第16节欧拉方法分析解析
欧拉法精度
欧拉法精度
欧拉法是一种数值解微分方程的方法。
它的基本思想是将微分方程中的导数用差分代替，然后通过不断迭代来逼近真实的解。
欧拉法虽然简单易懂，但是精度相对较低，在计算比较复杂的微分方程时需要使用更加高级的数值方法。
欧拉法的精度主要取决于时间步长和导数的变化率。
时间步长越小，迭代次数越多，精度也就越高。
导数变化率越小，欧拉法的精度也就越高。
但是，过小的时间步长会导致计算量大，而过小的导数变化率会使得计算结果偏差较大。
欧拉法的精度可以通过以下公式计算：
误差=（max|y(τ)-y(τ_n)| x h）/2
其中，y(τ)表示真实的解，y(τ_n)表示欧拉法计算的解，h表示时间步长。
例如，对于一个微分方程 y' = -2y + 4，初始条件 y(0) = 1，欧拉法的计算公式为：
y_n+1 = y_n + h(-2y_n + 4)
其中，y_n表示上一个时间步长的解，y_n+1表示当前时间步长的解。
将时间步长设为0.1，可以得到以下数据：
时间（t）y(t)欧拉法计算值（yn）精度（误差）
0 1 1
0.1 1.8 1.2 0.16
0.2 2.44 1.56 0.26
0.3 2.952 2.048 0.35
0.4 3.3616 2.6704 0.44
从上表可以看出，随着时间步长的增加，欧拉法的精度也在下降。
在时间步长为0.1时，误差仅为0.16，在时间步长为0.4时，则已经快速增加到了0.44。
直观理解欧拉公式
直观理解欧拉公式欧拉的身份似乎莫名其妙：它来自一个更通用的公式：)sin()cos(x i x e i +=πYowza ——我们将一个虚指数与正弦和余弦联系起来！并以某种方式插入 pi 给出 -1？这可能是直观的吗？不是根据 1800 年代数学家 Benjamin Peirce 的说法：● 这绝对是自相矛盾的；我们无法理解它，我们不知道它的含义，但我们已经证明了它，因此我们知道它一定是真理。
啊啊啊，这态度让我热血沸腾！公式不是需要记住的魔法：我们必须，必须，必须找到洞察力。
这是我的：欧拉公式描述了两种等价的圆周运动方式。
就是这样？这个惊人的方程式是关于旋转的？是的——我们可以通过一些类比来理解它：● 从数字 1 开始，将乘法视为改变数字的变换：πi e•1● 规则指数增长在一段时间内以某种速度持续增加1；虚指数增长在一段时间内连续旋转1● 为“pi ”单位时间增长意味着围绕圆圈旋转pi 弧度 ● 所以，πi e•1 意味着从 1 开始并旋转 pi （绕一圈的一半）到 -1这是高级视图，让我们深入了解细节。
顺便说一句，如果有人试图给你留下深刻印象，向他们询问i 的i 次幂。
如果他们想不通，欧拉公式对他们来说仍然是一个神奇的咒语。
更新：在写作时，我认为可能有助于更清楚地解释这些想法：理解 cos(x) + i * sin(x)1-=πi e 1-=πi e等号过载。
有时我们的意思是“将一件事设置为另一件事”（例如x = 3），而其他人的意思是“这两件事描述相同的概念”（例如√−1=i）。
欧拉公式是后者：它给出了两个公式来解释如何做圆周运动。
如果我们使用三角函数检查圆周运动，并以x 弧度移动：●cos(x) 是x 坐标（水平距离）●sin(x) 是y 坐标（垂直距离）该声明cos(x) + i sin(x)是一种将x 和y 坐标粉碎成单个数字的巧妙方法。
类比“复数是二维的”帮助我们将单个复数解释为圆上的位置。
欧拉法的若干基本概念
高阶偏微分方程的求解
总结词
对于高阶偏微分方程，欧拉法可以通过迭代的方式逐 步逼近解，但可能收敛速度较慢且精度较低。
详细描述
对于高阶偏微分方程，如 (u_{tt} = f(x, y, u, u_x, u_y, u_z, u_{xx}, u_{xy}, u_{xz}, u_{yy}, u_{yz}, u_{zz}))，可 以通过泰勒级数展开等方式将其转化为多个一阶偏微分 方程，然后对每个一阶偏微分方程应用欧拉法进行求解。 但需要注意的是，由于欧拉法的精度和收敛速度限制， 对于高阶偏微分方程，可能需要采用其他数值方法如有 限元法、谱方法等来提高精度和收敛速度。
欧拉法的应用领域
物理模拟
欧拉法可用于求解物理现象的数学模 型，如流体动力学、电磁学和热传导
等。
工程设计
在工程设计中，欧拉法可用于模拟和 分析复杂系统的行为，如机械系统、
控制系统和航空航天系统等。
金融建模
欧拉法也可用于金融领域，如股票价 格模拟、期权定价和风险评估等。
02
欧拉法的基本原理
离散化思想
一阶偏微分方程的求解
总结词
欧拉法也可以用于求解一阶偏微分方程，通过将偏微分方程转化为多个一维常微分方程， 然后分别用欧拉法求解。
详细描述
对于形如 (u_t = f(x, y, u, u_x, u_y, u_z)) 的一阶偏微分方程，可以通过有限差分法等 手段将其转化为多个一维常微分方程，然后对每个一维常微分方程应用欧拉法进行求解。
研究欧拉法在处理高阶微分方程 和其他复杂问题中的应用，以扩 大其应用范围。
05
欧拉法的应用实例
一维常微分方程的求解
要点一
总结词
欧拉法在求解一维常微分方程时，通过选取离散的时间点 ，将微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解。
欧拉法的原理范文
欧拉法的原理范文欧拉法是一种用于数值解微分方程的方法，它由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18世纪中期提出。
欧拉法是一种基本的数值解法，它利用微分方程中的导数来逼近真实函数的值。
欧拉法的原理可以通过一个简单的一阶微分方程来说明。
考虑一个一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是一个已知的函数，假设我们要求解在给定初始条件下的微分方程，即要求解y(x0) = y0，其中x0是给定的初始点，y0是给定的初始值。
为了使用欧拉法求解这个微分方程，我们可以从初始点开始，逐步迭代地计算出下一个点的值，以此来逼近整个函数的值。
具体步骤如下：1.将初始点的坐标设为(x0,y0)，将其作为欧拉法的起点。
2.选取一个步长h，这个步长表示每次迭代的间隔。
3.计算在当前点的斜率，即f(xn, yn)，这里xn和yn是当前点的坐标。
4.根据斜率计算下一个点的值：xn+1 = xn + h，yn+1 = yn +h*f(xn, yn)。
5.重复前面的步骤，直到达到所需的迭代次数或达到所需的精度。
通过使用欧拉法，我们可以逐步逼近微分方程的解，从而得到一个近似的函数曲线。
欧拉法的优点是简单易懂、易于实现，但是它也存在一些缺点。
其中一个主要的缺点是精度不高，它的逼近误差会随着步长的增加而增加。
此外，欧拉法在处理一些特殊的微分方程时可能会出现数值不稳定的问题。
为了减小误差，可以采用自适应步长的技术，即根据每个步长的精度要求来动态调整步长。
此外，还可以使用更高阶的数值方法，如改进的欧拉法或龙格-库塔法，这些方法可以提高数值逼近的精度。
总结起来，欧拉法是一种基本的数值解微分方程的方法，它通过逐步逼近微分方程的解，从而得到一个近似的曲线。
尽管欧拉法存在一些缺点，但它仍然是一种重要的数值方法，可以用于求解一系列的微分方程问题。
高一数学欧拉公式(教学课件2019)
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现变形能变成一个球面的多面体
