复数的乘法与除法第2课时复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集课时作业课件
7.2.2复数的乘、除运算(教案)- 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第七章 复数7.2 复数的四则运算7.2.2 复数的乘、除运算教学设计一、教学目标1. 掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解除法是乘法运算的逆运算；2. 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题.二、教学重难点1. 教学重点复数代数形式的乘、除法运算.2. 教学难点对复数除法运算的掌握.三、教学过程（一）新课导入复习：复数的加、减法法则.设12i i()z a b z c d a b c d =+=+∈R ，，，，是任意两个复数，那么(i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++；(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-.复数的加法运算律：1221z z z z +=+；()()123123z z z z z z ++=++.下面探求复数的乘、除运算.（二）探索新知1. 复数的乘法运算复数的乘法法则：设12i i()z a b z c d a b c d =+=+∈R ，，，，是任意两个复数，那么它们的积2(i)(i)i i i ()()i a b c d ac bc ad bd ac bd ad bc ++=+++=-++.复数乘法的运算律：对于123z z z ∈C ，，，有1221z z z z =，123123(())z z z z z z =，1231213()z z z z z z z +=+.例1 计算：（1）(23i)(23i)+-；（2）2(1i)+.解：（1）22(23i)(23i)2(3i)4(9)13+-=-=--=；（2）22(1i)12i i 12i 12i +=++=+-=.2. 复数的除法运算 复数的除法法则：2222(i)(i)i ac bd bc ad a b c d c d c d +-+÷+=+++ (a b c d ∈R ，，，，且i 0)c d +≠. 在进行复数除法运算时，通常先把(i)(i)a b c d +÷+写成i i a b c d ++的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数i c d -，化简后就可得到上面的结果.这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”.例2 计算(12i)(34i)+÷-. 解：12i (12i)(34i)34i++÷-=- 22(12i)(34i)386i 4i (34i)(34i)34++-++==-++ 510i 12i 2555-+==-+. 例3 在复数范围内解下列方程：（1）220x +=；（2）20ax bx c ++=，其中a b c ∈R ，，，且20Δ40a b ac ≠=-<，.解：（1）因为22(2==-，所以方程220x +=的根为x =.（2）将方程20ax bx c ++=的二次项系数化为1，得20b c x x a a++=. 配方，得2224()24b b ac x a a -+=， 即2224()2(2))(b b ac x a a --+=-.由Δ0<，知22240(2)((2))b ac a a ---∆=>. 类似（1），可得2b x a +=.所以原方程的根为2b x a =-±.在复数范围内，实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式为：（1）当0∆≥时，x =； （2）当0∆<时，x =. （三）课堂练习1.4(1i)-=( )A.4-B.4C.4i -D.4i答案：A解析：2422(1i)(1i)(2i)4⎡⎤-=-=-=-⎣⎦，故选A. 2.13i 12i+=-( ) A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i -- 答案：C 解析：13i (13i)(12i)55i 12i (12i)(12i)5+++-+===--+1i.-+故选C. 3.设复数1213i,32i z z =-=-，则12z z 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案：D 解析：1213i (13i)(32i)32i 9i 697i 32i 13131313z z --++-+====--， 其在复平面内对应的点为97,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限.故选D. 4.已知复数2i 3-是方程220px q x ++=的一个根，则实数,p q 的值分别是( )A.12，0B.24，26C.12，26D.6，8答案：C 解析：因为2i 3-是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，由实系数一元二次方程的虚根成对出现，可得方程另一根为2i 3--，则(32i)(32i)132q =-+--=， 即26q =，32i 32i 62p -=-+--=-，即12p =.故选C . 5.设复数z 满足()1i 3i z +=-，则z =_______________.解析：由题意得，3i (3i)(1i)24i 12i 1i 22z ----====-+，所以||z （四）小结作业小结：1. 复数的乘法法则及运算律；2. 复数的除法法则.作业：四、板书设计7.2.2 复数的乘、除运算1. 复数的乘法法则：2(i)(i)i i i ()()i a b c d ac bc ad bd ac bd ad bc ++=+++=-++.2. 复数乘法的运算律：对于123z z z ∈C ，，，有1221z z z z =，123123(())z z z z z z =，1231213()z z z z z z z +=+. 3. 复数的除法法则：2222(i)(i)i ac bd bc ad a b c d c d c d +-+÷+=+++(a b c d ∈R ，，，，且i 0)c d +≠.。
4-2.2复数的乘法与除法课件(高中数学选修1-2北师大版)
1＋2i 3．设 a，b 为实数，若复数 ＝1＋i，则 a＝______， a＋bi b＝______.
1＋2i 解析： ∵ ＝1＋i a＋bi ∴1＋2i＝(a＋bi)(1＋i)＝(a－b)＋(a＋b)i
a－b＝1 ∴ a＋b＝2
3 1 .∴a＝ ，b＝ . 2 2
3 1 答案： 2 2
交换律 结合律 分配律
3. 复数的乘方
zmzn＝
zm＋n
mn ，(zm)n＝ z ，(z1z2)n＝
z1 n z2 n
.
4．共轭复数
如果两个复数满足 实部相等，虚部互为相反数
这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示． 即z＝a＋bi，则＝ a－bi .
时 ， 称
5．复数的除法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， ac＋bd bc－ad z1 a＋bi 2 2＋ 2 2i c ＋ d c ＋ d 则 ＝ ＝ . z2 c＋di
x＝－1， 解得 y＝－5.
