白城一中长春十一高2020—2021高一数学期末试卷及答案
2020-2021学年吉林省长春市市十一中学高一数学文下学期期末试卷含解析
2020-2021学年吉林省长春市市十一中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆与圆的公共弦长为（）A. 1B. 2C.D.参考答案：D两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为，圆的半径，圆心到直线的距离，则弦长．故选．2. 已知条件，条件，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A解析：，，充分不必要条件3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位参考答案：C4. 定义运算：，则函数的值域为A．R B．(0，＋∞) C．[1，＋∞) D．(0，1]参考答案：D由题意可得：，绘制函数图像如图中实线部分所示，观察可得，函数的值域为(0，1].本题选择D选项.5. 如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角参考答案：C【考点】三角函数值的符号．【分析】根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 60B. 30C. 20D. 10参考答案：D【分析】由题意，根据给定的几何体的三视图，还原得出空间几何体的形状，利用体积公式求解，即可得到答案.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是如图所示一个三棱锥，则该几何体的体积是，故选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及几何体的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.7. （5分）若P={x|x＜1}，Q={x|x＞﹣1}，则（）A．P?Q B．Q?P C．C R P?Q D．Q?C R P参考答案：C考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：可用数轴表示出集合P，Q，便可判断A，B不正确，而求出?R P，即可判断它和集合Q的关系．解答：显然A，B错误；R P={x|x≥1}，Q={x|x＞﹣1}，∴?R P?Q，即C正确．故选C．点评：考查描述法表示集合，集合的包含关系，以及补集的概念及求法，可借助数轴．8. 已知函数f（x）=2x2﹣kx﹣4在区间[﹣2，4]上具有单调性，则k的取值范围是（）A．[﹣8，16] B．（﹣∞，﹣8]∪[16，+∞）C．（﹣∞，﹣8）∪（16，+∞）D．[16，+∞）参考答案：B【考点】二次函数的性质．【分析】函数f（x）=2x2﹣kx﹣4对称轴为：x=，根据二次函数的性质可知对称轴：x=≥4或：x=≤﹣2，解得k即可．【解答】解：函数f（x）=2x2﹣kx﹣4对称轴为：x=，函数f（x）=2x2﹣kx﹣4 在区间[﹣2，4]上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴：x=≥4或：x=≤﹣2，解得：k≤﹣8，或k≥16；∴k∈（﹣∞，﹣8]∪[16，+∞），故选：B．9. 函数是单调函数，则的取值范围（）A．B． C ．D．参考答案：A10. 已知P为直线上的点，过点P作圆O:的切线，切点为M、N，若，则这样的点P有（）A. 0个B. 1个C. 2个 D. 无数个参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数f(x)=ax+bx-cx，其中c>a>0，c>b>0.若a,b,c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________.①对任意x∈(-∞,1)，都有f(x)<0；②存在x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，存在x∈(1,2)使f(x)=0.参考答案：②③略12. 已知幂函数的图象过，则_______ __ .参考答案：略13. 函数,则的值为_________．参考答案：14. 已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，____________.参考答案：略15. 函数y=的定义域是．参考答案：（0，4]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0得到对数不等式，求解对数不等式得答案．【解答】解：由2﹣log2x≥0，得log2x≤2，即0＜x≤4．∴函数的定义域为（0，4]．故答案为：（0，4]．16. 函数的单调增区间是．参考答案：【考点】对数函数的图象与性质；复合函数的单调性．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由复合函数单调性和二次函数的单调性结合定义域可得．【解答】解：由﹣x2+x+6＞0可解得﹣2＜x＜3，对数函数y=log0.8t在（0，+∞）单调递减，二次函数t=﹣x2+x+6在（，+∞）单调递减，由复合函数单调性结合定义域可得原函数的单调递增区间为．故答案为：．【点评】本题考查对数函数的单调性，涉及二次不等式的解法和复合函数单调性，属基础题．17. 函数，则参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021年新人教版白城一中长春十一高高一数学期末试卷及答案
长春十一高 白城一中2020-2021学年上学期期末联合考试高一数学试题第Ⅰ卷一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如果集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0}只有一个元素则a 的值是( )A ．0B ．0或1C ．－1D ．0或－12．sin36cos6sin54cos84-的值为( )A ．21-B ．21C ．23-D ．233．若tan α＝2，tan β＝3，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β的值为( ) A ．π6 B ．π4 C ．3π4 D ．5π44．已知137cos sin =+αα()πα<<0，则=αtan ( ) A ．125- B ．512- C ．125 D ．125-或512-5．设,53sin π=a ,52cos π=b ,52tan π=c 则( ) A c a b << B a c b << C c b a << D b c a << 6．若x ∈[0，1]，则函数y ＝x ＋2－1－x 的值域是( )A ．[2－1，3－1]B ．[1， 3 ]C ．[2－1， 3 ]D ．[0，2－1]7若31)3sin(=+απ，则=-)23cos(απ( ) A ．97 B ．31 C ．-97 D ．31-8．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x =( )A.12π B.512π C.6π D.4π 9．已知函数⎩⎨⎧≥<-+=3,log 3,2)1()(3x x a x a x f x的值域为R ，则实数a 的范围是( ) A ．[]1,1- B ．(]1,1-C ．),1(+∞-D ．)1,(--∞10.将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．函数x x x f cos 2sin )(+=的值域为( )A ．[1，5]B ．[1，2]C ．[2，5]D ．[5，3]12．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]02，-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间]62(，- 内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A. )3,2(B.)2,3(3C.)2,4(3D.)3,2(3第II 卷(非选择题，共70分)二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将答案填在答题纸上) 13．已知cos ,1()(1)1,1,x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩则)34()31(f f +的值为------14.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.15.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=4,41,log 2)(2x x f x,试求y=[])()(22x f x f +的值域—16.设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则以下结论正确的是_____(写出所有正确结论的编号)． ①0)125(=πf ； ②)127(πf ≥)3(πf ； ③f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；④f (x )既不是奇函数也不是偶函数；17.(本题满分8分)已知:02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=， 求)2cos(βα+18．(本题满分10分)已知函数=)(x f a ),(1+∈+-N b a x b x ，21)1(=f 且2)2(<f (Ⅰ)求b a ,的值； (Ⅱ)判断并证明函数)(x f y =在区间()+∞-,1上的单调性．19.(本题满分10分)已知函数32cos 62cos2sin 32)(2-+=xxxx f ωωω()0>ω(1)若()(0)2y f x πθθ=+<<是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；(2)若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，求ω的最大值.20(本题满分12分)已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x A x π=-，(0A ≠)(1)当 0≤x ≤2π时，求(sin )y f x =的最大值；(2)若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数A 的取值范围；(3)问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)π2,0上有两解？21.(附加题)(本题满分10分)已知函数12,0,21()23,0.12x x x e f x x e ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪+⎩(1)求函数()f x 的零点；(2)若实数t 满足221(log )(log )2(2)f t f f t+<，求()f t 的取值范围．高一数学参考答案.....一．选择题:DBCBA CCCCB AC二．填空题:13. 0 14.34- 15. []13,1 16. ①②④.17.解:,332)4sin(20,31)4cos(=+∴<<=+αππααπ33)24cos(=-βπ ，02<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝363323331⨯+⨯＝935......8分18.【解答】解:(Ⅰ)∵，，由，∴，又∵a ，b ∈N *，∴b=1，a=1；………………3分(Ⅱ)由(1)得，函数在(﹣1，+∞)单调递增．证明:任取x 1，x 2且﹣1＜x 1＜x 2，=，∵﹣1＜x 1＜x 2， ∴， ∴，即f(x 1)＜f(x 2)， 故函数在(﹣1，+∞)上单调递增．………………10分19.解:(1)由32cos 62cos2sin 32)(2-+=xxxx f ωωω=2)3sin(3πω+x ()0>ω∵()23sin()3f x x πθωωθ+=++…………又()y f x θ=+是最小正周期为π的偶函数，∴2ππω=，即2ω=， …………3分且232k ππθπ+=+，即()212k k Z ππθ=+∈ ……6分02πθ<<，∴2 12πωθ==，为所求；…………………………………………………5分(2)因为)(x g 在(0 )3π，上是增函数，∴53023212()12326332k k k Z k k ππωππππωωπ⎧⎧⨯+≥-≤⎪⎪⇒∈⎨⎨≤+⨯+≤+⎪⎪⎩⎩， (7)分∵0ω>，∴1206k +>，∴151212k -<<， 于是0k =，∴106ω<≤，即ω的最大值为61，………此时()23sin()23x g x π=+510sin()1()[33]3236223x x x g x πππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤+≤⇒∈，……10分20.试题分析:(1)2(sin )2sin 3sin 1y f x x x ==-+ 设sin ,[0,]2t x x π=∈，则01t ≤≤∴223312()12()248y t t t =-+=-- ∴当0t =时，max 1y =……4分 (2)当1[0,3]x ∈ ∴1()f x 值域为1[,10]8-当2[0,3]x ∈时，则23666x πππ-≤-≤-有21sin()126x π-≤-≤ ①当0A >时，2()g x 值域为1[,]2A A -②当0A <时，2()g x 值域为1[,]2A A -而依据题意有1()f x 的值域是2()g x 值域的子集则 或∴10A ≥或20A ≤-......8分(3)22sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为 22sin 2sin 1x x a -+=在[0,2)π上有两解， 令sin t x = 则t ∈[1,1]- 2221t t a -+=在[1,1]-上解的情况如下: ①当在(1,1)-上只有一个解或相等解，x 有两解(5)(1)0a a --<或0∆=∴(1,5)a ∈或12a =②当1t =-时，x 有惟一解32x π= ③当1t =时，x 有惟一解2x π= 故 (1,5)a ∈或12a = ……12分21．(1))(x f 的零点分别为3ln -=x 和3ln =x ......2分(2)由题意，当0x >时，1223()()02112x x f x f x e e -⎛⎫--=---= ⎪++⎝⎭， 同理，当0x <时，()()0f x f x --=，1(0)2f =-，所以函数()f x 是在R 上的偶函数，…5分所以2221log (log )(log )f f t f t t ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由221(log )log 2(2)f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，22212(log )2(2)(|log |)(2)2log 244f t f f t f t t <⇒<⇒-<<⇒<<.………………。
2020-2021学年吉林省吉林市高一上学期期末考试数学试题及答案解析
绝密★启用前2020-2021学年吉林省吉林市高一上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合U =R ，{}220A x x x =--<，则UA =（ ）A ．[12]-，B ．(12)-， C ．(1)(2)-∞-+∞，，D ．(][),12,-∞-⋃+∞答案：D解一元二次不等式求出集合A ，再利用集合的补集运算即可求解. 解：{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，所以{U2A x x =≥或}(][)1,12,x ≤-=-∞-⋃+∞，故选：D2．已知角α的终边经过点()3,4P -，则cos α的值等于（ ） A ．35B ．35C ．45D ．45-答案：A由三角函数的定义可求出cos α的值. 解：由三角函数的定义可得3cos 5α==-，故选A.点评：本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题. 3．“4πα=”是“sin 2α=”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B分别从充分性与必要性两个方面论证判断.解：因为sin4π=，所以满足充分性；而sin α=，2,4k k Z παπ=+∈或32,4k k Z παπ=+∈，所以不满足必要性，所以4πα=是sin α=. 故选：B.4．已知0.52021a =，20210.5b =，20210.5c log =，则（ ） A ．c b a >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b >>答案：C分析得到1,0,01a c b ><<<，即得解. 解：由题得202120210.510c log log =<=，0.50202021211a >==，202100.05.51b <==且0b >，所以a b c >>. 故选：C点评：关键点睛：解答本题的关键正确运用指数对数函数的单调性，理解掌握了指数对数函数的单调性，就容易判断,,a b c 的范围了，即得它们的大小关系了.5．在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知a 克糖水中含有b 克糖(0a b >>)，再添加m 克糖(0m >)(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（ ） A ．b b m a a m+>+ B ．b b m a a m +<+ C ．a a mb b m+>+ D ．a a mb b m+<+ 答案：B根据不等式中两个重要不等式判定即可 解：解：根据不等式中两个重要不等式判定得b b m a a m +<+，a a m b b m+>+， 糖水变甜说明加糖后分式的值变大了，只有b b m a a m+<+符合. 故选：B.点评：两个重要不等式：若0,0a b m >>>则（1）;(0)b b m b b m b m a a m a a m +-<>->+-； （2）;(0)a a m a a mb m b b m b b m+-><->+-. 6．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数的是（ ） A ．sin 2y x = B ．cos 2y x =C ．tan y x =D ．sin2x y = 答案：C利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论. 解：解：在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，()20,x π∈，sin 2y x =没有单调性，故排除A. 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，()20,x π∈，cos 2y x =单调递减，故排除B. 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，tan y x =单调递增，且其最小正周期为π，故C 正确； 根据函数以π为最小正周期，sin 2x y =的周期为2412ππ=，可排除D.故选：C.点评：本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题. 7．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(30)-， B ．(]30-，C ．()(),30,-∞-⋃+∞D ．()[),30,-∞-+∞答案：B根据一元二次不等式恒成立讨论0k =，0k ≠即可.解：解：当0k =时，308-<对一切实数x 都成立，故0k =符合题意； 当0k ≠时，要使不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则203034208k k k k <⎧⎪⇒-<<⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，综上：30k -<≤ 故选：B.点评：方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8．函数()sin()(0||)2，f x x πωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 21g x x =-B ．()sin 21g x x =+C ．()sin(2)13g x x π=-- D ．()sin(2)13g x x π=-+答案：D由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．解：根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分函数图象，1274123πππω⋅=-，2ω∴=． 再根据五点法作图，23πϕπ⨯+=，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，可得sin(2)3y x π=-的图象．然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为()sin(2)13g x x π=-+，故选：D点评：关键点睛：解答本题的关键在于准确地根据三角函数的图象求出三角函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，一般根据周期求出ω的值，根据最值求出A 的值，根据最值点求出ϕ的值.9．已知函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为12,x x ，则1212ax x x x ++的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案：C根据函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为12,x x ，得到124x x a +=，212x x a ⋅=，然后由121214a x x a x x a++=+，利用基本不等式求解. 解：因为函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为12,x x ，所以124x x a +=，212x x a ⋅=，所以1212144a x x a x x a ++=+≥=， 当且仅当14a a =，即12a =时，取等号， 所以则1212ax x x x ++的最小值为4 故选：C10．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(52)()1t K I t e--=+其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ ）(ln193)≈ A ．60 B ．65C ．66D ．69答案：B将t t *=代入函数()()0.23521t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.解：()()0.23521t K I t e--=+，所以()()0.23520.951t K I t K e**--==+，则()0.235219te *-=，所以()0.2352ln193t *-=≈，解得352650.23t *≈+≈.故选：B.二、多选题11．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB 上取一点C ，使得,AC a BC b ==，过点C 作CD AB ⊥交以AB 为直径，O 为圆心的半圆周于点D ，连接OD .下面不能由OD CD ≥直接证明的不等式为（ ）A ．