7年级三角形精选难题(等量代换较多)

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七年级经典几何难题20道题

七年级经典几何难题20道题以下是七年级经典几何难题20道题：1. 已知等边三角形的一边长为a，求面积。

答案：面积为√3/4 * a²。

2. 如果一个矩形的长比宽大2cm，它的面积是24cm²，求矩形的长和宽。

答案：长为6cm，宽为4cm。

3. 已知一个正方形的边长为4cm，求周长和面积。

答案：周长为4*4=16cm，面积为4*4=16cm²。

4. 求一个直径为10cm的圆的面积。

答案：面积为π*(10/2)²=25πcm²。

5. 求一个等腰三角形底为6cm，高为8cm的面积。

答案：面积为1/2 * 6 * 8 = 24cm²。

6. 已知一个长方形的长为10cm，宽为5cm，求面积。

答案：面积为10*5=50cm²。

7. 求一个正方形的对角线长度为13cm的面积。

答案：面积为(13/2)²=169/4=42.25cm²。

8. 已知一个等边三角形的边长为8cm，求面积。

答案：面积为√3/4 * 8²=16√3 cm²。

9. 求一个半径为5cm的圆的周长。

答案：周长为2π*5=10πcm。

10. 已知一个矩形的长为12cm，宽为3cm，求面积。

答案：面积为12*3=36cm²。

11. 求一个边长为6cm的正方形的对角线长度。

答案：对角线长度为6√2 cm。

12. 已知一个等腰三角形底为10cm，高为12cm，求面积。

答案：面积为1/2 * 10 * 12 = 60cm²。

13. 求一个半径为7cm的圆的面积。

答案：面积为π*7²=49πcm²。

14. 已知一个长方形的长为15cm，宽为2cm，求面积。

答案：面积为15*2=30cm²。

15. 求一个正方形的边长为9cm的面积。

答案：面积为9*9=81cm²。

16. 求一个等边三角形的一边长为6cm的面积。

初一数学三角形试题答案及解析

初一数学三角形试题答案及解析1.小亮截了四根长分别为5cm，6cm，10cm，13cm的木条，任选其中三条组成一个三角形，这样拼成的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】选其中3根组成一个三角形，不同的选法有5cm，6cm，10cm；5cm，10cm，13cm；6cm，10cm，13cm；共3种．故选C．【考点】三角形三边关系．2.如图，△ABC≌△AED，∠B=40°，∠EAB=30°，∠ACB=45°，∠D= °．【答案】45°．【解析】根据全等三角形的对应角相等即可得出∠D的度数．试题解析：∵△ABC≌△AED，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠D=45°．【考点】全等三角形的性质．3.如图，∠ACB＞90°，AD^BC，BE^AC，CF^AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中BC边上的高是（）A.CF ；B.BE；C.AD；D.CD；【答案】B.【解析】如图，AD、BE、CF分别是三角形ABC三条边上的高，与AC对应的高是BE．故选B.【考点】作三角形的高．4.若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于 ____________ . 【答案】1800°．【解析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n-2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．试题解析：多边形的边数：360°÷30°=12，正多边形的内角和：（12-2）•180°=1800°．【考点】多边形内角与外角．5.正八边形的每一个内角都等于 °．【答案】135°【解析】多边形的内角和公式=180°×（n-2）=180°×（8-2）=1080°，所以每个内角为1080°÷8=135°.本题涉及了多边形内角和，该题较为简单，主要考查学生对多边形内角和公式的应用，以及对正多边形的内角间的关系。

2021-2022学年沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形难点解析试题(含解析)

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知等腰三角形有一个角为50°，则这个等腰三角形的底角度数是（）．A．65°B．65°或80°C．50°或80°D．50°或65°2、小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠a+∠β等于（）A．180°B．210°C．360°D．270°3、已知三角形的两边长分别为4cm和10cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．15cm B．6cm C．7cm D．5cm4、三根小木棒摆成一个三角形，其中两根木棒的长度分别是8cm和5cm，那么第三根小木棒的长度不可能是（）A．5cm B．8cm C．10cm D．13cm5、下列所给的各组线段，能组成三角形的是：( )A．2，11，13 B．5，12，7 C．5，5，11 D．5，12，136、已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（）A．10 B．8 C．7 D．47、如图，△ ABC≌△CDA，∠BAC=80°，∠ABC=65°，则∠CAD的度数为（）A．35°B．65°C．55°D．40°8、若三条线段中a＝3，b＝5，c为奇数，那么以a、b、c为边组成的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9、一副三角板如图放置，点A在DF的延长线上，∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，若BC//DA，则∠ABF的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°10、下列命题是真命题的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度C．有两个角是60°的三角形是等边三角形D．在ABC中，2∠=∠=∠，则ABC为直角三角形A B C第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、小华的作业中有一道数学题：“如图，AC，BD在AB的同侧，BD＝4，AB＝4，AC=1，∠CED=120°，点E是AB的中点，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将△ACE和△BDE分别沿CE，连接A′B′．最后小华求解正确，得到CD的最大值是 _____．2、如图，直线ED把ABC分成一个AED和四边形BDEC，ABC的周长一定大于四边形BDEC的周长，依据的原理是____________________________________．3、已知：如图，AB = DB．只需添加一个条件即可证明ABC DBC≌△△．这个条件可以是______．（写出一个即可）．4、如图，ABC 与BDE 的顶点A 、B 、D 在同一直线上，AB DE =，BC BD =，BC DE ∥，延长AC 分别交BE 、DE 于点F 、G ．若30A ∠=︒，50D ∠=︒，则BFG ∠=______．5、如图，在△ABC 和△DBC ，BA =BD 中，请你添加一个条件使得△ABC ≌△DBC ，这个条件可以是________（写出一个即可）．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，在△ABC 中， AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，连接EC ．求证：CE 平分∠ACB ．2、如图，在等边ABC 中，D 为BC 边上一点，连接AD ，将ACD △沿AD 翻折得到AED ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点F ，连接CF ．（1）若20CAD ∠=︒，求CBF ∠的度数；（2）若a CAD ∠=，求CBF ∠的大小；（3）猜想CF ，BF ，AF 之间的数量关系，并证明．3、如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD 和CE 相交于点O ．求证：OB ＝OC ．4、如图，在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，点D 在边AC 上，且线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120°能与BE 重合，点F 是ED 与AB 的交点．（1）求证：AE CD =；（2）若40∠=︒DBC ，求BFE ∠的度数．=．5、如图，ADC AEB∠=∠，AD AE=，求证：OB OC6、如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．7、如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．8、已知：如图，在ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC，AC上，AD＝AE．（1）若∠BAD＝30°，则∠EDC＝°；若∠EDC＝20°，则∠BAD＝°．（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，写出y与x之间的关系式，并给出证明．9、如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．（1）求证DOB≌AOC；（2）求∠CEB的大小；（3）如图2，OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转（OAB和OCD 不能重叠），求∠CEB的大小．10、如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．（1）如图（1），若∠DCE＝33°，则∠BCD＝，∠ACB＝．（2）如图（1），猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．（3）如图（2），若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的数量关系为．-参考答案-一、单选题1、D【分析】50 可以是底角，也可以是顶角，分情况讨论即可．【详解】当50︒角为底角时，底角就是50︒，当50︒角为等腰三角形的顶角时，底角为(18050)265︒-︒÷=︒，因此这个等腰三角形的底角为50︒或65︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．2、B【分析】已知90C ∠=︒，得到2390∠+∠=︒，根据外角性质，得到1D α∠=∠+∠，4F β∠=∠+∠，再将两式相加，等量代换，即可得解；【详解】解：如图所示，∵90C ∠=︒，∴2390∠+∠=︒，∵1D α∠=∠+∠，4F β∠=∠+∠，∴14D F αβ∠+∠=∠+∠+∠+∠，∵12∠=∠，34∠=∠，∴1423D F D F ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，∵30D ∠=︒，90F ∠=︒，∴23233090210D F ∠+∠+∠+∠=∠+∠+︒+︒=︒；故选D ．【点睛】本题主要考查了三角形外角定理的应用，准确分析计算是解题的关键．3、C【分析】根据三角形的三边关系可得104104x -<<+，再解不等式可得答案．【详解】解：设三角形的第三边为xcm ，由题意可得：104104x -<<+，即614x <<，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．4、D【分析】设第三根木棒长为x 厘米，根据三角形的三边关系可得8﹣5＜x ＜8+5，确定x 的范围即可得到答案．【详解】解：设第三根木棒长为x 厘米，由题意得：8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13，故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．5、D【分析】根据三角形三边关系定理，判断选择即可．【详解】∵2+11=13，∴A不符合题意；∵5+7=12，∴B不符合题意；∵5+5=10＜11，∴C不符合题意；∵5+12=17＞13，∴D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．6、C【分析】根据三角形三边关系列出不等式，根据不等式的解集求整数m的最大值．【详解】解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则-<<+，即08<<mm4444又m为整数，则整数m的最大值是7故选C【点睛】本题考查了求不等式的整数解，三角形三边关系，根据三角形的三边关系列出不等式是解题的关键．7、A【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB=35°，再根据全等三角形性质即可求出∠CAD=35°．【详解】解：∵∠BAC=80°，∠ABC=65°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=35°，∵△ABC≌△CDA，∴∠CAD=∠ACB=35°．故选：A【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，熟知两个定理是解题关键．8、C【分析】根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形的个数．【详解】解：c的范围是：5﹣3＜c＜5+3，即2＜c＜8．∵c是奇数，∴c＝3或5或7，有3个值．则对应的三角形有3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．9、A【分析】先求出∠EFD=60°，∠ABC=45°，由BC∥AD，得到∠EFD=∠FBC=60°，则∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°．【详解】解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，∴∠EFD=60°，∠ABC=45°，∵BC∥AD，∴∠EFD=∠FBC=60°，∴∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°，故选A．【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键．10、C【分析】分别根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定，直角三角形的判定即可判断．【详解】A.等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错误；B.三角形的内角和为180°，故此选项错误；C.有两个角是60°，则第三个角为180606060︒-︒-︒=︒，所以三角形是等边三角形，故此选项正确；D.设C x ∠=，则2A B x ∠=∠=，故22180x x x ++=︒，解得36x =︒，所以72A B ∠=∠=︒，36C ∠=︒，此三角形不是直角三角形，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的定义以及三角形内角和，掌握相关概念是解题的关键．二、填空题1、7【分析】由翻折的性质可证△EB 'A '是等边三角形，则A 'B '＝A 'E ＝2，再根据CD ≤A 'C +A 'B '+B 'D ，即可求出CD 的最大值．【详解】解：∵AB =4，点E 为AB 的中点，∴AE =BE =2，∵∠CED =120°，∴∠AEC +∠DEB =60°，∵将△ACE 和△BDE 分别沿CE ，DE 翻折得到△A ′CE 和△B ′DE ，∴A 'C =AC =1，AE =A 'E =2，∠AEC =∠CEA '，DB =DB '=4，BE =B 'E =2，∠DEB =∠DEB '，∴∠A 'EB '=60°，A 'E =B 'E =2，∴△EB 'A '是等边三角形，∴A 'B '=A 'E =2，∴当点C ，点A '，点B '，点D 四点共线时，CD 有最大值=A 'C +A 'B '+B 'D =7，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了翻折的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等性质，证明△EB 'A '是等边三角形是解题的关键．2、三角形两边之和大于第三边【分析】表示出ABC 和四边形BDEC 的周长，再结合ADE 中的三边关系比较即可．【详解】解：ABC 的周长=AC AB BC AE AD CE CB BD ++=++++四边形BDEC 的周长=DE CE CB BD +++∵在ADE 中AE AD DE +>∴AE AD CE CB BD ++++>DE CE CB BD +++即ABC 的周长一定大于四边形BDEC 的周长，∴依据是：三角形两边之和大于第三边；故答案为三角形两边之和大于第三边【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，关键是熟悉三角形两边之和大于第三边的知识点．3、AC =DC【分析】由题意可得，BC 为公共边，AB =DB ，即添加一组边对应相等，可证△ABC 与△DBC 全等．【详解】解：∵AB =DB ，BC =BC ，添加AC =DC ，∴在△ABC 与△DBC 中，AB DB BC BC AC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DBC （SSS ），故答案为：AC =DC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．4、110︒【分析】先证明△ABC ≌△EDB ，可得∠E =30A ∠=︒，然后利用三角形外角的性质求解．【详解】解：∵BC DE ∥，∴∠ABC =∠D ，在△ABC 和△EDB 中AB DE ABC D BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△EDB ，∴∠E =30A ∠=︒，∴30A ∠=︒，50D ∠=︒，∴∠EGF =30°+50°=80°，∴BFG ∠=80°+30°=110°，故答案为：110°．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解答本题的关键．5、CA CD =（答案不唯一）【分析】由已知有BA =BD ，BC 边公共，由三角形全等的判定定理，可以添加这两边的夹角相等或第三边相等，均可使得△ABC ≌△DBC ．【详解】添加CA =CD ，则由边边边的判定定理即可得△ABC ≌△DBC故答案为：CA =CD （答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的几个判定定理是解题的关键．三、解答题1、见解析【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠ADB =∠ADC =90°，∠ABC =∠ACB ，BD =CD ，从而得到△BDE ≌△CDE ，进而得到∠DCE =∠DBE ，再由BE 平分∠ABC ，可得12DBE ABC ∠=∠ ，进而得到12DCE ACB ∠=∠，即可求证．【详解】解：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，∴∠ADB =∠ADC =90°，∠ABC =∠ACB ，BD =CD ，∵DE =DE ，∴△BDE ≌△CDE ，∴∠DCE =∠DBE ，∵BE 平分∠ABC ， ∴12DBE ABC ∠=∠ ， ∴12DCE ABC ∠=∠， ∴12DCE ACB ∠=∠， ∴CE 平分∠ACB ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．2、（1）20°；（2）CBF α∠=；（3）AF = CF +BF ，理由见解析【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得到AB =AC ，∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，∠EAD =∠CAD =20°，AC =AE ，则∠BAE =∠BAC -∠EAD -∠CAD =20°，AB =AE ，()1180=802ABE AEB BAE ==︒-︒∠∠∠，∠CBF =∠ABE -∠ABC =20°；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，将△ABF 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACG ，先证明△AEF ≌△ACF 得到∠AFE =∠AFC ，然后证明∠AFE =∠AFC =60°，得到∠BFC =120°，即可证明F 、C 、G 三点共线，得到△AFG 是等边三角形，则AF =GF =CF +CG =CF +BF ．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，∠EAD =∠CAD =20°，AC =AE ，∴∠BAE =∠BAC -∠EAD -∠CAD =20°，AB =AE ， ∴()1180=802ABE AEB BAE ==︒-︒∠∠∠， ∴∠CBF =∠ABE -∠ABC =20°；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ,∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，EAD CAD α∠=∠=，AC =AE ，∴602BAE BAC EAD CAD α∠=∠-∠-∠=︒- ，AB =AE ， ∴()1180=602ABE AEB BAE α==︒-︒+∠∠∠， ∴CBF ABE ABC α∠=∠-∠=；（3）AF = CF +BF ，理由如下：如图所示，将△ABF 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACG ，∴AF =AG ，∠FAG =60°，∠ACG =∠ABF ，BF =CG在△AEF 和△ACF 中，=AE AC EAF CAF AF AF =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△ACF （SAS ），∴∠AFE =∠AFC ，∵∠CBF +∠BCF +∠BFD +∠CFD =180°，∠CAF +∠CFA +∠ACD +∠CFD =180°，∴∠BFD =∠ACD =60°，∴∠AFE =∠AFC =60°，∴∠BFC =120°，∴∠BAC +∠BFC =180°，∴∠ABF +∠ACF =180°，∴∠ACG +∠ACF =180°，∴F 、C 、G 三点共线，∴△AFG 是等边三角形，∴AF =GF =CF +CG =CF +BF ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．3、见解析【分析】根据SAS 证明△AEC 与△ADB 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：在△AEC 与△ADB 中，AB AC A A AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEC ≌△ADB （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴OB ＝OC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△AEC ≌△ADB 是本题的关键．4、（1）见解析；（2）110︒【分析】（1）由旋转的性质可得BD BE =，120EBD ∠=︒，再证明DBC ABE ∠=∠，结合,AB BC = 从而可得结论；（2）由ABE △≌CBD 可得40DBC ABE ∠==∠︒，再利用等腰三角形的性质求解30BED BDE ∠=∠=︒，再利用三角形的内角和定理可得答案.【详解】证明：（1）∵线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120°能与BE 重合，∴BD BE =，120EBD ∠=︒，∵AB BC =，120ABC ∠=︒，∴120ABD DBC ABD ABE ∠+∠=∠+∠=︒，∴DBC ABE ∠=∠，∴ABE △≌CBD （S A S ），∴AE CD =．（2）解：由（1）知ABE △≌CBD∴ 40DBC ABE ∠==∠︒，BD BE =，120EBD ∠=︒， ∴()1180120302BED BDE ∠=∠=︒-︒=︒， ∴1801803040110BFE BED ABE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应边相等，对应角相等”是解本题的关键.5、证明过程见解析【分析】先证明AEB ADC ≅，得到DB EC =，B C ∠=∠，再证明DOB EOC ≅△△，即可得解；【详解】由题可得，在AEB △和ADC 中，A A AE AD AEB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴AEB ADC ≅，∴AB AC =，B C ∠=∠，又∵AD AE =，∴DB EC =，在DOB 和EOC △中，B C DOB EOC DB EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DOB EOC ≅△△，∴OB OC =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．6、CM ＝7．【分析】根据题意由“SAS ”可证△AEC ≌△ADB ，可得BD =CE ，由等腰三角形的性质可得DM =ME =2进行分析计算即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠BAE ＝∠DAE ﹣∠BAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△AEC 和△ADB 中，AE AD BAD CAE AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEC ≌△ADB （SAS ），又∵BD ＝5，∴CE ＝BD ＝5，∵AD ＝AE ，AM ⊥CD ，DE ＝4， ∴114222ME DE ==⨯=， ∴CM ＝CE +EM ＝5+2＝7．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．7、∠AFB ＝40°．【分析】由题意易得∠ADC ＝90°，∠ACB ＝80°，然后可得11,22MAE MAC ABF ABC ∠=∠∠=∠，进而根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：∵AD ⊥BE ，∴∠ADC ＝90°，∵∠DAC ＝10°，∴∠ACB ＝90°﹣∠DAC ＝90°﹣10°＝80°，∵AE 是∠MAC 的平分线，BF 平分∠ABC ， ∴11,22MAE MAC ABF ABC ∠=∠∠=∠，又∵∠MAE ＝∠ABF +∠AFB ，∠MAC ＝∠ABC +∠ACB ，∴∠AFB ＝∠MAE ﹣∠ABF ＝()11111804022222MAC ABC MAC ABC ACB ∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质及角平分线的定义是解题的关键．x，见解析8、（1）15，40；（2）y＝12【分析】（1）设∠EDC＝m，则∠B＝∠C＝n，根据∠ADE＝∠AED＝m+n，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，由∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC即可得∠B+x＝∠B+y+y，从而求解．【详解】解：（1）设∠EDC＝m，∠B＝∠C＝n，∵∠AED＝∠EDC+∠C＝m+n，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝m+n，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2m+n，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝2m，∴2m+n＝n+30，解得m＝15°，∴∠EDC的度数是15°；若∠EDC＝20°，则∠BAD＝2m＝2×20°＝40°．故答案是：15；40；x，（2）y与x之间的关系式为y＝12证明：设∠BAD＝x，∠EDC＝y，∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∴∠B+x＝∠B+y+y，∴2y＝x，x．∴y＝12【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及一元一次方程的应用，灵活运用等腰三角形的性质成为解答本题的关键．9、（1）见详解；（2）120°；（2）120°．【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质得到OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，则利用根据“SAS”判断△AOC≌△BOD；（2）利用△AOC≌△BOD得到∠CAO=∠DBO，然后根据三角形内角和可得到∠AEB=∠AOB=60°，即可求出答案；（3）如图2，与（1）的方法一样可证明△AOC≌△BOD；则∠CAO=∠DBO，然后根据三角形内角和可求出∠AEB=∠AOB=60°，即可得到答案．【详解】（1）证明：如图1，∵△ODC 和△OAB 都是等边三角形，∴OD =OC =OA =OB ，∠COD =∠AOB =60°，∴∠BOD =∠AOC =120°，在△AOC 和△BOD 中OC OD AOC BOD OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD ；（2）解：∵△AOC ≌△BOD ，∴∠CAO =∠DBO ，∵∠1=∠2，∴∠AEB =∠AOB =60°，∴120CEB ∠=︒；（3）解：如图2，∵△ODC 和△OAB 都是等边三角形，∴OD =OC =OA =OB ，∠COD =∠AOB =60°，∴∠AOB +∠BOC =∠COD +∠BOC ，即∠AOC =∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中OC OD AOC BOD OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD ；∴∠CAO =∠DBO ，∵∠1=∠2，∴∠AEB =∠AOB =60°，∴120CEB ∠=︒；即∠CEB 的大小不变．【点睛】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；利用类比的方法解决（3）小题．10、（1）57°，147°；（2）∠ACB ＝180°－∠DCE ，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE ＝120°【分析】（1）根据角的和差定义计算即可．（2）利用角的和差定义计算即可．（3）利用特殊三角板的性质，角的和差定义即可解决问题．【详解】解：（1）由题意，903357BCD ∠=︒-︒=︒；9057147ACB ∠=︒+︒=︒；故答案为：57°，147°．（2）∠ACB ＝180°－∠DCE ，理由如下：∵ ∠ACE＝90°－∠DCE，∠BCD＝90°－∠DCE，∴ ∠ACB＝∠ACE＋∠DCE＋∠BCD＝90°－∠DCE＋∠DCE＋90°－∠DCE＝180°－∠DCE．（3）结论：∠DAB+∠CAE=120°．理由如下：∵∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠BAC+∠CAE=∠DAC+∠EAB，又∵∠DAC=∠EAB=60°，∴∠DAB+∠CAE=60°+60°=120°．故答案为：∠DAB+∠CAE=120°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

