67基础 知识讲解 直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线【学习目标】1．知识与技能：通过实例了解椭圆、抛物线、双曲线的共同特征；掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题．2．过程与方法：通过对圆锥曲线共同特征及点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3．情感态度与价值观：通过对圆锥曲线共同特征及点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生解决问题和分析问题的能力．【要点梳理】要点一：圆锥曲线的共同特征椭圆、抛物线、双曲线都是由不同的平面截一个圆锥面得到的，统称为圆锥曲线，从方程的形式看，三种曲线方程都是二次的，它们具有某些共同特征．圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点F与它到一条定直线l的距离之比为定值e．当0<<1e时，圆锥曲线是椭圆；当1e时，圆锥曲线是抛物线．e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线e 时，圆锥曲线是双曲线；当=1的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．可以把它看作圆锥曲线的第二定义．要点诠释：（1）注意点F不在直线l上，即点F在直线l外．（2）椭圆、双曲线的准线方程分别如下表所示：证明过程：（以焦点在x 轴的椭圆和双曲线为例）已知点P 到定点F ()0c ，的距离与它到定直线2a l x c =：的距离之比为常数()=,0c e a c a c a>≠且，求点P 的轨迹．解法步骤如下：（1）设点：设动点()P x y ，．（2）列式：由题意可知 PF e d=()222x c y c aa x c+=（3）化简：由上式可得()()22222222+=a c x a y a a c ①当0a c >>即1e <时，令()222=0b a c b > ，方程①可化为222222+=b x a y a b ，等式两边同除以22a b ，可得22221x y a b+=，即焦点在x 轴上的椭圆． 当0c a >>即1e >时，令()222=0b c a b > ，方程①可化为222222=b x a y a b ，等式两边同除以22a b ，可得22221x y a b = ，即焦点在x 轴上的双曲线． 同理可证，焦点在y 轴上的椭圆和双曲线和符合这一特征． 要点二： 直线与圆锥曲线的位置关系 位置关系直线与圆锥曲线都有相交、相切和相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点． 判定方法设直线l 的方程0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0，f x y =，由0()0，Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y (或x )，得到关于x (或y )的方程20ax bx c ++=（20ay by c ++=） （*）此时，方程组的解的个数与方程（*）的解的个数是一致的．当a ≠0时，方程（*）是一个一元二次方程，此时方程的解的个数(即为直线与圆锥曲线交点的个数)可由判别式△＝24b ac -来判断，如下： ①△＞0⇔直线l 与圆锥曲线相交； ②△＝0⇔直线l 与圆锥曲线相切；③△＜0⇔直线l 与圆锥曲线相离． 要点诠释：当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点；当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线相交且只有一个公共点，所以直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，而不是充分条件．要点三：直线与圆锥曲线的弦长和中点弦 直线与圆锥曲线的弦长若直线截圆锥曲线于弦AB ，则弦长|AB |的求法主要有以下几种：交点法：将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． 根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为(1x ，1y )、(2x ，2y )，则弦长公式为：1212|||()ABx x x x =-=+ 或1212|||(0)AB y y y y k =-+≠．要点诠释：在抛物线中，当弦过焦点时(即焦点弦)，那么弦长公式可以利用定义进行转化，因此抛物线的焦点弦长有以下两种更简单的计算方法．①若直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且点A 、B 在抛物线上，则有(i )12||AB x x p =++；(ii )22||sin pAB θ=(θ是直线AB 的倾斜角)． ②若直线AB 过抛物线22x px =(p ＞0)的焦点，且点A 、B 在抛物线上，则有 (i )12||AB y y p =++； (ii )22||cos pAB θ=( θ是直线AB 的倾斜角)． 直线与圆锥曲线的中点弦 中点弦对于给定点P 和给定的圆锥曲线C ，若C 上的某条弦AB 过P 点且被P 点平分，则称该弦AB 为圆锥曲线C 上过P 点的中点弦．其中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C 上不同两点A 、B 的线段AB 称为圆锥曲线C 的弦．与中点弦有关的问题，求解的方法有两种：①一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．下面以椭圆为例说明点差法的具体步骤．将A ，B 两点的坐标分别代入椭圆方程22221x y a b +=，即2211221x y a b+=， ① 2222221x y a b -=， ② ①－②，得22221212220x x y y a b ---=，所以2121221212ABy y x x b k x x a y y -+==--+212212x x b a y y +=-+22x b a y =-，00()，x y 为弦AB 的中点坐标，从而转化为中点坐标，从而转化为中点00()，x y 与AB 的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法．要点诠释：涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．要点四：圆锥曲线的应用定点问题解析几何中证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时与参数没有关系得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，当定点具备一定的限制条件时，可特殊解决．定值问题在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题．解决定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值．化解这类问题的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．