高中数学§3.8《函数模型及函数的综合应用》知识点讲解附真题PPT课件
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2021年新课标新高考数学复习课件：§3.8 函数模型及函数的综合应用
m
解析 (1)前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,k≠0,将点(1,10)和点(10,3
0)代入函数解析式得
10 30
k b, 10k
b,
解得k=
20 9
,b=
70 9,所以y=源自20 9x+
70 9
,则当x=6
时,y=190 .
9
(2)①根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故
9x-2x2 6-x
=15-2 (6-x)
9 6-x
≤15-12=3,
当且仅当x=3时取等号.故Tmax=3,此时x=3.
(ii)当1≤c<3时,由T'= 2x2 -24x 54 = 2(x-3)(x-9) >0知,函数T=9x-2x2 在[1,c]上
(6-x)2
(6-x)2
6-x
例2 某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会 产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:
P=
1 6-x
,1
2 3
,x
c
x
c,
(其中c为小于6的正常数).
(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其
①写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ②求羊群年增长量的最大值; ③当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
解题导引 (1)根据图象信息,确定函数解析式. (2)由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故空闲率为1-
m
x .建立函数模型后,利用函数的最值求羊群年增长量的最大值.
解析 (1)前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,k≠0,将点(1,10)和点(10,3
0)代入函数解析式得
10 30
k b, 10k
b,
解得k=
20 9
,b=
70 9,所以y=源自20 9x+
70 9
,则当x=6
时,y=190 .
9
(2)①根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故
9x-2x2 6-x
=15-2 (6-x)
9 6-x
≤15-12=3,
当且仅当x=3时取等号.故Tmax=3,此时x=3.
(ii)当1≤c<3时,由T'= 2x2 -24x 54 = 2(x-3)(x-9) >0知,函数T=9x-2x2 在[1,c]上
(6-x)2
(6-x)2
6-x
例2 某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会 产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:
P=
1 6-x
,1
2 3
,x
c
x
c,
(其中c为小于6的正常数).
(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其
①写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ②求羊群年增长量的最大值; ③当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
解题导引 (1)根据图象信息,确定函数解析式. (2)由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故空闲率为1-
m
x .建立函数模型后,利用函数的最值求羊群年增长量的最大值.
函数模型及其应用复习课件
等比数列通项公式
an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。该公式可用于求解等比数列中任意一 项的值。
等比数列求和公式
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，q≠1。当q=1时，Sn=n*a1。这些公式可用于 计算等比数列前n项的和。
数列求和与通项公式求解方法
指数与对数互化
01
指数式与对数式的互化
指数式y=a^x可以转化为对数式x=log_a(y)，对数式y=log_a(x)可以转
化为指数式a^y=x。
02
指数方程与对数方程的解法
解指数方程时，可以通过两边取对数的方法将方程转化为对数方程；解
对数方程时，可以通过换底公式将方程转化为指数方程。
03
指数函数与对数函数的复合
三角函数图像与变换
三角函数的基本图像 （正弦函数、余弦函 数、正切函数等）
复合三角函数的图像 与性质
图像的平移、伸缩、 对称等变换
三角函数在实际问题中应用
01
02
03
04
利用三角函数模型解决周期性 问题（如振动、波动等）
利用三角函数模型解决最值问 题（如角度最大、距离最短等
）
利用三角函数模型解决与角度 有关的问题（如方向角、仰角
一次函数
形如$y = kx + b$（$k neq 0$）的函数。图像是一条直线。
指数函数
形如$y = a^x$（$a > 0, a neq 1$）的函数。图像是一条 指数曲线。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切 函数等。图像是周期性的波形 曲线。
函数运算与变换
四则运算
包括函数的加法、减法、乘法和 除法。通过这些运算可以构造更 复杂的函数模型。
an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。该公式可用于求解等比数列中任意一 项的值。
等比数列求和公式
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，q≠1。当q=1时，Sn=n*a1。这些公式可用于 计算等比数列前n项的和。
数列求和与通项公式求解方法
指数与对数互化
01
指数式与对数式的互化
指数式y=a^x可以转化为对数式x=log_a(y)，对数式y=log_a(x)可以转
