平行四边形的对角线特征-课件
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5.1.2 平行四边形的对角线性质 课件(共33张PPT) 鲁教版数学八年级上册
如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵在直角三角形ABE中，∠B＝30°，
∴AE＝
1 2
×AB＝
1 2
×4＝2.
∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝6×2＝12.
感悟新知
归纳
求平行四边形的面积时，根据平行四 边形的面积公式，要知道平行四边形的一 边长及这边上的高．
平行四边形的高不一定是过顶点的垂 线段，因为平行线间的距离处处相等．
结构导图
课堂小结
错解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，∵OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°，又∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
结构导图
课堂小结
诊断：错解误认为已知E，O，F三点共线，从而得到 ∠AOE＝∠COF，而已知条件中并没有这个． E，O，F三点共线需要在解题过程中加以推理， 否则就犯了逻辑错误．
结构导图
课堂小结
正解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵OE⊥AD，OF⊥BC， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∴△AOE≌△COF， ∴OE＝OF.
作业1 必做: 请完成教材课后练习 作业2 补充: 请完成本课时习题
课后作业
感悟新知
4. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，
垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( D )
A. 3 2
B. 3 2
21
2 21
C. 7 D. 7
感悟新知 5. 如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，
交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则 四边形EFCD的周长为( C ) A．14 B．13 C．12 D．10
平行四边形的对角线关系
平行四边形的对角线关系平行四边形是几何学中一种特殊的四边形，具有独特的性质和特征。
其中，对角线在平行四边形中起着重要的作用，它们之间存在着一些关系。
本文将阐述平行四边形的对角线关系，不仅解释其数学原理，还将展示一些实际应用。
一、对角线的定义和性质在平行四边形中，对角线是指连接相对顶点的线段。
记平行四边形的四个顶点分别为A、B、C、D，对角线AC和BD分别连接了顶点A与C，顶点B与D。
对角线具有以下性质：1. 对角线长度相等：在平行四边形中，对角线AC和对角线BD的长度相等，即|AC| = |BD|。
2. 对角线互相平分：对角线AC平分了对角线BD，即线段|AC|将线段|BD|平分为相等的两部分。
3. 对角线相交于一点：对角线AC和对角线BD在平行四边形中相交于一点，我们将其称为对角线交点O。
二、对角线关系的证明及应用为了证明平行四边形的对角线关系，以下给出两种不同的证明方法，并探讨其应用。
1. 方法一：利用向量法证明考虑平行四边形的两条对角线AC和BD，以向量法进行证明。
首先，令向量→AB = a、→BC = b，由平行四边形的定义可知，向量→DC = a、→AD = b。
根据向量加法的性质，我们可以知道向量→AC = →AB + →BC = a + b，向量→BD = →DC +→CB = a + b。
利用向量求模运算的性质，我们可以得到|→AC| = |a + b|，|→BD| = |a + b|。
因此，我们可以得出结论，|AC| = |BD|。
2. 方法二：利用几何构造证明我们可以利用几何构造来证明平行四边形的对角线关系。
假设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OA、OB、OC、OD。
通过构造△OAB和△BCD，可以得知它们共有两个相等的角，即∠OAB = ∠OCD，∠OBA = ∠OBC。
由此可得，△OAB与△OCD是全等三角形，根据全等三角形的性质，我们可以得到|OA| = |OC|，|OB| = |OD|。
平行四边形的对角线互相平分-课件
(1)△AOD的周长= 21 cm；
(2)△DBC的周长是边BC + DC + BD ，△ABC的周
长是边 BC + AB + AC ，△DBC的周长比△ABC的
周长长了 6 cm.
A
D
O
B
C
1.我们学习了平行四边形的哪些性质？ 2.谈谈研究平行四边形性质的思想方法,解决了哪些问题？
平行四边形的对边相等；
2.如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若⊿AOB
的面积为3，则 ABCD的面积为（ C ） A
D
A.6 B.9 C.12 D.18
O
B
C
3.如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
AD=8,BD+AC=18,则⊿BOC的周长为（ B ）
A.13 B.17 C.20 D.26
A
D
证明：∵ 四边形 ABCD是平行四边形，
D1
3C
∴ AB=CD，AB∥CD； ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4；A 4
O 2B
∴ △COD≌△AOB；
∴ OA=OC，OB=OD．
平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分.