最值（范围）问题最值的求法有两种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．（2）代数法：①函数值域求解法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法、还原法及函数的单调性等．③不等式（组）求解法：依据题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围．【典型例题】类型一：圆锥曲线的共同特征【高清课堂：直线与抛物线的位置关系371713例1】例1．已知动点(,)P x y12=，则动点P的轨迹是( )A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线【思路点拨】将方程翻译成几何语言，由圆锥曲线的共同特征确定点P的轨迹是椭圆．【答案】A【解析】方法一表示点P(,)x y到点（2，0）的距离，8x-表示点P(,)x y到直线=8x的距离，12=表示动点P 到定点（2，0）和到定直线=8x 的距离之比为12， 而点（2，0）显然不在直线=8x 上， 所以，P 的轨迹是椭圆．故选A ．方法二12=两边平方，整理得223448x y +=，即2211612x y +=．所以点P 的轨迹是椭圆．故选A ．【总结升华】“对方程进行合理变形，明确分子与分母的几何意义”是解决此类问题的关系． 【变式1】方程|++2|x y =表示的曲线是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线 【答案】A方程|++2|x y ==， 它表示动点(,)x y 到定点（1，1）和到定直线++2=0x y，轨迹是椭圆． 【变式213=表示的曲线是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线 【答案】D点（2，2）在直线x y +4=0 上，不符合圆锥曲线的共同特征．例2．椭圆22+=12516x y 上一点P 到左焦点F （-3，0）的距离等于3，求它到直线253x = 的距离d ．【思路点拨】利用椭圆的离心率将点P 到焦点F 的距离转化为点P 到准线253x = 的距离． 【答案】5【解析】椭圆22+=12516x y 中，222222516=9a b c a b ===，， ，所以543a b c ===，，．离心率35c e a ==，左准线2253a x c == ，所以，PF e d=，即3535PF d e===． 【总结升华】如果题目涉及到圆锥曲线上某个不确定的点到焦点的距离及和某条水平（或竖直）直线的距离，一般应用圆锥曲线的共同特征（PF e d=）来解决．在解决问题的过程中，注意给定的直线与准线是否为同一条．【变式1】双曲线22=16436x y 上一点P 到焦点F （10，0）的距离等于5，求它到直线325x =的距离．【答案】4【变式2】已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点对应的准线的距离为( )A ．103 B ．5 C ．253 D ．353 【答案】D 由于13PF =，所以27PF =．由235PF e d==可得353d =． 类型二： 直线与圆锥曲线的位置关系例3．已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1，2)，求过点P (1，2)的直线l 的斜率的取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点．【思路点拨】直线与双曲线交点问题，转化为讨论直线方程与曲线方程联立的方程组解的问题． 【解析】（1）当l 垂直于x 轴时，此直线与双曲线相切，有一个交点．（2）当l 不与x 轴垂直时，设直线l 为y －2＝k (x －1)，将其代入双曲线方程中，有(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k )x －k 2＋4k －6＝0．当k 2＝2时，即2k =±时，有一个解．当k 2≠2时，Δ＝4(k 2－2k )2－4(2－k 2)·(－k 2＋4k －6)＝48－32k ． 令Δ＝0可得32k =．令Δ＞0，即48－32k ＞0，此时32k <． 令Δ＜0，即48－32k ＜0，此时32k >． 综上所述，当2k =±或32k =或k 不存在时，直线与双曲线只有一个交点； 当2k <-或22k -<<或322k <<时，直线l 与双曲线有两个交点； 当23>k 时，直线l 与双曲线没有交点． 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值【答案】0，-1，45-【解析】联立方程2(1)1,,y a x y ax =+-⎧⎨=⎩(1)当a ＝0时，此方程组恰有一组解1,0.x y =⎧⎨=⎩(2)当a ≠0时，消去x ，得2110.a y y a+--= ①若10a a +=，即a ＝－1，方程组恰有一解1,1.x y =-⎧⎨=-⎩②若10a a +=/，即a ≠－1，令Δ＝0，得4(1)10a a ++=，可解得45a =-， 这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上所述，当a ＝0或a ＝－1或45a =-时，直线与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点．【变式2】过定点P (0，2)作直线l ，使l 与抛物线y 2＝4x 有且只有一个公共点，这样的直线l 共有_____条．【答案】3如图，过点P 与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x 轴平行的直线．【变式3】已知抛物线C ：y 2＝4x 及点A (1，－2)，是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】存在，l ：2x ＋y －1＝0．【解析】假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ．由22,4y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0．因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥12-．另一方面，由直线OA 与l的距离d ==t ＝±1． 因为11[,)2-∉-+∞，11[,)2∈-+∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0．类型三：弦与中点弦问题例4．已知抛物线24y x =，求以点P (4，1)为中点的抛物线弦AB 所在直线的方程．【思路点拨】涉及到直线被抛物线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便． 【解析】方法一：由条件可知直线AB 的斜率存在，且不为0，设AB l :m (y -1)＝x -4，即x ＝my +4-m ． 代入抛物线的方程得241640y my m --+=．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则124y y m +=． 又12212y y +=⨯=，∴ 4rn ＝2，12m =且满足△＞0． ∴ 弦AB 所在直线的方程为270x y --=．