高考理科课件(选修4-5第2节证明不等式的基本方法)
人教版高中数学选修4-5第2讲 证明不等式的基本方法2ppt课件
∴假设不成立，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.
证法二：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12， 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)| ≥f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋b＋c)＋(9＋3b＋c)－2(4＋2b＋c)＝2. 两式显然矛盾，∴原假设不成立． ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于21.
反证法
• 1．要证不等式M>N，先假设M≤N，由题设及其他性 质，推出矛盾，从而肯定M>N成立．凡涉及证明不 等式为否定性命题，唯一性命题或是含“至多”、 “至少”等字句时，可考虑使用反证法．
• 2．反证法证明不等式的步骤是：反设(假设不等式 的结论不成立)→归谬(从假设出发，经过推理论证， 得出矛盾)→断言(由矛盾得出反设不成立)．反证法
证法二：∵|x＋y|≤|x|＋|y|，∴|x|＋|y|－|x＋y|≥0. 由真分数性质ba<ab＋ ＋mm(0<a<b，m>0)知 1＋|x＋|x＋y|y|≤1＋|x＋|x＋y|＋y|＋|x||＋x|＋|y||－y|－|x＋|x＋y| y| ＝1＋|x||＋x|＋|y||y|≤1＋|x||x|＋1＋|y||y|. 即1＋|x＋|x＋y| y|≤1＋|x||x|＋1＋|y||y|成立．
(7)利用常用结论：
①1＝ k
2 k＋
k>
2 k＋
k＋1＝2(
k＋1－
k)，
1＝ k
2 k＋
k<
2 k＋
k－1＝2(
k－
k－1)(k∈N＋，k&g－1 1－1k；k12>kk＋1 1＝1k－k＋1 1(程度大)；
2014·高三复习数学(理)2选修4-5 第2讲 证明不等式的基本方法
b2)≥0，即( a)3＋b3≥ab＋ ab2.
选修4-5 第2讲
第22页
此题用的是作差比较法，其步骤：作差、变形、判断差 的符号、结论.其中判断差的符号为目的，变形是关键.常用的 变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法.
选修4-5
第2讲
第23页
[变式探究] 求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
第2讲
第16页
1. ≥ a＝b＝c 不小于 不小于 ≥ a1＝a2＝„＝an 3 1 填一填：(1)3 (2)3 4
选修4-5
第2讲
第17页
2．填一填：(1)
2 2 2
1 21
2 2
提示：∵1＝x＋2y＋
2
1 4z≤ x ＋y ＋z · 1＋4＋16 ，∴x ＋y ＋z ≥ 21 ，即x2＋y2＋z2 1 的最小值为21. (2)[－5 y)2， ∴－5 2≤2x－y≤5 2. 2 ，5 2] 提示：∵(x2＋y2)[22＋(－1)2]≥(2x－
选修4-5
第2讲
第34页
2 柯西不等式的一般结构为(a1 ＋a 2＋„＋a2)(b 2＋b 2＋„ 2 n 1 2
＋b2)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn)2，在使用柯西不等式时，关键 n 是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式 子，为方便使用柯西不等式，有时常将 a 变形为 1×a 的形 式．
据集合相等确定m的值；(2)结合已知条件构造两个适当的数
组，变形为柯西不等式的形式．
选修4-5
第2讲
第33页
[解]
(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1. 1 1 1 ＋ (2)由(1)知a＋2b＋3c＝1，又a，b，c∈R ，由柯西不等式 1 1 1 1 1 得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)( a ＋ 2b ＋ 3c )≥( a· ＋ 2b· ＋ a 2b 1 2 3c· ) ＝9.所以不等式得证． 3c
选修4-5 2第二节 证明不等式的基本方法
()
(2)比较法最终要判断式子果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,
最后达到待证的结论. ( )
(4)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论
成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实. ( )
必备知识·自主学习
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2.基本不等式 (1)基本不等式判断大小的基本原则:积定_和__最__小__,和定_积__最__大__. (2)基本不等式使用的基本原则:_一__正__二__定__三__相__等__.
必备知识·自主学习
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知x为实数,则1+x+ 1 ≥3.
提示:(1)×.不知道x的正负,不能直接用基本不等式. (2)×.作商比较法是商与1的大小比较. (3)√.综合法是从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等逐步推导出结论. (4)×.分析法是从结论出发,寻找结论成立的充分条件.