北师大版七年级下册数学《全等三角形》难题(讲义)

例2在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( )A．1<AB<9 B．3<AB<13 C．5<AB<13 D．9<AB<13例3一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上(1)求证：AB⊥ED(2)若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明例5如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°，求∠DFE的度数1．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC，B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D ′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件(只需要填写一个你认为适当的条件)2．如图，0A=0B，OC=OD，∠O=60°,∠C=25°,则∠BED等于4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①②B。

②③C．①③D．①②③6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )．A：DC B．BC C．AB D．AE+AC7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有( )对A．5 B．6 C．7 D．88.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数11．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=12．如图，已知AE平分∠BAC，BE上AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED=13．如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，给出三个论断：①DE=FE；②AE=CE；③FC∥AB，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是14．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围是15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是( )A．1 B.2 C．3 D．417．考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有( )．A．4个B．3个C．2个D．1个18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且1()2AE AB AD=+,求∠ABC+∠ADC的度数。

2022年沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题测试练习题(精选含解析)

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中∠C ＝∠F ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，则∠a +∠β等于（）A ．180°B ．210°C ．360°D ．270°2、如图，ABC 和DEF 全等，且A D ∠=∠，AC 对应DE ．若6AC =，5BC =，4AB =，则DF 的长为（）A ．4B ．5C ．6D ．无法确定3、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝40°，直线a ∥b ，若BC 在直线b 上，则∠1的度数为（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4、如图，在ABC ∆中，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，过点D 作直线平行于BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，当A ∠大小变化时，线段EF 和BE CF +的大小关系是( )A ．EF BE CF >+B ．EF BE CF <+C ．EF BE CF =+D ．不能确定5、如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE ≌△ACD 的是（）A ．∠B ＝∠C B ．AD ＝AE C ．BE ＝CD D ．∠AEB ＝∠ADC6、在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，2)，B (a ，0)，C (m ，n )（0m >）．若ABC 是等腰直角三角形，且AB BC =，当01a <<时，点C 的横坐标m 的取值范围是（）A ．02m <<B ．23m <<C ．3m <D ．3m >7、下列四个命题是真命题的有（）①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形两个锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、三根小木棒摆成一个三角形，其中两根木棒的长度分别是8cm 和5cm ，那么第三根小木棒的长度不可能是（）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．13cm9、如图，钝角ABC 中，2∠为钝角，AD 为BC 边上的高，AE 为BAC ∠的平分线，则DAE ∠与1∠、2∠之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（）A ．21DAE ∠=∠-∠B ．212DAE ∠-∠∠=C ．212DAE ∠∠=-∠D ．122DAE ∠+∠∠=10、一个三角形三个内角的度数分别是x ，y ，z ．若2||()0x y x y z -++-=，则这个三角形是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．不存在第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，BD 是AC 边的高线，延长BC 至点E ，使CE CD =，则BE 的长为__________．2、如图，点A ，C 在直线l 上，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，过E ，B ，D 分别作EF l ⊥，BG l ⊥，DH l ⊥，若6EF =，3BG =，4DH =，则ABC 的面积是______．3、如图，ABC 中，90A ∠=︒，点D 在AC 边上，∥DE BC ，若1145∠=︒，则B 的度数为_______．4、若一个立体图形从正面看和从左面看都是等腰三角形，从上面看是带有圆心的圆，则这个立体图形是_____．5、边长为1的小正方形组成如图所示的6×6网格，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 都在格点上．其中到四边形ABCD 四个顶点距离之和最小的点是_________．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45︒的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如下图1，在正方形ABCD 中，以A 为顶点的45EAF ︒∠=，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．易证得EF BE FD =+．大致证明思路：如图2，将ADF 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABH ，由180HBE ︒∠=可得H 、B 、E 三点共线，45HAE EAF ︒∠=∠=，进而可证明AEH AEF ≌，故EF BE DF =+．任务：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ︒∠=∠=，120BAD ︒∠=，以A 为顶点的60EAF ︒∠=，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BE DF =+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．2、已知，∠A ＝∠D ，BC 平分∠ABD ，求证：AC ＝DC ．3、在ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC =90°，则∠BCE = 度；（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线BC 上（线段BC 之外）移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 边上的点，并且MN ∥BC ．（1）△AMN 是否是等腰三角形？说明理由；（2）点P 是MN 上的一点，并且BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ．①求证：△BPM 是等腰三角形；②若△ABC 的周长为a ，BC ＝b （a ＞2b ），求△AMN 的周长（用含a ，b 的式子表示）．5、如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是角平分线，E 是AB 边上一点，连接ED ，CB 是ACF ∠的平分线，ED 的延长线与CF 交于点F ．（1）求证：BE CF =；（2）若46CDF ∠=︒，AD DF =，则ACF ∠=______度．6、已知：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE=AC ．求证：AD ∥CE ．7、已知：如图，AC BD =，AD BC =，求证：ABC BAD ≌8、如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD 和CE 相交于点O ．求证：OB ＝OC ．9、如图，E 为AB 上一点，BD ∥AC ，AB ＝BD ，AC ＝BE ．求证：BC ＝DE ．10、如图，等边△ABC 中，点D 在BC 上，CE =CD ，∠BCE =60°，连接AD 、BE ．（1）如图1，求证：AD =BE ；（2）如图2，延长AD 交BE 于点F ，连接DE 、CF ，在不添加任何辅助线和其它字母的情况下，请直接写出等于120°的角．-参考答案-一、单选题1、B【分析】已知90C ∠=︒，得到2390∠+∠=︒，根据外角性质，得到1D α∠=∠+∠，4F β∠=∠+∠，再将两式相加，等量代换，即可得解；【详解】解：如图所示，∵90C ∠=︒，∴2390∠+∠=︒，∵1D α∠=∠+∠，4F β∠=∠+∠，∴14D F αβ∠+∠=∠+∠+∠+∠，∵12∠=∠，34∠=∠，∴1423D F D F ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，∵30D ∠=︒，90F ∠=︒，∴23233090210D F ∠+∠+∠+∠=∠+∠+︒+︒=︒；故选D ．【点睛】本题主要考查了三角形外角定理的应用，准确分析计算是解题的关键．2、A【分析】全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．【详解】∵ABC 和DEF 全等，A D ∠=∠，AC 对应DE∴ABC DFE ≅∴AB =DF =4故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．3、C【分析】根据三角形内角和定理确定50ABC ∠=︒，然后利用平行线的性质求解即可．【详解】解：∵40BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，∴50ABC ∠=︒，∵a b ∥，∴150ABC ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】题目主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．4、C【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得EBD EDB ∠=∠，则ED BE =，同理可得DF FC =，则EF BE CF =+，可得答案．【详解】解：//EF BC ，EDB DBC ∴∠=∠， BD 平分ABC ∠，EBD DBC ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，ED BE ∴=，同理DF FC =，ED DF BE FC ∴+=+，即EF BE CF =+．故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键．5、C【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．【详解】解：根据题意可知：AB ＝AC ，A A ∠=∠，若B C ∠=∠，则根据()ASA 可以证明△ABE ≌△ACD ，故A 不符合题意；若AD ＝AE ，则根据(SAS)可以证明△ABE ≌△ACD ，故B 不符合题意；若BE ＝CD ，则根据()SSA 不可以证明△ABE ≌△ACD ，故C 符合题意；若∠AEB ＝∠ADC ，则根据()AAS 可以证明△ABE ≌△ACD ，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．6、B【分析】过点C 作CD x ⊥轴于D ，由“AAS ”可证AOB BDC ∆≅∆，可得2AO BD ==，BO CD n a ===，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CD x ⊥轴于D ，点(0,2)A ，2AO ∴=，ABC ∆是等腰直角三角形，且AB BC =，90ABC AOB BDC ∴∠=︒=∠=∠，90ABO CBD ABO BAO ∴∠+∠=︒=∠+∠，BAO CBD ∴∠=∠，在AOB ∆和BDC ∆中，AOB BDC BAO CBD AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOB BDC AAS ∴∆≅∆，2AO BD ∴==，BO CD n a ===，01a ∴<<，2OD OB BD a m =+=+=，23m ∴<<，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是画图及添加恰当辅助线构造全等三角形．7、B【分析】利用平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及等边三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】①两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；②相等的角是对顶角，错误，是假命题；③直角三角形两个锐角互余，正确，是真命题；④三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，综上所述真命题有2个，故选：B．【点睛】本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明、推理、证明，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．8、D【分析】设第三根木棒长为x厘米，根据三角形的三边关系可得8﹣5＜x＜8+5，确定x的范围即可得到答案．【详解】解：设第三根木棒长为x厘米，由题意得：8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13，故选：D．此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．9、B【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论．【详解】解：由三角形内角和知∠BAC =180°-∠2-∠1，∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠BAE =12∠BAC =12（180°-∠2-∠1）．∵AD 为BC 边上的高，∴∠ADC =90°=∠DAB +∠ABD ．又∵∠ABD =180°-∠2，∴∠DAB =90°-（180°-∠2）=∠2-90°，∴∠EAD =∠DAB +∠BAE =∠2-90°+12（180°-∠2-∠1）=12（∠2-∠1）．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义，解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系．10、C【分析】根据绝对值及平方的非负性可得x y =，x y z +=，再由三角形内角和定理将两个式子代入求解可得45x =︒，290x =︒，即可确定三角形的形状．解：()20x y x y z -++-=，∴0x y -=且0x y z +-=，∴x y =，x y z +=，∴2z x =，∵180x y z ++=︒，∴2180x x x ++=︒，解得：45x =︒，290x =︒，∴三角形为等腰直角三角形，故选：C ．【点睛】题目主要考查绝对值及平方的非负性，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，理解题意，列出式子求解是解题关键．二、填空题1、3【分析】由等腰三角形三线合一的性质，得到AD =DC =1，由BE =BC +CE 不难求解．【详解】解：三角形ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ＝2，又 BD 是AC 边的高线，∴DC ＝112122AC =⨯=，CE ∴ CD =＝1，213BE BC CE ∴=+=+=，故答案为：3.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解本题的关键．2、15【分析】根据AAS 证明△EFA ≌△AGB ，△BGC ≌△CHD ，再根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵EF ⊥FG ，BG ⊥FG ，∴∠EFA =∠AGB =90°，∴∠AEF +∠EAF =90°，又∵AE ⊥AB ，即∠EAB =90°，∴∠BAG +∠EAF =90°，∴∠AEF =∠BAG ，在△AEC 和△CDB 中，AEF BAG EFA AGB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFA ≌△AGB （AAS ）；同理可证△BGC ≌△CHD （AAS ），∴AG =EF =6，CG =DH =4，∴S△ABC=12AC⨯BG=12(AG+GC)⨯BG=12(6+4)⨯3=15．故答案为：15．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3、55︒【分析】先求出∠EDC=35°，然后根据平行线的性质得到∠C=∠EDC=35°，再由直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：∵∠1=145°，∴∠EDC=35°，∵DE∥BC，∴∠C=∠EDC=35°，又∵∠A=90°，∴∠B=90°-∠C=55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，求出∠C的度数是解题的关键．4、圆锥【分析】根据立体图形视图、等腰三角形的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，这个立体图形是圆锥故答案为：圆锥．【点睛】本题考查了等腰三角形、圆锥、立体图形视图的知识；解题的关键是熟练掌握立体图形视图的性质，从而完成求解．5、E【分析】到四边形ABCD 四个顶点距离之和最小的点是对角线的交点，连接对角线，直接判断即可．【详解】如图所示，连接BD 、AC 、GA 、GB 、GC 、GD ，∵GD GB BD +>，GA GC AC +>，∴到四边形ABCD 四个顶点距离之和最小是AC BD +，该点为对角线的交点，根据图形可知，对角线交点为E ，故答案为：E ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题关键是通过连接辅助线，运用三角形三边关系判断点的位置．三、解答题1、成立，证明见解析【分析】根据阅读材料将△ADF 旋转120°再证全等即可求得EF = BE +DF ．【详解】解：成立．证明：将ADF ∆绕点A 顺时针旋转120︒，得到ABM ∆，ABM ADF ∴∆∆≌，90ABM D ︒=∠=∠，MAB FAD ∠=∠，AM AF =，MB DF =，180MBE ABM ABE ︒∠=∠+∠=∴，M 、B 、E 三点共线，60MAE MAB BAE FAD BAE BAD EAF ︒∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=．AM AF =，MAE FAE ∠=∠，AE AE =，()MAE FAE SAS ∴∆∆≌，EF ME MB BE DF BE ∴==+=+．【点睛】本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键．2、见解析【分析】证明△BAC ≌△BDC 即可得出结论．【详解】解：∵BC 平分∠ABD ，∴∠ABC ＝∠DBC ，在△BAC 和△BDC 中A D ABC DBC BC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△BDC ，∴AC ＝DC ．【点睛】本题考查角平分线的意义及全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．3、（1）90；（2）180αβ+=︒，见解析；②180αβ+=︒或αβ=【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ＝45°，由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，∴90DAE BAC ∠=∠=︒，∵AB =AC ，AD =AE ，∴45B ACB ∠=∠=︒，45ADE AED ∠=∠=︒，∵DAE BAC ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD CAE ≅，∴45ACE B ∠=∠=︒，∴90BCE ACB ACE ∠=∠+∠=︒（2）αβ180+=︒或αβ=．理由：①∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠．即BAD CAE ∠=∠．在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABD ACE △≌△．∴B ACE ∠=∠．∴B ACB ACE ACB ∠+∠=∠+∠．∴B ACB β∠+∠=．∵180B ACB α+∠+∠=︒，∴180αβ+=︒．②如图：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠．即BAD CAE ∠=∠．在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABD ACE △≌△．∴ABD ACE ∠=∠．∵+ABD ACB α∠=∠，ACE ACB β=∠-∠，ACE ABD βα∴=∠-∠+，αβ∴=．综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β＝180°或α＝β．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．4、（1）△AMN是是等腰三角形；理由见解析；（2）①证明见解析；②a﹣b．【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，由平行线的性质得到∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，于是得到∠AMN=∠ANM，根据等角对等边即可证得结论；（2）①由角平分线的定义得到∠PBM=∠PBC，由平行线的性质得到∠MPB=∠PBC，于是得到∠PBM=∠MPB，根据等角对等边即可证得结论；②由①知MB=MP，同理可得：NC=NP，故△AMN的周长=AB+AC，再根据已知条件即可求出结果．（1）解：△AMN是是等腰三角形，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形；（2）①证明：∵BP平分∠ABC，∴∠PBM＝∠PBC，∵MN∥BC，∴∠MPB＝∠PBC∴∠PBM＝∠MPB，∴MB＝MP，∴△BPM是等腰三角形；②由①知MB＝MP，同理可得：NC＝NP，∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，∵△ABC的周长为a，BC＝b，∴AB+AC+b＝a，∴AB+AC＝a﹣b∴△AMN的周长＝a﹣b．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，列代数式，能够灵活应用这些性质是解决问题的关键．5、（1）见解析，（2）46【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线得到∠B＝∠ACB＝∠BCF，由AD是角平分线，得到BD＝CD，证△BDE≌△CDF即可；（2）根据全等三角形的性质得到DE＝DF＝DA，根据46∠=︒求得∠DAB，进而求出∠B的度数即CDF可．【详解】（1）证明：∵AB AC =，∴∠B ＝∠ACB ，∵CB 是ACF ∠的平分线，∴∠ACB ＝∠BCF ，∴∠B ＝∠BCF ，∵AD 是角平分线，AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∵∠BDE ＝∠CDF ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）；∴BE CF =；（2）∵△BDE ≌△CDF ；∴ED ＝FD ，∵AD DF =,∴ED ＝AD ，∵46CDF ADE ∠=∠=︒， ∴180672ADE BAD ︒-∠∠==︒， ∴2134BAC BAD ∠=∠=︒，∴∠B ＝∠ACB ＝∠BCF ＝23°，∴246ACF BCF ∠=∠=︒，故答案为：46．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明和计算．6、见解析．【分析】先根据角平分线的定义得到∠BAD =12∠BAC ，再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠E =12∠BAC ，从而得到∠BAD =∠E ，即可证明AD ∥CE ．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =12∠BAC ，∵AE =AC ，∴∠E =∠ACE ，∵∠E +∠ACE =∠BAC ，∴∠E =12∠BAC ，∴∠BAD =∠E ，∴AD ∥CE ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角定理，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．7、证明见解析【分析】由AC BD =，AD BC =，结合公共边,AB BA 从而可得结论.【详解】证明：在ABC 与BAD 中，ACBD ADBC AB BAABC BAD ≌∴【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明三角形全等”是解本题的关键.8、见解析【分析】根据SAS 证明△AEC 与△ADB 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：在△AEC 与△ADB 中，AB AC A A AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEC ≌△ADB （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴OB ＝OC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△AEC ≌△ADB 是本题的关键．9、见解析【分析】根据平行线的性质可得A DBA ∠=∠，利用全等三角形的判定定理即可证明．【详解】证明：∵AC BD ∥，∴A DBA ∠=∠．在ABC 和BDE 中，AB BD A DBA AC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC BDE ≌，∴BC DE ＝．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．10、（1）见解析；（2）等于120°的角有∠BFC 、∠BDE 、∠DFE =120°．【分析】（1）利用SAS 证明△ADC ≌△BEC ，即可证明AD =BE ；（2）证明△CDE 为等边三角形，可求得∠BDE =120°；利用全等三角形的性质可求得∠BFD =∠BCA =60°，推出∠DFE =120°；同理可推出∠BFC =∠AFC +∠BFD =120°．【详解】（1）证明：等边△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =60°，∵CE =CD ，∠BCE =60°，∴△ADC ≌△BEC (SAS )，∴AD =BE ；（2）等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．∵CE=CD，∠BCE=60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠CDE=60°，∴∠BDE=120°；∵△ADC≌△BEC，∴∠DAC=∠EBC，又∠BDF=∠ADC，∴∠BFD=∠BCA=60°，∴∠DFE=120°；同理可求得∠AFC=∠ABC=60°，∴∠BFC=∠AFC+∠BFD=120°；综上，等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．。

