln 1+>p qp xxx ，因为121<+p ，可知积分⎰∞+2ln 1dx xx qp 发散.设1=p ，令t x =ln ，则⎰∞+2ln 1dx x x q p ⎰∞+=2ln qtdt，由此可知当1>p 或 1,1>=q p 时积分⎰∞+2ln 1dx x x q p 收敛，在其余情况下积分⎰∞+2ln 1dx x x q p 发散. ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性：⑴x x dx p -+∞+⎰121; ⑵x xx dx q psin 11++∞⎰ (p ≥0);⑶⎰∞+0sin cos e dx xxpx ; ⑷⎰∞+0sin 2sin e dx xxpx ;页脚内容294(⎰1021cos 1dx xx p ； (⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p(0>p ). 解（1）x x dx p -+∞+⎰1201⎰+=-10211dx x x p ⎰∞+-++1211dx x xp . 由211x x p +-～p x -11)0(+→x ，211xx p +-～p x -31)(+∞→x ，可知当20<<p 时积分x x dx p -+∞+⎰1201收敛，在其余情况下积分x x dx p -+∞+⎰121发散. （2）当1-<p q 时，由q p p q xx x x -<+11|sin |，可知积分x x x dx qpsin 11++∞⎰绝对收 敛.当p q p <≤-1时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，当x 充分大时pqxx +1单 调减少，且01lim =++∞→p q x x x ，由Dirichlet 判别法，积分⎰∞++11sin dx xxx p q收敛； 但因为积分⎰∞++11|sin |dx xx x pq 发散，所以当p q p <≤-1时积分sin x x dx p 1+∞⎰条 件收敛.当p q ≥时，由于n →∞时22sin 1q n pn x xdx xπππ++⎰不趋于零，可知积分 x xx dx q psin 11++∞⎰发散.页脚内容295（3）⎰∞+0sin cos e dx x x p x ⎰=10sin cos e dx x x p x ⎰∞++1sin cos edx xx p x. 由px xxe cos sin ～p x 1)0(+→x ，可知当1<p 时积分⎰10sin cos edx xxpx收敛，在其余情况下积分⎰10sin cos edx xxpx发散.当1<p 时，易知积分⎰∞+1sin |cos |e dx x x p x 发散；当0≤p 时，易知积分⎰∞+1sin cos edx xx p x发散. 当10<<p 时，因为1cos 1sin -<⎰e xdx e A x，p x 1单调减少，且01lim =+∞→p x x，由Dirichlet 判别法；可知积分⎰∞+1sin cos e dx xxpx 收敛. 综上所述，当10<<p 时，积分⎰∞+0sin cos e dx x x p x 条件收敛，在其余情况下积分⎰∞+0sin cos edx xx p x发散.（4）⎰∞+0sin 2sin e dx x x p x ⎰=10sin 2sin e dx x x p x ⎰∞++1sin 2sin edx xx p x. 由p x x x e 2sin sin ～12-p x )0(+→x ，可知当2<p 时积分⎰10sin 2sin e dx x x p x收敛，在其余情况下积分⎰10sin 2sin e dx xxpx发散. 当21<<p 时，显然积分⎰∞+1sin |2sin |e dx x x p x 收敛；当1≤p 时，易知积分⎰∞+1sin |2sin |edx xx p x发散；页脚内容296当0≤p 时，易知积分⎰∞+1sin 2sin e dx x xpx 发散. 当10≤<p 时，因为⎰+=ππ)1(sin 02sin k k x xdx e ，可知⎰A x xdx e 0sin 2sin 有界，且p x1单调减少，01lim=+∞→p x x ，由Dirichlet 判别法，可知积分⎰∞+1sin 2sin e dx xxpx 收敛. 综上所述，当21<<p 时积分⎰∞+0sin 2sin e dx x x p x 绝对收敛，当10≤<p 时积分⎰∞+0sin 2sin edx xx p x条件收敛，在其余情况下积分⎰∞+0sin 2sin e dx xxpx 发散. （5）令21x t =，则 ⎰=1021cos 1dx xx p tdt t p cos 121123⎰∞+-. 于是可知当1<p 时积分⎰121cos 1dx x x p 绝对收敛；当31<≤p 时积分⎰1021cos 1dx x x p 条件收敛，当3≥p 时积分⎰121cos 1dx xx p 发散. （6）当1>p 时，因为pp xx x x 11sin ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+，可知积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx x x x p 绝对收敛.页脚内容297当10≤<p 时，因为⎰++⎪⎭⎫ ⎝⎛+261sin ππππn n p dx x x x p n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅>2321πππ，而级数 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n pn ππ发散，所以积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p发散；又因为 =+⎰∞+dx x x x p1)1sin(dx x x x x x p⎰∞++1sin 1cos cos 1sin ，注意到当x 充分大时，p x x 1sin 与p xx 1cos 都是单调减少的，由Dirichlet 判别法可知积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx x x x p 收敛，所以积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p 条件收敛. 10．