活动二 前面问题中，老人的四个孩子分到的土
而AD+DC恰好是平行四边形周长的一半，
D
可以把这两边看作一个整体。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
O
∴AC=2AO=2×6=12.
B
又∵ 平行四边形ABCD的周长为50，
C
∴AD+DC=25，
∴△ACD的周长=12+25=37
人教版数学八年级下册18.1.1平行四边形的对边相等、对角相等课件
(3)、如图，
∠ABC=3∠C，点F在
则∠C = ——，∠B=——.
∠A=∠C，∠B=∠D.
=2(3+5)
∵四边形ABCD是平行四边形
D
H
C
6
返回
二、平行四边形性质探究
AA
DD
OO ●
发现了什么？
BB
CC
AD=BC , AB=CD ∠A= ∠C , ∠B= ∠D
77
上列结论一定成立吗？怎样证明？
返回
作业设计（选做题）
（1）如图 ABCD中AB=5，BC=9，BE， CF分别平分∠ABC， ∠BCD，则 DE=_4____，AF=__4___，EF=_1____
A
A FE D
D F
B
C
B EC
（2）如图 ABC，AB=AC=10，则 ADEF
周长为__2_0__
22
返回
(1)、如图 ABCD中， ABE的面积S， ADE， BCE
= 5（勾股定理）
:有两组对边分别相等的平行四边形。
∵四边形ABCD是平行四边形
1、若AB=1㎝，BC=2 ㎝
3、周长: 两邻边之和×2 且∠A+∠C=200°
则∠C = ——，∠B=——. ∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D
（3） ABCD中AB=a，BC=b，则 ABCD周长为
则∠C = ——，∠B=——.
如图：四边形ABCD是平行四边形
记作： ABCD
读作：平行四边形ABCD
平行四边形相对的边称为 对边
A
平行四边形相对的角称为 对角 B
平行四边形不相邻的两个顶点连成 的线段叫平行四边形的对角线．
人教版八年级数学下《平行四边形的性质-第2课时：平行四边形的对角线互相平分》精品教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
2.已知▱ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O， △AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边 的长.
D
C 提示：平行四边形被对角线分成
四个小三角形，相邻两个三角形
O
的周长之差的绝对值等于邻边边
A
B
长之差的绝对值.
F分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证
明你的结论.
D
C
解：BEDF，BE//DF.理由如下：
F
∵四边形ABCD是平行四边形，
EO
∴OAOC，OBOD.
A
B
∵点E，F分别是AO，CO的中点， ∴ OEOF， 在△OFD和△OEB中， OEOF，∠DOF∠BOE，ODOB. ∴△OFD≌△OEB. ∴BEDF，∠DFO∠BEO. ∴BE//DF.
O B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
D
∴AB//CD，OAOC.
∵∠EAO∠FCO
F
在△AOE和△COF中，
C
∠AOE∠COF
改变直线EF的位置， OEOF还成立吗？
OAOC ∠EAO∠FCO ∴△AOE≌△COF.
∴OEOF.
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随堂练习
探究
如图，▱ABCD中，连接AC、
A
D
BD，并设它们相交于点O，OA与OC，
OB与OD有什么关系？
O
B
C
操作
1.任意画一个平行四边形，如上图； 2.尝试用自己的方法找OA与OC，OB与OD的关系.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
平行四边形性质(对角线)人教版八年级数学下册
D、16cm
老三 5、如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是
第2课时 平行四边形的对角线的特征
_________.
（1）在口ABCD中，AC交BD于O，则
∴ OA=OC，OB=OD.
（） ∵ AB=CD BC=BC
你觉得他这样分公平吗？说说你的理由.
4.判断对错
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）在口ABCD中，AC交BD于O，则
AO=OB=OC=OD．
（ ×）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对
边的距离相等．
（√）
（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等.
（√）
（4）平行四边形是轴对称图形． （ ×）
5、如图，在 平行四边形的对边相等， ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，
晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地．由于 点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.
点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
年迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他 ∴ l△AOD＝ AD+OA+OD＝10+4+7＝21
A、都是等腰三角形 B、都是全等三角形
在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转
180°，你发现了什么?