方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则22221144，，y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴ 2221214()y y x x -=-，即211221()4y y y y x x -+=-．又122y y +=，2121y y k x x -=-， ∴ 24k =，k ＝2，∴ 弦AB 所在直线的方程为y -1＝2(x -4)，即2x -y -7＝0．【总结升华】（1）解法一是用常规方法求解的，解法二是用点差法求解的，与中点有关的问题，采用点差法求解比较好；（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法．举一反三：【高清课堂：直线与抛物线的位置关系371713例2】【变式1】斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段AB 的长． 【答案】8．y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1． 由241y x y x ⎧=⎨=+⎩消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()1212112628AB AA BB x x x x ''=+=+++=++=+=．【变式2】求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程．【答案】2240(4x y y y -+=<-或0)y >方法一：若该直线的斜率不存在，则它与双曲线无交点，不和题意．设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ， 由22114y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx ---=（*）设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->∴21680,||k k <<12122225,44k x x x x k k +==---， ∴121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k =+==+=++=--， 22444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得2240(4x y y y -+=<-或0)y >．方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则221122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴121212124()y y x x x x y y +-=+-， 即41y xx y =-，即2240x y y -+=（图象的一部分）类型四：垂直问题例5．过点T(-1，0)作直线l 与曲线C ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (0x ，0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由．【思路点拨】过点T (-1，0)的直线和曲线C ：2y x =相交A 、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的2倍．运用弦长公式求弦长．【解析】依题意知，直线的斜率存在，且不等于0．设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+>，即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =， 则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--， 线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--， 令y=0，得021122x k =-，则211(,0)22E k -． ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d ．AB =21k =+，2d k=22122k k k+=，解得13k =±满足②式此时053x =． 【总结升华】直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的2倍，将k 确定，进而求出0x 的坐标．【变式1】中心在原点O ，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x ＋y ＝1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为2，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程． 【答案】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 1212(,)22x x y y M ++．由2211x y ax by +=⎧⎨+=⎩ ∴(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0． ∴122x x b a b +=+，1212122y y x x aa b++=-=+．∴(,)b aM a b a b++，∵2OM k =b =．① ∵OA ⊥OB ，∴12121y yx x =-∴x 1x 2＋y 1y 2＝0．∵121b x x a b-=+， y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 22111b b a a b a b a b --=-+=+++． ∴110b a a b a b --+=++，∴a ＋b ＝2．②由①②得1)a =，2(2b =．∴所求方程为221)2(21x y +=． 【高清课堂：双曲线的性质371712 例2】【变式2】双曲线22221x y a b-=的右焦点到直线x -y -1=0，且223a c =．(1)求此双曲线的方程；(2)设直线y =kx +m (m ≠0)与双曲线交于不同两点C 、D ，若点A 坐标为(0，-b)，且|A C|=|A D|，求实数k 取值范围．【答案】（1）2213x y -=；（2）(,()-∞⋃⋃+∞.类型五：定值定点问题例6．已知直线l y kx m =+：与椭圆C ：22143x y +=相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【思路点拨】已知条件：直线l y kx m =+：与椭圆C 相交于A ，B 两点，并且椭圆的右顶点和A 、B 的连线互相垂直，要证明直线l 过定点，就是通过垂直建立k 、m 的一次函数关系．