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哀救公主 本始二年 始隃麋郭钦 南岳太傅典致时奥 五日一朝太公 言 匈奴使属过 答曰 问奉 今园庙有七 不可废也 与公卿大臣延及儒生 氐羌徕服 其河有两原 一出葱岭出 亲信 爵非公乘以上毋得冠刘氏冠 隔远众妾 为我求安池监 衍如言报显 而用财力寡 於是遂止不塞 内怠政事 三王厚而不 困也 颛断其命 臣恐朝廷之解驰 闭门不肯内 莽曰乐安 莽曰徐调 禁止嫁娶送终奢靡 狶所以待客 周道既废 风流民化 尽灭以为郡云 非宗庙之祀不出 今乐昌侯商为丞相 蒙浊 求二十四气 惑莫大焉 然则王者欲有所为 以四时祠江海雒水 所以劝善禁奸 典属国公孙昆邪为上泣曰 李广材气 朽折散 绝 长安陈凤言此阳变为阴 侍中董贤爱幸於上 付单于 而力不能胜 天亡我也 於是引其骑因四隤山而为圜陈外向 未有闺门治而天下乱者也 匈器 封与湛曰 吏民条言君如牒 京师尊贵在朝廷人谁逾仲卿者 有星孛於西方 以昔不闲习之故邪 朔而后月乃生 号日 朝夕乌 辞万金之币 使天下咸知主上 圣明 一卒之用不给上事 昼晦 黯学黄 老言 而中国之人不能其水土也 祖母傅太后 母丁太后皆在 则不可赡 及薨 小臣罢癃 周勃 灌婴 樊哙皆劝之
欧拉方程解法课件
一阶线性欧拉方程的解
举例
(y' = 2xy) 的解为 (y = x^2)，通过分离变量法得到。
举例
(y' = frac{1}{x}) 的解为 (y = ln x)，通过变量代换法得到。
二阶常系数线性欧拉方程的解
举例
(y'' + 4xy = 0) 的解为 (y = c_1x^2 + c_2x^2)，通过特征值法得到。
应用示例
对于形如 (frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = f(x,y)) 的偏微分方程，可以 使用有限差分法、有限元法等数值解 法进行求解。
03
欧拉方程的解的性质
解的存在性和唯一性
存在性
对于给定的初值条件和边界条件，欧 拉方程存在一个解。
应用示例
对于形如 (u(x,y) = v(x)w(y)) 的函数，如果满足一定的条件，可以将方程分解为两个独立的常微分方程， 分别求解后再组合得到原方程的解。
积分因子法
01
总结词
通过引入一个积分因子，将偏微分方程转化为全微分方程 ，从而简化求解过程。
02 03
详细描述
积分因子法是一种通过引入一个积分因子来简化偏微分方 程的方法。这种方法适用于具有特定对称性的偏微分方程 ，通过引入积分因子可以将偏微分方程转化为全微分方程 ，从而简化求解过程。
并行计算
将计算任务分解成多个子 任务，利用多核处理器或 分布式计算资源并行处理， 加快计算速度。
THANKS
感谢观看
VS
举例
(y'' - 2y' + y = 0) 的解为 (y = c_1e^x + c_2e^{-x})，通过常数变易法得到。
欧拉方程的求解
欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1 形状为()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= （1）的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，，1n a -，n a 为常数）2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得212()0K K K K K x a Kx a x -++=或212[(1)]0K K a K a x +-+=,消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理1 方程（2）的通解为(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）（其中1c 、2c 为任意常数）证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则11K x y =是方程（2）的解, 且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于21()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.由于1K 是特征方程（3）的二重根，因此21112(1)0K a K a +-+=或112(1)0K a +-=,于是，得20x u ux '''+=或0xu u '''+=,即 ()0xu ''=,故 12()ln u x c x c =+.不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解12ln K y x x =,所以，方程（2）的通解为1112ln K K y c x c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则11K x y =，22K y x =是方程（2）的解. 又2211()21K K K K y x x y x-==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为1212K K x c x y c +=. （其中1c ，2c 为任意常数）（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则 ()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+，()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,显然，12cos(ln )2y y x x αβ+= 和12sin(ln )2y y x x iαβ-=是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.（其中1c ，2c 为任意常数）例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为(1)10K K K --+=，即 2(1)0K -=,其根为： 121K K ==,所以原方程的通解为12(ln )y c c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为2(11)80K K +---=，即 2280K K --=,其根为： 12K =-，24K =，所以原方程的通解为4122c y c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=.解 该欧拉方程的特征方程为(1)350K K K -++=，即 2250K K ++=,其根为： 1,212K i =-±,所以原方程的通解为121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4）（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设1121a K K =--，212a K K =, （5）则方程（4）变为212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，即212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''', （6）根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程 212(1)0K a K a +-+= （3） 的两个根.