(完整版)《抛物线》典型例题12例(含标准答案)

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高中数学抛物线练习(有答案)

高中数学抛物线练习(有答案)

1抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线. 2抛物线的图形和性质:①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距:FK p =③通径:过焦点垂直于轴的弦长为2p 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段:2p OF OK ==。

⑤焦半径为半径的圆:以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。

所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆:以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。

所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。

所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式:,,px y px y 2222-==。

,py x py x 2222-== 4抛物线px y 22=的图像和性质:①焦点坐标是:⎪⎭⎫⎝⎛02,p ,②准线方程是:2p x -=。

③焦半径公式:若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:02p PF x =+, ④焦点弦长公式:过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中一般情况归纳:抛物线的定义:例1:点M 与点F (-4,0)的距离比它到直线l :x -6=0的距离4.2,求点M 的轨迹方程. 分析:点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等,符合抛物线定义.例2:斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点,与抛物线相交于点A 、B ,求线段A 、B 的长.分析:这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是:把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和.解:如图8-3-1,y 2=4x 的焦点为F (1,0),则l 的方程为y =x -1.由⎩⎨⎧+==142x y x y 消去y 得x 2-6x +1=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 则x 1+x 2=6. 又A 、B 两点到准线的距离为A ',B ',则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A点评:抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重要的作用。

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中数学抛物线经典试题集锦编著】黄勇权第一组题型】1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A(2,0),C(0, -8)(1)求此二次函数的解析式,(2)在抛物线上存在一点p 使△ ABP的面积为15,请直接写出p 点的坐标。

2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n 经过点A(5,0 ),B(2,-6).(1)求抛物线的表达式及对称轴2)设点 B 关于原点的对称点为C,写出过A、C两点直线的表达式3、在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线的顶点 C 为(2,4),并在x 轴上截得的长度为 6 。

(1)写出抛物线与x 轴交点 A 、B 的坐标(2)求该抛物线的表达式(3)写出抛物线与y 轴交点P 的坐标4、直线的解析式为y=2x+4 ,交x 轴于点 A ,交y 轴于点B,若以 A 为顶点,,且开口向下作抛物线,交直线AB 于点D,交y 轴负半轴于点 C ,(1)若△ ABC 的面积为20,求此时抛物线的解析式(2)若△ BDO 的面积为8,求此时抛物线的解析式答案】1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A(2,0),C(0, -8)(1)求此二次函数的解析式,(2)在抛物线上存在一点p 使△ ABP的面积为15,请直接写出p 点的坐标解:【第一问】因为函数y=x2+bx+c过点A(2,0),C(0, -8)分别将x=2,y=0 代入y=x2+bx+c,得0=4+2b+c -①将x=0,y=-8 代入y=x2+bx+c,得-8=c -------- ②将②代入①,解得:b=2 ------------------------------------ ③此时,将② ③代入y=x2+bx+c,所以:二次函数的解析式y=x2+ 2x -8 【第二问】1△ABP的面积= 2│AB│*│y p│------------- ④因为A、B 两点在x 轴上,令x2+ 2x -8=0 (x-2)(x+4)=0 解得:x1=2,x2= -4所以:│ AB│=│X1- X2│=│2-(- 4)│ =6 ---- ⑤又△ ABP的面积=15 --------------------------------- ⑥1由④ ⑤ ⑥,得:2 *6* │y p│=15y p =5故有:y p= ± 5即:p 点的纵坐标为 5 或-5.把y=5 代入y=x2+ 2x -8 ,即:5=x2+ 2x -8x2+ 2x -13=0解得:x= -1 ± 14那么,此时p 点坐标(-1+ 14,5),(-1- 14,5)---- ⑦把y=-5 代入y=x2+ 2x -8,即:-5=x2+ 2x -8x2+ 2x -3=0 (x-1)(x+3)=0 解得:x= 1 或x= -3 那么,此时p 点坐标(1,-5),(-3,-5)⑧由⑦ ⑧得,使△ ABP的面积为15,p 点坐标是:(-1+ 14,5),(-1- 14,5),(1,-5),(-3,-5)2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n 经过点A(5,0 ),B(2,-6).(1)求抛物线的表达式及对称轴(2)设点 B 关于原点的对称点为C,写出过A、C两点直线的表达式。

