函数的基本性质解析
函数的基本性质
函数的基本性质其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
函数表⽰每个输⼊值对应唯⼀输出值的⼀种对应关系。
函数f中对应输⼊值x的输出值的标准符号为f(x)。
性质有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于⼀切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上⽆界。
单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。
如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。
单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
奇偶性设为⼀个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。
⼏何上，⼀个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例⼦有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。
设f（x）为⼀实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。
⼏何上，⼀个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。
偶函数的例⼦有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。
偶函数不可能是个双射映射。
连续性在数学中，连续是函数的⼀种属性。
直观上来说，连续的函数就是当输⼊值的变化⾜够⼩的时候，输出的变化也会随之⾜够⼩的函数。
如果输⼊值的某种微⼩的变化会产⽣输出值的⼀个突然的跳跃甚⾄⽆法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
高一数学函数的基本性质知识点梳理
高一数学函数的基本性质知识点梳理1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx| x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零;2 偶次方根的被开方数不小于零;3 对数式的真数必须大于零;4 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .6指数为零底不可以等于零2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同时具备值域补充1 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .2 . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 . 3 . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .3. 函数图象知识归纳1 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx , x ∈A中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 Px ， y 的集合 C ，叫做函数 y=f x,x ∈A的图象.C 上每一点的坐标 x ， y 均满足函数关系 y=fx ，反过来，以满足 y=fx 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 x ， y ，均在 C 上 . 即记为 C={ Px,y | y= fx , x ∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直线 , 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .2 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法请参考必修4三角函数常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换3 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
时，
.
..
w
.
..
..
解： 时，
∴ [例 4] 求下列函数的增区间
（1） （2）
答案：（1）
，
∴
（2）作图
∴
[例 5]若 答案：分类讨论
（1）① 当
②当
时，要在区间
在区间 在区间
，则有
，求 取值范围。 ，符合题意
∴
[例 6]
，
关系。
解：∵
为偶函数 ∴
则函数关于直线 x=2 对称
∵
在（0，2）
为偶函数，试比较
（1）若 f (x a) f (x b) ，则 f (x) 是周期函数， b a 是它的一个周期（自己证明）
（2）若定义在 R 上的函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 （a ≠b），则 y = f (x)是周期函数，且 2| a－b|是其一个周期。（自己证明）
常用性质：
1． f (x) 0 是既奇又偶函数； 2．奇函数若在 x 0处有定义，则必有 f (0) 0 ；
3．偶函数满足 f (x) f (x) f ( x ) ；
4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y 轴对称；
5． f (x) 0 除外的所有函数的奇偶性满足：
（1）奇函数±奇函数=奇函数
两位学生分别构造了一个函数（
）：
①
②
请你判断，正确的结论是（ ）
A. ①②都对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①②都错
2. 函数
与
A. y 轴对称
C. 直线 x=1 对称
的图像关于（ ）
B. 原点对称 D. 关于 y 轴对称且关于直线 x=1 对称
函数的基本性质
函数的基本性质(函数的单调性、奇偶性、周期性)一、函数单调性 1、可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增；如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。
（3）定量刻画，即定义。
2、判断增函数、减函数的方法：①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
与之相等价的定义： ⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。
⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数；如果函数()x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。
如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。
专题11 函数的基本性质(奇偶性)(解析版)
专题11函数的基本性质（奇偶性）函数的奇偶性[知识点拨]由于f (x )和f (－x )须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)；②偶函数有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点．①若奇函数在原点处有定义，则必有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． (4)奇、偶函数图象对称性的应用．①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．重要考点一：函数奇偶性的判断【典型例题】根据定义，判断下列函数的奇偶性： （1）()52f x x =-；（2）g (x )=x 4+2；（3）21()h x x =；（4）1()2m x x =+. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）既不是奇函数，也不是偶函数. 【解析】（1）依题意知函数()52f x x =-的定义域为R ，且对任意的x ∈R ，有()()()5522f x x x f x -=--==-,所以函数()52f x x =-是奇函数；（2）依题意知函数()42g x x=+的定义域为R ，且对任意的x ∈R ，有()()()4422g x x x g x -=-+=+=，所以函数()42g x x=+是偶函数；（3）依题意知函数21()h x x=的定义域为{|0}x x ≠， 且对任意的{|0}x x x ∈≠，有()2211()()h x h x x x -===-， 所以函数21()h x x =是偶函数； （4）函数1()2m x x =+的定义域为{|2}x x ≠-，定义域不关于原点对称，所以函数1()2m x x =+既不是奇函数，也不是偶函数.【题型强化】1.判断下列函数的奇偶性． （1）f (x )＝2x ＋1x； （2）f (x )＝2－|x |； （3）f (x )（4）f (x )＝1x x -. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数． 【解析】（1）因为函数f (x )的定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称， 又f (－x )＝－2x ＋1x -＝－12⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x ＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(2)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)∵函数f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)显然函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数． 2.判断函数f (x )＝x ＋ax(a 为常数)的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】()f x 为奇函数，证明见解析.【解析】()f x 为奇函数，证明如下：()f x 的定义域为{x|x≠0}．对于任意x≠0，()()a a f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 为奇函数． 【名师点睛】 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．重要考点二：奇、偶函数图象的应用【典型例题】已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ．现已画出函数f （x ）在y 轴左侧的图象如图所示，（1）画出函数f （x ），x ∈R 剩余部分的图象，并根据图象写出函数f （x ），x ∈R 的单调区间；（只写答案） （2）求函数f （x ），x ∈R 的解析式．【答案】（1）图象见解析；递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增区间为（﹣1，1）；（2）f （x ）222020x x x x x x ⎧+≤=⎨-+⎩，，＞．【解析】（1）根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则其图象如图： 其递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）； 增区间为（﹣1，1）；（2）根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，满足f （x ）＝x 2+2x ； 当x ＞0时，则﹣x ＜0，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2+2（﹣x ）＝x 2﹣2x ， 又由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣x 2+2x ，综上：f （x ）222020x x x x x x ⎧+≤=⎨-+⎩，，＞．【题型强化】1.已知奇函数f (x )定义域为[－5，5]且在[0，5]上的图象如图所示，求使f (x )<0的x 的取值范围．【答案】()(]3,03,5-【解析】由题可知：函数是[－5，5]上的奇函数，则函数在[－5，5]上图象如下：所以f (x )<0的解集为()(]3,03,5-2.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）作出函数()f x 的图象并求出单调增区间.【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩；（2）图象见解析，单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞.【解析】（1）当0x ≥时，()22f x x x =-.当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--⨯-=+.因为函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()22f x f x x x=--=--.因此，()222,02,0x x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩；（2）函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞.【名师点睛】1．研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性． 2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称．重要考点三：利用函数的奇偶性求解析式【典型例题】若函数()21x ax b f x x +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为______． 【答案】()21xf x x =+ 【解析】()f x 在[]1,1-上是奇函数，()00f ∴=，0a ∴=，()21xf x x bx ∴=++．又()()11f f -=-，1122b b -∴=--+，即0b =，()21x f x x ∴=+． 【题型强化】1.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，2()2f x x x =-，则0x <时，()f x =________【答案】22x x --【解析】设0x <，则0x ->，所以()22()22f x x x x x -=-+=+，又因为()()f x f x -=-，所以2()2f x x x -=+，所以()f x =22x x --. 故答案为：22x x --2.已知函数()223px f x q x +=-是奇函数，且()523f =-，则函数()f x 的解析式()f x =________.【答案】2223x x+-【解析】奇函数()y f x =的定义域为,,33q q ⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于原点对称，所以03q=，得0q =，故()223px f x x +=-，又()523f =-，即42563p ⨯+=--，得2p =， 因此()22222233x x x x f x ++=--=.故答案为2223x x+-. 【名师点睛】利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x (另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．重要考点四：忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误【典型例题】已知定义在[3,3]-上的函数()y f x =是增函数. （1）若(1)(21)f m f m +>-，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，解不等式(1)10f x ++>.【答案】（1）[1,2)-；（2）{32}xx -<∣. 【解析】（1）由题意可得，3133213121m m m m -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+>-⎩，求得12m -<，即m 的范围是[1,2)-.（2）∵函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，∴(2)(2)1f f -=-=-，∵(1)10f x ++>，∴(1)1f x +>-，∴(1)(2)f x f +>-，∴12313x x +>-⎧⎨-≤+≤⎩，∴32x -<≤.∴不等式的解集为{32}xx -<∣. 【题型强化】1.已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()f x 的单调性；（3）若()()210f m f m +->，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()21x f x x =+（2）证明见解析（3）113m << 【解析】（1）由题意可得：()001242255fb a bf ⎧==⎪+⎨⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1a b =⎧⎨=⎩.即()21xf x x =+（2）证明：设1211x x -<<<()()()()()()121212122222*********x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++因为1211x x -<<<，所以120x x -<，1210x x -> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < 故()f x 在()1,1-上是增函数（3）()()210f m f m +->，即()()()2112f m f m f m >--=-所以11121112m m m m-<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得：113m <<2.定义在[]22-,上的偶函数()f x ，当[]2,0x ∈-时()f x 单调递增，设()()1f m f m -<，求m 的取值范围.【答案】112m -≤< 【解析】解：()f x 是定义在[]2,2-上的偶函数， 又()()1f m f m -<，∴ ()()1f m f m -<又当[]2,0x ∈-时()f x 单调递增∴当[]0,2x ∈时单调递减.