误差原理第五章 回归分析

57744 09
12773 476 22867 524 34904 469 47032 164 12570 0936
9612
17870 28692 41356 54864 15783 0
（3）计算
1 x N 1 y N
N t 1 N
1 x t 36 4.5 8 t 1 1 y t 25540 3192.5 8 t 1 N N
6 1 6 l xy xt yt ( xt )( yt ) 2.3874952 6 t 1 t 1 t 1 l xy b 0.9747 l xx 6
6
6
6
b0 y bx 0.1350
2 2 4 d l 2 bl b l 3.138 10 t yy xy xx t 1
(6)计算b和b0 lxy 214.5 b 2042.8571 2042.86 lxx 0.105 b0 y bx 365.25 2042 0.225 94.39
(7)求回归方程 ˆ b0 bx 94.39 2042.86 x y
二、回归方程的方差分析及显著性检验
bx y b0 1 l yy b a l xy yt b xt b0
例 通过试验测量某量x、y的结果如下表
x y
2.569 2.646
2.319 2.395
2.058 2.140
1.911 2.000
1.598 1.678
0.548 0.711
由重复测量已估计出
186.9
603
1409
4
9
36360 9
19852 81
1206
4227
4
5 6 7 8 ∑
0.20
0.25 0.30 0.35 0.40
4
5 6 7 8 36
286.3
403.4 524.2 636.8 731. 8
2403
3574 4782 5908 6858 25540
16
25 36 49 64 204
È y ¿ ¶ Ç
5.2两个变量都具有误差时线性回归方程的确定
确定两个变量都有误差时线性回归方程，可以先假设变量 x没有误差或误差很小可以忽略，而将所有误差都归结到变 量y上，可求出一元线性回归方程。然后再假定变量y没有 误差或误差很小可以忽略，将所有误差都归结到x上，同样 可求出一元线性回归方程，最后求得：
F分布
偶然误差的分布形式 --- Fa ( v1, v2 )
v1 --- 分母自由度 v2 --- 分子自由度 F大于Fa ( v1, v2 )的概率为a F分布表 显著水平：a ＝0.01、 a ＝ 0.05、 a ＝ 0.1 F >F0.01 ( v1, v2 ) 高度显著 显著（0.05水平上） F0.05 ( v1, v2 ) <=F <=F0.01 ( v1, v2 )
0.40
731.8
试求出变量x,y之间的线性回归方程 解 (1)将满足线性数学模型的变量xi和y值列入下表，为简化 计算，可将原数据作适当的交换。 令
x t 20 xi
'
（即c1＝0，d1＝20）
（即c2＝0，d2＝20） y t 10( yt 46Leabharlann Baidu 计算出xt‘，yt’ xt‘2，yt’2 ，然后分别列入表 （2）求和
2
N
2
1 N 同理 lyy ( yt y ) ( yt 2 yyt y ) yt ( yt ) 2 N t 1 t 1 t 1 t 1
2
2
N
故
lyy ( y t y ) 125700936 81536450 4416486
第五章 回归分析
5.1回归直线的求取
一、回归直线的求取
y =f (x) 一次函数 --- 线性关系
y f ( x) a0 a1 x
s 0 a j
a0 a1
na0 a1 xi yi 2 a x a x 1 i xi y i 0 i
n xi2 ( xi ) 2
2 x i y i xi xi y i
n xi y i xi y i n xi2 ( xi ) 2
x
y
0.05
46.3
0.10
106.3
0.15
186.9
0.20
286.3
0.25
403.4
0.30
524.2
0.35
636.8
计算如下：
6
x y ，即 1
，试求 回归方程
x xt 1.8398
t 1 6
y yt 1.9283
t 1
1 l xx x ( xt )2 2.4495468 6 t 1 t 1
2 t 6 1 l yy yt2 ( yt )2 2.3273297 6 t 1 t 1
t 1 N N
N
2
N 1 N 又因为 lxy ( xt x )( yt y ) ( xtyt ) ( xt )( yt ) N t 1 t 1 t 1 t 1
故lxy ( xt x)( y t y ) 157830 114930 42900
1、 方差分析 n 个测量值（ y1, y2, …, yn ）之间的差异 --- 变差
2 ( y y ) i i _

