微元法在电磁感应问题中的应用

2008.12.16
思考题 如图,空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场, 竖直 方向磁场区域足够长， 磁感应强度为B=1T ，每一条形磁 场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m,现有 一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R＝0.1Ω的正方形线框 MNOP以v0=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场
电磁感应动态分析（一）
——微元法在电磁感应问题中的应用
导体 感应电 变速 E=BLv 动势变 运动 化
v与a方向关系
E I= R+r
感应 电流 变化
F=BIL
加速 度变 化
F合=ma
合外 力变 化
F合=F安+F其
安培 力变 化
分析此类问题的关键是抓住状态变化过程中变 量的变化特点和规律，从而确定状态变化过程中的 临界点和最终状态
t
2008.12.16
例1. 如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行 金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁 感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以初 速度v0向右运动。 ④能否求出这个过程的总位移呢？ R v v0 B
v
位移：图像与横轴所包含的面积
x v t vi t
2008.12.16
④若在t时刻，棒作匀速运动，求 这段时间内的总位移。（t > t0）
引申2：如图，竖直放置的光滑U形导轨宽为L，上端串有一 个电容，电容为C，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸 面向里。金属棒ab的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦 及各部分电阻，试通过计算说明金属棒的运动情况。
v 微元法
B L x mv0 R
2 2
mv0 R x 2 2 B L
t
Δt
在使用微元法处理问题时，需将 其分解为众多微小的“元过程”， 而且每个“元过程”所遵循的规 律是相同的，这样，我们只需分 析这些“元过程”，然后再将 “元过程”进行必要的数学方法 （累计求和）进而使问题求解。
2008.12.16
Δt
x v t vi t
B L vi t mv R B 2 L2 t R vi t mv B 2 L2 x m 0 v0 R B 2 L2 x mv0 R
2008.12.16
④能否求出这个过程的总位移呢？ R v v0 B
2008.12.16
例. 如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行 金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁 感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以初 速度v0向右运动。
①导体棒将做什么运动？ R B 加速度越来越小的减速运动 ②请描绘出运动的v-t 图像 v
C a b
要说明运动情况，可能有哪些？ 匀速，匀加速还是变加速？ 需要通过计算说明什么问题？ 找出F-t，或 a-t 的关系
2008.12.16
C
运动规律
分析受力
a
BIL
ຫໍສະໝຸດ Baidu
b
mg BIL ma q 这种情况下 q CU ? 不适用 I ,欧姆定律适用么 t 微元 q C U C E CBL v
运动规律（牛顿第二定律）：
即： F安
t
B Lv ma R
2008.12.16
2 2
④能否求出这个过程的总位移呢？ R v v0 B
v 微元法
取一元过程,Δt极小，vi与这一时间间隔内 的平均速度相等,a的大小与元过程有关
B 2 L2 v ma R
2 2
B 2 L2 vi v m R t
微元法
Δt
BLv q I i t I v v I R BLI i t mv BI i L m t t BL I i t m v
⑤能否求出全过程中通过导体某个 横截面的电量？
BLq m(0 v0 )
mv0 q BL
2008.12.16
引申1： 如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的 平行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、 磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m受 到大小为F的恒力作用从静止开始向右运动。 ①导体棒将做什么运动？ R B
F
v
加速度越来越小的加速运动， 最终做匀速运动，外力F与 安培力平衡 ②请描绘出运动的v-t 图像
t
2008.12.16
R
B
F
思考：求该过程中 ③末速度多大？ 产生的焦耳热
B 2 L2 vm F F安 R
2 2
FR vm 2 2 B L
v vm
B L v 运动规律 F vi m R2 2 t B L F t vi t mv t0 t t R Δt B 2 L2 F t vi t m v Ft mvm R x R 2 2 2 2 B L B L Ft x m(vm 0) R
4.4
∴能完整的穿过4个条形磁场区域
2008.12.16
d
P M O N
d v0
d
d
d
d
d
求①线框从开始进入磁场到竖直
下落的过程中产生的焦耳热Q
1 2 Q mv0 2
2008.12.16
d
P M O N
d v0
d
d
d
d
d
②线框能穿过的完整条形磁场
区域的个数n。
mv0 R x 2 2 Bl
B、d、m、l、R、v0
微元法
x mv0 R n 2l 2 B 2l 3
q CBL v CBL a I t t mg CB 2 L2 a ma m 恒量 a g 2 2 m CB L
即物体作匀加速直线运动！
2008.12.16
mg
分析元过程 来帮助理解 运动细节
小结——微元法在电磁感应问题中的应用 在处理问题时，从对事物的极小部分(微元)分 析入手，达到解决事物整体的方法。 在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多 微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的 规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过 程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法 （累计求和）进而使问题求解。 在电磁感应问题中，常常遇到非匀变速运动过 程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的 思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。
④能否求出这个过程的总位移呢？ R v v0 B
v
mv0 R x 2 2 B L
⑤能否求出全过程中通过导体某个 横截面的电量？
t
BLx q R R BL mv0 R mv0 2 2 R B L BL
2008.12.16
④能否求出这个过程的总位移呢？ R v I B
v
mv0 R x 2 2 B L
v0
v0
最终静止
t
2008.12.16
例1. 如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行 金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁 感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以初 速度v0向右运动。 ③全过程一共产生多少焦耳热？ R B
v
v v0
1 2 W安 0 mv0 2 Q W安