化为指数式a^y=x。
02
指数方程与对数方程的解法
解指数方程时，可以通过两边取对数的方法将方程转化为对数方程；解
对数方程时，可以通过换底公式将方程转化为指数方程。
03
指数函数与对数函数的复合
三角函数图像与变换
三角函数的基本图像 （正弦函数、余弦函 数、正切函数等）
复合三角函数的图像 与性质
图像的平移、伸缩、 对称等变换
三角函数在实际问题中应用
01
02
03
04
利用三角函数模型解决周期性 问题（如振动、波动等）
利用三角函数模型解决最值问 题（如角度最大、距离最短等
）
利用三角函数模型解决与角度 有关的问题（如方向角、仰角
一次函数
形如$y = kx + b$（$k neq 0$）的函数。图像是一条直线。
指数函数
形如$y = a^x$（$a > 0, a neq 1$）的函数。图像是一条 指数曲线。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切 函数等。图像是周期性的波形 曲线。
函数运算与变换
四则运算
包括函数的加法、减法、乘法和 除法。通过这些运算可以构造更 复杂的函数模型。
函数模型及其应用_PPT课件
设在公路通车的后 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，
而用剩下的(60－x)万元投资于外地的销售，则其总利润为
W2＝
[－
1 160
(x－
40)2＋
100]×5＋
(－
159 160
x2＋
119 2
x)×5＝
－
5(x
－30)2＋4950.
当 x＝30 时，(W2)max＝4950(万元)．从而 10 年的总利润为27875
例 1 西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，
当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得 利润 P＝－1160(x－40)2＋100 万元．当地政府拟在新的十年发展
规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该 项目每年都投入 60 万元的销售投资，在未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，5 年修成， 通车前该特产只能在当地销售；
【解】 设温室的左侧边长为 xm，则后侧边长为80x0m.
∴蔬菜种植面积
y
＝
(x
－
4)(
800 x
－
2)
＝
808
－
2(x
＋
16x00)(4<x<400)，
∵x＋16x00≥2 x·16x00＝80，∴y≤808－2×80＝648(m2)．
当且仅当 x＝16x00，即 x＝40，此时80x0＝20(m)，y 最大＝648m2.
∴当矩形温室的左侧边长为 40m，后侧边长为 20m 时，蔬菜
的种植面积最大，为 648m2.
变式迁移 2 某工厂有一段旧墙长 14m，现准备利用这段旧 墙为一面建造平面图形为矩形，面积为 126m2 的厂房，工程条件 是：①建 1m 新墙的费用为 a 元；②修 1m 旧墙费用是a4元；③拆 去 1m 旧墙，用所得的材料建 1m 新墙的费用为a2元，经讨论有两 种方案：(1)利用旧墙的一段 xm(x<14)为矩形厂房一面的边长；
高中函数的应用ppt课件ppt课件ppt
在生物学中，二次函数可以用于描述 种群增长、生物繁殖和生态平衡等现 象。
物理学
在物理学中，二次函数可以用于描述 物体的运动轨迹、振动和波动等现象 。
二次函数与其他数学知识的结合
与导数结合
通过求导数，可以研究二次函数的单调性、极值 和拐点等性质。
与三角函数结合
通过与三角函数的结合，可以研究一些周期性和 对称性问题。
的交叉也将越来越深入。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，
函数都有广泛的应用。
02
数学建模的普及
随着数学建模的普及，函数作为数学建模的重要工具之一，其应用也将
越来越广泛。通过数学建模，学生能够更好地理解现实世界中的问题，
并运用数学方法来解决这些问题。
03
新函数类型的出现
随着数学的发展，新的函数类型也将不断出现。例如，分形函数、混沌
分式函数在交通工程中的应用
在交通工程中，分式函数可以用来描述车辆行驶的速度和时 间之间的关系，以及道路通行能力与车辆数量之间的关系。 通过分式函数的分析，可以优化交通流量的分配和管理。
分式函数与其他数学知识的结合
分式函数与导数的结合
分式函数的导数可以用来研究函数的单调性、极值和拐点等问题。通过导数的计 算和分析，可以更好地理解分式函数的性质和变化规律。
度、长度、面积和体积等。
三角函数在解析几何中的应用
02
通过三角函数，可以将几何问题转化为代数问题，从而利用代
数方法求解。
三角函数在复数中的应用
03
复数中的三角函数可以用于解决与周期性、波动性和旋转相关
的问题。
三角函数在实际生活中的应用
航海和航空中的应用
通过三角函数，可以计算航行路线、飞行轨迹和高度等。
高三数学函数模型及应用PPT优秀课件
5.在增长速度上，一般在区间（0，+∞）上， 总会存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
双基回顾
1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑 步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴 表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则
下列四个图形中较符合该学生的走法的是： D
2.某种放射性元素，100年后只剩原来 质量的一半，现有这种元素1克，三年 后剩下：D
2.解答数学应用题的关键有两点：
一是认真读题，缜密审题，确切理解题意， 明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、 概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；
二是要合理选取参变数，设定变元后， 就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的 代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、 方程、不等式等数学模型；最终求解数学模 型使实际问题获解.