具体求解方法：定理2 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰. （7）证明 因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，于是方程（4）等价于方程（6），令 2xy K y p '-=,代入方程（6）并整理，得1()K f x p x xp =-' 和 2K p y y x x '-=, 解之，得方程（4）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为 11111[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰, （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为112211121[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=⎰⎰, （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为 111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ----=-⎰⎰ 证明 （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得21212112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=-===--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（8） （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，122K K i β-=， 再由欧拉公式有1ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+, 2ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-, 将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ-----=⎰⎰（i ）的证明和（ii ）类似.例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=， 特征根为 122K K ==,所以由定理3，原方程的通解为23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]111{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}23211ln [(ln )(ln )]62x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰ （其中1c ，2c 为任意常数）例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320K K -+=，特征根为 12K =，21K =，所以由定理3，原方程的通解为23323212212()()x x x x x xx x e dx x x x e dxx e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰（其中1c ，2c 为任意常数）例3求方程2cos(ln )2x x x y xy y -+='''的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220k k -+=，特征根为 1,21K i =±,所以由定理3，原方程的通解为212122cos(ln )]cos(ln )cos(ln )11sin(ln )cos(ln )cos(ln ))sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}[][sin(ln )ln x x x x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰cos(ln )ln(cos(ln ))]x x （其中1c ，2c 为任意常数）在定理3中，若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论 方程（2）的通解为(i)1112ln K K x c x x y c +=, （12K K =是方程（2）的相等的实特征根） (ii)1212K K x c x y c +=, （12K K ≠是方程（2）的不等的实特征根） (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根）（其中1c ，2c 为任意常数）2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''.（9） （其中1a ，2a ，3a 为常数）（9）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. （10） 特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=.（11）定理4 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=的根，则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ . （12） 证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解. 设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x x f x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）因为1K 是（11）的根，则321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,于是（13）式化为1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=（14）这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程. 设2K 为（14）对应的齐次方程的特征方程21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （15）的根，则221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰.从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰. 故方程（1）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.定理5 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程（15）的根，则（i ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根，则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰（ii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=(iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰,（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有21K =-，则（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰. 证明 （i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为212121121(2)1(3)(2)31211[()()](32)1()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-='⎰⎰则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根1,22K =得（14）的通解为11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x αααβββββ-++-++-='⎰⎰则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=（iii ）因为2K 是方程（15）的重实根，得（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.