证明反常积分⎰∞+04sin sin xdx x x 收敛. 证 对任意A A A >>'"，由分部积分法，⎰="'4sin sin A A xdx x x ⎰-"'42)(cos 4sinA A x d x x"'244cos sin A A x xx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-+"'244cos cos A A dx x x x ⎰"'342sin cos A A dx x x x . 显然，当+∞→A 时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy 收敛原理，可知反常积分⎰∞+04sin sin xdx x x 收敛.11．设f x ()单调，且当x →+0时f x ()→+∞，证明：f x dx ()01⎰ 收敛的必要条件是lim ()x xf x →+=00.页脚内容298证 首先由f x ()的单调性，对于充分小的10<<x ，有⎰≤≤xx dt t f x f x 2)()(20. 由Cauchy 收敛原理，⎰=+→x xx dt t f 200)(lim，于是得到0)(lim 0=+→x xf x .12．设⎰∞+adx x f )(收敛，且)(x xf 在),[+∞a 上单调减少，证明:0)()(ln lim =+∞→x f x x x .证 首先容易知道当+∞→x 时，)(x xf 单调减少趋于0，于是有0)(≥x xf ，且⎰=⋅≤≤xx dt tt tf x f x x 1)()()(ln 210⎰x xdt t f )(.然后由Cauchy 收敛原理，0)(lim=⎰+∞→xxx dt t f ，于是得到0)()(ln lim =+∞→x f x x x .13．设f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞=0，证明：若'f x ()在[,)0+∞上连续，则反常积分'+∞⎰f x x dx ()sin 20收敛.证 首先由分部积分法，⎰∞+=2sin )('xdx x f ⎰∞+02)(sin x xdf ⎰∞+-=02sin )(xdx x f .页脚内容299由于⎰=Axdx A F 02sin )(有界，f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞=0，由Dirichlet 判别法，可知积分⎰∞+02sin )(xdx x f 收敛，从而积分'+∞⎰f x x dx ()sin 20收敛.14. 设⎰∞+adx x f )(绝对收敛，且lim ()x f x →+∞=0，证明f x dx a 2()+∞⎰收敛.证 首先由lim ()x f x →+∞=0，可知a A >∃，A x >∀，有1)(<x f ，即当A x >时，成立)()(2x f x f ≤.因为积分⎰∞+adx x f )(绝对收敛，于是由比较判别法，积分f x dx a 2()+∞⎰收敛.15． 若f x dx a 2()+∞⎰收敛，则称f x ()在[,)a +∞上平方可积（类似可定义无界函数在[,]a b 上平方可积的概念）.⑴ 对两种反常积分分别探讨f x ()平方可积与f x ()的反常积分收敛之间的关系； ⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含；⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立.解 （1）⎰∞+adx x f )(收敛不能保证f x dx a 2()+∞⎰收敛，例如：xx x f sin )(=，则⎰∞+1)(dx x f 收敛，但⎰∞+12)(dx x f 发散；f x dx a 2()+∞⎰收敛不能保证⎰∞+a dx x f )(收敛，例如：x x f 1)(=，则 ⎰∞+12)(dx x f 收敛，但⎰∞+1)(dx x f 发散.页脚内容300（2）f x dx a 2()+∞⎰收敛不能保证⎰∞+adx x f )(绝对收敛，例如：xx x f sin )(=，则⎰∞+12)(dx x f 收敛，但⎰∞+1)(dx x f 不是绝对收敛的；⎰∞+a dx x f )(绝对收敛不能保证f x dx a 2()+∞⎰收敛，例如：⎪⎩⎪⎨⎧+∈=∞=其他0]1,[)(23n n n n x n x f ，则⎰∞+1)(dx x f 绝对收敛，但⎰∞+12)(dx x f 发散.（3）由)](1[21)(2x f x f +≤，可知⎰b a dx x f )(2收敛保证⎰ba dx x f )(绝对收敛；但⎰b a dx x f )(绝对收敛不能保证⎰ba dx x f )(2收敛，例如：xx f 1)(=，则⎰1)(dx x f 绝对收敛，但⎰102)(dx x f 发散.16. 证明反常积分sin sin xx xdx p++∞⎰1当p ≤12时发散，当121<≤p 时条件收敛，当p >1时绝对收敛.证 当p >1时，对充分大的x ，有x x x p sin sin +p x 2≤，由于积分⎰∞+12dx xp 收敛，可知积分sin sin xx xdx p ++∞⎰1绝对收敛.当10≤<p 时，利用等式)sin (sin sin sin sin 2x x x xx x x x x pp p p+-=+.页脚内容301这时积分⎰∞+1sin dx x x p 收敛；积分⎰∞++12)sin (sin dx x x x x p p 当121<≤p 时收敛，当210≤<p 发散. 当121<≤p 时，由于⎰+++434sin sin ππππn n p dx x x x 1)1(122++⋅≥pp n ππ，因为级数1)1(11++∑∞=pp n n π发散，所以积分⎰∞++1sin sin dx xx xp发散. 综上所述，当121<≤p 时，积分sin sin x x x dx p ++∞⎰1条件收敛；当210≤<p 时，积分sin sin x x x dx p++∞⎰1发散.当0≤p 时，因为有⎰+++2242sin sin ππππn n p dx x x x 2224sin 2n n x dx ππππ++>⎰π162>，由 Cauchy 收敛原理，可知积分sin sin xx xdx p ++∞⎰1发散.。
反常积分的收敛判别法