(00)2a bab a b +≤>>， B ．2(00)abab a b a b≥>>+， C ．222(00)a b ab a b +≥>>， D ．22(00)22a b a b a b ++≤>>，答案：BCD由,AC a BC b ==，得到()12OD a b =+，然后利用射影定理得到2CD ab =判断. 解：因为,AC a BC b ==， 所以()12OD a b =+, 因为90ADB ∠=，所以由射影定理得2CD ab =， 因为OD CD ≥， 所以2a bab +≤，当且仅当a b =时取等号， 故选：BCD12．如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O 点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有（ ）A ．经过3分钟，点P 首次到达最低点B ．第4分钟和第8分钟点P 距离地面一样高C ．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P 距离地面的高度一直在降低D ．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米 答案：ABD建立如图所示的平面直角坐标系，求出点P 的坐标后可求高度关于t 的函数关系式，结合函数关系逐项判断后可得正确的选项.解：以O 为原点，过O 且平行于地面的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，O 为摩天轮，P 为圆上的动点，设P 到地面的高为h . 由题设有40cos ,40sin 3232P t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故40sin 4540cos 45323h t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，其中0t ≥. 对于A ，令5h =，则cos13t π=-，解得63,t k k N =+∈，故点P 首次到达最低点所需的时间为3分钟，故A 正确. 对于B ，当4t =时，1440cos 453h π=+，当8t =时，2840cos 453h π=+， 因为481coscos 332ππ==-，故12h h =，故B 正确. 对于C ，当710t ≤≤，710333t πππ≤≤， 而71073332ππππ<<<且cos y u =在73,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭是单调递增的， 故40cos453h t π=+在[]7,10上是单调递增函数，故C 错.对于D ，考虑06t ≤≤时不等式40cos 45653t π+≥的解，故1cos 32t π≥， 解得01t ≤≤或56t ≤≤，故摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米，故D 正确. 故选：ABD.点评：本题考查函数三角函数在实际中的应用，注意根据问题的特征建立合适的坐标系，便于构建时间和高度的时间关系，本题属于综合题，有一定的难度.三、填空题13．已知312ab +=a b =__________． 答案：3利用指数幂的运算性质即可求解.22132223333333a bb a ab a a a b +-+===⋅==故答案为：3点评：本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题.14．某市在创建全国文明城市活动中，需要在某老旧小区内建立一个扇形绿化区域.若设计该区域的半径为20米，圆心角为45，则这块绿化区域占地___________平方米. 答案：50π利用扇形的面积公式：212S r α=，即可求解. 解：由题意，扇形半径为20米，圆心角为45， 所以22112050224S r παπ==⨯⨯=. 故答案为：50π15．已知,αβ为锐角，且cos α=17 ， cos ()αβ+=1114-，则β=_________． 答案：3π根据角()βαβα=+-，求出角β的一个三角函数值，即可得到角β． 解：因为,αβ为锐角，所以，0αβ<+<π，243sin 1cos αα=-=，()()253sin 1cos αβαβ+=-+=．∵()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦53111433714⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭，而β为锐角，∴3πβ=． 故答案为：3π． 点评：本题主要考查“给值求角”的解法应用，同角三角函数基本关系的应用，以及两角差的正弦（或余弦）公式的应用，属于基础题．四、双空题16．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩，其中0m >.若()f x 在区间(0)+∞，上单调递增，则m 的取值范围是___________；若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m的取值范围是___________.答案：(0]3，()3+∞， 由题意画出函数()f x 的图象，结合图象可得关于m 的不等式，求解得答案. 解：0m >时，函数()2,2+4,>x x m f x x mx m x m⎧≤=⎨-⎩的图象如下图所示：要使()f x 在区间(0)+∞，上单调递增，则24m m m，解得03m ≤≤，又0m >，所以m 的取值范围是(0]3，； 要使关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则24m m m -<，即2>3>0m m m ，所以m 的取值范围是()3+∞，， 故答案为：(0]3，；()3+∞，．点评：方法点睛：对于分段函数的单调性，方程的根的个数等相关问题，运用数形结合是常采用的方法．五、解答题17．如图，在平面坐标系xoy 中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A ，且点A的纵坐标为45．（1）求sin α，cos α，tan α的值；（2）先化简再求值：()()()sin sin cos 42tan ππααπαπα⎛⎫++-+- ⎪⎝⎭-． 答案：（1）4sin 5α，3cos 5α=-，4tan 3α=-；（2）原式sin 2cos 3tan 2ααα-+==--． （1）由题意可得4sin 5α，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；（2）利用诱导公式化简，再代入求值即可；解：解：（1）由题知，4sin 5α，因为22sin cos 1αα+=，所以3cos 5α=±， 又α为第二象限角，所以3cos 5α=-，sin tan s 43co ααα==-． （2）原式()432sin cos cos sin 2cos 3554tan tan 23ααααααα⎛⎫-+⨯- ⎪-++--+⎝⎭====---． 点评：本题主要考查了三角函数定义，同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．18．已知0,0x y >>，且440x y +=. （1）求xy 的最大值；（2）求11x y+的最小值.答案：（1）最大值为100；（2）最小值为940.（1）由基本不等式变形后求得最大值；（2）利用“1”有代换得定值后由基本不等式得最小值．解：（1）因为0,0x y >>，404x y ∴=+≥=(当且仅当4x y =，即=205，x y =时等号成立)所以100xy ≤，因此xy 的最大值为100（2）因为440x y +=，即1(4)140x y += 所以11111=(x 4y)()40x y x y+++1419(5)(5404040y x x y =++≥+= (当且仅当2x y =，即4020=33，x y =时等号成立) 所以11x y +的最小值为940． 点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方19．已知函数21()cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移4π个单位. 答案：（1）函数的周期为2π；（2）条件选择见解析，max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. （1）用正弦余弦的二倍角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，可得()g x 的最值；选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，由此可求得最值．解：（1）∵函数1cos 1()sin()1226x f x x x π+=++=++， 所以函数的周期为2π；（2）<选择①>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈. 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； <选择②>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈，使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x = 使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 点评：关键点点睛：在解决正弦型函数的周期，最值，单调性等性质时，关键在于利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形，再利用整体代换的思想求解．20．已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，对于任意的12,x x R ∈都有1212()()()f x x f x f x +=+，（1）求(0)f ，并证明()f x 为R 上的奇函数；（2）若(1)2f -=，解关于x 的不等式()(3)4f x f x --<.答案：（1）(0)0f =，证明见解析；（2）1()2+∞，. （1）根据题意令120x x ==得(0)0f =，令12,x x x x ==-，得()()f x f x -=-即证；（2）令121x x ==-得(2)4f -=，转化为()(3)(2)f x f x f --<-，结合奇函数得(23)(2)f x f -<-，结合单调递减得232x ->-化简即可.解：（1）令120x x ==，则有(0)2(0),(0)0f f f =∴=令12,x x x x ==-，则有()()(0)0f x f x f +-==即()()f x f x -=-所以()f x 为R 上的奇函数（2）令121x x ==-，则有(2)2(1)224f f -=-=⨯=所以不等式()(3)4f x f x --<化为()(3)(2)f x f x f --<-由于()f x 为R 上的奇函数，所以(3)(3)f x f x --=-所以()(3)()(3)(23)f x f x f x f x f x --=+-=-因此不等式进一步化为(23)(2)f x f -<-已知函数()f x 是定义在R 上的减函数所以有232x ->-，解得12x >因此不等式的解集为1()2+∞，点评：判断函数奇偶性的3种常用方法：(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证()()f x f x -=±或其等价形式()()0f x f x -±=是否成立．(2)图象法：若()f x 的图象关于原点对称，则()f x 为奇函数；若()f x 的图象关于y 轴对称，则()f x 为偶函数.(3)性质法：设(),()f x g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元. （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量()()()()8161301548030m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？答案：（1）300台；（2）90(人).（1）求出()p x x，然后由基本不等式得最小值； （2）求出300台机器人的日平均分拣量的最大值，并计算此时人工分拣时需要的人工数，然后可得结果．解：（1）由总成本21()150600p x x x =++，得每台机器人的平均成本()1150112600p x x x x =++≥=， 当且仅当1150600x x=，即300x =时，等号成立． 所以若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为()()()()8161301548030m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，当130m ≤≤时，300台机器人的日平均分拣量为2300160(8(16)160)16096005m m m m m m ⨯-=-+-=， 对称轴30m =，开口向下，∴当30m =时，日平均分拣量有最大值144000件， 当30m >时，日平均分拣量为480300144000⨯=件，∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件，若传统人工分拣144000件，则需要人数为144000=1201200(人) ∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少1203090-=(人) 点评：关键点点睛：本题考查函数模型的应用．在已知函数模型时，关键是怎样利用已知函数模型求解．如第一小题关键是求平均最大，即求()p x x的最大值，而不是()p x 的最大值．第二小题中可先求出300台机器人的日平均分拣量的最大值，然后得出人工分拣时的人工数，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.22．已知函数2()2xx m f x n -=+是定义在R 上的奇函数. （1）求实数m n ，的值；（2）函数()g x 满足()()22x x f x g x -⋅=-，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式(2)[()2]16g x t g x ≥--恒成立，求实数t 的取值范围.答案：（1）1m =，1n =；（2）(8],-∞.（1）利用()()f x f x =--求解；（2）将（1）中()f x 的解析式代入()()22x x f x g x -⋅=-，解出g()222x x x -=++，然后得出(2)[()2]16g x t g x ≥--的表达式，令()222x x u u -=+>，则原不等式可化为216u tu ≥-，利用参数分离法求解t 的取值范围.解：解：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=- 即22212221x x x x x x m m m n n n ----⋅-=-=-++⋅+， 化简得1()(14)(1)20x x m n mn +--+-=. 由于x ∈R ，所以有010m n mn -=⎧⎨-=⎩ 解得1m n == （2）因为12()12xxf x -=+， 所以221212(12)g()2222122x x x x x x x x x --++=⨯==++-设22x x u -=+，因为x ∈R 且0x ≠，222x x -+>=所以2u >因为2222(2)222(22)x x x x g x u --=++=+=所以不等式可化为216u tu ≥-，即16t u u≤+在2u >时恒成立由基本不等式得168u u +≥=，当且仅当4u =时等号成立 所以实数t 的取值范围是(8],-∞点评：本题考查根据函数的奇偶性求参及函数与不等式的综合问题，解答时主要思路如下：（1）当已知函数的奇偶性求参数值时，注意运用奇偶性的定义，列出关于参数的方程并求解即可；（2）解答关于指数函数有关的不等式恒成立综合问题时，要先对原不等式进行变形，利用换元法将原不等式化为熟悉的简单不等式模型求解，或采用参变分离法，转化为讨论函数的最值来求解.23．已知函数()ln(1)x f x e mx =+-是定义在R 上的偶函数.（1）求m 的值；（2）设1()()2h x f x x =+， ①若()ln(21)h x a ≥-对于[0]，x e ∀∈恒成立，求a 的取值集合；②若[22e]，a ∃∈，使得不等式()ln(21)h x a ≥-有解，求x 的取值集合. 答案：（1）12m =；（2）①13|22a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；②{}|ln2x x ≥. （1）由函数为偶函数可得()()f x f x -=，代入即可求解.（2）①将不等式转化为1210x e a +≥->对于[0]，x e ∀∈恒成立，求出e 1x y =+在[]0,e 上的最小值，只需()min 1210x e a +≥->，解不等式即可；②不等式转化为1210x e a +≥->在22a e ≤≤时有解，求出21y a =-在[22e]，上的最小值，只需()min 121x e a +≥-即可求解. 解：（1）根据题意()f x 的定义域是R()ln(1)x f x e mx =+-()ln(1)ln(1)(1)x x f x e mx e m x -∴-=++=++-又()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=因此(1)mx m x -=-恒成立，故12m = （2）①1()()=ln(e 1)2x h x f x x =++不等式()ln(21)h x a ≥-等价于1210x e a +≥->对于[0]，x e ∀∈恒成立因为e 1x y =+在[0]，x e ∈时是增函数，所以min (1)2x e +=，因此2210a ≥->，解得1322a <≤ 所以a 的取值集合为13|22a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ ②不等式ln(e 1)ln(21)x a +≥-在22a e ≤≤时有解，等价于1210x e a +≥->在22a e ≤≤时有解，因为21y a =-在[22]，a e ∈时是增函数，所以min (21)3a -=， 所以13x e +≥，解得ln 2x ≥，所以x 的取值集合为{}|ln2x x ≥.点评：关键点点睛：本题考查了函数的奇偶性求参数值，不等式恒成立、能成立问题，解题的关键是利用对数函数的单调性将不等式转化为求函数的最值问题，注意转化变量，考查了转化与化归的思想.。
吉林省长春市第十一高中高一数学下学期期末考试试题理
长春市十一高中 度高一下学期期末考试数 学 试 题（理 科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．若n m ,是互不相同的直线，α是平面，则下列命题中正确的是（ ） A.若,,//α⊂n n m 则.//αm B.若,//,//αn n m 则.//αm C.若,,//α⊥n n m 则.α⊥m D.若,,α⊥⊥n n m 则.α⊥m 2.空间直角坐标系中,点(2,5,8)M 关于xoy 平面对称的点N 的坐标为（ ） A ．(2,5,8)- B ．(2,5,8)- C ．(2,5,8)- D ．(2,5,8)-- 3.若平面α与β的法向量别离是，则平面α与β的位置关系是（ ）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确信4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,15,555==S a 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前100项和为（ ） A.101100B.10199C. 10099D. 100101 5．点()y x P ,是直线023=-+y x 上的动点，则代数式yx 273+有（ ）A.最小值6B.最小值8C.最大值6D.最大值86．球面上有A 、B 、C 、D 四个点，若AB 、AC 、AD 两两垂直，且AB=AC=AD=4，则该球的表面积为（ ） A.380πB.π32C.π42D.π48 7.如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和极点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的 ( )8.数列{}n a 知足122,1,a a ==且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+⋅⋅=≥--,则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．10012 B ．5012 C ．1100 D ．1509.若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有（ ）A ．S P M =B ．S P M >C ．2()n S P M =D ．2()n S P M> 10．三棱锥ABC P -三条侧棱两两垂直，PA=a ，PB=b ，PC=c ，三角形ABC 的面积为S ，则极点P 到底面的距离是（ ）A.s abc 6 B.s abc 3 C.s abc 2 D.sabc11．正三棱锥V-ABC 的底面边长为a 2，E,F,G,H 别离是VA,VB,BC,AC 的中点，则四边形EFGH 的面积的取值范围是（ ）A.()+∞,0B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,332a C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,632a D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,212a 12.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，过DD 1的中点作直线l ，使得l 与BD 1所成角为40°，且与平面A 1ACC 1所成角为50°，则l 的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无数二、填空题（每小题4分，共16分）13．在直角三角形ABC 中，090C ∠=，2,1AB AC ==，若AB AD 21=，则CD CB →→⋅= ．14．若x>0,y>0,且y=28-x x,则x+y 的最小值为 ．15．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为6的等边三角形．若AB=4，则四面体ABCD 外接球的表面积为 ．16．在一个数列中，若是对任意n N +∈,都有12(n n n a a a k k ++=为常数)，那么那个数列叫做等积数列，k 叫做那个数列的公积．已知数列{}n a 是等积数列，且121,2a a ==，公积为8，记{}n a 的前n 项和为n S ，则： （1）5a = ．（2）2015S = ． 三．解答题：（本大题共6小题，共66分） 17．( 本小题满分10分) 设0,0,2a b a b >>+=且 （1）求a b ⋅的最大值； （2）求28a b+最小值. 18．( 本小题满分10分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形（1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S. 19．( 本小题满分12分)设数列{}n a 是公比小于1的正项等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知314S = ，且12313,4,9a a a ++ 成等差数列。
2020-2021长春市高中必修一数学上期末试题带答案
，
所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值.
