第七节 指数函数-高考状元之路

第七节 指数函数●知识梳理 1．根式(1)根式的概念．(2)两个重要公式．为偶数））（为奇数）①n a a a n a n n ()0_______(8)0_______()7(______()6(⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<≥== .)______()(有意义必须使注意⑨②n n n a a a =2．有理数的指数幂(1)幂的有关概念．①正分数指数幂： );1,,0(>⋅∈>n N n m a 且、 ②负分数指数幂：,0>a （.1n ,）且、>⋅∈N n m③O 的正分数指数幂等于 ，O 的负分数指数幂(2)有理数指数幂的性质．);,,0(Q s r a ∈>);,,0(Q s r a ∈>).,0,0(Q r b a ∈>>3．指数函数的图像与性质典题热身1．函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则有 ( ),1.=a A 或2=a 1.=a B 2.=a c ,0.>a D 且1=/a 解析：由已知，得⎩⎨⎧=/>=+-,1,0,1332a a a a 且即⎩⎨⎧=/>=+-,1,0,0232a a a a 且得.2=a答案：C2．化简)0,0(1644<<=y x xy 得 ( )y x A 22. xy B 2. y x C 24. y x D 22.-解析：41)16(164844y x xy= 41])()(2[484y x --=414418414)()(2⨯⨯⨯--=y x)()(22y x --=⋅-=y x 22答案：D3．设指数函数),1,0()(=/>=a a a x f x且则下列等式不正确的是( ))()()(.y f x f y x f A ⋅=+ )()(])[(.y f x f xy f B n n π⋅=)()()(.y f x f y x f C =-⋅ )()(.x f nx f D = 解析：由,)(x a x f =验证B 知,])[()(nxy n a xy f =n y n x n n a a y f x f )()()()(⋅=⋅x a a .==,x a +==).()(])[(y f x f xy f nn n ⋅=/∴而验证A 、C 、D 都正确. 答案：B 4．函数13)(-=-xx f 的定义域、值域是 ( )A ．定义域是R ，值域是RB ．定义域是R ，值域是),0(+∞C ．定义域是R ，值域是),1(+∞-D ．以上都不对 解析：,)31(3x xy ==- 其定义域为R ，值域为),,0(+∞ 13)(-=∴-x x f 的定义域为R ，值域为).,1(+∞-答案：C5．函数)1,0(20102009=/>+=+a a a y x 且的图像恒过定点解析：,0(>=a a y x 且）1=/a 恒过定点),1,0( 20102009+=∴+x a y 恒过定点).2011,2009(- 答案：)2011,2009(-【例1】化简下列各式：（其中各字母均为正数）;.)()1(65312121132ba bab a ⋅⋅⋅---.)4()3(65)2(21332121231----÷-⋅b a b a b a解析：(1)原式=656131212131..ba ba b a⋅⋅--653121612131-+---⋅=ba⋅=a1 (2)原式=21)4(25332361---÷-b a b a 23316145---÷-=b a b a s.452321---=b a【例2]已知函数.)31(|1|+=x y(1)作出图像，并指出函数图像的对称轴；(2)由图像指出其单调区间；(3)由图像指出当x 取什么值时有最值. 解析：(1)方法一，由函数解析式，可得⎪⎩⎪⎨⎧-<-≥==+++).1(3),1()31()31(11|1|x x y x x x其图像由两部分组成：一部分是1)31(1)0()31(+=≥=x xy x y 个单位向左平移);1(-≥x另一部分是131)0(3+=<=x x y x y 个单位向右平移).1(-<x 如图所示，观察图像，可知函数图像对称轴为.1-=x方法二，①由||)31(x y =可知函数是偶函数，其图傻关于y 轴对称，故先作出xy )31(=的图像保留0≥x 的部分，当0<x 时，其图像是将)0()31(≥=x y x 图像关于y 轴对折，从而得出||)31(x y =的图像．②将||)31(x y =的图像向左平移1个单位，即可得=y |1|)31(+x 的图像，如图所示，观察图像，可知函数图像对称轴为.1-=x(2)由图像知，函数在].1,(--∞上是增函数，在),1[+∞-上是减函数．【例3】已知函数.)31()(342+-=x ax x f(1)若,1-=a 求)(x f 的单调区间； (2)若)(x f 有最大值3、求a 的值；(3)若)(x f 的值域是),,0(+∞求a 的取值范围，解析：(1)当1-=a 时，,)31()(342+--=x x x f 令,34)(2+--=x x x g由于)(x g 在)2,(--∞上单调递增，在）（+∞-,2上单调递减，而ty )31(=在R 上单调递减， 所以)(x f 在)2,(--∞上单调递减，在),2(+∞-上单调递增，即函数)(x f 的递增区间是),,2(+∞- 递减区间是).2,(--∞(2)令,)31(,34)()(2x h y x ax x h =+-=由于)(x f 有最大值3，所以)(x h 应有最小值-1，因此必有⎪⎩⎪⎨⎧-=->,141612,0aa a 解得,1=a即当)(x f 有最大值3时，a 的值等于1． (3)由指数函数的性质知，要使)()31(x h y =的值域为,0(）∞+应使34)(2+-=x ax x h 的值域为R ，因此只能有.0=a 因为若,0=/a 则)(x h 为二次函数，其值域不可能为R ．