专题05 等腰、等边三角形压轴真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（解析版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM ＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP ＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°3.已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB 向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．【解答】解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，所以t＝，（2）①∵∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，∴∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，∵∠A＝60°，∴AD＝2AP，∴2t+t＝3，解得t＝1（s）；②相等，如图所示：作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，∴∠G＝∠AEP，在△EAP和△GCQ，，∴△EAP≌△GCQ（AAS），∴PE＝QG，∴△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．4.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D 点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，∴a＝b＝4t，当x＝0时，y＝4t，当y＝0时，﹣x+4t＝0，解得x＝4t，∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），∴△AOB是等腰直角三角形，∵点M是AB 的中点，∴OM⊥AB，∴∠MOA＝45°，∵直线BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠OND＝∠ODB，∴ON＝OD（等角对等边）；（2）答：BD＝2AE．理由如下：延长AE交BO于C，∵BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠CBD，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在△ABE≌△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∵AE⊥BD，∴∠OAC+∠ADE＝90°，又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），∴∠OAC＝∠OBD，在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），∴BD＝AC，∴BD＝2AE；（3）OG的长不变，且OG＝4t．过F作FH⊥OP，垂足为H，∴∠FPH+∠PFH＝90°，∵∠BPF＝90°，∴∠BPO+∠FPH＝90°，∴∠FPH＝∠BPO，∵△BPF是等腰直角三角形，∴BP＝FP，在△OBP与△HPF中，，∴△OBP≌△HPF（AAS），∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，∴AH＝OA+AP＝OP，∴FH＝AH，∴∠GAO ＝∠F AH＝45°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴OG＝OA＝4t．5.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|a﹣b|＝0，又∵（a﹣6）2，≥0，|a﹣b|≥0，∴a＝6，b＝6∴点A（6，6）．（2）如图1中，∵△AOB是等边三角形，点A（6，6），∴AO＝BO＝AB＝12，∠AOB＝∠ABO＝60°＝∠A，∵∠OCP＝60°＝∠AOB，∴∠AOB＝∠QOB+∠AOQ＝∠QOB+∠PBO＝∠PCO，∴∠AOQ＝∠PBO，且AO＝BO，∠A＝∠AOB，∴△AOQ≌△OBP（ASA），∴OP＝AQ，∴12﹣2t＝3t∴t＝2.4∴当t＝2.4时，∠OCP＝60°．（3）如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6），∴OD＝BD＝6，∠AOB＝∠ABO ＝60°，AD＝6，又∵∠DFO＝∠DEB＝90°，∴△ODF≌△BDE（AAS），∴OF＝BE，DF＝DE，∵AO＝AB，∴AO﹣OF＝AB﹣BE，∴AF＝AE，∵DF＝DE，PD＝DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL），∴PF＝EQ，∵OD＝6，∠AOD＝60°，∠DFO＝90°，∴∠ODF＝30°∴OF＝3，DF＝OF＝3，∴AF＝AO﹣OF＝9＝AE，BE＝OF＝3，∵AP+AQ＝AP+AE+EQ＝AP+PF+AE＝AF+AE＝2AF，∴2t+3t＝18∴t＝3.6，∴当t＝，3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP＝S△DEQ，∴S四边形APDQ＝S四边形AFDQ＝S△AOB﹣2S△OFD＝×12×6﹣2××3×3＝27．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE 交于点F，直接写出CF的长6．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【解答】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF＝AB＝6，故答案为：6；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝DC，∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，∴点C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在则OP的最小值为．直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝OF＝，7.等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB ＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，∵CF⊥y轴于点F，∴∠CF A＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF 和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS），∴CF＝OA＝1，∴A（0，1）；（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∵CG⊥AC，∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠AGC＝∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，∴∠DCE＝∠GCE＝45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE＝∠G，∴∠ADB＝∠CDE；（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．∵∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABO＝90°．∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，∴△CBE≌△BAO（AAS），∴CE＝BO，BE＝AO＝4．∵BD＝BO，∴CE＝BD．∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，∴△CPE≌△DPB（AAS），∴BP＝EP＝2．8．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，，∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC ＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如图2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴F A＝FC，∴∠C＝∠F AC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF＝，∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴点F与点C关于直线PD对称，∴当点P与D重合时，△P AF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝2+．9.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C （n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD （AAS），∴OC＝DH＝n，AO＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB ＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，∴∠AEB＝60°，故答案为：60°；②AD＝BE，证明：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∠AEB＝90°，AE﹣BE＝2CM，证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，∴CM＝DM＝EM＝DE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CDA＝∠CEB，∵∠CDA＝135°，∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°，∴BE＝AD，∴AE﹣AD＝DE＝2CM，∴AE﹣BE＝2CM．11.如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．【解答】（1）证明：∵△ABC和△EFC都是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，AC＝BC，CE＝FC，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE与△FCB中，，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴∠A＝∠CBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠A+∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠A+∠ABF＝180°，∴AC∥BF；（2）解：△AEG是等边三角形，理由如下：如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC＝60°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEG＝∠AGE＝60°，∴△AEG是等边三角形；（3）证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠ACB ＝60°，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEM＝∠AME＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝AM，∴∠DAE＝∠EMC＝120°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠MCE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（AAS），∴AD＝CM，∴AC＝AM+CM，由（1）得△ACE≌△FCB，∴BF＝AE，∴BF＝AM，∴AC＝BF+AD，∴AB＝AD+BF．12．已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE 的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠E ＝30°，∵∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，∵BH＝BD，∠B＝60°，∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，∴∠BHD＝60°，BD＝DH，∵AD＝DE，∴∠E＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即∠BAD＝∠CDE，∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝∠DCE，在△AHD和△DCE，，∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH＝CE，∴BD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+BD；（3）AB＝BD+AE；如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠F AE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，∴EF∥BC，∴∠EDB＝∠DEF，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEF＝∠DAF，在△AFD和△EFD中，，∴△AFD≌△EFD（SSS），∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，∵∠EDB＝∠DEF，∴∠FDB＝∠DFB，∴DB＝BF，∵AB＝AF+FB，∴AB＝BD+AE．13．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB ＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB ＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．14．如图1，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，△P AQ是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，在△P AB和△AQE中，，∴△P AB≌△AQE（AAS）；（2）解：∵△P AB≌△AQE，∴AE＝PB，∵AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM 中，，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB，∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，∴BE＝PC，∵PC＝2PB，∴PC＝2MB，∴＝2；（3）解：式子的值不会变化，理由如下：过A作HA⊥AC交QF于点H，如图2所示：∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，⊥⊥QAH+⊥HAP＝⊥HAP+⊥P AD＝90°，⊥AQH＝⊥APD＝90°，⊥⊥QAH＝⊥P AD，⊥⊥P AQ为等腰直角三角形，⊥AQ＝AP，在⊥AQH和⊥APD中，，⊥⊥AQH⊥⊥APD（ASA），⊥AH＝AD，QH＝PD，⊥HA⊥AC，⊥BAC＝45°，⊥⊥HAF＝⊥DAF，在⊥AHF和⊥ADF中，，⊥⊥AHF⊥⊥ADF（SAS），⊥HF＝DF，⊥＝＝＝1．15．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，⊥BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证⊥ABO＝⊥CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求⊥CEM的度数；（3）如图3，⊥P AQ是等腰直角三角形，⊥P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．【解答】（1）证明：⊥⊥BOA＝90°，⊥⊥BAO+⊥ABO＝90°，又⊥⊥BAC＝⊥BAO+⊥CAM＝90°，⊥⊥ABO＝⊥CAM；（2）解：⊥CM⊥y轴，⊥⊥AMC＝⊥BOA＝90°，⊥AB＝AC，⊥ABO＝⊥CAM，⊥⊥AMC⊥⊥BOA （AAS），⊥CM＝AO，AM＝BO，⊥BD＝BE，BD⊥BE，⊥⊥BDE是等腰直角三角形，⊥⊥BDE＝⊥BED ＝45°，⊥EBO＝⊥DBE＝45°，⊥⊥EBO＝⊥BEO，⊥BO＝EO＝AM，⊥EO﹣OM＝AM﹣OM，⊥EM＝AO＝CM，⊥⊥CME是等腰直角三角形，⊥⊥CEM＝45°；（3）解：⊥AB＝AC，⊥BAC＝90°，⊥⊥ACB＝45°，⊥⊥P AQ是等腰直角三角形，⊥P A＝QA，⊥P AQ＝⊥CAB＝90°，⊥⊥P AQ+⊥QAC＝⊥CAB+⊥QAC，即⊥P AC＝⊥QAB，⊥AC＝AB，⊥⊥P AC⊥⊥QAB（SAS），⊥⊥APC＝⊥AQB，⊥⊥AKP＝⊥QKN，⊥⊥QNK＝⊥P AK＝90°，⊥CM⊥y 轴，⊥CM⊥NO，⊥⊥NCM＝⊥KNO＝90°，在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：⊥CN＝CM，⊥CNI＝⊥CMH＝90°，⊥⊥CNI⊥⊥CMH（SAS），⊥⊥NCI＝⊥MCH，CI＝CH，⊥⊥NCG+⊥NCI＝⊥NCG+⊥MCH＝⊥NCM﹣⊥GCH＝90°﹣45°＝45°＝⊥GCH＝⊥GCI，⊥⊥GCI⊥⊥GCH（SAS），⊥GI＝GH，⊥GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5，⊥GH＝5．16．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt⊥ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt⊥APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt⊥FGH，始终保持⊥GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：⊥m﹣n为定值；⊥m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，⊥CM⊥OA，AC⊥AB，⊥⊥MAC+⊥OAB ＝90°，⊥OAB+⊥OBA＝90°则⊥MAC＝⊥OBA在⊥MAC和⊥OBA中，则⊥MAC⊥⊥OBA（AAS），则CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，⊥APO+⊥QPD＝90°⊥APO+⊥OAP＝90°，则⊥QPD＝⊥OAP，在⊥AOP和⊥PDQ中，则⊥AOP⊥⊥PDQ（AAS），⊥OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）结论⊥是正确的，m+n＝﹣4，如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T 点，则FS＝FT＝2，⊥FHS＝⊥HFT＝⊥FGT，在⊥FSH和⊥FTG中，则⊥FSH⊥⊥FTG（AAS），则GT＝HS，又⊥G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），⊥OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，⊥GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，则﹣2﹣m＝n+2，则m+n＝﹣4．17．如图，四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求⊥AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．【解答】解：（1）⊥﹣+b2+4b+8＝0，⊥﹣+（b﹣4）2＝0，⊥a＝4，b＝4，⊥A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），故答案为（0，4），（﹣4，4），（﹣4，0）；（2）由（1）知，A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），⊥AB＝BC＝OC＝OA＝4，⊥四边形OABC是菱形，⊥⊥AOC＝90°，⊥菱形OABC是正方形，过点Q作QN⊥x轴于N，⊥⊥PNQ ＝90°，⊥⊥QPN+⊥PQN＝90°，⊥BP⊥BQ，⊥⊥BPQ＝90°，⊥⊥BPC+⊥QPN＝90°，⊥⊥PQN ＝⊥BPC，由（1）知，B（﹣4，4），C（﹣4，0），⊥BC＝4，BC⊥x，⊥⊥BCP＝⊥PNQ＝90°，在⊥BCP和⊥PNQ中，，⊥⊥BCP⊥⊥PNQ（AAS），⊥CP＝QN，BC＝PN，⊥OC＝PN＝4，⊥当点P在x轴负半轴时，如图1、OC＝CP+OP，PN＝OP+ON，⊥CP＝ON，⊥CP＝QN，⊥ON＝QN，⊥⊥PNQ＝90°，⊥⊥QON＝45°，⊥⊥AOQ＝45°，⊥当点P在x轴正半轴时，如图2、OC＝CP﹣OP，PN＝ON﹣OP，⊥CP＝ON，⊥CP＝QN，⊥ON＝QN，⊥⊥PNQ＝90°，⊥⊥QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，即：∠AOQ＝45°；（3）如图2，过点Q作QN⊥x轴于N，设P（m，0）（m＞0），∵OP＝3AM，∴AM＝OP ＝m，∴M（0，m+4），∵点B（﹣4，4），∴直线BM的解析式为y＝mx+m+4，由（2）知，PN＝OC＝4，∴N（m+4，0），∴Q（m+4，m+4），∵点Q在直线BM上，∴m（m+4）+m+4＝m+4，∴m＝0（舍）或m＝4，∴M（0，）．。