第二节 证明不等式的基本方法
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
必备知识·自主学习
【教材·知识梳理】 1.不等式的证明方法 (1)综合法:又叫顺推证法或由因导果法,方法是从_已__知__条__件__出__发__,_利__用__定__义__、__公__ _理__、__定__理__、__性__质__等逐步推导出结论. (2)分析法:又叫执果索因法,方法是从_结__论__出发,逐步寻找结论成立的_充__分__条__ _件__,直至所需条件为_已__知__条__件__或__一__个__明__显__成__立__的__事__实__. (3)作差法与作商法:作差法是作差后与0比较,作商法是把两个_正__数__作商后与 _1_比较.
人教版高中数学选修高考总复习·数学选修4-5-2不等式的证明ppt课件
3．(2013年大连模拟)已知a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＞c.
求证：1＋ a a＋1＋ b b＞1＋ c c. 证明：∵a＞0，b＞0， ∴1＋ a a＞1＋aa＋b，1＋ b b＞1＋ba＋b. ∴1＋ a a＋1＋ b b＞1＋ a＋ a＋ b b. 而函数 f(x)＝1＋ x x＝1－1＋ 1 x
综上可知，当 a、b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)a＋ 2 b成立
1．已知c>b>a，证明a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca2. 证明：ab2＋bc2＋ca2－(a2b＋b2c＋c2a) ＝a(b2－c2)＋b(c2－a2)＋c(a2－b2) ＝a(b2－c2)＋b(c2－b2＋b2－a2)＋c(a2－b2) ＝a(b2－c2)＋b(c2－b2)＋b(b2－a2)＋c(a2－b2) ＝(c2－b2)(b－a)＋(b2－a2)(b－c) ＝(b－a)·(c－b)[b＋c－(b＋a)]
得( a－ b)[( a)5－( b)5]>0.
所以 a3＋b3≥ ab(a2＋b2)．
【防范指南】 作差比较法是证明不等式最基本、最重 要的方法，其关键是变形，通常对于整式是进行因式分解， 利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的 性质进行判断．对于分式先通分，然后再因式分解．
(2011年高考福建卷)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.
证法二 (1＋2x4)－(2x3＋x2) ＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1 ＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0， ∴1＋2x4≥2x3＋x2. (2) aaab＋ b b＝aa－ 2 bbb－ 2 a＝aba－ 2 b，
ab 2 当 a＝b 时，aba－ 2 b＝1. 当 a>b>0 时，ab>1，a－ 2 b>0，则aba－ 2 b>1. 当 b>a>0 时，0<ab<1，a－ 2 b<0，则aba－ 2 b>1.
新高考数学一轮总复习课件选修4-5第二节证明不等式的基本方法
【解析】(1)①当 x≥3 时，|x－3|＜x＋1 等价于 x－3＜x＋1，不等式恒成立， 所以 x≥3； 当 x＜3 时，|x－3|＜x＋1 等价于 3－x＜x＋1，即 x＞1，所以 1＜x＜3， 综上可知，不等式 f(x)＜x＋1 的解集为 M＝{x|x＞1}．
②因为(a2＋1)(b2＋1)－(2a2＋2b2) ＝(ab)2＋a2＋b2＋1－2a2－2b2 ＝(ab)2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)， 又因为 a，b∈M，所以 a＞1，b＞1， 因此 a2＞1，b2＞1，a2－1＞0，b2－1＞0， 所以(a2－1)(b2－1)＞0， 所以原不等式(a2＋1)(b2＋1)＞2a2＋2b2 成立．
(2)作商比较法的应用范围 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．
【变式训练】 当 p，q 都是正数且 p＋q＝1 时，试比较(px＋qy)2 与 px2＋qy2 的大小．
【解析】(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p2x2＋q2y2＋2pqxy－(px2＋qy2) ＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p. 所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2. 因为p，q为正数，所以－pq(x－y)2≤0，所以(px＋qy)2≤px2＋qy2.当且仅当 x＝y时，等号成立．
第二节 证明不等式的基本方法
梳理自测 通必备知识
1．基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥_2_a_b_，当且仅当_a_＝__b_时，等号成立．
定理2：如果a，b＞0，那么 a b ab ，当且仅当a__＝_b__时，等号成立，即两
2
个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．
人教版高中数学选修4-5课件：模块复习课 第二课 证明不等式的基本方法 (共39张PPT)
2.放缩法 将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小),使不等 式由繁化简,达到证明的目的.