而10,0,1,m m m m -≥≥∴->()22212221m m m m⎧-≤-≤⎪⎪∴-≤≤⎨⎪->⎪⎩ 解得112m -≤<即所求m 的取值范围为11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【名师点睛】1．函数y ＝f (x )是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称． 2．确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式．重要考点五：逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题【典型例题】已知函数2()(1)|2|()f x x a x a a R =++++∈.（1）写出一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x ，使()f x =()g x +()h x ； （2） 若()()h x g x ≥对于任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()|2|h x x a =++，()(1)g x a x =+；（2）{}13⎡-+⋃-⎣.【解析】（1）由奇偶函数的特征由2()(1)|2|()f x x a x a a R =++++∈的函数特征可知2yx 是偶函数，()1y a x =+是奇函数，2y a =+是偶函数，∴奇函数()g x 是()()1g x a x =+，偶函数2()|2|h x x a =++；（2）由（1）可知()221xa a x ++≥+恒成立，即()2120x a x a -+++≥恒成立，()21420a a ∆=+-+≤ ，即()2124a a ++≥ ()2124a a +⇒+≥或()2124a a ++≤-整理为2270a a --≤或2690a a ++≤，解得：11a -≤+3a=-，∴a的取值范围是{}13⎡-+⋃-⎣【题型强化】1.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]αβ∈-，0αβ+≠时，都有()()0f f αβαβ+>+.（1）解关于x 的不等式()21(33)0f x f x -+-<；（2）若对任意[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-，不等式2()21f x t at ≤-+恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）41,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）2t ≥或2t ≤-或0t =【解析】(1)因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,故任取1211x x ,则()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=--,1211x x -≤<≤,()120x x ∴+-≠,故有()()12120f x f x x x +->-,120x x -<,()()120f x f x ∴-<,即()f x 在[1,1]-上是增函数,因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,且在[1,1]-上是增函数,不等式可()21(33)0f x f x -+-<化为()21(33)f x f x -<-,所以221331111331x x x x ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩,解得41,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦;(2)由(1)知()f x 在[1,1]-上是增函数,所以()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)1f =, 要使2()21f x t at ≤-+对任意[1,1]x ∈-,[1,1]a ∈-恒成立,只要2221120t at t at -+≥⇒-≥,设2()2g a t at =-,因为对任意[1,1]a ∈-,()0g a ≥恒成立,所以22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-≥⎩解得2t ≥或2t ≤-或0t =. 2.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数且单调递增，(1)1f =. （1）解不等式：1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （2）若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（2）(]{}[),202,-∞-+∞【解析】（1）()f x 为定义在[]1,1-上的增函数，∴由1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得：111211111121x x x x ⎧-≤+≤⎪⎪⎪-≤≤⎨-⎪⎪+<⎪-⎩，解得：312x -≤<-， ∴不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+<⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的解集为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. （2）()f x 为定义在[]1,1-上的增函数且()11f =，()1f x ∴≤，∴要使()221f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，只需2211t at -+≥对[]1,1a ∈-恒成立，即220t at -≥恒成立.设()22g a t at =-，则只需()0g a ≥恒成立，即()min 0g a ≥.当0t =时，()0g a =，满足题意；当0t >时，()g a 在[]1,1-上单调递减，则()()2min 120g a g t t ==-≥，解得：2t ≥；当0t <时，()g a 在[]1,1-上单调递增，则()()2min 120g a g t t =-=+≥，解得：2t ≤-.综上所述：t 的取值范围为(]{}[),202,-∞-+∞.【名师点睛】1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：(1)f (x )在区间D 上单调递增，则对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)恒成立；(2)若f (x )是奇函数，定义域为M ，则f (－x )＝－f (x )对任意x ∈M 恒成立；若f (x )是偶函数，定义域为M ，则对任意x ∈M ，f (－x )＝f (x )恒成立；(3)若f (x )的最大值为M ，最小值为m ，定义域为A ，则对任意x ∈A ，有m ≤f (x )≤M . 解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法．2．遇到f (－x )与f (x )的关系问题时，应首先从函数f (x )的奇偶性入手考虑，如果f (x )不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g (x )，使f (x )用g (x )表示，再利用g (x )的奇偶性来解答．课后练习1．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】()f x 为奇函数 ()()f x f x ∴-=-当0x <时，0x -> ()()()2222f x f x x x x x ∴=--=-+=--又0x <时，()2f x x ax =-+ 2a ∴=-，本题正确选项：B2．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xfx <的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)--⋃D ．(1,1)-【答案】C【解析】由图像可知在0x ≥时，在()()012+∞，，，()0f x >；在(1,2)，()0f x <； 由()f x 为奇函数，图象关于原点对称，在0x <时，在()(),21,0∞-⋃--，()0f x <；在(2,1)--，()0f x >；又()y xfx =，在0x ≥时与()y f x =同号，在0x <时与()y f x =异号 故不等式()0xfx <的解集为：(2,1)(1,2)--⋃，故选：C3．已知定义在R 上的奇函数()f x ，对任意实数x ，恒有()()3f x f x +=-，且当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()268f x x x =-+，则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．6B ．3C ．0D ．3-【答案】B【解析】由题得()()6[(3)3]3[()]()f x f x f x f x f x +=++=-+=--=，所以函数的周期为6. 由题得(0)0,(1)1683,f f ==-+=(2)(2)(23)(1)3f f f f =--=-+==，(3)(3)(33)(0)f f f f =--=-+=，(4)(4)(43)(1)(1)3f f f f f =--=-+=-=-=-， (5)(5)(53)(2)(2)3f f f f f =--=-+=-=-=-所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f f +++++=， 所以()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=336[(0)(1)(2)(3)(4)(5)](0)(1)(2)(3)(4)3f f f f f f f f f f f ++++++++++=.故选：B.4．下列函数中，是偶函数,且在(],0-∞上是增函数的是（ ） A ．12y x = B ．2y xC ．3y x =D ．,0,0x x y x x -≥⎧=⎨<⎩【答案】D【解析】A ．定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，故不符合；B ．定义域为R 关于原点对称，()()()22f x x x f x -=-==，所以是偶函数，在(],0-∞上是减函数，不符合；C ．定义域为R 关于原点对称，()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，不符合； D ．定义域为R 关于原点对称，当0x ≥时，()()f x x f x =-=-，当0x <时，()()f x x f x ==-，所以()f x 是偶函数，(],0x ∈-∞时，()f x x =是增函数，符合.故选：D.5．如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，那么它在区间[]7,3--上是（ ） A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5- D ．减函数且最大值为5-【答案】B【解析】任取1x 、[]27,3x ∈--，且12x x <，即1273x x -≤<≤-，则2137x x ≤-<-≤，由已知，奇函数()y f x =在区间[]3,7上是增函数，则()()12f x f x ->-，即()()12fx f x ->-，()()12f x f x ∴<，所以，函数()y f x =在区间[]7,3--上是增函数，对任意的[]7,3x ∈--，[]3,7x -∈，由题意，()5f x -≥，可得()5f x -≥，则有()5f x ≤-，所以，函数()y f x =在区间[]7,3--上有最大值5-.故选：B.6．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上的解析式为()1f x x =+，下列大小关系正确的是（ ）A ．()()12f f >B ．()()12f f >-C ．()()12f f ->-D ．()()12f f -<【答案】D【解析】因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上的解析式为()1f x x =+所以得到()f x 在[)0,+∞上单调递增，在(],0-∞上单调递减，所以()()12f f <，所以A 选项错误；因为()f x 为偶函数，所以()()22f f -=， 所以()()()122f f f <=-，所以B 选项错误；因为()()()()1122f f f f -=<=-，所以C 选项错误； 因为()()()112f f f -=<，所以D 选项正确.故选：D.7．设函数3()1f x ax bx =+-，且(1)3f -=，则(1)f 等于（ ） A ．3- B ．3 C ．5- D ．5【答案】C【解析】令3()g x ax bx =+，则3()()g x ax bx g x -=--=-，所以3()g x ax bx =+是奇函数， 又()()1113f g -=--=，所以()14g -=，所以()()()111115f g g =-=---=-. 故选：C.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()2()f x f x =--，且函数(1)f x +是偶函数，当[]1,0x ∈-时，2()1f x x =-，则20203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【答案】139【解析】因为函数()f x 满足：()2()f x f x =--，且函数(1)f x +是偶函数，所以(1)(1)2f x f x ++--=，且(1)(1)f x f x +=-+，可得(1)(1)2f x f x -++--=，即(1)(1)2f x f x ++-=所以(2)()2f x f x ++=…①，(4)(2)2f x f x +++=…② ②-①，可得 (4)()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数；4420201684333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1151311223333394922f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-==--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以 20203319f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故答案为：139. 9．函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()11f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是_________. 【答案】[]0,2【解析】函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()111f f -=-=，由()111f x -≤-≤可得()()()111f f x f ≤-≤-，由于函数()y f x =在R 上单调递减，则111x -≤-≤，解得02x ≤≤. 因此，满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是[]0,2.故答案为：[]0,2.10．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，()12x f x -=，有下列命题：①2是函数()f x 的周期；②函数()f x 在()2,3上是增函数；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是__________.【答案】①②④【解析】用1x +换()()11f x f x =+-中的x ，得()()2f x f x +=，所以()f x 是以2为周期的周期函数，故①正确；又函数()f x 是定义在R 上的偶函数且[]0,1x ∈时，()12x f x -=，作出函数()f x 的部分图象如图所示由图知，函数()f x 在()2,3上是增函数，故②正确；函数()f x 的最大值是1，最小值是12， 故③错误；直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴，故④正确. 故答案为：①②④11．已知函数()f x 为奇函数且(1)2f =，求(-1)f =_______. 【答案】﹣2【解析】函数()y f x =是奇函数,且(1)2f =,则()(-1)=12f f -=-.故答案为:﹣2． 12．已知()f x x x =，若()()()220f x m m f x m -≤>对任意1x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】[)1,+∞【解析】()f x x x =的定义为R ，关于原点对称，()()()f x x f x x x x =---=--=.()f x ∴为定义在R 上的奇函数.当0x >时，()2f x x x x ==，在()0,∞+上单调递增.()f x ∴为定义在R 上的增函数.0m >()()22m f x m x x mx mx f mx ∴===()()()()220f x m m f x f mx m -≤=>2x m mx ∴-≤，即()120m x m --≤，设()()()12,1g x m x m x =--≥若()()()220f x m m f x m -≤>对任意1x ≥恒成立.则需()()0,1g x x ≤≥恒成立.当1m =时，在[)1,+∞上()10g x =-≤恒成立当1m <时，()g x 在[)1,+∞上单调递增，则不满足题意，舍去当1m 时，()g x 在[)1,+∞上单调递减，则需()1130g m =-≤解得13m ≥，即1m综上所述：m 1≥。
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质，包括定义域、值域、对应关系、单调性等。
一、函数的概念函数是两个集合之间的一种特殊关系，一般表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，而值域则是函数在定义域内可以取得的所有因变量的值的集合。
函数在定义域内的每个自变量都对应一个唯一的因变量。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