单利问题：本金为P，期利率为r，经n期后 本利和为： P=（1+nr） ；
例4 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分 别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了估计以后 每月的产量，以这三个月的产品数量为依据， 用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的 关系，模拟函数可以选择二次函数或函数 y=a.bx+c（其中a,b,c为常数），已知4月份该 产品的产量为1.37万元，试问用以上哪个函数 作为模拟函数较好？并说明理由。
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次 函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
例3 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今 后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后， 我国人口为y（亿）；
（1）求y与x的函数关系式y=f(x)； （2）求函数y=f(x)的定义域； （3）判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出
双基回顾
1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑 步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴 表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则
下列四个图形中较符合该学生的走法的是： D
2.某种放射性元素，100年后只剩原来 质量的一半，现有这种元素1克，三年 后剩下：D
2.解答数学应用题的关键有两点：
一是认真读题，缜密审题，确切理解题意， 明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、 概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；
二是要合理选取参变数，设定变元后， 就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的 代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、 方程、不等式等数学模型；最终求解数学模 型使实际问题获解.
单利问题：本金为P，期利率为r，经n期后 本利和为： P=（1+nr） ；
例4 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分 别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了估计以后 每月的产量，以这三个月的产品数量为依据， 用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的 关系，模拟函数可以选择二次函数或函数 y=a.bx+c（其中a,b,c为常数），已知4月份该 产品的产量为1.37万元，试问用以上哪个函数 作为模拟函数较好？并说明理由。
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次 函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
例3 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今 后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后， 我国人口为y（亿）；
（1）求y与x的函数关系式y=f(x)； （2）求函数y=f(x)的定义域； （3）判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出
讲函数模型及其应用PPT课件
考纲要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例 体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等 在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。
考情分析 1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是 高考命题的热点。 2．常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用 交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力。
二、必明 2●个易误点 1．易忽视实际问题对自变量的影响，单纯考虑解析式际，验证这个数学结果对实 际问题的合理性。
考点一 一次函数或二次函数模型
【典例 1】(2016·厦门模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善 整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千 米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数。当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 千米/小时；当车流密度 不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时。研究表明：当 20≤x≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。
一、必记 2●个知识点 1．三种函数模型的性质
[知识重温]
函数 性质 在(0，＋∞)上 的增减性 增长速度
图象的变化
y＝ax(a＞1)
①增__函__数__
④_越__来__越__快_ 随 x 增大逐渐
表现为与 ⑥__y_轴___平行
y＝logax(a＞1)
②_增__函__数_
⑤_越__来__越__慢_ 随 x 增大逐渐
使 x＞x0 时，⑩_l_o_ga_x_＜_。xn (3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与 y＝xn(n＞0)尽管都是增函数，但
考情分析 1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是 高考命题的热点。 2．常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用 交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力。
二、必明 2●个易误点 1．易忽视实际问题对自变量的影响，单纯考虑解析式际，验证这个数学结果对实 际问题的合理性。
考点一 一次函数或二次函数模型
【典例 1】(2016·厦门模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善 整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千 米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数。当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 千米/小时；当车流密度 不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时。研究表明：当 20≤x≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。
一、必记 2●个知识点 1．三种函数模型的性质
[知识重温]
函数 性质 在(0，＋∞)上 的增减性 增长速度
图象的变化
y＝ax(a＞1)
①增__函__数__
④_越__来__越__快_ 随 x 增大逐渐
表现为与 ⑥__y_轴___平行
y＝logax(a＞1)
②_增__函__数_
⑤_越__来__越__慢_ 随 x 增大逐渐
使 x＞x0 时，⑩_l_o_ga_x_＜_。xn (3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与 y＝xn(n＞0)尽管都是增函数，但
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高考数学
§3.8函数模型及函数的综合应用
考点清单
考点 函数模型及函数的综合应用
1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0,n≠0)
知能拓展
考法一 解函数应用题的方法步骤
例1 (1)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从12月21日至1月8日自己
种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则
此人在12月26日大约卖出了西红柿
千克.