初三抛物线练习题及答案

初三抛物线练习题及答案

初三抛物线练习题及答案抛物线是数学中的基本图形之一,也是初中数学中重要的内容之一。

掌握抛物线的性质和解题方法,不仅能提高数学水平,还有助于培养逻辑思维和分析问题的能力。

下面是一些初三抛物线练习题及答案,希望能对同学们的学习有所帮助。

1. 已知抛物线的顶点为(-1, 4),经过点(2, 1),求抛物线的解析式。

解析:设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。

由已知顶点坐标(-1, 4),可得:4 = a(-1)^2 + b(-1) + c化简得:a - b + c = 4 (式1)由已知经过点(2, 1),可得:1 = a(2)^2 + b(2) + c化简得:4a + 2b + c = 1 (式2)解方程组(式1)和(式2),得到a、b、c的值,即可得到抛物线的解析式。

2. 抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴是什么?解析:对称轴是指抛物线上各点关于该轴对称。

对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c,其对称轴的公式为x = -b/2a。

对于给定的抛物线y = 2x^2 + 3x + 1,将其转化为一般形式,即a = 2,b = 3,c = 1。

代入公式x = -b/2a,可得对称轴的方程:x = -3/(2*2)化简得:x = -3/4所以,抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴方程为x = -3/4。

3. 已知抛物线经过点(1, 5)和(-2, 1),求抛物线的解析式。

解析:设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。

由已知点(1, 5),可得:5 = a(1)^2 + b(1) + c化简得:a + b + c = 5 (式3)由已知点(-2, 1),可得:1 = a(-2)^2 + b(-2) + c化简得:4a - 2b + c = 1 (式4)解方程组(式3)和(式4),即可得到a、b、c的值,从而得到抛物线的解析式。

4. 已知抛物线过点(3, 4),顶点坐标为(-1, -2),求抛物线的解析式。

高中数学抛物线大题精选30道(含答案)

高中数学抛物线大题精选30道(含答案)

抛物线大题30题1 .已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆224520x y +=的一个焦点相同,(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;(2)求抛物线方程.2 .过抛物线y 2=4x 的焦点作直线AB 交抛物线于 A .B,求AB 中点M 的轨迹方程。3 .已知直线l 过定点()0,4A ,且与抛物线2:2(0)C ypx p = >交于P 、Q 两点,若以PQ 为直径的圆经过原点O ,求抛物线的方程.4 .已知p :方程2212x y m m+=-表示椭圆;q :抛物线y =221x mx ++与 x 轴无公共点,若p 是真命题且q 是假命题,求实数m 的取值范围.5 .在平面直角坐标系xoy 中,抛物线C 的顶点在原点,经过点A (2,2),其焦点F 在x 轴上。

(1)求抛物线C 的标准方程;(2)求过点F ,且与直线OA 垂直的直线的方程;(3)设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D .E 两点,ME=2DM , 记D 和E 两点间的距离为()f m ,求()f m 关于m 的表达式。