【详解】
因为 ,所以 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了分段函数，属于中档题.
【详解】
因为当 时 为单调递减函数，又 ，所以函数 为偶函数，因此不等式 恒成立，等价于不等式 恒成立，即 ，平方化简得 ，
当 时， ；
当 时， 对 恒成立， ；
当 时， 对 恒成立， （舍）；
综上 ，因此实数 的最大值是 .
【点睛】
解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据已知条件得出 ，可得出 ，然后解不等式 ，解出 的取值范围，即可得出正整数 的最小值.
【详解】
由题意，前 个小时消除了 的污染物，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
则由 ，得 ，
所以 ，
故正整数 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
A．（-1，2]B．[-1,2]C．（-1，2）D．[-1,2)
7．设函数 是定义为R的偶函数，且 对任意的 ，都有 且当 时， ，若在区间 内关于 的方程 恰好有3个不同的实数根，则 的取值范围是 （ ）
长春十一中高一年级第一学期数学期末测试题附答案
长春市十一高中高一上学期期末考试数 学 试 题考试说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，试卷满分120分，附加题10分，答题时间为120分钟．考试结束后，将选择题答题卡和答题纸一并交回，试题卷自己保留．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的班级、姓名、考号、座位序号填写清楚．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用5.0毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．保持卡（卷）面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．一、选择题：（每小题4分，共48分）1．sin 330°等于（ ）A.2-B.12-C. 12D. 22．下列结论能成立的是（ ）A.sin θ=12且cos θ=12 B. tan θ=2且cos sin θθ=13C. tan θ=1且cos θD. sin θ=1且tan cos θθ⋅=123．若sin θ=35m m -+，cos θ=425mm -+则m 的值为（ ） A. 0 B. 8 C .0或8 D. 3＜m ＜94．对于平面α和共面的直线,,m n 下列命题中真命题是（ ）A.若,m n 与α所成的角相等，则m ∥nB.若m ∥α，则m ∥nC.若m ⊥α，m ⊥n 则n ∥αD.若α⊂m ，n ∥α，则m ∥n 5．设A 是△ABC 的一个内角，且sin A +cos A =23，则这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.非等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形 6．已知函数f (x )=a sin x +b tan x +1，满足f (5)=7，则f (-5)的值为（ ）A. 5B. -5C. 6D.-6 7．在正方体ABCD ―1111A B C D 中，与1AD 成60°角的面对角线共有（ ） A.4条 B.6条 C.8条 D.10条8．一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.12π C.3π D.俯视图（第8题图）1直观图正视图163B. [52,21212k k ππππ-+],Z ∈kC. [5,1212k k ππππ-+],Z ∈kD. [,63k k ππππ-+],Z ∈k10．如果33sin cos cos sin θθθθ->-，且(0,2)θπ∈，那么角θ的取值范围是（ ）A. (0,4π) B.3(,)24ππC. 5(,44ππD.5(,2)4ππ 11．已知函数f (x )= sin()4x πω+，（,0x R ω∈>）的最小正周期为π，为了得到函数g (x )= cos x ω的图象，只要将y =f (x )的图象（ ）A.向左平移8π个单位长度 B.向右平移8π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向右平移4π个单位长度12．若函数)2sin(3φ-=x y 的图象关于点4(,0)3π中心对称，则φ的最小值为（ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. π二、填空题：（每小题4分，共16分）13．α是第二象限角，其终边上一点P )5,(x ，且cos 4x α=， 则sin α的值为_ ____． 14．函数f (x )= tan sin x x +,[0,]3x π∈的最大值为___ ____．15．函数sin sin y x x =-的值域是_______________． 16．如图右（上），三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1AA ⊥平面111A B C ，正视图与俯视图如图右（下）， 则该三棱柱的侧视图面积为_____________．长春市十一高中高一上学期期末考试数 学 试 题 答 题 纸二、填空题：（每小题4分，共16分）13． 14． 15． 16．三、解答题：（共56分）17．（10分）已知函数y =2cos(2)3a xb π-+的定义域是[0,2π]，值域 是[5,1-]，求a 、b 的值．18．（10分）如图，A 、B 、C 、D 为空间四点，在△ABC 中，AB =2，AC =BC 等边三角形ABD 以AB 为轴转动．（1） （1）当面ABD ⊥面ABC 时，求CD 长；（2） （2）当△ABD 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论． （3）姓名 班级：一 班 考号：※※※※ 装 ※※※※ 订 ※※※※ 线 ※※※※ 内 ※※※※ 不 ※※※※ 准 ※※※※ 答 ※※※※ 题 ※※※※ ●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○●●●●○19．（12分）已知2tan 3α=，求下列各式的值， （1）cos sin cos sin cos sin cos sin αααααααα-+++-；（2）221sin 2sin cos 4cos αααα-+． 20．（12分）如图，把边长为1的正方形沿对角线BC 折起得到三棱锥D －ABC ,O 是BC边上一点．（1）当DO 取最小值时，求证：BC ⊥平面DA O ；（2）当三棱锥D －ABC 体积最大时，求二面角A －CD －B 的正切值．DBC21．（12分）函数1()sin(),(0.0,)2f x A x A ωφωφ=+>><的一段图象如图所示，（1）求函数1()f x 的解析式； （2）将函数1()y f x =的图象向右平移4π个单位，得函数2()y f x =的图象， 求2()y f x =的最大值，并求此时自变量x 的集合．22．（10分）附加题：已知正三棱柱111C B A ABC 中（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），BC =1，D 是棱BC 上的动点．（1）当D 在何处时，A 1B ∥平面AC 1D ，并证明；（2）若D 为BC 的中点，且直线AC 1与平面ABC 成60°角，试求二面角C －AC 1－D 的大小的正切值．1高一上学期期末数学试题答案一． 选择题：C A C C C C B B D C C B 121110987654321 二． 填空题：13 410 14 233 15 []2,0 16 32 三． 解答题： 17．解：∵20π≤≤x∴32323πππ≤-≤-x ∴1)32cos(21≤-≤-πx当b a b x a b a a +≤+-≤+->2)32cos(20π时，由已知得，⎩⎨⎧=+-=+-125b a b a ∴DE⎩⎨⎧-==32b a 当b a b x a b a a +-≤+-≤+<)32cos(220π时，由已知得，⎩⎨⎧=+--=+152b a b a ∴⎩⎨⎧-=-=12b a18．解：⑴ 若面,,,OD OC O AB ABC ABD 连接中点为时，取面⊥ 则ABC OD 面⊥∴OC OD ⊥ ∵在正三角形2=AB ABD 中， ∴13=∆=OC ABC Rt OD 中，在∴2=∆CD DOC Rt 中，在⑵ 结论：总有CD AB ⊥① 若面重合不与面ABC ABD ，由上知⎩⎨⎧⊥⊥OC AB ODAB ∴⎭⎬⎫⊂⊥OCD CD OCD AB 面面∴CD AB ⊥② 若面重合与面ABC ABD∵OD OC AB OC AB OD AB ,,,,且⊥⊥共面 ∴D C O ,,三点共线 ∴CD AB ⊥ 故总有CD AB ⊥成立。
吉林省长春十一中高一上学期期末考试 数学 Word版含答案.pdf
一、选择题（ 每小题4分，共48分 ） 1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中 的元素共有 （ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2. 的值是 （ ） A. B. C. D. 3.若，则 （ ） A. B. C. D. 4. 若函数，则它的图象的一个对称中心为( ) A. B. C． D. 5.已知,则等于 （ ） A. B. C. D. 与有关 6.函数,的递增区间依次是 （ ） A. B. C. D. 7.定义在上的奇函数，当， ，则 ( )A. 3B. 1C. -1D. -3 8.已知函数是上的偶函数,且在上单调递减,则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9．已知，函数的图象关于直线x＝0对称，则的值可以是( ) A. B. C. D. 10.已知函数的图象如图所示， ，则＝) A．－ B. C．－ D. 11.若为三角形一个内角,且对任意实数，均取正值,则 所在区间为（ ） A. B. C. D. 12.函数为的单调函数，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 函数的定义域 ．已知下列四个命题(1)若点P(,2)(≠0)为角终边上一点，则sin＝； (2)若>且、都是第一象限角，则tan>tan； (3)若是第二象限角，则>0； (4)若，则0 . 且 (6分) 解得 . 即 . (8分) (二) 不妨设均为锐角. 而tan(不存在 （3分） 又 （5分） tan (8分) 18．（10分） 解f(x)＝sin2ωx＋＋k＝sin2ωx－cos2ωx＋＋k＝＋k＋. (1)由题意可知＝≥，∴ω≤1.又ω>0，∴0<ω≤1. (2)∵T＝＝π，∴ω＝1.∴f(x)＝＋k＋. ∵x∈，∴2x－∈ 从而当2x－＝，即x＝时，fmax(x)＝＝sin＋k＋＝k＋1＝， ∴k＝－，故f(x)＝ ，当，即时取最小值 把的图象向右平移个单位得到y＝的图象． 19.（10分） 解：（1）定义域， (2分） 所以是奇函数 (5分） （2） 0 , > , > , 且(1+>0 >0 , 即> 在R上为增函数 (8分） 由 (1) 知 在[1 , +恒成立 . 即 >在[1 , +恒成立 . > 在[1 , +恒成立 > 易知 在[1 , +增 .< (12分） 高考学习网： 高考学习网： 体验 探究 合作 展示。
2020-2021学年吉林省长春十一中高一(下)第一学程考试数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年吉林省长春十一中高一（下）第一学程考试数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数z =(1+i)2，则复数z 的虚部是( )A. 1B. 2iC. −1D. 22. 下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数；③向量a⃗ 与b ⃗ 不共线，则a ⃗ 与b ⃗ 都是非零向量； ④若|a ⃗ |>|b ⃗ |，则a ⃗ >b ⃗ ．A. 0B. 1C. 2D. 33. 设i 是虚数单位，a ，b ∈R ，且(2+i)bi =a −4i ，则复数a +bi 在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 2019年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10√6米，则旗杆的高度为( )米．A. 20√2B. 30C. 30√3D. 355. 若e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A. e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ −e 1⃗⃗⃗B. 2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，e 1⃗⃗⃗ −12e 2⃗⃗⃗ C. 2e 2⃗⃗⃗ −3e 1⃗⃗⃗ ，6e 1⃗⃗⃗ −4e 2⃗⃗⃗D. e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗6. 已知平面向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(1,0)，则向量3a ⃗ +b ⃗ 等于( )A. (−2,6)B. (−2,−6)C. (2,6)D. (2,−6)7. 已知点D 是△ABC 所在平面上一点，且满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗+32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 32AB ⃗⃗⃗⃗⃗−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，连接AC ，MN 交于点P ，已知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( ) A. 12B. 35C. 23D. 349. 河水的流速为2m/s ，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )A. 10m/sB. 2√26m/sC. 4√6m/sD. 12m/s10. 在△ABC 中，下列命题正确的个数是( )①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ②AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ； ③若(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 为等腰三角形； ④AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，则△ABC 为锐角三角形．A. 1B. 2C. 3D. 411. 设点G 是△ABC 的重心，且2sinB ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则cosC =( )A. 34B. 23C. 13D. 91612. 在△ABC 中，cosA =1213，sinB =m ，若角C 有唯一解，则实数m 的取值范围是( )A. (513,1)B. [513,1]C. [1213,1]∪{513}D. (0,513]∪{1}二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. i 是虚数单位，复数|8+i2−3i |= ．14. 已知a ⃗ =(1,√2)，若向量b ⃗ 满足(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，则b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为______ ． 15. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(2,3)，若m ⃗⃗⃗ =λa ⃗ +b ⃗ 与n ⃗ =a ⃗ −b⃗ 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是______ ．16. 半径为2的圆O 上有三点A 、B 、C 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，点P 是圆内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______ ． 三、解答题（本大题共4小题，共40.0分） 17. 已知向量a ⃗ =(3,2)，b ⃗ =(2,−1)．(1)若a ⃗ +k b ⃗ 与k a ⃗ +b ⃗ 平行，求k 的值； (2)若λa ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 垂直，求λ的值．18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2a −c)cosB =bcosC ．(1)求角B ；(2)若b =7，a =5，求sin C 的值．19. 已知锐角△ABC 中的三个内角分别为A ，B ，C ．(1)设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，判断△ABC 的形状；(2)设向量s ⃗ =(2sinC,−√3)，t =(cos2C,2cos 2C 2−1)，且s ⃗ //t ，若sinA =13，求sin(π3−B)的值．20. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设2(sinB −sinC)2+cos(B −C)=2sin 2A −cosA ． (Ⅰ)求A ； (Ⅱ)求b+c a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数z=(1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i，其虚部为2．故选：D．利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．