离散数学1命题逻辑2017

第1章
命题常项与命题变项
2、命题的表示：命题常项与命题变项
命题常项(常元)：其真值可确定的简单陈述句(命题) 命题变项(变元)：其真值可变化的简单陈述句(不是)
命题常项、命题变项均可用p、q、r，… 将表示命题的符号放在该命题的前面，称为命题 的符号化。 例：p：2是素数。q：雪是黑色的
第1章
二、逻辑联结词
第1章
命题的公式层次
2、命题公式的层次 (1)若A为单个命题(常项或变项)，如p、q、 r、…0、1等，则称A为0层公式 (2)A是n+1(n≥0)层公式是指符合下列情况之一 (1)A=┐B，B是n层公式； (2)A=B∧C，其中B,C分别为i层和j层，且n＝max(i,j) (3)A=B∨C,其中B,C层次同(2); (4)A=B→C,其中B,C层次同(2); (5)A=B↔C,其中B,C层次同(2); (3)若A的最高层次为k，则称A为k层公式
第1章
例1 判断命题
例1、判断下列句子中哪些是命题 (1) 中国人民是伟大的(陈述句真值为真命题) (2) 雪是黑色的(陈述句真值为假命题) (3) 3×4=12 (陈述句真值为真命题) (4) 1＋101=110 (陈述句真值不能确定不是命题) (5) 请把门关上！(祈使句不是命题) (6) x是有理数。(陈述句真值不能确定不是命题)
真值表法判断公式类型
2、判断公式类型：真值表法 (1) 若真值表最后一列全为1，则公式为重言式 (2) 若真值表最后一列全为0，则公式为矛盾式 (3) 若真值表最后一列至少有一个1，则公式为可 满足式。
第1章
例6
例6、给定命题公式如下，请判断哪些是重言 式，哪些是矛盾式，哪些是可满足式？
(1) (p∧q)→(p∨q) (2) (p↔q)↔((p→q)∧(q→p)) (3)┐(p→q)∧q (4)(p∧┐q)↔q (5)p→(p∨q) (6)((p→q)→p)↔p (7)(p∧q)∧(p∧┐q)
第1章
真值表
4、真值表 A的真值表——指A在所有赋值下取值列成的表 构造A的真值表的步骤： (1)列出所有命题变项的所有赋值(2n个)，一般按 二进制从低到高(如000…到111…) (2)按从低到高写出A的各个层次； (3)对应每个赋值计算各层次的值，直至整个公式
第1章
例4
例4、求下列命题公式的真值表，并指出成真赋 值和成假赋值。 (1)┐(q→p)∧p
例题5
例5、p：2＋2＝4 q：3是奇数 (1) 2+2=4当且仅当3是奇数。p↔q (2) 2+2=4当且仅当3不是奇数。p↔┐q (3) 2+2≠4当且仅当3是奇数。┐p↔q (4) 2+2≠4当且仅当3不是奇数。┐p↔┐q
第1章
数理逻辑联结词与自然语言联结词
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系 否定——不是、没有、非、不 合取——并且、同时、和、既…又…,不但… 而且…，虽然…但是… 析取——或者、或许、可能 蕴含——若…则…，假如…那么…，既然…那就 倘若…就… 等价——当且仅当、充分必要、相同、一样
第1章
土耳其商人和帽子的故事
说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了 一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶 帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两 个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子， 其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的 呢？
第1章
土耳其商人和帽子的故事
第1章
例4
第1章
例4
真值表的内容
真值表
行
列
行数
内容
列数
内容
头：简单命题；简单命题的值 内容：各个公式的值
头：公式 内容：各个公式的值
第1章
例5
例5 令p：北京比天津人口多 q：2＋2＝4 r：乌鸦是白色的 求下列命题公式的真值 (1)((┐p∧q)∨(p∧┐q))→r (2)(q∨r)→(p→┐r) (3)(┐p∨r)↔(p∧┐r) 解p，q，r的真值分别为1，1，0， 容易算得各题的真值分别为1，1，0
第1章
运算顺序
第1章
三、命题符号化
确定简单命题
命题的判定； 复合命题的分解；