(专题精选)初中数学三角形难题汇编及答案解析

∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵AB= BC，
∴AE=BE= BC，
∴AE=CE，故①正确；
∴∠EAC=∠ACE=30°
∴∠BAC=90°，
∴S△ABC= AB•AC，故②错误；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，O为AC中点，
（专题精选）初中数学三角形难题汇编及答案解析
一、选择题
1．如图，已知，若，，，下列结论：① ；② ；③ ；④ 与互补；⑤ ，其中正确的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定得出AC∥DE，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．
∴S△ABE=S△ACE=2S△AOE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴EO= EC，
∵EC= AB，
∴OE= BC，故④正确；
故正确的个数为3个，
故选：C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．
15．如图，四边形和都是正方形，点在边上，点在对角线上，若，则的面积是()
A．6B．8C．9D．12【答Βιβλιοθήκη 】B【解析】【分析】
根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝ EH＝ EF，EF＝ AE，即可得到结论．

(完整word版)北师大版七年级数学下册三角形难题全解

来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）考点：三角形如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，∴AE⊥BF．（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）考点：四边形如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE≌△ADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF 的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.【答案】（1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF．【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质（1）根据旋转的概念得出；（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．（2）BE=DF，BE⊥DF；延长BE交DF于G；由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；又∠AEB=∠DEG；∴∠DGB=∠DAB=90°；∴BE⊥DF．来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）如图，在△a bc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.1.求的度数；2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.【答案】1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）∵∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，∴∠BFD=∠ABC=30°；2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）∵EH⊥BE，∴∠HEB=90°，∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．【解析】1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．三角形强化训练和深化☣1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是_________°．解析：由题意可知折叠前，由BC//AD得：∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，∠GEF=∠DEF=25°所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°则由：∠DGF+∠GFC=180°所以：∠GFC=180°－50°＝130°将纸带再沿BF第二次折叠成图C后∠GFC角度值保持不变且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=1052、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．解法1：【解析】证明：∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2＝∠3∵∠5＝∠1+∠2∠4＝∠3+∠B∴∠4＝∠5∴AE＝AF过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF＝FN∴AE＝BG解法2：解：作EH⊥BC于H，如图，∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，∴EA=EH，∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，∴∠B=∠DAC，∵∠AEC=∠B+∠ECB，∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，∴AE=AF，∴EG=AF，∵FG∥BC，∴∠AGF=∠B，∵在△AFG和△EHB中，∠GAF=∠BEH∠AGF=∠BAF=EH，∴△AFG≌△EHB（AAS）∴AG=EB，即AE+EG=BG+GE，∴AE=BG．3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．解：作CF⊥AB于F，交AD于G ，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，∵CE⊥AD，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，∴∠1=∠2，在△AGC和△CEB中∠1=∠2AC=CB∠ACG=∠CBE，∴△AGC≌△CEB（ASA），∴CG=BE，∵AD为腰CB上的中线，∴CD=BD，在△CGD和△BED中CG=BE∠GCD=∠BCD=BD，∴△CGD≌△BED（SAS），∴∠CDA=∠EDB．4、如图，已知AD和BC相交于点O ，且均为等边三角形，以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。

三角形等量代换数学题

三角形等量代换数学题
三角形等量代换是指在三角形中，通过一些特定的等量代换关系，将三角函数表达式中的某些部分替换成其他等价的表达式，从
而简化问题或者改变问题的形式。

这在解决一些复杂的三角函数方
程或者不定积分等问题时非常有用。

举个例子，我们知道三角恒等式中有诸如sin^2(x) + cos^2(x) = 1这样的关系。

假设我们在一个三角函数的积分问题中遇到了
sin^2(x)这样的表达式，我们可以利用sin^2(x) = 1 cos^2(x)的
等量代换关系，将sin^2(x)用cos^2(x)来表示，从而把原来的积分
问题转化成关于cos^2(x)的积分问题，可能会更容易求解。

另外一个常见的等量代换是tan(x/2) = sin(x)/(1+cos(x))，
这个代换在处理一些三角函数的积分问题时非常有用，可以将原来
的积分问题转化成关于tan(x/2)的积分问题，有时会更容易求解。

在解决三角形相关的数学问题时，等量代换可以帮助我们简化
问题、变换问题的形式，从而更容易求解或者得到有用的结论。

当然，在使用等量代换时，我们需要注意代换的合理性和等价性，避
免引入不必要的复杂性或者错误的结果。

综上所述，三角形等量代换在数学问题中具有重要的作用，可以帮助我们简化问题、改变问题形式、更容易地求解或得到有用的结论。

在使用等量代换时，我们需要谨慎并确保代换的合理性和等价性。

初一数学期末复习三角函数计算压轴题难题(附答案详解)

初一数学期末复习三角函数计算压轴题难题(附答案详解)题目一已知直角三角形中一边的长为6cm，另一边的长为8cm，求另外两个角的正弦、余弦和正切值。

解答：设直角三角形中两个锐角分别为A和B。

已知边长分别为6cm 和8cm，则根据勾股定理，可得直角边的长为：c = √(a^2 + b^2)c = √(6^2 + 8^2)c = √(36 + 64)c = √100c = 10cm因此，三角形的斜边长为10cm。

对于角A：正弦值(sin) = 对边/斜边 = 6/10 = 0.6余弦值(cos) = 邻边/斜边 = 8/10 = 0.8正切值(tan) = 对边/邻边 = 6/8 = 0.75对于角B：正弦值(sin) = 8/10 = 0.8余弦值(cos) = 6/10 = 0.6正切值(tan) = 8/6 = 1.3333因此，角A的正弦值为0.6，余弦值为0.8，正切值为0.75；角B的正弦值为0.8，余弦值为0.6，正切值为1.3333。

题目二已知一条斜边为12cm的直角三角形，其中一个锐角的正切值为1.5，求另外两个角的正弦、余弦和正切值。

解答：设直角三角形中两个锐角分别为A和B。

已知斜边长为12cm，角A的正切值为1.5。

对于角A：正切值(tan) = 对边/邻边 = a/b = 1.5设对边为a，邻边为b，则可以得到以下两个方程：a^2 + b^2 = 12^2a/b = 1.5从第二个方程可以得到：a = 1.5b将a的值代入第一个方程中，得到：(1.5b)^2 + b^2 = 1442.25b^2 + b^2 = 1443.25b^2 = 144b^2 = 144/3.25b^2 = 44.3077b ≈ 6.648由于b是邻边，所以b ≈ 6.648cm，a ≈ 1.5 * 6.648 ≈ 9.972cm。

因此，三角形的对边和邻边分别为9.972cm和6.648cm。

对于角A：正弦值(sin) = 对边/斜边≈ 9.972/12 ≈ 0.831余弦值(cos) = 邻边/斜边≈ 6.648/12 ≈ 0.554正切值(tan) = 对边/邻边≈ 9.972/6.648 ≈ 1.5对于角B：正弦值(sin) = 对边/斜边≈ 6.648/12 ≈ 0.554余弦值(cos) = 邻边/斜边≈ 9.972/12 ≈ 0.831正切值(tan) = 对边/邻边≈ 6.648/9.972 ≈ 0.667因此，角A的正弦值约为0.831，余弦值约为0.554，正切值约为1.5；角B的正弦值约为0.554，余弦值约为0.831，正切值约为0.667。

三角形的认识大题专练(分层培优解答30题,七下苏科)七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】

2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.2三角形的认识大题专练（分层培优解答30题，七下苏科）A卷基础过关卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）1．（2021春•广陵区校级期中）已知a、b、c是一个三角形的三条边长，则化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果是多少？2．（2020春•相城区期中）若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|．3．（2019春•大丰区期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE 交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？4．（2022春•盱眙县期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠BAC＝90°．试求：（1）△ABE的面积；（2）AD的长度．5．（2022春•姜堰区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上．（1）利用网格画直线CD，使CD⊥AB，且点D在格点上，并标出所有符合条件的格点D；（2）在（1）的条件下，连接AD、BD，求△ABD的面积．6．（2022春•高港区校级月考）已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣8|．7．（2022春•锡山区校级月考）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c0，b﹣a﹣c0，c+b﹣a0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．8．（2022春•亭湖区校级月考）如图，AD、AE、AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．（1）若S△ABC＝20，CF＝4，求AD的长．（2）若∠C＝70°，∠B＝26°，求∠DAE的度数．9．（2022春•泗阳县月考）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时，若AE＝6，△ABC的面积为30，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数．10．（2022春•阜宁县期中）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．（1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？（2）试说明CD是△ABC的高．B卷能力提升卷（限时60分钟，每题10分，满分100分）11．（2022春•东台市月考）如图，已知△ABC的周长为24cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD 的周长为16cm，求AC的长．12．（2019春•锡山区期中）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC ＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．13．（2022春•鼓楼区期末）如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．14．（2022春•秦淮区期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．15．（2020春•姜堰区期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时．若AE＝4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C＝65°，∠B＝35°，求∠DAE的度数；②若∠C﹣∠B＝20°，则∠DAE＝°．16．如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D．（1）试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系；（2）试探究AB+AC与PB+PC的大小关系．17．如图，已知D、E是△ABC内的两点，问AB+AC＞BD+DE+EC成立吗？请说明理由．18．如图，已知O是△ABC内的一点，试说明：（1）OB+OC＜AB+AC；（2）OA+OB+OC＞（AB+BC+AC）．19．（2021秋•铁东区校级月考）如图，AD为△ABC中BC边上的中线（AB＞AC）（1）求证：AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；（2）若AB＝8cm，AC＝5cm，求AD的取值范围．20．（2022秋•乌鲁木齐县月考）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设△ABC的周长是x．（1）求c与x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数，试判断△ABC的形状．C卷培优压轴卷（限时70分钟，每题10分，满分100分）21．（2022春•宝应县校级月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．22．（2020春•如东县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，AB＝20cm，若动点P从点C开始按沿C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动时间为t秒．（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，t的值为多少？（2）当t＝8时，求CP把△ABC分成的两部分面积之比．23．（2019春•无锡期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，点F在CD上．（1）若∠AED＝∠ACB，∠DEF＝∠B，求证：EF∥AB；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD的中点，连接BF，若四边形BDEF的面积为6，试求△ABC的面积．24．（2019秋•江阴市期中）如图，P是长方形ABCD内一点，三角形ABP的面积为a．（1）若长方形ABCD的面积为m，则三角形CPD的面积为；（用含m、a的代数式表示）（2）若三角形BPC的面积为b（b＞a），则三角形BPD的面积为．（用含a、b的代数式表示）25．（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．（1）当t＝时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？（2）当t＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，△BCP的面积为18cm2？26．（2022秋•西城区校级期中）已知△ABC（如图），按下列要求画图：（1）△ABC的中线AD；（2）△ABD的角平分线DM；（3）△ACD的高线CN；（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝．27．（2020春•张家港市期末）如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．（1）求证：ED∥BC；（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．①求△ABC的面积；②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．28．（2020春•姑苏区期中）【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝（用含a的代数式表示）．【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积．【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为．29．（2021秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；（2）当t＝5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC＝；（3）当t为何值时，△BPC的面积为18．30．（2022春•沭阳县月考）如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E．（1）求∠ACB的度数；（2）试说明∠CEF＝∠CFE；（3）若AC＝3CE，AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S＝60，则S△CEF﹣S△BDF＝（仅填结果）．△ABC。

北师大版七年级下等角三角形难题

___版七年级下等角三角形难题等角三角形是指三个角相等的三角形。

在___版七年级下的数学教材中，有一些关于等角三角形的难题。

以下是一些例题和解答：1.例题。

若三角形ABC中的角A、角B和角C都等于60°，则该三角形是等边三角形吗？1.例题。

若三角形ABC中的角A、角B和角C都等于60°，则该三角形是等边三角形吗？解答。

是的，当三角形的三个角都等于60°时，该三角形一定是等边三角形。

因为等边三角形的每个角都等于60°。

解答。

是的，当三角形的三个角都等于60°时，该三角形一定是等边三角形。

因为等边三角形的每个角都等于60°。

2.例题。

已知等角三角形PQR中的边PR和边RQ的长度分别为3cm和4cm，求边PQ的长度。

2.例题。

已知等角三角形PQR中的边PR和边RQ的长度分别为3cm和4cm，求边PQ的长度。

2.例题。

已知等角三角形PQR中的边PR和边RQ的长度分别为3cm 和4cm，求边PQ的长度。

解答。

因为等角三角形的三个角相等，所以角P、角Q和角R 的度数都相等，可以推导出角P、角Q和角R都等于60°。

由三角形的正弦定理可得：解答。

因为等角三角形的三个角相等，所以角P、角Q和角R的度数都相等，可以推导出角P、角Q和角R都等于60°。

由三角形的正弦定理可得：PQ / sinP = PR / sinRPQ / sin60° = 3 / sin60°PQ = 3 * sin60° / sin60°PQ = 3所以边PQ的长度为3cm。