熟练掌握复数的运算法则和虚部的定义是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：对于①，温度含零上和零下，是正数和负数的关系，不是向量，故①错误；对于②，向量的模是一个正实数，零向量的模为0，故②错误；对于③，向量a⃗与b⃗ 不共线，说明这两个向量为非零向量，且为不共线向量的非零向量，则a⃗与b⃗ 都是非零向量，故③正确；对于④，由于向量不能比较大小，具有方向性，则a⃗>b⃗ 错误，故④错误；故选：B．直接利用向量的定义，向量的模，向量的共线的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：向量的定义，向量的模，向量的共线，主要考查学生的数学思维能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：(2+i)bi=a−4i，∴−b+2bi=a−4i，∴{−b=a2b=−4，解得b=−2，a=2．则复数a+bi在复平面内所对应的点(2,−2)位于第四象限．故选：D．利用复数的运算法则、复数相等即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】【分析】本题考查解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．先求得∠AEC和∠ACE，则∠EAC可求，再利用正弦定理求得AC，最后在Rt△ABC中利用AB=AC⋅sin∠ACB求得AB的长．【解答】解：如图所示，依题意可知∠AEC=45°，∠ACE=180°−60°−15°=105°，∴∠EAC=180°−45°−105°=30°，由正弦定理可知CEsin∠EAC =ACsin∠CEA，∴AC=CEsin∠CEAsin∠EAC=20√3米，∴在Rt△ABC中，AB=AC⋅sin∠ACB=20√3×√32=30米，所以旗杆的高度为30米，故选：B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平面向量基本定理的运用；注意能作为基底的平面向量必须是不共线的向量．观察四个选项中的向量找出每个选项中两个向量之间的线性关系，判断其是否共线，进而即可得出答案．【解答】解：观察四个选项，对于选项A，e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ =−(e2⃗⃗⃗ −e1⃗⃗⃗ )；B，2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ =2(e1⃗⃗⃗ −12e2⃗⃗⃗ )，C，−2(2e2⃗⃗⃗ −3e1⃗⃗⃗ )=6e1⃗⃗⃗ −4e2⃗⃗⃗ ，A、B、C选项中的两个向量都是共线向量，所以不能作为基底，故选D．【解析】解：3a ⃗ +b ⃗ =3(−1,2)+(1,0)=(3×(−1)+1,3×2+0)=(−2,6) 故选：A ．按照向量数乘的坐标运算 及和运算，直接计算即可． 本题考查向量数乘、及和运算的坐标表示，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 化简可得：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：D ．将已知化为AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，由此即可求解． 本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵AC ，MN 交于点P ， ∴M ，N ，P 三点共线， 设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =94x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(1−x)λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴94x =1且3(1−x)λ=1， 得x =49，λ=35． 故选：B ．利用三点共线的向量关系，建立方程进行求解即可．本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，是基础题．9.【答案】B【解析】解：根据题意做出图形，如图：以v 2⃗⃗⃗⃗ 表示水流速度，v 1⃗⃗⃗⃗ 表示船行速度，v 0⃗⃗⃗⃗ 表示船在静水中的速度．由题意知|v 2⃗⃗⃗⃗ |=2m/s,|v 1⃗⃗⃗⃗ |=10m/s ，由勾股定理可得|v 2⃗⃗⃗⃗ |2+|v 1⃗⃗⃗⃗ |2=|v 0⃗⃗⃗⃗ |2，解得|v 0⃗⃗⃗⃗ |=2√26m/s ．故选：B ．由题意画出图形，将涉及到的速度置于一个直角三角形中，经计算可求解． 本题考查平面向量的物理意义，根据题意做出示意图是解题的关键．属于基础题．10.【答案】B【解析】解：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；所以①不正确； ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；满足向量的运算法则，所以②正确； ③若(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 为等腰三角形；所以③正确；④AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，可知A 为锐角，但是则△ABC 不一定是锐角三角形．所以④不正确； 故选：B ．通过向量的加减运算，向量的数量积，判断三角形的形状，判断选项的正误即可． 本题考查命题的真假的判断，向量的基本运算法则的应用，三角形的性质的判断，是基础题．11.【答案】B【解析】解：∵点G 是△ABC 的重心， ∴GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 由题意及正弦定理得2b ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3a ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2c ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴2b ⋅(GB ⃗⃗⃗⃗⃗ −GA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3a ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2c ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 即(3a −2b)⋅GA⃗⃗⃗⃗⃗ +2b ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2c ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 故2b =2c =3a −2b ，即b =c ，a =43b ， 由余弦定理可得cosC = a 2+b 2−c 22ab=b 2+169b 2−b 22×43b×b =23， 故选：B ．由点G 是△ABC 的重心，可得GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，利用正弦定理余弦定理即可求出． 本题考查向量在几何中的应用，考查了利用余弦定理求角，考查利用正弦定理化角化边，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：在△ABC 中，cosA =1213，sinB =m ，若∠C 有唯一解，则△ABC 有唯一解， 在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ， 由cosA =1213，则∠A 为一确定的锐角且sinA =513， ∴a b=sinA sinB=513m，如图以C 为圆心，a 为半径画圆弧，当圆弧与边AB 有1个交点时满足条件， 如图示：即圆弧与边AB 相切或与圆弧与边AB 相交有2个交点， 其中一个交点在线段AB 的反向延长线上(或在点A 处)， 故a =bsinA =513b 或a ≥b ，由ab =513m ，即a =513m b ，得513m b =513b 或513m b ≥b ， 解得：m =1或0<m ≤513， 故选：D ．根据条件∠C 有唯一解，则△ABC 有唯一解，以C 为圆心，a 为半径画圆弧，当圆弧与边AB有1个交点时满足条件，结合正弦定理可得答案．本题考查了正弦定理以及根据三角形的解的个数求参数的范围，是中档题．13.【答案】√5【解析】【分析】本题考查了复数模的计算，属于基础题．由复数|8+i2−3i |=|8+i||2−3i|，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数|8+i2−3i |=|8+i||2−3i|=√82+12√22+(−3)2=√65√13=√5，故答案为√5．14.【答案】−√3【解析】解：∵a⃗=(1,√2)，∴|a⃗|=√3，∵向量b⃗ 满足(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，∴(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，∴a⃗⋅b⃗ =−3．∴b⃗ 在a⃗方向上的投影为：a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |=√3=−√3．故答案为：−√3．先根据平面向量的坐标运算，求出向量模以及向量的数量积，再求出b⃗ 在a⃗方向上的投影．本题考查平面向量数量积的定义，向量垂直关系的应用，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】λ<9，且λ≠−1【解析】【解答】解：m⃗⃗⃗ =λa⃗+b⃗ =(2−λ,2λ+3)，n⃗=a⃗−b⃗ =(−3,−1)，∵m⃗⃗⃗ =λa⃗+b⃗ 与n⃗=a⃗−b⃗ 的夹角为钝角，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗<0，且不能反向共线，由m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=−3(2−λ)−(2λ+3)<0，解得λ<9．由−3(2λ+3)+(2−λ)=0，解得λ=−1．∴实数λ的取值范围是λ<9.且λ≠−1．故答案为：λ<9，且λ≠−1．【分析】由m ⃗⃗⃗ =λa ⃗ +b ⃗ 与n ⃗ =a ⃗ −b⃗ 的夹角为钝角，可得m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ <0，且不能反向共线，利用数量积运算性质、向量共线定理即可得出．本题考查了数量积运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16.【答案】[−4,14)【解析】解：如图，设OA 与BC 交于点D ，由OA⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，得四边形OBAC 是菱形，且OA =OB =2，则AD =OD =1，BD =DC =√3，由图知PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，而DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−3，同理PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，而DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−1，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4，因为点P 是圆内一点，则0≤|PD⃗⃗⃗⃗⃗ |<3， 所以−4≤PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ <14． 即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[−4,14)． 故答案为：[−4,14)．设OA 与BC 交于点D ，由题意可得四边形OBAC 是菱形，利用菱形的性质以及数量积运算可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4，由0≤|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |<3，即可求得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围． 本题主要考查平面向量数量积的运算，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，因为向量a ⃗ =(3,2)，b ⃗ =(2,−1)，则a ⃗ +k b⃗ =(3+2k,2−k)，k a ⃗ +b ⃗ =(3k +2,2k −1)，因为a ⃗ +k b ⃗ 与k a ⃗ +b ⃗ 平行，所以(3+2k)(2k −1)−(2−k)(3k +2)=0，即k 2=1， 所以k =±1．(2)因为向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(2,−1)，所以λa⃗−b⃗ =(3λ−2,2λ+1)，a⃗+λb⃗ =(3+2λ,2−λ)，因为λa⃗−b⃗ 与a⃗+λb⃗ 垂直，所以(λa⃗−b⃗ )⋅(a⃗+λb⃗ )=(3λ−2,2λ+1)⋅(3+2λ,2−λ)=0，所以(3λ−2)(3+2λ)+(2λ+1)(2−λ)=0，解得λ=−1±√2．【解析】(1)根据题意，求出a⃗+k b⃗ 与k a⃗+b⃗ 的坐标，由向量平行的判断方法可得关于k的方程，即可得答案；(2)根据题意，有向量垂直的判断方法可得本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行、垂直的判断方法，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵在△ABC中，由(2a−c)cosB=bcosC，以及正弦定理可得：2sinAcosB−sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin(B+C)=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=12，∵B∈(0,π)，∴可得B=π3．(2)∵cosB=12，∴a2+c2−b22ac =12，∵b=7，a=5，∴c=8，∵在△ABC中，由正弦定理bsinB =csinC，可得√32=8sinC，∴解得sinC=4√37．【解析】(1)在△ABC中，由(2a−c)cosB=bcosC以及正弦定理可得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA，求得cos B的值，结合B的范围可求B的值．(2)由条件利用余弦定理可得c的值，进而根据正弦定理即可求解sin C的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】解：(1)因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，故△ABC 为等腰三角形．(2)∵s ⃗ //t， ∴2sinC(2cos 2C 2−1)=−√3cos2C ， ∴sin2C =−√3cos2C ，即tan2C =−√3，∵C 为锐角，∴2C ∈(0,π)，∴2C =2π3，∴C =π3， ∴A =2π3−B ，∴sin(π3−B)=sin[(2π3−B)−π3]=sin(A −π3)，又sinA =13，且A 为锐角，∴cosA =2√23， ∴sin(π3−B)=sin(A −π3)=sinAcos π3−cosAsin π3=1−2√66．【解析】(1)因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，利用向量的线性运算可得所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0即可得到三角形为等腰三角形；(2)因为s ⃗ //t化简可得到tan2C =−√3，求出C 角，充分利用角之间关系以及三角函数化简，即可求出sin(π3−B)；本题主要考查了向量的基本线性运算，三角函数化简与解三角形知识点，属中等题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵2(sinB −sinC)2+cos(B −C)=2sin 2A +cos(B +C)， ∴2(sinB −sinC)2=2sin 2A +cos(B +C)−cos(B −C)，∴2(sinB −sinC)2=2sin 2A −2sinBsinC ，∵由正弦定理可得：(b−c)2=a2−bc，∴b2+c2−a2=bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =12．∴A=π3．(Ⅱ)∵b+ca =sinB+sinCsinA=sinB+sin(2π3−B)√32=2√33(sinB+√32cosB+12sinB)=2√33(32sinB+√3 2cosB)=2(√32sinB+12cosB)=2sin(B+π6)，又∵0<B<2π3，∴π6<(B+π6)<5π6．∴1<2sin(B+π6)≤2，∴b+ca∈(1,2]．【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得b2+c2−a2= bc，利用余弦定理可求cos A的值，进而可求A的值．(Ⅱ)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求b+ca =2sin(B+π6)，由于0<B<2π3，可求范围π6<(B+π6)<5π6.利用正弦函数的图象和性质即可求解其取值范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。
吉林省长春市十一高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 (含答案)
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ，则C=（）
A．30°B．22.5°C．15°D．45°
10．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”，则海岛的高 （）
在 中， 米，
在 中，由余弦定理得
，
所以， 米.
18.（满分8分）
（1）由频率分布直方图可知，第一组的概率为
所以 ，解得 .
（2）设第80百分位数为 ，则 ，
解得 ，故第80百分位数的估计值为为 .