(2) z 1＝1＋i， z 2＝1＋3i z 1· z 2＝(1＋i)(1＋3i) ＝1＋4i＋3i2 ＝－2＋4i
5i 1．(2011· 全国高考，2)复数 ＝( 1－2i A．2－i C．－2＋i B．1－2i D．－1＋2i
)
5i1＋2i 5i1＋2i 5i 解析： ＝ ＝ ＝－2＋i. 5 1－2i 1－2i1＋2i
1.(1)已知 z1＝2＋i，z2＝3－4i，计算 z1· z2. z1 (2)已知 z1＝1＋2i，z2＝3－4i，计算 . z2
解析： 5i. z1 1＋2i 1＋2i3＋4i －5＋10i 1 2 (2) ＝ ＝ ＝ ＝－ ＋ i. z2 3－4i 3－4i3＋4i 25 5 5 (1)z1· z2＝(2＋ i)(3－4i)＝ 6－8i＋3i－4i2＝10－
7.2.2 复数的乘、除运算(教学设计)-高一数学(人教A版2019必修第二册)
7.2.2 复数的乘、除运算教学设计一、教学目标1.掌握复数代数形式的乘、除运算法则；2.掌握复数代数形式的乘、除运算的运算规则. 二、教学重难点1.教学重点：复数代数形式的乘、除运算法则2.教学难点：复数代数形式的乘、除运算的运算规则 三、教学过程1、复习引入复数的加法法则(a +bi)+(c +di)=(a +c)+(b +d)i 复数的加法满足交换律、结合律 z 1+z 2= z 2+z 1(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 复数的减法法则(a +b i )−(c +d i )=(a −c)+(b −d)i .复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)之间的距离|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|z 2−z 1|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)22、复数的乘法规则我们规定，复数的乘法法则如下： 设z 1=a +bi,z 2=c +di (a,b,c,d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi)(c +di)=ac +bci +adi +bdi 2=(ac −bd)+(ad +bc)i.注：1）两个复数的积是一个确定的复数．2）当z 1,z 2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积．3）两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.思考1:复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？ 交换律：对任意z 1=a +bi,z 2=c +di (a,b,c,d, ∈R)，因为z 1z 2=(a +bi )(c +di )=(ac +bci +adi +bdi 2)=(ac−bd)+(ad+bc)i=z2z1所以z1z2= z2z1结合律：对任意z1=a+bi,z2=c+di，z3=e+fi(a,b,c,d,e,f∈R)，因为(z1z2)z3=[(a+bi)(c+di)](e+fi)=[(ac−bd)+(ad+bc)i] (e+fi)=[(ace−bde−adf−bcf)+(acf+ade+bce−bdf)i]=z1(z2z3)所以(z1z2)z3=z1(z2z3)加法分配律：对任意z1=a+bi,z2=c+di，z3=e+fi(a,b,c,d,e,f∈R)，因为z1(z2+z3)=(a+bi)[(c+di)+(e+fi)]=(a+bi)[(c+e)+(d+f)i]=[(ac+ae−bd−bf)+(ad+af+bc+eb)i]=z1z2+z1z3所以z1(z2+z3)=z1z2+z1z3教师总结：容易得到，对于任意z1,z2,z3∈C有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.3、典例分析例3 计算(1−2i)(3+4i)(−2+i).解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11−2i)(−2+i)=−20+15i.例4 计算(1)(2+3i)(2−3i);(2)(1+i)2.教师分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算．（指的是与实数系中的乘法公式相对应的公式．）解：(1)(2+3i)(2−3i)=22−(3i)2=4−(−9)=13;(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i.练习1：计算(1)(7-6i)(-3i);(2)(3+4i)(-2-3i);(3)(1+2i)(3-4i)(-2-i).解：(1)(7−6i)(−3i)=−21i+18i2=−18−21i;(2)(3+4i)(−2−3i)=−6−9i−8i−12i2=6−17i;(3)(1+2i)(3−4i)(−2−i)=(11+2i)(−2−i)=−20−15i.:练习2：计算(1)(√3+√2i)(−√3+√2i);(2)(1−i)2;(3)i(2−i)(1−2i).解：(1)(√3+√2i)(−√3+√2i)=(√2i)2−√32=−5;(2)(1−i)2=1−2i+i2=−2i;(3)i(2−i)(1−2i)=(1+2i)(1−2i)=1−(2i)2=5.设计意图：通过具体的实例，增强学生的理解能力、实践能力、系统思维能力、问题解决能力以及学习热情。
13.2复数的乘除和一元二次实系数方程
复数的乘除法和一元二次实系数方程复数乘法：i ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++例1 计算（1）)24)(32(i i +-（2）)2)(43)(21(i i i +-++（3）))((bi a bi a -+复数乘法运算律：交换律、结合律及分配律.22z z z z ==特别地，当1=z 时1=z z 例2 当y x ,为何实数时，复数i 43-与复数yi x +的积为i 21+？复数乘方①定义：把个n z z z ⋅⋅⋅⋅ ）（*N n ∈ 称为复数z 的几次幂，记为n z .即=nz个n z z z ⋅⋅⋅⋅ ②复数的正整数幂的运算法则：mnn m n m n m z z z z z ==⋅+)(,nnn z z z z 2121)(⋅=⋅ 例3 计算：4)21(i +③由乘方的法则及i 的意义，探究并得出i 的幂的结果：i i i ii i n n n n -=-===+++342414411()•∈N n例4 当*N n ∈时，计算n n i i )(-+所有可能的取值.复数的除法：bi a )yi x )(di c (+=++：dic bia yi x ++=+ 一、根据复数相等的定义得⎩⎨⎧=+=-b cy dx a dy cx ，解⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=2222d c ad bc y d c bd ac x二、i dc adbc d c bd ac d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a 222222)()())(())((+-+++=+-++=-+-+=++ 例5：计算：21139(1);(2).1(2)iiii -+++例6：已知复数z 满足1=z ，求证：zz 1+是实数 证明：复数模的运算法则：（1）2121z z z z =⋅ （2）2121z z z z =（3）nn z z = 例7：已知423)i 1()i 43()i 3(z +++-=，求z 复数的平方根：如果di c bi a +=+2)(，则称bi a +是di c +的一个平方根. 例8 求下列复数的平方根:i 247)2(3)1(--i 43)4(i 4)3(-解：复数的立方根: 若复数21,z z 满足231z z =，则称1z 是2z 的立方根.1的立方根 ;-1的立方根例9 计算下列各式的值68)i 31()2()i 2321()1(---解：实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况：设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. （1）当0ac 4b 2≥-=∆时，原方程有两个实数根a2ac4b a 2b x 2-±-=；（2）当240b ac ∆=-<时，即i a2b ac 4a 2b x 2-±-=，（两根为一对共轭虚数根） 复数范围内式分解：212()()ax bx c a x x x x ++=--. 例10: 在复数集中分解因式：（1）22x x -+； （2）2245x x -+.实系数一元二次方程中根与系数的关系:12b x x a +=-，12cx x a ⋅=.例11、已知方程210()x px p R -+=∈的两根为1x 、2x ，若121x x -=，求实数p 的值.练习:1.已知1-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅= _______ .2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为____________3.在复数集中分解因式：2321x x -+= ____________ . 4.若方程220()x ax a R -+=∈有虚数根z ，则|z|=__________ .5、已知关于x 的方程222440x ax a a -+-+=()a R ∈的两根为α、β，且3αβ+=， 求实数a 的值.6、已知关于x 的方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=()a R ∈有实数根，求实数a 的值.7、若方程22810()x x a a R -++=∈a 的值为_______. 8、已知关于x 的方程220()x x m m R ++=∈的两根为α、β，求αβ+.9、已知关于x 的方程2(2)20()x k i x ki k R ++++=∈有实根，求实数k 的值，并解方程.。
复数的乘法与除法第2课时复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集课件
提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆 运算．
(2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把 商ac＋＋dbii看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数 c－di，把 分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果．
知识点二 实系数一元二次方程
解析：本题考查复数的乘法与除法． 31＋0ii＝31＋0ii3－3－ii＝10＋1030i＝1＋3i. ∴复数31＋0ii对应的点的坐标为(1,3)．
3．复数 z 满足(z－i)(2－i)＝5，则 z＝( D )
A．－2－2i
B．－2＋2i
C．2－2i
D．2＋2i
解析：由题意可得，z－i＝2－5 i＝2－52i＋2＋i i＝2＋i， 所以 z＝2＋2i.