【变式训练】1.对于任何大于1的自然数n,证明:
【(1证 31明（) 1】 51设）(a1>71b)>…0(,1m 2>n10,1则)＞a
2n 1 . 2 m＜a，
所以
bm b
1
1 2k 1
2k 2k 1
n
n 2
1＜Sn＜
n
12
2
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
(2)用分析法证明不等式时,一定要注意用好反推符号, 或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语. (3)用放缩法时,放缩要得当,不能“过大”也不能“过 小”.
类型一 比较法证明不等式 【典例1】设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2) =3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2). 因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0. 从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立.
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
高考理科课件(选修4-5第2节证明不等式的基本方法)
（2）已知a>b>-1,则 1 1 . ( )
a 1 b1
（3）设 t b ,s b 1 (b>a>0)，则s≥t.( )
a a 1
（4）证明 10 8 3 1 可用比较法证明.( )
【解析】（1）错误.若x-y<0，则有x+2y<x-y.
（2）正确.∵a>b>-1,∴a+1>b+1>0,
b
b<0,a 1 ⇒_a_<_b_
b
主要适用于积、商、 幂、对数、根式形式 的不等式证明
2.综合法与分析法 (1)分析法 证明命题时，从所要证明的结论入手向已知条件反推，直至达 到已知条件为止，这种证法称为分析法，这是一种“_执__果__索__ _因__”的证明方法. (2)综合法 一般地，从已知条件出发，利用不等式的性质（或已知证明过 的不等式），推出所要证明的结论，这种证明不等式的方法称 为综合法.综合法又叫“_由__因__寻__果__法__”.
b
2 ＞1.
b2
b
当b＞a＞0时，0＜a
＜1，a
b
＜0，则(
a
ab
) 2 ＞1.
b2
b
综上可知，当a,b∈(0，+∞)时，aabb (a成b)立a2b.
【互动探究】在本例题（2）的条件下，证明
ab
ab 2
abba.
【证明】
abba
ab
ab 2
ba ab
a 2 b 2
(
b
)
a
b
2，
a
当a
b时，(
【拓展提升】1.适宜用反证法证明的数学命题 (1)结论本身是以否定形式出现的一类命题. (2)关于唯一性、存在性的命题. (3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题. (4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题. 2.反证法常见推出的矛盾 （1）通过推证，得出与假设矛盾的结论. （2）通过推证，得出与已知矛盾的结论. （3）通过推证，得出自相矛盾的结论.
【高考领航】高考数学总复习 第2节 证明不等式的基本方法名师课件 苏教版选修4-5
(3)利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常 用的不等式有：(1)a2≥0；(2)|a|≥0；(3)a2＋b2≥2ab，它的变形形式 又有(a＋b)2≥4ab，a2＋2 b2≥(a＋2 b)2 等；
(4)a＋2 b≥ ab，它的变形形式又有 a＋1a≥2(a＞0)，ba＋ab≥2(ab＞0)，ba＋ab≤－2(ab＜0)等．
第2节 证明不等式的基本方法
【知识梳理】 1．比较法 (1)作差比较法 ①理论依据：a＞b⇔ a－b＞0 ；
a＜b⇔ a－b＜0 ． ②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
(2)作商比较法 ①理论依据：b＞0，ab＞1⇒ a＞b ；
b＜0，ab＞1⇒a＜b. ②证明步骤：作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论．
解析：(x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y2＋yz ＝y(x＋y＋z)＋xz≥2 xyz（x＋y＋z）＝2. 答案：2
4．若不等式x＋1x＞|a－5|＋1 对一切非零实数 x 均成立，则实 数 a 的取值范围是________．
解析：x＋1x＝|x|＋1x≥2 即|a－5|＜1，因此 4＜a＜6.
a、b∈（0，＋∞），
(1)∵1a＋1b＋a1b＝(a＋b)(1a＋1b)＋a1b ≥2 ab·2 a1b＋4＝4＋4＝8， ∴1a＋1b＋a1b≥8. (2)∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab ≥1－2×14＝12，∴a2＋b2≥12.