3.例题。

在等角三角形XYZ中，边XY的长度为5cm，边XZ 的长度为7cm，若角X的度数为60°，求边YZ的长度。

3.例题。

在等角三角形XYZ中，边XY的长度为5cm，边XZ的长度为7cm，若角X的度数为60°，求边YZ的长度。

三角形等量代换数学题

三角形等量代换数学题
摘要：
一、三角形等量代换的定义和基本概念
二、三角形等量代换的解题方法和步骤
三、三角形等量代换在数学中的应用
四、三角形等量代换与相似三角形的联系
五、总结和展望
正文：
一、三角形等量代换的定义和基本概念
三角形等量代换是数学中一种基本的代换方法，它是指在三角形中，通过等量加减等量或等量乘除等量，使得两个三角形达到全等的状态。

这种方法常常用于解决一些复杂的数学问题，如证明两个三角形全等或求解三角形的边长等。

二、三角形等量代换的解题方法和步骤
三角形等量代换的解题方法通常包括以下几个步骤：
1.观察和分析题目中给出的三角形，找出可以进行等量代换的部分。

2.根据等量代换的定义，进行等量加减或等量乘除，使得两个三角形达到全等的状态。

3.利用全等三角形的性质，求解题目中要求的问题。

三、三角形等量代换在数学中的应用
三角形等量代换在数学中有着广泛的应用，它常常用于解决以下问题：
1.证明两个三角形全等。

2.求解三角形的边长和角度。

3.解决与三角形相似相关的问题。

四、三角形等量代换与相似三角形的联系
三角形等量代换与相似三角形有着密切的联系，因为相似三角形就是通过等量代换使得两个三角形的边长成比例，从而达到全等的状态。

因此，三角形等量代换是相似三角形的基础，相似三角形是三角形等量代换的推广和应用。

五、总结和展望
三角形等量代换是数学中一种基本的代换方法，它在解决复杂的数学问题中有着广泛的应用。

通过掌握三角形等量代换的定义和基本概念，以及解题方法和步骤，我们可以更好地理解和解决数学中的相关问题。

三角形等量代换数学题

三角形等量代换数学题摘要：一、三角形等量代换数学题的概念与意义1.三角形等量代换的定义2.在数学中的重要性二、三角形等量代换数学题的解题方法1.传统解法2.基于等量代换的解法3.两种解法的比较与优劣三、三角形等量代换数学题的应用实例1.在几何学中的应用2.在物理学中的应用3.在工程学中的应用四、对三角形等量代换数学题的深入研究1.相关定理与性质2.与其他数学概念的联系五、结论正文：三角形等量代换数学题是数学领域中一种十分重要且常见的题目类型。

它主要涉及到三角形的相关概念，如边长、角度、面积等，要求通过等量代换的方式，求解未知量。

此类题目在几何学、物理学以及工程学等领域中都有着广泛的应用。

对于三角形等量代换数学题的解题方法，通常有两种：传统解法和基于等量代换的解法。

传统解法主要包括使用三角形相似、全等等性质，通过逐步推导，最终求解未知量。

而基于等量代换的解法则更为直接，它通过将已知量代入三角形中，利用三角形内角和、面积公式等直接求解未知量。

相比之下，基于等量代换的解法更为简便快捷，适用于大多数题目。

在实际应用中，三角形等量代换数学题涉及到的领域非常广泛。

例如，在几何学中，它常常被用来证明一些定理，或求解复杂图形的性质；在物理学中，它常常被用来求解力学问题，如求解受力平衡的物体形状；在工程学中，它常常被用来设计建筑物的结构，以满足各种受力要求。

对三角形等量代换数学题的深入研究，我们不仅可以发现许多有趣的定理和性质，如角平分线定理、梅涅劳斯定理等，还可以将它与其他许多数学概念联系起来，如向量、矩阵等。

这将进一步丰富我们的数学知识体系。

总的来说，三角形等量代换数学题是一种十分重要且有趣的题目类型。

七年级三角形难题突破解析

七年级三⾓形难题突破解析七年级三⾓形难题突破⼀．解答题（共19⼩题）1．（2015?黄冈模拟）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同⼀直线上，连接BD．求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．2．（2015?武汉模拟）如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD，∠ABC=∠ABD．点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF．求证：AE=AF．3．（2015春?铜陵校级⽉考）如图，已知BD为△ABC的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD于F．于是⼩⽩说：“BE+BF=2BD”．你认为他的判断对吗？为什么？4．（2014?南京）【问题提出】学习了三⾓形全等的判定⽅法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直⾓三⾓形全等的判定⽅法（即“HL”）后，我们继续对“两个三⾓形满⾜两边和其中⼀边的对⾓对应相等”的情形进⾏研究．【初步思考】我们不妨将问题⽤符号语⾔表⽰为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进⾏分类，可分为“∠B 是直⾓、钝⾓、锐⾓”三种情况进⾏探究．【深⼊探究】第⼀种情况：当∠B是直⾓时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第⼆种情况：当∠B是钝⾓时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝⾓，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐⾓时，△ABC和△DEF不⼀定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐⾓，请你⽤尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满⾜什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐⾓，若，则△ABC≌△DEF．5．（2014?泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F 是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．6．（2014?苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针⽅向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．7．（2014?⾃贡）如图，四边形ABCD是正⽅形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的⼤⼩．8．（2014?重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂⾜是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有⼀点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取⼀点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．9．（2014?德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD 上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．⼩王同学探究此问题的⽅法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成⽴，并说明理由；实际应⽤：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中⼼（O处）北偏西30°的A处，舰艇⼄在指挥中⼼南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中⼼的距离相等，接到⾏动指令后，舰艇甲向正东⽅向以60海⾥/⼩时的速度前进，舰艇⼄沿北偏东50°的⽅向以80海⾥/⼩时的速度前进.1.5⼩时后，指挥中⼼观测到甲、⼄两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹⾓为70°，试求此时两舰艇之间的距离．10．（2014?内江）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．11．（2014?福⽥区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB⾄点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直⾓边作等腰三⾓形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AB=3cm，则BE=cm．（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．12．（2014?汕尾校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．13．（2014?长春模拟）探索与证明：（1）如图1，直线m经过正三⾓形ABC的顶点A，在直线m上取两点D，E，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满⾜的数量关系，并予以证明；（2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针⽅向旋转⼀个⾓度到如图2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满⾜的数量关系，并予以证明．14．（2014?怀柔区⼀模）问题：在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠B的平分线，探究AD、BD、BC之间的数量关系．请你完成下列探究过程：（1）观察图形，猜想AD、BD、BC之间的数量关系为．（2）在对（1）中的猜想进⾏证明时，当推出∠ABC=∠C=40°后，可进⼀步推出∠ABD=∠DBC=度．（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，⼩强同学提供了⼀种探究的思路：在BC上截取BE=BD，连接DE，在此基础上继续推理可使问题得到解决．你可以参考⼩强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明．也可以选⽤其它的⽅法证明你的猜想．15．（2014?市中区⼀模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的⼀点，BD=BC．过D作AB的垂线交AC于点E，CD 交BE于点F．求证：BE⊥CD．16．（2014?江西模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF．17．（2013?烟台）已知，点P是直⾓三⾓形ABC斜边AB上⼀动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂⾜分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成⽴？请画出图形并给予证明．18．（2009?本溪）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上⼀点（不与B、C重合），以AD为⼀边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．19．（2012?青海）请阅读，完成证明和填空．九年级数学兴趣⼩组在学校的“数学长廊”中兴奋地展⽰了他们⼩组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三⾓形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．（2）如图2，正⽅形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=，且∠DON=度．（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=，且∠EON=度．（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请⼤胆猜测，⽤⼀句话概括你的发现：．七年级三⾓形难题突破参考答案与试题解析⼀．解答题（共19⼩题）1．（2015?黄冈模拟）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同⼀直线上，连接BD．求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．考点：全等三⾓形的判定与性质．专题：证明题；探究型．分析：要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹⾓∠BAD=∠CAE，⽽由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这⽅⾯努⼒．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直⾓三⾓形提供．解答：（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD即∠BAD=∠CAE，⼜∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB=∠E．∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．点评：本题考查了全等三⾓形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲⽅可．做题时，有时需要先猜后证．2．（2015?武汉模拟）如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD，∠ABC=∠ABD．点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF．求证：AE=AF．考点：全等三⾓形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据BC=BD，以及中点的定义证得BE=BF，然后利⽤SAS即可证得△ABE≌△ABF，然后根据全等三⾓形的对应边相等即可证得．解答：证明：∵BC=BD，点E为BC中点，点F为BD中点，∴BE=BF，∵在△ABE和△ABF中，，∴△ABE≌△ABF（SAS），∴AE=AF．点评：本题考查全等三⾓形的判定与性质，证明线段相等的常⽤⽅法就是转化为证明三⾓形全等．3．（2015春?铜陵校级⽉考）如图，已知BD为△ABC的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD于F．于是⼩⽩说：“BE+BF=2BD”．你认为他的判断对吗？为什么？考点：全等三⾓形的判定与性质．分析：根据BD是中线得AD=CD，再根据CE⊥BD，AF⊥BD可以得到∠F=∠CED=90°，然后证明△AFD和△CED全等，再根据全等三⾓形对应边相等得DE=DE，再根据线段的和差关系即可证明．解答：解：对．理由如下：∵BD为△ABC的中线，∴AD=CD，∵CE⊥BD于E，AF⊥BD于F，∴∠F=∠CED=90°，在△AFD和△CED中，，∴△AFD≌△CED（AAS），∴DE=DF，∵BE+BF=（BD﹣DE）+（BD+DF），∴BE+BF=2BD．点评：本题主要考查全等三⾓形的判定和全等三⾓形对应边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．4．（2014?南京）【问题提出】学习了三⾓形全等的判定⽅法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直⾓三⾓形全等的判定⽅法（即“HL”）后，我们继续对“两个三⾓形满⾜两边和其中⼀边的对⾓对应相等”的情形进⾏研究．【初步思考】我们不妨将问题⽤符号语⾔表⽰为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进⾏分类，可分为“∠B是直⾓、钝⾓、锐⾓”三种情况进⾏探究．【深⼊探究】第⼀种情况：当∠B是直⾓时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第⼆种情况：当∠B是钝⾓时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝⾓，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐⾓时，△ABC和△DEF不⼀定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐⾓，请你⽤尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满⾜什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐⾓，若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．考点：全等三⾓形的判定与性质；作图—应⽤与设计作图．专题：压轴题；探究型．分析：（1）根据直⾓三⾓形全等的⽅法“HL”证明；（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等⾓的补⾓相等求出∠CBG=∠FEH，再利⽤“⾓⾓边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三⾓形对应边相等可得CG=FH，再利⽤“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三⾓形对应⾓相等可得∠A=∠D，然后利⽤“⾓⾓边”证明△ABC和△DEF全等；（3）以点C为圆⼼，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；（4）根据三种情况结论，∠B不⼩于∠A即可．解答：（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝⾓，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．点评：本题考查了全等三⾓形的判定与性质，应⽤与设计作图，熟练掌握三⾓形全等的判定⽅法是解题的关键，阅读量较⼤，审题要认真仔细．5．（2014?泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．考点：全等三⾓形的判定与性质；等腰直⾓三⾓形．专题：⼏何综合题．分析：（1）根据等腰直⾓三⾓形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进⽽利⽤全等三⾓形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平⾏线的判定得出答案．解答：（1）证明：∵△ADE是等腰直⾓三⾓形，F是AE中点，∴DF⊥AE，DF=AF=EF，⼜∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF，在△DFC和△AFM中，，∴△DFC≌△AFM（AAS），∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM；（2）AD⊥MC，理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC．点评：此题主要考查了全等三⾓形的判定与性质以及等腰直⾓三⾓形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键．6．（2014?苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针⽅向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．考点：全等三⾓形的判定与性质；旋转的性质．专题：⼏何综合题．分析：（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同⾓的余⾓相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三⾓形的判定⽅法即可证明△BCD≌△FCE；（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进⽽可求出∠BDC的度数．解答：（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针⽅向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．点评：本题考查了全等三⾓形的判定和性质、同⾓的余⾓相等、旋转的性质、平⾏线的性质，全等三⾓形的判定是结合全等三⾓形的性质证明线段和⾓相等的重要⼯具．在判定三⾓形全等时，关键是选择恰当的判定条件．7．（2014?⾃贡）如图，四边形ABCD是正⽅形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的⼤⼩．考点：全等三⾓形的判定与性质；等腰直⾓三⾓形；正⽅形的性质．专题：⼏何综合题．分析：（1）利⽤△AEB≌△CFB来求证AE=CF．（2）利⽤⾓的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正⽅形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）解：∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，⼜∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD是正⽅形，∴∠ABC=90°，⼜∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．点评：本题主要考查了正⽅形，三⾓形全等判定和性质及等腰三⾓形，解题的关键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段．8．（2014?重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂⾜是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有⼀点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取⼀点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．考点：全等三⾓形的判定与性质；⾓平分线的性质；等腰直⾓三⾓形．专题：证明题；⼏何综合题．分析：（1）根据等腰直⾓三⾓形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从⽽得到∠B=∠ACF，根据同⾓的余⾓相等求出∠BAE=∠CAF，然后利⽤“⾓边⾓”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三⾓形对应边相等证明即可；（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直⾓三⾓形，然后求出HE=BH，再根据⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从⽽得到△HEM是等腰直⾓三⾓形，再根据等腰直⾓三⾓形的性质求解即可；②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等⾓对等边可得AC=CE，再利⽤“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根据全等三⾓形对应⾓相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，从⽽求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直⾓三⾓形的性质可得AD=CD，再利⽤“⾓边⾓”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三⾓形对应边相等证明即可．解答：证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直⾓三⾓形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直⾓三⾓形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°，⼜∵∠DAE=×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=CD=BC，在△ADE和△CDN中，，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN．点评：本题考查了全等三⾓形的判定与性质，等腰直⾓三⾓形的判定与性质，⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直⾓三⾓形和全等三⾓形是解题的关键，难点在于最后⼀问根据⾓的度数得到相等的⾓．9．（2014?德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．⼩王同学探究此问题的⽅法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成⽴，并说明理由；实际应⽤：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中⼼（O处）北偏西30°的A处，舰艇⼄在指挥中⼼南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中⼼的距离相等，接到⾏动指令后，舰艇甲向正东⽅向以60海⾥/⼩时的速度前进，舰艇⼄沿北偏东50°的⽅向以80海⾥/⼩时的速度前进.1.5⼩时后，指挥中⼼观测到甲、⼄两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹⾓为70°，试求此时两舰艇之间的距离．考点：全等三⾓形的判定与性质．专题：压轴题；探究型．分析：问题背景：根据全等三⾓形对应边相等解答；探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同⾓的补⾓相等求出∠B=∠ADG，然后利⽤“边⾓边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三⾓形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利⽤“边⾓边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三⾓形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；实际应⽤：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF=∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．解答：解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成⽴．证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；实际应⽤：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，⼜∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成⽴，即EF=1.5×（60+80）=210海⾥．答：此时两舰艇之间的距离是210海⾥．点评：本题考查了全等三⾓形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三⾓形并两次证明三⾓形全等是解题的关键，也是本题的难点．10．（2014?内江）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．考点：全等三⾓形的判定与性质；多边形内⾓与外⾓．专题：⼏何综合题．分析：（1）利⽤正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利⽤全等三⾓形的判定得出即可；（2）利⽤全等三⾓形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进⽽得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案．解答：（1）证明：∵正五边形ABCDE，∴AB=BC，∠ABM=∠C，∴在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCN（SAS）；（2）解：∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠BAM+∠ABP=∠APN，∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．即∠APN的度数为108°．。