于是 ω－u2＝2(x＋1)＋1＋2 x－3≥2 2x＋1·1＋2 x－3＝1. 当且仅当 2(x＋1)＝1＋2 x，即 x＝0 时等号成立． ∴ω－u2 的最小值为 1，此时 z＝±i.
该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识. 只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解.注意： 解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论.
[变式训练 3] 设 z2＝8＋6i，求 z3－16z－10z0.
解：z3－16z－10z0＝z4－16zz2－100＝z2－8z2－164
＝6i2－z 164＝－20z0＝－z2·0z0
z
200 z ＝－ |z|2
.
∵|z|2＝|z2|＝|8＋6i|＝10，
又由 z2＝8＋6i，得 z＝±(3＋i)，∴ z ＝±(3－i)，
类型三 复数运算的综合应用
[例 3] 设 z 是虚数，ω＝z＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围； (2)设 u＝11－ ＋zz，求证：u 为纯虚数； (3)求 ω－u2 的最小值． [分析] (1)ω 是实数可得到哪些结论？(ω 的虚部为 0 或 ω＝ ω )(2)u 为纯虚数可得到哪些结论？(u 的实部为 0 且虚部不为 0， 或 u＝－ u )
苏教版数学高二-高中数学选修1-2教案 复数的代数形式的乘、除运算2
1.复数的代数形式的加、减运算及其几何意义是什么？
2.计算（1）
（2）
3..复数的乘法法则：
4.共轭复数？
三.质疑探究
1..复数加法的几何意义
问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
由平面向量的坐标运算，有 = =（）
2.①复数的乘法法则：
。
②共轭复数：两复数 叫做互为共轭复数，当 时，它们叫做共轭虚数。
1.复数 的共轭复数是（）
A． B． C． D．
2.复数 的值是（）
A． B． C． D．1
教学反思
2.复数 的值是（）
A． B． C． D．1
五．当堂检测
1.（1） ，
（2） ，
（3）
2.如果复数 的实部和虚部互为相反数，那么实数 的值为（）
A． B． 2 C． D．
3.若 ，则 的值为
4.若复数 满足 ，则 的值为
六、作业布置课本61页第5题；
板
书
设
计
3.2.2复数的代数形式的乘、除运算
1.目标展示
宁县五中导学案
课题
3.2.2复数的代数形式的乘、除运算(2)
授课时间
课型
新授
二次修改意见
课时
1
授课人
科目
数学
主备
任树峰
教学目标
知识与技能
掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念。
过程与方法
引导学生自主完成自学任务，给出问题现有学生自己解决，再小组讨论后师生共同解决
情感态度价值观
让学生用所学习的知识解决生活中的实际问题。
(教师用书)高中数学 3.2.第2课时 复数的乘方与除法运算同步备课课件 苏教版选修2-2
复数的除法
【问题导思】 如何规定两复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈ R，c＋di≠0)相除？ a＋bi 【提示】 通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写成 的形式， c＋di
再把分子与分母都乘 c－di，化简后可得结果．
把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数 x＋yi(x， a＋bi y∈R)叫做复数 a＋bi 除以复数 c＋di 的商，且 x＋yi＝ c＋di ＝_______________．
1－i2 ＝1＋i. 1－i 1 i2 (2)∵1－ ＝1＋ ＝1＋i，且(1± i)2＝± 2i. i i 1 2 014 ∴(1－ ) ＋(1－i)2 014 i ＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007 ＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i3－21 007i3＝0.
计算 i
2 006
2 50 ＋( 2＋ 2i) －( ) . 1－i
8
【解】 ＝i
4×501＋2
i
2 006
2 50 ＋( 2＋ 2i) －( ) 1－i
8 2 4
2 25 ＋[2(1＋i) ] －[ 2] （1－i）
＝i2＋(4i)4－i25＝－1＋256－i＝255－i.
复数的除法
2 2 (1)设 z＝1＋i(i 是虚数单位)， 则 ＋z ＝________． z －3＋i (2)(2012· 课标全国卷改编)复数 z＝ 的共轭复数是 2＋i ________
i3（i＋1） 3 ∴ ＝i ·(－i)＝－i4＝－1. i－ 1 4＋3i （4＋3i）（1－2i） 10－5i (2)∵z＝ ＝ ＝ ＝2－i， 5 5 1＋2i ∴复数 z＝2－i＝2＋i.
《复数的乘法与除法》第2课时示范公开课教学课件【高中数学】
问题5 1．共轭复数的性质有哪些？
3．实系数一元二次方程的解
当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有没有实数根．
1
目标检测
解析：因为i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，……
故选：C．
C
若复数z满足（1＋i）z＝2i2019（i是虚数单位），则z的共轭复数 ＝（ ）
初步应用
例1 （1）复数z满足：（z－2）·i＝z（i为虚数单位）， 为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
（1）由（z﹣2）·i＝z，得zi﹣2i＝z，
A．z2＝2i B．z· ＝2 C．|z|＝2 D．z＋ ＝0
（2）已知复数z满足z－ ＝0，且z· ＝9，则z＝（ ）
复数的乘法与除法
第2课时
问题导入
问题1 复数的乘法法则、除法法则、乘法的运算律是什么？
（1）复数的乘法法则：
z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i
（2）复数的除法法则：
问题导入
问题1 复数的乘法法则、除法法则、乘法的运算律是什么？
（3）复数乘法的运算律：
交换律：z1·z2＝z2·z1
新知探究
问题2 设实数a，b满足（a＋bi）（1＋2i）＝1，利用方程组求a，b的值，并思考是否有其他方法可以求出 ？
新知探究
追问：共轭复数的性质有哪些？
新知探究
问题3 复数的正整数指数幂如何运算？实数的正整数指数幂有以下运算性质，它们是否在复数集中仍然成立？
（1）am·an＝am＋n （2）（am）n＝amn （3）（a1·a2）n＝a1n·a2n（其中m、n为正整数）
n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn，
2.2 复数的乘法与除法(2)
2．2 复数的乘法与除法(2)1．复数范围内正整数指数幂的运算性质对任意复数z ，z 1，z 2和m ，n ∈N ＋，有(z )m ·(z )n ＝(z )m ＋n ，(z m )n ＝(z )mn ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2． 2．虚数单位i n (n ∈N ＋)的周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ． 3．复数的除法运算及法则把满足等式(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫作复数a ＋b i 除以c ＋d i 所得的商，且x ＋y i ＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i ．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”)(1)在复数范围内，完全平方公式、平方差公式、乘方运算依然成立．( ) (2)在复数范围内，|z |2＝z 2.( )(3)在复数范围内，若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×已知a 是实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2解析：选A.a －i1＋i ＝()a －i ()1－i ()1＋i()1－i ＝a －1－()a ＋1i 2＝a －12－a ＋12i ，因为该复数为纯虚数，所以a ＝1.若复数z ＝1＋i1－i ，则w ＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B.因为z ＝1＋i1－i ＝i ，所以w ＝i 2＋i 4＋i 6＋i 8＋i 10＝－1.已知复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i ，则复数z －＝________． 解析：因为z ＝6＋4i2－3i ＝()6＋4i ()2＋3i ()2－3i ()2＋3i ＝26i 13＝2i ， 所以z －＝－2i. 答案：－2i辨析复数除法与实数除法的关系复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．复数的除法运算计算：(1)1＋2i 3－4i＋(1＋i)(1－i)； (2)2＋2i()1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 6. 【解】 (1)1＋2i3－4i ＋(1＋i)(1－i)＝（1＋2i ）（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＋1－i 2＝－5＋10i 25＋2＝95＋25i. (2)2＋2i（1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 6＝2＋2i －2i ＋（2）6（1＋i ）6 ＝1＋i －i ＋8[（1＋i ）2]3 ＝（1＋i ）i －i·i ＋8（2i ）3＝－1＋i ＋1－i＝－1＋i ＋i ＝－1＋2i.(1)复数的除法实质是通过分子分母同乘以分母的共轭复数，实现对分母的实数化． (2)熟悉以下结论对简化运算很有帮助．①1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i ； ②b －a i ＝(a ＋b i)(－i)，－b ＋a i ＝(a ＋b i)i.1.(1)若复数a ＋i1－2i是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．2B ．－12C ．15D ．－25(2)计算：①（1＋i ）3－（1－i ）3（1＋i ）2－（1－i ）2； ②⎝⎛⎭⎫12＋32i 4＋()1－3i 2（2＋2i ）2. 