考向四 不等式证明的其它方法 已知 a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
真分数性质“若 0＜a＜b，m＞0，则ab＜ab＋ ＋mm”，添加或减少项，利
用有界性等．
(2)在放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．
高考数学总复习 第2节 证明不等式的基本方法课件 新人教A版选修4-5
放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性进行证明
不等关系，即要证 a＞ b ，只需先证明 a ＞p ，且 p ＞ b. 其中 p 的 确定是最重要，也是最困难的，要凭借对题意的深刻分析， 对式子巧妙变形的能力，以及一定的解题经验．
设 m 是|a|，|b|和 1 中最大的一个，当|x|＞m 时． a b 求证：|x＋x2|<2. 【思路点拨】根据已知条件有：“m≥|a|，m≥|b|，m≥
|f(－1)|＝|1－p＋1|＝|2－p|<2，
则4＝(2＋p)＋(2－p)≤|2＋p|＋|2－p|<4矛盾， ∴假设不成立． ∴原结论成立．
【活学活用】 3.若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y π π π 2 2 ＋ 2 ，b＝y －2z＋ 3 ，c＝z －2x＋ 6 . 求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
【活学活用】 1.已知：a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ ca≤0.
证明：证法一(综合法) ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0， a2＋b2＋c2 展开，得 ab＋bc＋ca＝－ .∴ab＋bc＋ca≤0. 2
证法二(分析法) 要证 ab＋bc＋ca≤0， ∵a＋b＋c＝0，故只需证 ab＋bc＋ca≤(a＋b＋c)2， 即证 a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca≥0， 1 即2[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]≥0， ∴显然原式成立． 证法三：∵a＋b＋c＝0，∴－c＝a＋b， ∴ab＋bc＋ca＝ab＋(a＋b)c＝ab－(a＋b)2 ＝－a2－b2－ab b 2 3b2 ＝－[(a＋ ) ＋ ]≤0. 2 4
(2)作商比较法 a ①理论依据：b＞0，b＞1⇒ a＞b ； a b<0， ＞1⇒ a<b b ．
高考数学(理)一轮复习课件：选修4-5第二节 证明不等式的基本方法(广东专用)
A．a>b>c
B．b>a>c
C．b>c>a
D．a>c>b
【解析】
由4 2＋
> 2
4
4
6＋
> 2
7＋
，得 a>c>b. 3
【答案】 D
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
4．设 a、b∈(0，＋∞)，且 ab－a－b＝1，则有( )
A．a＋b≥2( 2＋1)
B．a＋b≤ 2＋1
C．a＋b＜ 2＋1
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为 条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不 从结论的反面推理，就不是反证法． 2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理推 出和已知条件或定理事实相矛盾．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
∴原不等式成立．,
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
1．(1)分析法是寻找结论成立的充分条件，对于无理不等式去 根号，分式不等式去分母，采用分析法是常用方法．(2)此题 证明的关键是在两边非负的条件下平方去根号． 2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
【尝试解答】 因为 a，b，c 均为正数，由均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)23，
①
1a＋1b＋1c≥3(abc)－31，
所以(1a＋1b＋1c)2≥9(abc)－32.
②
故 a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥3(abc)23＋9(abc)－23.
选修4-5第二讲-证明不等式的基本方法-课件
(a b)(a b)2
a,b 0,a b 0
又a b(a b)2 0
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3 ) (a2b ab2 ) 0
判断一个数或式子与0的大小关系．作商比较法的实质是把两个数或式 子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与1的大小关系． 2．作商比较法适用于哪些类型的问题？
提示：主要适用于积、商、幂、对数、根式等形式的不等式证明．
3．
已知
a
1，a
2∈(
0
,
1
)
，
M
＝a
1a
2，N
＝a
1＋a
＋
2
1，
则M
，N
的
大
小关系是________.
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
(2)作商比较法
例3 已知a,b是正数,求证aabb abba ,当且仅当a b时,等号成立.
证明:
aabb abba
aabbba
a
ab
b
根据要证的不等式的特点(交换a, b的位置, 不等式不变)
为_a_b___1或__a_b 2
6.若0
a
b
1, P
log 1
2
a
b 2
,Q
1 2
(log 1
2
a
log 1
2
b), M
log 1 (a
2
高考数学(理)总复习备考指导课件：选修4-5 第2节 证明不等式的基本方法
自
高
主
考
落
体
实 ·
第二节 证明不等式的基本方法
验 ·
固
明
基 础
考纲传真 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合
考 情
法、分析法、反证法、放缩法．
典
例
探
究
课
·
时
提
作
知
业
能
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
自
高
主
考
落 实
1．基本不等式
体 验
·
固
定理 1：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥ 2ab ，当且
＝(x－1)22x＋122＋12≥0，
作 业
∴1＋2x4≥2x3＋x2.
