球面折射
第三章几何光学球面反射折射物像公式
例3.4:
一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为 2cm。若在 离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。
[解]：两次折射成像问题。
n
P
O1
n
P’1 n` O 2
1、P为物, 对球面O1折射成像P1’
已知 : s1 5cm , r1 2cm , n 1, n ' 1.6 n n n n 由折射成像公式 ' r1 s1 s1
沿轴线段
A、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正； 凡光线与主 轴交点在顶点左方者线段长度数值为负； B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，下方为负。 ② 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于900的角度；由主轴 （或法线）转向有关光线时： A、顺时针转动，角度为正；B、逆时针转动，角度为负。 （注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）
2
r
2
s r
'
2
2 r s ' r cos
光程 PAP ' nl nl ' n
r 2 r s 2 2 r r s cos r
2
n
s r
'
2
2 r s r cos
1、高斯公式：
球面反射 : f ' f 1 1 2 ' s s r
六、理想成象的两个普适公式
n' n n' n 将物像公式 ' 变形为 : s s r n' n r r ' ' ' f f n n n n 1 1 ' ' s s s s
1单球面折射公式
f 0.12 1.2
即配戴焦度为7.5D的凸透镜。
32
3、散光眼
散光眼的角膜表面不是球 面，其角膜的各个方向子 午线的半径不相等，点物 发出的光线经角膜折射后 不能形成一清晰的点像， 既散光眼为非对称折射系 统。右图表示散光眼的角 膜及其成像。
散光眼的眼球纵向子午线半径最短，横向子午线的半径最长， 其它方向子午线半径介于二者之间。使得远处的平行光线经 角膜折射后，不能在一点成像。常把一点物看成一条很短的 线条，这就使他看物体时感到模糊不清。
n-n2 1 + 1 = (n -1)( 1 - 1 )
r2 u v
r1 r3 2
二、薄透镜组合
两个或两个以上薄透镜组成的共轴系统， 称为薄透镜组合，简称透镜组。
4
透镜组的成像公式：
二、薄透镜组合
1+1= 1 + 1 u v f1 f2
当υ=∞时，对应的u值即为透镜组的等效焦
距f，则
1= 1+ 1
复习
1、单球面折射公式
n1 + n2 = n2 - n1
2、光焦度 u u
r
f = n2 - n1
r
3、焦距
f1
=
n1 n2 - n1
r
f2
=
n2 n2 - n1
r
1
4、单球面折射成像的高斯公式 ：
f1 + f2 = 1
uu
5、 共轴球面系统：逐次成像法
2
6、 薄透镜公式
n1+ n2= n - n1 u v r1
于远视眼的近点较正视眼远些，因此，远视眼在看 眼前较近的物体时，所选择的凸透镜必须将此 物体的虚象成在远视眼的近视点处。
3-4__球面折射成像
§3-4 球面折射成像 两种媒质的分界面是球面的折射。
一、理想成像的物像公式 1、成像光路图 P球面P.1P.2APOP’ COP’ C光束关于主轴对称，所以只需讨论过主轴的平 面内的成像特性。
考察由光源P发出的两条光线： (1) 沿主轴方向不发生偏折的光线POP’； (2) 入射到球面上A点，折射后交光轴于P’点的光线 PAP’。
next nextO为球面的中心，也称为球面的顶点， C为球面的球心，也称为球面的曲率中心， 过O点和C点的线称为主轴(或光轴)。
物点P发出的光束经球面折射后会聚于像点P’ 。
2、符号法则 (1) 轴上点P O C P’P.3(2)垂轴线段 垂轴线段的高度也用代数量表示。
轴上为正，轴下为负。
正PP.4建立坐标系，用代数量描述轴上点的位置。
坐标轴：方向沿光轴，正向与入射光线方向一致， 原点为球面顶点O。
物点：坐标用s 表示，称为物距。
一般情况下，实物s为负，虚物s为正。
像点：坐标用s'表示，称为像距。
一般情况下，实像s'为正，虚像s'为负。
球心：坐标用r表示，称为球面半径。
next负 ？O C正 ？P’负 (3)光线与光轴的夹角： 光线与光轴的夹角仍用代数量描述。
从光轴开始转向角的另一边，顺时针为正，逆 时针为负。
nextP.5 在光路图中，通常标出的都是几何量(正值)。
如图：物距为负值，标为 –s； 像距为正，标为s'； 球面半径为正，标为r； PA与光轴的夹角为负，标为-u； P’A与光轴的夹角为正，标为u'。
过A点的球面法线是CA，入射角为-i，折射角为-i' 。