反常积分的收敛判别法阿文摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值.关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法引 言一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的.一 非负函数反常积分的收敛判别法1.比较判别法设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数，则（1） 当⎰+∞adx x )(ϕ收敛时⎰+∞a dx x f )(也收敛；（2） 当⎰+∞a dx x f )(发散时⎰+∞a dx x )(ϕ也发散.2.Cauchy 判别法设在),[+∞a ),0(+∞⊂上恒有0)(≥x f ，K 是正常数，（1）若p xK x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ⎰+∞)(收敛； （2）若p xx f K ≥)(，且p 1≤，则⎰+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法1.Abel 判别法dx x f a ⎰+∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛；2.Dirichlet 判别法F(A)=dx x f A a ⎰)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛.三 无界函数反常积分的收敛判别法1.Cauchy 判别法设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,)()(p x b K x f -≤且p<1，则⎰b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(px b K x f -≥且p 1≥则⎰b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法⎰ba dx x f )(收敛，)(x g 在),[b a 上单调有界，则⎰ba dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法⎰-=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则⎰ba dx x g x f )()(收敛.总 结函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同.熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高.参考文献[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.。
反常积分收敛判别法
些 新 的判 别 方 法 ．
二 、 常 积 分 基 本 判 别 方 法 反
反常积分与数值级数 ∑ ｎ之间的 如下 类比
级 数 的通 项 ： ａ 被 积 函数 ）
级数的 部分和： ｎ ∑Ｎ ａ
专 题 研 究
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反常积分收敛判别法
◎高建平 刘 声 （ 州大学理学院 贵 ◎ 张 蕊 （ 南 信 阳 师 范 学 院 教 育 学 院 河
＋… 的 和 问 题
单调有界， Ｉ ＿ ） （ ｄ 则 厂 ｇ ） ｘ收敛； ｉ ｈ ｔ （ Ｄｒ ｌ 判别法： ｉ ｅ ｃ 若 ， Ａ ＝ｆ （）ｘ ｎ ＋。 上有界，（ ） 。 ＋。） （） 厂 ｄ 存［ ， 。） ｇ 在［ ， 。 上
因此要反常积分 ｆ 厂 ） ｘ存 在 ， 须也 只需 对于任 （ ｄ 必
知 ， 些 反 常 积 分 能 化 为 级数 ． 有
设 ， ｘｘ … 有 ｄ
ｇ
一 （） ｇ 等＝ ÷
２ ．级 数 判 别 法
函数的极限可以用两种方法来 表达 ， “ 即 ｓ一６说 法 ”与
（）． ÷等
“ 整 序 变 量 说 法 ” 若 把 极 限 的 第 二 种 定 义 法 用 到 函 数 用 ．
设 函数 ＿ 在 区 间 ［ ，］ 连 续 ， 厂 （ ） 。 ｂ上 ｂ为瑕 点 ． 有 则
￡：
ｌ ＿ ＿
ch-8-2反常积分的收敛判别法
+∞
f ( x )dx ， ∫a
2
+∞
1 dx 收敛， 收敛， 2 x
由比较判别知
故
∫a
+∞
f ( x) | | dx 收敛， 收敛， x
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛。 收敛。 x
数学分析 3、一般函数反常积分的收敛判别法
8.2.4（积分第二中值定理） b 定理 8.2.4（积分第二中值定理） 设 f ( x)在[a, ]上可 b 上单调， 积， g( x)在[a, ]上单调，则存在ξ ∈ [a ,b]，使得
+∞
+∞ +∞
f ( x )dx 收敛； 收敛； f ( x )dx 发散。 发散。
例 8.2.3
解
的敛散性（ 讨论 ∫0 x a e − x dx 的敛散性（ a ∈ R ）。
因为对任意常数 a ∈ R ，有 lim x 2 ( x a e − x ) = 0 ，
x → +∞
+∞
判别法的极限形式（ ），可知 收敛。 由 Cauchy 判别法的极限形式（1），可知 ∫0 x a e − x dx 收敛。
即 ∫a
+∞
f ( x ) dx = 2 ∫a ϕ ( x ) dx −
+∞
∫a
+∞
f ( x ) dx , 收敛 收敛.
数学分析 例1 设 ∫a f ( x )dx 收敛，证明 收敛，
2 +∞
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛（a>0）。 收敛（ ） x
f ( x) 1 1 |≤ [ 2 + f 2 ( x )] 证 Q | x 2 x
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性
「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性反常积分：反常积分又叫做广义积分，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，也就是分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。