AA
D
O
O
●
B
CC
有上面的操作演示：
你能证明上述猜想吗？
结论： ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重 B、都是全等三角形
平行四边形的对边相等， （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对
《平行四边形的性质》PPT课件(第1课时)
（来自教材）
知3－练
证明：在▱ABCD中，因为AB∥CD，所以∠FBE＝∠DCE. 因为E为BC的中点，所以BE＝CE. FBE＝DCE， 在△FBE和△DCE中，BE＝CE , BEF＝CED， 所以△FBE≌△DCE.所以BF＝CD. 又因为AB＝CD，所以BF＝AB，即点B为AF的中 点．
（来自教材）
知3－讲
导引：根据BM平分∠ABC和AB∥CD可以判定△BCM 是等腰三角形，从而得到BC＝MC＝2，再结合 ▱ABCD的周长是14得到CD的长，进而得到DM的 长．具体过程如下： ∵在▱ABCD中，AB∥CD，BM是∠ABC的平分 线，∴∠CBM＝∠ABM＝∠CMB.∴BC＝MC＝2. 又∵▱ABCD的周长是14，∴AB＝CD＝5.∴DM＝ 3.
2. 数学表达式：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，AD＝BC.
（来自《点拨》）
知3－讲
例3 [中考·玉林]如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC
的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的
周长是14，则DM等于( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
（来自《点拨》）
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可 能出现等腰三角形，如本题中由AB∥CD和BM平分 ∠ABC就得到△BCM是等腰三角形；在平行四边形 的边的计算中，“平行四边形相邻两边之和等于平行 四边形的周长的一半”会经常用到．
（来自《点拨》）
知3－练
1 在▱ ABCD 中，已知AB=3，AD=2，求▱ ABCD的
第二十二章 四边形
平行四边形的性质
第1课时
八年级下册数学人教版习题课件第十八章 平行四边形的对角线特征
解：(1)作BO⊥AD于O，如图①所示：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝30°，
∴∠AEB＝∠CBE，∠BAO＝∠D＝30°，∴BO＝12
AB＝
6 2
，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝
6 ，∴△ABE的面积＝12 AE×BO＝12 ×
(2)求证：∠MAE＝∠NCF. (1)图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来； 过对角线BD上一点P作EF∥行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm， △CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE. G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为( ) 11．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°， △BOC的周长比△AOB的周长小3 cm，求AB，BC的长． (2)证明：延长FB交AD于H. 10．(衡阳中考)如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD， 则阴影部分的面积为( )
5．(习题15变式)如图，在平行四边形ABCD中， 4．(练习1变式)如图，▱ABCD的周长为26 cm，AC，BD相交于点O， ∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°， 11．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°， 10．(衡阳中考)如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD， ∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°， △CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE. C．1 cm＜OA＜4 cm D．3 cm＜OA＜8 cm ∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD＝∠AFB，∵∠EAD＋∠FAH＝90°， 9．在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，
《平行四边形的性质》_PPT2
(1)求证：OE＝OF； (2)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等； (3)直线EF是否将▱ABCD的面积分成二等份？试说明理由． 应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井P，如图② 所示，张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子，且使两 块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开．
4．(淮安中考)已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O的直线分别与AD，BC相交于点E，F. 13．如图，O为▱ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF. 解：(1)∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40° A．3 B．6 C．12 D．24 A．14 B．13 C．12 D．10 18． 平行四边形的性质 (1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数； (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE＝CF 应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井P，如图②所示，张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子， 且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开．
18． 平行四边形的性质
∠DAE. 10 B．8 C．7 D．6
13．如图，O为▱ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF.
3_．__若 __▱_A__B_(Cc1mD.)的若周长∠为A100OcmE，＝两条5对0°角线，相交求于∠点OA，△CABO的B的度周长数比△；BOC的周长多10 cm，则AB＝_______cm，BC＝
4．(淮安中考)已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O的直线分别与AD，BC相交于点E，F. 13．如图，O为▱ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF. 解：(1)∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40° A．3 B．6 C．12 D．24 A．14 B．13 C．12 D．10 18． 平行四边形的性质 (1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数； (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE＝CF 应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井P，如图②所示，张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子， 且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开．
18． 平行四边形的性质
∠DAE. 10 B．8 C．7 D．6
13．如图，O为▱ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF.