3、物象关系的推导 目的：找到s'与s, r, n, n'的关系。
方法：在A点处用折射定律 : n sin(-i)=n'sin(-i')， 从几何上找到 sin(-i)、sin(-i') 与 s, r, s' 的关系，得物 像关系式。
球面镜成像与球面折射
球面镜成像与球面折射光学是一门研究光的传播和光与物质相互作用的学科。
其中，球面镜成像和球面折射是光学中重要且常见的两个现象。
本文将分别探讨球面镜成像和球面折射的原理和应用。
一、球面镜成像球面镜是一种由球面形状构成的光学元件，广泛应用于望远镜、显微镜、照相机等光学设备中。
光线经过球面镜时，会发生反射和折射，从而形成一个虚像或实像。
1. 球面镜的分类根据球面镜的形状，可以将其分为凸面镜和凹面镜两种类型。
凸面镜中心比边缘厚，会使平行光线向焦点汇聚，形成实像。
凹面镜中心比边缘薄，会使平行光线发散，形成虚像。
2. 球面镜成像原理凸面镜成像的原理是光线从远离光轴的半径较大区域到达凸面镜，根据反射定律，经过反射后会汇聚到焦点处形成实像。
凹面镜成像的原理是光线从远离光轴的半径较小区域到达凹面镜，根据反射定律，经过反射后会发散，形成虚像。
3. 球面镜成像应用球面镜成像在现实生活中有着广泛的应用。
比如，我们常用的化妆镜就是凸面镜，它能够放大物体并形成倒立实像，方便我们对细节进行观察和修饰。
眼镜则是利用凸面镜成像原理矫正人眼的视力问题。
除此之外，球面镜的成像原理也被应用于照相机镜头的设计和制造，起到捕捉清晰图像的作用。
二、球面折射球面折射是光线从一种介质射入另一种介质时的折射现象。
球面折射经常发生在透明介质之间，比如水和空气之间、玻璃和空气之间等。
球面折射也是光学中重要的现象之一。
1. 球面折射的原理光线从一种介质射入另一种介质时，会因介质密度的不同而发生折射。
根据斯涅尔定律，光线射入球面界面上的法线方向发生偏转，使得折射光线的入射角和折射角之间满足一定的关系。
2. 球面折射的应用球面折射的应用非常广泛，特别是在光学设备制造和光学通信领域。
光学透镜利用球面折射原理来聚焦光线，从而对光线进行控制和调节。
比如，在显微镜中，透镜通过球面折射使得物体放大并清晰可见。
在光纤通信中，光信号通过光纤中的球面折射进行传输，实现远距离的高速传输。
光学——球面反射和折射
球面反射的近似理想成象公式:
1 1 2 s s r
s — 物距 s’— 象距 r — 球面曲率半径
令 s=－∞ ，则 s’= r/2 = f’ ， 令 s’=－∞，则 s = r/2 = f ，
f’ — 象方焦距 f — 物方焦距
反射球面特点: f ’ = f , 物方焦点F 和象方焦点F’重合.
与反射一样, 对△PAC和△P’AC应用正弦定理：
PC AC sin i1 sin u
n -u P -s O r C s` -i1 A -i2 u` P` n`
PC AC sin i2 sin u
PC s r r s
n sin i1 n sin i2
c1
双凹
r2
o1
o2
c2
r1
r2
c1
平凹
c2 c1
r1 r2
o1
弯凹
o2
o1
o2
36
r2
r1
o1
o2
3.有关透镜的几个概念
主
c2
c1
轴：两球面曲率中心的连线—— c1c2
主截面：包含主轴的任一平面,有无穷个. • 注意:由于透镜为园形,主轴为其对称轴,所以 各主截面内光线分布均相同,只需研究一个面 内的成像就行了.
23
四、理想成象的两个普适公式
1.高斯公式
将f、f’的表达式分别代入反射、折射理想成象 公式中,经整理后可得到同一表达式
f f 1 s s
——高斯公式
对于任何形式的成象过程,只要确定相应的f、
f’,均可由高斯公式求出像.
24
n
n`
光在球面上的反射和折射
1 1 1 s s ( ) l l r l l
考虑近轴光线,进一步得到
它的成像规律与介质无关．
1 1 2 s s r
s：物距
s：像距
'
C
FF
o
令 令
s ,
得 得
s ,
r f f 2
凹面镜
r f ; 2 r f , 2
因此球面镜物方焦点与像方焦点重合 .
P
O n n’
A
P’
r
C
-s
s’
5 近轴光线下球面折射的物像公式
M O n n’
l s, l s
'
'
P
P’
r
C
-s
s’
n' n n'n n'n 定义光焦度(optical power) ： s' s r r
r 的单位为米时，光焦度的单位称为屈光度(diopter)
n'n r
P
-u
f
-i’ C
u’
P’
Q
n’
r
s’
-s
单个折射面成像系统的笛卡尔符号规则
笛卡尔坐标规则补充
线段
纵向线段 以球面顶点 O 为原点，以入射光线进行 的方向为正方向，建立物空间坐标 s 和像空间坐标 ， 物点坐标为物距，像点坐标为像距 . s 横向线段 以光轴为起点，向上为正向下为负.
n
y
• S
u
O1
R s1 ’
O2
s2 ’ s2
P’
n' n n'n s' s r
(2).