定义域决定了函数的有效输入范围，而值域则表示函数可能的输出范围。
在函数中，定义域和值域可以是有限的集合，也可以是无限的区间。
2. 对应关系：函数的一个重要性质是具有确定的对应关系。
即在定义域内的每个自变量都对应唯一的因变量。
这种一一对应的关系使得函数具有明确的输入和输出。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量变化时的趋势。
如果函数在定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2 满足 x1 < x2，则有 f(x1) <f(x2)，则称该函数是单调递增的。
反之，如果 f(x1) > f(x2)，则称该函数是单调递减的。
4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。
如果对于定义域内的任意自变量 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。
而如果有 f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。
5. 周期性：函数的周期性表示在一定范围内，函数的图像会随着自变量的周期性变化而重复出现。
如果存在一个正数 T，使得对于定义域内的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期 T。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和其他领域中都有广泛的应用。
在数学中，函数被用于解决各种数学问题，包括方程求解、函数图像绘制和曲线分析等。
在物理、经济学和工程学等应用领域，函数被用于建立模型和描述现象，帮助我们理解和解释自然界中的规律。
高一数学 函数的基本性质
函数的基本性质一、知识梳理1.奇偶性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数.设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数.（2）如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数.函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点集.（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y 轴对称.（5）奇偶函数的运算性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. （6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-. 2.单调性（1）定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间；如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间.（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.（3）设复合函数))((x g f y =，其中)(x g u =，A 是))((x g f y =定义域的某个区间，B 是映射g :x →)(x g u = 的象集.①若)(x g u =在 A 上是增（或减）函数，)(u f y =在B 上也是增（或减）函数，则函数))((x g f y =在A 上是增函数；②若)(x g u =在A 上是增（或减）函数，而)(u f y =在B 上是减（或增）函数，则函数))((x g f y =在A 上是减函数.（4）奇偶函数的单调性①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反. ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数. 3.最值（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M ，那么，称M 是函数y ＝)(x f 的最大值.设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≥m ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝m ，那么，称m 是函数y ＝)(x f 的最小值.（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M （m ）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M （)(x f ≥m ）.二、方法归纳1.利用定义判断函数奇偶性的方法（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； （2）确定)(x f -与)(x f 的关系； （3）作出相应结论：若)(x f -＝)(x f 或)(x f -－)(x f ＝ 0，则)(x f 是偶函数； 若)(x f -＝－)(x f 或)(x f -＋)(x f ＝ 0，则)(x f 是奇函数.2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤（1）任取1x ，2x ∈D ，且1x ＜2x ； （2）作差)()(21x f x f y -=∆； （3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差)()(21x f x f y -=∆的正负）；（5）下结论（即指出函数)(x f 在给定的区间D 上的单调性）. 3.求函数最大（小）值的 一般方法（1）求值域进而得到最大（小）值.求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等.（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值. （3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）x x x x f -+-=11)1()(； （2）22)1lg()(2---=x x x f .错解分析：（1）∵x x x x f -+-=11)1()(xxx -+⋅-=11)1(21)1)(1(2-=+-=x x x . 显然有)(x f -＝)(x f ，∴)(x f 为偶函数.（2）∵22)1lg(22)1lg()(22-+-=----=-x x x x x f ，于是)(x f -≠)(x f 且)(x f -≠－)(x f . ∴)(x f 为非奇非偶函数.解析：（1）∵)(x f 的定义域为xx-+11≥０，即－1≤x ＜1. 定义域不是关于原点对称的数集，∴)(x f 为非奇非偶函数. （2）∵)(x f 的定义域为012>-x 且22--x ≠０，即－1＜x ＜1且x ≠0，此时02<-x .∴xx x x x f --=---=)1lg(22)1lg()(22，∴)(x f 为奇函数. 技巧提示：正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域. 又例:判断下列函数的奇偶性.（1）551)(2-+-=x x x f ； （2）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ； （3）33)(22-+-=x x x f .解析：（1）∵ 21x -≥0，即－1≤x ≤1.此时x x =-+55，∴xx x f 21)(-=，为奇函数.（2）当x ＞0，－x ＜0时，)(x f ＝x x +-2，)(x f -＝x x x x -=-+-22)()(，)(x f ＝－)(x f -；当x ＜0，－x ＞0时，)(x f ＝x x +2，)(x f -＝x x x x --=-+--22)()(，)(x f ＝－)(x f -；∴ )(x f 为奇函数.（3）∵33)(22-+-=x x x f 的定义域为{|x x =.此时函数化为)(x f ＝0，{|x x =. ∴ )(x f 既是奇函数又是偶函数.【例2】讨论函数xxx x f 22116)(++=的奇偶性. 解析：函数定义域为R ，又11161222116)(++=++=----xxx x x x f＝)(22116141612x f xxx x x x=++=++⋅. ∴)(x f 为偶函数.技巧提示：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.如本题亦可先化简：14412116)(++=++=-x x xx x f ，显然)(x f 为偶函数. 从这可以看出，化简后再解决要容易得多.又例：证明函数)1(1)(22x x og x f ++=为奇函数.解析：∵)(x f ＋)(x f -＝)1(122x x og ++＋)1(122x x og -+＝)]1)(1[(1222x x x x og -+++＝112og ＝0∴)(x f 为奇函数.再例：讨论函数aa x x a x f -+-=||)(22 （a ≠0）的奇偶性.解析：∵ 2x ≤2a ，∴ 要分a ＞0与a ＜0两类讨论.（i ）当a ＞0时，由⎩⎨⎧≠+≤≤-aa x ax a ||，函数的定义域为 ],0()0,[a a -，∵a x +≥0， ∴xx a x f 22)(-=，)(x f 为奇函数；（ii ）当a ＜0时，由⎩⎨⎧≠+-≤≤aa x ax a ||，函数的定义域为[][],00,a a -，∵a x +≤0， ∴ax x a x f 2)(22---=，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.【例3】求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间.错解分析：设41)23(23)(22--=+-=x x x x t ， ∴)23,(-∞为函数)(x t 的单调递减区间；),23(+∞为函数)(x t 的单调递增区间. 又t x x y 7.027.0log )23(log =+-=为t 的减函数， ∴)23,(-∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递增区间；),23(+∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递减区间. 解析：设23)(2+-=x x x t ， 由0232>+-x x 得函数的定义域为),2()1,(+∞-∞ ，区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数23)(2+-=x x x t 的单调递减区间和单调递增区间. 又t y 7.0log =，根据复合函数的单调性的规则，得区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数t y 7.0log =的单调递增区间和单调递减区间.技巧提示：函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间，因此，求函数的单调区间必须考虑函数的定义域.运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时，要考虑各个基本函数都要有意义.又例：设函数)(x f ＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性.解析：在定义域内任取1x ＜2x ，∴)()(21x f x f -＝1212x a x a x b x b ++-++))(())((2121b x b x x x a b ++--=， ∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，1x －2x ＜0，只有当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时函数才单调. 当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时)()(21x f x f -＞0.∴（－b ，＋∞）和（－∞，－b ）都是函数)(x f 的单调减函数区间.【例4】设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数. （1） 求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.解析：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x xx xe a ae ae a e +=+. ∴11()()xxa e ae --0= 对一切x R ∈成立， 则10a a-=，即1a =±.∵0a >，∴1a =. （2）设120x x <<，则12121211()()xxx x f x f x e e e e-=-+- 2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e eee+-++-=--=-，由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x x x e -+>->，2110x x e +-<， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴)(x f 在(0,)+∞上为增函数.技巧提示：两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标.又例：已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为减函数，若)12()2(2->--a f a a f ，求实数a 的取值范围.解析：)(x f 是R 上的偶函数且在),0[+∞上为减函数.∴由)12()2(2->--a f a a f ，有|12||2|2-<--a a a ，即⎩⎨⎧-<--≥--222)12(202a a a a a ，解得a ≤－1或a ≥2. 再例：二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________.解析：由二次函数)(x f 的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由)2(x f +＝)2(x f -，知x ＝2为对称轴， 于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小. ∴22122122--+<--x x x即22)1(12-<+x x ,22)1(12-<+x x∴－2＜x ＜0.【例5】已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)5(f ＝1，设)(x F ＝)(x f ＋)(1x f ，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论.解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(1x f ＜)(2x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)5(f ＝1，∴当x ＜5时0＜)(x f ＜1，而当x ＞5时)(x f ＞1；① 若1x ＜2x ＜5，则0＜)(1x f ＜)(2x f ＜1，∴0＜)(1x f )(2x f ＜1，∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；② 若2x ＞1x ＞5，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ，∴)(1x f )(2x f ＞1, ∴)()(1121x f x f -＞0，∴)(2x F ＞)(1x F . 综上，)(x F 在（－∞，5）为减函数，在（5，＋∞）为增函数.技巧提示：该题属于判断抽象函数的单调性问题.抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点.又例：已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：（1）)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+⋅=-；（2）存在正常数a ，使)(a f ＝1.求证：（Ⅰ）)(x f 是奇函数；（Ⅱ）)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a . 解析：（Ⅰ）设21x x t -=，则)()()()(1)()()()(1)()()()(211221211212t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t f -=--=-+⋅-=-+⋅=-=-所以函数)(x f 是奇函数.（Ⅱ）令a x a x ==212，，则)2()(1)()2()(a f a f a f a f a f -+⋅=即)2(11)2(1a f a f -+=，解得：)2(a f ＝0.于是有 )()2(1)2()()2(x f a f a f x f a x f --+-⋅=+)(1)()2(1)]2([)(x f x f a f a f x f -=--+-⋅=.所以)()(11)2(1)4(x f x f a x f a x f =--=+-=+. 因此，函数)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a .【例6】设函数)(x f ＝xx 1-.对任意),1[+∞∈x ，有0)()(<+x mf mx f 恒成立，则实数m 的取值范围是 .解析：方法一 ：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.当m ＜0时，函数)()()(x mf mx f x h +=在),1[+∞∈x 上是减函数， 因此，当1=x 时，)(x h 取得最大值mm h 1)1(-=， 故0)()()(<+=x mf mx f x h 恒成立等价于)(x h 在),1[+∞∈x 上的最大值小于零，即01)1(<-=m m h ，解⎪⎩⎪⎨⎧<<-01m m m ，得m ＜－1. 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法二 ：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.若x m mx mx mx x mf mx f -+-=+1)()(＝m xm x m 22212--＜0恒成立， 因为),1[+∞∈x ，m ＜0，则需22212m x m --＞0恒成立， 设函数22212)(m x m x g --=，则)(x g 在),1[+∞∈x 时为增函数，于是1=x 时，)(x g 取得最小值1)1(2-=m g .解 ⎩⎨⎧<>-0012m m ，得m ＜－1.于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法三 ：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0. 因为对任意),1[+∞∈x ，0)()(<+x mf mx f 恒成立， 所以对1=x ，不等式0)()(<+x mf mx f 也成立，于是0)1()(<+mf m f ，即01<-mm ， 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-001m m m ，得m ＜－1. 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.技巧提示：这是一个“恒成立”问题函数，本题提供了三种解法，其中方法一和方法二较好地应用了函数的单调性.函数)(x f ＝xx 1-在)0,(-∞和),0(+∞上都是增函数.在)1,(-∞和)1,0(上小于零；在)0,1(-和),1(+∞上大于零.又例：已知函数)(x f ＝xax +2),0(R a x ∈≠， （1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）若)(x f 在区间),2[+∞是增函数，求实数a 的取值范围。