（3）由频率分布直方图可知第四､五组的抽取比例为 ，抽取6人，
则第四组抽取 人，记
第五组抽取 人，记 ，
A． B．1C． D．3
6．已知复数 为虚数单位 在复平面内对应的点为 ，复数 满足 ，则下列结论不正确的是（）
A． 点的坐标为 B．
C． 的最大值为 D． 的最小值为
7．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，面积为 的扇形，则该圆锥的底面半径为（）
A． B． C． D．
8．已知菱形 ， ，将△ 沿 折起，使二面角 的大小为 ，则三棱锥 的体积为（）
A．1B．2C．3D．4
12.在四面体 中， ，二面角 的余弦值是 ，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共70分）
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是_________．
14.如图，三棱锥 中， ，点 分别是 中点，则异面直线 所成的角的余弦值是________．
吉林省白城市第一中学2020学年高一数学下学期期末考试试题
白城一中2020学年下学期高一期末考试数学试卷考试说明:（1）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上）1. 过点(1，0)且与直线022=--y x 平行的直线方程是A.012=--y xB.012=+-y xC.022=-+y xD.012=-+y x 2. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且2223a bc c b =++，则∠A为A.60°B.30°C.120°D.150°3. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体 的体积是Ａ.34000cm 3Ｂ.38000cm 3Ｃ.32000cm Ｄ.34000cm4. 直线0cos =++b y x α的倾斜角的取值范围是正视图侧视图俯视图A ．),0[πB ．]43,2()2,4[ππππY C ．]43,4[ππ D ．),43[]4,0[πππY 5. 空间四边形SABC 中，SB ⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 、AB 的中点，那么EF=A.1B.2C.22D.21 6. 下列结论正确的是A.当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B.21,0≥+>xx x 时当C.x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D.当xx x 1,20-≤<时无最大值 7. 已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是A.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nB.若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC.若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD.m 、n 是两异面直线，若m ∥α，m ∥β，且n ∥α，n ∥β，则α∥β8. 设ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，其外接圆半径为1，且有+-C A sin sin,22)cos(22=-C A 则此三角形的面积为 A.433 B.43 C.43或433 D.43或533 9. 在圆x 2+y 2＝5x 内，过点)23,25(有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差]31,61[∈d ，那么n 的取值集合为A.{4，5，6，7}B.{4，5，6}C.{3，4，5，6}D. {3，4，5}10. 已知{a n }的前n 项和S n = n 2-4 n +1,则|a 1|+| a 2|+…+| a 10|=A.68B.67C.61D.60 11. 已知数列{a n }满足a 1＝0, a n ＋1＝133+-n n a a （n ＝1, 2, 3, …）, 则a 2020等于A.0B.3C.3-D.212. 若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是A. [1,1-+B. [1-+C. [1-D. [1-第Ⅱ卷(非选择题，满分90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上. 13.已知ABC ∆中，3=c ，1=a ，A b B a cos cos = ，则ABC ∆面积为---------14. 若点),(y x P 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤3330y x y x 表示平面区域内一动点，且不等式02≥+-a y x恒成立，则实数a 的取值范围是----------15. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球的表面积为_________。
吉林省长春市20202021学年高一下学期期末联考数学试题含答案.docx
长春市2020-2021学年高一下学期期末联考数学本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：lo答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2。
作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4o考生必须保持答题卡的整洁。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，二• 土 = 1 —i，则关于复数z的说法正确的是（）A.s =/B.z对应复平面内的点在第三象限C.z的虚部为-i Dt-二=22. 已知向量矛= （2,-1）,习= 02）,若（前一功1用贝眨=（）A. B.-? C.-7 D.743. 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）A. B. C. D.4. 已知两条不同直线，m,两个不同平面a, 则下列命题正确的是（）A.若a 〃&, I c a , m u贝ij/ z/m B.若a ,为 »»，a, I ± fi,贝07 ± in5. 将函数ffx ）= sai 2x-cos2x 的图象向左平移%个单位长度后，得到函数故寸的图象，则函数霓V 图象的一条对称轴方程为（ ）A.X = -B.X = MC.X = ：D.X = f0 123246. 在A ABC 中，已知A = 45。
，AB=6近,且4B 边上的高为2捉，则smC=（ ）A 血B 3尽C 血D "77~io' ~ ~3~7. 直三棱柱ABC-AiBjC ］的所有顶点都在同一球面上，且AB=AC = 2, ZBAC=90c ,=4\［2＞则该球的表面积为（ ）A.40;rB.32”C.IO RD.S JT8. 高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共 享单车和扫码支付的使用人数进行大数据解+析，其中共享单车使用的人数分别为为，X 双£••• ,X 』O0，它们的平均数为，方差为s 土其中扫码支付使用的人数分别为3.V ； -2, 3x : -2,3x3-2, ••• , 3x 100-2,它们的平均数为］方差为广，则｛，广分别为（ ）A.3T —2, 3s~ ~2B.Jr, 3S 'C.S T —2, 9s~D.3r —2, 9s~ ~2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年吉林省长春市十一中高一上期末文科数学卷
【最新】吉林省长春市十一中高一上期末文科数学卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线24x y =的准线方程为（ ）A ．1x =-B ．1y =-C ．116x =-D ．116y =- 2．设()ln f x x x =，若()0'1f x =，则0x =（ ） A ．B ．1C ．eD ．ln23．已知点（-1，2）和（3，-3）在直线30x y a +-=的同侧，则a 取值范围（ ） A ．（-1，6） B ．（-6，1） C ． D ． 4．若直线过圆的圆心，则的值为（ ）A ．1B ．－1C ．3D ．－3 5．已知正数y x ,，满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y x z )21(4⋅=-的最小值为（ ）A ．1B ．3241 C ．161 D ．3216．已知曲线的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．－2 C ．1 D ．127．下列命题中的假命题是（ ） A ．B ．,tan 1x R x ∃∈=C ．,lg 0x R x ∃∈=使D ．8．双曲线22221x y a b-=的渐近线为3y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D ．3 9．已知F 是抛物线28y x =的焦点， ,A B 是该抛物线上的两点， 12AF BF +=，则线段AB 中点到y 轴的距离为（ ）A ．16B ．6C ．8D ．410．已知,a b 为实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件11．已知双曲线E 的中心在原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点，且AB线段中点(12,15)N --，则E 的方程为（ ）A ．22136x y -=B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22154x y -=12．函数()f x e -= ）ABC ．既有最小值0D ．既无最大值，也无最小值二、填空题13．经过双曲线2214x y -=的右焦点且垂直于x 轴的直线被双曲线截得的弦长为________________．14．函数32()31f x x x =-+在x =______处取得极小值. 15．抛物线焦点在y 轴正半轴上，且被112y x =+截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为________．16．已知函数32()69f x x x x m =-++，若存在a b c <<满足，()()()f a f b f c ==则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 17．已知，，其中．（1）若，且为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．已知圆过点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程及的最小值．19．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到准线的距离为．（1）求抛物线的标准方程； （2）设直线与抛物线的另一交点为，求的值．20．已知函数()312f x x x =-. (1)求函数()f x 的极值；(2)当[]3,3x ∈-时，求函数()f x 的最值． 21． 已知椭圆（a ＞b ＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k 的直线l 经过点M （0，1），与椭圆C 交于不同两点A 、B ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围． 22．已知函数()20xg x ax e -'==， ,a b 是都不为零的常数．（1）若函数()f x 在上是单调函数，求,a b 满足的条件；（2）设函数()()'xg x f x b e =--，若()g x 有两个极值点12,x x ，求实数a 的取值范围．参考答案1．B【解析】试题分析：把抛物线24x y =转化为标准式方程为24,x y =所以抛物线焦点在y 轴上，且2,p =即其准线方程为1,y =-故选B ．考点：1、抛物线的简单性质；2、抛物线的标准式方程． 2．B【解析】试题分析：()ln ,f x x x = ()ln 1,f x x '∴=+ ∴由()01f x '=得，()00ln 11,f x x +='=解得0 1.x =故选B ．考点：导数的运算法则． 3．C【解析】试题分析：点()1,2-和()3,3-在直线30x y a +-=的同侧，()()32930,a a ∴-+--->化为()()160,a a +->解得1a <-或6,a >故选C ．考点：1、二元一次不等式的几何意义；2、不等式的解法． 4．A【解析】试题分析：圆22240x y x y ++-=的圆心为()1,2-，因为直线过圆的圆心，将()1,2-代入直线30x y a ++=得： 320,a -++=1,a ∴=故选A ．考点：1、已知圆的一般式方程求圆心；2、点在直线上． 5．C 【解析】试题分析：根据题意，由于正数,,x y 满足20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，而21422yx x y z ---⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，由可行域可知当'2z x y =+过点()1,2时'z 最大值为4，此时22x y--最小，且为116，故选C ．考点：1、可行域和最优解；2、指数函数的性质． 6．A【解析】试题分析：设切点的横坐标为0x ，曲线()f x =的切线斜率为12， ()00031',22x f x x ∴=-=解得03x =或02x =-（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3，故选A ．考点：利用导数求切线斜率及切点坐标． 7．D 【解析】试题分析：A ．,x R ∀∈由指数函数的性质可得20,x>因此是真命题；B ．,tan 1,x R x ∃∈=例如,4x π=所以是真命题；C ．,x R ∃∈使lg 0x =是真命题，例如1x =；D ．3,0,x R x ∀∈>是假命题，例如1x =-时；综上可知：只有D 是假命题，故选D ． 考点：全称命题与特称命题及初等函数的性质． 8．A【解析】试题分析：双曲线22221x y a b -=的渐近线为3,y x =± 3,ba∴=22110,b e a∴=+=故选A ．考点：双曲线的渐近线及离心率． 9．D【解析】试题分析：设,A B 到准线的距离为12,,d d12,AF BF += ∴由抛物线的定义得， 1212,d d += ∴线段AB 中点到准线的距离为6， ∴线段AB 中点到y 轴的距离为624,-=故选D ．考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义及几何性质． 10．C 【解析】 试题分析：,a b 是实数，∴“0a > 且0b >”⇒“0a b +>且0ab >”；“0a b +>且0ab >”则0ab >得a 与b 同号，又0a b +>，所以必有“0a > 且0b >”，∴“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >” 的充要条件，故选C ．考点：1、充分条件与必要条件；2、不等式的性质． 11．B 【解析】试题分析：由题意，不妨设双曲线的方程为()222210,0,x y a b a b-=>>()3,0F 是E 的焦点，3,c ∴=229,a b ∴+=设()()1122,,,A x y B x y 则有：2211221x y a b -=①，2222221x y a b-=②， 由① -②得：1212y y x x -=-()()212212b x x a y y ++，AB 的中点为()12,15,N --2122124,5y y b x x a-∴=-又AB 的斜率是1501,123--=--2241,5b a ∴=即2245,b a =将2245b a =代入229,a b +=可得224,5,a b ==∴双曲线标准方程是221,45x y -= 故选B ． 考点：1、待定系数法求双曲线的方程；2、“点差法”的应用．【方法点睛】本题主要考查待定系数法求双曲线的方程及“点差法”的应用，属于难题．对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解． 12．C【解析】试题分析：()f x e -= ∴函数的定义域为[)0,,+∞由()12x x f x e e --=-'= 0x e -=，得1,2x =由()0,f x '>得10,2x <<由()0,f x '<得1,2x > ∴函数()f x e -=在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，所以12x =时，函数()f x e -=又()0f x e -=≥恒成立， 0x ∴=时函()f x e -=0,故选C ．考点：1、求导法则及求导公式；2、利用导数求函数极值和最值．【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数极值和最值，属于难题．求函数()f x 极值、最值的步骤：（1） 确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检查方程的根的左右两侧的符号，确定极值点（最好通过列表法），如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值，如果()f x '在点0x 的左右两侧符号不变，则()0f x 不是函数极值．如果()f x 在开区间上只有一个极大（小）值，则该极值也是最大（小）值． 13．1 【解析】试题分析：双曲线2214x y -=的右焦点坐标为)，∴经过双曲线2214x y -=的右焦点且垂直于x 轴的直线方程为x =把x =2214xy -=得1,2y =±∴直线被双曲线截得的弦长为1，故答案为1． 考点：双曲线的标准方程及简单性质． 14．2【解析】 试题分析：因为，所以；令列表如下：所以函数f （x ）＝x 3－3x 2＋1在x ＝2处取得极小值. 考点：函数的性质及应用.15．24x y = 【解析】试题分析：设抛物线方程为()20,x my m =>交点的纵坐标分别为 12,y y ，则联立拋物线方程与直线112y x =+方程并消元，得24(8)40y m y -++= ，1284m y y ++=则由抛物线的定义得弦长为12()()44m m y y +++=1232524m my y ++=+=得4m =，所以拋物线的标准方程为24x y =，故答案为24x y =．考点：1、抛物线的定义及标准方程；2、直线与抛物线的位置关系及韦达定理．【方法点睛】本题主要考查抛物线的的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系及韦达定理 ，属于中档题．利用抛物线的定义可解决的常见问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，一定要注意利用两者之间的转化在解题中的应用．本题弦长就是利用定义把点到焦点的距离转化为到准线的离，然后结合韦达定理求解的．16．40m -<< 【解析】 试题分析：()3269,f x x x x m =-++()231293(1(3)f x x x x x ∴=-+=--' ， 令()0,f x '=得1x =或3x =，依题意有，函数()3269f x x x x m =-++的图象与x 轴有三个不同的交点，故()1f ()30,f <即()()32169363930,m m -++-⨯+⨯+<40,m ∴-<<故答案为()4,0.-考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的零点分布． 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、零点分布以及形如32()0f x ax bx cx m =+++=（,,a b c 为常数）方程根的分布情况，属于难题．要使方程()0f x =有三个根，常见方法有两个：（1）求出()f x 的极小、极大值点12,x x ，只需12()()0f x f x <即可；（2）转化为-m =32ax bx cx ++()g x =，只需12()()g x m g x <-<即可．本题是利用方法（1）进行解答问题的． 17．（1）；（2）523m ≤≤． 【解析】试题分析：（1）先求两个命题为真命题时，x 的取值集合，p q ∧为真，则,p q 同时为真命题，所以求x 的两个取值集合的交集．（2）因为是的充分不必要条件，p 即是q 的充分不必要条件，因为命题q 为真命题时，实数x 的取值范围是(,3)m m ，所以(2,5)，所以2{35m m ≤≥，解之得523m ≤≤． 试题解析：（1）2:7105,p x x -+<p 即为真命题时实数x 的取值范围是(2,5)，4m =，所以同理q 为真命题时，实数x 的取值范围是(4,12)又p q ∧为真，则,p q 同时为真命题，也即x 的取值范围的交集，为45x <<（2）因为是的充分不必要条件，p 即是q 的充分不必要条件，又因为命题q 为真命题时，实数x 的取值范围是(,3)m m ，所以2{35m m ≤≥，解之得523m ≤≤．考点：1.解一元二次不等式；2.充分必要条件．18．（1）()()22124x y -+-=；（2） 【解析】试题分析：（1）先设圆的方程为，由题意可列出关于,,a b c 的方程，解出,,a b c 可得圆的方程为：；（2）设直线方程可化为点斜式，点在圆内，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦最小， 此时．试题解析：（1）设圆的方程为，所以，解得，所以圆的方程为： ()()2212 4.x y -+-=（2）直线方程可化为点斜式，所以过定点，又点在圆内，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦最小，因为，所以的斜率，所以的方程为，即．因为，，所以．考点：1、待定系数法求圆的标准方程；2、圆的弦长公式及最值． 19．（1）；（2）14． 