无穷区间上的反常积分：设f(x)在区间[a,∞)上连续，称为f(x)在[a,+∞)上的反常积分.如果右边极限存在，称此反常积分收敛；如果右边极限不存在，就称此反常积分发散。
无界函数的反常积分：设f(x)在区间[a,b)上连续，且f(x)在趋向于点b上的极限为∞，成为f(x)在区间[a,b)上的反常积分(也称瑕积分)，使f(x)极限为∞的点b称为f(x)的奇点(也称瑕点)，这个点上是无法积分的。
图一如图所示，给出一个反常积分，并告诉我们该反常积分收敛，则我们可以得到哪些信息。
通过反常积分的概念，可以知道这道题指的是在无穷区间的反常积分（只要一看积分区间有∞存在，即可知道该反常积分为在无穷区间上的反常积分），如果右边的极限存在，就称该反常积分收敛，这个概念说明该反常积分存在极限，这道题反常积分的瑕点为1。
那我们便可以将该反常积分分为两个区间来计算，一个区间是位于(0,1)，另一个区间则是位于(1,+∞)，我们可以先对第一个区间进行判断，因为要让该反常积分收敛，必须让两个区间的积分都收敛才可以。
（一个是无界函数的反常积分，另一个则是无穷区间的反常积分。
）如果说这两个反常积分有一个不存在，就说明该反常积分不存在（发散），反之，要说明该反常积分存在（收敛），说明两个反常积分都要存在才可以。
由第一个区间判断可以得到，a<1；由第二区间判断可以得到当a+b>1时，收敛。
最后得到的结果便是，a<1，a+b>1，该反常积分收敛。
最后给出解答过程：图二虽然有这道实例的支撑，但我对反常积分还是不够理解，直到我看到了瑕积分的判敛性定理：定理一，f(x)在区间（a,b]上连续并且f(x)>=0，设该区间趋向于a 的极限存在，那就可以得到当x的幂次方小于1，该反常积分收敛，根据这个定理我们就能够得到a<1这个结果的存在。
Ch 8.2 反常积分
g(x) 在 [a,b] 上单调有界
lim g ( x) = 0 , x → +∞
∫
+∞
a
收敛. f ( x) g ( x)dx 收敛 A—D 判别法
Abel 判别法 Dirichlet 判敛法
+∞
例
讨论积分
sin x 的敛散性. dx 的敛散性. ∫ x 1
sin x arctan x dx 的敛散性. 的敛散性. x
ⅲ>
c = +∞ ⇒
∫ ϕ ( x)dx = +∞时， f ( x)dx = +∞ ∫
Cauchy判敛法 判敛法: 判敛法
+∞
在比较判敛法中, 以 在比较判敛法中
∫
1
dx 1 为比较对象, 即取 ϕ ( x ) = p , 为比较对象, p x x
则得到以下的Cauchy判敛法 以下取 a > 0 . 判敛法. 则得到以下的 判敛法
∫
A
a
f ( x)dx 单调不减，因此
+∞
f 在 [a, +∞) 上不可积 ⇔ ∫
a
f ( x)dx = +∞
比较判别法
定理 8.2 设定义在 [ a , +∞ ) 上 0 ≤ f ( x ) ≤ K ϕ ( x ),
K 是正数，则
( ) (ⅰ) 当 (ⅱ) 当
∫
∫
+∞
a
ϕ ( x ) dx 收敛时, ∫ ,
x →b −
则积分
∫ f ( x) g ( x)dx
a
b
收敛. 收敛
1
例
讨论积分
dx ∫ x p ln x 0
高等数学第五章第5节反常积分收敛性判别
第 五 章 定 积 分
M M 0 及 q 1，使得 f ( x ) ( a x b ), 则 q ( x a) 瑕积分
b
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数N 0 及 q 1，
N 使得 f ( x ) ( a x b ), 则瑕积分 q ( x a) 发散 .
f ( x ) g( x )
(1) 若 g( x )dx 收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛; a a (2) 若
b
b
a f ( x )dx 发散, 则 a g( x )dx 一定发散.
- 10 -
b
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定理8 (比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
第 五 章 定 积 分
且 0 f ( x ) g( x ) (a x ), 则 [a , ) 连续， 则无穷积分 （1） 如果无穷积分 g( x )dx 收敛，
a
a
f ( x )dx 也收敛； f ( x )dx 也发散。
a
则无穷积分 （2） 如果无穷积分 a g( x )dx 发散，
a
f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即
a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a
-8-
a
f ( x ) dx.
收敛.
第五节
反常积分收敛性判别法
【高校与高等教育】反常积分收敛结论
反常积分收敛结论1️⃣ 反常积分的基本概念与分类反常积分，又称广义积分，是微积分学中的一个重要概念，它突破了传统定积分对积分区间和被积函数连续性的限制。
根据积分区间或被积函数特性的不同，反常积分主要分为两类：无限区间上的反常积分和被积函数存在瑕点的反常积分。
前者涉及积分区间的一个或两个端点趋于无穷大的情况，后者则关注被积函数在积分区间内的某些点上无定义或趋于无穷大的情形。
2️⃣ 反常积分收敛性的判定方法2.1 比较判别法比较判别法是判断反常积分收敛性的常用方法之一。
它通过将待判定的反常积分与一个已知收敛或发散的积分进行比较，从而得出待判定积分的收敛性。
具体而言，若存在一个收敛的正常积分，其被积函数在积分区间内始终大于或等于待判定反常积分的被积函数，则待判定反常积分收敛；反之，若存在一个发散的正常积分，其被积函数在积分区间内始终小于或等于待判定反常积分的被积函数，则待判定反常积分发散。
2.2 极限判别法极限判别法是通过考察被积函数在积分区间端点或瑕点附近的极限行为来判断反常积分的收敛性。
对于无限区间上的反常积分，若被积函数在积分区间的一个端点趋于无穷大时，其极限趋于0且足够快（通常要求快于1x的衰减速度），则积分收敛。
对于被积函数存在瑕点的反常积分，需考察瑕点附近的函数行为，若被积函数在瑕点附近的极限存在且有限，或虽不存在但可通过适当变换转化为可积形式，则积分收敛。