3_．__若 __▱_A__B_(Cc1mD.)的若周长∠为A100OcmE，＝两条5对0°角线，相交求于∠点OA，△CABO的B的度周长数比△；BOC的周长多10 cm，则AB＝_______cm，BC＝
人教版 八年级下册 《平行四边形的对角线互相平分》 (公开课课件)
2
A C 、B D
活动二：探究性质
B
D
A
C
2.如图，请将对角线交点标为点O，然后观察自己所画图形，画了对角线之后，与原图相比有什么变化？
O
B
D
A
C
活动二：探究性质
3.请分小组探究，新出现的角之间有什么关系？新出现的线段之间有什么关系？新出现的三角形之间有什么关系？理由是什么？
B
D
A
C
O
B
D
A
A
B
C
D
O
活动七：作业布置
补充习题：
F
E
A
B
C
D
（1）
O
A
B
C
D
O
E
F
（2）
4. 已知：如图（1）,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AD、BC分别相交于点E、F． （1）求证：OE＝OF． （2）如图（2），若题目中的条件都不变，若将EF向两方延长，与BA边的延长线交于点E，与DC边的延长线交于点F，（1）的结论是否成立？请说明你的理由．
平行四边形
定义
性质
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线互相平分
两组对边分别平行的四边形 是平行四边形
活动七：作业布置
教材习题18.1第3、14题．
补充习题： 1. 若平行四边形的一边等于14，则它的两条对角线可能的取值分别是（ ） A.8和16 B.6和16 C.2和16 D.20和22
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
活动一：复习引入
如图，在□ABCD中， 相等的边是 ， 相等的角是 ， 这些边相等的依据是 ， 这些角相等的依据是 ．
八年级下册数学精品课件：平行四边形的对角线的特征
解：设AB=x，则BC=24-x. 根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)， 解得x=16． 则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．
已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
归纳
问题 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
请判断下列图中，OE=OF还成立么？
议一议
同例3易证明OE=OF还成立.
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
归纳
1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为 （ ） A.26 B.34 C.40 D.52
B
C
D
A
O
C
4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，如果AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ） A.16 B.14 C.12 D.10
A
D
解：相等.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵△ADO与△ODC等底同高， ∴S△ADO=S△ODC. 同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
还可结合全等来证哟.
平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
归纳
问题 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
请判断下列图中，OE=OF还成立么？
议一议
同例3易证明OE=OF还成立.
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
归纳
1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为 （ ） A.26 B.34 C.40 D.52
B
C
D
A
O
C
4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，如果AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ） A.16 B.14 C.12 D.10
A
D
解：相等.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵△ADO与△ODC等底同高， ∴S△ADO=S△ODC. 同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
还可结合全等来证哟.
平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
人教版《平行四边形的性质》初中数学-教学课件2
)
证明:在▱ABCD中,AD∥BC,
又∵AM=CN,∴△ABM≌△CDN, 如图,▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,对于以O为公共顶点的4个三角形来说,下面结论中错误的是(
)
∴∠AMB=∠CND,
∴∠BMO=∠DNO,∴BM∥DN.
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数学
6.【例3】如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O 的直线分别交AD,BC于点M,N,若△CON的面积为2,△DOM 的面积为4,求△AOB的面积.
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数学
解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠CAD=∠ACB,OA=OC, 而∠AOM=∠CON,∴△CON≌△AOM, ∴S△AOD =S△DOM +S△AOM =S△DOM +S△CON =4+2=6, 又∵OB=OD,∴S△AOB =S△AOD =6.
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数学
10.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线 交AD于点E,交BC于点F.直线EF两旁的梯形的面积相等吗? 为什么?
