2019年上海市高考数学试题文档版(含答案)

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2019年普通高等学校招生上海统一考试

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1.已知集合()(),3,2,A B =-∞=+∞，则A B =I ________

2.已知z C ∈，且满足

15

i z =-，求z =________ 3.已知向量()()1,0,2,2,1,0a b ==r r ，则a r 与b r 的夹角为________ 4.已知二项式()5

21x +，则展开式中含2x 项的系数为________

5.已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =-的最小值为________

6.已知函数()f x 周期为1，且当()201,log x f x x <≤=，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭

________ 7.若,R x y +∈，且123y x +=，则y x

的最大值为________ 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =________

9.过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A B 、，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，()2OM OA OB λλ=+-，则λ=________

10.某三位数密码，每位数字可在0—9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是________

11.已知数列{}n a 满足()1N *n n a a n +<∈，若()(),3n n P n a n ≥均在双曲线22

162

x y -=上，则1lim n n n P P +→∞=________

12.已知()()()21,0,1f x a x a f x x =->>-与x 轴交点为A ，若对于()f x 图像上任意一点P ，在其图像上总存在另一点Q （P Q 、异于A ），满足AP AQ ⊥，且AP AQ =，则a =________

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.已知直线方程20x y c -+=的一个方向向量d u r 可以是（）

A.()2,1-

B.()2,1

C.()1,2-

D.()1,2

14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）

A.1

B.2

C.4

D.8

15.已知R ω∈，函数()()()2

6sin f x x x ω=-⋅，存在常数R a ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω的值可能为（） A.2π B.3π C.4π D.5

π 16.已知()tan tan tan αβαβ⋅=+，有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）

A.①②均正确

B.①②均错误

C.①对②错

D.①错②对

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.如图，在长方体1111ABCD A B C D +中，M 为1BB 上一点，已知

12,3,4,5BM CD AD AA ====.

（1）求直线1A C 与平面ABCD 的夹角；

（2）求点A 到平面1A MC 的距离.

18.已知()1,R 1

f x ax a x =+∈+. （1）当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集；

（2）若()f x 在[]1,2x ∈时有零点，求a 的取值范围.

19.如图，A B C --为海岸线，AB 为线段，»BC

为四分之一圆弧，39.2km BD =，22,68,58BDC CBD BDA ∠=︒∠=︒∠=︒.

（1）求»BC

的长度； （2）若40km AB =，求D 到海岸线A B C --的最短距离.（精确到0.001km ）

20.已知椭圆22121,84

x y F F +=、为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A B 、两点. （1）若直线l 垂直于x 轴，求AB ；

（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A B 、的坐标；

（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S ∆∆=，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.

21.数列{}()N *n a n ∈有100项，1a a =，对任意[]2,100n ∈，存在1n a a d =+，[]1,1i n ∈-，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P .

（1）若11,2a d ==，求4a 所有可能的值；

（2）若{}n a 不是等差数列，求证：数列{}n a 中存在某些项具有性质P ；

（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为c ，请用a d c 、、表示12100a a a +++L .

参考答案

一.填空题

1.（2,3）

2.15,55i z i i

-=+=-

3.22arccos ,cos 55a b a b

θ⋅===⋅r r r r 4.40，2x 的系数为325

240C ⋅= 5.-6，线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当0,2x y ==时，min 6z =-

6.-1，2311log 1222f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

7.98

，法一：2

19328y y x x =+≥≤= 法二：由

()21332,322302y y y y y y y x x ⎛⎫=-=-⋅=-+<< ⎪⎝⎭，求二次最值max 98y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.

3116

9.3 10.

27100

12.a =二.选择题

13.选D

14.选B

15.选C

16.选D

三.解答题

17.（1）4π（2）103

18.（1）()2,1x ∈--；（2）11,26a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦

19.（1）

»sin 2216.310km 22BC R BD ππ===⋅︒≈；（2）35.752km 20.（1

）（2）()820,233A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，，；（3

）20x -= 21.（1）3、5、7；（2）略；（3）974656a d c ++