6 .直线y=2x 与抛物线y=-x 2-2x+m 相交于不同的两点 A .B ,求(1)实数m 的取值范围;(2)∣AB ∣的值(用含m 的代数式表示).7 .已知抛物线1C :24(0)y px p =>,焦点为2F ,其准线与x 轴交于点1F ;椭圆2C :分别以12F F 、为左、右焦点,其离心率12e =;且抛物线1C 和椭圆2C 的一个交点记为M .(1)当1p =时,求椭圆2C 的标准方程;(2)在(1)的条件下,若直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ,且与抛物线1C 相交于,A B 两点,若弦长||AB 等于12MF F ∆的周长,求直线l 的方程.8 .如图,已知直线l :2y kx =-与抛物线C :22(0)x py p =->交于A ,B 两点,O 为坐标原点,(4,12)OA OB +=--。(Ⅰ)求直线l 和抛物线C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时, 求△ABP 面积最大值.9.设圆Q 过点P (0,2), 且在x 轴上截得的弦RG 的长为4.(Ⅰ)求圆心Q 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)过点F (0,1),作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB ,CD ,设AB 、CD 的中点分别为M ,N ,试判断直线MN 是否过定点?并说明理由. 10.已知抛物线2:2C y px =的准线方程14x =-,C 与直线1:y x =在第一象限相交于点1P ,过1P 作C的切线1m ,过1P 作1m 的垂线1g 交x 轴正半轴于点1A ,过1A 作1的平行线2交抛物线C 于第一象限内的点2P ,过2P 作抛物线1C 的切线2m ,过2P 作2m 的垂线2g 交x 轴正半轴于点2A ,…,依此类推,在x 轴上形成一点列1A ,2A ,3A ,…,(*)n A n N ∈,设点n A 的坐标为(,0).n a(Ⅰ)试探求1n a +关于n a 的递推关系式; (Ⅱ)求证:13322n n a -≤⋅-; (Ⅲ)求证:()()1234211(23)2(23)6(23)13321n n n a a a n n n ++++≥-+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+. 11.已知直线1:++=k kx y l ,抛物线x y C 4:2=,定点M(1,1)。(I)当直线l 经过抛物线焦点F 时,求点M 关于直线l 的对称点N 的坐标,并判断点N 是否在抛物线C 上;(II)当)0(≠k k 变化且直线l 与抛物线C 有公共点时,设点P(a,1)关于直线l 的对称点为Q(x 0,y 0),求x 0关于k 的函数关系式)(0k f x =;若P 与M 重合时,求0x 的取值范围。12.位于函数4133+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标;(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*N 第n 条抛物线n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k ,求证:10111113221<+++-n n k k k k k k . 13.已知抛物线24y x =的焦点为F , A .B 为抛物线上的两个动点.(Ⅰ)如果直线AB 过抛物线焦点,判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明;(Ⅱ)如果4OA OB ⋅=-(O 为坐标原点),证明直线AB 必过一定点,并求出该定点.14.已知点F(2 ,0) ,直线:1l x =-,动点N 到点F 距离比到直线l 的距离大1;(1)求动点N 的轨迹C 的方程; (2)直线2y x =-与轨迹C 交于点A,B,求ABO ∆的面积.15.(本小题共13分)已知抛物线C :2y x =,过定点()0,0A x 01()8x ≥,作直线l 交抛物线于,P Q (点P 在第一象限). (Ⅰ)当点A 是抛物线C 的焦点,且弦长2PQ =时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设点Q 关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点B ,且BQ BP ⊥.求证:点B 的坐标是0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.16.抛物线()2:20C ypx p=上横坐标为32的点到焦点F 的距离为2(I )求p 的值;(II )过抛物线C 的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB 和CD , 求AB CD +的最小值。

抛物线曲线经典题目(含答案解析)

抛物线曲线经典题目(含答案解析)

抛物线曲线经典题目(含答案解析)
问题描述
某物体被抛向空中,并沿着抛物线轨迹运动。

该抛物线由方程
y = ax^2 + bx + c 描述,其中 a、b、c 为常数。

给定 a = 2, b = -4, c = 1,求该抛物线的顶点坐标和对称轴方程。

解答分析
首先,我们需要确定抛物线的顶点坐标。

抛物线的顶点坐标可
以通过以下公式计算:
x = -b / (2a)
y = a * (x^2) + b * x + c
代入 a = 2, b = -4, c = 1,即可得到抛物线的顶点坐标。

其次,我们还需要确定抛物线的对称轴方程。

对称轴方程可以
通过以下公式计算:
x = -b / (2a)
代入 a = 2, b = -4,即可得到抛物线的对称轴方程。

计算过程与结果
根据计算公式,我们可以得到抛物线的顶点坐标和对称轴方程的具体计算过程如下:
1. 计算顶点坐标:
x = -(-4) / (2 * 2) = 1
y = 2 * (1^2) + (-4) * 1 + 1 = -1
因此,该抛物线的顶点坐标为 (1, -1)。

2. 计算对称轴方程:
x = -(-4) / (2 * 2) = 1
因此,该抛物线的对称轴方程为 x = 1。

结论
该抛物线的顶点坐标为 (1, -1),对称轴方程为 x = 1。

以上是对题目的完整解答与分析。

通过计算,我们可以得到抛物线的顶点坐标和对称轴方程,进一步了解抛物线的特征和形态。

初中数学 抛物线 练习题(含答案)

初中数学 抛物线  练习题(含答案)