《函数的基本性质(函数的奇偶性、对称性、周期性)灵活应用》
备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质（函数的奇偶性、对称性、周期性）灵活应用一．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=a+b2对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ， 则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍， 为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 所以 函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0； ②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B C ．2-D ．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<f (2)C ．f (2)<f (－3)<f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解： ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)． 当0 ≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0， 所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)． 答案:D4.（2018年全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－3＋1. 答案：D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______ 解：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.答案：5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f （x ），则f (8)＝________；f (2 015)＝________. 解：由f (x ＋3)＝－1f （x ），得f (x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f (x )， 故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)＝f (2)＝15，f (2 015)＝f (6×335＋5)＝f (5)＝－1f （2）＝－115＝－5.答案：15；－513.奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.解：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45， 又当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59， 故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 答案： 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.解：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知， 函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1， 且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案：①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＝c B.b ＞a ＝c C.b ＞c ＞a D.a ＞c ＞b解：依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数， 于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c . 答案：A2.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数， 那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 解：由题意知f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数， 则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16解：由题可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解：依题意，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f(2014)＝f(2)＝0.故选A.答案：A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )A．4 B．5 C．8 D．10解：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
2020年高考数学(理)函数与导数 专题02 函数的基本性质(解析版)
函数与导数02函数函数的基本性质【考点讲解】一、具体目标：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.会用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.2.理解函数的单调性及其几何意义.会用基本函数的图象分析函数的性质.3. 了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．二、知识概述：1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.判断函数的奇偶性的常用方法：(1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． (3)组合函数奇偶性的判定方法①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数．②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数． ③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． (4)分段函数的奇偶性判定分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结1．已知函数的奇偶性求函数的解析式． 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．5．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．6．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 7．增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__增函数__.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__减函数__.8．单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D 叫做y ＝f (x )的__单调区间__. 9．函数的最大值与最小值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≤M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最 大值．(2)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≥M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．10．函数单调性的常用结论11．对勾函数的单调性对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；递减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数． 12.函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个__非零常数__T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__f (x ＋T )＝f (x )__，那么函数f (x )就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__最小__正周期． 13.函数周期性的常用结论： 对f (x )定义域内任一自变量x 的值： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．14.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期 T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b,0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．15．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【答案】3-2.【2019优选题】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)f a f -<（4），则a 的取值范围为 ．【解析】：()f x Q 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，∴不等式(3)f a f -<（4）等价为 (|3|)f a f -<（4），即|3|4a -<，即434a -<-<，得17a -<<，即实数a 的取值范围是17a -<<， 【真题分析】故答案为：17a -<< 【答案】17a -<<．3.【2017课标II 】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+, 则(2)f = ________．【解析】本题考点奇函数的性质解决求函数值的问题. 法一：(2)(2)[2(8)4]12=--=-⨯-+=f f .法二：由题意可知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以有()()()232x x x f x f +-=-=-，而因为()0,∞-∈x ，()∞+∈-，0x ，()232x x x f --=-所以有()⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,20,22323x x x x x x x f ，()12222223=-⨯=f【答案】124. 【2017山东】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6xf x -=,则f (919)= 【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()()6=+f x f x 是周期函数,且6T =,所以(919)(66531)(1)f f f =⨯+=(1)6f =-=.【答案】65. 【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 . 【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f x x =--1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]f x x x =--∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1211k =+，解得2(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴1234k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭，. 【答案】123⎡⎢⎣⎭6.【2017山东理15】若函数()e x f x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【解析】①()e =e e 22xx x xy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e xxy f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+， 则()()()22e 2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.【答案】①④7.【2017天津理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【解析】 因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.【答案】C8.【2018新课标II 卷11】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【解析】本题考点是函数的性质的具体应用，根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 由题意可知原函数的定义域为()∞+∞-，的奇函数，并且有()()x f x f +=-11，所以有()()()111--=-=+x f x f x f ，所以有()()()113-=+-=+x f x f x f ，即有()()4+=x f x f ，所以函数是以周期为4的周期函数.因此有()()()()()()()()[]()()2143211250321f f f f f f f f f f +++++=++++Λ.因为()()()()2413f f f f -=-=，，()()()()04321=+++f f f f ，由()()()113-=+-=+x f x f x f 可得()()()00112==+--=f f f从而()()()()()2150321==++++f f f f f Λ，选C .【答案】C9. .已知定义在错误!未找到引用源。
函数基本性质及分类
函数基本性质及分类函数是数学中一个重要的概念，是一种从一个集合到另一个集合的映射关系。
每一个函数都有一组输入值和对应的输出值，通常写成函数名加上括号内的自变量，例如f(x)。
函数的基本性质和分类是我们在学习和应用函数时必须掌握的知识点，下面就来一起探讨一下。
一、函数的基本性质1. 定义域和值域：一个函数的定义域是指所有自变量可能取值的集合，值域是指函数所有可能的输出值的集合。
例如，函数f(x)=x^2的定义域是实数集，值域是非负实数集。
2. 单调性：一个函数在定义域内的单调性表示函数的增减趋势。
如果一个函数在它的定义域上是单调递增的，则对于任意两个自变量，它们对应的函数值的大小关系是前者小于后者。
如果一个函数在定义域内是单调递减的，则其中任意两个自变量所对应的函数值的大小关系是前者大于后者。
3. 奇偶性：一个函数的奇偶性表示函数是否具有对称性。
如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)对于所有x成立，则函数称为奇函数；如果f(-x)=f(x)对于所有x成立，则函数称为偶函数。
例如，函数f(x)=x^3是奇函数，而函数g(x)=x^2是偶函数。
4. 周期性：一个函数如果满足f(x+T)=f(x)对于所有x成立，则称函数具有周期性，其中T是函数的周期。
例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期都是2π。
二、函数的分类1. 一次函数：一个函数f(x)如果可以表示为f(x)=ax+b的形式，则称它为一次函数。
其中a和b是常数，a称为斜率，表示函数曲线在每个点的增长速率，b称为截距，表示函数曲线与y轴之间的距离。
一次函数在平面直角坐标系中的图像是一条直线，其斜率为正表示函数递增，为负则表示函数递减，为零则表示函数为常数函数。
2. 二次函数：一个函数f(x)=ax^2+bx+c称为二次函数。
在平面直角坐标系中，二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
其中，a决定了抛物线的开口方向和斜率，当a>0时开口向上，a<0时开口向下；b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
函数的基本性质(解析版)