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
自
高
主
考
落 实
法二 (1＋2x4)－(2x3＋x2)＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1
体 验
·
·
固 基
＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，
明 考
础
·
·
固 基 础
1a＋1b＋1c2≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
明 考 情
典
【思路点拨】 考虑待证不等式的结构特征，a2＋b2＋
例
探 究 ·
c2 与1a＋1b＋1c分别运用均值不等式；相加后，再用均值不等
课 时
提
作
知 能
式，并根据等号成立的条件确定 a，b，c 的值．源自业情典 例
2 2(a＋1a)，只需证 2
探
a2＋a12≥ 2(a＋1a)，
高考数学(人教新课标理科)总复习配套课件选修4-5-2_不等式的证明与柯西不等式
第2课时2013•考纲下载I|1・了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放III缩法、数学归纳法.II| 2•了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式.III 3•能利用均值不等式求一些特定函数的极值.II请注意!［不等式的证明是中学数学的难点.III用.II柯西不等式只要求会简单应»»课前自助餐««KEQIAN ZIZHUCAN课本导读KEBEN DAODU 新课标版|f1.证明不等式的方法⑴比较法；(2)综合法与分析法；(3)反证法、放缩法；(4)数学归纳法.2.几个常见不等式(1)平均值不等式(2)贝努利不等式若xWR，且x>— 1,兀工0，n>\, 则(1 +x),7>l -\~nx.(3)柯西不等式①设％"2,…，%, »如・・・,乞是实数,则&+空+・・・n+册员+员+・・・+肋上竺当且仅当岗=0(=1,2,・・・, ")或存在一个数匕使得di=kbi(i=\,2,…，砒时,等号成立.②柯西不等式的向量形式：设P是两个向量，贝I」kz/lW 岡皿.当且仅当〃是零向量，或存在实数匕使a = kp时，等号成立.教材回归 JIAOCAI HUIGUI -r- 1 1-r 1 . 1 a , b n r 1-已知且币+帀'芹+卫'则 () B. M>N D ・不确定M 、N 的大小关系是 A. M<N C. M=N 答案 B解析由已知得0<ab< 1, ,z 1.1 a 故必_并=芹+帀-芹- 1—a 1—b 2(1—ab)1+Q +1+Z?(1 + Q )( 1 + b)>°・b 1+b故M>N・2.若兀，yWR且满足x+3y=2,则3x+27y+1的最小值是() A・3苛 B. 1+2边C. 6D. 7答案D3.已知a, b, c 是正实数，且iz + Z?+c=l,贝lj~+|+-的 a b c最小值为 （）A ・3B ・6C ・9D ・12答案c解析 1,1,1 o + b + c , o + b + c , o + b + c, b , a + z + =+ Z + =3 + ( + Ja b c ab c'a b、c 、a 、 c 、b 、 , , ,+（尹7）+（尹7&3+2+2+2F.4-已知儿丁均为正数,大值是A. 8C. 10答案C且无+y=2,贝b+4屈+令的最() B. 9D・11解析x+4寸6 + 4y = (\fx+2\[y)2 <(12 + 22)[(A/X)2 + (^/y)2] = 5(x+y) = 5X2= 10..••x+4#云+4y W10.当且仅当IX心=2&.即y=4x(x>0)时等号成立.y=4x, 2解|丄 c 得符合[x+y=2,、•••x+4寸云+4y的最大值为10,故应选C.5.函数y=3、Jx 1+4寸5 x的取大值为（）A・10 B. 15C. 18D. 20答案A解析根据柯西不等式，得/ = （3^1 + 4 书二^）2 W （32 + 4?）[（尸T ）2 +（7^7）2]= 25X4.•••応10, •••选 A.题型一放缩法证明不等式例1 设£=寸门门+佰^+书齐——寸啥+1)，求证:|H(/I +1 )<5<|w(n+2).• (z +*¥乂 i +SM Q・•••(z +金丄(I+&+:±+5+E TZ +: •+ Z + Z + Z v s (I +S +K寸十 EE+zZ+I探究1放缩法是不等式证明的基本方法，在不等式证明中几乎处处存在.（1）放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较.缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；全量不少于部分; 每一次缩小和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和.