2.3 柯西判别法（积分判别法）柯西判别法是一种更为一般的方法，它通过对被积函数进行适当变换，将反常积分转化为一个更容易判断收敛性的形式。
具体而言，若能找到一个正的单调递减函数g(x)，使得待判定反常积分的被积函数可以被g(x)所控制（即小于或等于g(x)乘以某个正常数），且g(x)从某一点开始的积分收敛，则待判定反常积分也收敛。
3️⃣ 反常积分收敛结论的应用与意义反常积分收敛性的研究不仅在数学理论上具有重要意义，还在物理学、工程学等多个领域有着广泛的应用。
反常积分的收敛判别法
条件收敛（或称 f( x)在[a,)上条件可积）。
推论
若反常积分
a
f( x)dx绝对收敛，则它一定收敛。
证1
对任意给定的
0，由于 a
f ( x) dx 收敛，所以存在
A0
Байду номын сангаас
a，使得对任意 A, A
A0，成立
A
A
f ( x) dx
。
利用定积分的性质，得到
A
数学分析
第二节 反常积分的收敛判别法
一、Cauchy收敛原理 二、无穷区间形式
三、无界函数形式
四、小 结
重点：反常积分收敛的判别 难点: 反常积分的收敛的应用
一、反常积分的Cauchy收敛原理
数学分析
下面以 a
f( x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分
a
f
(
x)dx
数学分析
推论（比较判别法的极限形式）设在[a,)上恒有 f( x) 0和
( x) 0，且
lim f(x)
x ( x)
l，
则
（1）若0
l
，则
a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛；
（2）若0
l
，则
a
(
x)dx
发散时
a
f( x)dx也发散。
（1）
当
a
(
x)dx
收敛时
a
反常积分收敛判断
反常积分的收敛判断可以通过以下几种方法进行：
1.比较判别法：将原积分函数与已知函数进行比较，通过比较函数的大小关系来判断反常积分是否收敛。
如果原积分函数在某个区间内小于已知函数，则该积分收敛；如果原积分函数在某个区间内大于已知函数，则该积分发散。
2.极限判别法：将原积分函数拆分为两个积分，然后分别对它们的积分上限取极限，如果这两个极限都存在，且它们的和存在，则该积分收敛；否则，该积分发散。
3.绝对收敛法：如果原积分函数的绝对值在积分区间上可积，则该积分收敛。
这种方法适用于一些比较复杂的积分函数，但需要进行复杂的计算。
4.直接计算法（或称定义法）：通过直接计算反常积分来判断敛散性。
若反常积分能计算出一个具体数值，则收敛，否则发散。
此种方法适合被积函数的原函数容易求得时的反常积分敛散性的判别。
这些方法有各自的优点和适用范围，需要根据具体问题选择合适的方法进行判断。
反常积分p级数收敛判别法
反常积分p级数收敛判别法
反常积分p级数收敛判别法是通过比较被积函数与指数函数的增长速度来判断反常积分是否收敛的方法。
具体地说，考虑形如∫[a,∞] f(x) dx 的反常积分，其中 f(x) 是连
续函数，且 f(x) > 0。
如果存在正常数 p，使得lim(x→∞) [x^p * f(x)] 存在且有限，
则该反常积分收敛。
反之，如果对于任意正常数 p，lim(x→∞) [x^p * f(x)] 不存在
或为无穷大，则该反常积分发散。
这个定理的核心思想是，当指数函数 x^p 增长速度大于被积函数 f(x) 时，反常积分收敛；当指数函数的增长速度小于等于被积函数时，反常积分发散。
需要注意的是，反常积分收敛并不意味着积分的结果是有限的，而只是意味着积分存在。
积分结果是否有限还需要额外的讨论。
反常积分收敛性判断方法
反常积分收敛性判断方法
积分收敛性是科学研究的基本要求，是数学统计学和高等数学的重要概念。
反常积分收敛性是指某个积分的结果没有收敛，在趋于一定值的情况下，结果无限逼近此值，结果却不在围绕此值徘徊，而是继续增加、持续变大，
从而引起反常的现象。
反常积分收敛性的判断方法有多种，其中最常用的一种方法是采用数值法。
在某个积分结果无收敛，而变大的情况下，我们可以比较多次计算得到
的数值，发现它们存在连续性递增或者趋向于一定值，但是这个值再次以不
断增大的趋势变化，由此就可以得出反常积分收敛性的结论。
另外，在判断反常积分收敛性时还可以采用理论分析法，即仔细分析被
计算积分的概念，通过求积分的过程分析，判断是否存在反常积分收敛性现象。
总之，反常积分收敛性的判断，既可以采用实验数据、仿真分析和数值
统计方法，也可以采用理论分析方法，也可以综合运用这两种方法，以便尽
早发现反常积分收敛性的情况，以及其引起的其它问题。
反常积分收敛判断
反常积分收敛判断
摘要：
1.反常积分的定义及作用
2.反常积分收敛的判断方法
3.反常积分的应用举例
正文：
一、反常积分的定义及作用
反常积分，又称为不定积分，是指在一个定义域上，对一个函数进行积分，积分结果与定义域无关的积分。
反常积分通常用来计算函数在一段区间上的积分值，它可以用来求解微分方程的解以及研究函数的性质等。
二、反常积分收敛的判断方法
判断反常积分是否收敛，主要有以下几种方法：
1.柯西积分准则：如果一个函数在定义域上满足柯西积分准则，那么这个函数在这个定义域上的反常积分是收敛的。
2.积分区间长度：如果一个函数在定义域上的长度是有限的，并且函数在这个区间上是连续的，那么这个函数在这个定义域上的反常积分是收敛的。
3.分部积分法：可以将函数分解成部分，然后分别求解每个部分的反常积分，如果这些部分的积分都是收敛的，那么原函数的反常积分也是收敛的。
三、反常积分的应用举例
举例来说，如果我们需要求解函数f(x) = 1/x在区间[1, 2] 上的积分值，我们可以使用反常积分的方法。
首先，将函数分解成部分，即f(x) = 1/x =
H(x) - H(2)，其中H(x) 是函数x 的反函数。
然后，我们可以分别求解H(x) 和H(2) 在区间[1, 2] 上的积分值，再将它们相减，即可得到f(x) 在区间[1, 2] 上的积分值。
综上所述，反常积分是一种重要的数学工具，它可以帮助我们求解许多实际问题。
反常积分的收敛判别法
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或时，和的敛散性可以产生各种不同的的情况。
+∞∫∞+adx x )(ϕ∫∞+adx x f )(解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。