函数的基本性质函数的增减性函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数y＝f(x)在区间D 上具有(严格)的单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．最大值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．最小值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．偶函数(1)定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数．(2)图象特征：图象关于y轴对称．奇函数(1)定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数．(2)图象特征：图象关于原点对称．奇偶性的应用中常用到的结论(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则必有f(0)＝0.(2)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.(3)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是增函数．函数单调性的判定与证明求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．证明对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝(x2－x1)(x2＋x1)x21x22.∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数． 对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 有f (x 1)－f (x 2)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，x 21x 22>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )＝1x 2在(0，＋∞)上是减函数．已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数． 证明 任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2. 则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 2＞x 1＞－1，∴x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0， 因此f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 所以f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( ) A ．函数f (x )先增后减 B ．f (x )是R 上的增函数 C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数答案 B解析 由f (a )－f (b )a －b >0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．求函数的单调区间作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x ＞1的图象，并指出函数的单调 区间．解f (x )＝⎩⎨⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x ＞1 的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．解y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎨⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．函数y ＝x 2－6x 的减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3] 答案 D解析 y ＝x 2－6x ＝(x －3)2－9，故减区间为(－∞，3]．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案 [－1.5,3]和[5,6]解析 由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．函数223y x x =--的单调递增区间为 .函数223=--的单调递减区间为.y x x函数单调性的应用函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案 C解析 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．解 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2 ＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3.已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则实数a 的取值范围为________．答案 0<a <23解析由题意可知⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数， 且f (1－a )<f (2a －1)， ∴1－a >2a －1，即a <23.② 由①②可知，0<a <23， 即所求a 的取值范围是0<a <23.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，若a ∈R ，则( )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a ＋3)>f (a －2)D ．f (6)>f (a ) 答案 C解析 因为函数f (x )是增函数，且a ＋3>a －2，所以f (a ＋3)>f (a －2)．函数的最值已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.求f (x )的最大值、最小值．解 作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1.当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，。
高中数学的解析函数的性质与变换
高中数学的解析函数的性质与变换解析函数是数学中一类重要的函数，它在实数域上具有连续性和可导性。
解析函数的性质和变换在高中数学中有着广泛的应用和深入的研究。
本文将介绍解析函数的基本性质以及经典的函数变换，并探讨其在数学中的重要性。
一、解析函数的基本性质1. 解析函数的定义解析函数又称为复可微函数，是指在某个开集内都可导的复函数。
具体来说，如果一个函数f(z)是定义在某个复数集合的开集上的函数，并且在该开集的每个点上都存在复数导数，那么f(z)就是解析函数。
2. 解析函数的导数性质与实函数类似，解析函数的导数也满足求导法则，包括加法法则、乘法法则和复合函数求导法则。
对于解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)来说，其中u(x,y)和v(x,y)是f(z)的实部和虚部，它们的偏导数存在且连续，因此解析函数的导数存在且连续。
3. 解析函数的柯西-黎曼条件柯西-黎曼条件是解析函数的重要性质，它可以用来判断一个函数是否是解析函数。
柯西-黎曼条件的表达式为：∂u/∂x = ∂v/∂y 和∂u/∂y = -∂v/∂x其中，u(x,y)和v(x,y)分别为函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部。
二、解析函数的变换1. 加法和减法变换对于两个解析函数f(z)和g(z)，它们的和函数h(z) = f(z) ± g(z)也是解析函数。
此外，解析函数的加法和减法变换还满足交换律和结合律。
2. 乘法变换对于两个解析函数f(z)和g(z)，它们的乘积函数h(z) = f(z) * g(z)也是解析函数。
同样地，解析函数的乘法变换满足交换律和结合律。
3. 变换的可逆性解析函数的变换具有可逆性，即如果h(z)是f(z)的变换函数，那么f(z)可以通过找到h(z)的逆变换函数得到。
三、解析函数的重要性1. 应用于物理学解析函数在物理学中有着广泛的应用，特别是在电磁学和流体力学中。
通过使用解析函数，可以描述电磁场和流体流动的性质，并求解相应的物理问题。
函数的基本性质（总结版）
函数的基本性质基础知识：1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系；的关系；○3 作出相应结论：作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则，则f (x )是偶函数；是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则，则f (x )是奇函数。
是奇函数。
（3）简单性质：）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇´奇=偶，偶+偶=偶，偶´偶=偶，奇´偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
《函数的基本性质》教材分析
《函数的基本性质》教材分析首先，我们来分析该教材的内容特点。
《函数的基本性质》主要涵盖了以下几个方面的内容：1.函数的定义与表示方法：介绍了函数的定义，以及常见的函数表示方法，包括解析表示法、图象表示法和符号表示法等。
通过这一部分的学习，学生可以了解函数的基本概念和表示方法，为后续内容的学习打下基础。
2.函数的性质：介绍了函数的奇偶性、周期性以及单调性等重要性质。
通过学习这些性质，学生可以进一步掌握函数的特点，从而更好地理解和应用函数。
3.基本初等函数：主要包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
该部分内容介绍了这些函数的定义、性质以及图象特点等。
通过学习这些函数，学生可以熟练掌握它们的特点和应用方法。
4.复合函数：介绍了函数的复合运算及其性质。
通过学习这部分内容，学生可以学会如何计算复合函数以及其相关的性质。
5.反函数和反函数的性质：介绍了函数的反函数的概念，以及反函数的性质和图象特点等。
通过学习这部分内容，学生可以更深入地理解函数的性质和特点。
教学目标方面，该教材主要以培养学生的数学思维和解决实际问题的能力为目标，具体包括以下几个方面：1.培养学生的抽象思维能力：函数是数学中的一个重要概念，涉及到抽象思维能力的培养。
通过学习函数的定义、性质和表示方法，可以培养学生的抽象思维能力，提高他们理解和运用抽象概念的能力。
2.培养学生的问题解决能力：函数的概念和性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
通过学习函数的基本性质和应用方法，可以培养学生的问题解决能力，使他们能够运用函数的知识解决实际问题。
3.培养学生的数学建模能力：数学建模是数学学科的一个重要分支，函数在数学建模中具有重要作用。
通过学习函数的表示方法和特点，可以培养学生的数学建模能力，使他们能够将数学知识应用于实际问题的建模过程中。
针对上述教学目标，本教材采用了一系列教学方法，包括讲解、示范、练习和应用等。
通过对函数的定义和性质的讲解，可以使学生掌握函数的基本概念和特点；通过示范和练习，可以帮助学生熟练掌握函数的表示方法和应用方法；通过应用例题的讲解，可以帮助学生将函数的知识应用于实际问题的解决中。
函数的基本性质老师版(部分含答案)
函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。
（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。
）3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加；当0<a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；例1：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。
练习：讨论函数()2-21f x ax x =+在（-1，1）内的单调性。
4．证明方法和步骤：⑴设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；⑵作差：)()(21x f x f -；⑶变形：（如因式分解、配方等）；⑷定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；⑸根据定义下结论。
例2、判断函数1()x f x x +=在)0,(-∞上的单调性并加以证明.练习： 判断函数2()1x f x x +=-在（-∞，0）上的单调性并加以证明。
[例3] 求证函数f (x )＝x ＋xa (a .,>0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 分析 利用定义证明，证明函数单调性的关键在于作差变形．证明 (1)设0<x 1<x 2≤a ,则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x a －x 2－2x a ＝(x 1－x 2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211x x a ． 因为0<x 1<x 2≤a ，所以x 1－x 2<0，0<x 1x 2<a .，所以\21x x a >1，所以211x x a -<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，\r(a .,)]上为减函数．(1) 设a ≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211x x a ． 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>a .,，所以\21x x a <1， 所以211x x a ->0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性1）定义：如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$ 为奇函数；如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为偶函数。
如果函数 $f(x)$ 不具有上述性质，则 $f(x)$ 不具有奇偶性。
如果函数同时具有上述两条性质，则 $f(x)$ 既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 $x$，则 $-x$ 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系；③作出相应结论：若 $f(-x) =f(x)$ 或 $f(-x)-f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是偶函数；若 $f(-x)=-f(x)$ 或 $f(-x)+f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是奇函数。
3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴成轴对称；②设 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域分别是 $D_1$，$D_2$，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇2.单调性1）定义：一般地，设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$，如果对于定义域 $I$ 内的某个区间 $D$ 内的任意两个自变量$x_1$，$x_2$，当 $x_1f(x_2)$），那么就说 $f(x)$ 在区间$D$ 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间 $D$ 内的任意两个自变量 $x_1$，$x_2$；当 $x_1<x_2$ 时，总有 $f(x_1)<f(x_2)$。
高一函数的基本性质-奇偶性、周期性和对称性(解析版)
函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性题型目录一览①函数的奇偶性②函数奇偶性的应用③函数的周期性④函数的对称性⑤函数性质的综合应用一、知识点梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，-x也在定义域内(即定义域关于原点对称)．2.函数的对称性(1)若函数y=f(x+a)为偶函数，则函数y=f(x)关于x=a对称．(2)若函数y=f(x+a)为奇函数，则函数y=f(x)关于点(a，0)对称．(3)若f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)关于x=a对称．(4)若f(x)+f(2a-x)=2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．3.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做f(x)的最小正周期.1【常用结论】1.奇偶性技巧(1)若奇函数y=f(x)在x=0处有意义，则有f(0)=0；(2)对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶.(3)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．注意：关于①式，可以写成函数f(x)=m+2ma x-1(x≠0)或函数f(x)=m-2ma x+1(m∈R)．偶函数：①函数f(x)=±(a x+a-x)．②函数f(x)=log a(a mx+1)-mx2．③函数f(|x|)类型的一切函数．2.周期性技巧3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a).4.对称性技巧(1)若函数y=f(x)关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)．(2)若函数y=f(x)关于点(a，b)对称，则f(a+x)+f(a-x)=2b．(3)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴对称，函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于原点对称．二、题型分类精讲真题刷刷刷一、单选题1(2021·全国·高考真题)下列函数中是增函数的为()A.f x =-xB.f x =23x C.f x =x2 D.f x =3x 【答案】D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，f x =-x为R上的减函数，不合题意，舍.对于B，f x =23x为R上的减函数，不合题意，舍.对于C，f x =x2在-∞,0为减函数，不合题意，舍.