函数的基本性质解析

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第二讲 函数的性质（一）

一、函数的单调性

1．单调函数的定义

增函数 减函数

定义

设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2

当x 1

当x 1f (x 2) ，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数

图象描述

自左向右看图象逐渐上升

自左向右看图象逐渐下降

2．单调区间的定义

若函数y ＝f (x )在区间D 上是 或，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3、单调性的判定方法

（1）定义法： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

○

2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；

○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．

（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断：

设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 4、函数单调性应注意的问题：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数

二、函数的最值

前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足

条件

①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；

②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M

①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；

②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M

结论

M 为最大值 M 为最小值

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； 强调 1.函数的单调性是局部性质

从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

[注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符

号“∪”联结，也不能用“或”联结．

三、例题讲解

例1、证明函数f (x )＝2x －1

x

在(－∞，0)上是增函数．

练习1．判断函数g (x )＝－2x

x －1在 (1，＋∞)上的单调性．

练习2（图像法）．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2]

B ．[－1,0]

C ．[0,2]

D ．[2，＋∞)

[例2] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )

)的实数m 的取值范围是________．

(2)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.

练习3．(1)函数f (x )＝

1

x －1

在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2，则a ＝__________.

四、随堂练习

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的（ ）

A ．y ＝

B ．y ＝3x 2

＋1 C ．y ＝2x

D ．y ＝|x |

2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)， 当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且 (x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )

A ．恒小于0

B ．恒大于0

C ．可能为0

D ．可正可负

3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

＋4x ，x ≥0，

4x －x 2

，x <0.

若f (2－a 2

)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B ．(－1,2)

C ．(－2,1)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 4.如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是 ( )

A ．(8，＋∞)

B ．[8, ＋∞)

C ．(∞,8)

D ．(∞,8]

5．函数y ＝x 2

＋2x －3的单调递减区间为( )

A ．(－∞，－3]

B ．(－∞，－1]

C ．[1，＋∞)

D ．[－3，－1]

6.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.

7.已知函数2

(1)21f x x x x +=+-，[1，2]，则()f x 是 (填序号).

①[1，2]上的增函数； ②[1，2]上的减函数； ③[2，3]上的增函数； ④[2，3]上的减函数.