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412.y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->， ①212122284(3),3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++ ② 则22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ ③ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，即1212122()40y y x x x x +-++=，将②③代入得： 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得 2271640m mk k ++=， 解得 1222,7km k m =-=-，都满足①式， 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7． 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7【总结升华】求一条直线恒过定点或证明一条直线必过定点，通常有两种方法：（1）分离常数法：将原方程变换为：()()g 0f x y m x y +=，，的形式，要使此式的成立与参数m 无关，只要()()=0g 0.f x y x y ⎧⎪⎨=⎪⎩，，，成立，则方程组的解就是直线恒过的定点．（2）从特殊到一般，先由其中的两条特殊直线求出交点，再证明其余直线均过此交点．【变式1】当a 为任何值时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过定点P ，则过P 点的抛物线的标准方程为( )A ．292y x =-或243x y =B ．292y x =或243x y =C ．292y x =或243x y =- D ．292y x =-或243x y =- 【答案】 A【解析】直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0可变形为()()2+1=0a x x y +--+，解方程组20,10x x y +=⎧⎨--+=⎩得定点P (－2，3)，∵ 抛物线过定点P ，当焦点在x 轴上时，方程为292y x =-，当焦点在y 轴上时，抛物线方程为243x y =．故选A ．【变式2】已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点． 求证：(1)x 1x 2为定值；(2)11||||FA FB +为定值． 【证明】(1)抛物线y 2＝2px 的焦点为(,0)2pF ，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()(0)2py k x k =-=/．由2(),22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y ，整理得 22222(2)04k p k x p k x -++=．由韦达定理，得2124p x x =(定值)．当AB ⊥x 轴时，122px x ==，2124p x x =也成立．(2)由抛物线的定义，知1||2p FA x =+，2||2pFB x =+．4)(22121||1||1221212121p x x x x p p x x p x p x FB FA +++++=+++=+12212()22x x p p p x x ++=++=1212()2x x pp x x p ++++2p=(定值)， ∴11||||FA FB +为定值． 类型六：最值和范围问题例7．设AB 是过椭圆C ：22154x y +=中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 与椭圆C 的交点，求MAB ∆的面积的最小值．【思路点拨】设出AB 的方程(0)y kx k =≠，联立直线与椭圆得到方程组后可求得点A 坐标，从而得到AB ；将直线l 的方程：1y x k=-和椭圆方程联立后可求得点M 的坐标，从而求得OM ．利用公式22214AMB S AB OM =△由均值不等式即可求出最小值． 【答案】409【解析】设()A A A x y ，，假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，联立方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，， 得 222045Ax k =+，2222045A k y k=+ ① 由于直线l ⊥AB ，所以直线l 的斜率为1k -，将①式中的k 用1k-取代，可以得到点M 的坐标2222054Mk x k=+，222054M y k =+． 所以2222220(1)45AAk OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k +=+．方法一： 由于22214AMBSAB OM =△2222180(1)20(1)44554k k k k++=⨯⨯++2222400(1)(45)(54)k k k +=++ 22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△． 当0k =，1402522529AMB S =⨯⨯=>△．当k不存在时，140542529AMB S =⨯⨯=>△．综上所述，AMB △的面积的最小值为409．方法二： 222222111120(1)20(1)4554k k OA OMk k +=+++++2224554920(1)20k k k +++==+， 又22112OA OM OAOM+≥，409OA OM ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△． 当0k =，1402522529AMB S =⨯⨯=>△．当k 不存在时，140542529AMB S =⨯⨯=>△．综上所述，AMB △的面积的最小值为409．【总结升华】求函数的最值（范围）的一般思路是合理引入参数，正确建立目标函数，转化为求函数的有关问题（值域或不等式求解）解决．【变式1】已知1F ，2F 为椭圆2212y x +=的上、下两个焦点，AB 是焦点1F 的一条动弦，求2ABF ∆的最大值．【答案】2【解析】设AB 方程为y =kx +1，联立则2ABF ∆的面积为，即0k=时取等号．【变式2】已知直线)0(:≠+=kmkxyl与椭圆22143x y+=交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点)0,81(G，求k的取值范围．【答案】k k<【解析】设1122(,),(,)M x y N x y，弦MN的中点A00(,)x y由223412y kx mx y=+⎧⎨+=⎩得：222(34)84120k x mkx m+++-=，直线)0(:≠+=kmkxyl与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m∴∆=-+->，即2243m k<+①由韦达定理得：21212228412,3434mk mx x x xk k-+=-=++，则2000222443,343434mk mk mx y kx m mk k k=-=+=-+=+++，直线AG的斜率为：22232434413234348AGmmkKmk mk kk+==-----+，由直线AG和直线MN垂直可得：22413234mkmk k=----，即2348kmk+=-，代入①式，可得22234()438kkk+<+，即2120k>，则k k><。