ch82反常积分的收敛判别法
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讨论
1
cos 2x sin xdx x3 a2
的敛散性（a
是常数）。
解 因为当 x 1时有
cos 2x sin x 1 ， x3 a2 x x
已知 1
x
1
dx x
收敛，由比较判别法，
1
cos 2x sin xdx x3 a2
绝
对收敛，所以
1
cos 2x sin x dx
f(
x)dx 绝对收敛，则它一定收敛。 f ( x) ).
( x) 0，2且 ( x) f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
(
x
)dx
x3 a2
收敛。
注 记 ： 在 以 上 定 理 中 ， 条 件 “ 在 [a, ) 上 恒 有
0 f( x) K( x)”，可以放宽为“存在 A a，在[A, ) 上恒有0 f( x) K( x)”。
数学分析
推论（比较判别法的极限形式）设在[a,)上恒有 f( x) 0和
A0
a，使得对任意 A, A
A0，成立
A
A
f ( x) dx
。
利用定积分的性质，得到
A
A
f( x)dx
A
A
f( x)dx
，
由
Cauchy
收敛原理，可知
a
f( x)dx收敛。
2、绝对收敛与条件收敛
数学分析
定义 8.2.1 设 f( x)在任意有限区间[a,A] [a,)上
dx 的敛散性。 2x 1
lim
3 x4
1，
x 3 x4 3x 3 5x 2 2x 1
由于 1 dx 收敛，所以
1
dx 收敛。
1 3 x4
1 3 x4 3x3 5x2 2x 1
将定理
8.2.2
中的(
x)取为
1 xp
，就得到如下的
Cauchy
判别法：
定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[a, ) (0, )上恒有
f( x) 0， K 是正常数。
⑴
若 f (x)
K xp
，且
p
1，则 a
f ( x)dx收敛；
⑵
若 f (x)
K xp
，且
p
1，则 a
f( x)dx发散。
数学分析
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[a, ) (0, )上
称 f( x)在[a,)上绝对可积）。
若 a
f(
x)dx
收敛
而非绝对收敛，则称
a
f( x)dx
条件收敛（或称 f( x)在[a,)上条件可积）。
推论
若反常积分
a
f( x)dx绝对收敛，则它一定收敛。
证1
对任意给定的
0，由于 a
f ( x) dx 收敛，所以存在
( x) 0，且
lim f(x)
x ( x)
l，
则
（1）若0
l
，则
a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛；
（2）若0
l
，则
a
(
x)dx
发散时
a
f( x)dx也发散。
所以，当0
l
时，a
(
x)dx
和
a
f( x)dx同时收敛
反常积分 a
f( x)dx收敛
的充分必要条件是：对任意给定的 0，存在 A0 a，使得
对任意 A, A A0，有
A
A
f( x)dx
。
二、无穷区间形式
数学分析
虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必 要条件，但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困 难，因此需要导出一些便于使用的收敛判别法。
一、反常积分的Cauchy收敛原理
数学分析
下面以 a
f( x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分
a百度文库
f(
x)dx
收敛即为极限
lim
A
A
a
f( x)dx存
在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy
收敛原理，它可以表述为如下形式：
定理 8.2.1（Cauchy 收敛原理）
或同时发散。
证
⑴
若 lim f(x)
x ( x)
l
，则存在常数 A
a，
当 x A时成立
f( x)
( x)
l
1，
数学分析
即 f( x) (l 1)( x)。
于是，由比较判别法，当
a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛。
⑵ 若 lim f ( x) l 0，存在常数 A a，使得当 x A时成立
x ( x)
f( x)
( x)
l，其中0
l
l （当 l
时，l可取任意正数）
即 f( x) l( x)。
于是，由比较判别法，当
a
(
x)dx
发散时
a
f( x)dx也发散。
例 8.2.2 解 因为
数学分析
讨论 13
x4
3x3
1 5x2
1、非负函数反常积分的收敛判别法
定理 8.2.2（比较判别法） 设在[a,)上恒有
0 f( x) K( x)，其中 K 是正常数。则
（1）
当
a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛；
（2）
当 a
f(
x)dx
发散时
a
(
x)dx
也发散。
数学分析
例 8.2.1
lim x2( xa ex ) 0，
x
由
Cauchy
判别法的极限形式（1），可知
0
xa
e
x dx 收敛。
2、绝对收敛与条件收敛
数学分析
定义 8.2.1 设 f( x)在任意有限区间[a,A] [a,)上
可积，且 a
f(
x)dx
收敛，则称
a
f( x)dx绝对收敛（或
恒有 f( x) 0，且
lim x p f(x) l ，
x
则
（1）若0
l
，且 p
1，则 a
f( x)dx收敛；
（2）若0
l
，且 p
1，则 a
f( x)dx发散。
例 8.2.3
讨论 0
xa
e
x
dx的敛散性（a
R
）。
解 因为对任意常数a R，有
可积，且 a
f(
x)dx
收敛，则称
a
f( x)dx绝对收敛（或
称 f( x)在[a,)上绝对可积）。
若 a
f(
x)dx
收敛
而非绝对收敛，则称
a
f( x)dx
条件收敛（或称 f( x)在[a,)上条件可积）。
推论
证2
令若反( x常) 积1分( f(ax)