热学-第三章-输运现象

ρ vr 雷诺数 Re = η
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第三章 输运现象与分子动理论的非平衡态理论
《热
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§ 3.2 扩散现象的宏观规律
§ 3.2.1 自扩散与互扩散 菲克定律 当物质中的粒子数密度不均匀时， 当物质中的粒子数密度不均匀时，由于分子的热运动使 粒子从数密度高的地方迁移到数密度低的地方称为扩散。 粒子从数密度高的地方迁移到数密度低的地方称为扩散。 （一） 自扩散与互扩散 1. 互扩散是发生在混合气体中，由于各成分的气体空间 互扩散是发生在混合气体中， 不均匀， 不均匀，各种成分分子均要从高密度区向低密度区 迁移的现象。 迁移的现象。 2. 自扩散是互扩散的一种特例。是一种使发生互扩散的 自扩散是互扩散的一种特例。 两种气体分子的差异尽量变小， 两种气体分子的差异尽量变小，使它们相互扩散的速 率趋于相等的互扩散过程。 率趋于相等的互扩散过程。
2D A t 1 n1 (t ) = n0 1 + exp(− ) 2 LV
2 D At 1 p1 = p0 1 + exp (− ) 2 LV
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（三）气体扩散的微观机理 扩散是在存在同种粒子的粒子数密度空间不均匀的情 况下， 况下，由于分子热运动所产生的宏观粒子迁移或质量 迁移。 迁移。
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§ 3.3 热传导现象的宏观规律
§ 3.3.1 傅立叶定律 热流（单位时间内通过的热量） 热流（单位时间内通过的热量）dQ/dt与温度梯度 与温度梯度 dT/dz及横截面 成正比 及横截面A成正比 及横截面
& = dQ = −k ⋅ d T ⋅ A Q dt dz
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§ 3.1.2 泊肃叶定律 (一) 泊肃叶定律 一
dV π r ∆ p = dt 8η L
4
dV dt
体积流率
单位时间内流过管道 横截面上的流体体积
r p1 p2
L
∆p = p2 − p1
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− dN = KNdx
,
dN = − Kdx N
− dN = KN0 exp( Kx)dx −
x N ln = −∫ Kdx 即 N = N0 exp(−Kx) 0 N0
dN 1 x − = __ exp (− __ ) d x N0
λ
λ
λ =∫
__
∞
0
1 exp(−K x) x dx = K
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湍流和混沌 混沌是指在决定性的动力学系统中出现貌似随机 性的宏观现象。 性的宏观现象。 （二）稳恒层流中黏性现象 黏性力（内摩擦力） 黏性力（内摩擦力） 流体作层流时， 流体作层流时，通过任意一平行流速的截面两侧 的相邻两层流体上作用有一对阻止它们相对滑动 的切向作用力与反作用力， 的切向作用力与反作用力，使流动较快的一层流 体减速，流动较慢的一层流体加速。 体减速，流动较慢的一层流体加速。
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§ 3.1.3 斯托克斯定律
球形物体（球半径 ）在黏性流体中运动时， 球形物体（球半径R）在黏性流体中运动时， 流体受到的阻力为: 流体受到的阻力为 ν是球相对于静止流体的速度
f = 6π η υ R
雷诺数远小于1 雷诺数远小于
2
f = 0 . 2π ρ R v
2
雷诺数远大于1 雷诺数远大于
Gδ η= 3 2πR Lϖ
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（五） 非牛顿流体 不遵从牛顿黏性定律的流体 （六） 气体黏性微观机理 常压下气体的黏性就是由这种流速不同的流 体层之间的定向动量的迁移产生的. 体层之间的定向动量的迁移产生的
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§ 3.6 气体分子平均自由程
碰撞(散射 散射)截面 § 3.6.1 碰撞 散射 截面
σ =π d
2
1 σ = π (d1 + d 2 ) 2 4
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§ 3.6.2 分子间平均碰撞频率
Z = n ⋅ π d 2 ⋅ υ 12
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[例3.12] 设混合理想气体由分子半径分别 例 分子质量分别为m 为rA和rB、分子质量分别为 A和mB两种刚 性分子A和 组成 组成。 性分子 和B组成。这两种分子的数密度分 别为n 别为 A和nB。混合气体的温度T。 混合气体的温度 。 试求出A分子总的平均碰撞频率、 分子总 试求出 分子总的平均碰撞频率、B分子总 分子总的平均碰撞频率 的平均碰撞频率以及A、 分子各自的平均 的平均碰撞频率以及 、B分子各自的平均 自由层。 自由层。
λB =
2
__
1 4 2πrB n B + π ( rA + rB ) 2 n A mB
µ
µ
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§ 3-7 气体分子碰撞的概率分布
§ 3.7.1 气体分子的自由程分布
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互扩散公式
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指压强不太低的气体。 适用范围 指压强不太低的气体。 压强太低的气体的扩散称为克努曾扩散。 压强太低的气体的扩散称为克努曾扩散。
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Z = 2 nυ σ
8k T p = n k T, υ = πm
Z=
4σ p
π mkT
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§ 3.6.4 气体分子平均自由程
λ=
υt
Zt
=
υ
Z