O1面：s1=-2R, r1=+R, n1=1, n1’=1.5
12球面折射解析
n1 n2 n2 n1 tan h / u
tan h / v tan h / r
n1 n2 n2 n1 u v r
（重要结果）
近轴光线的单球面折射成像公式：
n1 n2 n2 n1 u v r
适用情况： 任何凸或凹的球面
n2 i1 ic sin n 1
当 i1 > 临界角ic 时，
---- 临界角（critical angle）
发生全反射（total internal reflection）
(3) 全反射的应用 —光纤内窥镜（optical fiber） 包裹层 n1
n1 n2
n2 f2 v r n2 n1
n2 n2 n1 f2 r
n1 n2 n2 n1 焦度： f 1 f2 r
◆表示折射球面对光线的折射本领。 单位： m-1 1D=1m-1 屈光度：D
1D=100度
10.1.4
共轴球面系统
定义：折射面不止一个，而且这些折射面的曲率 中心都在同一直线上。
sin tan
问题:成像规律? —— u 与 v的关系
点光源 球面顶点
h H
曲率中心 球面半径
像 I
（折射定律） 1 1 2 2 （近轴近似） i1 sini1
n sin i n sin i
i2 sini2
n1 i1 n2 i2
i1 i2
虚像点 P’
光学成像系统
发 散 出 射 光 束
物像异侧，实物实像(虚物虚像) 物像同侧，虚实结合
例题1：某种液体（n1＝1.3）和玻璃（ n2 =1.5） 的分界面为球面。在液体中有一物体放在球面 的轴线上，离球面顶点39cm，并在球面前30cm 处成一虚像。求球面的曲率半径，并指出球面 的曲率中心在哪一种介质中。
1. 4. 光在球面上的反射与折射
§1.4、光在球面上的反射与折射1.4.1、球面镜成像<1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。
一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F<图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。
一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F<图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。
可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即b5E2RGbCAP<2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。
下面以凹镜为例来推导：<如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于点，半径CA为反图1-4-1图1-4-2射的法线，即S的像。
根据反射定律，，则CA为角A的平分线，根据角平分线的性质有p1EanqFDPw①由为SA为近轴光线，所以，，①式可改写为②②式中OS叫物距u，叫像距v，设凹镜焦距为f，则代入①式化简这个公式同样适用于凸镜。
使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。
DXDiTa9E3d上式是球面镜成像公式。
它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。
凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。
在成像中，像长和物长h之比为成像放大率，用m表示，RTCrpUDGiT由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况～2f表Ⅱ 凸镜成像情况～～2f同侧～<3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
5PCzVD7HxA 如图1-4-4所示，半径为R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R ，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R 处放一点光源S 。
第十四章 几何光学
n1 n2 n2 − n1 + = u1 v1 r 1
1 1.5 1.5 −1 + = 40 v1 10
解得
v1=60cm
u1
v1
第二球面成像：u2= -(v1-2r )= -40cm， n1 = 1.5， n2 = 1，r 2= -10cm
代入公式
得
n1 n2 n2 − n1 + = u2 v2 r2
第十四章 几何光学
以几何定律和某些基本实验定律为基础的光学称 为几何光学。 一、几何光学的基本定律： 几何光学的基本定律： 1、光在均匀介质中的直线传播定律。 2、光通过两种介质分界面时的反射定律和折射定律。 折射定律：n1 sin i1= n2 sin i2 3、光的独立传播定律和光路可逆原理。
第一节 球面折射
第二节 透镜 透镜(lens)
把玻璃等透明物质磨成薄片，其表面都为球面或 有一面为平面，即组成透镜，如下图所示。 中间部分比 边缘部分厚的 透镜叫凸透镜。 中间部分比 边缘部分薄的 透镜叫凹透镜。
+r −r2 r = ∞ −r2 1 1
双凸 平凸
−r −r2 1
弯凸
−r +r2 1
双凹