故a 的取值范围是.0=a◎技法巧点………．．1．学习指数函数的图像和性质应注意的几个问题(1)指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小；即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． (2)指数函数xa y =的函数值的分布情况①当10<<a 时，若,0>x 则);1,0(∈y 若,0<x 则).,1(+∞∈y ②当1>a 时，若,0>x 则);,1(+∞∈y 若,0<x 则).1,0(∈y 2．与指数函数有关的复合函数的单调性利用复合函数单调性判断形如)(x f ay =的函数，它的单调区间与)(x f 的单调区间有关．若,1>a 函数)(x f y =的单调增（减）区间即为)(x f a y =的单调增（减）区间；若,10<<a 函数)(x f y =的单调增（减）区间则为函数)(x f ay =的单调减（增）区间．3．指数型的方程和不等式的常见解法 (1)形如b a b a b ax f x f x f <>=))()(,,（的形式常用“化同底”转化为利用指数函数单调性解决，或“取对数”等方法． (2)形如02=++C Ba Aa x x或)0(02≤≥++C Ba Aa x x 的形式，可借助换元法转化为二次方程或不等式求解． ◎失误防范1．指数函数)1,0(=/>=a a a y x的图像和性质与a 的取值有关，要特别注意区分1>a 与10<<a 来研究． 2．对可化为,02=+⋅+c a b ax x或)0(0.2≤≥++c a b a x x 的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围，随堂反馈1.(2011．山东高考)若点（a ，9）在函数x y 3=的图像上，则6tanπa 的值为( ) 0.A 33.B 1.c 3.D 解析：由题意有,2,93==a a 则所以,33tan 6tan ==ππa 故选D ．答案：D 2.已知实数a ．b 满足等式,)31()21(ba =下列五个关系式：.;0;0;0;0b a a b b a b a a b =<<<<<<<<⑤④③②其中能成立的关系式有 ( )A.1个 B ．2个 C.3个 D ．4个解析：画出函数xy )21(1=和xy )31(2=的图像，如图所示，由ba )31()21(=结合图像，可得,0<<b a 或,0>>b a 或.0==b a答案：B 3．设,)21(,8,45.1344.029.01-===y y y 则 ( )213y y y A >>⋅ 312y y y B >>⋅ 321y y y c >>⋅ 231y y y D >>⋅解析：利用幂的运算性质，可得,28,2432.144.028.19.01====y y .2)21(5.15.13==-y 再由x y 2=是增函数，知⋅>>231y y y 答案：D4．(2010．安徽高考)设,)52(,)52(,)53(525352===c b a 则a ，b ，c 的大小关系是 ( )b c a A >>. c b a B >>. b a c c >>. a c b D >>.解析：构造指数函数),()52(R x y x∈=由该函数在定义域内单调递减可得x x y R x y c b )53()()52(;=∈=<与又)(R x ∈之间有如下结论：当0>x 时，有,)52()53(x x >故,,)52()53(522c a s >∴>故.b C a >> 答案：A5．已知函数)1,0()(=/>=a a a x f x在[-2，2]上函数值总小于2，则实数a 的取值范围是 解析：要使函数)1,0()(=/>=a a a x f x在[-2，2]上函数值总小于2，只要)1,0()(=/>=a a a x f x在[-2，2]上的最大值小于2即可，当1>a 时，,2)(2max <=a x f 解得;21<<a当10<<a 时，,2)(2max <=-a x f 解得.122<<a 所以).2,1()1,22(∈a 答案： )2,1()1,22(一、选择题1．（2011．济南模拟）定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗),(),(b a b b a a b a 则函数x x f 21)(⊗=的图像大致为 ( )解析：由⎩⎨⎧>≤=⊗),(),(b a b b a a b a 得⎩⎨⎧>≤=⊗=).0(1),0(221)(x x x f x x答案：A2．设函数)0()(2>++=a c bx ax x f 满足),1()1(x f x f +=-则)3()2(xx f f 与的大小关系是 ( ))2()3(.x x f f A > )2()3(.x x f f B < )2()3(.x x f f C ≥ )2()3(.x x f f D ≤解析：)(x f 满足),1()1(x f x f +=-)(x f ∴关于直线1=x 对称，又)(,0x f a >图像的开口向上，当0<x 时，,32,13,12xx x x ><<且)(x f 为减函数，故);3()2(xxf f <当0>x 时,23,13,12,xx x x >>>且)(x f 为增函数，故);2()3(xxf f >当0=x 时，),2()3(x x f f =故).2()3(xx f f ≥答案：C3．