5、机器人动力学

加速度部分 速度部分 位置部分
关节2上的作用力
••
f2 m2 r m2r2 m2 g sin
关节2是移动关节，所以f2是作用力
该R-P机器人的动力学方程为：
••
••
••
f1 m1r12 m2r 2 2m2r r g cos (m1r1 m2r)
••
f2 m2 r m2r2 m2 g sin

Dij (i j) : 关节j对i的耦合惯量；Dij qj 是关节j的加速度在关节i上的作用力矩
•2
Dijj q j : 关节j的速度在关节i上产生的向心力
r1 r1
cos sin

r1 C
速度是

•
x1
•

r1
sin
•

•
y1 r1 cos
速度的模方是
••
•2
v12

x2 1
y2 1

r12

笛卡儿
Cartesian(Latin)[ka:’ti:zjən] Descartes[dei’ka:t]: 法国哲学家、 数学家、物 理学家，1596-1650，将笛 卡尔坐标体系公式化而被 认为是解析几何之父。
机器人的总动能为 Ek

1 2
m1r12
•2

1 2 m2
•2
r
1 2
m2
r
2
•2

机器人的总势能为 Ep m1gr1 sin m2 gr sin
关节1上的作用力
f1

d dt
Ek
•
q1

Ek q1

E p q1

d dt


m1r12

•

m2r 2
•


质心 m2的位置是

x2 y2

r r
cos sin
r C
速度是

•
x2

•
•
r cos r sin

•
y2

•
r sin

r
•
cos
速度的模方是
• 2 • 2 •2
•2
v22 x2 y2 r r 2
2、机器人的动能
质量为m，速度为v的质点的动能定义为 Ek
••
f1 D11 D12 r D111 D122 r D112 r D121 r D1
••
••
•2
•2
••
••
f2 D21 D22 r D211 D222 r D212 r D221 r D2

Dii : 关节i的有效惯量；Dii qi 是关节i的加速度在关节i上产生的作用力矩
L Ek Ep
动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示，不局限于笛卡儿坐标
假设机器人的广义坐标为 qi ,i 1,2, , n
则该机械系统的动力学方程为：
fi

d dt
L
•
qi

L qi
（5-1）
qi qi
是直线坐标，fi 是角度坐标，fi
是 是力 力矩 ；广义力
fi

d dt
L
•
qi

L qi
广义速度
将 L Ek E p 代入到（5-1）式中：
fi
(d dt
Ek
•
qi
Ek qi
)( d dt
E p
•
qi
Ep ) qi
•
由于势能Ep不显含 qi ，i 1, , n，Lagrange动力学方程也可写成：
fi

d dt

1 mv2 2
连杆1和2的动能 质量m1, m2的动能
为
Ek1 Ek 2

1 2 1 2
m1v12 m2v22

1 2
m1r12
•2

1 2
•
m2[r
2

r
2
•2

]
机器人的总动能为 Ek

Ek1
Ek2

1 2
m1r12
•2

1 2 m2
•2
r
1 2
m2
r
2
•2
机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的动力学系统， 存在严重的非线性，需要非常系统的方法来处理。
➢动力学的原问题：给定力/力矩，求解机器人的运动； 是非线性的微分方程组，求解困难。
➢动力学的逆问题：已知机器人的运动，计算相应的力/力矩， 即实现预定运动所需施加的力矩；不求解 非线性方程组，求解简单。
Ek
•
qi
Ek qi
Ep qi
（5-2）
例：图示R-P机器人，求其动力学方程。
1、质心的位置和速度
r
m2
为了写出连杆1和连杆2（质量 m1和 m2）的动能和势能，需要 知道它们的质心在共同的笛卡 儿坐标系中的位置和速度。
r1
Y
m1

X
质心 m1 的位置是

x1 y1

动力学方法很多，如Lagrange、Newton-Euler、Gauss、Kane、 Screw、Roberson-Wittenburg。
5.1 Lagrange动力学方法
Lagrange法：能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程， 而且具有显式结构。
Lagrange函数L定义：任何机械系统的动能 Ek和势能E p 之差
《机器人学》
第五章、机器人动力学 战强
北京航空航天大学机器人研究所
第五章、机器人动力学
❖机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。 机器人动力学的用途：
❖机器人的最优控制；优化性能指标和动态性能、调整伺服增益； ❖设计机器人：算出实现预定运动所需的力/力矩； ❖机器人的仿真：根据连杆质量、负载、传动特征的动态性能仿真。

3、机器人的势能
质量为m，高度为h的质点的势能定义为 Ep mgh
连杆1和2的势能为
E E
p1 p2

m1 gr1 m2 gr
sin sin

机器人的总势能为 Ep Ep1 Ep2 m1gr1 sin m2 gr sin
4、机器人的动力学方程
根据式5-2，分别计算关节1和关节2上的力/力矩
该方程 表示关 节上的 作用力 与各连 杆运动 之间的 关系
4、Lagrange动力学方程的一般形式
••
••
••
f1 m1r12 m2r 2 2m2r r g cos(m1r1 m2r)
••
f2 m2 r m2r2 m2 g sinwenku.baidu.com
••
••
•2
•2
••


0

g
cos m1r1

g
cos m2r


••
••
••
m1r12 m2r 2 2m2r r g cos (m1r1 m2r)
关节1是转动关节，所以 f1是转矩，即
••
••
1 (m1r12 m2r 2 ) 2m2r r g cos (m1r1 m2r)