−r r2 = ∞ −r −r2 1 1
如果用v1表示上一个球面像距，u2表示下一个球面 的物距，d 表示上下两球面之间的距离，则 u2=d-v1 上式适用于所有的情况，其中，u2、v1都带符号。 例如，求得上一球面像距v1= -5cm(成一虚像)，上下 两球面之间的距离d=10cm，则 u2=d-v1=10-(-5)=15cm (实物) --
v2=11.4cm
2．像与物的关系 用逐个球面成像法求解共轴系统成像问题时，关键 要弄清楚上一个球面的像是下一球面的实物还是虚物。 当成像是从左到右依次进行时，如果上一个球面 所成像(虚、实)的位置在下一个球面的左边，对下 一个球面来说，该像是实物，u>0；反之，如果上一 u>0 个球面所成像(实)的位置在下一个球面的右边，对 下一个球面来说，该像是虚物，u<0。 就是说，若上一球面成一虚像，则对下一球面来说， 它一定是实物。若上一球面所成的像为实像，则要根 据此像的像距与上、下两球面之间的距离进行比较， 判断是实物还是虚物。
球面折射成像公式
球面折射成像公式描述了当光线通过球面界面时形成的折射成像情况。
公式如下：
1/f = (n - 1)(1/R1 - 1/R2)，其中f是球面镜的焦距，n是介质的折射率，R1和R2是球面镜的半径。
这个公式基于薄透镜假设，并假设光线在球面附近以近似平行线的形式传播。
公式的推导基于斯涅尔定律（也称为折射定律），根据光线在界面上的折射行为进行推导得出。
通过球面折射成像公式，可以计算出在球面界面上的物体和像的位置关系，以及物体和像的大小关系。
但需要注意，此公式只适用于薄球面透镜的情况，且在一些特殊情况下，如超过球面的临界角度或光线非近似平行的情况下，该公式的适用性可能有限，需要考虑其他因素。
球面反射和球面折射成像
球面反射成像
一、凹面镜的反射成像
1
2
3
4
5
f
c
F
成像公式
焦距公式
横向放大率
物点在焦点之内，凹面镜成虚像
y
f
l
l’
y’
c
2
1
F
物点在焦点之外，凹面镜成实像
f
c
l
y
l’
y’
1
1
2
2
F
二、凸面镜的反射成像
f
1
2
3
F
y
1
2
1
2
y’
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
l’
所以成的是缩小正立的虚像，位于镜前右方10 cm处。
解 按题意，l=-30cm，r =30cm，y=10mm
由成像公式可得 cm
二、球面折射成像公式
物方焦距
-
像方焦距
Q
Q´
O
n
n´
r
C
l´
P´
P
y´
y
三、横向放大率
Q
Q´
O
n
n´
r
C
l´
P´
P
y´
y
定义
|β|>1 放大 |β|<1 缩小
β > 0 像正立 β < 0 像倒立
F
F'
四、近轴光线的作图法
共轴球面系统成像（逐次成像）
01
共轴球面系统所成的最终像，可由第一球面所成之像作为第二球面之物、第二球面所成之像作为第三球面之物逐次计算而得。 光学系统的横向放大率为每次球面成像的横向放大率的乘积。
理解几何光学中的球面折射与成像
理解几何光学中的球面折射与成像光学是物理学的一个重要分支，研究光的传播、反射、折射和成像等现象。
在光学中，球面折射与成像是一个重要的概念，它涉及到光线在球面上的传播和折射，以及由此产生的成像效果。
理解球面折射与成像对于我们认识光学现象和应用光学原理具有重要意义。
首先，我们来了解一下球面折射的基本原理。
当光线从一种介质射向另一种介质时，由于介质的折射率不同，光线会发生折射。
而当光线射入球面时，由于球面的曲率，光线会发生弯曲。
这种现象就是球面折射。
球面折射的基本原理可以用斯涅尔定律来描述，即光线在折射时入射角和折射角之间的关系满足sinθ1/sinθ2=n2/n1，其中θ1为入射角，θ2为折射角，n1和n2分别为两种介质的折射率。
在理解了球面折射的基本原理后，我们可以进一步探讨球面折射对成像的影响。
当光线通过球面折射后，会发生折射点的偏移和成像的变化。
具体来说，对于一束平行光线射入球面，经过折射后，光线会集中到球面的一个焦点上。
这个焦点就是球面的主焦点，它是球面折射后光线汇聚的位置。
而对于一个物体，当光线经过球面折射后，会在另一侧的球面上形成一个像。
这个像的位置和形状取决于物体的位置和球面的曲率。
当物体位于球面的主焦点上时，成像会出现在无限远处，形成一个实像。
当物体位于主焦点和球面之间时，成像会出现在球面的另一侧，形成一个放大的虚像。
当物体位于主焦点和球面之外时，成像会出现在球面的同一侧，形成一个缩小的虚像。
除了主焦点外，球面还具有次焦点和次主焦点。
次焦点是光线平行射入球面后汇聚的位置，次主焦点是光线从球面射出后汇聚的位置。
次焦点和次主焦点的位置和主焦点相对应。
当光线从球面射出时，会经过次焦点或次主焦点，然后发散出去。
这种现象在实际应用中有着重要的意义，比如在望远镜和显微镜中，通过调节物镜和目镜之间的距离，可以使光线从球面射出，从而实现放大或缩小的效果。
理解球面折射与成像对于我们认识光学现象和应用光学原理具有重要意义。
光在球面上折射
8
9
二、球面折射公式
如图所示，AOB
是折射率分别为
A
n1和 n2的两种介 n1 S i
r S
n2
质的球面界面，
θ
φ
R为球面的曲率 S1 半径，O为曲率
C
O
R
B
S2
中心，C为球面
l1
l2
顶点，CO的延长线为球面的主轴。通过主轴的平面称为主截
面。主轴对于所有的主截面具有对称性。 设n2 > n1，光线 从点光源S1发出,经球面A点折射后与主轴交于S2 ,令：