（2011．吉林长春质检）若]1,1[-∈x 时，1122+-<x x a 恒成立，则实数a 的取值范围为 ( )),2.(+∞A ),3.(+∞B ),2.(+∞c ),5.(+∞D解析：由.lg )1(2lg )12(2112x a x x a x x ⇒+<-⇒<+-.0)2lg(4lg<-a a设),2lg(4lg)(a ax x f -⋅=由]1,1[-∈x 时，)(<x f 恒成立，得20)2(14lg ,0)2lg(4lg 0)1(,0)1(>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--<-⇒⎩⎨⎧<-<a a g a a a f f 为所求的范围． 答案：A4．若函数),0,0()(|42|=/>=-a a a x f x 满足,91)1(=f 则)(x f 的单调递减区间是 ( ) ]2,.(-∞A ),2.[+∞B ),2.[+∞-c ]2,.(--∞D解析：由,91)1(=f 得,912=a 于是,31=a 因此=)(x f .)31(|42|-x 因为),2[|42|)(+∞-=x x x g 上单调递增， 所以)(x f 的单调递减区间是).,2[+∞ 答案：B5．已知)(),)()(()(x f b a b x a x x f 若>--=的图像如图所示，则函数b a x g x+=)(的图像是 （ ）解析：,10,1<<-<a b 排除C 、D ．又,01)0(<+=b g 排除B 答案：A6．设,|,13|)(a b c x f x<<-=且),()()(b f a f c f >>则下列关系式中一定成立的是 （ ）b e A 33.≥ bc B 33.> 233.>+a c C 233.<+a c D解析：画出|13|)(-=xx f 的图像（如图），要使)()()(,b f a f c f a b c >><<且成立，则有.0,0><a c 且由xy 3=的图像，可得.3130ac <<<,31)(c c f -=),()(,13)(a f c f a f a >-= .233,1331<+->-∴a c u c N答案：D 二、填空题7．若,0>x 则.4)32)(32.212123412341）（（x x x x x ---+-=解析：原式=2121212232414.4)3()2(x xx xx ⋅+----21211213214434+-+-+--=xxx0212144274x x x +--= 427+-= .23-=答案：- 238．（2011．桐乡模拟）函数）1.,0(20122012≠>+=+a a a y x 的图像恒过定点 解析；令,02012=+x 则,2012-=x 此时.20132012120120=+=+=a y．’．恒过定点).2013,2012(- 答案：)2013,2012(- 9．已知,215-=a 函数,)(x a x f =若实数m ，n 满足>)(m f ),(n f 则m,n 的大小关系为 解析：,1215<-=a x a x f =∴)(是递减函数．由),()(n f m f >得.n m < 答案：n m < 三、解答题lO ．(2011．银川模拟)设,0>a 且,1=/a 如果函数+=xa y 212-xa 在].1,1[-上的最大值为14，求a 的值． 解析：,2)1(1222-+=-+=x x xa a ay 由]1,1[-∈x 知，① 当1>a 时，],,[1a a a x -∈显然当,a a x=即1=x 时，,2)1(2.-+=⨯a y m,142)1(2=-+∴a即5(3-==a a 舍去）；②当10<<a 时，则由]1,1[-∈x 时， 得],1,[aa a x∈显然,1aa x= 即1-=x 时，.2)11(2.-+=⨯ay m.142)11(2=-+∴a51(31-==∴a a 舍去）．综上所述，.3,31==a a 或11．(2010．南京模拟)已知函数.221)(,2)(||+==x xx g x f (1)求函数)(x g 的值域；(2)求满足方程0)()(=-x g x f 的x 的值．解析：(1),2)21(221)(||||+=+=x x x g 因为,0||≥x 所以,1)21(0||≤<x 即.3)(2≤<x g故)(x g 的值域是(2，3]． (2)由,0)()(=-x g x f 得.02212||=--x x当0≤x 时，显然不满足方程．即只有0>x 时，满足.02212=--x x整理，得.212,2)12(,012)2(22±==-=-⋅-x x x r 故 因为,02>x 所以,212+=x 即).21(log 2+=x12．已知函数xa b x f ⋅=)(（其中a ，b 为常量，且)1,0=/>a a 的图像经过点).24,3(),6,1(B A(1)求1)(x f(2)若不等式0)1()1(≥-+m baxx在]1,(-∞∈x 时恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)把)24,3(),6,1(B A 代入,)(xa b x f ⋅=得⎩⎨⎧⋅==,24,63a b ab 结合,0>a 且,1=/a 解得⎩⎨⎧==.3,2b a .23)(x x f ⋅=∴(2)要使m xx≥+)31()21(在]1,(-∞上恒成立，只需保证函数xxy )31()21(+=在].1,(-∞上的最小值不小于m 即可．∵ 函数x xy )31()21(+=在]1,(-∞上为减函数，∴ 当x=1时，x x y )31()21(+=有最小值⋅65∴ 只需65≤m 即可，【本节教学心得】。