难点解析冀教版七年级数学下册第九章三角形重点解析试卷(含答案详解)

冀教版七年级数学下册第九章三角形重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外面时，此时测得∠1=112°，∠A=40°，则∠2的度数为（）A．32°B．33°C．34°D．38°2、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3 4 8 B．4 4 10 C．5 6 10 D．5 6 113、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A ．BE 是△ABD 的中线B ．BD 是△BCE 的角平分线C ．∠1＝∠2＝∠3D ．S △AEB ＝S △EDB4、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．3，6，9B ．5，6，8C ．1，2，4D ．5，6，155、如图，点B 、G 、C 在直线FE 上，点D 在线段AC 上，下列是△ADB 的外角的是（）A ．∠FBAB ．∠DBC C ．∠CDBD ．∠BDG6、以下长度的线段能和长度为2，6的线段组成三角形的是（）A ．2B ．4C ．6D ．97、如图，将一个含有30°角的直角三角板放置在两条平行线a ，b 上，若1115∠=︒，则2∠的度数为（）A ．85°B ．75°C ．55°D ．95°8、下列各组线段中，能构成三角形的是（）A ．2、4、7B ．4、5、9C ．5、8、10D ．1、3、69、如图，将ABC 的BC 边对折，使点B 与点C 重合，DE 为折痕，若65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，则B ∠=（）．A ．45°B ．60°C ．35°D ．40°10、如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论不正确的是（）A ．12∠=∠B ．1B ∠=∠C ．2D ∠>∠ D ．A D B C ∠+∠=∠+∠第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ．若∠A ＝70°，∠B ＝50°，则∠ADC ＝_____度．2、如图，ABC ADC ∠=∠，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，连接CE ，AF 交CD 的延长线于点F ，180BCD AEB DAF ∠+∠+∠=︒，若3ECD F ∠=∠，80BEC ∠=︒，则CED ∠的度数为______．3、如图，1AP 为△ABC 的中线，2AP 为△1APC 的中线，3AP 为△2AP C 的中线，……按此规律，n AP 为△1n AP C -的中线．若△ABC 的面积为8，则△n AP C 的面积为_______________．4、如图，AE CF ∥，ACF ∠的平分线交AE 于点B ，G 是CF 上的一点，GBE ∠的平分线交CF 于点D ，且BD BC ⊥，下列结论：①BC 平分ABG ∠；②∥AC BG ；③与DBE ∠互余的角有2个；④若A α∠=，则1808BDF α∠=︒-．其中正确的是________．（请把正确结论的序号都填上）5、不等边△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是_________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，ABC 中，AE 是角平分线，且52B ∠=︒，78C ∠=︒，求BAE ∠的度数．2、如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 平分ACB ∠，若20CAD ∠=︒，50B ∠=︒，求AEC ∠的度数．3、已知，△ABC 中，∠C ＞∠B ，AE 平分∠BAC ，M 是AE 上一点，MN ⊥BC 于N ．(1)如图①，当点M 与A 重合时，若∠B ＝40°，∠C ＝80°，求∠EMN 的度数；(2)如图②，当点M 在线段AE 上（不与A ，E 重合），用等式表示∠EMN 与∠B ，∠C 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图③，当点M 在线段AE 的延长线上，连接MC ，过点A 做MC 的垂线，交MC 的延长线于点F ，交BC 的延长线上于点D ．①依题意补全图形；②若∠B ＝α°，∠ACB ＝β°，∠D ＝γ°，则∠AMC ＝ °．（用含α，β，γ的式子表示）4、完成下面推理填空：如图，已知：AD BC ⊥于D ，EG BC ⊥于G ，1E ∠=∠．求证：AD 平分BAC ∠．解：∵AD BC ⊥于D ，EG BC ⊥（已知），∴90ADC EGC ∠=∠=︒（____①_____），∴EG AD∥（同位角相等，两直线平行），∴_____②___（两直线平行，同位角相等）∠1＝∠2（____③_____），又∵1∠=∠（已知），E∴∠2＝∠3（_____④______），∴AD平分BAC∠（角平分线的定义）．5、阅读填空，将三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C，我们来研究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB= 度，∠ABP+∠ACP= 度．（2）类比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的关系是．（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】由折叠的性质可知40A A '∠=∠=︒，再由三角形外角的性质即可求出DFA ∠的大小，再次利用三角形外角的性质即可求出2∠的大小．【详解】如图，设线段AC 和线段A D '交于点F ．由折叠的性质可知40A A '∠=∠=︒．∵1A DFA ∠=∠+∠，即11240DFA ︒=︒+∠，∴72DFA ∠=︒．∵2DFA A '∠=∠+∠，即72240︒=∠+︒，∴232∠=︒．故选A ．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．2、C【解析】【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断求解即可．【详解】解：A．∵3+4＜8，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；B．∵4+4＜10，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；C．∵5+6＞10，∴能组成三角形，故本选项符合题意；D．∵5+6=11，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题的关键．3、C【解析】【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C、∵BD平分∠EBC，∴∠2＝∠3，但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；D、∵S△AEB＝12×AE×BC，S△EDB＝12×DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．4、B【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行解答即可得．【详解】解：根据三角形的三边关系，得A、3+6＝9，不能组成三角形，选项说法错误，不符合题意；B、6+5＝11＞8，能组成三角形，选项说法正确，符合题意；C、1+2＝3＜4，不能够组成三角形，选项说法错误，不符合题意；D、5+6＝11＜15，不能够组成三角形，选项说法错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了构成三角形的条件，解题的关键是掌握三角形的三边关系．5、C【解析】【分析】根据三角形的外角的概念解答即可．【详解】解：A.∠FBA 是△ABC 的外角，故不符合题意；B. ∠DBC 不是任何三角形的外角，故不符合题意；C.∠CDB 是∠ADB 的外角，符合题意；D. ∠BDG 不是任何三角形的外角，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形的外角的概念，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．6、C【解析】【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐项分析判断即可．【详解】解：设第三边的长为a ，已知长度为2，6的线段，根据三角形的三边关系可得，6262a -<<+，即48a <<，根据选项可得6a =∴6a =【点睛】本题考查了构成三角形的条件，掌握三角形三边关系是解题的关键．7、A【解析】【分析】由平行线的性质，得31115∠=∠=︒，然后由三角形外角的性质，即可求出答案．【详解】解：由题意，如图，a b，∵//∴31115∠=∠=︒，∠=∠+︒，∵3230∠=︒-︒=︒；∴21153085故选：A【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出3115∠=︒．8、C【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．A 、247+<，不能构成三角形，此项不符题意；B 、459+=，不能构成三角形，此项不符题意；C 、5810+>，能构成三角形，此项符合题意；D 、136+<，不能构成三角形，此项不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．9、A【解析】【分析】由折叠得到∠B =∠BCD ，根据三角形的内角和得∠A +∠B +∠ACB =180°，代入度数计算即可．【详解】解：由折叠得∠B =∠BCD ，∵∠A +∠B +∠ACB =180°，65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，∴65°+2∠B +25°=180°，∴∠B =45°，故选：A ．此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．10、B【解析】【分析】根据两直线相交对顶角相等、三角形角的外角性质即可确定答案．【详解】解：选项A、∵∠1与∠2互为对顶角，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；选项B、∵∠1＝∠B+∠C，∴∠1＞∠B，故选项B符合题意；选项C、∵∠2＝∠D+∠A，∴∠2＞∠D，故选项C不符合题意；∠+∠=∠+∠，故选项D不符合题意；选项D、∵1A D∠+∠=∠，1∠+∠=∠，∴A D B CB C故选：B．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质、平行线的性质和三角形内角和、外角的性质，能熟记对顶角的性质是解此题的关键．二、填空题1、80【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠BCA=180°-∠A-∠B=60°，再根据角平分线的概念，得∠ACD=12∠BCA=30°，最后根据三角形ADC的内角和来求∠ADC度数．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，∴∠BCA =180°-∠B -∠C =60°；又∵CD 平分∠BCA ，∴∠DCA =12∠BCA =30°，∴∠ADC =180°-70°-30°=80°．故答案为：80．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的概念．解题的关键是找到已知角与所求角之间的数量关系．2、80°##80度【解析】【分析】先根据AB CD ∥，ABC ADC ∠=∠，得出180ADC BCD ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，可证AD∥BC ，再证∠BAD =∠BCD ，得出∠AEB =∠F ，然后证∠ABC =2∠CBE =2∠F ，得出∠ADC =2∠F ，利用三角形内角和得出∠CED =180°-∠EDC -∠ECD =180°-2∠F -3∠F =180°-5∠F ，根据平角得出∠AEB +∠CED =180°-∠BEC =180°-80°=100°，列方程∠F +180°-5∠F =100°求出∠F =20°即可．【详解】解：∵AB CD ∥，∴∠ABC +∠BCD =180°，∵ABC ADC ∠=∠∴180ADC BCD ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴AD∥BC ，∵AB CD ∥，∴∠BAD +∠ADC =180°，∠BAF +∠F =180°，∵∠ADC +∠BCD =180°，∴∠BAD =∠BCD ，∵180BCD AEB DAF ∠+∠+∠=︒，∴180BAD AEB DAF ∠+∠+∠=︒，∵∠BAF =∠BAD +∠DAF ，∴∠BAF +∠AEB =180°，∴∠AEB =∠F ，∵AD∥BC ，∴∠CBE =∠AEB ，∵BE 平分ABC ∠，∴∠ABC =2∠CBE =2∠F ，∴∠ADC =2∠F ，∵3ECD F ∠=∠，在△CED 中，∠CED =180°-∠EDC -∠ECD =180°-2∠F -3∠F =180°-5∠F ，∵80BEC ∠=︒，∴∠AEB +∠CED =180°-∠BEC =180°-80°=100°，∴∠F +180°-5∠F =100°，解得∠F =20°，∴18052018010080CED ∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒，故答案为80°．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和，角平分线定义，平角，解一元一次方程，掌握平行线的判定与性质，三角形内角和，角平分线定义，平角，解一元一次方程，关键是证出∠ADC =2∠F ．3、312n -【解析】【分析】根据三角形的中线性质，可得△1APC 的面积=182⨯，△2AP C 的面积=2182⨯，……，进而即可得到答案．【详解】由题意得：△1APC 的面积=182⨯，△2AP C 的面积=2182⨯，……，△n AP C 的面积=182n ⨯=312n -．故答案是：312n -．【点睛】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分，是解题的关键．4、①②【解析】【分析】由BD ⊥BC 及BD 平分∠GBE ，可判断①正确；由CB 平分∠ACF 、AE ∥CF 及①的结论可判断②正确；由前两个的结论可对③作出判断；由AE ∥CF 及AC ∥BG 、三角形外角的性质可求得∠BDF ，从而可对④作出判断．【详解】∵BD 平分∠GBE∴∠EBD =∠GBD =12∠GBE∵BD ⊥BC∴∠GBD +∠GBC =∠CBD =90°∴∠DBE+∠ABC=90°∴∠GBC=∠ABC∴BC平分∠ABG故①正确∵CB平分∠ACF∴∠ACB=∠GCB∵AE∥CF∴∠ABC=∠GCB∴∠ACB=∠GCB=∠ABC=∠GBC∴AC∥BG故②正确∵∠DBE+∠ABC=90°，∠ACB=∠GCB=∠ABC=∠GBC ∴与∠DBE互余的角共有4个故③错误∵AC∥BG，∠A=α∴∠GBE=α∴12 GBDα∠=∵AE∥CF∴∠BGD=180°－∠GBE=180°−α∴∠BDF=∠GBD+∠BGD=1+18018022ααα︒-=︒-故④错误即正确的结论有①②故答案为：①②【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，互余概念，垂直的定义，角平分线的性质等知识，掌握这些知识并正确运用是关键．5、5【解析】【分析】根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值．【详解】解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设△ABC的两边长为3x，x；因为3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x，因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x，因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长，S＝12×第三边的长×高，6x＞12×2x×高，6x＜12×4x×高，∴6＞高＞3，∵是不等边三角形，且高为整数，∴高的最大值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形三边关系及三角形的面积，难度较大，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边差小于第三边．三、解答题1、25°【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠CAB，再根据角平分线的性质求出∠BAE即可．【详解】解：∵∠B＝52°，∠C＝78°，∴∠BAC＝180°-52°-78°=50°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝12∠BAC＝12×50°＝25°．【点睛】本题考查了角的平分线的性质、三角形的内角和定理，熟记三角形内角和为180°是解本题的关键．2、85°【解析】【分析】由高的定义可得出∠ADB＝∠ADC＝90，在△ACD中利用三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，结合CE平分∠ACB可求出∠ECB的度数．由三角形外角的性质可求出∠AEC的度数，【详解】解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90．在△ACD中，∠ACB＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣20°＝70°．∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝12∠ACB＝35°．∵∠AEC是△BEC的外角，50B∠=︒，∴∠AEC＝∠B+∠ECB＝50°+35°＝85°．答：∠AEC的度数是85°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，利用三角形内角和定理及角平分线的性质，求出∠ECB的度数是解题的关键．3、（1）20EMN︒∠=；（2）1()2N BEM C∠=∠-∠，见解析；（3）①见解析；②1122AMCγβα=-+∠【解析】【分析】（1）根据三角形内角和求出∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．根据AE平分∠BAC，∠CAE＝12∠BAC＝30°，利用三角形内角和∠C＝80°，∠MNC＝90°，得出∠CMN＝10°即可；(2)∠EMN＝12(∠C－∠B)；证法1:如图，作AD⊥BC于D．根据AE平分∠BAC，可得∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)．根据AD BC⊥，Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，得出∠EAD＝∠EAC－∠DAC=12(∠C－∠B)．根据AD⊥BC，MN⊥BC，可得AD//MN，得出∠EMN＝∠EAD＝12(∠C－∠B)．证法2:根据 AE平分∠BAC，得出∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)，根据三角形内角和得出∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－12(∠C－∠B)即可；(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D，如图；②∠AMC＝1122γβα-+．过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，可得MN∥AG，得出∠NME=∠GAE=12（∠ACB-∠B），根据MC⊥AD，得出∠CFD=∠CNM=90°，可证∠NMC=∠D，根据两角差∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-12∠ACB+12∠B即可【详解】解:(1)∵∠B＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．又∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝12∠BAC＝30°，∵∠C＝80°，∠MNC＝90°，∴∠CMN＝10°，∴∠EMN＝∠CAE－∠CM N＝30°－10°＝20°；(2)∠EMN＝12(∠C－∠B)．…证法1:如图，作AD⊥BC于D．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)．∵AD BC，∴Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝12(180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝12(∠C－∠B)．∵AD⊥BC，MN⊥BC，∴AD//MN，∴∠EMN＝∠EAD＝12(∠C－∠B)．证法2:∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)，∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－12(∠C－∠B)，∴∠EMN＝90°－∠AEC＝12(∠C－∠B)．(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．如图；②∠AMC＝1122γβα-+．过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，∴MN∥AG，∴∠NME=∠GAE=12（∠ACB-∠B），∵MC⊥AD，∴∠CFD=∠CNM=90°，∵∠FCD=∠NCM，∴∠NMC=180°-∠CNM-∠NCM=180°-∠CFD-∠FCD=∠D，∴∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-12∠ACB+12∠B，∵∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，∴∠AMC=γ°-12β°+12α°．【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，补全图形，垂线定义，掌握三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，作图语句，垂线定义是解题关键．4、垂直的定义；∠E=∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换【解析】【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．【详解】解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC（已知），∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），∴EG∥AD（同位角相等，两直线平行），∴∠E=∠3（两直线平行，同位角相等）∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），又∵∠E=∠1（已知），∴∠2=∠3（等量代换），∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．故答案为：垂直的定义；∠E=∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换．【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等，同位角相等．5、（1）90，40 ；（2）∠ABP+∠ACP+∠A=90°；（3）∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【解析】【分析】△和ABC中的角的关系即可．（1）由三角形内角和为180°计算BPC（2）由（1）所得即可得出∠ABP、∠ACP、∠A的关系为∠ABP+∠ACP+∠A=90°．（3）由三角形外角的性质即可推出∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【详解】△中（1）在BPC∵∠MPN=90°∴∠PBC+∠PCB=180°-∠MPN=180°-90°=90°在ABC中∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°又∵∠ABC=∠PBC+∠ABP，∠ACB=∠ACP+∠BCP∴∠A+∠PBC+∠ABP +∠ACP+∠BCP=180°∵∠PBC+∠PCB=90°，∠A=50°∴∠ABP +∠ACP=180°-90°-50°=40°（2）由（1）问可知∠A+∠PBC+∠ABP +∠ACP+∠BCP=180°又∵∠PBC+∠PCB=90°∴∠A+∠ABP +∠ACP=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°（3）如图所示，设PN与AB交于点H∵∠A+∠ACP=∠AHP又∵∠ABP+∠MPN=∠AHP∴∠A+∠ACP=∠ABP+∠MPN又∵∠MPN=90°∴∠A+∠ACP=90°+∠ABP∴∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【点睛】本题考查了三角形的性质以及三角尺的角度计算问题，三角板的角度分别为90°，45°，45°；90°，60°，30°两种直角三角尺，三角形内角和是180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．。