第十讲 抛物线一般地说来,我们称函数c bx ax y ++=2 (a 、b 、c 为常数,0≠a )为x 的二次函数,其图象为一条抛物线,与抛物线相关的知识有:1.a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置;2.抛物线关于ab x 2-=对称,抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关,抛物线在顶点(ab 2-,a b ac 442-)处取得最值; 3.抛物线的解析式有下列三种形式:①一般式:c bx ax y ++=2;②顶点式:k h x a y +-=2)(;③交点式:))((21x x x x a y --=,这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根.确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件,灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键.注:对称是一种数学美,它展示出整体的和谐与平衡之美,抛物线是轴对称图形,解题中应积极捕捉、创造对称关系,以便从整体上把握问题,由抛物线捕捉对称信息的方式有:(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息;(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息.【例题求解】【例1】 二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示,则函数值0<y 时,对应x 的取值范围是 .思路点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一1,一4),可求出b ,c 值,先求出0=y 时,对应x 的值.【例2】 已知抛物线c bx x y ++=2(a <0)经过点(一1,0),且满足024>++c b a .以下结论:①0>+b a ;②0>+c a ;③0>++-c b a ;④2252a ac b >-.其中正确的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置,进而判定a 、b 、c 的符号;由特殊点的坐标得等式或不等式;运用根的判别式、根与系数的关系.【例3】 如图,有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN =4分米,抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米,要在铁皮上截下一矩形ABCD ,使矩形顶点B 、C 落在边MN 上,A 、D 落在抛物线上,问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?思路点拨 恰当建立直角坐标系,易得出M 、N 及抛物线顶点坐标,从而求出抛物线的解析式,设A(x ,y ),建立含x 的方程,矩形铁皮的周长能否等于8分米,取决于求出x 的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内.注: 把一个生产、生活中的实际问题转化,成数学问题,需要观察分析、建模,建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法,同一问题有不同的建模方式,通过分析比较可获得简解.【例4】 二次函数223212-++-=m x x y 的图象与x 轴交于A 、两点(点A 在点B 左边),与y 轴交于C 点,且∠ACB =90°.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设计两种方案:作一条与y 轴不重合,与△A BC 两边相交的直线,使截得的三角形与△ABC 相似,并且面积为△BOC 面积的41,写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注:设计的方案不必证明).思路点拨 (1)A 、B 、C 三点坐标可用m 的代数式表示,利用相似三角形性质建立含m 的方程;(2)通过特殊点,构造相似三角形基本图形,确定设计方案.注: 解函数与几何结合的综合题,善于求点的坐标,进而求出函数解析式是解题的基础;而充分发挥形的因素,数形互助,把证明与计算相结合是解题的关键.【例5】 已知函数1)1(2)2(22+--+=x a x a y ,其中自变量x 为正整数,a 也是正整数,求x 何值时,函数值最小.思路点拨 将函数解析式通过变形得配方式,其对称轴为23)2(212++-=+-=a a a a x ,因1230≤+<a ,12122-≤+-<-a a a a ,故函数的最小值只可能在x 取2-a ,2-a ,212+-a a 时达到.所以,解决本例的关键在于分类讨论.学历训练 1.如图,若抛物线2ax y =与四条直线1=x 、2=x 、1=y 、2=y 所围成的正方形有公共点,则a 的取值范围是 .2.抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的正半轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,且线段AB 的长为1,△ABC 的面积为1,则b 的值为 .3.如图,抛物线的对称轴是直线1=x ,它与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,点A 、C 的坐标分别为(-l ,0)、(0,23),则(1)抛物线对应的函数解析式为 ;(2)若点P 为此抛物线上位于x 轴上方的一个动点,则△ABP 面积的最大值为 .4.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,且OA =OC ,则由抛物线的特征写出如下含有a 、b 、c 三个字母的式子①1442-=-ab ac ,②01=++b ac ,③0>abc ,④0>+-c b a ,>0,其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上).5.已知1-<a ,点(1-a ,1y ),(a ,2y ),(1+a ,3y )都在函数2x y =的图象上,则( )A .321y y y <<B .231y y y <<C .123y y y <<D .312y y y <<6.