则当收敛时也收敛； ∫∞+a dx x )(ϕ∫∞+a dx x f )(当发散时也发散。
∫∞+a dx x f )(∫∞+a dx x )(ϕ证 当收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，∫∞+a dx x )(ϕ0>∀ε ，，a A ≥∃00,A A A ≥′∀：Kdx x A Aεϕ<∫′)(。
于是≤∫′A Adx x f )(εϕ<∫′A A dx x K )(，所以也收敛；∫∞+a dx x f )(当发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，∫∞+a dx x f )(00>∃ε，，a A ≥∀00,A A A ≥′∃：εK dxx f A A ≥∫′)(。
于是≥∫′A A dx x )(ϕ0)(1ε≥∫′A A dx x f K ，所以也发散。
∫∞+a dx x )(ϕ（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ。
则当发散时，∫也发散；但当收敛时，∫可能收敛，∫∞+a dxx f )(∞+a dx x )(ϕ∫∞+a dx x f )(∞+a dx x )(ϕ也可能发散。
例如21)(xx f =，)20(1)(<<=p x x p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。
显然有 ∫∞+1)(dx x f 收敛，而对于，则当∫∞+1)(dx x ϕ21<<p 时收敛，当时10≤<p 发散。
设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)()(limx x f x ϕ。
反常二重积分收敛性的判定
反常二重积分收敛性的判定刘继成;王湘君【摘要】华东师范大学数学系编《数学分析(下册)》教材在第21.8节介绍了反常二重积分收敛的定义、判定定理,作者发现教材中对本节内容的处理不够清晰,特别是没有给出定理21.19关于反常二重积分收敛等价于绝对收敛的直观解释.本文优化了该节的内容,理顺了反常二重积分收敛的判定方法,证明了无界区域上的二重积分转化为累次积分的定理,构造例子说明了反常一重积分收敛与反常二重积分收敛的本质区别.通过分析例子表明,在本文框架下判定反常二重积分收敛性及计算积分值是非常有效的.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)003【总页数】7页(P53-59)【关键词】反常二重积分;绝对收敛;无界区域【作者】刘继成;王湘君【作者单位】华中科技大学数学与统计学院,武汉430074;华中科技大学数学与统计学院,武汉430074【正文语种】中文【中图分类】O172.2首先叙述无界区域上的反常二重积分收敛的定义，参见文献[1]P.279.定义1 设f(x,y)为定义在无界区域D上的二元函数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ，f(x,y)在曲线γ所围的有界区域Eγ与D的交集Eγ∩D=Dγ上恒可积.令若极限存在有限，且与γ的取法无关，则称f(x,y)在D上的反常二重积分收敛，并记否则称发散.该定义表明，反常二重积分收敛要求对任意包围原点的光滑封闭曲线γ，f(x,y)在Dγ上可积，极限(1)收敛与γ的取法无关.因此，要想判断f(x,y)dσ发散，只需要找到一个序列γn，极限(1)不收敛即可.然而，想利用定义1判断极限(1)收敛是困难的.若f(x,y)是非负的，定义1等价于只要存在一列包围原点的光滑封闭曲线序列γ n，满足Eγn⊂Eγn+1且当n→∞时dγn→+∞，其中Eγ为γn所围的有界区域，f(x,y)在Dn=Eγn∩D上可积，且极限(1)存在.由被积函数的非负性及单调收敛定理，极限存在等价于有上界.因此，对非负被积函数有下面的结论，见文献[1]P.280定理21.17.由定义1，下面定理条件的必要性是显然的.定理2 设在无界区域D上f(x,y)≥0，γ1,γ2,…,γn,…为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足, 当n→∞,,其中Dn=Eγn∩D，则反常二重积分(1)收敛，并且正如上面的解释，利用定理2，要判断非负函数在无界区域上反常积分的收敛性及积分值，只需对为一列包围原点的光滑封闭曲线序列验证性质(i)和(ii)，同时得到积分收敛性和积分值.通常，选择En=[-n,n]×[-n,n]或者En={(x,y)|x2+y2≤n2}，γn为其边界.显然，γn满足(i).对于(ii)，由单调收敛定理，只需验证例1 证明反常二重积分收敛，其中为第一象限部分，即[0,+∞).证取En={(x,y)|x2≤n2}，γn为其边界，.则dn=n→+∞，γn满足(i).其次γn满足(ii).由定理2知，积分(2)收敛，且注1 文献[1]中证明例1的方法是利用P.281定理21.18.经比较，直接利用定理2更简单.定理3 设f(x),g(x)≥0，且无穷积分收敛，则收敛，且I=I1×I2.注2 记σ.定理2的结论就是反常二重积分化为累次积分的公式注意到，定理3的逆命题一般是不成立的.比如f(x)≡0,g(x)≡1，显然，但定理3的证明取 En=[-n,n]×[-n,n]，γn为其边界，.则dn=n→+∞，γn满足(i).其次由定理2知，积分收敛，且I=I1×I2.例2 计算反常积分的值.解考察二重反常积分由定理3，J收敛，且J=I 2.由例1，有.因此.例3 若p,q>0，则其中为Gamma函数，为Beta函数.证对Gamma函数Γ(p)，令x=u2，则dx=2udu，则对Beta函数B(p,q)，令x= cos2θ，则dx=2cosθdθ，则由定理3，有取En={(x,y)|x2+y2≤n2}，γn为其边界，.则为了对一般函数反常二重积分收敛性进行判定，需要下面的Cauchy收敛准则. 定理4 (Cauchy收敛准则) 设f(x,y)为定义在无界区域D上的二元函数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ，f(x,y)在曲线γ所围的有界区域E γ与D的交集Eγ∩D=Dγ上恒可积.则f(x,y)dσ收敛的充要条件是对∀ε>0，存在R>0，使对任意具有光滑边界且包含在D\B(0,R)的有界区域U，都有其中B(0,R)是以原点为圆心，R为半径的圆域.证必要性是显然的，下证充分性.