（2）放缩法的注意事项：①舍去或加上一些项，如（a-②将分子或分母放大（缩小）,2 丄2yJJc+'k一 ]' 寸k+ ]"+ 丄 ] 1 ] 1 如氏伙—1)，产＞伙+1)‘乐EN\ £>1）等・③放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，谨慎地添或减是放缩法的基本策略・一1——写+导+~+長(_4一+亘)_q —卫(_q _+_b _)_q —Q_||%+ I A I+B+T A —一q+D__q —B一 ——zq+m+J +W ——-%1%-|%+1「I飞+1「_H _ (qv-■题型二三个正数的算术——几何平均不等式问题■例2已知x^R+,求函数y=x(l—x2)的最大值.H h —「【思路】禾U用平均值不等式abcW(—)3(«>0, b>0, c>0）求解.【解析】Vy=x(l—%2),.•.y2=x2(l-?)2 = 2x2(l -X2)(1-X2)-|.T 2x2+(1 —%2) + (1 —x2) — 2、丿27 -当且仅当2#= 1—X2=l—X2,即X = ¥时，取"=”，• .ymax【证明】因为Q, 4 C 为正实数,1 1 1 3/ill由平均不等式可得/+戸+己鼻3〈/产•戸 1113 1 1 1 3即 r+乔+r 鼻一p •所 以 r +abc 三一p+abc. a b c abc a b cabc"思考题2设b,为正实数，求证：£+*+£+题型三柯西不等式的应用例3 (1)设a, b, c为正数且各不相等，求证：2 2 2 9o+b Z?+C C+Q>Q+/?+C・【思路】因为b、C均为正数，所以要结论正确只需证明2(a + b+c)()>9.a +b b~\~c C+QX q +W AX3+b3+qq+b)(u +q +b )云+s +(3+q )+(q +s =(3+q +b )z ・・・d A D +u ,0A 3+q,02+b -:当且仅当a + b = b + c=c+a, 即a=b —c 时，等号成立. 又仏C 各不相等，等号不成立,叩 2 229a~\~b Z?+c C +Q >Q + Z?+C ・•： 2(o + b+c)( 丄+丄+丄 a~\~bZ?+c C +Q )三9・ •： 2(Q + Z?+C )(a+b b+c c+o)>9,(2)已知实数a9 by c满足a+2b+c=l，tz2+/?2 + c2 = 1, 求c 的范围.【解析】方法一由a+2b=l—c, cr + b~=\~c1, 又由柯西不等式(/+/)( 12+2?)$(口+2仍2.即(1-C2)X5^(1-C)2.22•••所求的c的范围为[—吕1].整理得3C2-C-2<0,解得一方法二由Q=1—(2b+c)代入«2+Z?2+c2=l 中, 整理得5Z?2—4(1 —c)-Z?+2c2—2c=0.由于存在实数b使方程成立.•°・/ = 16(1 _c)2_40(c2_c)20,整理得3c2—c—2^0,解得一1.•••所求的c的范围为1]・探究2 (1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题.(2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件.息思考题3 设y三0, z三0,b、c、d、I、m、nI m n是给定的正数，并且ax+by^cz=3为常数，求血=；+£+?的最小值.【解析】由柯西不等式，得O + Vf F +（^1 尸］•［（価）2 + （换）2 +（辰）2］利用柯西不等式成立的条件，得兀=0^, z=其中’2问+盒+何它们使得ax+by+cz=^ 且血=(问+哼+佰)彳,所以血的最小值为(y]Hi+\l~bin+\[cn)23 ■墜［朮谯总结］对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式.课时作业（九十四）。
2016届高考数学总复习课件：选修4-5-第2节证明不等式的基本方法
考
向 ＋ac)≥3(ab＋bc＋ac)，即证 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
演 实 战
沙
切 脉
因为
ab
＋
bc
＋
ca≤
a2＋b2 2
＋
c2＋b2 2
＋
a2＋c2 2
＝
a2
＋
b2
＋
场 点 兵
搏
核 心
c2(当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)，
突
破
所以原不等式成立．
课 时
提
升
练
菜单
第十六页，编辑于星期五：二十一点 六分。
破
课
时
提
升
练
菜单
第十四页，编辑于星期五：二十一点 六分。
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研 动
指 导
向 考
[对点练习]
纲
考
向
设 a，b，c＞0，且 ab＋bc＋ca＝1.求证：
演 实
战
沙
(1)a＋b＋c≥ 3；
场
切
脉 搏 核 心
(2) bac＋ abc＋ bca≥ 3( a＋ b＋ c)．
点 兵
突
指 导
向
考 纲
3．(2014·福建高考)已知定义在 R 上的函数 f(x)＝|x＋1|
考
向 ＋|x－2|的最小值为 a.