把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为532+-=x x y ,则有( )A .3=b ,7=cB .9-=b ,15-=cC .3=b ,c =3D .9-=b ,21=c7.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则点(b a +,ac )所在的直角坐标系是( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限8.周长是4m 的矩形,它的面积S(m 2)与一边长x (m)的函数图象大致是( )9.阅读下面的文字后,回答问题:“已知:二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A(0,a ),B(1,-2) ,求证:这个二次函数图象的对称轴是直线2=x .题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.(1)根据现有的信息,你能否求出题目中二次函数的解析式?若能,写出求解过程;若不能,说明理由.(2)请你根据已有信息,在原题中的横线上,填加一个适当的条件,把原题补充完整.10.如图,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式;(2)该运动员身高1. 8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?11.如图,抛物线和直线k kx y 4-= (0<k )与x 轴、y 轴都相交于A 、B 两点,已知抛物线的对称轴1-=x 与x 轴相交于C 点,且∠ABC =90°,求抛物线的解析式.12.抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,若△ABC 是直角三角形,则=ac .13.如图,已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,那么△OAB 的面积等于 .14.已知二次函数c bx ax y ++=2,一次函数4)1(2k x k y --=.若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点,则二次函数的解析式为 .15.如图,抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ,B ,E ,且△ABE 是等腰直角三角形,AE =BE ,则下列关系式中不能总成立的是( )A .b=0B .S △ADC =c 2 C .ac =一1D .a+c =016.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点(1,0)…求证:这个二次函数的图象关于直线2=x 对称.根据现有信息,题中的二次函数不具有的性质是( )A .过点(3,0)B .顶点是(2,一2)C .在x 轴上截得的线段长为2D .与y 轴的交点是(0,3)17.已知A(x 1,2002),B(x 2,2002)是二次函数52++=bx ax y (0≠a )的图象上两21x x x += 时,二次函数的值是( )A .522+a bB .542+-ab C . 2002 D .518.某种产品的年产量不超过1000吨,该产品的年产量(单位:吨)与费用(单位:万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示);该产品的年销售量(单位:吨)与销售单价(单位:万元/吨)之间函数的图象是线段(如图2所示).若生产出的产品都能在当年销售完,问年产量是多少吨时,所获毛利润最大?(毛利润=销售额一费用).19.如图,已知二次函数222-=x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,直线:x =m(m>1)与x 轴交于点D .(1)求A 、B 、C 三点的坐标;(2)在直线x =m (m>1)上有一点P (点P 在第一象限),使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似,求P 点坐标(用含m 的代数式表示);(3)在(2)成立的条件下,试问:抛物线222-=x y 上是否存在一点Q ,使得四边形ABPQ 为平行四边形?如果存在这样的点Q ,请求出m 的值;如果不存在,请简要说明理由.20.已知二次函数22--=x x y 及实数2->a ,求(1)函数在一2<x ≤a 的最小值;(2)函数在a ≤x ≤a+2的最小值.21.如图,在直角坐标:x O y 中,二次函数图象的顶点坐标为C(4,3-),且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.(1)求二次函数的解析式;(2)在y 轴上求作一点P (不写作法)使PA+PC 最小,并求P 点坐标;(3)在x 轴的上方的抛物线上,是否存在点Q ,使得以Q 、A 、B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在,求出Q 点的坐标;如果不存在,请说明理由.22.某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要结论.一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a≠0),当实数a 变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a 变化时,若把抛物线y=ax 2+2x+3的顶点的横坐标减少a 1,纵坐标增加,得到A 点的坐标;若把顶点的横坐标增加a 1,纵坐标增加a1,得到B 点的坐标,则A 、B 两点一定仍在抛物线y=ax 2+2x+3上.(1)请你协助探求出当实数a 变化时,抛物线y=ax 2+2x+3的顶点..所在直线的解析式; (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由;(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊—一般”的思想,你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由.参考答案。