三、命题符号化 1、步骤： (1) 找出各简单命题，分别符号化； 符号化简单命题 (2) 找出各联结词，把各简单命题逐个联结起来。 2、举例 例6、将下列命题符号化 (1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。 确定连接词 设p：小王是游泳冠军；q：小王是百米赛跑冠军 原语句化为：p∨q
要回答这样的问题，实际上就是看由一些 诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推 出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的 结论来。这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4)怎么进行推理？
第1章
第一章命题逻辑
第1章
第1节命题符号化及联接词
第1章
例题4
例4、p：天下雨q：我骑车上班 (1) 如果天不下雨，我就骑车上班。┐p→q (2)只要天不下雨，我就骑车上班。┐p→q (3)只有天不下雨，我才骑车上班。q→┐p 或p→┐q (4)除非天下雨，否则我就骑车上班。┐p→q (5)如果天下雨，我就不骑车上班。p→┐q
第1章
等价式
第1章
第1章
第2节命题公式及其分类
内容：命题公式，重言式，矛盾式，可满足式 重点： (1) 掌握命题公式的定义及公式的真值表 (2) 掌握重言式和矛盾式的定义及使用真值 表进行判断
第1章
一、命题公式
一、命题公式 通俗地讲，就是合法的公式; 命题公式是由命题常 项，命题变项，联结词，括号等组成的字符串。 规定：公式中最外层的括号及(┐A)的括号可省略 以下给出递归定义： 1、定义：合式公式(即命题公式，简称公式) (1)单个命题常项或变项p,q,r…,0,1是合式公式； (2)如A是合式公式，则┐A也是合式公式； (3)若A,B是合式公式，则A∧B,A∨B,A→B,A↔B合式 (4)有限次地应用(1)-（3）组成的符号串才是合式
第1章
例3
例3、指出下列命题公式的层次
(1) (┐p∧q)→r 为3层公式
(2)(┐(p→┐q))∧((r∨s)↔┐p) 为4层公式 (3)(p∧┐((p∨q)∧┐r))→(┐p↔r) 为5 层公式。
第1章
公式的赋值
3、公式A的赋值(解释) 给A 中所有的命题变项p1,p2,…,pn制定一组真 值，称对A的一个赋值或解释 (1) 成真赋值：使A为真的赋值 (2) 成假赋值：使A为假的赋值 例如：公式A＝(p∧q)→r，110(p=1,q=1,r=0)为 A的成假赋值，111，011，010…等是成真赋值。 * 含n(n≥1)各命题变项的命题公式，共有2n组 不同赋值。如p∧q共有(00,01,10,11)四组
离散数学 第一篇数理逻辑
蔡广军
第1章
数理逻辑简介(1)
数理逻辑(Mathematical Logic) 用数学方法(主要是建立符号体系的方法)来 研究推理形式结构和推理规律的数学学科 。 通过引入一套符号体系来研究推理规律的 学科，故又称之为符号逻辑(Symbolic Logic)
第1章
第1章ห้องสมุดไป่ตู้
析取式
第1章
相容性或与排斥或
例、小明学过英语或法语 p：小明学过英语q：小明学过法语 相容性或表示为：p∨q 例、小明是安徽人或河南人 p：小明是安徽人q：小明是河南人 排斥或表示为：(p∧┐q)∨(┐p∧q)
第1章
蕴含式
第1章
例题3
例3、一位父亲对儿子说：“如果我去书店，就一定 给你买本《儿童画报》。”问：什么情况下父亲 食言？ 解：可能有四种情况： (1)父亲去了书店，给儿子买了《儿童画报》。 (2)父亲去了书店，却没给儿子买《儿童画报》。 (3)父亲没去书店，却给儿子买了《儿童画报》。 (4)父亲没去书店，也没给儿子买《儿童画报》。
内容：命题；逻辑联接词；命题符号化。 重点： (1) 掌握命题概念 (2) 掌握联接词含义及其真值表 (3) 掌握命题符号化方法
第1章
一、命题的概念
第1章
例1 判断命题
例1、判断下列句子中哪些是命题 (1) 中国人民是伟大的 (2) 雪是黑色的 (3) 3×4=12 (4) 1＋101=110 (5) 请把门关上！ (6) x是有理数。
第1章
例6(2)
(4)小丽是计算机系的学生，她生于1982年或1983 年，她是三好学生。 设： p：小丽是计算机系的学生；q：小丽生于1982年 r：小丽生于1983年；s：小丽是三好学生 原语句化为：p∧(q∨r) ∧s (5) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 设： p：我上街；q：我去书店看看；r：我很累 原语句化为：┐r→(p→q) 或者(┐r∧p)→q