2022年强化训练冀教版七年级数学下册第九章三角形重点解析练习题(含详解)

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知三角形的两边长分别为2cm和3cm，则第三边长可能是（）A．6cm B．5cm C．3cm D．1cm2、如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（）A．3454a︒+B．2603a︒+C．3454a︒-D．2603a︒-3、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，7 4、三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100∠+∠=°，则3∠的度数为()A ．80︒B ．70︒C ．45︒D ．305、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 是AC 上两点，且AE ＝DE ，BD 平分∠EBC ，那么下列说法中不正确的是（）A ．BE 是△ABD 的中线B ．BD 是△BCE 的角平分线C ．∠1＝∠2＝∠3D ．S △AEB ＝S △EDB6、如图，AD BC ⊥于点D ，GC BC ⊥于点C ，CF AB ⊥于点F ，下列关于高的说法错误的是（）A ．在ABC 中，AD 是BC 边上的高B ．在GBC 中，CF 是BG 边上的高 C ．在ABC 中，GC 是BC 边上的高D ．在GBC 中，GC 是BC 边上的高7、如图，AB CD ∥，45A ∠=︒，30C ∠=︒，则E ∠的度数是（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°8、若三角形的两边a 、b 的长分别为3和4，则其第三边c 的取值范围是（）A ．3＜c ＜4B ．2≤c ≤6C ．1＜c ＜7D ．1≤c ≤79、如图，在ABC 中，AD 、AE 分别是边BC 上的中线与高，4AE =，CD 的长为5，则ABC 的面积为（）A ．8B ．10C ．20D ．4010、以下长度的三条线段，能组成三角形的是（）A ．2，3，5B ．4，4，8C ．3，4.8，7D ．3，5，9第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在△ABC 中，三边为a 、b 、c ，如果3a x =，4b x ，28c =，那么x 的取值范围是_____．2、已知ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，BC ＝a ，则a 的取值范围是 ___．3、如图，在△ABC 中，已知点D E F 、、分别为BC AD CE 、、的中点，若△ABC 的面积为24m ，则阴影部分的面积为 _________ 2cm4、在ABC 中，39AB AC ==，，则BC 的取值范围是_______．5、如图，在△ABC 中，D 是AC 延长线上一点，∠A ＝50°，∠B ＝70°，则∠BCD ＝__________°．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知，如图1，直线AB CD ∥，E 为直线AB 上方一点，连接ED BE 、，ED 与AB 交于P 点．(1)若110,70ABE CDE ∠=∠=︒︒，则E ∠=_________︒(2)如图1所示，作CDE ∠的平分线交AB 于点F ，点M 为CD 上一点，BFM ∠的平分线交CD 于点H ，过点H 作HG FH ⊥交FM 的延长线于点G ，GF BE ∥，且2320E DFH ∠=∠+︒，求EDF G ∠+∠的度数．(3)如图2，在（2）的条件下，25FDC ∠=︒，将FHG △绕点F 顺时针旋转，速度为每秒钟3︒，记旋转中的FHG △为FH G ''，同时FDE ∠绕着点D 顺时针旋转，速度为每秒钟5︒，记旋转中的FDE ∠为F DE ∠''，当FDE ∠旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t （秒），则当FH G ''其中一条边与F DE ∠''的边DF′互相垂直时，直接写出t 的值．2、已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，DF ∥AB ，DF 交AC 于点F ．求证：DA 平分∠EDF ．3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，射线AE 交BC 于点P ，∠BAE ＝15°；过点C 作CD ⊥AE 于点D ，连接BE ，过点E 作EF ∥BC 交DC 的延长线于点F ．（1）求∠F 的度数；（2）若∠ABE ＝75°，求证：BE ∥CF ．4、如图，在ABC 中，CD 为ABC 的高，AE 为ABC 的角平分线，CD 交AE 于点G ，50BCD ∠=︒，110BEA ∠=︒，求ACD ∠的大小．5、已知，如图，在ABC 中，点E ，F 分别为,AC AB 边上的动点，BE 和CF 相交于点D ，80A ∠=︒．（1）如果,BE CF 分别为,AC AB 上的高线时，求BDC ∠的度数；（2）如果,BE CF 分别平分,ABC ACB ∠∠时，求BDC ∠的度数．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：3-2＜x＜3+2，解得：1＜x＜5，只有C选项在范围内．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．2、A【解析】【分析】根据题意设,ABD ACD βθ∠=∠=，根据三角形内角和公式定理βθ+，进而表示出α，进而根据三角形内角和定理根据()1803BDC βθ∠=︒-+即可求解【详解】解：∵∠A ＝α，∠DBC ＝3∠DBA ，∠DCB ＝3∠DCA ，设,ABD ACD βθ∠=∠=，∴3,3DBC DCB βθ∠=∠=180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒即44180αβθ++=︒454αβθ∴+=︒-∴()1803BDC βθ∠=︒-+31803454544αα⎛⎫=︒-⨯︒-=︒+ ⎪⎝⎭ 故选A【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．3、C【解析】【分析】根据组成三角形的三边关系依次判断即可．【详解】A 、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．B 、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．C 、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4、A【解析】【分析】利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个60︒的角即可．【详解】⨯︒=︒，解：3180540⨯︒=︒，360180∴︒-︒-︒=︒，540180180180∴∠+∠+∠=︒，123180∠+∠=︒，12100∴∠=︒，380故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．5、C【解析】【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C、∵BD平分∠EBC，∴∠2＝∠3，但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；D、∵S△AEB＝12×AE×BC，S△EDB＝12×DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．6、C【解析】【详解】解：A、在ABC中，AD是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；B、在GBC中，CF是BG边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；C、在ABC中，GC不是BC边上的高，该说法错误，故本选项符合题意；D、在GBC中，GC是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高是解题的关键．7、B【解析】【分析】根据平行线的性质求出关于∠DOE ，然后根据外角的性质求解．【详解】解：∵AB ∥CD ，∠A ＝45°，∴∠A ＝∠DOE ＝45°，∵∠DOE ＝∠C +∠E ，又∵30C ∠=︒，∴∠E ＝∠DOE -∠C ＝15°．故选：B【点睛】本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系．掌握两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键．8、C【解析】【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解．【详解】解：∵三角形的两边a 、b 的长分别为3和4，∴其第三边c 的取值范围是4334c -<<+ ，即17c<<．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．9、C【解析】【分析】根据三角形中线的性质得出CB的长为10，再用三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵AD是边BC上的中线，CD的长为5，∴CB=2CD=10，ABC的面积为1110420 22BC AE⨯=⨯⨯=，故选：C．【点睛】本题考查了三角形中线的性质和面积公式，解题关键是明确中线的性质求出底边长．10、C【解析】【分析】由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可．【详解】解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；B 、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；C 、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；D 、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．注意掌握判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．二、填空题1、4＜x ＜28【解析】【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可；【详解】解：由题意得：34284328x x x x +>⎧⎨-<⎩ 解得：4＜x ＜28．故答案为：4＜x ＜28【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键．2、2＜a ＜12【解析】【分析】直接利用三角形三边关系得出a的取值范围．【详解】解：∵△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝a，∴7﹣5＜a＜7+5，即2＜a＜12．故答案为：2＜a＜12．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，做题的关键是掌握三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3、1【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝12S△ABD，S△ACE＝12S△ADC，∴S△ABE＋S△ACE＝12S△ABC＝12×4＝2cm2，∴S△BCE＝12S△ABC＝12×4＝2cm2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝12S△BCE＝12×2＝1cm2．故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．4、612BC <<【解析】【分析】由构成三角形的条件计算即可．【详解】∵ABC 中39AB AC ==，∴AC AB BC AC AB -<<+∴612BC <<．故答案为：612BC <<．【点睛】本题考查了由构成三角形的条件判断第三条边的取值范围，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．5、120【解析】【分析】根据三角形的外角性质，可得BCD A B ∠=∠+∠ ，即可求解．【详解】解：∵BCD ∠ 是ABC 的外角，∴BCD A B ∠=∠+∠ ，∵∠A ＝50°，∠B ＝70°，∴120BCD ∠=︒ ．故答案为：120【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．三、解答题1、 (1)40；(2)EDF G ∠+∠=70°；(3)t 的值为10．【解析】【分析】（1）根据平行线性质求出∠EPB =∠CDE =70°，根据∠ABE 是△BEP 的外角可求∠E =∠ABE -∠EPB =110°-70°=40°即可；（2）根据GF BE ∥，得出∠GFB =∠FBE ，∠HDF =∠PFD ，根据FH 平分BFM ∠，得出∠GFH =∠HFP ，可得∠GFB =2∠HFB =2∠HFD +2∠DFP ，根据DF 平分CDE ∠，得出∠FDH =∠FDE =∠PFD ，可得∠EPB =∠PDH =2∠PDF =2∠PFD ，根据∠EBF 为△EBP 的外角，可证∠E =2∠DFH ，根据2320E DFH ∠=∠+︒，解方程得出∠DFH =20°，根据HG FH ⊥，得出∠G +∠GFH =90°，得出∠G +∠PFD =90°-∠HFD =90°-20°=70°即可；（3）当25FDC ∠=︒时，∠HFP =∠HFD +∠DFP =45°，可得∠GFH =∠HFP =45°，∠G =45°，当FH G ''其中一条边与F DE ∠''的边DF′互相垂直，分三种情况当G′H′⊥DF′时，FH′交CD 与S ，FH′∥F′D ，∠CDF′=25°+5t ，∠FSC =45°+3°t ，列方程25°+5t =45°+3°t ，当GF ⊥F′D 时，GF 交CD 于R ，交DF′于Q ，∠HDF ′=25°+5t ，∠CRG =∠GFA =3t -90°，∠QRD +∠QDR =90°，列方程3t-90°+180°-(25+5t )=90°，当H′F ⊥DF ′，H′F 交CD 于U ，交DF′于V ，∠HDF′=25°+5°t ，∠CUF =∠AFH′=3°t -90°-45°，∠VUD +∠UDV =90°，列方程180°-（25°+5°t ）+3°t -90°-45°=90°即可．(1)解：∵AB CD ∥，70CDE ∠=︒，∵∠ABE 是△BEP 的外角，110ABE ∠=︒，∴∠E =∠ABE -∠EPB =110°-70°=40°，故答案为：40；(2)解：∵GF BE ∥，∴∠GFB =∠FBE ，∠HDF =∠PFD∵FH 平分BFM ∠，∴∠GFH =∠HFP ，∴∠GFB =2∠HFB =2∠HFD +2∠DFP∵DF 平分CDE ∠，∴∠FDH =∠FDE =∠PFD ，∴∠EPB =∠PDH =2∠PDF =2∠PFD∵∠EBF 为△EBP 的外角，∴∠EBF =∠E +∠EPB =∠E +2∠PFD ，∴2∠HFD +2∠DFP =∠E +2∠PFD ，∴∠E =2∠DFH ，∵2320E DFH ∠=∠+︒，∴∠DFH=20°，∵HG FH⊥，∴∠FHG=90°，∴∠G+∠GFH=90°，∴∠G+∠PFH=∠G+∠HFD+∠PFD=90°，∴∠G+∠PFD=90°-∠HFD=90°-20°-70°，∴EDF G∠+∠=70°；(3)当25∠=︒时，∠HFP=∠HFD+∠DFP=45°，FDC∴∠GFH=∠HFP=45°，∴∠G=45°，当FH G''其中一条边与F DE∠''的边DF′互相垂直，分三种情况，当G′H′⊥DF′时，FH′交CD与S，FH′∥F′D，∠FSC=∠CDF′，∠CDF′=25°+5t，∠FSC=45°+3°t，∴25°+5t=45°+3°t，解得t=10,当GF⊥F′D时，GF交CD于R，交DF′于Q，∠HDF′=25°+5t，∠CRG=∠GFA=3t-90°，∠QRD+∠QDR=90°即3t-90°+180°-(25+5t)=90°，解得t=-12.5＜0舍去，当H′F⊥DF′，H′F交CD于U，交DF′于V，∠HDF′=25°+5°t，∠CUF=∠AFH′=3°t-90°-45°，∵∠VUD+∠UDV=90°，∴180°-（25°+5°t）+3°t-90°-45°=90°，解得t=-35＜0舍去，综合t的值为10．【点睛】本题考查平行线性质，三角形外角性质，角平分线有关的计算，解一元一次方程，余角性质，直线垂直，图形旋转性质，掌握平行线性质，三角形外角性质，角平分线有关的计算，解一元一次方程，余角性质，直线垂直，图形旋转性质，根据余角性质列方程是解题关键．2、见解析【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠DAE=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠DAF，∠ADF=∠DAE，从而得解．【详解】解：∵DE∥AC，∴∠ADE=∠DAF，∵DF∥AB，∴∠ADF=∠DAE，又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，∴∠ADE=∠ADF．DA平分∠EDF．【点睛】本题综合考查了平行线和角平分线的性质，注意等量代换的应用．3、（1）30F ∠=︒；（2）证明见详解．．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，由各角之间的关系及三角形内角和定理可得30PCD ∠=︒，60PDC ∠=︒，最后由平行线的性质即可得出；（2）由题意及各角之间的关系可得30CBE ∠=︒，得出DCB CBE ∠=∠，利用平行线的判定定理即可证明．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，15BAE ∠=︒，AB AC =，∴75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，18015ACD ADC DAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴451530PCD PCA ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴180903060PDC ∠=︒-︒-︒=︒，∵EF BC ∥，∴60DPC PEF ∠=∠=︒，30F DCP ∠=∠=︒，∴30F ∠=︒；（2）∵75ABE ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴754530CBE ∠=︒-︒=︒，由（1）可得30DCP ∠=︒，∴DCB CBE ∠=∠，∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）．【点睛】题目主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．4、30ACD ︒∠=．【解析】【分析】先由直角三角形两锐角互余得到∠B =40°，在三角形△ABC 中，由内角和定理求得∠BAE =30°，由角平分线定义得出 ∠BAC =60°，即可求得∠ACD .【详解】解：CD 为ABC ∆的高，90BDC ADC ︒∴∠=∠=．90905040B BCD ︒︒∴∠=-∠=︒-︒=．在ABC ∆中，1801804011030BAE B BEA ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=．AE ∵为ABC ∆的角平分线，260BAC BAE ︒∴∠=∠=．9030ACD BAC ︒︒∴∠=-∠=．【点睛】此题考查三角形内角和定理、角平分线定义和直角三角形两锐角互余等，掌握定义和定理是解答此题的关键.5、（1）100゜；（2）130゜【解析】【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质，可求得结果；（2）由角平分线的性质及三角形内角和定理可求得∠EBC +∠FCB 的度数，从而可求得结果的度数．【详解】（1）∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB∴∠AEB =∠CFB =90゜∴∠ABE =90゜－∠A =10゜∴∠BDC =∠CFB +∠ABE =90゜+10゜=100゜（2）∵BE 、CF 分别平分∠ABC 、∠ACB ∴12EBC ABC ∠=∠，12FCB ACB ∠= ∵∠ABC +∠ACB =180゜－∠A =100゜ ∴11()1005022EBC FCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒∴180()18050130BDC EBC FCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的性质，熟练运用它们是解答的关键．。

难点详解冀教版七年级数学下册第九章三角形专项练习试题(含答案解析)