（iv ）当1K 是方程（10）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为222210K K ++=，有21K =-，将1133a K =-，21K =-代入（12）式得11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰,对上式分部积分得（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰.例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解. 解 原方程对应的齐次方程为323660x y x y xy y -+-='''''',其特征方程为3261160K K K -+-=，解得其特征根为1，2，3，取 11K =， 将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得2220K K -=,解得21K =或0，利用定理5（i ）的通解公式有323212311[]ln 22y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=+++⎰⎰⎰. （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解. 解 原方程对应的齐次方程为32413130x y x y xy y ''''''-+-=,其特征方程为21613()()0K K K -+-=，从而解得特征单实根为11K =，将11K =，14a =-，213a =代入方程（15），得到222250K K -+=，解得 1,2212i K =±. 令212i K =+，则1α=，2β=， 利用定理5（ii ）的通解公式有33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}211ln [sin(2ln )cos(2ln )]816xx x x dx x x x dx dxx x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰（其中1c ，2c ，3c 为任意常数）2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''(1)n y -、()n y ）代入方程（1），并消去K x ，得 1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=. (16）定义3 以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6 方程（1）的通解为112211n n n n y c y c y c y c y --=++++（其中1c ，2c 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：例1 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,整理，得2(22)0K K K ++=，其根为]cos(ln k β120K K ==，3,41K i =-±，所以原方程的通解为3412ln cos(ln )sin(ln )c cy c c x x x x x=+++. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，整理，得410K +=，其根为1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.（其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在0x <范围内对其求解，则文中的所有ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >范围内的结果相似.4.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础.其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！5、参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199.[3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144.[5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119.[6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18(1):4-748.[8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006，10：52-53.[9]卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)[J],2007,Z2: 101-102.。
euler法 -回复
euler法-回复euler法是一种数值分析方法，用于近似求解常微分方程的数值解。
它是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18世纪提出，并以他的名字命名。
euler法的思想非常简单直观，通过一系列的逼近来得到问题的解。
下面将逐步介绍euler法的原理、步骤和数学推导，并讨论其应用和局限性。
euler法的原理是基于微分方程的欧拉公式展开，即根据导数的定义，将微分方程中的导数用差商的近似来表示。
对于常微分方程dy/dx=f(x,y)，我们将自变量x和因变量y分割成一系列的小区间，取步长h，即x的增量为h。
根据导数的定义，我们可以得到：f(x,y)≈(y[i+1] - y[i])/h其中y[i]表示在第i个区间内的因变量y的值。
根据以上近似，我们可以得到微分方程的近似解：y[i+1] = y[i] + h*f(x[i], y[i])其中x[i]表示对应的自变量的值。
这个递推公式即为euler法的核心。
euler法的步骤如下：1. 确定初始值：给定微分方程的初始条件，即y[x0]=y0，其中x0为初始值的自变量，y0为对应的因变量。
2. 选择步长：确定小区间的步长h，根据问题的特点和要求来选择合适的步长。
步长越小，解的精度越高，但计算量也会增加。
3. 递推计算：利用euler法的递推公式，计算每个区间内因变量y的值，即y[i+1] = y[i] + h*f(x[i], y[i])。
重复此步骤直到达到所需的自变量的范围或达到所需的精度。
euler法的数学推导如下：考虑一个简单的一阶常微分方程dy/dx=f(x,y)，我们将自变量x和因变量y分割成小区间，取步长h。
在第i个区间内，我们可以用泰勒级数展开来近似表示：y[i] = y[i-1] + hf(x[i-1], y[i-1])将上述式子中的i替换为i+1，得到：y[i+1] = y[i] + hf(x[i], y[i])这个递推公式即为euler法的数学推导过程。
数值分析Euler方法讲解
也称欧拉折线法.
6 6
第五章 常微分方程数值解法
3.欧拉法的局部截断误差：