得 ： l2= 10cm
最后的像是一个虚像，并落在哑铃中间。
26
例1 如图所示，一根折射率为1.50的玻璃棒，其一
端被磨成半径为20.0mm的半球面。若将它先后放在
折射率为1.00的空气中和折射率为1.33的水中，求在
这两种情况下，在棒轴上距离顶点80.0mm处的物点
的像距和像的横向放大率。
n1（空气；水）
ⅶ）还可以用于描述光线在平面上的折射和反射， 因为平面可以认为是曲率半径无限大的球面。
ⅷ）也可以作为研究各种情况下折射和反射成像规 律的基础。
凸面镜成像原理；凹面镜成像原理
19
三、高斯公式
引入焦点焦距的概念后，可得球面折射的另一种形
式，即高斯公式。
如果处于主光轴上的物点离开球面的距离为无限大，
即l1=∞，那么由它发出而投射到球面上的平行光线必
ⅴ）上式对凸状球面和凹状球面都是适用的，只需 按照上面的规定调整球面曲率半径的符号就可以了。
18
ⅵ）上式也可以用于描述光线在各种球面上的反 射，这时除了应调整球面曲率半径的符号外，还需 令n2=﹣n1。物空间与像空间重合，且反射光线与 入射光线的传播方向恰恰相反。这种情况在数学处 理上可以认为像方介质的折射率等于物方介质折射 率的负值。（仅在数学上有意义）
球面折射物象公式的几种推导方法
球面折射物象公式的几种推导方法1 老祖宗经验法老祖宗经验法是一种最简单的球面折射物象公式推导方法，他们直接采用实验验算的方法求出球面折射物象。
老祖宗发现，如果将一块表面光滑的球体放置在一个某一方向的光源的总路线上，会发现现象的发生是一个凸起，而不是广滑表面。
老祖宗将其称作“折射”，又称为“折射物”。
一般而言，老祖宗得出的球面折射物象公式是按照以下比例来设计的：从光源出发的光线是1 ：2，从球体出发的光线则是1 ：3，而从球体出发的光线是2 ：3。
2 波动性能现场经验法波动性能现场经验法是一种可以提供完整球面折射物象公式的量化方法。
它是基于实际现象，将已知参数代入计算表中，从而获得相应的球面折射物象公式。
此方法反映振幅、频率、折射角及其它参数，可将这些参数代入计算表中，由计算表给出球面折射物象公式。
采用这种方法求出的球面折射物象公式可以满足物理属性上的要求。
3 数学公式法数学公式法是从现象出发，使用数学方程来推导球面折射物象公式的方法。
这种方法是基于对球面折射现象的量化描述，把球面折射物象换算成数学公式，然后从定理出发，使用数学运算法则，从而推导出球面折射物象公式。
数学公式法为求球面折射物象公式提供了一个可行的平台，但通常受到算子能力的限制，结果不是很理想。
4 数值模拟方法数值模拟方法是一种非常有效的求球面折射物象公式方法，它利用计算机对球面折射物象现象进行模拟，从而求出球面折射物象公式。
该方法的优点在于可以获得最完整的球面折射物象公式，并且可以非常迅速地获得球面折射物象公式。
但是，这种方法依赖于计算机计算能力，如果计算机能力不能跟上要求，可能会对球面折射物象公式的准确性造成影响。
光学——球面反射和折射
-u
u`
P
O
r
C
P`
-s
s`
P C s r r sP C s rA C r
nsin i1n sin i2
15
P C s i n u P C s i n u n r s s i n u s r s i n u n
已知:s1 5cm,r1 2cm,
n` P n1,n' 1.6
’ 1
O2
O1
P2’
n=1,n’=1.6 由折射成像公式：
n n n n s1 s1 r1
-s1
s1’
代入数据，可求得s1’.
-s2 -s2’
2、P1’为物对球面O2折射成像
s 2 2 0 1 6 4 c m , r 2 2 c m , n 1 . 6 , n ' 1
s — 物距 s’— 象距 r — 球面曲率半径
令 s=－∞ ，则 s’= r/2 = f’ ， f’ — 象方焦距 令 s’=－∞，则 s = r/2 = f ， f — 物方焦距 反射球面特点: f ’ = f , 物方焦点F 和象方焦点F’重合.
10
焦点:沿主轴方向的平行光束经球面反射后会聚
§1.4 球面反射和折射
• 符号法则 • 球面反射 • 球面折射 • 理想成象的两个普适公式
1
E
(1)线段 y
A
C
Or
-y’
-s
s’
以单球面折射系统为例, 从顶点算起： 沿轴线段
A、光线与主轴交于顶点右方者,线段长度为正； 光线与主轴交于顶点左方者,线段长度为负；
B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，
光在球面上的反射和折射
§3-5 光在球面上的反射和折射单独一个球面不仅是一个简单的光学系统，而且是组成光学仪器的基本元件，研究光经由球面的反射和折射，是一般光学系统成象的基础。
一、符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定一些适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用。
(图3－12)图3-12中的AOB 所示球面的一部分，这部分球面的中心点O 称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点的曲率中心的直线CO 称为主轴，通过主轴的平面称为主截面，主轴对于所有的主截面具有对称性，因而我们只须讨论一个主截面内光线的反射。
图3-12表示球面的一个主截面。
在计算任一条光线的线段长度和角度时，我们对符号作如下规定。
（1）光线和主轴交点的位置都从顶点算起，凡在顶点右方者，其间距离的数值为正；凡在顶点左方者，其间距离的数值为负，物点或象点至主轴的距离，在主轴上方为正，在下方为负。