演 实
战
(1)求 a 的值；
沙 场
切 脉 搏
点
(2)若 p，q，r 是正实数，且满足 p＋q＋r＝a，求证：p2 兵
核
心 突
＋q2＋r2≥3.
破
课
时
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【规范解答】(1)ab2+bc2+ca2-(a2b+b2c+c2a) =a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2) =a(b2-c2)+b(c2-b2+b2-a2)+c(a2-b2) =a(b2-c2)+b(c2-b2)+b(b2-a2)+c(a2-b2） =（c2-b2)(b-a)+(b2-a2)(b-c) =(b-a)(c-b)［c+b-(b+a)］ =(b-a)(c-b)(c-a).
【思路点拨】分析不等式左边的特点结合已知条件，利用平均 值不等式证明该不等式.
【规范解答】方法一：左边=（a 1 ) 2 (b 1 ) 2
a 2 b2 4 ( 1 1 2) 2 a b
2
a
b
a2 b2 2b b 2 a 2 2a 4 a 2 b2 1 2 2 1 a a b b b a b2 a 2 4 a 2 b 2） 2 （ ） 2 2 ） （ 2 （ a b a b 2 （a b ） b a b a 4 2 2 2 2 2 a b a b 1 25 4 242 , 2 2
考向 4
用反证法证ห้องสมุดไป่ตู้不等式
【典例4】若a3+b3=2，求证:a+b≤2. 【思路点拨】直接证明a+b≤2比较困难，可考虑从反面入手， 运用反证法，导出矛盾，从而证得结论.
【规范解答】方法一:假设a+b＞2, 而 a 2 ab b 2 (a 1 b) 2 3 b 2 0.
方法二：1 ab 1 1 3 ,
4 4
当且仅当a=b时，等号成立.
9 25 2 1 ab , 1 ab 1 , 16 16 2 1 （1 ab） 1 25 25 又 4， 4 ， ab ab 16 4 a 2 b 2 2ab 2 25 1 1 25 ， a ）（b ） （ . ab 4 a b 4 1 1 25 方法三： a )(b ) （ a b 4 2 2 a 1 b 1 25 a b 4 4a 2 b 2 33ab 8 （1 4ab）（8 ab） 0， 4ab 4ab 1 1 25 a ）（b ） （ . a b 4
1 1 . a 1 b 1 （3）错误. b 1 b a b , ≧b>a>0,≨a-b<0,a(a+1)>0, a 1 a a a 1 b 1 b ≨s<t. , a 1 a
（4）错误.该不等式无论用求差法还是求商法都不好证明，最
好用分析法.
主要适用于积、商、 幂、对数、根式形式 的不等式证明
2.综合法与分析法 (1)分析法 证明命题时，从所要证明的结论入手向已知条件反推，直至达 执果索 到已知条件为止，这种证法称为分析法，这是一种“_______
因 ___”的证明方法.
(2)综合法 一般地，从已知条件出发，利用不等式的性质（或已知证明过 的不等式），推出所要证明的结论，这种证明不等式的方法称 由因寻果法 为综合法.综合法又叫“___________”.
2
1 2 2
x
3
y
1 3 3
,
只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2， 即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6， 即证3x4y2+3x2y4>2x3y3, ≧x>0,y>0,≨x2y2>0. 即证3x2+3y2>2xy,≧3x2+3y2>x2+y2≥2xy, ≨3x2+3y2>2xy成立，≨ x y
答案：（1）× （2）√ （3）× （4）×
考向 1
比较法证明不等式
【典例1】（1）设c>b>a,证明：a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2. （2）当a,b∈(0,+∞)时，a b ab
a b a b 2
.