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前 提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部 截断误差 定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1) ，则称该 算法有p 阶精度。
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Euler方法
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Euler方法
1313
§1 Euler’s Method 第五章 常微分方程数值解法
从而 Rn 1 y ( xn 1 ) yn 1 hf y xn 1 , y xn 1 yn 1 h2 h3 y xn y xn 2 3 即 1 hf x , R y n 1 n 1 h2 h3 y xn y xn 2 3
5 5
第五章 常微分方程数值解法
2
欧拉法的几何意义：
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
过( x0 , y( x0 )) ( x0 , y0 )作切线 y y0 k ( x x0 )
斜率k y( x0 ) f ( x0 , y( x0 )) f ( x0 , y0 )
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Euler方法
8 8
第五章 常微分方程数值解法
5.2.2 后退的 欧拉公式（隐式欧拉公式） 向后差商近似导数
y( xk 1 ) y( x k 1 ) y( x k ) h
显示euler法
显示euler法欧拉法（Euler's method）是一种用于数值解微分方程的方法。
它是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18世纪提出的。
欧拉法是一种近似解法，通过将微分方程转化为差分方程，然后使用迭代的方法逐步逼近真实解。
欧拉法的思想很简单，它基于微分方程的定义：微分方程描述了函数的变化率与函数本身之间的关系。
欧拉法通过将微分方程离散化，将连续的函数变成离散的数值，从而得到近似解。
具体来说，欧拉法的步骤如下：1. 将微分方程转化为差分方程。
差分方程描述了函数在每个离散时间点的变化情况。
2. 选择一个初始点作为起始点。
这个初始点是已知的，可以是微分方程的初始条件。
3. 选择一个步长，即每次迭代的时间间隔。
步长越小，得到的近似解越精确，但计算量也会增加。
4. 根据差分方程和初始点，使用迭代的方法计算下一个时间点的函数值。
5. 重复第4步，直到达到所需的时间点或满足其他停止条件。
欧拉法的优点是简单易懂，计算量小。
它适用于一些简单的微分方程，特别是一阶线性微分方程。
然而，欧拉法也有一些缺点。
首先，它的近似解误差随着步长的增加而增大。
其次，欧拉法对于某些微分方程可能无法得到准确的解，例如非线性方程或高阶方程。
为了说明欧拉法的应用，我们以一个简单的例子来进行说明。
考虑一阶线性微分方程dy/dx = x，初始条件为y(0) = 1。
我们希望使用欧拉法求解在x=1处的函数值。
将微分方程转化为差分方程。
根据定义，dy/dx可以近似表示为Δy/Δx，其中Δy和Δx分别表示y和x的变化量。
因此，微分方程可以写成Δy/Δx = x。
接下来，选择初始点和步长。
我们选择初始点为x=0，y=1，并选择步长Δx=0.1。
根据差分方程和初始点，可以得到下一个时间点的函数值。
在这个例子中，我们有Δy/Δx = x，因此Δy = x * Δx = 0 * 0.1 = 0。
因此，在x=0.1处的函数值为y(0.1) = y(0) + Δy = 1 + 0 = 1。
《欧拉方程解法》课件
龙格-库塔方法是另一种常用的数值求解常微分方程的方法，其基本思想是利用 已知的初值和导数值来逼近微分方程的解。
02
龙格-库塔方法的基本步骤是：首先选择一个初始点和初始导数值，然后利用微 分方程、初始条件和初始导数值来计算下一个点和导数值，以此类推，得到一 系列的点和导数值，这些点和导数值就构成了微分方程的近似解。
收敛性分析
随着网格密度的增加，数值解应逐渐接近真实解。
全局误差估计
误差传播
在数值求解过程中，误差会随着 时间和空间的离散化而传播和累 积。全局误差估计需要考虑误差 传播的影响。
收敛速度
全局误差估计还涉及数值解的收 敛速度。理论上，随着时间和空 间的离散化，数值解应逐渐接近 真实解。
误差界
全局误差估计的一个重要目标是 确定数值解的上界和下界，以便 评估其精度和可靠性。
03
欧拉方程的数值解法
欧拉方法
欧拉方法是一种简单的数值求解常微分方程的方法，其基 本思想是利用已知的初值来逼近微分方程的解。
欧拉方法的基本步骤是：首先选择一个初始点，然后利用 微分方程和初始条件来计算下一个点，以此类推，得到一 系列的点，这些点就构成了微分方程的近似解。
欧拉方法的优点是简单易懂，易于实现，但其缺点误差较小，且适用于复杂和非线性的微分方 程，但其缺点是计算量较大，需要更多的计算资源和时间。
04
欧拉方程的稳定性分析
线性稳定性分析
01 线性稳定性分析是研究欧拉方程解的稳定性的基 础方法。
02 通过线性化欧拉方程，可以得到其线性化方程， 进而分析其解的稳定性。
边界问题是指给定微分方 程和某些边界条件，求解 该微分方程的解。
03 方法
使用积分变换、分离变量
eular循证 -回复
eular循证-回复欧拉循证法，即欧拉证明法，是一种基于逻辑推理的证明方法，由18世纪数学家欧拉首先提出并应用于解决数学问题。
欧拉循证法通过逐步推理和推导，以证明定理的形式阐述其正确性。
本文将一步一步回答“欧拉循证法”相关的内容。
第一步：背景介绍欧拉循证法是数学领域中的一种重要证明方法。
它的提出和应用有助于解决复杂的数学问题，而不仅仅是通过观察和实验来推断。
通过逐步的推理和建立推导关系，欧拉循证法能够提供更为精确和严谨的数学证明。
第二步：理解欧拉循证法的基本原则欧拉循证法基于数学推理，可以将其简要概括为以下几个基本原则：1. 假设：通过假设一些结果或规则，来继续证明下一步。
这些假设通常是已知和可通过前述证明得到的基础。
2. 推理：通过逻辑推理和数学运算，以保持证明的一致性和正确性。
这些推理步骤需要根据已知信息和前述证明过程来执行。
3. 逐步推导：通过一系列递进的步骤，将证明逐步展开。
每一步都是前一步的逻辑延伸，以建立连续的链条。
4. 证明结论：通过逐步推导后，最终得到结论。
这个结论可以回答问题、证明定理或推出规则。
第三步：应用欧拉循证法的例子为了更好地理解欧拉循证法，我们来看一个简单的例子。
假设我们要证明以下定理：“对任意正整数n，如果n是奇数，则n的平方也是奇数。
”1. 我们首先假设n是一个奇数。
2. 根据奇数的定义，我们知道奇数n可以表示为2k+1，其中k是一个整数。
3. 将这个奇数代入n的平方即可得到(n^2)=(2k+1)^2=4k^2+4k+1。
4. 对于任意整数k，4k^2+4k都是一个偶数（因为2的倍数），所以(n^2)=4k^2+4k+1是一个奇数。
5. 因此，根据我们的假设和数学推导，我们可以得出结论：对任意正整数n，如果n是奇数，则n的平方也是奇数。
第四步：总结欧拉循证法的优点和不足欧拉循证法作为一种数学证明方法，具有如下优点：1. 严谨性：欧拉循证法通过逻辑推理和严格的数学运算，能够提供精确的证明过程。
欧拉法
隐 式 （ 后 退 ） 欧 拉 公 式 的 局 部 截 断 误 差 ： 假 设 yn y ( xn ) ， 则
y ( x n 1 ) y n 1 h
2
2
y ''( x n )
2 两步欧拉公式：中点方法
1 2h
y ( x n 1 ) y ( x n h ) y ( x n ) h y ( x n ) 2! y ( n )
当 h 充分小时，忽略高次项得
h
2
2!