(2)牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不 能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实 际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
联系
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax
3.“对勾”函数的性质
函数f(x)=x+ a (a>0).
x
(1)该函数在(-∞,- a ]和[ a ,+∞)上单调递增,在(- a ,0)和(0, a )上单调递减.
(2)当x>0时,x= a 时取最小值2 a ;
当x<0时,x=- a 时取最大值-2 a .
时,ymax=
km 4
,所以0<
m 2
+
km 4
<m,解得-2<k<2.又因为k>0,所以0<k<2.
答案 (1)190
9
方法总结 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 单一考查一次函数或二次函数模型.解决此类问题应注意三点: ①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注 意函数的定义域,否则极易出错; ②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; ③解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
=15-2 (6-x)
9 6-x
≤15-12=3,
当且仅当x=3时取等号.故Tmax=3,此时x=3.
(ii)当1≤c<3时,由T'= 2x2 -24x 54 = 2(x-3)(x-9) >0知,函数T=9x-2x2 在[1,c]上
(6-x)2
(6-x)2
6-x
递增,∴当x=c时,Tmax=
9c-2c2 6-c
(2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏;
(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.
2.函数y=ax+ b 模型的应用
x
(1)明确对勾函数是由正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b 叠加而成的;
例2 某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会 产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:
P=
1 6-x
,1
2 3
,x
c
x
c,
(其中c为小于6的正常数).
(注:次பைடு நூலகம்率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其
余为合格品)
已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1
万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的
函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
解析
(1)当x>c时,P=
2 3
,∴T= 1
3
x·2-2
3
x·1=0.当1≤x≤c时,P=
4.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数 学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
“对勾”函数模型
f(x)=x+a (a>0)
x
2.三种增长型函数模型的性质比较
函数性质 在(0,+∞)上的增减性 增长速度
y=ax(a>1) 增函数 越来越快
y=logax(a>1) ① 增函数 越来越慢
y=xα(α>0) ② 增函数 相对平稳
图象的变化
随x值的增大图象与 随x值的增大图象与x轴 随α值变化而不同 ③ y轴 接近于平行 接近于④ 平行
,综上,若3≤c<6,则当日产量为3万件时,可获得最
大利润;若1≤c<3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.
方法总结 1.解决分段函数模型问题应关注以下三点:
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不
同的关系式构成,如出租车车费与路程之间的关系,应构建分段函数模型求
解;
m
解析 (1)前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,k≠0,将点(1,10)和点(10,3
0)代入函数解析式得
10 30
k b, 10k
b,
解得k=
20 9
,b=
70 9
,所以y=
20 9
x+
70 9
,则当x=6
时,y=190 .
9
(2)①根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故
①写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ②求羊群年增长量的最大值; ③当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
解题导引 (1)根据图象信息,确定函数解析式. (2)由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故空闲率为1-
m
x .建立函数模型后,利用函数的最值求羊群年增长量的最大值.
m
空闲率为1-
x m
,由此可得y=kx1-
x m
(0<x<m);
②由①,得y=-
k m
(x2-mx)=-
k m
x-
m 2
2
+
km 4
.
即当x= m 时,y取得最大值 km ;
2
4
③由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长量的
和小于最大蓄养量,即0<x+y<m.
因为当x=
m 2
1 6-x
,
∴T=1-
1 6-x
1
·x·2-6-x
9x-2x2
·x·1= 6-x
.综上,每天的盈利额T(万元)与日产量x(万件)
9x-2x2
的函数关系为T= 6-x
,1
x
c,
0,x c.