解：(1)选A.因为a ＋i 1－2i ＝（a ＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a －2＋（2a ＋1）i5是纯虚数，所以a ＝2.(2)①法一：原式＝1＋3i （1＋i ）＋i 3－[1－3i （1－i ）－i 3]2i ＋2i ＝4i4i ＝1. 法二：原式＝[（1＋i ）－（1－i ）][（1＋i ）2＋（1＋i ）（1－i ）＋（1－i ）2][（1＋i ）＋（1－i ）][（1＋i ）－（1－i ）]＝1.②原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12＋32i 22＋－2－23i 4()1＋i2 ＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2－1＋3i 4i ＝－12－32i ＋14i －34＝⎝⎛⎭⎫－12－34＋⎝⎛⎭⎫14－32i. 虚数单位的幂的周期性(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 017＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101 ＝i （1－i 100）1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－100（－1＋i ）2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i. (1)虚数单位i 的周期性 ①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1， i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋4＝1(n ∈N )． n 也可以推广到整数集．②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N ＋)． (2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ； ②1i＝－i.2.(1)若z ＝21－i，那么z 100＋z 50＋1的值是______．(2)计算：①2＋2i （1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； ②i ＋i 2＋…＋i 2 017.解：(1)因为z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）2＝（1＋i ）2，所以z 2＝（1＋i ）22＝i.所以z 4＝－1.又i 4＝1，所以z 100＋z 50＋1＝(z 4)25＋(z 2)25＋1＝(－1)25＋i 25＋1＝i.故填i.(2)①原式＝2（1＋i ）－2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008 ＝i(1＋i)＋(－i)1 008 ＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008 ＝i －1＋i 4×252＝i －1＋1 ＝i.②法一：原式＝i （1－i 2 017）1－i ＝i －i 2 0181－i＝i －（i 4）504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i2＝i.法二：因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N ＋)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.实数、复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程：(1)x 2－2x ＋3＝0； (2)x 3－1＝0.【解】 (1)法一：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2 ＝(x －1)2－(2i)2＝(x －1－2i)(x －1＋2i)＝0， 所以x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i.法二：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为方程x 2－2x ＋3＝0的根， 则(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋3＝0， 整理得a 2－b 2－2a ＋3＋2b (a －1)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－2a ＋3＝0，2b （a －1）＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法三：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又因为x 2－2x ＋3＝0， 所以(x －1)2＋2＝0. 所以(x －1)2＝－2.所以x －1＝2i 或x －1＝－2i ， 即x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. (2)因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1) ＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34 ＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122－⎝⎛⎭⎫32i 2 ＝(x －1)⎝⎛⎭⎫x ＋12－32i ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋32i ＝0，所以x ＝1或x ＝－12＋32i 或x ＝－12－32i.在本例中，试在实数范围内解方程． 解：(1)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0， 故方程x 2－2x ＋3＝0在实数范围内无解．(2)由x 3－1＝0，得(x －1)(x 2＋x ＋1)＝0， 因为x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0， 所以x ＝1.故方程x 3－1＝0在实数范围内的解为x ＝1.复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．3.(1)一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0(m ∈R )有一个根为x ＝a ＋3i(a ∈R )，则a ＝______，m ＝________．(2)已知复数w 满足w －4＝(3－2w )i(i 为虚数单位)，z ＝5w ＋|w －2|.求一个以z 和z －为根的实系数一元二次方程．解：(1)该方程为实系数一元二次方程，且它有一个虚根为x 1＝a ＋3i ，那么它必有共轭虚根为x 2＝a －3i.由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝a ＋3i ＋a －3i ＝3. 所以a ＝32，又x 1·x 2＝m .所以m ＝214.故填32，214.(2)因为w －4＝(3－2w )i ， 所以w ＝4＋3i1＋2i ＝2－i ，所以z ＝52－i ＋|－i|＝3＋i ，所以z －＝3－i ，又因为z ＋z －＝6，z ·z －＝10，所以所求的一元二次方程可以是x 2－6x ＋10＝0.规范解答复数与其他知识的交汇(本题满分12分)已知复数z ＝(2x ＋a )＋(2－x ＋a )i ，x ，a ∈R .当x 在(－∞，＋∞)内变化时，试求|z |的最小值g (a )．【解】 |z |2＝(2x ＋a )2＋(2－x ＋a )2 ＝22x ＋2－2x ＋2a (2x ＋2－x )＋2a 2. (4分)令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2， 且22x ＋2－2x ＝t 2－2.从而|z |2＝t 2＋2at ＋2a 2－2＝(t ＋a )2＋a 2－2，(8分) 当－a ≥2，即a ≤－2时，g (a )＝ a 2－2；(10分) 当－a <2，即a >－2时， g (a )＝ （a ＋2）2＋a 2－2＝2|a ＋1|.(12分)根据求模公式，正确求出|z |2的表达式是解题的关键．换元后一定要明确引入的新变元的取值范围，否则最多只能得到不超过一半的分数造成失分．因a ∈R ，t ≥2，这是给定区间上的二次函数的最值问题，一定要根据对称轴的位置进行分类讨论，否则失分．1．如果i m ＝1，则cos m π2的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．22解析：选A.因为i m ＝1，所以m 能被4整除， 令m ＝4k (k ∈Z )，则m π2＝2k π(k ∈Z )， 所以cos m π2＝1.2．复数1＋i 1－i ＋i 3的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．i解析：选A.1＋i 1－i ＋i 3＝（1＋i ）22－i ＝i －i ＝0，故选A.3．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 015i 2 014＝______ . 解析：设S ＝1＋2i ＋3i 2＋…＋2 015i 2 014， ① 得i S ＝i ＋2i 2＋…＋2 014i 2 014＋2 015i 2 015， ②①－②得(1－i)S ＝1＋i ＋i 2＋…＋i 2 014－2 015i 2 015 ＝1－i 2 0151－i－2 015i 2 015.所以S ＝1 008i －1 008. 答案：1 008i －1 0084．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，求x ＋y 的值．解：因为x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，所以x （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＋y （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ），即12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i)， 所以⎩⎨⎧12x ＋15y ＝12，12x ＋2y 5＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5.所以x ＋y ＝4.[A 基础达标]1.1－3i（3＋i ）2等于( )A ．14－34iB ．