【思路点拨】(1)不等式两端均为多项式且次数相同时可考虑 用求差法证明. (2)不等式两端为幂指数型的不等式可考虑用求商比较法证明.
第二节
证明不等式的基本方法
求差 求商 1.比较法证明不等式可分为_____比较法和_____比较法两种
求差比较法 a>b⇔______ a-b>0 理论依据 a<b⇔______ a-b<0 a-b=0 a=b⇔______ 适用于具有多项式 适用类型 特征的不等式的证 明 求商比较法
a a>b b>0, 1 ⇒____ b a<b b<0,a 1 ⇒____ b
xy
) ) ) )
（2）已知a>b>-1,则 1 1 . (
a 1 b 1 a a 1
（3）设 t b ,s b 1 (b>a>0)，则s≥t.( （4）证明
10 8 3 1 可用比较法证明.(
【解析】（1）错误.若x-y<0，则有x+2y<x-y. （2）正确.≧a>b>-1,≨a+1>b+1>0,
故（px+qy)2-(px2+qy2)
=-pq(x2+y2-2xy)
=-pq(x-y)2.
由于p,q为正数，故-pq(x-y)2≤0,
故（px+qy)2≤px2+qy2,
当且仅当x=y时，不等式中等号成立.
考向 2
综合法证明不等式
1 a 1 b 25 . 2
【典例2】已知a,b∈R+,且a+b=1,求证： a ) 2 (b ) 2 （
2 1 2 2
x
3
y
1 3 3
.
【拓展提升】1.综合法与分析法的逻辑关系
（1）用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等
式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.
（2）综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，
所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤.
a b 2 2 4a b
a b
2
当且仅当a=b时，等号成立.即原不等式成立.
方法二：≧a，b∈R+，且a+b=1, ab ( a b ) 2 1 ，
2 4
当且仅当a=b时，等号成立.
1 2 1 2 a ）（b ） （ a b 1 1 4 a 2 b 2） 2 2 ） （ （ a b 2 （a b） 2ab 2 4 ［（a b） 2ab］ a 2b2 1 2ab 4 1 2ab） 2 2 （ a b 1 1 2 1 4 25 . 4 1 2 ） （ 4 （1） 2 2 4 1 1 25 (a ) 2 (b ) 2 . a b 2
a b 4
【证明】方法一：≧a，b∈（0，+≦），且a+b=1,
ab 2 1 ) , 当且仅当a=b时，等号成立. 2 4 1 1 b a 1 (a ） ） ab (b a b a b ab b a 1 ( )( ab) 2 2 a b ab 1 25 2 (2 ) 2 2 ， 2 4 1 1 25 (a )(b ) . a b 4 ab (
【提醒】当不等式的两边为对数式时，可用求商比较法证明，
另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用求差比较法时，
也常用求商比较法.
【变式备选】已知p，q均为正数，且p+q=1,试证明 （px+qy)2≤px2+qy2.
【证明】（px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy ≧p+q=1,≨p-1=-q,q-1=-p.
2
考向 3
利用分析法证明不等式
1 2 2 1 3 3
【典例3】已知x>0,y>0,求证： 2 y ) (x 3 y ) . (x
【思路点拨】待证不等式中含有分数指数幂，不易直接证明,
可考虑用分析法证明.两边六次方，消去分数指数幂，化为整
式不等式后，再进行变形，整理证明即可.
【规范解答】要证明 x y
的性质 ______来证明不等式的方法.
思路：利用图形的直观性数形结合求证.
5.反证法 反证法是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论 一定成立，其步骤是： 假设 （1）作出否定结论的_____； 矛盾 （2）进行推理，导出_____；
结论 （3）否定假设，肯定_____.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）若 x 2y 1,则x+2y>x-y.(
综上可知，当a,b∈(0，+≦)时， a b b (ab) 成立. a
a b 2
【互动探究】在本例题（2）的条件下，证明 ab 【证明】
a b ba
a b 2
a b ba .
ab
b 当a b时，( ) ＝； 1 a b ab b a b 当a＞b＞0时， ＜， ＞0，( ) 2 ＜ 0＜ 1 1; a 2 a b ab b a b 当b＞a＞0时， ＞1， ＜0，( ) 2 ＜， 1 a 2 a ab
a b 2
a b 2 a b 2
a
b a 2
b
a b 2