总的离差平方和 第i个测量值
测量值的平均值
② 实验误差等因素的影响
( y i yi y) ( yi y i ) 2
2 i i
^
_
^
估计值
U 回归平方和 回归直线精度 --- 剩余方差
N
1 1 2 5 d 4.023 10 2 t N 2 1 b t 1 x y 0.0063
2 x 2 y
N
则所求回归方程为
y 0.1350 0.9747 x
5.3一元非线性回归
一、函数关系类型的选取和确定
1.直接判断法
2.观察法
t 1
N
(5)计算 lxy , lxx , lyy 1 1 lxy lxy 42900 214.5 d 1d 2 20 10 1 1 lxx 2 lxx 42 0.105 d1 20 20 1 1 lyy 2 lyy 44164486 441644.86 d2 10 10 x x c1 0.225 d1 y y c 2 365.25 d1
8
8
'

t 1
x t 36
'

t 1
y
'2
t 125700936

t 1
8
x ' tyt '
157830

t 1
8
x ' t 36

t 1
8
x ' 2 t 204
序号
1
xt
0.05
xt‘
1
yt
46.3
yt‘
3
xt‘2
1
yt‘2
9
xt‘yt‘
3
2
3
0.10
0.15
2
3
106.3
b0
N
b
x
t 1
N
t
N
y bx
2、作图法 采用作图法求取回归方程y＝b0＋bx，将N对（xi，yi）实验数 据值，标点在坐标纸上。若作图所得之点群形成一直线带，就 在此直线带中间作一条直线，使多数点位于直线上或接近直线 并均匀分布在直线两侧，这条直线便可作为回归直线。
10 8 6 4 2 0 0 5 10 ­ É À ì ± ¶ Ê ý x 15
N N
N
( xt ) 2 ( y t ) 2
t 1 N
(36) 2
8
162 8 81536450 8 114930
(25540) 2 N
( xt )( y t )
t 1 t 1
36 25540
（4）计算 lxx, lyy, lxy
因为
N 1 lxx ( xt x ) ( xt 2 2 xxt x 2 ) xt 2 ( xt ) 2 N t 1 t 1 t 1 t 1 N 2 N N
故
lxx ( xt x) 204 162 42
t 1 N 2 N
四、回归直线的均值法和作图法
1、均值法
采用均值法求取回归方程y＝b0＋bx，自变量按由小到大顺序 排列。
当测量点数N 为奇数时，取k （N+1）/2;N为偶数时，则 N=2k :
N /2
b
y
t t 1 N /2 t 1 N t
N
yt xt
x y
t 1 t
t N / 2 1 N t N / 2 1
3.直线检验法
4.表差法 二、化曲线回归为直线回归问题 从应用直线检验法和表差法检验曲线类型中可以知道， 凡是可用直线检验法或表差法检验中为一阶差的曲线回归方 程，都可以作变量置换，将其转化为直线回归方程。
F <=F0.1 ( v1, v2 )
不显著
三、重复测量回归分析
通过重复测量，从中获得反映测量误差大小的误差平方和QE， 以及反映非线性及其他未加控制因素影响的失拟平方和QL那么
残余平方和Q就可分解为：
Q=QE+QL
利用误差平方和QE对失拟平方和QL进行F校验，就可以确定回归 方程拟合的好坏。 注：一个方程拟合得好的真正含义应该是失拟平方和相对于 误差平方和来讲是不显著的。
Q 剩余平方和 测量点数--- n： （的自由度）--- n-1 U（U的自由度）--- 1 Q（Q的自由度）--- n-2
2
Q
Q
剩余平方和Q的自由度
2、 显著性检验 表示：U和Q的相对大小 U大Q小（比值大） --- y 与x 的线性关系密切 显著性 --- F（统计量）
F
U / U Q / Q