12－34iC ．－14－34iD ．－14＋34i解析：选C.原式＝1－3i3＋23i －1＝（1－3i ）22（1－3i 2）＝1－3－23i 8＝－2－23i 8＝－14－34i ，故选C.2．在复平面内，复数1－3i 3＋i ＋11－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.1－3i 3＋i ＋11－i ＝（1－3i ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＋1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12－12i ，故该复数对应的点在第四象限．3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D.依题意得z ＝3＋i ，z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i 2＝2－i ，该复数对应的点的坐标是(2，－1)．4．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C. 3D ．2解析：选A.由1＋z 1－z＝i ， 得z ＝－1＋i 1＋i＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i 2＝i ， 所以|z |＝|i|＝1，故选A.5．对于非零实数a 、b ，以下四个命题都成立：①a ＋1a ≠0； ②(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；③若|a |＝|b |，则a ＝±b ；④若a 2＝ab ，则a ＝b .那么，对于非零复数a 、b ，仍然成立的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.取a ＝i ，则a ＋1a ＝i ＋1i＝0，可知命题①对非零复数不成立；命题②：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2为所有数均成立的恒等式，故命题②对非零复数成立；取a ＝i ，b ＝1，可得|a |＝|b |，但a ≠±b ，故命题③对非零复数不成立；若a 2＝ab ，则a (a －b )＝0.由于a 、b 为非零复数，所以a －b ＝0.所以命题④对非零复数成立．综上可知，对非零复数a 、b 仍然成立的命题有2个．6．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________． 解析：由m ＋i 1＋i －12＝（m ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－12＝（m ＋1）＋（1－m ）i 2－12＝m ＋（1－m ）i 2.由已知得m 2＝1－m 2，则m ＝12. 答案：127．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝1＋i ，i 为虚数单位，若z 22＝z ·z 1，则复数z 等于______． 解析：因为z 22＝z ·z 1，所以z ＝z 22z 1＝（1＋i ）23＋4i ＝2i 3＋4i ＝2i （3－4i ）25＝825＋625i.答案：825＋625i 8．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b 2＝1c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于________．解析：根据集合中元素的互异性，知b ＝－1，由c 2＝－1得c ＝±i.因为对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ，所以当c ＝i 时，d ＝－i ；当c ＝－i 时，d ＝i ，都有b ＋c ＋d ＝－1.答案：－19．设z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －＋i z ＝103＋i，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以z ·z －＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.由z ·z －＋i z ＝103＋i，得 a 2＋b 2＋i(a ＋b i)＝10（3－i ）（3＋i ）（3－i ）， 即(a 2＋b 2－b )＋a i ＝3－i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－b ＝3，a ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1或2.所以z ＝－1＋2i 或z ＝－1－i.10．在复数范围内分解因式：(1)x 2＋x ＋1；(2)x 6－1.解：(1)x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－34i 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－⎝⎛⎭⎫32i 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋12－32i ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋32i . (2)x 6－1＝(x 3＋1)(x 3－1)＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)⎝⎛⎭⎫x －12－32i ⎝⎛⎭⎫x －12＋32i · ⎝⎛⎭⎫x ＋12－32i ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋32i . [B 能力提升]11．若a 为实数，2＋a i 1＋2i＝－2i ，则a 等于( ) A.2B ．－ 2C ．2 2D ．－2 2解析：选 B.等式左边＝（2＋a i ）（1－2i ）3＝2＋2a 3＋a －223i.由复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a 3＝0，a －223＝－2，解得a ＝－2，故选B.12．若n ∈N ＋，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 24n ＝________． 解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24＝i 2＝－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 24＝(－i)2＝－1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 24n ＝(－1)n ＋(－1)n . ①当n 是奇数时，原式＝－2.②当n 是偶数时，原式＝2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧－2（n 是奇数）2（n 是偶数） 13．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω. 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意，得a ＝3b ≠0.因为|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， 所以|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入上式，得a ＝±15，b ＝±5，故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)． 14．(选做题)已知z 为复数，z ＋2i 和z 2－i均为实数，其中i 是虚数单位． (1)求复数z 和|z |；(2)若复数z 1＝z －＋1m －1－7m ＋2i 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2i ＝a ＋(b ＋2)i 为实数，所以b ＋2＝0，即b ＝－2.又z 2－i ＝a ＋b i 2－i＝（a ＋b i ）（2＋i ）5＝2a －b 5＋a ＋2b 5i 为实数， 所以a ＋2b 5＝0，所以a ＝－2b . 又b ＝－2，所以a ＝4，所以z ＝4－2i.所以|z |＝42＋（－2）2＝2 5.(2)z －1＝z ＋1m －1－7m ＋2i ＝4＋1m －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－7m ＋2i ＝4m －3m －1＋2m －3m ＋2i. 因为z 1在复平面内对应的点位于第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m －3m －1>02m －3m ＋2<0，解得－2<m <34或1<m <32，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，34∪⎝⎛⎭⎫1，32.。
04-第二节 复数的四则运算-课时2 复数的乘、除运算高中数学必修第二册人教版
C
A. B. C. D.
【解析】 由解得 所以 ．
2.已知复数，满足，，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 设.因为，所以 ，所以解得或所以或． 因为，所以.当 时，，当 时，．所以 .
3.（多选）已知复数满足，则 在复平面内对应的点可能位于( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为复数， 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，所以，所以 ，则其对应的点为 .故选A.
3.已知，其中是虚数单位，是 的共轭复数，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 设，则 ，所以 ，所以解得则 .
4.（多选）已知复数为虚数单位 ，则下列说法正确的是( )
12.设,为实数，且,则___, _____.
4
【解析】 由 ,而,所以且,解得, ，所以, .
13.计算：
（1） ；
【解析】 原式 .
（2） ；
【解析】 原式 .
（3） .
【解析】 ,，所以 ， .综上，原式 .
14.新定义已知复数，， ，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知 为“理想复数”.
D
A. B. C. D.
【解析】 复数,则,所以 的虚部为 .
8.若复数满足,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为，所以 ,所以 .