λ=
1 2 nσ
kT 2σ p
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λ=
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κ为热导系数
单位 Wm-1K-1
热流密度（ 热流密度（单位时间内在 单位截面积流过的热量） 单位截面积流过的热量）
dT JT = − k ⋅ dz
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§ 3.1 黏性现象的宏观规律
§ 3.1.1 层流与牛顿黏性定律 （一） 层流 在流动过程中， 在流动过程中， 相邻质点的轨迹 线彼此仅稍有差 别，不同流体质 点的轨迹线不互 相混杂。 相混杂。
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___
Z
__
A
= 4 2 π rA ⋅ n A
2
8 kT 8 kT + π (rA + rB ) 2 n B π mA πµ
Z B = 4 2 π rB ⋅ n B
2
8kT 8kT + π (rA + rB ) 2 n A πm B πµ
λA =
2
__
1 4 2πrA n A + π (rA + rB ) 2 n B mA
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两个容器的体积都为V，用长为L、 例: 两个容器的体积都为 ，用长为 、截面积 很小(LA<<V)的水平管将两容器相连通。 的水平管将两容器相连通。 为A很小 很小 的水平管将两容器相连通 开始时左边容器中充有分压为P 开始时左边容器中充有分压为 o的一氧化碳和 分压为P-Po的氮气所组成的混合气体，右边容 的氮气所组成的混合气体， 分压为 器中装有压强为P的纯氮气 的纯氮气。 器中装有压强为 的纯氮气。设一氧化碳向氮 中扩散及氮向一氧化碳中扩散的扩散系数都是 D，试求出左边容器中一氧化碳分压随时间变 ， 化的函数关系。 化的函数关系。 分别为左、 [解] 设n1和n2分别为左、右两容器中一氧化碳 解 的数密度，管道中一氧化碳的数密度梯度为 的数密度， (n1-n2)/L，从左边流向右边容器的一氧化碳粒 ， 子流率为
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（三） 牛顿黏性定律
du f = −η ⋅ ⋅A dz
η
流体的黏度（ 流体的黏度（动力黏度或粘 性系数） 性系数） 单位 1 P（泊） （
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（四） 切向动量流密度
dp /A dt
Jp =
单位时间内， 单位时间内，在单位横截面积 上的动量流为切向动量流密度
dp f = = Jp ⋅A dt
du J p = −η dz
黏性力
负号表示定向动量总是沿着 流速变小的方向进行
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__ ∆t时间内越过z = z 0 平面的 1 __ = n υ ⋅ mµ x (z 0 − λ )∆Α ∆t ∆Α面积向上输送的总动量 6
__ ∆t时间内越过z = z 0 平面的 1 __ = n υ ⋅ mµ x (z 0 + λ )∆Α ∆t ∆Α面积向上输送的总动量 6
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dN 1 n1 − n2 = −D ⋅A dt L
d n1 n1 − n2 =−D ⋅A dt VL
2n1 (t ) − n0 2D At ln = − LV n0
d n1 DA =− dt 2 n1 − n 0 LV
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（二）菲克定律 粒子流密度 单位时间内在单位横截面上扩散的粒子数
dn J N =− D dz
∆M dρ = −D ⋅A ∆t dz
∆ M1 d ρ1 = − D12 ⋅A ∆t dz
D为扩散系数 为扩散系数 单位 m2 s-1
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例3.1
旋转黏度计是为测定气体的黏度而设计的仪器， 旋转黏度计是为测定气体的黏度而设计的仪器，其结构如图
3．2所示。扭丝悬吊了一只外径为 、长为 的内圆筒，筒外同心套上 ． 所示 扭丝悬吊了一只外径为R、长为L的内圆筒 所示。 的内圆筒， 一只长亦为L的 内径为 δ的外圆筒(δ 一只长亦为 的、内径为R+δ的外圆筒 δ <<R)，内、外筒间的隔层内 ， 装有被测气体。使外筒以恒定角速度ϖ旋转， 装有被测气体。使外筒以恒定角速度ϖ旋转，这时内筒所受到的气体 黏性力产生的力矩被扭丝的扭转力矩G所平衡。 可由装在扭丝上的反 黏性力产生的力矩被扭丝的扭转力矩 所平衡。G可由装在扭丝上的反 所平衡 光镜M的偏转角度测定。试导出被测气体的黏度表达式。 光镜 的偏转角度测定。试导出被测气体的黏度表达式。 的偏转角度测定 [解] 因内筒静止，外筒以 u= ϖ R的线速度在运动，夹层流体有ϖR/ δ 解 因内筒静止， 的线速度在运动， 的线速度在运动 夹层流体有ϖ 的速度梯度(因 的速度梯度 因δ <<R，可认为夹层内的速度梯度处处相等 ，气体对内 ，可认为夹层内的速度梯度处处相等)， 圆筒表面施予黏性力， 圆筒表面施予黏性力，黏性力对扭丝作用的合力矩为 G=2πRL·η· ϖR/ δ ·R=2 π R3L ϖ η/ δ π η 故气体的黏度为: 故气体的黏度为
N x = exp(− __ ) N0
λ
− dN = K exp(− Kx )dx N0
P ( x ) dx = −
dN 1 x = __ exp( − __ ) dx N0
λ
λ
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§ 3.8 气体输运系数的导出
§ 3.8.1 气体黏性系数 (一) 气体黏性系数 一
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Z A = Z AA + Z AB
Z AA = 2nA v Aσ A
v AB = ( v A ) 2 + ( vB ) 2 = 8kT
Z AB = nB v ABσ AB
1 4
πµ
µ=
mAmB mA + mB
σ AB = π (d A + d B ) 2 = π (rA + rB ) 2