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO, 解决一类问题、一系列问题。
29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 32 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
∴△DEO≌△BFO,∴DE=BF. 30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
(4)立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 ○3课后及时复习.写完作业后对当天老师讲的内容进行梳理，可以适当地做25分钟左右的课外题.可以根据自己的需要选择适合自己的课外书.其课外题内容大概就是今天上
第十八章 平行四边形
第2课时 平行四边形的性质(2)
平行四边形的特征课件
平行四边形的特征
欢迎来到本节课的平行四边形特征课件。我将与您分享关于平行四边形的定 义、特征和应用等内容。让我们一起来探索这个有趣的几何形状吧！
定义平行四边形
平行四边形是一种具有两对相对平行边的四边形。它有什么特点呢？让我们来看看！
特征一：边长
1
边长相等
平行四边形的对边长度相等，这使得它
平行关系
性质一：对角线互相平分
1
ห้องสมุดไป่ตู้对角线相交于中点
平行四边形的对角线相交于各自的中点。 这个性质使得对角线成为平行四边形的 一个重要特征。
性质二：同底异边三角形面积相等
1
底边相等
当两个平行四边形有相等的底边时，它
高度相等
2
们之间的同底异边三角形具有相等的面 积。
同底异边三角形的高度相等，这是由于
平行四边形的对角线平分和对称性的结
2
具有独特的对称性。
平行四边形的对边平行，这意味着两边
永远不会相交。
3
长度关系
对边长度相等，对角线长度相等。
特征二：内角和
内角和为3 60度
一个平行四边形的内角和总是等于360度。尽管它看起来是扁的，但它的角度和仍然是完美 的！
特征三：对角线
对角线长度
平行四边形的对角线长度相等。它们交叉于中点，并且每条对角线将平行四边形划分为两个全等的三角形。
3
应用举例
果。
这个性质在建筑设计、地理测量和工程
计算等领域有广泛的应用。
应用一：平行四边形的几何证 明
平行四边形的特性使其成为几何证明中的重要工具。例如，我们可以使用其 特性证明两条线段平行、三角形全等等。它的用途非常广泛！
应用二：平行四边形的实际应 用
欢迎来到本节课的平行四边形特征课件。我将与您分享关于平行四边形的定 义、特征和应用等内容。让我们一起来探索这个有趣的几何形状吧！
定义平行四边形
平行四边形是一种具有两对相对平行边的四边形。它有什么特点呢？让我们来看看！
特征一：边长
1
边长相等
平行四边形的对边长度相等，这使得它
平行关系
性质一：对角线互相平分
1
ห้องสมุดไป่ตู้对角线相交于中点
平行四边形的对角线相交于各自的中点。 这个性质使得对角线成为平行四边形的 一个重要特征。
性质二：同底异边三角形面积相等
1
底边相等
当两个平行四边形有相等的底边时，它
高度相等
2
们之间的同底异边三角形具有相等的面 积。
同底异边三角形的高度相等，这是由于
平行四边形的对角线平分和对称性的结
2
具有独特的对称性。
平行四边形的对边平行，这意味着两边
永远不会相交。
3
长度关系
对边长度相等，对角线长度相等。
特征二：内角和
内角和为3 60度
一个平行四边形的内角和总是等于360度。尽管它看起来是扁的，但它的角度和仍然是完美 的！
特征三：对角线
对角线长度
平行四边形的对角线长度相等。它们交叉于中点，并且每条对角线将平行四边形划分为两个全等的三角形。
3
应用举例
果。
这个性质在建筑设计、地理测量和工程
计算等领域有广泛的应用。
应用一：平行四边形的几何证 明
平行四边形的特性使其成为几何证明中的重要工具。例如，我们可以使用其 特性证明两条线段平行、三角形全等等。它的用途非常广泛！
应用二：平行四边形的实际应 用
平行四边形的对角线
平行四边形的对角线平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和性质。
其中之一是对角线。
本文将深入探讨平行四边形的对角线性质以及其推导原理。
一、平行四边形的定义和性质回顾首先，我们先来回顾一下平行四边形的定义和基本性质。
平行四边形是一个具有两组对边平行的四边形。
它的特征包括：1. 对边：平行四边形的两组对边是平行的，即相邻的边都是平行的。
2. 对角线：平行四边形有两条对角线，它们分别连接了相对的顶点。
3. 相等的内角：对边平行意味着平行四边形的内角相等。
4. 相等的邻补角：平行四边形的内角和其邻补角相等。
二、平行四边形的对角线性质接下来，我们来探讨平行四边形的对角线性质。
平行四边形的对角线有以下几个重要的性质：1. 互补：平行四边形的对角线相交于一点，并且相互成对。
也就是说，一条对角线与另一条对角线之间的夹角是互补角。
2. 相等：平行四边形的对角线相等。
也就是说，连接平行四边形相对顶点的两条对角线的长度相等。
3. 平分：平行四边形的对角线平分对角线之间的角。
也就是说，将连接平行四边形相对顶点的两条对角线所形成的角平分为两个相等的角。
三、对角线性质的证明现在我们来证明平行四边形的对角线性质，即对角线的互补性、相等性以及平分性。
首先，我们假设有一个平行四边形ABCD，其中对角线AC和BD 相交于点O。
对于互补性，我们可以利用平行线的性质和内角、邻补角的性质进行证明。
由于ABCD是平行四边形，所以AD和BC平行。
根据平行线内角对应定理，我们可以得出∠A与∠C对应，∠B与∠D对应，它们是互补角。
接下来是对角线的相等性的证明。
利用平行四边形的性质，我们可以得出AB与CD平行，AD与BC平行。
由此，我们可以得出△ABC 与△CDA以及△BAD与△BCD是对应的全等三角形，因此可以得出AC = BD。
最后是对角线的平分性的证明。
利用全等三角形的性质，我们可以得出△ABC与△CDA以及△BAD与△BCD是对应的全等三角形。
平行四边形的对角线相互平分
两条对角线把平行四边形分成面积相等 的四个三角形.