考虑函数函数F(R)对所有的R有定义，且由Cauchy条件知，当R→+∞时，F(R)收敛，其极限记为I.∀ε>0，存在R>0使|F(R)-I|≤ε.对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ，且dγ≥R，有由Cauchy收敛准则容易知，若|f(x,y)|dσ收敛，则f(x,y)dσ收敛.此时，称f(x,y)dσ绝对收敛.相反，若收敛，而不收敛，称条件收敛.应用Cauchy收敛准则可得到下面最常用的比较判别法.定理5(比较判别法) 设f(x,y)为定义在无界区域D上的二元函数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ，f(x,y)在曲线γ所围的有界区域Eγ与D的交集Eγ∩D=Dγ上恒可积.又设满足同样条件的非负函数g(x,y)满足且收敛，则绝对收敛.证直接由定理2和定理3立得.例4 设D=(-∞,+∞)×(-∞,+∞)，判断反常二重积分的收敛性，并说明理由.当积分收敛时，求积分的值.解首先证明I绝对收敛.令Dn=[-n,n]×[-n,n], 则当n→+∞时，dn→+∞，且所以，I绝对收敛.其次，直接计算对于反常二重积分，可以证明：∫Df(x,y)dσ条件收敛，则必定绝对收敛 (见[1] P283定理21.19，或者证明见[2] P276定理13.4.2).这一点与反常一重积分有本质的不同.为了能直观上理解该性质，在本节中我们将以例子来给予分析和比较.由此，要判断一般函数反常二重积分的收敛，等价于判断其绝对值的非负函数积分的收敛，这已在第2节和第3节中讨论.我们首先回顾无穷限反常一重积分的定义(参见[1]上册P272)，然后用例子说明，反常一重积分收敛与反常二重积分收敛不同性质的本质是由于定义不同造成的. 定义6 设函数f(x)定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何有限区间[a,u]上可积，如果存在极限则称此极限J为函数f(x)在[a,+∞)上的无穷限反常积分，记作并称f(x)dx收敛.如果极限不存在，称发散.例5 设函数f(x)定义在上，且则由于级数收敛，因此极限f(x)dx存在，且但因为该级数不绝对收敛，因此反常一重积分 f(x)dx也不绝对收敛.例6 设函数h(x,y)定义在上，且其中f(x)与例5中相同，现在来考察反常二重积分是否收敛，是否绝对收敛.取En=[-n,n]×[-n,n]，γn为其边界，.则d(Dn)=n→+∞，γn满足(i).其次，亦即，不绝对收敛.另外，对n≥1，取，其中γn为En的边界，，其中[0,n].如右图所示：E n为整个区域和为阴影区域，则dn=n→+∞，而且最后一个等式是因为数列发散.综上，发散.注3 反常一重积分收敛和反常二重积分收敛有此不同性质的本质是实数R是有全序的，而平面是无全序的.因此，反常二重积分不能定义为其中B(0,R)是以原点为中心，R为半径的圆域.例如，显然不能认为xdxdy=0是收敛的，但正是如此，反常二重积分必须是定义1中对任意的区域Dγ的极限来定义，而不是某类特别的区域.另外，如果将定义6改为下面的形式，则反常一重积分与反常二重积分收敛性质相同.定义6′设f(x)为定义在无穷区间[a,+∞)上的函数，若对R上任一包含原点的有界集合En，f(x)在En与[a,+∞)的交集En∩[a,+∞)=Dn上恒可积.设γn为En的边界，令若极限存在有限，且与En的选取无关，则称f(x)在[a,+∞)上的无穷限反常积分收敛，记作否则称发散.再看例5，如按照定义6′，则例5中的反常积分f(x)dx不收敛.事实上，只要选取则，极限发散.[1] 华东师范大学数学系. 数学分析(下册)[M]. 北京：高等教育出版社， 2014.[2] 陈纪修，於崇华，金路. 数学分析[M]. 2版. 北京：高等教育出版社， 2004.[3] 卓里奇B A. 数学分析[M]. 蒋铎，王昆杨，周美珂，邝荣雨译. 4版. 北京：高等教育出版社， 2006.[4] 崔尚斌. 数学分析教程[M]. 北京：科学出版社，2013.[5] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏. 数学分析学习指导书(下册)[M]. 北京：高等教育出版社，2004.Key words: improper double integral; absolute convergence; unbounded d omain。
无穷限反常积分收敛判别法
无穷限反常积分收敛判别法本文探讨了一种可用于鉴别无穷限反常积分收敛性的方法——无穷限反常积分收敛判别法。
通过例子，展示了这一方法的运用，并简单分析了该方法的特点。
无穷限反常积分是对无穷级数和反常积分的理论总结，它可以用于对反常积分收敛性的研究。
无穷限反常积分收敛判别法是一种可以有效鉴别无穷限反常积分收敛性的方法。
一般，它将反常积分表示为： $$int_a^b f(x)dx=sum_{n=1}^{infty}int_a^bF_n(x)dx$$ 其中$F_n(x)$为反常函数序列，有$F_nightarrow f(x)$当$nightarrow infty$。
下面介绍一个具体的例子：考虑反常积分$$I=int_0^1frac{1-x}{(1+x)ln x}dx$$可以将它分为两个部分：$$I=int_0^1frac{1-x}{(1+x)lnx}dx=int_0^1frac{1}{1+x}dx+int_0^1frac{-x}{(1+x)ln x}dx$$ 利用无穷限反常积分收敛判别法，可以证明$I$为有界积分，具体的，可以将积分分解为：$$I=int_0^1frac{1}{1+x}dx+int_0^1frac{-x}{(1+x)lnx}dx=int_0^1frac{1}{1+x}dx-int_0^1frac{x}{(1+x)^2ln x}dx$$ 由$F_n=frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}$可以得到：$$I=sum_{n=1}^{infty}int_0^1frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}dx-int_0^1frac{x}{(1+x)^2ln x}dx$$可以得到：$$I=sum_{n=1}^{infty}int_0^1frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}dx-frac{1}{2}$$由于右端部分可以给出明确的数值，因此$I$为有界积分。