【解析】试题分析：（1）由题意列出关于p 和0x 的方程，消去0x 结合，解得，抛物线标准方程为； （2）先求出直线的方程为，再与抛物线方程联立得，解得14x =或，由焦半径公式所以14MF NF=．试题解析：（1）由题意，消去0x 得，因为，解得，所以，所以抛物线标准方程为．（2）因为，，所以，直线的方程为，联立方程得方程组，消去得，解得或，将代入，解得14x =或，由焦半径公式，，所以．考点：1、待定系数法求抛物线的方程；2、抛物线的定义；3、直线与抛物线的位置关系． 20．（1）()f x 的极大值为()216f -=，极小值为()216f =-；（2）()f x 的最大值为()216f -=，最小值为()216f =-【分析】（1）直接利用导数求函数的极值.(2)比较端点函数值和极值的大小即得解. 【详解】(1)f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)＝0，解得x ＝2或x ＝－2， x ，f ′(x )，f (x )的变化如下表：∴函数f (x )的极大值为f (－2)＝16，极小值为f (2)＝－16. (2)由(1)知，f (－2)＝16，f (2)＝－16，又f (－3)＝9，f (3)＝－9，∴当x ∈[－3,3]时，函数f (x )的最大值为f (－2)＝16，最小值为f (2)＝－16. 【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 设()y f x =是定义在闭区间[],a b 上的函数，()y f x =在(),a b 内有导数，可以这样求最值：①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程/()0f x =在(),a b 内的根12,,,n x x x ）；②比较函数值()f a ，()f b 与12(),(),,()n f x f x f x ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间(,)a b ，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后通过分析确定函数的最值.21．解：（1）∵焦距为4，∴c=2………………………………………………1分 又∵的离心率为……………………………… 2分 ∴，∴a=，b=2………………………… 4分 ∴标准方程为………………………………………6分（2）设直线l 方程：y=kx+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由得……………………7分∴x 1+x 2=，x 1x 2=由（1）知右焦点F 坐标为（2，0）， ∵右焦点F 在圆内部，∴＜0………………………………8分∴（x 1-2）（x 2-2）+ y 1y 2＜0即x 1x 2-2（x 1+x 2）+4+k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1＜0…………………… 9分 ∴＜0…………… 11分∴k ＜……………………………………………………………… 12分经检验得k ＜时，直线l 与椭圆相交，∴直线l 的斜率k 的范围为（-∞，）……………………………13 【解析】试题分析：（1）由焦距为4,可得2c =．又因为的离心率为,可得a 的值．根据222a b c =+可得2b ．（2）设设()()1122,,,A x y B x y ,直线l 方程：1y kx =+，与椭圆方程联立消去y 可得关于x 的一元二次方程．由韦达定理可得两根之和,两根之积．右焦点F 在圆内部，0FA FB ⋅<,从而可得k 的取值范围． 试题解析：解：（1）∵焦距为4，∴2c = 又∵的离心率为∴，∴22a =，2b =∴标准方程为（2）设直线l 方程：1y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由得∴122412k x x k -+=+，122612x x k -⋅=+ 由（1）知右焦点F 坐标为F ，∵右焦点F 在圆内部， ∴0FA FB ⋅<∴()()1212220x x y y --+<即()()2121212122410x x x x k x x k x x -++++++<分∴22226481(1)(2)50121212k k k k k k k---+⋅+-⋅+=<+++ ∴18k <经检验得18k <时，直线l 与椭圆相交，∴直线l 的斜率k 的范围为1(,)8-∞ 考点：1椭圆的简单几何性质;2直线与椭圆的位置关系问题．22．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）若函数是单调函数，则讨论0a >时()0f x '≥恒成立或0a <时()f x ' ≤ 0恒成立，都可得；（2）先求出若有两个极值点，方程()h x =有两个根，讨论当时，当时 方程方程根的情况可得．试题解析：（1），若函数是单调函数，则讨论a o >时()f x ' 0≥恒成立时0b >， 0a <时()f x ' ≤ 0恒成立0b <，即是单调函数时．（2）由，若有两个极值点，则是的两个根，又不是该方程的根，所以方程有两个根，设，求导得：①当时，，且，单调递减；②当时，， 若，，单调递减； 若，，单调递增；若方程有两个根，只需：，所以考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数研究高次式、分式、指数式、对数函数极值点个数问题的一般思路：①将问题转化为导函数的零点问题，进而转化为导函数的图象与x 轴在该区间上交点问题；②结合导函数图象求解，先画出其图象，再利用导数研究出该导函数在该区间上单调性、极值（最值）、端点值等性质，分离参数后转化为导函数的图象与直线的交点问题，进而求出参数的范围．。
吉林省2020-2021学年高一下学期期末考试联考数学试卷
2020-2021学年吉林省白城一中、大安一中、通榆一中、洮南一中、镇赉一中高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．从2021名学生中选取50名学生参与一项调查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2021人中剔除21人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为3．如图，在△ABC中，，P是BN的中点，若，则实数m的值是（）A．B．1 C．D．4．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A．B．1 C．D．2（1+）5．已知，若，则的值为（）A．B．C．D．6．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为37．已知A（﹣2，1），B（6，﹣3），C（0，5），则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形8．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B．f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m∥n，n⊥β，m∥α，则α⊥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n10．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数的有（）A．y＝cos x B．y＝x3C．y＝x2+4 D．y＝log2|x|11．下列说法错误的是（）A．若，，则B．若，则存在唯一实数λ使得C．若，且，则D．两个非零向量，，若，则与共线且反向12．已知在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD的边长为4，E为AD的中点，AB⊥CD，AB ⊥CE，下列结论正确的为（）A．正三棱锥A﹣BCD的体积为2B．三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为24πC．AD⊥BCD．CE与CD所成角的正切值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x＜0}，则M∩N＝．14．从集合中任取两个不同的数a，b，则log a b＞0的概率为．15．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是．16．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是．（把你认为正确的结论都填上）①A1C1⊥平面BDD1B1；②BD1⊥平面ACB1；③BD1与底面BCC1B1所成角的正切值是；④过点A1与异面直线AD与CB1成60°角的直线有2条．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知：复数z＝（1+i）2+，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．18．已知向量，满足：||＝2，||＝1，（+）（2﹣）＝8．（Ⅰ）求与的夹角θ；（Ⅱ）求|+|．19．已知A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|（x﹣k）（x﹣k+4）＞0}．（1）若A∩∁R B＝[0，3]，求实数k的值；（2）若p：x∈A，q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数k的取值范围．20．某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．（1）求图中m的值；（2）在[450，500），[500，550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．21．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点．求证：（1）AE∥平面PDC；（2）若CD＝PD，证明：AE⊥平面PBC．22．若向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，﹣cos x），f（x）＝+t的最大值为．（1）求t的值及图象的对称中心；（2）若不等式m2在x∈[]上恒成立，求m的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的四则运算先化简，再求出共轭复数，得到其在复平面内对应点的坐标得答案．解：＝＝﹣i，∴复数的共轭复数为+i，∴共轭复数对应的点（，）位于第一象限，故选：A．2．从2021名学生中选取50名学生参与一项调查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2021人中剔除21人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为【分析】根据已知条件，结合系统抽样的定义，即可求解．解：∵由系统抽样的定义可知，从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于，∴每个人入选的概率P＝．故选：C．3．如图，在△ABC中，，P是BN的中点，若，则实数m的值是（）A．B．1 C．D．【分析】题目隐含的等量关系是B，P，N三点共线（若A、B、C三点共线，则），若将中的用表示，就可得到关于m的方程．解：∵，，所以，∴＝，因为B，P，N三点共线，∴，∴，故选：C．4．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A．B．1 C．D．2（1+）【分析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB＝，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：1×2＝2．故选：A．5．已知，若，则的值为（）A．B．C．D．【分析】利用换元法，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．解：设θ＝﹣α，则cosθ＝﹣，α＝﹣θ，则＝sin（﹣θ+）＝sin（π﹣θ）＝sinθ，∵，∴θ∈（﹣，﹣），则sinθ＝﹣＝﹣，故选：C．6．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3【分析】平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，中位数和众数也不能确定，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求．解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，故A不正确，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确，中位数和众数也不能确定，故C不正确，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，∴总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7．故D正确．故选：D．7．已知A（﹣2，1），B（6，﹣3），C（0，5），则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】依题意可得•＝8×2+（﹣4）×4＝0，进而根据平面向量数量积的运算可求cos A的值，结合A为三角形内角，可得A为直角，即可判断得解．解：∵A（﹣2，1），B（6，﹣3），C（0，5），∴＝（8，﹣4），＝（2，4），∴•＝8×2+（﹣4）×4＝0，又•＝||•||cos A，∴cos A＝0，∴在△ABC中，A为直角．故选：A．8．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B．f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）【分析】由偶函数的性质，知若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量﹣2，﹣3，π的绝对值大小的问题．解：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|﹣2|＜|﹣3|＜π∴f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m∥n，n⊥β，m∥α，则α⊥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【分析】对于A，由线面垂直的性质定理得m⊥n；对于B，m∥α或m⊂α；对于C，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于D，由线面垂直的性质定理得m∥n．解：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故A正确；对于B，若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故B错误；对于C，若m∥n，n⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；对于D，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故D正确．故选：ACD．10．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数的有（）A．y＝cos x B．y＝x3C．y＝x2+4 D．y＝log2|x|【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝cos x，是偶函数，但在在（0，+∞）上不具有单调性，A错误；对于B，y＝x3，是奇函数不是偶函数，B错误；对于C，y＝x2+4，是二次函数，是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，C正确；对于D，y＝log2|x|＝，是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，D 正确；故选：CD．11．下列说法错误的是（）A．若，，则B．若，则存在唯一实数λ使得C．若，且，则D．两个非零向量，，若，则与共线且反向【分析】直接利用向量的线性运算，向量的共线，向量的数量积，三角形法则的应用判断A、B、C、D的结论．解：对于A：若，，（），则，故A错误；对于B：若，（），则存在唯一实数λ使得，故B错误；对于C：若，且，若，则说明，，与没有关系，故C错误；对于D：两个非零向量，，若，根据三角形法则，则与共线且反向，故D正确．故选：ABC．12．已知在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD的边长为4，E为AD的中点，AB⊥CD，AB ⊥CE，下列结论正确的为（）A．正三棱锥A﹣BCD的体积为2B．三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为24πC．AD⊥BCD．CE与CD所成角的正切值为【分析】由AB⊥CD，AB⊥CE，正三棱锥的条件，可推出AB＝AD＝AC＝，AB，AD，AC两两垂直，选项A，根据等体积转化可求出三棱锥的体积；选项B，由侧棱两两垂直，可转化为长方体外接球求解；选项C，根据条件，证明出AD⊥平面ABC，再由线面垂直性质，可推出AD⊥BC；选项D，解三角形即可．解：如图，∵AB⊥CD，AB⊥CE，CD∩CE＝C，∴AB⊥平面ACD，∵AD⊂平面ACD，∴AB⊥AD，由题可知，三棱锥为正三棱锥，∴AB＝AD＝AC＝，∴△ABC，△ACD，△ABD都是等腰直角三角形，选项A，＝＝，故A 错误；选项B，由题可知，AB，AD，AC两两垂直，外接球半径R＝，∴外接球的面积为S＝4πR2＝24π，故B正确；选项C，由题可知，AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AD⊥BC，故C正确；选项D，在△ACD中，CE2＝DC2+DE2﹣2DC•DE•cos∠CDE，解得，由正弦定理可知，，即，∴sin∠ECD＝，∴cos∠ECD＝，∴，即CD与CE夹角的正切值为，故D错误；故选：BC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x＜0}，则M∩N＝{1，2}．【分析】求出集合N，利用交集定义求出M∩N．解：∵集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，∴M∩N＝{1，2}．故答案为：{1，2}．14．从集合中任取两个不同的数a，b，则log a b＞0的概率为．【分析】先不重不漏地列举出从集合{2，3，}中任取不同的数a，b的所有基本事件，再确定其中满足log a b＞0的基本事件个数，最后利用古典概型求出所求概率即可．解：从集合{2，3，}中任取不同的数a，b的所有可能情况为（2，3），（2，），（3，2），（3，），（，2），（，3），共6个基本事件，其中满足log a b＞0的基本事件有（2，3），（3，2），包含了2个基本事件，故所求概率为P＝＝．故答案为：．15．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是（﹣1，1）∪（1，+∞）．【分析】利用向量夹角数量积公式直接求解．解：∵向量，，且与的夹角为锐角，∴，解得k＞﹣1且k≠1，∴实数k的取值范围是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣1，1）∪（1，+∞）．16．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是①②④．（把你认为正确的结论都填上）①A1C1⊥平面BDD1B1；②BD1⊥平面ACB1；③BD1与底面BCC1B1所成角的正切值是；④过点A1与异面直线AD与CB1成60°角的直线有2条．【分析】由直线与平面垂直的判定判断①与②，求解BD1与底面BCC1B1所成角的正切值判断③，由异面直线所成角的概念判断④．解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1⊂平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，故①正确，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，则DD1⊥AC，又BD⊥AC，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，得AC⊥BD1，同理可得B1C⊥BD1，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面ACB1，故②正确，由D1C1⊥平面BCC1B1，得∠D1BC1为BD1与平面BCC1B1所成角，其正切值为＝＝，故③错误，∵异面直线AD与CB1成45°角，∴把两直线平移至经过点A1，可知两直线所成锐角为45°，钝角是135°，把45°角的角平分线旋转有上、下两条能与直线AD与CB1成60°角，其他情况不存在，故过点A1与异面直线AD与CB1成60°角的直线有2条，故④正确．故答案为：①②④．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知：复数z＝（1+i）2+，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解；（2）把z代入z2+a，整理后利用复数相等的条件列式求解．解：（1）∵，∴；（2）由z2+a，得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，∴，解得．18．已知向量，满足：||＝2，||＝1，（+）（2﹣）＝8．（Ⅰ）求与的夹角θ；（Ⅱ）求|+|．【分析】（Ⅰ）根据平面向量数量积与夹角公式求出cosθ以及θ的值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积与模长公式计算即可．解：（Ⅰ）因为||＝2，||＝1，（+）（2﹣）＝8，所以2+•﹣＝8，所以•＝8+﹣2＝8+1﹣2×4＝1，所以cosθ＝＝＝；又因为0°＜θ＜180°，所以、的夹角为θ＝60°；（Ⅱ）因为||＝2，||＝1，•＝1，所以＝+2•+＝4+2×1+1＝7，所以|+|＝．19．