9.[2024山东滨州期末]已知复数,复数 在复平面内对应的点在虚轴上，则 ( )
B
A.1 B. C. D.
【解析】 因为, 在复平面内对应的点在虚轴上，所以,又，所以 .
18.[2024湖北武汉一中期中]已知复数， 是方程的两个复数根，且，则 ( )
《复数的四则运算》复数PPT课件(复数的乘、除运算)
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必修第二册·人教数学A版
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[教材提炼] 知识点一 复数的乘法法则及其运算律 预习教材，思考问题 (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复 数相乘？
[提示] 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2 换成－1， 并且把实部与虚部分别合并即可．即 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac －bd)＋(bc＋ad)i.
D．b<2
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解析：(1)(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. (2)因为(1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(1＋2b)i，又因为在复平面内复数(1＋bi)(2＋i)(i 是虚数 单位，b 是实数)表示的点在第四象限，所以21－＋b2>b<0，0， 即 b<－12.
解析：(1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i. (2)原式＝(1＋i)(14＋34)＝1＋i.
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探究一 复数代数表示式的乘法运算
[例 1] (1)i(2＋3i)＝( )
A．3－2i
B．3＋2i
C．－3－2i
D．－3＋2i
(2)已知 i 是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数 a 等于( )
A．i
B．－i
C．1
D．－1
[解析] 因为 i2 020＝i4×505＝i4＝1，所以其共轭复数为 1，故选 C.
教学设计1：10.2.2 复数的乘法与除法
10.2.2复数的乘法与除法教学目标1.掌握复数的乘法法则，能熟练地进行复数的乘法运算.2.理解共轭复数的意义.3.掌握复数的除法法则，能熟练地进行复数的除法运算．教学重点复数的乘法与除法的运算法则．教学难点复数的除法运算．教学要点整合·夯基础细读课本知识点一复数的乘法运算[填一填]1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数的乘法满足的运算律对任意z1、z2、z3∈C，有[答一答]1．两个复数的乘法运算法则类似多项式的乘法法则，多个复数的乘法呢？提示：多个复数的乘法运算也类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部．2．若z1，z2∈C，(z1＋z2)2＝z21＋2z1·z2＋z22是否成立？提示：成立．复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为－1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立．知识点二复数的除法运算[填一填] 1．共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c ，且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c ，且b ＝－d ≠0. 2．复数代数形式的除法法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．[答一答]3．根据共轭复数的概念，探究以下问题：(1)如果z ∈R ，那么z 与z 有什么关系？(2)复数z 与它的共轭复数z 在复平面内所对应的点的位置关系如何？ (3)两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？ 提示：(1)当z ∈R 时，z ＝z ，即一个实数的共轭复数是它自身． (2)关于实轴对称．(3)当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数．事实上，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，那么z ·z ＝(a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2，且有z ·z ＝|z |2＝|z |2. 4．复数除法的实质是怎样的？提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可． 特别关注 1．复数的乘除法(1)复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i 2应化为－1.(2)复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式． 2．共轭复数(1)复数z 的共轭复数通常用z 表示，即当z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时，z ＝a －b i. (2)两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数等于两个共轭复数模的平方，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2＝|z |2＝|z |2.(3)实数a 的共轭复数仍是a 本身，即z ∈C ，z ＝z ⇔z ∈R ，这是判断一个数是否为实数的一个准则．(4)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．3．虚数单位i 的乘方由i 4＝1，则对任意n ∈N *，i 的幂的周期性如下： i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1. 教学典例讲练·破题型 类型一 复数的乘法运算 【例1】计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.【解】(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 通法提炼正确使用乘法公式，此类题就不难解决.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、完全平方公式等. 针对训练1.计算下列各题．(1)(1－i)3；(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)． 解：(1)(1－i)3＝(1－i)2·(1－i)＝(1－2i ＋i 2)·(1－i)＝(－2i)·(1－i)＝－2i ＋2i 2＝－2－2i. (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i (7－i)＝3－72＋73＋12i.类型二 共轭复数【例2】(1)若z ＝1＋2ii，则复数z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i(2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(3)复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( )A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i【解析】(1)z ＝1＋2i i ＝(1＋2i)(－i)－i 2＝2－i ，则复数z ＝2＋i.(2)因为x ＋y i 的共轭复数为x －y i ，故选B.(3)依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. 【答案】(1)D (2)B (3)B 通法提炼(1)若复数z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z ，再进行复数的四则运算.必要时，需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求z .(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z 和z 的方程，而复数z 的代数形式未知，求z ，解此类题的常规思路为设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解. 针对训练2.(1)若|z |＝3，z ＋z ＝0，则复数z ＝3i 或－3i.【解】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则有z ＝x －y i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x ＋y i ＋x －y i ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3，即z ＝3i 或－3i. (2)已知x －1＋y i 与i －3x 是共轭复数，求实数x 与y 的值．【解】∵x ，y 为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.类型三 复数的除法运算 【例3】计算： (1)(1＋i)3－(1－i)3(1＋i)2－(1－i)2； (2)⎝⎛⎭⎫12＋32i 4＋(1－3i)2(2＋2i)2. 【思路分析】(1)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简，或分解因式，再做除法；(2)先展开，后化简．【解】(1)方法1：原式＝1＋3i(1＋i)＋i 3－[1－3i(1－i)－i 3]2i ＋2i ＝4i4i ＝1.方法2：原式＝[(1＋i)－(1－i)][(1＋i)2＋(1＋i)(1－i)＋(1－i)2][(1＋i)＋(1－i)][(1＋i)－(1－i)]＝4i4i ＝1.(2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12＋32i 22＋－2－23i 4(1＋i)2＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2－1＋3i4i ＝－12－32i ＋14i －34 ＝⎝⎛⎭⎫－12－34＋⎝⎛⎭⎫14－32i. 通法提炼在进行复数除法运算时，通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c －d i ，化简后就可得到上面的结果.这与作根式除法时的处理是很类似的.针对训练3.若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i【解析】由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝3＋52－i ＝3＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝3＋2＋i ＝5＋i ，所以z ＝5－i. 【答案】D教学课堂达标·练经典 1．(1－i)2·i 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2D ．2【解析】(1－i)2·i ＝(1－2i ＋i 2)·i ＝(－2i)·i ＝－2i 2＝2，故选D. 【答案】D2．在复平面内，复数z ＝12＋i对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】z ＝12＋i ＝2－i (2＋i)(2－i)＝2－i 22－i2＝2－i 5＝25－15i ，故复数z 对应的点为Z (25，－15)，它位于第四象限，选D. 【答案】D3．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z 的值为( )A ．－3＋iB ．3＋iC ．－3－iD ．3－i【解析】由(3＋z )i ＝1，得3＋z ＝1i ，∴z ＝－3－i ，故选C.【答案】C4．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝－1，y ＝1.【解】x －2＋y i ＝3x ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3x ，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.5．计算：(2＋i)·(1＋i)2－2＋i1＋i .【解】原式＝(2＋i)(2i)－(2＋i)(1－i)2＝4i －2－3－i 2＝(－2－32)＋(4＋12)i ＝－72＋92i.。
苏教版高中数学必修第二册12.2.2复数的乘方与复数的除法【课件】
【训练3】 解方程4z2＋1＝0. 解 ∵z2＝－14，∴z＝± 14i，即 z＝±12i.