过平行四边形对角线交点作直线与平行 四边形的一组对边或对边的延长线相交， 得到的线段总相等.
教学过程设计 作业布置，强化练习
教材121页课后习题A组、B组.
谢谢!
AE=CF, DE=BF
AE
D
O
B FC
教学过程设计
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，∠EAO＝∠FCO,
又∵∠AOE＝∠COF.
AE
D
∴△AOE≌△COF，
O
∴OE＝OF，AE＝CF.
B FC
又∵AD＝CB,
∴DE=AD-AE=CB-CF=BF
教学过程设计
如图，在 上述问题中，若直线EF交BA的延长线于点
42
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，B
C
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ △AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
归纳
教学过程设计
平行四边形的性质：
A
平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：
B
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC, OB=OD
D
O
分的：
A
D
老大
老二 O老四
老三
B
C
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地 少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
教学过程设计
A
D
O老大
老二 ● 老四
老M 三
B
C
故四人的土地面积相同， 老人分地合理.
教学过程设计 解: ∵ △OAB ≌ △OCD, △OAD ≌ △OCB,
过平行四边形对角线交点作直线与平行 四边形的一组对边或对边的延长线相交， 得到的线段总相等.
教学过程设计 作业布置，强化练习
教材121页课后习题A组、B组.
谢谢!
AE=CF, DE=BF
AE
D
O
B FC
教学过程设计
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，∠EAO＝∠FCO,
又∵∠AOE＝∠COF.
AE
D
∴△AOE≌△COF，
O
∴OE＝OF，AE＝CF.
B FC
又∵AD＝CB,
∴DE=AD-AE=CB-CF=BF
教学过程设计
如图，在 上述问题中，若直线EF交BA的延长线于点
42
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，B
C
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ △AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
归纳
教学过程设计
平行四边形的性质：
A
平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：
B
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC, OB=OD
D
O
分的：
A
D
老大
老二 O老四
老三
B
C
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地 少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
教学过程设计
A
D
O老大
老二 ● 老四
老M 三
B
C
故四人的土地面积相同， 老人分地合理.
教学过程设计 解: ∵ △OAB ≌ △OCD, △OAD ≌ △OCB,
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解：分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1， 分别过A，D作AE⊥BB1于点E，DF⊥CC1于点F，∴∠AEB＝∠DFC＝ 90°，在平行四边形ABCD中，CD＝BA，又∵BB1∥CC1，∴∠EBA＋ ∠ ABC ＋ ∠ BCF ＝ ∠ ABC ＋ ∠ BCF ＋ ∠ FCD ＝ 180° ， ∴ ∠ EBA ＝ ∠FCD.∴△BEA≌△CFD(AAS)，∴AE＝DF＝a－c，BE＝CF＝d－b.设 C(x，y)，由e－x＝a－c，得x＝e＋c－a，由y－f＝d－b，得y＝f＋d－b， ∴C(e＋c－a，f＋d－b)
15．实验与探究 (1)在图①，图②，图③中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的 坐标，写出图①，图②，图③中的顶点C的坐标，它们分别是________， __(_5_，__2_)____，(e＋__c_，__d_)_____(_c；＋e－a，d) (2)在图④中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标(如图所 示)，求出顶点C的坐标(C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示)； 归纳与发现 (3)通过对图①，图②，图③，图④的观察和顶点C的坐标的探究，你 会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点C 坐标为(m，n)(如图④)时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量 关 系 为 _m_＋__a_＝__c_＋__e_ ， 纵 坐 标 b ， d ， n ， f 之 间 的 等 量 关 系 为 n_＋__b_＝__d_＋__f_．(不必证明)
11．如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，∠AEB＝ 45°，BD＝2，将△ABC 沿 AC 所在直线翻折 180°到其原来所在的同一 平面内，若点 B 的落点记为 B′，则 DB′的长为___2_．
12．(2017·衢州模拟)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 点M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM∥DN.