第1章
二、公式的类型
二、公式的类型(重言式、矛盾式、可满足式) 根据公式的取值情况对公式进行如下分类 1、定义:设A为任一命题公式， (1)若A在它的各种赋值下取值均为真，称A是重言式 或永真式； (2)若A在它的各种赋值下取值均为假，称A是矛盾式 或永假式 (3)若A不是矛盾式，称A是可满足式
第1章
第1章
例1
例1、判断以下字符串中哪些是命题公式
(1)p∧┐(q∨┐r) (2)p→┐(q→┐r) (3)pq→r (4)(┐p∨q→r (5)p∨→q (6)p∧(q↔┐r) 解(1)、(2)、(6)是命题公式， 其他不是
考察什么是命题公 式
命题公式的定义
解题
感想
第1章
例2
例2、试用符号形式写出下列命题 (1)虽然今天天气晴朗，个别同学还是不来 p：今天天气晴朗q：个别同学要来 符号化为：p∧┐q (2)若a和b是偶数，则a＋b是偶数 p：a是偶数q：b是偶数r：a＋b是偶数 符号化为：p∧q→r (3)我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖国的现代 化建设而奋斗 p：我们要做到身体好q：我们要做到学习好 r:我们要做到工作好s：我们要为祖国的现代化建设而奋斗 符号化为：p∧q→r
写出命题公式
P：命题
根据自然语义； 根据连接词
p q
第1章
例6(1)
(2) 小王现在在宿舍或在图书馆。 设p：小王在宿舍；q：小王在图书馆 原语句化为： p∨q 排斥或 但因为小王在宿舍与在图书馆不能同时发生。 (3)选小王或小李中的一人当班长。 设p：选小王当班长；q：选小李当班长 原语句化为(p∧┐q) ∨(┐p∧q) 注意不是p∨q。排斥或。因为p和q可以同时为真
例1 判断命题
(7) 地球外的星球也有人。 (8) 明天有课吗？ (9) 本语句是假的 (10)小明和小林都是三好学生 (11)小明和小林是好朋友
例1 判断命题
(7) 地球外的星球也有人。(陈述句真值可知命题) (8) 明天有课吗？ (疑问句不是命题) (9) 本语句是假的(悖论不是命题) (10)小明和小林都是三好学生(陈述句命题) (11)小明和小林是好朋友(陈述句命题) 总结：判断一个语句是否为命题，首先看是否为陈 述句，再看其真值是否唯一。
第1章
例7
例7、将下列命题符号化，并讨论他们的真值。 (1)如果3＋3＝6，则雪是黑色的； (2)只有a(正整数)能被2整除，a才能被4整除； (1)设：p：3＋3＝6，q：雪是黑色的 原语句符号化为：p→q 真值为0 (2)设p：a(正整数)能被2整除，q：a能被4整除 原语句符号化为：q →p 真值为1
土耳其商人和帽子的故事
一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手 协助他经商，有两人前来应聘，这个商人 为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进 一间漆黑的屋子里，他打开灯后说:“这张 桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶 是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽 子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸 一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请 你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜 色的。”
第1章
1、否定式
否定式
由p及否定词符号组成的式子( p )称为p的 否定式。( p )为真当且仅当p为假。
第1章
合取式
2、合取式 由p、q和合取符号∧组成的式子(p∧q)称为 p和q的合取式。(p∧q)为真当且仅当p和q都 为真。其真值表如下：
第1章
例2
例2、设p：李平聪明，q：李平用功 (1) 李平既聪明又用功。(p∧q) (2) 李平虽然聪明，但不用功。(p∧┐q) (3) 李平不但聪明，而且用功。(p∧q) (4) 李平不是不聪明，而是不用功。 ┐(┐p)∧┐q