(2)由(1)知,当x>c时,每天的盈利额为0万元,∴1≤x≤c.
(i)当3≤c<6时,T=
9x-2x2 6-x
§3.8函数模型及函数的综合应用
考点清单
考点 函数模型及函数的综合应用
1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0,n≠0)
知能拓展
考法一 解函数应用题的方法步骤
例1 (1)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从12月21日至1月8日自己
种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则
此人在12月26日大约卖出了西红柿
千克.
(2)牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不 能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实 际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
联系
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax
3.“对勾”函数的性质
函数f(x)=x+ a (a>0).
x
(1)该函数在(-∞,- a ]和[ a ,+∞)上单调递增,在(- a ,0)和(0, a )上单调递减.
(2)当x>0时,x= a 时取最小值2 a ;
当x<0时,x=- a 时取最大值-2 a .
时,ymax=
km 4
,所以0<
m 2
+
km 4
<m,解得-2<k<2.又因为k>0,所以0<k<2.
答案 (1)190
9
方法总结 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 单一考查一次函数或二次函数模型.解决此类问题应注意三点: ①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注 意函数的定义域,否则极易出错; ②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; ③解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
=15-2 (6-x)
9 6-x
≤15-12=3,
当且仅当x=3时取等号.故Tmax=3,此时x=3.
(ii)当1≤c<3时,由T'= 2x2 -24x 54 = 2(x-3)(x-9) >0知,函数T=9x-2x2 在[1,c]上
(6-x)2
(6-x)2
6-x
递增,∴当x=c时,Tmax=
9c-2c2 6-c
(2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏;
(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.
2.函数y=ax+ b 模型的应用
x
(1)明确对勾函数是由正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b 叠加而成的;
例2 某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会 产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:
P=
1 6-x
,1
2 3
,x
c
x
c,
(其中c为小于6的正常数).
(注:次பைடு நூலகம்率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其
余为合格品)
已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1
万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的
函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
解析
(1)当x>c时,P=
2 3
,∴T= 1
3
x·2-2
3
x·1=0.当1≤x≤c时,P=
4.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数 学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
“对勾”函数模型
f(x)=x+a (a>0)
x
2.三种增长型函数模型的性质比较
函数性质 在(0,+∞)上的增减性 增长速度
y=ax(a>1) 增函数 越来越快
y=logax(a>1) ① 增函数 越来越慢
y=xα(α>0) ② 增函数 相对平稳
图象的变化
随x值的增大图象与 随x值的增大图象与x轴 随α值变化而不同 ③ y轴 接近于平行 接近于④ 平行
,综上,若3≤c<6,则当日产量为3万件时,可获得最
大利润;若1≤c<3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.
方法总结 1.解决分段函数模型问题应关注以下三点:
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不
同的关系式构成,如出租车车费与路程之间的关系,应构建分段函数模型求
解;
m
解析 (1)前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,k≠0,将点(1,10)和点(10,3
0)代入函数解析式得
10 30
k b, 10k
b,
解得k=
20 9
,b=
70 9
,所以y=
20 9
x+
70 9
,则当x=6
时,y=190 .
9
(2)①根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故
①写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ②求羊群年增长量的最大值; ③当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
解题导引 (1)根据图象信息,确定函数解析式. (2)由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故空闲率为1-
m
x .建立函数模型后,利用函数的最值求羊群年增长量的最大值.
m
空闲率为1-
x m
,由此可得y=kx1-
x m
(0<x<m);
②由①,得y=-
k m
(x2-mx)=-
k m
x-
m 2
2
+
km 4
.
即当x= m 时,y取得最大值 km ;
2
4
③由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长量的
和小于最大蓄养量,即0<x+y<m.
因为当x=
m 2
1 6-x
,
∴T=1-
1 6-x
1
·x·2-6-x
9x-2x2
·x·1= 6-x
.综上,每天的盈利额T(万元)与日产量x(万件)
9x-2x2
的函数关系为T= 6-x
,1
x
c,
0,x c.
(2)由(1)知,当x>c时,每天的盈利额为0万元,∴1≤x≤c.
(i)当3≤c<6时,T=
9x-2x2 6-x