（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）算起，并取小于2π的角度，由主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向转，则该角度的数值为正；若沿逆时针方向转动的，则该角度的数值为负（在考虑角度的符号时，不必考虑组成该角度两边的线段的符号）。
（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值，例如s 表示的某线段值是负的，则应用()s -来表示该线值的几何长度。
以下讨论的都是假定光线自左向右进行。
二、球面反射对光束单心性的破坏在图3-12中，一个从点光源P 发出的光波从左向右入射到曲率中心为C ，顶点为O ，曲率半径为γ的一个凹球面镜上，光线PA 经球面镜AOB 反射后，在'P 点与主轴相交，令 '',,'',ττ==-=-=AP PA s O P s PO半径AC 与主轴的夹角为ϕ，则光线'PAP 的光程为 (')'P A P n n ττ=+ 在PAC ∆和'ACP ∆中应用余弦定理，并注意c o s c o s ()()()'()(')',P C sr r s C P r s s r ϕπϕ=--=---=-=---=- 从而可得()()()()[]2122cos 2ϕs r r s r r l --+-+-=（3-10）以及()()()()[]2122'cos '2'ϕr s r r s r l ----+-= （3-11）因此，光线'PAP 的光程可写成12221222(')()()2()()cos ()(')2()(')cos PAP n r r s r r s n r s r r s r ϕϕ⎡⎤=-+-+--⎣⎦⎡⎤+-+----⎣⎦（3－12）由于当A 点在镜面上移动时，半径r 是常数，而ϕ才是位置的变量，根据费马原理，物象间的光程应取稳定值，为此，把（3-12）式对ϕ求导，并令其等于零，即()()[]()[]0sin '21sin 21''=-+--=ϕϕϕr s r ln s r r l n d PAP d 由此可得 0''=---l rs l s r 或者⎪⎭⎫⎝⎛+=+l s l s r l l ''111'（3-13） 如果发光点P 至O 点的距离s 为已知，从此式即可算出任一反射线和主轴的交点'P 到 O 点的距离's 的值，显然's 的值将随着所取入射线的倾斜角u ，亦即角ϕ的变化而变化，这就是说，从物点发散的单心光束经球面反射后，将不再保持单心（即使平等光束入射时也不例外），关于这一点可说明如下：PC A 1A 2OP 2P'P 3 (图3－13)图3-13中，相应于1PA 及2PA 两入射光线的反射线分别交主轴于1P 和2P 两点，且相交于'P 点，把该图绕主轴PO 转过一个小角度，使三角形12PA A 展成一单心的空间光束，此时'P 点描出一条很短的弧线，它垂直于图面即反射光束的子午象线，而图面中的12PP 则为弧矢象线。
§3.3 光在球面上的反射和折射
r s s r 0 l l
或：
1 1 1 s s l l r l l
（2）
2、球面反射对光的单心的破坏
由式（2）可以看出，s 的值随 u亦即角 的变化而变化
如图3.3 3、近轴光线条件下球面反射的物象公式 （1）球面反射的物象公式。
2 2 2 2 1/2
l r (s r ) 2r (s r )cos
根据费马原理
1/2
d ( PAP) n n 2r (r s)sin 2r ( s r )sin d l l n(r s) n( s r ) 2r sin 0 l l
图3.6
f f f x ff xx f x 1 fx x f x f x f x f
xx ff
这种物像公式的形式称为牛顿公式。
（12）
nr nr n n n n 1 f f 1 s s s s
Ⅱ、牛顿公式： 物距和象距也可以分 别从物方和象方焦点 算起。并遵守同样的 符号法则，如图3.6从 上图得
（11）
s x ( f ), s f x
xs f x s f
§3.3 光在球面上的反射和折射
一、符号法则（新笛卡儿符号法则） 1、基本概念 顶点O 曲率半径 曲率中心C 主轴 CO
主平面：过主轴的平面 2、符号法则
光线的线段长度和角度的符号规定：
图3.1
（1）线段：光线和主轴交点的位置都从顶点算起， “上正下负，右正左负 ” （2）角度：取小于 / 2 的锐角，主轴（或球面法线）转向有关 光线时，“顺正逆负”
f n c、 f f 的关系： f n
球面反射和球面折射成像
(4)物点和像点到主轴的距离为y和y'。在主轴上方时，y和y'为正；反之
为负。
二、球面折射成像公式
Q
n
n´
y
n n n n P
O
C
P´
r
y´
l l r
Q´
l
l´
像方焦距
f ' n,r n' n
物方焦距 f - nr n' n
f f 1 l l
三、横向放大率
定义 y
y
nl
nl
β > 0 像正
立
β < 0 像倒
立
Q
n
n´
y
O
C
P´
P
r
y´
Q´
l
l´
|β|>1 放大 |β|<1 缩小
四、近轴光线的作图法
F' F
五、 共轴球面系统成像（逐次成像）
共轴球面系统所成的最终像，可由第一 球面所成之像作为第二球面之物、第二球面所成 之像作为第三球面之物逐次计算而得。
光学系统的横向放大率为每次球面成像的 横向放大率的乘积。
nl y
可得 clm 36