索引
题型四 复数运算的综合问题
///////
【例 4】 (1)已知复数 z＝（11＋－ii）2，－z是 z 的共轭复数，则 z－z等于( B )
1 A.4 解析
1
B.2
C.1
D.2
∵z＝（11＋－ii）2＝1－ 2i i＝（12－i·ii）i＝－12－12i，
索引
题型二 复数代数形式的除法运算
///////
【例 2】 (1)31＋ ＋ii＝( D )
A.1＋2i
B.1－2i
C.2＋i
D.2－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( A )
A.3＋5i
B.3－5i
C.－3＋5i
D.－3－5i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i. (2)∵z(2－i)＝11＋7i，
索引
4.(1＋i)20－(1－i)20的值是( C )
A.－1 024
B.1 024
C.0Biblioteka D.512解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10
＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
索引
7.若x2＋x＋1－i＝0，则x＝__i_或__－__1_－__i __.
解析
x＝－1±
1－24（1－i）＝－1±
－3＋4i 2
＝－1± （22i＋1）2＝－1±（22i＋1）.
10.2.2复数的乘法与除法课件高一数学人教B版
解析 x=
2×1
=
-1± 3i
.
2
2.在复数范围内,方程2x2-2x+3=0的根为
2± 4×2×3-(-2)2 i
解析 x=
2×2
=
1 ± 5i
2
.
1± 5i
.
2
3.[人教A版教材习题]在复数范围内解方程9x2+16=0.
解方程化为 x
16
=- 9 ,
2
4 2
4 2 16
因为(3i) =(-3i) =- 9 ,
(5)等式两边同时乘上一个复数,等式仍成立,即当z1=z2时,必定有z1z=z2z.
名师点睛
in(n∈N*)的性质
根据复数乘法法则,容易得到i的n次幂的计算法则,
即当 n∈N 时,i =1,i
*
其中 i =1,i
0
另外,i +i
4n
(1±i)
4n
4n+1
=i,i
1
= (n∈N*).
i
-n
4n+1
整理得(10-3p+q)+(2p-24)i=0,
10-3 + = 0,
= 12,
则
解得
= 26.
2-24 = 0,
成果验收·课堂达标检测
A级 必备知识基础练
1.[探究点一](3-i)2=( C )
A.10-6i
B.10+6i
C.8-6i
D.8+6i
解析 原式=9-6i-1=8-6i.故选C.
交换律 z z = z2z1
1 2
结合律 (z1z2)z3= z1(z2z3)
【精品课件】高中数学42第2课时复数的乘法与除法课件北师大版选修1-2
[解析] 由题意可得yx＝＋－2＝13x ，∴yx＝＝－1 1 .
复数的除法
思维导航 2．由共轭复数的定义和复数乘法的运算知，一个虚数与其共轭复数的乘积是一
个实数．
在实数运算中，当分母是无理式时，我们进行过分母有理化的运算，那么在复数 除法运算中，可不可以定义除法是乘法的逆运算，然后进行分母实数化(即乘以 分母的共轭复数)呢？
[解析] ∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i， ∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A.
2设a∈R，且(a＋i)2i为正实数，则a＝( )
A．2
B．1
C．0
D．－1
[答案] D
[分析] 利用复数乘法法则得到代数形式，进而由复数的分类解决．
[解析] 因为(a＋i)2i＝(a2＋2ai＋i2)i＝a2i＋2ai2＋i3＝－2a
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
数系的扩充与复数的引入 第四章
§2 复数的四则运算 第2课时 复数的乘法与除法
第四章
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固形式的乘法和除法运算． 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 理解共轭复数的概念．
新知导学 8．复数的除法 复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分 母实数化，再化简． 即(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝ __ac_c2_＋＋__bd_d2 _＋__bc_c2_－＋__ad_d2 _i __，复数除法运算的实质是_分__母__实__数__化__． 9．两个复数的平方和为零是这两个复数同时为零的 _必__要__不__充__分_____条件．
人教高中数学B版教学课件10.2.2复数的乘法与除法(2)
《复数的乘法与除法（2）》
主 讲 人：李明 辽宁省抚顺市第一中学 审核指导：胡文亮 辽宁省抚顺市教师进修学院
情境与问题
问题1：设实数a，b满足 (a bi)(1 2i) 1 ，利用方程求a，b的值， 1
并思考是否有其他方法可以求出 1 2i .
将得到的成果学习小组内讨论交流，形成一般规律.
（3）当 b2 4ac 0 时，原方程有两个不相等的共轭虚数根.
x b
4ac b2 i
2a 2a
Hale Waihona Puke 题示范例1.计算 (1 2i) (3 4i)
例2.计算 (1 i)8 1i
解：
1 1
i i
8
(1 i)2 8
(1
i)(1
i)
( 2i)8 2
i8
1
例题示范
例3.在复数范围内求方程 x2 2x 3 0 的解集.
解集为 1 2i, 1 2i
知能训练
1.计算下列各式的值.
(1) 1 i 1i
(2) 1 i 1 i
知能训练
2. （新课标全国卷）复数 z 3 i 的共轭复数是（ ） 2i
A. 2 i B. 2 i C. 1 i D. 1 i
知能训练
3.在复数范围内求方程 x2 10x 40 0 的解集.
情境与问题 问题2：一元二次方程 x2 1 在复数范围内有没有解？
那么 一元二次方程 x2 a (a 0) 在复数范围内有没有解？
新知探究
1、①已知复数 z a bi ，z' 1 叫做 z 的倒数，它满足 z z' 1 ．
z
z' 1 z z | z |2
1复数的乘方与除法-【精选】苏教版高中数学必修第二册ppt课件
·
探
提
新 知
(1)类比实数的除法运算，计算ac＋＋dbii
(a，b，c , d∈R，c2
素
＋d2≠0)； 养
合
作 探 究
释
课
(2)类比二次根式的分母有理化，利用分数的基本性质，将ac＋＋dbii的
时 分 层
作
疑
难 分母化为实数，需要分数的分子、分母同时乘以怎样的复数？
业
返 首 页
·
5
·
情
课
景
堂
导 学
(2)设 S＝1＋2i＋3i2＋…＋2 021i2020，
课 堂
导
小
学
∴iS＝i＋2i2＋3i3＋…＋2 021i2021，
结
·
探
提
新 知
∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2020－2 021i2021
素 养
合
＝1－2 021i，
作
课
探 究
释
∴S＝1－12－0i21i＝1－2
021i1＋i 2
时 分 层 作
·
堂 小 结
提
新
素
知 合
＝11＋＋22 33iii＋(25＋10i－1)－22i
养
作
课
探 究
＝i＋24＋10i－i
时 分
层
释 疑
＝24＋10i.