对于D，f x =3x为R上的增函数，符合题意，故选：D.2(2021·全国·统考高考真题)设函数f(x)=1-x1+x，则下列函数中为奇函数的是()A.f x-1-1 B.f x-1+1 C.f x+1-1 D.f x+1+1【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得f(x)=1-x1+x=-1+21+x，对于A，f x-1-1=2x-2不是奇函数；对于B，f x-1+1=2x是奇函数；对于C，f x+1-1=2x+2-2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f x+1+1=2x+2，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.3(2021·全国·高考真题)设f x 是定义域为R的奇函数，且f1+x=f-x.若f-1 3=13，则f53=()A.-53B.-13C.13D.53【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f53的值.【详解】由题意可得：f53=f1+23=f-23=-f23 ，而f23=f1-13=f13 =-f-13=-13，故f53=13.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.4(2021·浙江·统考高考真题)已知函数f(x)=x2+14,g(x)=sin x，则图象为如图的函数可能是()A.y=f(x)+g(x)-14B.y=f(x)-g(x)-14C.y =f (x )g (x )D.y =g (x )f (x )【答案】D【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，y =f x +g x -14=x 2+sin x ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，y =f x -g x -14=x 2-sin x ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，y =f x g x =x 2+14sin x ，则y =2x sin x +x 2+14 cos x ，当x =π4时，y =π2×22+π216+14 ×22>0，与图象不符，排除C .故选：D .5(2022·全国·统考高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是()A.y =-x 3+3xx 2+1 B.y =x 3-xx 2+1C.y =2x cos x x 2+1D.y =2sin x x 2+1【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设f x =x 3-x x 2+1，则f 1 =0，故排除B ;设h x =2x cos x x 2+1，当x ∈0,π2 时，0<cos x <1，所以h x =2x cos x x 2+1<2xx 2+1≤1，故排除C ;设g x =2sin x x 2+1，则g 3 =2sin310>0，故排除D .故选：A.6(2021·全国·统考高考真题)已知函数f x 的定义域为R，f x+2为偶函数，f2x+1为奇函数，则()A.f-12=0 B.f-1 =0 C.f2 =0 D.f4 =0【答案】B【分析】推导出函数f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f1 =0，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数f x+2为偶函数，则f2+x=f2-x，可得f x+3=f1-x，因为函数f2x+1为奇函数，则f1-2x=-f2x+1，所以，f1-x=-f x+1，所以，f x+3=-f x+1=f x-1，即f x =f x+4，故函数f x 是以4为周期的周期函数，因为函数F x =f2x+1为奇函数，则F0 =f1 =0，故f-1=-f1 =0，其它三个选项未知.故选：B.7(2022·全国·统考高考真题)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则22k=1f(k)=()A.-3B.-2C.0D.1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的f1 , f2 ,⋯,f6 的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为f x+y+f x-y=f x f y ，令x=1,y=0可得，2f1 =f1 f0 ，所以f0 =2，令x=0可得，f y +f-y=2f y ，即f y =f-y，所以函数f x 为偶函数，令y=1得，f x+1+f x-1=f x f1 =f x ，即有f x+2+f x =f x+1，从而可知f x+2=-f x-1，f x-1=-f x-4，故f x+2=f x-4，即f x =f x+6，所以函数f x 的一个周期为6．因为f2 =f1 -f0 =1-2=-1，f3 =f2 -f1 =-1 -1=-2，f4 =f-2=f2 =-1，f5 =f-1=f1 =1，f6 =f0 =2，所以一个周期内的f1 +f2 +⋯+f6 =0．由于22除以6余4，所以22k=1f k=f1 +f2 +f3 +f4 =1-1-2-1=-3．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由f x+y+f x-y=f x f y ，联想到余弦函数和差化积公式cos x+y+cos x-y=2cos x cos y，可设f x =a cosωx，则由方法一中f0 =2,f1 =1知a=2,a cosω=1，解得cosω=12，取ω=π3，所以f x =2cos π3x，则f x+y+f x-y=2cosπ3x+π3y+2cosπ3x-π3y=4cosπ3x cosπ3y=f x f y ，所以f x =2cos π3x符合条件，因此f(x)的周期T=2ππ3=6，f0 =2,f1 =1，且f2 =-1,f3 =-2,f4 =-1,f5 =1,f6 =2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，由于22除以6余4，所以22k=1f k=f1 +f2 +f3 +f4 =1-1-2-1=-3．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.8(2022·全国·统考高考真题)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =()A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x-2)=-2，从而得到f3 +f5 +⋯+f21=-10，f4 +f6 +⋯+f22=-10，然后根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g3 =6从而得到f1 的值即可求解.【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g2-x=g x+2，因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+7+f(x-2)=5，即f(x)+f(x-2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.9(2021·全国·统考高考真题)设函数f x 的定义域为R ，f x +1 为奇函数，f x +2 为偶函数，当x ∈1,2 时，f (x )=ax 2+b ．若f 0 +f 3 =6，则f 92=()A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【分析】通过f x +1 是奇函数和f x +2 是偶函数条件，可以确定出函数解析式f x =-2x 2+2，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92=f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12=f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52=-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92=-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．二、多选题10(2022·全国·统考高考真题)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，则()A.f (0)=0B.g -12=0 C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x 为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x =f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x=g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R，所以g32=0，结合g(x)关于x=2对称，从而周期T=4×2-32=2，所以g-12=g32 =0，g-1 =g1 =-g2 ，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g(x)周期为2，关于x=2对称，故可设g x =cosπx，则f x =1πsinπx+c，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为f32-2x，g(2+x)均为偶函数，所以f32-2x=f32+2x即f32-x=f32+x，g(2+x)=g(2-x)，所以f3-x=f x ，g(4-x)=g(x)，则f(-1)=f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=32,x=2对称，又g(x)=f (x)，且函数f(x)可导，所以g32=0,g3-x=-g x ，所以g(4-x)=g(x)=-g3-x，所以g(x+2)=-g(x+1)=g x ，所以g-1 2=g32 =0，g-1 =g1 =-g2 ，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．三、填空题11(2021·全国·统考高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f x :．①f x1x2=f x1f x2；②当x∈(0,+∞)时，f (x)>0；③f (x)是奇函数．【答案】f x =x 4(答案不唯一，f x =x 2n n ∈N * 均满足)【分析】根据幂函数的性质可得所求的f x .【详解】取f x =x 4，则f x 1x 2 =x 1x 2 4=x 41x 42=f x 1 f x 2 ，满足①，f x =4x 3，x >0时有f x >0，满足②，f x =4x 3的定义域为R ，又f -x =-4x 3=-f x ，故f x 是奇函数，满足③.故答案为：f x =x 4(答案不唯一，f x =x 2n n ∈N * 均满足)四、双空题12(2022·全国·统考高考真题)若f x =ln a +11-x+b 是奇函数，则a =，b =．【答案】-12；ln2．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若a =0，则f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称∴a ≠0若奇函数的f (x )=ln a +11-x +b 有意义，则x ≠1且a +11-x≠0∴x ≠1且x ≠1+1a，∵函数f (x )为奇函数，定义域关于原点对称，∴1+1a =-1，解得a =-12，由f (0)=0得，ln 12+b =0，∴b =ln2，故答案为：-12；ln2．[方法二]：函数的奇偶性求参f (x )=ln a +11-x +b =ln a -ax +11-x +b =lnax -a -11-x+b f (-x )=ln ax +a +11+x+b∵函数f (x )为奇函数∴f(x)+f(-x)=ln ax-a-11-x +lnax+a+11+x+2b=0∴lna2x2-(a+1)2x2-1+2b=0∴a21=(a+1)21⇒2a+1=0⇒a=-12-2b=ln14=-2ln2⇒b=ln2∴a=-12,b=ln2 [方法三]：因为函数f x =ln a+1 1-x+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a+11-x≠0可得，1-xa+1-ax≠0，所以x=a+1a=-1，解得：a=-12，即函数的定义域为-∞,-1∪-1,1∪1,+∞，再由f0 =0可得，b=ln2．即f x =ln-12+1 1-x+ln2=ln1+x1-x，在定义域内满足f-x =-f x ，符合题意．故答案为：-12；ln2．题型一：函数的奇偶性策略方法判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：在公共定义域内有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．1判断下列函数的奇偶性：(1)f x =x4-2x2；(2)f x =x5-x；(3)f x =3x1-x2；(4)f x =x +x．【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数【分析】(1)利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；(2)利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；(3)利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；(4)利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.【详解】(1)f x 的定义域为R，它关于原点对称.f-x=-x4-2-x2=x4-2x2=f x ，故f x 为偶函数.(2)f x 的定义域为R，它关于原点对称.f-x=-x5--x=-x5+x=-f x ，故f x 为奇函数.(3)f x 的定义域为-∞,-1∪-1,1∪1,+∞，它关于原点对称.f-x=-3x1--x2=-f x ，故f x 为奇函数.(4)f1 =1 +1=2,f-1=0，故f1 ≠f-1,f-1≠-f1 ，故f x 为非奇非偶函数.【题型训练】一、单选题1函数f x =2x-12x+1的奇偶性是()A.是奇函数，不是偶函数B.是偶函数，不是奇函数C.既是奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数【答案】A【分析】由奇偶性定义直接判断即可.【详解】∵f x 的定义域为R，f-x=2-x-12-x+1=12x-112x+1=1-2x1+2x=-f x ，∴f x 是奇函数，不是偶函数.故选：A.2已知奇函数f x ，当x>0时，f x =x2+x，则当x<0时，f x =() A.-x2+x B.-x2-x C.x2+x D.x2-x 【答案】A【分析】由x<0得-x>0，代入得f-x，根据奇函数即可求解.【详解】当x<0，则-x>0，则f-x=(-x)2+-x=x2-x，又f x 为奇函数，所以当x<0时，f x =-f-x=-x2+x.故选：A.3若函数f x =log2-x,x<0g x ,x>0为奇函数，则f g2=()A.2B.1C.0D.-1【答案】C【分析】由f x 为奇函数求得g x ，即可由分段函数求值.【详解】函数f x =log2-x,x<0g x ,x>0为奇函数，设x>0，则-x<0，∴f x =g x =-f-x=-log2x，∴g2 =-1，f g2=f-1=0.故选：C.4函数f x =4cos x2x-2-x的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】C【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解.【详解】因为f x =4cos x2x-2-x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，所以f(-x)=4cos(-x)2-x-2x=4cos x2-x-2x=-f(x)，即函数为奇函数，排除AB，当x=2时，f(2)=4cos222-2-2<0，排除D.故选：C二、填空题5函数y=f x 为偶函数，当x>0时，f x =ln x+x-1，则x<0时，f x =．【答案】ln-x-x-1【分析】由偶函数的定义求解．【详解】x<0时，-x>0，f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=ln(-x)-x-1，故答案为：ln(-x)-x-1．6f x =x5+100x3+x+1，若f m=-2，则f-m=.【答案】4【分析】令f x =g(x)+1，可得g(x)为奇函数，再根据奇函数的性质求解.【详解】令f x =g x +1,g x =x5+100x3+x,x∈R，则g(-x)=-g(x)，g(x)为奇函数，由f(m)=g(m)+1=-2，解得g(m)=-3，所以g(-m)=3.所以f-m=g(-m)+1=3+1=4.故答案为：4.7已知函数f x 是定义在R上的奇函数，当x>0时，f x =log2x，则f x ≥-2的解集是.【答案】-4,0∪14,+∞【分析】利用奇偶性求出函数f(x)的解析式f(x)=-log2-x,x<00,x=0log2x,x>0，分类讨论即可求解.【详解】当x<0时，-x>0，所以f(-x)=log2-x，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-log2-x，所以当x<0时，f(x)=-log2-x，所以f (x )=-log 2-x ,x <00,x =0log 2x ,x >0，要解不等式f (x )≥-2，只需x >0log 2x ≥-2 或x <0-log 2-x ≥-2 或x =00≥-2，解得x ≥14或-4≤x <0或x =0，综上，不等式的解集为-4,0∪ 14,+∞.故答案为：-4,0∪ 14,+∞.三、解答题8已知函数f x -1 =lgx 2-x(1)求函数f x 解析式；(2)判断函数f x 的奇偶性并加以证明【答案】(1)f (x )=lgx +11-x(2)奇函数，证明见解析【分析】(1)利用换元法，令t =x -1，得f (t )，从而可得f (x )；(2)先求函数定义域，利用奇偶性的定义进行证明.【详解】(1)令t =x -1，则x =t +1，则f (t )=lg t +12-t -1=lg t +11-t，所以f (x )=lg x +11-x.(2)奇函数；证明：定义域为-1,1 ，因为f (-x )=lg 1-x 1+x =-lg x +11-x=-f (x )，所以f (x )为奇函数.9已知函数f x =2x -22x +2．