可得 y’=-8 mm
所成的像位于球面顶点右边36cm的位置，且是倒立的实像
§14.3.2 球面反射成像
Байду номын сангаас
一、凹面镜的反射成像 成像公式 1 1 2 l l r
焦距公式 f f r 2
横向放大率 l
l
1 1 1 l l f
1
2
c
3
F
4 5
f
2
2
1
y’
单球面折射成像公式适用条件
单球面折射成像公式适用条件
一般情况下，球面折射是把光线从一个折射介质彻底的折射到另一个折射介质，这种现象也被称为球面折射。
为了精确计算出从一个介质折射到另一个介质的物理位移，并对空间进行准确的的定位，建立球面折射成像公式是非常重要的步骤。
当折射介质是光滑的，平滑的球面时，球面折射成像公式即适用。
它是以两个球面作折射面，一个球面为入射面，另一个球面为折射面，假定在这两个球面之间的距离是一定的。
球面折射成像公式定义了从一个球面折射到另一个球面时，光源和观察点所处的球面半径和位置之间的关系。
球面折射成像公式的主要使用场景是：在折射介质中折射得到完整的图像（如水面上望到的画面）、把光照射到另一个介质上得到另一种图像（如把镜子放入水中）。
在这些情况下，必须对球面形状，尤其是球面的曲率进行计算，并正确使用球面折射成像公式，才能获得准确的结果。
此外，在风景和音乐的形象化中，也可以利用球面折射成像公式，获得复杂的影像效果。
总之，球面折射成像公式是一个重要的光学技术，能够优秀的描述光的折射规律，并为复杂的图像效果奠定基础。
此外，只有当折射媒质是光滑平滑的球面时，球面折射成像公式才能适用，必须对球面形状，尤其是球面的曲率进行精确描述，才能精确地推导出正确的球面折射成像公式。
球面折射与斯涅尔定律
球面折射与斯涅尔定律光是一种奇特而神秘的现象，它以它独特的特性吸引着人们的好奇心。
而光在不同介质中的传播，更是一个令人着迷的领域。
球面折射是光在球面介质分界面上折射的现象，它是光学中一个非常重要的概念。
斯涅尔定律则是描述了球面折射的规律，引导着我们深入探索光的行为并应用于日常生活中。
当光从一种介质进入到另一种介质时，它会发生折射现象。
球面折射是指光从一种介质进入球面形状的介质中，在介质分界面上发生折射的现象。
这个现象是光的波动性质与介质中原子之间的相互作用的结果。
对于球面折射的研究，可以帮助我们更好地理解光的传播规律。
而斯涅尔定律则是描述了球面折射的规律。
斯涅尔定律也被称为折射定律，通过它我们可以计算出光线经过球面折射后的偏折角。
斯涅尔定律的数学表达式是“n1 sinθ1 = n2 sinθ2”，其中n1和n2分别代表两个介质的折射率，θ1代表入射角，θ2代表折射角。
根据斯涅尔定律，我们可以推导出光线在球面介质中的传播路径，并且可以通过折射角的变化来控制光的传播方向。
球面折射与斯涅尔定律不仅在理论研究中具有重要意义，还广泛应用于实际生活中。
例如，在眼镜和透镜的设计制造中，球面折射和斯涅尔定律的应用十分常见。
透镜可以通过改变曲率来调节光线的折射，从而实现近视或远视的矫正。
而球面折射的研究也为眼科医生提供了重要的理论基础，帮助他们更好地了解眼球的光学特性，并为患者提供更好的视力矫正治疗方案。
除了眼镜制造和眼科医学领域，球面折射和斯涅尔定律还在许多其他领域有广泛的应用。
例如，在光学仪器的设计和制造中，球面折射和斯涅尔定律可以帮助我们优化仪器的性能。
在摄影和照相技术中，球面折射的研究可以帮助我们更好地理解镜头的工作原理，并且在选购相机时提供更好的参考。
此外，球面折射和斯涅尔定律还在水下潜水中起到了重要的作用。
当光线穿过水面进入水中时，会发生球面折射。
这就是为什么我们在水中看到的物体会有所变形。
理解球面折射和斯涅尔定律可以帮助潜水员更好地判断距离和方向，确保他们的安全。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r2 = ∞ r1 < 0
r1 < 0, r2 > 0
r2 > 0 r1 = ∞
r1 > 0, r2 > 0 r1 > r2
一
薄透镜成像
• 薄透镜公式：逐次成像法 薄透镜公式：
光线经第一折射面
n0 n n − n0 + = u v1 r 1
v1 v r2
光线经第二折射面 − n + n0 = n0 − n
MEDICAL PHYSICS LISHX
第一节
球面折射
GDMC.PHY.
☆ 几何光学基本定律
1 反射和折射定律
法线
反射定律
i1 = i
' 1
入射光
i1 i
i2
' 1
反射光 L 折射光
分界面
折射定律
sin i1 n2 = sin i2 n1
主要内容
• 掌握单球面折射成像原理，计算方法 掌握单球面折射成像原理， 和符号法则； 和符号法则； • 掌握共轴球面成像系统，薄透镜成像 掌握共轴球面成像系统， 的规律和基本公式。 的规律和基本公式。
n − n0 1 1 f = − 1 n0 r r2
平面r1=∞ 平面堂小结
单球面折射成 像公式
n1 n2 n2 − n1 + = u v r
1 1 n − n0 1 1 + = − u v n0 r r2 1
求得v2=11.4cm 求得
第二节
透
镜
冰块是什么透镜？ 冰块是什么透镜？
•具有两个折射面的共轴系统 具有两个折射面的共轴系统 •薄透镜、厚透镜、柱面透镜（厚度） 薄透镜、厚透镜、柱面透镜（厚度） 薄透镜 •凸透镜、凹透镜（外形） 凸透镜、凹透镜（外形） 凸透镜
各种形状的透镜
会聚） 凸透镜 （会聚）
h h h h β= ≈ θ= ≈ v −δ v r −δ r
h h α= ≈ u +δ u