已知A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|（x﹣k）（x﹣k+4）＞0}．（1）若A∩∁R B＝[0，3]，求实数k的值；（2）若p：x∈A，q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数k的取值范围．【分析】（1）若A∩∁R B＝[0，3]，利用集合的运算定义观察集合运算结果的端点可求实数k的值．（2）由p是q的充分条件，得到A⊆B，利用集合关系可求实数k的取值范围．解：A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|（x﹣k）（x﹣k+4）＞0}＝{x|x＞k或x＜k﹣4}，（1）∁R B＝{x|k﹣4≤x≤k}，若A∩∁R B＝[0，3]，则，即k＝4．（2）若p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，则A⊆B，所以k﹣4＞3或k＜﹣1，即k＞7或k＜﹣1．20．某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．（1）求图中m的值；（2）在[450，500），[500，550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图列方程，能求出m．（2）在[450，500）内抽取4人，记为a，b，c，d，在[500，550]内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人，利用列举法，求出从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率．解：（1）依题意，50×（m+0.0040+0.0050+0.0066+0.0016+0.0008）＝1，解得m＝0.0020．（2）在[450，500）内抽取人，记为a，b，c，d，在[500，550]内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}共15种等可能的取法，其中抽取的2人恰在同一组的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{e，f}，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率．21．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点．求证：（1）AE∥平面PDC；（2）若CD＝PD，证明：AE⊥平面PBC．【分析】（1）取PC的中点F，连结DF、EF，推导出四边形ADFE是平行四边形，从而AE∥DF，由此能证明AE∥平面PDC．（2）推导出DF⊥PC，由AE∥DF，得AE⊥PC，再推导出PD⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面PDC，BC⊥DF，BC⊥AE，AE⊥PC，进而AE⊥平面PBC．【解答】证明：（1）取PC的中点F，连接DF，EF，∵E是PB的中点，∴EF//BC，且BC＝2EF，又AD//BC，BC＝2AD，∴AD//EF且AD＝EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE//DF，又DF⊂平面PDC，AE⊄平面PDC，∴AE//平面PDC．（2）若PD＝DC，则△PDC是等腰三角形，∴DF⊥PC，又AE//DF，∴AE⊥PC，∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PDC，∴BC⊥平面PDC，∵DF⊂平面PDC，∴BC⊥DF，∴BC⊥AE，又AE⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC．22．若向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，﹣cos x），f（x）＝+t的最大值为．（1）求t的值及图象的对称中心；（2）若不等式m2在x∈[]上恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）先利用向量的数量积公式和倍角公式对函数式进行化简，再利用两角和公式整理，进而根据正弦函数的性质求得函数的对称中心．（2）跟x的范围确定函数f（x）的范围，要不等式m2在x∈[]上恒成立，只要m2﹣m≤f（x）min＝即可．解：（1）f（x）＝+t＝sin x cos x﹣cos2x+t＝sin2x﹣cos2x﹣+t＝sin（2x﹣）+t﹣，∵f（x）的最大值为，∴+t﹣＝，∴t＝；由2x﹣＝kπ（k∈Z）得：x＝+，k∈Z，∴f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z，（2）∵x∈[]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，∴sin（2x﹣）∈[，]，即f（x）∈[，]，∵不等式m2在x∈[]上恒成立，∴m2﹣m≤f（x）min＝，即2m2﹣m﹣1≤0，解得﹣≤m≤1，m的取值范围为﹣≤m≤1．晨鸟教育。
吉林省长春市第十一高中2020学年高一数学上学期期末考试试题 理
吉林省长春市第十一高中2020学年高一数学上学期期末考试试题理第Ⅰ卷（共48分）一、选择题：本题共12小题，每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设P 是△ABC 所在平面内的一点，1122BC BA BP +=u u ur u u u r u u u r ，则( )A ．0PA PB +=u u u r u u u r r B ．0PA PC +=u u u r u u u r r C ．0PC PB +=u u u r u u u r rD ．0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r2．设函数()cos 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x∈R ，则f （x ）是（ ）A ．最小正周期为π的偶函数B ． 最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数3．函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)1(3sin )(x x f π在区间[]5,3-上的所有零点之和等于（ ） A ． -2 B ． 0 C ． 3 D ． 24.已知,A B 是以O 为圆心的圆上的动点，且AB =u u u rOB AB ⋅=u u u r u u u r （ ）A ． 1B ．1-C ．2-D ．25．函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．2B ．．46. 函数2)(xe e xf xx --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．7．为了得到函数sin 2,4y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos2,y x x R =∈图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动38π个单位长度 B ．向右平行移动38π个单位长度C ．向左平行移动8π个单位长度 D ．向右平行移动8π个单位长度 8．实数,a b 满足2510ab ==，则下列关系正确的是( ）A ． 111a b+= B ．212a b += C ．122a b += D ．1212a b += 9．函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示，则)2411(πf 的值为（ ） A ．26-B ．23- C ．22- D ． 1- 10．已知函数),(6tan )(3R b a x b ax x f ∈++=，且3)12(=πf ，则=-)12(πf （ ）A ． 3B ．3-C ．9D ． 9-11．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足)()2(x f x f -=+，当[]1,0∈x 时,12)(-=xx f ,则（ ）A ．)211()7()6(f f f <-< B ．)7()211()6(-<<f f f C ．)6()211()7(f f f <<- D ． )7()6()211(-<<f f f12．已知函数()224,{ 31,x x x af x x a--≤=->，若()()0f f x =存在四个互不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)+∞ B ．)+∞ C ．))⋃+∞ D ．[)3,⋃+∞第Ⅱ卷（共82分）二、填空题：本题共4小题,每小题4分,共16分.13. 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 14. 在△ABC 中，已知CB ＝8，CA ＝5，△ABC 的面积为12，则cos2C ＝________. 15． 在正方形ABCD 中,E 是线段CD 的中点,若μλ+=,则=-μλ________. 16．定义：关于x 的两个不等式0)(<x f 和0)(<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫⎝⎛a b 1,1，则称这两个不等式为相连不等式．如果不等式022cos 342<+-θx x 与不等式012sin 422<++θx x 为相连不等式，且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ_________．三、解答题：本题共6小题,共66分. 17．( 本小题满分10分)已知向量→→→→→→==b a b a b a 、且满足、,4,1:的夹角为060. （1）求⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→•→→b a b a 2 ；（2）若⎪⎭⎫⎝⎛-⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→b a b a 2λ，求λ的值.18．( 本小题满分10分) 已知40,sin 25παα<<=,(1)求tan α的值；(2)求()()()sin 2cos 2sin cos παπααπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++的值； (3)求sin 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.19．( 本小题满分12分)已知A(2,0)，B(0,2)，)sin ,(cos θθC ，O 为坐标原点． （1）31-=⋅，求sin 2θ的值；（27=+，且θ∈(－π,0)，求与的夹角．20．（本小题满分12分） 已知函数2))(1()(xa x x x f ++=为偶函数． （1）求实数a 的值；（2）记集合{}{}2,1,1,),(|-=∈==A A x x f y y E ，415lg 5lg 2lg 2lg 2-++=λ，判断λ与E 的关系；（3）当)0,0(,1,1>>⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈n m n m x 时，若函数)(x f 值域为[]n m 32,32--，求n m ,的值.21．（本小题满分12分）已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 32)(+=.（1）求)12(πf 的值；（2）若函数)(x f 在区间[]m m ,-是单调递增函数，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程0)(=-a x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内有两个实数根21,x x ，记)cos(21x x a t +=，求实数t 的取值范围 .22.（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）已知函数)(x f y =，若在区间()2,2-内有且仅有一个0x ，使得1)(0=x f 成立，则称函数)(x f 具有性质M ．（1）若2sin )(+=x x f ，判断)(x f 是否具有性质M ，说明理由；（2）若函数122)(2+++=m mx x x f 具有性质M ，试求实数m 的取值范围．数学试题理科参考答案 一、选择题1.B2.D3.C4.A5.B6.C7.B8.A9.D 10.C 11.B 12.D 二、填空题 13. 二 14.257 15. 21 16.65π 三、解答题17. 解：（1）由题意得1cos601422a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=o r r r r ，……2分∴()()2222221612a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=+-=-r r r r r r r r ……5分（2）∵()()2a b a b λ+⊥-r r r r ，∴()()20a b a b λ+⋅-=r r r r，……7分∴()22220a a b b λλ+-⋅-=r r r r ，∴()22320λλ+--=，∴12λ= ……10分 18.解：（1）∵22cos sin 1αα+=， 02πα<<,∴54cos 1sin 2=-=αα∴34tan =α …………3分 （2）.…………6分（3）17250…………10分19. 解：(1)∵＝(cos θ，sinθ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)，＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)， ……2分＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)＝cos 2θ－2cos θ＋sin 2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝31- ∴sin θ＋cos θ＝32， ……4分 平方得 1＋2sin θcos θ＝94 ∴sin 2θ＝94－1＝－95. ……6分(2)∵＝(2,0)，＝(cos θ，sin θ)，∴＋＝(2＋cos θ，sin θ)， ……8分 ∵|＋|＝，所以4＋4cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝7，∴4cos θ＝2，即cos θ＝21. ∵－π＜θ＜0，∴θ＝－3， ……10分 又∵＝(0,2)，＝，∴cos〈，〉＝，∴〈，〉＝. ……12分 20解：（1）∵为偶函数，∴，即 即：R 且,∴……3分（2）由（1）知： 当时，；当时，∴…5分而==，∴. ……7分(3) ∵，∴在上单调递增. ……9分∴，∴，即，∴m,n 是方程的两个根， ……11分又由题意可知，且，∴∴. ……12分21. 解：（1）∵……2分∴……3分（2）由，得，∴在区间上是增函数……5分∴当时，在区间上是增函数若函数在区间上是单调递增函数，则……6分∴，解得……7分（3）方程在区间内有两实数根等价于直线与曲线有两个交点. ……8分∵当时，由（2）知在上是增函数，在上是减函数，且，，，∴即实数的取值范围是……10 分∵函数的图像关于对称∴，∴ ……11分∴实数的取值范围为. ……12分22．解：（1）()sin 2f x x =+具有性质M ． 依题意，若存在0x ∈(2,2)-，使0()1f x =，则0x ∈(2,2)-时有0sin 21x +=，即0sin 1x =-，022x k π=π-，k ∈Z ．……2分由于0x ∈(2,2)-，所以02x π=-．又因为区间(2,2)-内有且仅有一个02x π=-，使0()1f x =成立，所以()f x 具有性质M …………4分（2）依题意，若函数2()221f x x mx m =+++具有性质M ， 即方程2220x mx m ++= 在(2,2)-上有且只有一个实根．设2()22h x x mx m =++，即2()22h x x mx m =++在(2,2)-上有且只有一个零点， 依题意，（1）由(2)(2)0h h -⋅<得，(42)(64)0m m -+<，解得23m <-或2m >．……6分 同时需要考虑以下三种情况： （2）由22,0,m -<-<⎧⎨∆=⎩解得0m =． …………7分（3）由20,(2)0,m h -<-<⎧⎨-=⎩解得02,2,m m <<⎧⎨=⎩不等式组无解．…………8分（4）由02,(2)0,m h <-<⎧⎨=⎩解得20,2,3m m -<<⎧⎪⎨=-⎪⎩解得23m =-．…………9分 综上所述，若函数()f x 具有性质M ，实数m 的取值范围是32-≤m 或2m >或0m = …………10分。
吉林省长春市2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题
吉林省长春市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条 形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设2z i =-（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．“点P 在直线m 上，m 在平面α内”可表示为（ ） A ．,P m m α∈∈B ．,P m m α∈⊂C ．,P m m α⊂∈D ．,P m m α⊂⊂3．已知向量(2,1),(1,2)a b ==-，则a 与b 的夹角大小为（ ） A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒4．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（ ）A ．43πBC ．83π D ．323π5．在ABC 中，已知2b =，45B =︒，c =，则角C 为（ ）A ．60︒B ．150︒C ．60︒或120︒D ．120︒6．如果从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是红球”B ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”7.已知样本数据为1234,,,x x x x ，该样本平均数为2021，方差为1，现加入一个数2021，得到新样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）A ．22021,1x s >>B ．22021,1x s =<C ．22021,1x s <<D ．22021,1x s =>8．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，1AA =，点D 是侧棱1BB 的中点，则直线1C D 与平面ABC 所成角的正弦值为( )A B C D 9．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中错误的是()A ．AC SB ⊥B ．平面SCD ⊥平面SADC ．SA 和SC 与平面SBD 所成的角相等D ．异面直线AB 与SC 所成的角和异面直线CD 与SA 所成的角相等 10．已知,,a b c 是三个平面向量，则下列叙述正确的是（ ）A ．若a b =，则a b =±B ．若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =C ．若//,//a b b c ，则//a cD ．若a b ⊥，则a b a b +=-11．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜.根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为23，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ） A ．727B ．49C ．1627D ．202712．已知正方体1111ABCD A B C D -中，以下结论错误的有（ ）A ．点P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A -D 1PC 的体积不变B ．点P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面AD 1C 所成角的大小不变 C ．点P 在直线BC 1上运动时，二面角P -AD 1-C 的大小不变D ．M 是平面1111D C B A 上到点D 和C 1距离相等的点，则点M 的轨迹是过点D 1的直线第Ⅱ卷二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．圆柱的底面半径与高都等于2，则圆柱体积为_________．14．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为35，35，40，38，52，则这5名党员教师学习积分的方差为_______________ 15．甲､乙两人下棋，甲获胜的概率为15，和棋的概率为12，则乙不输的概率为___________.16．已知三棱柱111,ABC A B C -侧棱1AA ⊥底面,,ABC E F 分别是1,AB AA 的中点，且12,,4AC BC AC BC AA ==⊥=，过点E 作一个截面与平面1BFC 平行﹐则截面的周长为________________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)平面内给定三个向量(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =. （1）求满足a mb nc =-的实数m ，n ； （2）若()//(2)a kc b a +-，求实数k 的值.18．(12分)如图，正方体1111ABCD A B C D -中，F 为AC 与BD 的交点，E 为1DD 的中点．（1）求证：1//BD 平面AEC ； （2）求异面直线AC 与1BD 所成的角．