第16节欧拉方法分析解析

存在常数L 0，对任意 t , y1 , t , y2 D使得：
y1
y2
y1
y2
L
L
y1
y2
y1
y2
一阶微分方程的解
f (t , y ) 如果函数f (t , y )连续, f y (t , y ) 有界， y 则有中值定理： f (t , y1 ) - f (t , y2 ) = f y (t , c) y1 - y2 L y1 - y2 y1 c y2 L max max[ f y (t , y )]
第六章 微分方程的初值问题 第一节 欧拉方法
微分方程（组）
微分方程的描述： 1、自变量：x，t， .... 2、因变量：y，z，u，v 3、常微分方程： F ( y ( n ) , y ( n-1) ,..., y '', y ', y, x) 0 微分方程组： F1 ( y ( n ) , y ( n-1) ,..., y '', y ', y, z ( n ) ,..., z, x) 0 (n) ( n -1) (n) F ( y , y ,..., y '', y ', y , z ,..., z, x) 0 2 ... (n) ( n -1) (n) F ( y , y ,..., y '', y ', y , z ,..., z , x) 0 m
常系数线性微分方程解法： an y ( n ) ,..., a2 y '' a1 y ' a0 y f ( x) 拉普拉斯变换： L[an y ( n ) ,..., a2 y '' a1 y ' a0 y ] L[ f ( x)] [an s n ,..., a2 s 2 a1s1 a0 ]Y ( s ) F ( s ) F ( s) Y ( s) an s n ,..., a2 s 2 a1s1 a0 则： y (t ) Y ( s)ds
y ( x( n 1) ) y ( x( n ) ) x( n 1) x( n )
则微分方程组可表示为： y x( n 1) y x( n ) x( n 1) x( n ) 令 h x( n 1) x ( n ) , 则有： y x( n 1) y x( n ) hf ( x( n 1) , y ( x( n 1) )) 又由于y ( x( n ) )未知，令y ( x( n ) ) y x( n ) 将上述公式中的y ( x( n 1) )看作未知数， 则求解非线性方程组，得到后向欧拉方法的y(eu n 1) f ( x( n 1) , y ( x( n 1) ))
一阶微分方程的解
微分方程：xy ' 1 y 该方程的解为：y 1 Cx 选择初始：x 0, y 1, 则方程有无穷多解 选择初始：x 0, y 2, 则方程无解 选择初值：x 0，则有唯一解
y
x
欧拉方法
前向欧拉方法： 也叫做：左矩形数值求积公式建立Euler法 根据导数的定义，用差商代替微商(导数 )的方法 dy dx
( x( n ) , y( nBiblioteka Baidu) )
y ( x( n 1) ) y ( x( n ) ) x( n 1) x( n )
则微分方程组可表示为： y x( n 1) y x( n ) x( n 1) x( n ) 令 h x( n 1) x( n ) , 则有： y x( n 1) y x( n ) hf ( x( n ) , y ( x( n ) )) 又由于y ( x( n ) )未知，令y ( x( n ) ) y x( n ) 则得到前向欧拉方法的迭代公式：

0
y ( x1 ) b
一阶微分方程的解
李普希兹( Lipschitz )条件 : 如果定义在区间D f (t, y1 ) - f (t , y2 ) L y1 - y2 则称该函数满足李普希兹( Lipschitz )条件，L为Lipschitz常数。
2
的函数f (t , y )满足：
微分方程的初值问题与边值问题
微分方程初值问题： 微分方程边值问题： y ' f ( y, x) y '' f ( y ' y, x) y ( x0 ) b y( x ) a y '' f ( y ' y, x) y ( x0 ) a y '( x ) b 0
t y
一阶微分方程的解
一阶微分方程组存在唯一性定理： 设D { t , y t [a, b], y R}, 且f (t , y )在D上连续， 如果f 在D上相对变量y满足Lipschitz条件， 则微分方程初值问题： y '(t ) f (t , y ), t [a, b], y (a ) y0 存在唯一解。
eu eu y(eu y hf ( x , y n 1) (n) (n) (n) )
f ( x( n ) , y ( x( n ) ))
欧拉方法
后向欧拉方法： 也叫做：右矩形数值求积公式建立Euler法 根据导数的定义，用差商代替微商(导数 )的方法 dy dx
( x( n1) , y( n1) )
齐次线性微分方程的通解： Y ( x) c1 y1 ( x) c2 y2 ( x) ... cn yn ( x) 非齐次线性微分方程的通解： Y ( x) c1 y1 ( x) c2 y2 ( x) ... cn yn ( x) y p ( x)
常系数线性微分方程的通解
线性微分方程的通解
线性微分方程： an ( x) y ( n ) ,..., a2 ( x) y '' a1 ( x) y ' a0 ( x) y 0, (齐次方程) an ( x) y ( n ) ,..., a2 ( x) y '' a1 ( x) y ' a0 ( x) y f ( x), (非齐次方程)