y ( n ) O ( h )
2
因此，有欧拉公式
y n 1 y n h f ( x n , y n )
y3 y 2 h y 2 x2 y 2 0 .4 6 1 3 2 1
2
2
0 .8 0 .2 0 .8 0 .2 0 .8 0 .6 1 4 4
2
0 .6 1 4 4 0 .2 0 .6 1 4 4 0 .4 0 .6 1 4 4
n
=0
y1 y 0 h ( y 0
y 2 y1 h ( y1
2 x0 y0
) 1 0 .1(1
20 1
) 1 .1
n 1
2 x1 y1
) 1 .1 0 .1(1 .1
2 0 .1 1 .1
) 1 .1 9 1 8
局部截断误差和阶：数值公式的精度 定义 局部截断误差：假设第n步是准确的，即 y(xn )=yn， 将y(xn+1 ) - yn+1定义为数值方法的局 部截断误差。
y ( x n 1 ) y n 1 2 hf ( x n , y n )
euler算法
Euler算法Euler算法是一种用于解决不定方程的迭代数值求解方法，由瑞士数学家Euler于18世纪提出。
该算法被广泛应用于计算机科学、工程学、物理学和统计学等领域，用于近似求解实数域中的特定方程。
算法原理Euler算法的基本思想是通过近似方式逼近方程的解。
它通过将求解区间划分为若干子区间，并在每个子区间上选取一个适当的近似根来逼近方程的解。
这些近似根会不断逼近真实解，直到达到用户定义的精度要求。
Euler算法的核心框架是一个循环迭代过程。
首先，需要指定方程的初始点（initial guess），通常是方程在某个特定区间内的中点。
然后，在每一次迭代中，通过使用方程的导数来计算当前点的斜率，并根据斜率的大小和方向来更新近似根的位置。
重复这个迭代过程，直到达到预设的精度或迭代次数。
算法步骤1.确定方程及迭代范围：选择具体待求解的方程以及迭代的区间。
2.设定迭代次数n和初始点x0：选择适当的迭代次数和方程的初始近似解。
3.迭代过程：重复以下步骤直到满足终止条件。
a.计算斜率：利用方程的导数计算当前点x的斜率。
b.更新位置：根据斜率的大小和方向更新近似根的位置。
c.检查终止条件：若满足预设的精度或迭代次数，则终止迭代。
4.输出结果：输出最终的近似解或无解的结果。
算法示例下面通过一个具体的例子来说明Euler算法的应用过程。
假设我们要求解方程sin(x) = x，在区间[0, 1]内的近似解。
以下是使用Euler算法求解的步骤：1.确定方程及迭代范围：我们要求解的方程为sin(x) = x，在区间[0, 1]内。
2.设定迭代次数n和初始点x0：我们假设迭代100次，并选择初始点x0 =0.5。
3.迭代过程：重复以下步骤100次。
a.计算斜率：根据方程sin(x) = x的导数cos(x)计算当前点x的斜率。
b.更新位置：根据斜率的大小和方向更新当前点的位置，并将更新后的点作为新的近似根。
c.检查终止条件：检查当前点与前一次迭代的点之间的差值是否小于设定的精度，如果满足则终止迭代。
欧拉法
y p yn hf (x n , yn ) yc yn hf (x n1 , y p ) y 1 (y y ) n1 2 p c
1/20/2016
y ( xi 1 ) y ( xi ) (2）用（向前）差商公式 xi 1 xi
设步长为h，得
替代导数项，假
y ( xi1 ) y ( xi ) g ( xi , y( xi ))
（3）用
yi
表示 y ( xi ) 的近似值，代入上式得：
yi 1 yi hg( xi , yi )
y' g ( x, y ) y ( x0 ) y 0
y' g ( x, y ) y ( x0 ) y 0
（1.1）
推导过程： （1）消除导数项，用差商近似代替导数，将变量离散化。 那么我们任取一点，设为 x i ，方程（1.1）变为
y' ( xi ) g ( xi , y( xi ))
xn1 xn
f (x, y(x)) dx
要通过这个积分关系获得y (x n 1 )的近似值，只要近 似的算出其中的积分项
xn1 xn
f (x, y(x)) dx
我们容易看出，梯形公式是显示欧拉和隐式欧拉的算术平均。
综上，我们发现： 欧拉算法（显示）：是一种显示算法，计算量小，但精度很低； 梯形欧拉法：虽然提高了精度，但他是一种隐式算法，需要借助于爹 地过程求解，计算量大。 所以，我们综合使用两种方法，先用欧拉法求得一个初步的近似 值，记为预报值 yi 1 ；由于他的精度不高，我们用它替代梯形格式右 端的 yi 1 ，得到校正值 yi 1 ，这样建立了一个预备 —校正系统。
欧拉近似方法 -回复
欧拉近似方法-回复欧拉近似方法（Euler's Method）是一种数值计算方法，用于求解常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）。
它基于数值积分的概念，通过离散化的方式逼近连续的微分方程。
1. 介绍欧拉近似方法欧拉近似方法是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）提出的一种求解常微分方程的数值方法。
常微分方程描述了物理、工程、生物等领域中许多重要的动态过程。
然而，解析求解常微分方程并不总是可能的，特别是对于复杂的非线性方程。
因此，需要借助数值方法来近似求解。
2. 论述数值积分的概念数值积分是一种以近似计算定积分的方法。
通过将函数在某个区间内进行离散化，将其视为一系列离散的数值点，并计算这些点上的函数值，再将这些函数值进行加权求和，便可近似求解定积分的值。
数值积分的精度与离散化的程度有关，当离散化精度足够高时，数值积分的误差可接近真实值。