作 业
难
返 首 页
·
27
·
情 景 导
(2)原式＝2
21＋i35－4ii 5－4i1－i
课 堂 小
学
结
·
探 新 知
＝21－2i1＋1＋i4ii
提 素 养
合 作 探
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A．i
B．－i
C．±1
D．±i
解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵z＋ z ＝4，∴a＝2， 又∵z·z ＝8，∴b2＋4＝8，∴b2＝4.
z ∴b＝±2，即 z＝2±2i，故 z ＝±i，故选 D.
6．若方程 x2＋x＋m＝0 有两个虚根 α、β，且|α－β|＝3，则实
数 m 的值为( A )
∴x－14＝0，且 y≠0，∴x＝14，y＝± 415，
即所求复数为 z＝14＋
15 4i
或
z＝14－
15 4 i.
解：(1)zz21＝41＋－6ii＝41＋－6ii11＋＋ii＝－2＋2 10i ＝－1＋5i. (2)∵z＝1＋bi(b∈R)，∴z＋z1＝2＋(b－1)i， ∵z＋z1 为实数，∴b－1＝0，∴b＝1，∴z＝1＋i， ∴|z|＝ 2.
——素养提升—— 14．复数 z1＝3＋2i(i 为虚数单位)是方程 z2－6z＋b＝0(b∈R) 的一个根，则 b 的值为 13 .
解析：(1＋2i)·z ＝4＋3i， z ＝41＋ ＋32ii＝4＋3i51－2i＝2－i，∴z＝2＋i.
10．方程(x－3)(x2＋2x＋2)＝0 的根是 3 或－1±i .
解析：由(x－3)(x2＋2x＋2)＝0 得 x－3＝0 或 x2＋2x＋2＝0. ∴x＝3 或 x＝－2±2 4 i＝－1±i.
13、15 题各 12 分，14 题 6 分，共 42 分
12．计算：
(1)11＋－ii7＋11－＋ii7－3－44i＋23＋i 2i3；
1 (2) i (
2＋
2i)5＋1＋1 i4＋(11＋－ii)7.
解
：
(1)
原
式
＝
[(1
＋
i)2]3
1＋i 1－i
＋
[(1－iຫໍສະໝຸດ 2]31－i 1＋i－
83－4i4＋1＋3ii21＋i＝(2i)3i＋(－2i)3(－i)－83－43i－24iii1＋i＝8
11．若 8
z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且zz12为纯虚数，则实数
a
的值
为3 .
解析：zz12＝a3＋ －24ii＝a3＋ －24ii33＋ ＋44ii ＝3a－8＋254a＋6i， ∵zz12为纯虚数，∴34aa－ ＋86＝ ≠00 ，解得 a＝83.
三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，12、
4．若(11＋ －ii)n＋(11－ ＋ii)n＝2，则 n 的值可能为( A )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：∵11＋ －ii＝i，11－＋ii＝－i，
2， ∴in＋(－i)n＝0－，2，
0，
n＝4k， n＝4k＋1， n＝4k＋2， n＝4k＋3，
∴n 的值可能为 4.
k∈N＋，
z 5．设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋ z ＝4，z·z ＝8，则 z 等于( D )
即(a2＋a＋m－94)＋(3a＋32)i＝0.
a2＋a＋m－94＝0， ∴
3a＋32＝0.
∴am＝＝－52.12，
当 b＝－32时，同理得am＝＝－52.12，
7．“复数 z＝3－i ai(a∈R)在复平面内对应的点位于第三象
限”是“a≥0”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
＋8－16i1i ＋i＝8＋8－16－16i＝－16i.
(2)原式＝－i( 2)5[(1＋i)2]2(1＋i)＋[1＋1 i2]2＋i7
＝16 2(－1＋i)－14－i＝－(16 2＋14)＋(16 2－1)i.
13．已知复数 z1＝1－i，z2＝4＋6i，i 为虚数单位． (1)求zz21； (2)若复数 z＝1＋bi(b∈R)满足 z＋z1 为实数，求|z|.
解析：∵z1＝3＋2i 是方程 z2－6z＋b＝0(b∈R)的根，∴z2＝3 －2i 为该方程的另一个根，∴b＝(3＋2i)(3－2i)＝13.
15．设 z∈C 满足 z＋1z∈R，z－14是纯虚数，求 z.
解：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则 z＋1z＝(x＋yi)＋x＋1 yi ＝(x＋x2＋x y2)＋(y－x2＋y y2)i. ∵z＋1z∈R，∴y－x2＋y y2＝0，解得 y＝0 或 x2＋y2＝1. 又∵z－14＝(x－14)＋yi 为纯虚数，
5 A.2
B．－52
C．2
D．－2
解析：∵方程 x2＋x＋m＝0 是实系数一元二次方程，且有两 个虚根 α、β，∴α、β 互为共轭虚数．
∴设 α＝a＋bi(a，b∈R)，则 β＝a－bi， 由|α－β|＝3，得 b＝±32. 当 b＝32时，α＝a＋32i， 代入方程得(a＋32i)2＋a＋32i＋m＝0，
8．已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若zz12为纯虚数，
则复数zz12的虚部为( A )
A．1
B．i
2 C.5
D．0
解析：由zz12＝21＋ －a2ii＝2＋ai51＋2i＝2－52a＋4＋5 ai 是纯虚数， 得 a＝1，此时zz12＝i，其虚部为 1.故选 A.
二、填空题每小题6分，共18分 9．复数 z 满足(1＋2i) z ＝4＋3i，那么 z＝ 2＋i .
D．既不充分也不必要条件
解析：易得 z＝3－i ai＝－a－3i，则 z 在复平面内对应的点位 于 第 三 象 限 ⇔ a>0. 又 a>0 ⇒ a≥0 ， a≥0 ⇒ a>0 ， 所 以 “a>0” 是 “a≥0”的充分不必要条件，即“z 在复平面内对应的点位于第三 象限”是“a≥0”的充分不必要条件．
课时作业8 复数的除法及实系数一元 二次方程在复数范围内的解集
时间：45 分钟 一、选择题每小题5分，共40分
1．若复数 z＝1－i 2i，则 z 的虚部为( B )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
解析：∵z＝1－i 2i＝－i2－i 2i＝－i－ 2，∴z 的虚部为－1.
2．设 z＝31＋0ii，则 z 的共轭复数为( D )
A．－1＋3i
B．－1－3i
C．1＋3i
D．1－3i
解析：z＝ 31＋0ii3－3－ii＝3i＋1，所以复数 z 的共轭复数是 1 －3i.
3．已知复数 z 满足(3－4i)z＝25，则 z＝( D )
A．－3－4i
B．－3＋4i
C．3－4i
D．3＋4i
解析：∵(3－4i)z＝25，∴z＝3－254i＝3－2543i＋3＋4i4i＝3＋4i.