(1)求f -1 +f 3 的值；(2)令g x =f x +1 ，求证：g x 为奇函数；(3)若锐角α满足g 1-sin α +g cos α-1 >0，求α的取值范围．【答案】(1)0(2)证明见解析(3)0,π4【分析】(1)将x =-1和x =3分别代入解析式求解即可；(2)根据奇偶性的定义证明即可；(3)根据奇偶性将不等式化为g 1-sin α >g 1-cos α ，利用单调性定义可证得g x 为R 上的增函数，由此可得sin α<cos α，结合三角函数知识可求得结果.【详解】(1)∵f -1 =12-212+2=-35，f 3 =8-28+2=35，∴f -1 +f 3 =0.(2)g x =f x +1 =2x +1-22x +1+2=2x -12x +1，则g x 的定义域为R ；∵g -x =12x -112x+1=1-2x 1+2x=-g x ，∴g x 为奇函数.(3)由g 1-sin α +g cos α-1 >0得：g 1-sin α >-g cos α-1 =g 1-cos α ；g x =2x -12x +1=2x +1-22x +1=1-22x+1，设x 1<x 2，则g x 2 -g x 1 =1-22x 2+1-1+22x 1+1=22x 2-2x 12x 1+1 2x2+1>0，∴g x 为R 上的增函数，∴1-sin α>1-cos α，即sin α<cos α，又α∈0,π2，∴α∈0,π4 .题型二：函数奇偶性的应用策略方法已知函数奇偶性可以解决的三个问题1若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=x 2-6x ，则f (-1)=()A.-7B.-5C.5D.7【答案】C【分析】求出x <0时的解析式后，代入x =-1可求出结果.【详解】因为f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )=x 2-6x ，所以当x <0时，f (x )=-f (-x )=--x 2-6-x =-x 2-6x ，所以f (-1)=-1+6=5.故选：C2若函数f x =ax 2+bx +3a +b a -1≤x ≤2a 是偶函数，则a 、b 的值是()A.a =0，b =0B.a 不能确定，b =0C.a =0，b 不能确定D.a =13,b =0【答案】D【分析】根据定义域关于原点对称，求得a =13，再根据f -x =f x ，求得b 的值，即可求解.【详解】因为函数f x =ax 2+bx +3a +b a -1≤x ≤2a 是偶函数，可得a -1+2a =0，解得a =13，即f x =13x 2+bx +1+b ，又由f -x =13x 2-bx +1+b ，因为函数f x 为偶函数，则f -x =f x ，即13x 2+bx +1+b =13x 2-bx +1+b ，解得b =0.故选：D .3偶函数f x x ∈R 满足：f -4 =f 1 =0，且在区间0，3 与3，+∞ 上分别递减和递增，使f x <0的取值范围是()A.-∞，-4 ∪4，+∞B.-4，-1 ∪1，4C.-∞，-4 ∪-1，0D.-∞，-4 ∪-1，0 ∪1，4【答案】B【分析】根据题中所给条件，可画出符合全部条件的函数图象辅助做题.【详解】根据题目条件，想象函数图象如下:因为f-4=f1 =0，f x 为偶函数，所以f4 =f-1=0，所以当-4<x<-1和1<x<4时，f x <0，故选：B.【题型训练】一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =2x+a2x-a为奇函数，则实数a的值为()A.1B.2C.-1D.±1【答案】D【分析】根据题意可得f-x+f(x)=0，计算可得a=±1，经检验均符合题意，即可得解.【详解】由f(x)为奇函数，所以f-x+f(x)=2-x+a2-x-a+2x+a2x-a=1+a⋅2x1-a⋅2x+2x+a2x-a=0，所以2⋅2x-2a2⋅2x=0，可得a2=1，解得a=±1，当a=-1时，f(x)的定义域为R，符合题意，当a=1时，f(x)的定义域为-∞,0∪0,+∞符合题意，故选：D2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3+1,x>0ax3+b,x<0为偶函数，则2a+b=()A.3B.32C.-12D.-32【答案】B【分析】利用偶函数的性质直接求解即可.【详解】由已知得，当x>0时，则-x<0，即f x =x3+1，f-x=-ax3+b，∵f x 为偶函数，∴f-x=f x ，即x3+1=-ax3+b，∴a=-1，b=1，∴2a+b=2-1+1=32，故选：B.3(2023·安徽·校联考模拟预测)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=e x+x+m，则f(-1)=()A.eB.-eC.e+1D.-e-1【答案】B【分析】由定义在R上的奇函数有f0 =0，求出m的值，再由f(-1)=-f(1)可得出答案.【详解】函数f(x)为R上的奇函数，则f0 =e0+0+m=0，解得m=-1f(-1)=-f(1)=-e+1-1=-e故选：B4(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的偶函数f x 在区间0,+∞上单调递增，若f1 < f ln x，则x的取值范围是()A.e,+∞B.1,+∞C.-∞,-e∪e,+∞D.0,1 e∪e,+∞【答案】D【分析】根据偶函数及单调性解不等式即可.【详解】由题意，ln x>1，则x>e或x∈0,1 e.故选:D.5(2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习)已知偶函数f x 在-∞,0上单调递增，则f3-2x>f1 的解集是()A.-1,1B.1,+∞C.-∞,2D.1,2【答案】D【分析】利用偶函数的对称性可得|3-2x|<1，即可求解集.【详解】由偶函数的对称性知：f x 在-∞,0上递增，则在(0,+∞)上递减，所以|3-2x|<1，故-1<3-2x<1，可得1<x<2，所以不等式解集为1,2.故选：D6(2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(3)=0，则不等式(2x-5)f(x-1)<0的解集为()A.(-∞,-2)∪52,4B.(4,+∞)C.-2,52∪(4,+∞) D.(-∞,-2)【答案】C【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.【详解】依题意，函数的大致图像如下图：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，在[0,+∞)上单调递减，且f (3)=0，所以f (x )在(-∞,0]上单调递增，且f (-3)=0，则当x >3或x <-3时，f (x )<0；当-3<x <3时，f (x )>0，不等式(2x -5)f (x -1)<0化为2x -5>0f (x -1)<0 或2x -5<0f (x -1)>0 ，所以2x -5>0x -1>3或2x -5>0x -1<-3 或2x -5<0-3<x -1<3 ，解得x >4或x ∈∅或-2<x <52，即-2<x <52或x >4，即原不等式的解集为-2,52∪(4,+∞)；故选：C .二、多选题7(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 在区间-5,5 上是偶函数，在区间0,5 上是单调函数，且f 3 <f 1 ，则()A.f (-1)<f (-3)B.f 0 >f (-1)C.f (-1)<f 1D.f (-3)>f 5【答案】BD【分析】根据函数的单调性和奇偶性直接求解.【详解】函数f x 在区间0,5 上是单调函数，又3>1，且f 3 <f 1 ，故此函数在区间0,5 上是减函数．由已知条件及偶函数性质，知函数f x 在区间-5,0 上是增函数．对于A ，-3<-1，故f (-3)<f (-1)，故A 错误；对于B ，0>-1，故f 0 >f -1 ，故B 正确；对于C ，f -1 =f 1 ，故C 错误；对于D ，f -3 =f 3 >f 5 ，故D 正确．故选:BD .8(2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ，f x +1 为奇函数，且对∀x ∈R ，f x +4 =f -x 恒成立，则()A.f x 为奇函数B.f 3 =0C.f 12=-f 52D.f 2023 =0【答案】BCD【分析】根据函数定义换算可得f x 为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知f x 为周期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项.【详解】因为f x +1 为奇函数，所以f 1-x =-f 1+x ，故f x +2 =-f -x ,f 2-x =-f x ,又f x +4 =f -x ，所以f 2+x =f 2-x ，故f x +2 =-f -x =-f x ，所以f -x =f x ，f x 为偶函数，A 错误；f x +1 为奇函数，所以f 1 =0，f 2+x =f 2-x ，所以f 3 =f 1 =0，B 正确；f 52=f 32 ，又f x 的图象关于点1,0 对称，所以f 32 =-f 12 ，所以f 12=-f 52 ，C 正确；又f x +4 =f -x =f x ，所以f x 是以4为周期的函数，f (2023)=f (505×4+3)=f (3)=0，D 正确．故选：BCD ．三、填空题9(2023·广东潮州·统考二模)已知函数f x =lnx +1x -1+m +1(其中e 是自然对数的底数，e ≈2.718⋯)是奇函数，则实数m 的值为.【答案】-1【分析】利用奇函数的性质可得出f -x +f x =0，结合对数运算可得出实数m 的值.【详解】对于函数f x =lnx +1x -1+m +1，x +1x -1>0，解得x <-1或x >1，所以，函数f x 的定义域为-∞,-1 ∪1,+∞ ，因为函数f x 为奇函数，则f -x =-f x ，即f -x +f x =0，即ln -x+1-x-1+ln x+1x-1+2m+2=ln x-1x+1+ln x+1x-1+2m+2=2m+2=0，解得m=-1.故答案为：-1.10(2023·河南周口·统考模拟预测)已知函数f x 是定义在R上的偶函数，f x 在0,+∞上单调递减，且f3 =0，则不等式f x-2x<0的解集为.【答案】-1,0∪5,+∞【分析】由题意和偶函数的性质可知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数，在(-∞,0]上为增函数，结合f(3)=f(-3)=0，分类讨论当x<0、x>0时，利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减所以f(x)在(-∞,0]上为增函数，由f(3)=0，得f(-3)=0，f(x-2)x<0，当x<0时，f(x-2)>0=f(-3)，有x-2<0x-2>-3，解得-1<x<0；当x>0时，f(x-2)<0=f(3)，有x-2>0x-2>3，解得x>5，综上，不等式f(x-2)x<0的解集为(-1,0)∪(5,+∞).故答案为：(-1,0)∪(5,+∞).11(2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习)定义在R上的函数f x ,g x ，满足f2x+3为偶函数，g x+5-1为奇函数，若f1 +g1 =3，则f5 -g9 =.【答案】1【分析】根据f2x+3为偶函数、g x+5-1为奇函数的性质，利用赋值法可得答案.【详解】若f2x+3为偶函数，g x+5-1为奇函数，则f-2x+3=f2x+3，g-x+5-1=-g x+5+1，令x=1，则f-2×1+3=f2×1+3，即f1 =f5 ，令x=4，则g-4+5-1=-g4+5+1，即g1 -1=-g9 +1，又因为f1 +g1 =3，所以f5 -g9 =f1 +g1 -2=1.故答案为：1.12(2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中)已知函数f x 的定义域为R ，若f x +1 -2为奇函数，且f 1-x =f 3+x ，则f 2023 =.【答案】2【分析】推导出函数f x 为周期函数，确定该函数的周期，计算出f 1 的值，结合f 1 +f 3 =4以及周期性可求得f 2023 的值.【详解】因为f x +1 -2为奇函数，则f -x +1 -2=-f x +1 -2 ，所以，f 1+x +f 1-x =4，在等式f 1+x +f 1-x =4中，令x =0，可得2f 1 =4，解得f 1 =2，又因为f 1-x =f 3+x ，则f 1+x +f 3+x =4，①所以，f x +3 +f x +5 =4，②由①②可得f x +5 =f x +1 ，即f x +4 =f x ，所以，函数f x 为周期函数，且该函数的周期为4，所以，f 2023 =f 4×505+3 =f 3 =4-f 1 =2.故答案为：2.题型三：函数的周期性策略方法函数周期性的判断与应用1若函数f (x )满足f (x +2)=f (x )，则f (x )可以是()A.f (x )=(x -1)2B.f (x )=|x -2|C.f (x )=sin π2xD.f (x )=tan π2x【答案】D【分析】根据周期函数的定义，结合特例法进行判断求解即可.【详解】因为f (x +2)=f (x )，所以函数的周期为2.A ：因为f (1)=0,f (3)=4，所以f (1)≠f (3)，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；B ：因为f (2)=0,f (4)=2，所以f (2)≠f (4)，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；C ：该函数的最小正周期为：2ππ2=4，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；D ：该函数的最小正周期为：ππ2=2，因此本选项符合题意，故选：D2若定义域为R 的奇函数f (x )满足f (2-x )=f (x )，且f (3)=2，则f (4)+f (1)=()A.2B.1C.0D.-2【答案】D【分析】根据函数f x 为R 的奇函数和f x 满足f (2-x )=f (x )，得到函数T =4，再结合f 3 =2求解.【详解】因为函数f x 为R 的奇函数，所以f -x =-f x ，又f x 满足f (2-x )=f (x )，所以f 2-x =-f -x ，即f 2+x =-f x ，所以f 4+x =f x ，即T =4，因为f (3)=2，f (0)=0，所以f (4)=0，f 3 =-f 1 =2，所以f (4)+f (1)=-2故选：D3已知定义在R 上的奇函数，f x 满足f (x +2)=-f (x )，当0≤x ≤1时，f x =x 2，则f 2023 =()A.2019B.1C.0D.-1【答案】D【分析】根已知条件求出f x 的周期，根据周期性以及奇函数，结合已知条件即可求解.【详解】因为f x 满足f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f x 是周期为4的函数，当0≤x≤1时，f x =x2，所以f1 =1，又因为f x 是奇函数，f2023=-f1 =-1，=f3 =f-1=f4×505+3故选：D.【题型训练】一、单选题1(2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测)函数y=f(x)是定义在R上奇函数，且f(4-x)=f(x)，f( -3)=-1，则f(15)=()A.0B.-1C.2D.1【答案】B【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则f15=f7 ，根据已知得出f(7) =f(-3)=-1，即可得出答案.【详解】∵函数y=f(x)是定义在R上奇函数，且f(4-x)=f(x)，∴f4+x=-f x ，=f-x∴f4+4+x=f x ，=f8+x=-f4+x则函数y=f(x)是周期为8的周期函数，则f15=f7 ，=f15-8令x=-3，则f(4+3)=f(-3)=-1，∴f(15)=-1，故选：B.2(2023·江西南昌·校联考模拟预测)已知定义在R上的函数f x 满足f x+3=-f x ，g x =f x -2为奇函数，则f198=()A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】由题意推出函数f x 的周期以及满足等式f x +f-x=4，赋值求得f0 =2，利用函数的周期性即可求得答案.【详解】因为f x+3=-f x ，所以f x+6=-f x+3=f x ，所以f x 的周期为6，又g x =f x -2为奇函数，所以f x -2+f-x-2=0，所以f x +f-x=4，令x=0，得2f0 =4，所以f0 =2,所以f198=f0+6×33=f0 =2，故选：C.3(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的函数f(x)的图像关于y轴对称，且周期为3，又f(-1)=1,f(0)=-2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)的值是()A.2023B.2022C.-1D.1【答案】D【分析】利用f x 的周期，根据函数的奇偶性和已知函数值，结合题意，求解即可.【详解】因为f x 的周期为3；又f-1=1，则f2 =f-1+3=f-1=1；f0 =-2，则f3 =f0+3=f0 =-2；因为函数f(x)在R上的图像关于y轴对称所以f x 为偶函数，故f1 =f-1=1，则f1 +f2 +f3 =0；故f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)=674×0+f1 =1.故选：D.4(2023春·贵州·高三校联考期中)已知函数f x 满足f1-x=f5+x，且f x+1是偶函数，当1≤x≤3时，f x =2x+34，则f log236=()A.32B.3 C.398D.394【答案】B【分析】由函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，利用周期和指数式的运算规则求函数值.【详解】由f x+1是偶函数，得f x+1=f-x+1，令x+1=-t，则f-t=f t+2．由f1-x=f5+x，令1-x=-t，则f-t=f t+6，则有f t+2=f t+6，即f x =f x+4，所以函数f x 周期为4．因为5=log232<log236<log264=6，则有1<log236-4<2，所以f log236=f log236-4=f log29 4=2log294+34=94+34=3．