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/28
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵AM ＝CN，∴OA－AM＝OC－CN，即OM＝ON，又∵∠MOB＝∠NOD， ∴△BMO≌△DNO(SAS)，∴∠MBO＝∠NDO，∴BM∥DN
13．如图，O为▱ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与 AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF.
方法技能： 1．平行四边形的两条对角线将平行四边形分成两对全等的三角形， 对角线是把四边形转化为三角形的桥梁，既可将平行四边形转化为三角 形来解决，也是证明两条线段互相平分的重要依据． 2．若一条直线过平行四边形对角线的交点，则该直线平分平行四 边形的周长和面积． 3．由于平行四边形的面积为定值，以不同底边和对应的高表示面 积，从而可得到不同底边与高之间的关系，再结合已知条件可求有关线 段的长． 易错提示： 解决有关平行四边形对角线的问题时，易将对角线长的一半误以为 是对角线的长．
9．在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD 相交于点O，则OA的取值范围是( C )
A．2 cm＜OA＜5 cm B．2 cm＜OA＜8 cm C．1 cm＜OA＜4 cm D．3 cm＜OA＜8 cm 10．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点 O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的 周长为__2_0_．
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月28日星期 日2021/2/282021/2/282021/2/28
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
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第2课时 平行四边形的对角线特征
知识点1：平行四边形的对角线互相平分 1．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立 的是( D ) A．BO＝DO B．CD＝AB C．∠BAD＝∠BCD D．AC＝BD 2．(2016·丽水)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AD ＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( B ) A．13 B．17 C．20 D．26
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/282021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
•ห้องสมุดไป่ตู้
A．3 B．6 C．12 D．24
7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝5，对角线相交于点O，过点O 的直线分别交AD，BC于点E，F，且OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为 (B)
A．10 B．12 C．14 D．16
8．(例 2 变式)(2016·十堰)如图，在▱ABCD 中，AB＝2 13 cm，AD ＝4 cm，AC⊥BC，则△DBC 比△ABC 的周长长__4__cm.
3．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3， 则▱ABCD的面积为( C )
A．6 B．9 C．12 D．18 4．(练习1变式)如图，▱ABCD的周长为26 cm，AC，BD相交于点O， △BOC的周长比△AOB的周长小3 cm，求AB，BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD＝BC，OA＝OC， OB＝OD，∵△BOC的周长比△AOB的周长小3 cm，∴(AB＋OB＋OA) －(BC＋OC＋OB)＝3，∴AB－BC＝3，∵2(AB＋BC)＝26，∴AB＋BC ＝13，可求得AB＝8 cm，BC＝5 cm
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， AC⊥AB，AB＝2，且AC∶BD＝2∶3.
(1)求AC的长； (2)求△AOD的面积．
解：(1)设 AC＝2x，BD＝3x，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA＝21AC＝x，OB＝12BD＝32x，在 Rt△AOB 中，OA2＋AB2＝OB2，∴ x2＋22＝(32x)2，解得 x＝45 5，∴AC＝85 5 (2)S△AOD＝S△AOB＝45 5
(1)图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来； (2)求证：∠MAE＝∠NCF.
解：(1)有4对全等三角形，分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE， △AME≌△CNF，△ABC≌△CDA (2)∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF， OE ＝ OF ， ∴ △ OAE≌△OCF(SAS) ， ∴ ∠ EAO ＝ ∠ FCO. 在 平 行 四 边 形 ABCD中，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∴∠MAE＝∠NCF
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6．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4， 则阴影部分的面积为( )C