19. (12分)某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[)160,180， [)180,200，[)200,220， [)220,240， [)240,260， [)260,280， []280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x 的值；（2）求理科综合分数的众数和中位数；（3）在理科综合分数为[)240,260， []280,300的2组学生中，用分层抽样的方法抽取4名学生，从这4名学生中随机抽取2人，求这2人理科综合分数都在区间[)240,260上的概率？ 20. (12分)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且c b >.（1）求角B 的值； （2）若6A π=，且ABC 的面积为43，求BC 边上的中线AM 的长.21．(12分)乒乓球比赛规则规定，一局比赛，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（1）求开球第3次发球时，甲比分领先的概率；（2）求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；AB=，22．(12分) 如图所示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，1AF=，M是线段EF的中点.AD=，ADC602∠=，1⊥；（1）求证：AC BF（2）求直线AD与平面BDF所成角的余弦值；M E C的路线运动到点C，求这（3）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照→→-的体积的最小值.一过程中形成的三棱锥P BFD参考答案1.B2.B3.D4.A5.C6.D7.B8.B9.D 10.D 11.D 12.B13.8π 14.39.6 15. 4516. 12 .B 【详解】 因为11A D PC P AD CV V --=，11//BC AD ，且1BC ⊄平面1AD C ，1AD ⊂平面1AD C ，所以1//BC 平面1AD C ，所以1BC 上的点到平面1AD C 的距离相等，所以三棱锥1A D PC-的体积不变，故A 正确；由图可知，当点P 在直线1BC 上运动时，直线AB 与平面1AD C 所8成角和直线1AC 与平面1AD C 所成角不相等，故B 错误；因为AP ⊂平面11BC D A，所以二面角1P AD C--的大小等于平面11BC D A与平面1AD C 所成角的大小，所以二面角1P AD C--的大小不变，故C 正确；因为M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，所以点M 的轨迹是平面1111D C B A 与线段1DC 的垂直平分线1D C 所在平面的交线，即点M 的轨迹是平面1111D C B A 与平面11A D C的交线11A D ，所以点M 的轨迹是过点1D 的直线，故D 正确16.如图，取AF 中点G ，分别在1CC ，BC 上取点H ，M ，使1111,44HC CC BM BC ==， 连接,,,EG GH HM EM ，又,F G 分别是1,AA AF 中点，114FG AA ∴=， 又1111//,AA CC AA CC =，11//,FG HC FG HC ∴=，∴四边形1FGHC 为平行四边形，1/GH FF ∴，1GH FC =，//GH ∴平面1BFC ，1111113,,//,444HC CC BM BC MH BC MH BC ==∴=，//MH ∴平面1BFC ，又MH GH H ⋂=，∴平面//EGHM 平面1BFC ，又1AA ⊥平面ABC ，2AC BC ==，,E F 分别是1,AB AA 的中点，1,4AC BC AA ⊥=，12AB AF A F ∴===，12EG BF ∴===1GH FC ===2211113335442HM BC BB B C ==+=， 在BEM △中，11,242BM BC BE ===，45EBM ∠=，22211252cos 452224224EM BM BE BM BE ∴=+-⋅=+-⨯⨯⨯=，52EM ∴=， ∴所求截面的周长为3532253222522EG GH HM EM +++=+++=++.故答案为：32225++.17.解：（1）因为(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =，且a mb nc =-(3，2)(1a mb nc m ==-=-，2)(4n -，1)(4m n =--，2)m n -. ∴4322m n m n --=⎧⎨-=⎩，解得59m =，89n =-.（2）(3a kc +=，2)(4k +，1)(34k =+，2)k +.22(1b a -=-，2)(3-，2)(5=-，2). 5(2)2(34)0k k ∴-+-+=，解得1613k =-. 18.【详解】 （1）联结EF ，由E 为1DD 的中点，F 为BD 的中点知，1//BD EF ， 又1BD ⊄平面AEC ，EF ⊂平面AEC ， 故1//BD 平面AEC（2）在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，又1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 则1DD AC ⊥，又1DD BD D =，故AC ⊥平面1BDD ，又1BD ⊂平面1BDD ， 故1AC BD ⊥，即异面直线AC 与1BD 所成的角为2π19.【答案】（1）0.0075；（2）众数为230，中位数为224；（3）5． 【分析】（1）根据频率和为1计算出x 的值；（2）根据频率分布直方图中小矩形的高度可直接判断出众数，计算频率之和为0.5时对应的数据即为中位数；（3）先根据频率分布直方图计算出四组用户的频率之比，然后利用样本容量乘以对应的比例即可求得应抽取的户数.【详解】（1）因为()0.0020.00250.0050.00950.0110.0125201x ++++++⨯=，解得0.0075x =，所以直方图中x 的值为0.0075.（2）理科综合分数的众数是2202402302+=， ∵()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，∴理科综合分数的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，则()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=， 解得224a =，即中位数为224． （3）1P=220.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且c b >.（1）求角B 的值；（2）若6A π=，且ABC 的面积为BC 边上的中线AM 的长.【答案】（1）6π；（2）【分析】（1）先由正弦定理边角互化，计算求得sin B ；（2）由（1）可知ABC 是等腰三角形，根据面积公式求边长a ，AMC 中，再根据余弦定理求中线AM 的长. 【解析】（1）∵1sin cos 2a B Ab =， 由正弦定理边角互化得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=， 由于(0,),sin 0B B π∈≠，∴1sin cos sin cos 2A C C A +=，即1sin()2A C +=，得1sin 2B =. 又c b >，∴02B π<<，∴6B π=.（2）由（1）知6B π=，若6A π=，故a b =，则2112sin sin 223ABC S ab C a π∆=== ∴4a =，4a =-（舍）又在AMC 中，22222cos 3AM AC MC AC MC π=+-⋅， ∴222221121()2cos 42242()282232AM AC AC AC AC π=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅-=，∴AM =21.（1）0.36（2）0.35222．如图所示，已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，1AB =，2AD =，ADC 60∠=，1AF =，M 是线段EF 的中点.（1）求证：AC BF ⊥；（2）求直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值；（3）设点P 为一动点，若点P 从M 出发，沿棱按照→→M E C 的路线运动到点C ，求这一过程中形成的三棱锥P BFD -的体积的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2370；（3）36. 【分析】（1）利用余弦定理求出AC ，利用勾股定理可得出AB AC ⊥，由已知可得出AF AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出AC ⊥平面ABF ，由此可得出AC BF ⊥；（2）设点A 在平面BDF 内的射影为点O ，连接DO ，可得出ADO ∠为直线AD 与平面BDF 所成角，利用等体积法计算出AO ，可求得sin ADO ∠，再利用同角三角函数的基本关系可求得直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值；（3）设AC 与BD 相交于N ，连接FN 、CM ，推导出//FN CM ，可得出//CM 平面BDF ，结合图形可知，当点P 在M 或C 时，三棱锥P BFD -的体积最小，可得()min P BFD C BFD F BCD V V V ---==，利用锥体体积公式可求得结果.【详解】（1）在平行四边形ABCD 中，ADC 60∠=，1CD AB ==，2AD =，由余弦定理可得2222cos 3AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，AC ∴=2BC AD ==，222AB AC BC ∴+=，90BAC ∴∠=，AB AC ∴⊥，因为四边形ACEF 为矩形，则AF AC ⊥，AB AF A =，AC ∴⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以AC BF ⊥；（2）在ABD △中，1AB =，2AD =，180120BAD ADC ∠=-∠=，由余弦定理可得2222cos 7BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，AB AC ⊥，平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD 平面ACEF AC =，AB 平面ABCD ，AB ∴⊥平面ACEF ，AF ⊂平面ACEF ，AB AF ∴⊥，则BF ==AF AC ⊥，AB AC A ⋂=，AF ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AD AF ∴⊥，DF ∴=，222BF DF BD ∴+=，由勾股定理的逆定理知90BFD ∠=，122BDF S BF DF ∴=⋅=△， 设点A 在平面BFD 内的射影为O ，连接DO ，则ADO ∠为直线AD 与平面BDF所成角，122ABD ABC S S AB AC ==⋅=△△， 由A BDF F ABD V V --=，可得1133BDF ABD AO S AF S ⋅=⋅△△，可得1ABD BDF AF S AO S ⋅===△△又2AD =，30130sin 10220AO ADO AD ∠==⨯=，2370cos 1sin 20ADO ADO ∴∠=-∠=， 因此，直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值为37020； （3）设AC 与BD 相交于N ，连接FN 、CM ，因为四边形ABCD 为平行四边形，且AC BD N ⋂=，则N 为AC 的中点， //AC EF 且AC EF =，M 为EF 的中点，//CN FM ∴且CN FM =， 所以，四边形CMFN 为平行四边形，则//CM FN ， FN ⊂平面BDF ，CM ⊄平面BDF ，//CM ∴平面BDF ，由图可知，当点P 在M 或C 时，三棱锥P BFD -的体积最小，()min 11321sin120132P BFD C BFD F BCD V V V ---===⋅⋅⋅⋅⋅=。
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白城一中长春十一高2020—2021高一数学期末试卷及答案高一数学试题第Ⅰ卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．假如集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0}只有一个元素则a 的值是( )A ．0B ．0或1C ．－1D ．0或－12．sin36cos6sin54cos84-的值为（ ）A ．21-B ．21C ．23-D ．233．若tan α＝2，tan β＝3，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β的值为( ) A ．π6 B ．π4 C ．3π4 D ．5π44．已知137cos sin =+αα()πα<<0，则=αtan （ ） A ．125- B ．512- C ．125 D ．125-或512-5．设,53sin π=a ,52cos π=b ,52tan π=c 则（ ） A c a b << B a c b << C c b a << D b c a << 6．若x ∈[0，1]，则函数y ＝x ＋2－1－x 的值域是( )A ．[2－1，3－1]B ．[1， 3 ]C ．[2－1， 3 ]D ．[0，2－1]7若31)3sin(=+απ，则=-)23cos(απ（ ） A ．97 B ．31 C ．-97 D ．31-8．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x =（ ）A.12π B.512π C.6π D.4π 9．已知函数⎩⎨⎧≥<-+=3,log 3,2)1()(3x x a x a x f x的值域为R ，则实数a 的范畴是（ ） A ．[]1,1- B ．(]1,1-C ．),1(+∞-D ．)1,(--∞10.将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．函数x x x f cos 2sin )(+=的值域为( )A ．[1，5]B ．[1，2]C ．[2，5]D ．[5，3]12．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]02，-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间]62(，- 内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则a 的取值范畴是( )A. )3,2(B.)2,3(3C.)2,4(3D.)3,2(3第II 卷（非选择题，共70分）二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将答案填在答题纸上) 13．已知cos ,1()(1)1,1,x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩则)34()31(f f +的值为------14.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 15.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=4,41,log 2)(2x x f x,试求y=[])()(22x f x f +的值域—16.设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则以下结论正确的是_____(写出所有正确结论的编号)． ①0)125(=πf ； ②)127(πf ≥)3(πf ； ③f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；④f (x )既不是奇函数也不是偶函数；17.（本题满分8分）已知：02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=， 求)2cos(βα+18．（本题满分10分）已知函数=)(x f a ),(1+∈+-N b a x b x ，21)1(=f 且2)2(<f （Ⅰ）求b a ,的值； （Ⅱ）判定并证明函数)(x f y =在区间()+∞-,1上的单调性．19.（本题满分10分）已知函数32cos 62cos2sin 32)(2-+=xxxx f ωωω()0>ω(1)若()(0)2y f x πθθ=+<<是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；(2)若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，求ω的最大值.20(本题满分12分)已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x A x π=-，（0A ≠） （1）当 0≤x ≤2π时，求(sin )y f x =的最大值；（2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数A 的取值范畴；（3）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)π2,0上有两解？21.（附加题）（本题满分10分）已知函数12,0,21()23,0.12x x x e f x x e ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪+⎩（1）求函数()f x 的零点；（2）若实数t 满足221(log )(log )2(2)f t f f t+<，求()f t 的取值范畴．高一数学参考答案.....一．选择题：DBCBA CCCCB AC二．填空题：13. 0 14.34- 15. []13,1 16. ①②④.17.解：,332)4sin(20,31)4cos(=+∴<<=+αππααπ33)24cos(=-βπ ，02<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝363323331⨯+⨯＝935......8分18.【解答】解：（Ⅰ）∵，，由，∴，又∵a ，b ∈N *，∴b=1，a=1；………………3分（Ⅱ）由（1）得，函数在（﹣1，+∞）单调递增．证明：任取x 1，x 2且﹣1＜x 1＜x 2，=，∵﹣1＜x 1＜x 2， ∴， ∴，即f （x 1）＜f （x 2）， 故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．………………10分19.解：(1)由32cos 62cos2sin 32)(2-+=xxxx f ωωω=2)3sin(3πω+x ()0>ω∵()23sin()3f x x πθωωθ+=++…………又()y f x θ=+是最小正周期为π的偶函数，∴2ππω=，即2ω=， …………3分且232k ππθπ+=+，即()212k k Z ππθ=+∈ ……6分02πθ<<，∴2 12πωθ==，为所求；…………………………………………………5分(2)因为)(x g 在(0 )3π，上是增函数，∴53023212()12326332k k k Z k k ππωππππωωπ⎧⎧⨯+≥-≤⎪⎪⇒∈⎨⎨≤+⨯+≤+⎪⎪⎩⎩， (7)分∵0ω>，∴1206k +>，∴151212k -<<，因此0k =，∴106ω<≤，即ω的最大值为61，………现在()23sin()23x g x π=+510sin()1()[3 23]3236223x x x g x πππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤+≤⇒∈，……10分 20.试题分析：（1）2(sin )2sin 3sin 1y f x x x ==-+ 设sin ,[0,]2t x x π=∈，则01t ≤≤∴223312()12()248y t t t =-+=-- ∴当0t =时，max 1y =……4分 （2）当1[0,3]x ∈ ∴1()f x 值域为1[,10]8-当2[0,3]x ∈时，则23666x πππ-≤-≤-有21sin()126x π-≤-≤ ①当0A >时，2()g x 值域为1[,]2A A -②当0A <时，2()g x 值域为1[,]2A A -而依据题意有1()f x 的值域是2()g x 值域的子集则 或∴10A ≥或20A ≤-......8分（3）22sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为 22sin 2sin 1x x a -+=在[0,2)π上有两解， 令sin t x = 则t ∈[1,1]- 2221t t a -+=在[1,1]-上解的情形如下： ①当在(1,1)-上只有一个解或相等解，x 有两解(5)(1)0a a --<或0∆=∴(1,5)a ∈或12a =②当1t =-时，x 有惟一解32x π= ③当1t =时，x 有惟一解2x π= 故 (1,5)a ∈或12a = ……12分21．（1）)(x f 的零点分别为3ln -=x 和3ln =x ......2分（2）由题意，当0x >时，1223()()02112x x f x f x e e -⎛⎫--=---= ⎪++⎝⎭， 同理，当0x <时，()()0f x f x --=，1(0)2f =-，因此函数()f x 是在R 上的偶函数，…5分因此2221log (log )(log )f f t f t t ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由221(log )log 2(2)f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，22212(log )2(2)(|log |)(2)2log 244f t f f t f t t <⇒<⇒-<<⇒<< (1)44x <<时，()f x 为增函数，1()(4)4f f t f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭，即14414433()2(1)2(1)e ef t e e --<<++.………10分。