故选：B二、多选题5(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R,∀x1,x2∈R,x2-x1=2，都有f x1+f x2=0，且f1 =1，则下列结论正确的是()A.f23=1=1 B.f-23C.f1 +f2 +f3 +f4 +f5 =1D.f x +f x+1+f x+3=0+f x+2【答案】BCD【分析】由∀x1,x2∈R,x2-x1=2，都有f x1=0，得出函数f x 是周期为4的周期函+f x2数，再利用周期性逐一选项分析即可.【详解】由x2-x1=2得x2=x1+2，则f x1=0，+f x1+2故f x1+2+f x1+4=0，所以f x1+4，=f x1所以函数f x 是周期为4的周期函数.对于A,f23=f3 =-f1 =-1,A错误；=f5×4+3对于B,f-23=f1 =1，B正确；=f-6×4+1对于C,f1 +f3 =0,f2 +f4 =0,f5 =f1 =1，所以f1 +f2 +f3 +f4 +f5 =1，C正确；对于D,f x +f x+2+f x+3=0，=0,f x+1所以f x +f x+1=0，D正确.+f x+2+f x+3故选：BCD.6(2023·全国·高三专题练习)已知偶函数f x 满足f x +f2-x=0，下列说法正确的是()A.函数f x 是以2为周期的周期函数B.函数f x 是以4为周期的周期函数C.函数f x+2为偶函数为偶函数 D.函数f x-3【答案】BC【分析】根据函数的奇偶性和周期性确定正确选项.【详解】依题意f x 是偶函数，且f x +f2-x=0，f x =-f2-x，所以A错误.=-f x-2f x =-f x-2=--f x-2-2，所以B正确.=f x-4f x+2，所以函数f x+2为偶函=f-x+2=f-x-2=f x-2+4=f x-2若f x-3是偶函数，则f x-3=f-x-3=f x+3，则函数f x 是周期为6的周期函数，这与上述分析矛盾，所以f x-3不是偶函数.D错误.故选：BC三、填空题7(2023·江西南昌·统考二模)f(x)是以2为周期的函数，若x∈[0,1]时，f(x)=2x，则f(3)=．【答案】2【分析】直接根据函数的周期性求解即可.【详解】因为f(x)是以2为周期的函数，若x∈[0,1]时，f(x)=2x，所以f3 =f1 =2.故答案为：2.8(2023·安徽合肥·二模)若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+1)+f(x-1)，且f(1)= 2，则f(2024)=．【答案】2【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.【详解】由f(x)=f(x+1)+f(x-1)，得f(x+1)=f(x+2)+f(x)，所以f(x)-f(x-1)=f(x+2)+f(x)，即-f(x-1)=f(x+2)，于是有-f(x)=f(x+3)，所以-f(x+3)=f(x+6)，即f x =f(x+6).所以函数f(x)的周期为6.因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.令x=1，则f(1)=f(2)+f(0)，解得f(2)=f(1)-f(0)=2，所以f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=2.故答案为：2.9(2023秋·江西南昌·高三校联考阶段练习)已知定义在实数集R上的函数f x 满足f6-x=f-x，且当0<x<3时，f x =2a x+b(a>0,b>0)，若f2023=3，则1a+2b的最小值为.【答案】8 3【分析】根据题意求出函数f(x)的周期为6，再利用周期得到2a+b=3，最后利用基本不等【详解】因为函数f x 满足f 6-x =f -x ，所以函数f (x )的周期为6，又因为f 2023 =3，所以f (6×337+1)=f (1)=3，因为当0<x <3时，f x =2a x +b (a >0,b >0)，则有2a +b =3，所以1a +2b =131a +2b (2a +b )=134+b a +4a b≥134+2b a ⋅4a b =83当且仅当b a =4a b，即a =34,b =32时，取等号.故答案为：83.四、解答题10(2023·全国·高三专题练习)设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈0,12，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)⋅f (x 2)，且f (1)=a >0．(1)求f 12,f 14；(2)证明f (x )是周期函数；(3)记a n =f 2n +12n，求a n ．【答案】(1)f 12 =a 12,f 14=a14(2)证明见解析(3)a n =a12n【分析】(1)根据题意可得f (1)=f 122、f 12 =f 14 2，结合f (1)=a >0即可求解；(2)根据抽象函数的对称性和奇偶性可得f (x )=f (x +2),x ∈R ，即可得出结果；(3)由(1)可得f 12 =f n ⋅12n =f 12n f 12n ⋅⋯⋅f 12n =f 12n n ，结合f 12=a 12和周期为2，即可求解.【详解】(1)因为对任意的x 1,x 2∈0,12，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)，所以f (x )=f x 2+x 2 =f x 2 f x2≥0,x ∈[0,1]，又f (1)=f 12+12=f 12 f 12=f 12 2，f 12 =f 14+14 =f 14 f 14=f 14 2，f (1)=a >0，∴f 12 =a 12,f 14=a 14.(2)设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1-x )，即f (x )=f (2-x ),x ∈R ，又f (x )是偶函数，所以f (-x )=f (x ),x ∈R ，∴f (-x )=f (2-x ),x ∈R ，将上式中-x 以x 代换，得f (x )=f (x +2),x ∈R ，则f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．(3)由(1)知f (x )≥0,x ∈[0,1]，∵f 12=f n ⋅12n =f 12n +(n -1)⋅12n =f 12n f (n -1)⋅12n=⋯=f 12n f 12n ⋅⋯⋅f 12n =f 12nn ，又f 12 =a 12，∴f 12n=a 12n.∵f (x )的一个周期是2，∴f 2n +12n =f 12n，因此a n =a 12n．题型四：函数的对称性策略方法函数图象的对称性的判断与应用1已知二次函数f x 满足f x +2 =f 2-x ，且f a <f 0 <f 1 ，则实数a 的取值范围是()A.0,2B.-∞,0C.-∞,0 ∪4,+∞D.2,+∞【答案】C【分析】由题意可知，f x 对称轴为x =2，又f x 为二次函数以及已知条件可得f x 的单调性，根据单调性即可求得实数a 的取值范围.【详解】由已知，二次函数f x 对称轴为x=2，所以有f0 =f4 .又f0 <f1 ，所以f x 在-∞,2上单调递增，在2,+∞上单调递减.当a<2时，由f a <f0 ，以及f x 在-∞,2上单调递增，可得a<0；当a≥2时，由f a <f0 =f4 ，可得f a <f4 ，又f x 在2,+∞上单调递减，所以a>4.所以，实数a的取值范围是-∞,0∪4,+∞.故选：C.2函数y=f x 在0,2上是增函数，函数y=f x+2是偶函数，则下列结论正确的是()A.f1 <f52<f72 B.f72 <f1 <f52C.f1 <f72<f52 D.f52 <f1 <f72【答案】B【分析】分析可知函数f x 的图象关于直线x=2对称，可得出f52=f32 ，f72 =f12，利用函数f x 在0,2 上的单调性可得出f12 、f1 、f32 的大小关系，即可得出结果.【详解】因为函数y=f x+2是偶函数，则f2-x=f2+x，所以，函数f x 的图象关于直线x=2对称，因为f52=f32 ，f72 =f12 ，且0<12<1<32<2，因为函数f x 在0,2上为增函数，所以，f12<f1 <f32 ，即f72 <f1 <f52 .故选：B.【题型训练】一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是()A.y=1xB.y=lg xC.y=tan xD.y=x3【答案】A【分析】根据反比例函数、对数函数、正切函数和幂函数图象可得结论.【详解】对于A ，y =1x图象关于y =x 、坐标原点0,0 分别成轴对称和中心对称，A 正确；对于B ，y =lg x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，但无对称中心，B 错误；对于C ，y =tan x 关于点k π2,0k ∈Z 成中心对称，但无对称轴，C 错误；对于D ，y =x 3为奇函数，其图象关于坐标原点0,0 成中心对称，但无对称轴，D 错误.故选：A .2(2023·全国·高三专题练习)若f x 的偶函数，其定义域为-∞,+∞ ，且在0,+∞ 上是减函数，则f -2 与f 3 得大小关系是A.f -2 >f 3B.f -2 <f 3C.f -2 =f 3D.不能确定【答案】A【分析】由题意可得f -2 =f 2 ，且f 2 >f 3 ，即可得到所求大小关系．【详解】f (x )是偶函数，其定义域为(-∞,+∞)，且在[0，+∞)上是减函数，则f -2 =f 2 ，且f 2 >f 3 ，则f -2 >f 3 ，故选A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．3(2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f 2-x =f x ，且f x +2 -1为奇函数，则∑2023k =1f k =()A.-2023 B.-2022C.2022D.2023【答案】D【分析】利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数f x 的对称轴和中心对称点及周期，利用相关性质得出具体函数值，即可得出结果.【详解】∵f 2-x =f x ，∴f x 关于x =1对称，∵f x +2 -1为奇函数，∴由平移可得f x 关于2,1 对称，且f 2 =1，∴f (x +2)-1=-f (-x +2)+1，即f (x +2)+f (2-x )=2∵f 2-x =f x ∴f (x +2)+f (x )=2 ∴f (x +4)+f (x +2)=2 上两式比较可得f (x )=f (x +4)。
函数的基本性质解读
b 2 2、二次函数y=ax +bx+c(a≠0),当a>0时，x∈(, ] 2a
四、常用函数的单调性
1、一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0) ，当k>0时，函数是 减 函数。 增 函数，当k<o时，函数是——
b ，函数是减函数， x∈( ,)，函数是增函数，最 2a 2 b 4ac - b ( , ]，函数是增函 小值为 ，当a<0时，x∈ 2a 4a b 4ac - b 2 数， x∈( ,)，函数是减函数，最大值为 。 2a 4a
y y
o
x
o
x
二、函数奇偶性的判定方法 (1)定义判定，首先看函数的定义域是否关于原点 对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 . 若对称， 再 判 定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x). 有 时 判 定 f(x)=±f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)±f(x)=0或 判定f(x)/f(-x)=±1； (2) 图象判定：奇函数的图像关于原点对称，偶 函数的图像关于y轴对称。
函数的基本性质
东莞市樟木头中学
函数的性质主要包括：函数的单调性、奇偶性和 周期性。函数是中学数学的重要内容，函数的性质也 是高考考查的重中之重。高考对本部分内容的要求较 高，不仅要求熟练掌握这些性质，还要求能够运用定 义去证明和判断，以及能够灵活运用这些性质解题。
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1第二讲 函数的性质（一）一、函数的单调性1．单调函数的定义增函数 减函数定义设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2) ，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是 或，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3、单调性的判定方法（1）定义法： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。
也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 4、函数单调性应注意的问题：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数二、函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值 M 为最小值利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； 强调 1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．[注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．三、例题讲解例1、证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．练习1．判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．练习2（图像法）．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)[例2] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.练习3．(1)函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝__________.四、随堂练习1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的（ ）A ．y ＝B ．y ＝3x 2＋1 C ．y ＝2xD ．y ＝|x |2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)， 当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且 (x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 4.如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是 ( )A ．(8，＋∞)B ．[8, ＋∞)C ．(∞,8)D ．(∞,8]5．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为( )A ．(－∞，－3]B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．[－3，－1]6.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.7.已知函数2(1)21f x x x x +=+-，[1，2]，则()f x 是 (填序号).①[1，2]上的增函数； ②[1，2]上的减函数； ③[2，3]上的增函数； ④[2，3]上的减函数.8．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)； ③f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上) 9．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)．若a >0，则f (x )的定义域是________. 10．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．11．已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (0)的值； (2)求f (x )的最大值.12．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n 总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.(1)试求f (0)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明你的结论．五、课后练习（一）1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－123．函数f (x )＝11－x 1－x 的最大值是( )A.45B.54C.34D.434．f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________.5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是______．六、课后练习（二）1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．253．(佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增4．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 26.函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．若函数y ＝|2x－1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________． 8．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 9．求下列函数的单调区间：y ＝－x 2＋2|x |＋1；10．已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．11．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．12．求函数f (x )＝x 2＋x －6的单调区间．13．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n ，总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.(1)试求f (0)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明你的结论；。