冀教版七年级数学下册第九章三角形专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB CD ∥，45A ∠=︒，30C ∠=︒，则E ∠的度数是（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°2、如图，AD ∥BC ，∠C ＝30°，∠ADB ：∠BDC ＝1：2，∠EAB ＝72°，以下四个说法： ①∠CDF ＝30°；②∠ADB ＝50°；③∠ABD ＝22°；④∠CBN ＝108°其中正确说法的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、下列各组数中，不能作为一个三角形三边长的是（）A ．4，4，4B ．2，7，9C ．3，4，5D ．5，7，94、如图，已知AD AB =，C E ∠=∠，55CDE ∠=︒，则ABE ∠的度数为（）A ．155°B ．125°C ．135°D ．145°5、已知三角形的两边长分别为4cm 和10cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A ．15cmB ．6cmC ．7cmD ．5cm6、下列所给的各组线段，能组成三角形的是：( )A ．2，11，13B ．5，12，7C ．5，5，11D ．5，12，137、如图，将ABC 的BC 边对折，使点B 与点C 重合，DE 为折痕，若65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，则B ∠=（）．A．45°B．60°C．35°D．40°8、利用直角三角板，作ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．9、如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．三角形具有稳定性D．三角形的任意两边之和大于第三边10、如图，点B、G、C在直线FE上，点D在线段AC上，下列是△ADB的外角的是（）A ．∠FBAB ．∠DBC C ．∠CDBD ．∠BDG第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知AB CD ∥，21BAF FED ∠=∠=︒，17CDE ∠=︒，则AFC ∠=______°．2、在ABC 中，若50,A B C ∠=︒∠=∠，则B ∠=_______．3、已知ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，BC ＝a ，则a 的取值范围是 ___．4、在ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BD ＝CD ，若BC ＝6，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为__________．5、在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC ＝4cm 2，则S △ABE ＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，点C ，B 分别在直线MN ，PQ 上，点A 在直线MN ，PQ 之间，MN ∥PQ ．（1）如图1，求证：∠A ＝∠MCA +∠PBA ；（2）如图2，过点C 作CD ∥AB ，点E 在PQ 上，∠ECM ＝∠ACD ，求证：∠A ＝∠ECN ；（3）在（2）的条件下，如图3，过点B 作PQ 的垂线交CE 于点F ，∠ABF 的平分线交AC 于点G ，若∠DCE ＝∠ACE ，∠CFB ＝32∠CGB ，求∠A 的度数．2、如图，在△ABC 中，∠ABC =30°，∠C =80°，AD 是△ABC 的角平分线，BE 是△ABD 中AD 边上的高，求∠ABE 的度数．3、如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BE 与CD 交于点F ，62A ∠=︒，25ACD ∠=︒，53EFC ∠=︒．求BDC ∠和DBE ∠的度数．4、如图，AD是△ABC的高，AE平分∠BA C．（1）若∠B=62°，∠C=46°，求∠DAE的度数；（2）若30∠-∠=︒，求∠DAE的度数．B C5、如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据平行线的性质求出关于∠DOE ，然后根据外角的性质求解．【详解】解：∵AB ∥CD ，∠A ＝45°，∴∠A ＝∠DOE ＝45°，∵∠DOE ＝∠C +∠E ，又∵30C ∠=︒，∴∠E ＝∠DOE -∠C ＝15°．故选：B【点睛】本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系．掌握两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键．2、D【解析】【分析】根据AD ∥BC ，∠C ＝30°，利用内错角相等得出∠FDC =∠C =30°，可判断①正确；根据邻补角性质可求∠ADC =180°-∠FDC =180°-30°=150°，根据∠ADB ：∠BDC ＝1：2，得出方程3∠ADB =150°，解方程可判断②正确；根据∠EAB ＝72°，可求邻补角∠DAN =180°-∠EAB =180°-72°=108°，利用三角形内角和可求∠ABD =180°-∠NAD -∠ADB =180°-108°-50°=22°可判断③正确，利用AD ∥BC ，同位角相等的∠CBN =∠DAN =108°可判断④正确即可．【详解】解：∵AD ∥BC ，∠C ＝30°，∴∠FDC =∠C =30°，故①正确；∴∠ADC =180°-∠FDC =180°-30°=150°，∵∠ADB：∠BDC＝1：2，∴∠BDC=2∠ADB，∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=∠ADB+2∠ADB=3∠ADB=150°，解得∠ADB=50°，故②正确∵∠EAB＝72°，∴∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，∴∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°，故③正确∵AD∥BC，∴∠CBN=∠DAN=108°，故④正确其中正确说法的个数是4个．故选择D．【点睛】本题考查平行线性质，角的倍分，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程，掌握平行线性质，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程地解题关键．3、B【解析】【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．【详解】解：选项A：4，4，4可以构成等边三角形，故选项A正确；选项B：2+7=9，两边之和等于第三边，不能构成三角形，故选项B错误；选项C：3+4>5，这三边可以构成三角形，故选项C正确；选项D：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可以构成三角形，故选项D正确；故选：B ．【点睛】本题考查了构成三角形的三边的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解．4、B【解析】【分析】根据三角形外角的性质得出55CBE A E A C ∠=∠+∠=∠+∠=︒，再求ABE ∠即可．【详解】解：∵55CDE ∠=︒，∴55A C ∠+∠=︒，∵C E ∠=∠，∴55CBE A E ∠=∠+∠=︒，∴180125ABE CBE ∠=︒-∠=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系．5、C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可得104104x -<<+，再解不等式可得答案．【详解】解：设三角形的第三边为xcm ，由题意可得：104104-<<+，x即614<<，x故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．6、D【解析】【分析】根据三角形三边关系定理，判断选择即可．【详解】∵2+11=13，∴A不符合题意；∵5+7=12，∴B不符合题意；∵5+5=10＜11，∴C不符合题意；∵5+12=17＞13，∴D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．7、A【分析】由折叠得到∠B =∠BCD ，根据三角形的内角和得∠A +∠B +∠ACB =180°，代入度数计算即可．【详解】解：由折叠得∠B =∠BCD ，∵∠A +∠B +∠ACB =180°，65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，∴65°+2∠B +25°=180°，∴∠B =45°，故选：A ．【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．8、D【解析】【分析】由题意直接根据高线的定义进行分析判断即可得出结论．【详解】解：A 、B 、C 均不是高线．故选：D ．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段,叫三角形的高线是解答此题的关键．9、C【解析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，故选C．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．10、C【解析】【分析】根据三角形的外角的概念解答即可．【详解】解：A.∠FBA是△ABC的外角，故不符合题意；B. ∠DBC不是任何三角形的外角，故不符合题意；C.∠CDB是∠ADB的外角，符合题意；D. ∠BDG不是任何三角形的外角，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的外角的概念，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．二、填空题1、592、65°##65度【分析】由三角形的内角和定理，得到180A B C ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；【详解】解：在ABC 中，180A B C ∠+∠+∠=︒，∵50,A B C ∠=︒∠=∠，∴502180B ︒+∠=︒，∴65B ∠=︒；故答案为：65°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和等于360°．3、2＜a ＜12【解析】【分析】直接利用三角形三边关系得出a 的取值范围．【详解】解：∵△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，BC ＝a ，∴7﹣5＜a ＜7+5，即2＜a ＜12．故答案为：2＜a ＜12．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，做题的关键是掌握三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．4、6【解析】【分析】如图，先标注字母，证明,,ABD ACD BEF CEF SS S S 可得1,2ABC S S 阴影从而可得结论.【详解】解：如图，先标注字母，AD ⊥BC 于点D ，BD ＝CD ，,,ABD ACD BEF CEFS S S S 1,2ABC S S 阴影BC ＝6，AD ＝4，16412,2ABC S 1 6.2ABCS S 阴影故答案为：6【点睛】本题考查的是三角形的高，中线与面积的关系，掌握“三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分”是解本题的关键.5、1cm 2【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形的性质分析，即可得到答案．【详解】∵D是BC的中点，S△ABC＝4cm2∴S△ABD＝12S△ABC＝12×4＝2cm2∵E是AD的中点，∴S△ABE＝12S△ABD＝12×2＝1cm2故答案为：1cm2．【点睛】本题考查了三角形中线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质，从而完成求解．三、解答题1、（1）见解析；（2）见解析；（3）72°．【解析】【分析】（1）过点A作平行线，证出三条直线互相平行，由平行得出与∠ACM和∠ABP相等的角即可得出结论；（2）由CD∥AB，可得同旁内角互补，再结合∠ECM与∠ECN的邻补角关系，可得结论；（3）延长CA交PQ于点H，先证明∠MCA=∠ACE=∠ECD，∠ABP=∠NCD，再设∠MCA=∠ACE=∠ECD=x，由（1）可知∠CFB=∠FCN+∠FBQ，从而∠CFB=270-2x，列出方程解得x值，则不难求得答案．【详解】解：（1）证明：过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA=∠DAC，∠PBA=∠DAB，∴∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+∠PBA，即：∠A=∠MCA+∠PBA；（2）∵CD∥AB，∴∠A+∠ACD=180°，∵∠ECM+∠ECN=180°，又∠ECM=∠ACD，∴∠A=∠ECN；（3）如图，延长CA交PQ于点H，∵∠ECM =∠ACD ，∠DCE =∠ACE ，∴∠MCA =∠ACE =∠ECD ，∵MN ∥PQ ，∴∠MCA =∠AHB ，∵∠CAB =∠AHB +∠PBA ，且由（2）知∠CAB =∠ECN ，∴∠ABP =∠NCD ，设∠MCA =∠ACE =∠ECD =x ，由（1）可知∠CFB =∠FCN +∠FBQ ，∴∠CFB =270-2x ，由（1）可知∠CGB =∠MCG +∠GBP ，∴∠CGB =135°−12x ，∴270°−2x =32 (135°−12x ) ，解得：x =54°，∴∠AHB =54°，∴∠ABP =∠NCD =180°-54°×3=18°，∴∠CAB =54°+18°=72°．【点睛】本题考查了平行线的性质及一元一次方程在计算问题中的应用，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．2、55°【解析】【分析】先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD 度数，由AE ⊥BE 可求出∠AEB =90°，再由三角形的内角和定理即可解答．【详解】解：∵∠ABC =30°，∠C =80°，∴∠BAC =180°-30°-80°=70°，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD =12×70°=35°，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB =90°，∴∠ABE =180°-∠AEB -∠BAE =180°-90°-35°=55°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，高的定义及三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3、87°，40°【解析】【分析】根据三角形外角的性质可得，BDC A ACD ∠=∠+∠，代入计算即可求出BDC ∠，再根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵62A ∠=︒，25ACD ∠=︒，∴622587BDC A ACD =∠+∠=︒+︒=︒∠，∵53EFC DFB ∠=∠=︒，∴18040DBE BDC DFB ∠=︒-∠-∠=︒．【点睛】本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系，准确进行计算．4、（1）8°；（2）15°【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，利用角平分线的性质求出∠CAE 的度数，根据垂直的定义求出答案；（2）根据角平分线的性质推出∠CAE =∠BAE ，利用垂直得到∠BAD +∠DAE =∠CAD -∠DAE ，推出2∠DAE =30B C ∠-∠=︒，计算得到答案．【详解】解：（1）∵∠B =62°，∠C =46°，∴∠BAC =180°-∠B -∠C =72°，∵AE 平分∠BA C ，∴∠CAE =1362BAC ∠=︒，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∴∠DAC =90°-∠C =44°，∴∠DAE =∠DAC -∠CAE =8°；（2）∵AE 平分∠BA C ，∴∠CAE=∠BAE，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C，∴∠BAD+∠DAE=∠CAD-∠DAE，∴90°-∠B+∠DAE=90°-∠C-∠DAE，∴2∠DAE=30B C∠-∠=︒，∴∠DAE=15°．【点睛】此题考查了三角形角平分线的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形的知识是解题的关键．5、∠AFB＝40°．【解析】【分析】由题意易得∠ADC＝90°，∠ACB＝80°，然后可得11,22MAE MAC ABF ABC∠=∠∠=∠，进而根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：∵AD⊥BE，∴∠ADC＝90°，∵∠DAC＝10°，∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣10°＝80°，∵AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC，∴11,22MAE MAC ABF ABC ∠=∠∠=∠，又∵∠MAE ＝∠ABF +∠AFB ，∠MAC ＝∠ABC +∠ACB ，∴∠AFB ＝∠MAE ﹣∠ABF ＝()11111804022222MAC ABC MAC ABC ACB ∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质及角平分线的定义是解题的关键．。

七年级数学上册三角形压轴题

三角形压轴题【教学目标】1．熟练运用三角形内角和定理及其推论．2．掌握用代数表达式表达关键角（代数思想）3．掌握对三角形内角和180°的方程式的转化表达形式4．掌握方程思想、代数思想、转化思想、等量代换的综合应用【重点难点】重点：三角形内角和定理及外角定理的综合应用。

难点：对关键角的设元，以及对方程的转化。

【考点指要】三角形压轴题是期中考试期末考试大题压轴的必考点。

复杂的三角形问题通常借助平面直角坐标系，对所学知识作综合考查。

需要学生在掌握基本模型和规范书写的基础上，对大题作预估性探索，对关键角作分析。

要在探索中寻求解决问题的办法，不要怕难题，否则下不了笔。

一、三角形外角定理的应用与代数表达1、如图1，在∠A 内部有一点P ，连接BP 、CP ，请回答下列问题：①求证：∠P=∠1+∠A+∠2；②如图2，利用上面的结论，你能求出五角星五个“角”的和吗？③如图3，如果在∠BAC 间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、 ∠5、∠A 之间有什么等量关系，并说明理由．2、如图，四边形ABCD 中，AB∥CD，P 为BC 上一点，设∠CDP=α，∠CPD=β，当点P 在BC 上移动时，猜想α，β与∠B 的关系，并说明理由．二．角平分线问题3、如图、CE 为△ABC 外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA 的延长线于点E 。

（1）试判断∠BAC 与∠B 的大小关系。

（2）若∠B=30°，∠BAC=80°，求∠E 的度数。

4、（1）已知△ABC 中，BO 、CO 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，且BO与∠A 之间的数量关系，并说明理由．（2）已知BO 、CO 分别是△ABC 的外角∠DBC、∠ECB 的角平分线，BO 与∠A 之间的数量关系，并说明理由．（3）已知：BD 为△ABC 的角平分线，CO 为△ABC 的外角平分线，它与BO 的延长线交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 的数量关系，并说明理由．5、如图，AE 、OB 、OC 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC ，求证：∠1=∠2．6、如图，AF 平分∠EAC ，FB 平分∠GBC ．求∠Ｄ，∠Ｃ，∠F 的关系．7、如图，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，∠AEC 与∠ACE 的角平分线交于Q ，∠ABC 与∠ACD 的角平分线交于A 1，当E 滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A 1的值为定值；②∠Q-∠A 1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．,三．折叠问题8．如图①，一张三角形ABC 纸片，点D 、E 分别是△ABC 边上两点．（1）：如果沿直线DE 折叠，使A 点落在CE 上，则∠BDA′与∠A 的数量关系是 _________B D C（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A 的数量关系，并说明理由．（4）：将问题1推广，如图，将四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、B 落在四边形EFCD 的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B 之间的数量关系是 _________ ．四．平面直角坐标系中的三角形问题9．如图,已知∠xoy ＝90°,点A 、B 分别在射线ox,oy 上移动，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，试问∠C 的大小是否随点A 、B 的移动而发生变化？如果保持不变，求出∠C 的大小，如果随点A 、B 的移动而发生变化，请求出变化范围.10．如图，在平面直角坐标系中，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB 与y 轴交于点C.(1)若∠A=∠AOC ，求证：∠B=∠BOC ； (2)延长AB 交x 轴于点E ，过O 作OD ⊥AB ，且∠(3)如图，OF 平分∠AOM ，∠BCO 的平分线交FO y 轴正半轴始终相交于点C ），在(2)的条件下，试问∠P 由． 11、在直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点是A （线OD 交直线AC 于E ，∠ADO 和∠ABO （1）若|a-2b-c|+（a+2b ）2+（b+1）2n =0（其中n （2）若E 点在CA 边的延长线上，∠ACB 与∠AED ∠P －∠Q （3）若E 点AC 边上的延长线上，第（2在其它的特性呢？试探索，并说明理由。

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