h h h h β= ≈ ≈ θ= v −δ v r −δ r
n1 ⋅α + n2 ⋅ β = (n2 − n1 )θ
单球面折射成 像公式
n1 n2 n2 − n1 + = u v r
符号规则
（1）实物、实像到折射顶点的距离均取正值； 实物、实像到折射顶点的距离均取正值； （2）虚物、虚像到折射顶点的距离均取负值； 虚物、虚像到折射顶点的距离均取负值； （3）入射光线对着凸球面r取正，对着凹球面r 入射光线对着凸球面r取正，对着凹球面r 取负
两焦距为正值，实焦点，会聚作用； 两焦距为正值，实焦点，会聚作用； 两焦距为负值，虚焦点，发散作用； 两焦距为负值，虚焦点，发散作用；
例
题
圆柱形玻璃棒（n=1.5） 圆柱形玻璃棒（n=1.5）的一端为半径是 2cm的凸球面 的凸球面。 当棒放置于空气中时， 2cm的凸球面。求1、当棒放置于空气中时， 在棒的轴线上距离棒端外8cm 8cm处的物点所成像 在棒的轴线上距离棒端外8cm处的物点所成像 位置； 将此棒放入水中（n=1.33） 位置；2、将此棒放入水中（n=1.33）,物距 不变，像距是多少？ 不变，像距是多少？ 单球面折射成像公式
第一焦点(primary 第一焦点(primary point)F1：光轴上某点发 出的光线经球面折射后平行主光轴发出 第二焦点(secondary 第二焦点(secondary point)F2：平行主光轴 的光线经球面折射后相交于主光轴上的某点
n1 f1 = r n2 − n1
n2 f2 = r n2 − n1
n1=1.33,n2=1.5,r=2cm, u=8cm代入 代入 得到v=-18.5cm 得到
n1 n2 n2 − n1 + = u v r
二
共轴球面系统
反射)球面， ☆具有多个折射 (反射)球面，所有球面的中心 都在一条直线 ——共轴球面系统 直线上 都在一条直线上——共轴球面系统 主光轴 ☆采用逐次成像得到最后的像
符号规则
• 薄透镜公式： 薄透镜公式： 逐次成像法
作业：12作业：12-4
预习：薄透镜组合， 预习：薄透镜组合，眼睛
世界是你内在自我的一个反映。 於那些无 世界是你内在自我的一个反映。对於那些无法 看到魔鬼的人，魔鬼就不存在。 看到魔鬼的人，魔鬼就不存在。
n − n0 1 1 f = − 1 n0 r r2
高斯 公式
−1 −1
1 1 1 + = u v f
F1 F2
焦度(dioptric strength)： 焦度(dioptric strength)： 表示透镜折射光能力的大小
Φ =1 f
单位：屈光度(diopter)D 单位：屈光度(diopter)D 1D＝ 100度 1D＝1m-1＝100度 表示焦距为1m的透镜的屈光度 表示焦距为1m的透镜的屈光度 1m
凹凸透镜 平凸透镜 双凸透镜 平凸透镜 凹凸透镜
r1 < 0, r2 < 0 r1 > r2
r1 = ∞ r2 < 0
r1 > 0, r2 < 0
r1 > 0 r2 = ∞
r1 > 0, r2 > 0 r1 < r2
凹透镜 （发散） 发散）
凹凸透镜 平凹透镜 双凹透镜 平凹透镜 凹凸透镜
r1 < 0, r2 < 0 r1 < r2
会聚透镜的焦度为正，发散透镜的焦度为负。 会聚透镜的焦度为正，发散透镜的焦度为负。
f=50cm的薄透镜焦度是多少呢？ f=50cm的薄透镜焦度是多少呢？ 的薄透镜焦度是多少呢
• 折射率为1.5的平凸透镜，在空气中的焦距为 折射率为1.5的平凸透镜， 1.5的平凸透镜 50cm， 50cm，求凸面的曲率半径 解：已知n=1.5,n0=1,f=50cm 已知n=1.5,n0=1,f=50cm
S v1 u1 d I1 u2 v2 I2
u2 = d − v1
例
题
玻璃球（n=1.5）的半径为10cm， 玻璃球（n=1.5）的半径为10cm，一点光 10cm 源放在球前40cm 40cm， 源放在球前40cm，求近轴光线通过玻璃球后 所成的像。 所成的像。 解：
n1 n2 n2 − n1 + = u v r
相加整理得： 相加整理得：
薄透镜成 像公式
1 1 n − n0 1 1 + = − u v n0 r r2 1
第一焦点(primary 第一焦点(primary point)F1：光轴上某点发 出的光线经透镜折射后平行主光轴发出 第二焦点(secondary 第二焦点(secondary point)F2：平行主光轴 的光线经透镜折射后相交于主光轴上的某点
几种常用介质的折射率 介质 空气 水 普通玻璃 冕牌玻璃 火石玻璃 重火石玻璃 折射率 1.000 29 1.333 1.468 1.516 1.603 1.755
一
单球面折射
当两种不同折射率的透明媒质的分界面 为球面的一部分时， 为球面的一部分时，所产生的折射现象称为 单球面折射。 单球面折射。
近轴近 似条件： 似条件：
α = sin α = tan α β = sin β = tan β
i1 = sin i1 i2 = sin i2
折射定律： 折射定律： 近轴近似： 近轴近似：
n1 sin i1 = n2 sin i2 n1 ⋅ i1 = n2 ⋅ i2
h h α= ≈ u +δ u
O
I
I
O
实物：真实光线的顶点 实物： 虚像： 虚像：假想的延长光线 汇聚点
虚物：假想的延长光线汇聚点 虚物： 实像： 实像：真实汇聚光线的顶点
左物右像
取正值
O
I
焦度： 焦度：
n2 − n1 Φ= r
r单位 ，焦度的单位屈光度（D）。 单位m，焦度的单位屈光度（ ）。 单位
焦度表示球面的折射本领