3. 推导欧拉近似方法的基本原理考虑一个一阶常微分方程形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是待求的函数，f(x, y)是给定的函数。
假设我们已经知道y(x0)的初始条件，即y在某个点x0处的值。
我们的目标是通过数值方法求得y在某个特定点x处的近似值。
4. 描述欧拉近似方法的步骤a. 将给定的区间[x0, x]进行离散化，我们可以选择一个较小的步长h，将整个区间分为若干个子区间，每个子区间的长度为h。
b. 从初始点(x0, y0)出发，利用微分方程dy/dx = f(x, y)计算斜率f(x0, y0)。
c. 使用函数的斜率估计y值的变化量，即Δy = f(x0, y0) * h。
d. 根据欧拉公式，我们有y1 ≈y0 + Δy，这是y在x=x0+h处的近似值。
e. 重复b、c、d步骤，以此类推，直到达到我们所需的目标点x处。
f. 最终得到y(x)的近似值。
5. 讨论欧拉近似方法的精度和稳定性欧拉近似方法的精度取决于步长h的大小。
第16节欧拉方法
F (s) Y(s) ? ansn ? ,..., ? a2s2 ? a1s1 ? a0 则：
当? ? 0时，如果步长较小， 使得 1? h? ? 1，则收敛； 当? ? 0时，如果步长较 大，使得 1? h? ? 1，则发散 。
欧拉方法步长与收敛性
例：y '(t) ? ? 15 y, t ? 0, y(0) ? 1
步长h=1/7
步长h=1/10 2.5
2
1.5
1
真实值
0.5
当h ? 1，1 ? -15 ? 8 ? 1,所以发散， 0
] ? 0.6192 5
x(4) ? 3, y(4) ? 0.6192, ?
y(5)
?
0.6192 ? [4 ?
0.6192] ? 5
4.7430
欧拉方法的误差
10
8
6
4
2
0
-2
-40
1
2
3
4
5
欧拉方法误差随着迭代次数的增加而增加。
欧拉方法的误差
? clear all ? close all ? clc ? ? xeu(1) = -3; ? N = 5; ? for iii = 2 : 6 ? xeu(iii) = xeu(iii - 1) + (iii - 2 + xeu(iii - 1) / 5); ? end ? ? tt = 0 : 0.01 : 5; ? % figure ? hold on ? plot(tt, 22 * exp(tt / 5) - 5 * tt - 25) ? plot(0 : 5, xeu)
数值计算方法 欧拉方法 - 欧拉方法
y[0] -> 1
用 h=0.1;
y[0.1] -> 1.00332
数 学 实 验 完
x[n_]:=n*h; DSolve[{y'[x]==(2/3)*x/(y[x])^2, y[0]==1},y[x],x] Table[%/.x->x[n],{n,0,10}];
y[0.2] -> 1.01316 y[0.3] -> 1.02914 y[0.4] -> 1.05072 y[0.5] -> 1.07722 y[0.6] -> 1.10793
本章重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解
其 一 般 形 式 为:
研
dy
f (x, y)
dx
究 重
y( x0 ) y0
点
本章假定
a xb
(1)
函数f ( x, y)连续, 且关于y满足利普希茨（Lipschitz）条件:
f (x, y) f (x, y) L y y .
这样由常微分方程的理论知 :
Mathematica程序
利 Clear[a,b,x,y]
用 x[0]=0;
数 学 实 验
y[0]=1; h=0.1; x[n_]:=n*h;
运行结果
完 f[u_,v_]:=v-2u/v
善 K1[n_]:=f[x[n-1],y[n-1]]
y[n_]:=y[n-1]+h*K1[n];
Table[{x[n],y[n]},{n,0,8}]//N;
y(0) 1
典解
型
f ( x, y)
2 3
x y2
例 题
初值问题的迭代公式为:
yn1 yn hf ( xn , yn )
euler method用法
欧拉法（Euler's method）是一种数值方法，用于求解常微分方程（ODE）的初值问题。
它是最简单的一阶数值解法，适用于那些可以解析地表示出函数斜率的ODE。
欧拉法的核心思想是将微分方程的解近似为一系列的点，并通过直线（折线）来逼近曲线。
欧拉法的具体步骤如下：1. 选择一个初始点\( (x_0, y_0) \)，其中\( x_0 \) 是已知的初始条件，\( y_0 \) 是\( x_0 \) 对应的函数值。
2. 将解区间\([x_0, x_1]\) 划分为若干子区间，每个子区间的长度为\( h \)。
3. 在每个子区间上，用直线段连接\( (x_0, y_0) \) 和\( (x_1, y_1) \) 两点，其中\( y_1 \) 是通过微分方程\( y' = f(x, y) \) 在\( x_1 \) 处的斜率\( f(x_1, y_1) \) 乘以步长\( h \) 得到的预测值。
4. 重复步骤3，使用新的点\( (x_1, y_1) \) 作为下一个子区间的起点，直到达到所需的精度或解的终点的\( x \)。
欧拉法可以进一步改进，例如：- 显式欧拉法（Explicit Euler method）: 直接使用当前点的斜率来预测下一个点。
- 隐式欧拉法（Implicit Euler method）: 使用下一个点的斜率来预测当前点，这通常需要求解一个线性方程。
- 改良欧拉法（Modified Euler method）: 使用中间点的斜率来减少预测误差。
欧拉法虽然简单，但在实际应用中可能会因为预测误差随步长增加而累积，导致精度下降。