从上面的例子中可以看出，无穷限反常积分收敛判别法是一种有效的鉴别无穷限反常积分收敛性的方法。
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讨论
1
cos 2x sin xdx x3 a2
的敛散性（a
是常数）。
解 因为当 x 1时有
cos 2x sin x 1 ， x3 a2 x x
已知 1
x
1
dx x
收敛，由比较判别法，
1
cos 2x sin xdx x3 a2
绝
对收敛，所以
1
cos 2x sin x dx
x ( x)
f( x)
( x)
l，其中0
l
l （当 l
时，l可取任意正数）
即 f( x) l( x)。
于是，由比较判别法，当
a
(
x)dx
发散时
a
f( x)dx也发散。
例 8.2.2 解 因为
数学分析
讨论 13
x4
3x3
1 5x2
反常积分 a
f( x)dx收敛
的充分必要条件是：对任意给定的 0，存在 A0 a，使得
对任意 A, A A0，有
A
A
f( x)dx
。
二、无穷区间形式
数学分析
虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必 要条件，但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困 难，因此需要导出一些便于使用的收敛判别法。
x3 a2
收敛。
注 记 ： 在 以 上 定 理 中 ， 条 件 “ 在 [a, ) 上 恒 有
0 f( x) K( x)”，可以放宽为“存在 A a，在[A, ) 上恒有0 f( x) K( x)”。
数学分析
推论（比较判别法的极限形式）设在[a,)上恒有 f( x) 0和
dx 的敛散性。 2x 1
lim
3 x4
1，
x 3 x4 3x 3 5x 2 2x 1
由于 1 dx 收敛，所以
1
dx 收敛。
1 3 x4
1 3 x4 3x3 5x2 2x 1
将定理
8.2.2
中的(
x)取为
1 xp
，就得到如下的
Cauchy
f(
x)dx 绝对收敛，则它一定收敛。 f ( x) ).
( x) 0，2且 ( x) f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
(
x
)dx
A0
a，使得对任意 A, A
A0，成立
A
A
f ( x) dx
。
利用定积分的性质，得到
A
A
f( x)dx
A
A
f( x)dx
，
由
Cauchy
收敛原理，可知
a
f( x)dx收敛。
2、绝对收敛与条件收敛
数学分析
定义 8.2.1 设 f( x)在任意有限区间[a,A] [a,)上
( x) 0，且
lim f(x)
x ( x)
l，
则
（1）若0l，则a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛；
（2）若0
l
，则
a
(
x)dx
发散时
a
f( x)dx也发散。
所以，当0
l
时，a
(
x)dx
和
a
f( x)dx同时收敛
一、反常积分的Cauchy收敛原理
数学分析
下面以 a
f( x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分
a
f(
x)dx
收敛即为极限
lim
A
A
a
f( x)dx存
在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy
收敛原理，它可以表述为如下形式：
定理 8.2.1（Cauchy 收敛原理）
判别法：
定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[a, ) (0, )上恒有
f( x) 0， K 是正常数。
⑴
若 f (x)
K xp
，且
p
1，则 a
f ( x)dx收敛；
⑵
若 f (x)
K xp
，且
p
1，则 a
f( x)dx发散。
数学分析
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[a, ) (0, )上
lim x2( xa ex ) 0，
x
由
Cauchy
判别法的极限形式（1），可知
0
xa
e
x dx 收敛。
2、绝对收敛与条件收敛
数学分析
定义 8.2.1 设 f( x)在任意有限区间[a,A] [a,)上
可积，且 a
f(
x)dx
收敛，则称
a
f( x)dx绝对收敛（或
恒有 f( x) 0，且
lim x p f(x) l ，
x
则
（1）若0
l
，且 p
1，则 a
f( x)dx收敛；
（2）若0
l
，且 p
1，则 a
f( x)dx发散。
例 8.2.3
讨论 0
xa
e
x
dx的敛散性（a
R
）。
解 因为对任意常数a R，有
称 f( x)在[a,)上绝对可积）。
若 a
f(
x)dx
收敛
而非绝对收敛，则称
a
f( x)dx
条件收敛（或称 f( x)在[a,)上条件可积）。
推论
若反常积分
a
f( x)dx绝对收敛，则它一定收敛。
证1
对任意给定的
0，由于 a
f ( x) dx 收敛，所以存在
可积，且 a
f(
x)dx
收敛，则称
a
f( x)dx绝对收敛（或
称 f( x)在[a,)上绝对可积）。
若 a
f(
x)dx
收敛
而非绝对收敛，则称
a
f( x)dx
条件收敛（或称 f( x)在[a,)上条件可积）。
推论
证2
令若反( x常) 积1分( f(ax)
或同时发散。
证
⑴
若 lim f(x)
x ( x)
l
，则存在常数 A
a，
当 x A时成立
f( x)
( x)
l
1，
数学分析
即 f( x) (l 1)( x)。
于是，由比较判别法，当
a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛。
⑵ 若 lim f ( x) l 0，存在常数 A a，使得当 x A时成立
1、非负函数反常积分的收敛判别法
定理 8.2.2（比较判别法） 设在[a,)上恒有
0 f( x) K( x)，其中 K 是正常数。则
（1）
当
a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛；
（2）
当 a
f(
x)dx
发散时
a
(
x)dx
也发散。
数学分析
例 8.2.1