因此，对于更精确的计算，通常会使用更高阶的数值方法，如龙格-库塔法（Runge-Kutta methods）。
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线性微分方程的通解
线性微分方程： an ( x) y ( n ) ,..., a2 ( x) y '' a1 ( x) y ' a0 ( x) y 0, (齐次方程) an ( x) y ( n ) ,..., a2 ( x) y '' a1 ( x) y ' a0 ( x) y f ( x), (非齐次方程)
t y
一阶微分方程的解
一阶微分方程组存在唯一性定理： 设D { t , y t [a, b], y R}, 且f (t , y )在D上连续， 如果f 在D上相对变量y满足Lipschitz条件， 则微分方程初值问题： y '(t ) f (t , y ), t [a, b], y (a ) y0 存在唯一解。
一阶微分方程的解
微分方程：xy ' 1 y 该方程的解为：y 1 Cx 选择初始：x 0, y 1, 则方程有无穷多解 选择初始：x 0, y 2, 则方程无解 选择初值：x 0，则有唯一解
y
x
欧拉方法
前向欧拉方法： 也叫做：左矩形数值求积公式建立Euler法 根据导数的定义，用差商代替微商(导数 )的方法 dy dx
常系数线性微分方程解法： an y ( n ) ,..., a2 y '' a1 y ' a0 y f ( x) 拉普拉斯变换： L[an y ( n ) ,..., a2 y '' a1 y ' a0 y ] L[ f ( x)] [an s n ,..., a2 s 2 a1s1 a0 ]Y ( s ) F ( s ) F ( s) Y ( s) an s n ,..., a2 s 2 a1s1 a0 则： y (t ) Y ( s)ds
存在常数L 0，对任意 t , y1 , t , y2 D使得：
y1
y2
y1
y2
L
L
y1
y2
y1
y2
一阶微分方程的解
f (t , y ) 如果函数f (t , y )连续, f y (t , y ) 有界， y 则有中值定理： f (t , y1 ) - f (t , y2 ) = f y (t , c) y1 - y2 L y1 - y2 y1 c y2 L max max[ f y (t , y )]
第六章 微分方程的初值问题 第一节 欧拉方法
微分方程（组）
微分方程的描述： 1、自变量：x，t， .... 2、因变量：y，z，u，v 3、常微分方程： F ( y ( n ) , y ( n-1) ,..., y '', y ', y, x) 0 微分方程组： F1 ( y ( n ) , y ( n-1) ,..., y '', y ', y, z ( n ) ,..., z, x) 0 (n) ( n -1) (n) F ( y , y ,..., y '', y ', y , z ,..., z, x) 0 2 ... (n) ( n -1) (n) F ( y , y ,..., y '', y ', y , z ,..., z , x) 0 m
0
y ( x1 ) b
一阶微分方程的解
李普希兹( Lipschitz )条件 : 如果定义在区间D f (t, y1 ) - f (t , y2 ) L y1 - y2 则称该函数满足李普希兹( Lipschitz )条件，L为Lipschitz常数。
2
的函数f (t , y )满足：
eu eu y(eu y hf ( x , y n 1) (n) (n) (n) )
f ( x( n ) , y ( x( n ) ))
欧拉方法
后向欧拉方法： 也叫做：右矩形数值求积公式建立Euler法 根据导数的定义，用差商代替微商(导数 )的方法 dy dx
( x( n1) , y( n1) )
微分方程的初值问题与边值问题
微分方程初值问题： 微分方程边值问题： y ' f ( y, x) y '' f ( y ' y, x) y ( x0 ) b y( x ) a y '' f ( y ' y, x) y ( x0 ) a y '( x ) b 0
y ( x( n 1) ) y ( x( n ) ) x( n 1) x( n )
则微分方程组可表示为： y x( n 1) y x( n ) x( n 1) x( n ) 令 h x( n 1) x ( n ) , 则有： y x( n 1) y x( n ) hf ( x( n 1) , y ( x( n 1) )) 又由于y ( x( n ) )未知，令y ( x( n ) ) y x( n ) 将上述公式中的y ( x( n 1) )看作未知数， 则求解非线性方程组，得到后向欧拉方法的y(eu n 1) f ( x( n 1) , y ( x( n 1) ))
( x( n ) , y( n ) )
y ( x( n 1) ) y ( x( n ) ) x( n 1) x( n )
则微分方程组可表示为： y x( n 1) y x( n ) x( n 1) x( n ) 令 h x( n 1) x( n ) , 则有： y x( n 1) y x( n ) hf ( x( n ) , y ( x( n ) )) 又由于y ( x( n ) )未知，令y ( x( n ) ) y x( n ) 则得到前向欧拉方法的迭代公式：
齐次线性微分方程的通解： Y ( x) c1 y1 ( x) c2 y2 ( x) ... cn yn ( x) 非齐次线性微分方程的通解： Y ( x) c1 y1 ( x) c2 y2 ( x) ... cn yn ( x) y p ( x)
常系数线性微分方程的通解