高中数学抛物线经典例题(含解析)

高中数学抛物线经典例题(含解析)

抛物线大题一.解答题(共7小题)1.已知P(4,y0)是抛物线C:y2=2px(p>0)上位于第一象限的一点,且P到C的焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)设O为坐标原点,F为C的焦点,A,B为C上异于P的两点,且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4.(i)证明:直线AB过定点;(ii)求|F A|•|FB|的最小值.2.已知抛物线C:y2=2px(p>0),其准线方程为x=﹣2.(1)求抛物线C的方程;(2)不过原点O的直线l:y=x+m与抛物线交于不同的两点P,Q,且OP⊥OQ,求m 的值.3.已知抛物线C的顶点在原点,对称轴为坐标轴,开口向右,且经过点P(1,2).(1)求抛物线C的标准方程;(2)过点M(2,0)且斜率为2的直线与抛物线C相交于A,B两点,求AB的长.4.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p>0)上一点P的横坐标为4,且点P到焦点F的距离为5.(1)求抛物线的方程;(2)若直线l:x=my+t交抛物线于A,B两点(位于对称轴异侧),且,问:直线l是否过定点?若过定点,请求出该定点:若不过,请说明理由.5.已知抛物线C:y2=2px(p为常数,p>0)的焦点F与椭圆的右焦点重合,过点F的直线与抛物线交于A,B两点.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线AB的斜率为1,求|AB|.6.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB.(1)求抛物线C的方程;(2)若斜率为的直线l过抛物线C的焦点,且与抛物线C交于D,E两点,求|DE|的值.7.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,m)(m>0)是抛物线C上一点,且|PF|=5.(1)求抛物线C的方程;(2)过点Q(2,0)斜率存在的直线l与C相交于A,B两点,在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ=∠BMQ?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.抛物线大题参考答案与试题解析一.解答题(共7小题)1.已知P(4,y0)是抛物线C:y2=2px(p>0)上位于第一象限的一点,且P到C的焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)设O为坐标原点,F为C的焦点,A,B为C上异于P的两点,且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4.(i)证明:直线AB过定点;(ii)求|F A|•|FB|的最小值.【分析】(1)由题意,结合所给信息列出等式,求出p的值,进而可得抛物线C的方程;(2)(i)结合(1)中所得信息得到点P的坐标,设出A,B两点的坐标,利用斜率公式得到4(y1+y2)+y1y2+20=0,对直线AB的斜率是否存在进行讨论,进而即可求解;(ii)设出A,B两点的坐标,分别讨论直线AB的斜率是否存在,当直线AB的斜率存在时,设出直线AB的方程,将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值,当直线AB的斜率不存在时,结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值,两者比较即可求解.2.已知抛物线C:y2=2px(p>0),其准线方程为x=﹣2.(1)求抛物线C的方程;(2)不过原点O的直线l:y=x+m与抛物线交于不同的两点P,Q,且OP⊥OQ,求m 的值.【分析】(1)由抛物线的准线方程求出p,可得抛物线C的方程;(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线l和抛物线C的方程,消元写出韦达定理,将OP⊥OQ用坐标表示,代入韦达定理化简计算,可得m的值.3.已知抛物线C的顶点在原点,对称轴为坐标轴,开口向右,且经过点P(1,2).(1)求抛物线C的标准方程;(2)过点M(2,0)且斜率为2的直线与抛物线C相交于A,B两点,求AB的长.【分析】(1)由题意,先设出抛物线C的方程,将点P的坐标代入抛物线方程中,求出p的值,进而可得抛物线C的标准方程;(2)设出直线AB的方程和A,B两点的坐标,将直线AB的方程与抛物线方程联立,求出A,B两点的坐标,进而即可求解.4.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p>0)上一点P的横坐标为4,且点P到焦点F的距离为5.(1)求抛物线的方程;(2)若直线l:x=my+t交抛物线于A,B两点(位于对称轴异侧),且,问:直线l是否过定点?若过定点,请求出该定点:若不过,请说明理由.【分析】(1)由题意,结合题目所给信息建立有关p的等式,进而即可求解;(2)设出A,B两点的坐标,将直线l的方程与抛物线方程联立,利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可.5.已知抛物线C:y2=2px(p为常数,p>0)的焦点F与椭圆的右焦点重合,过点F的直线与抛物线交于A,B两点.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线AB的斜率为1,求|AB|.【分析】(1)由题意,先求出的右焦点,根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合,可得,进而求出抛物线方程;(2)结合(1)中所得信息得到直线AB的方程,将直线AB的方程与抛物线方程联立,利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可.6.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB.(1)求抛物线C的方程;(2)若斜率为的直线l过抛物线C的焦点,且与抛物线C交于D,E两点,求|DE|的值.【分析】(1)由题意,得到点A的坐标,代入抛物线方程中进行求解即可;(2)先得到直线l的方程,将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可.7.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,m)(m>0)是抛物线C上一点,且|PF|=5.(1)求抛物线C的方程;(2)过点Q(2,0)斜率存在的直线l与C相交于A,B两点,在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ=∠BMQ?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)利用|PF|=5,根据抛物线的定义,求出p的值,即可得解;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(s,0),直线l的方程为x=ty+2(t≠0),将其与抛物线的方程联立,利用韦达定理,根据k AM=﹣k MB,求出s的值,即可得解.。

抛物线运动练习题(含答案)

抛物线运动练习题(含答案)

抛物线运动练习题(含答案)抛物线运动练题 (含答案)问题一一颗子弹以水平速度100 m/s 射向离地面20m的点,以重力加速度10 m/s²作用下,子弹射出后多久击中地面?答案:使用抛物线运动的公式,可以计算出子弹击中地面所需的时间。

抛物线运动公式为:h = v₀t + 1/2gt²其中,v₀表示初始速度,g表示重力加速度,h表示高度,t表示时间。

代入已知数据:h = 20mv₀ = 100 m/sg = 10 m/s²将公式稍作变形,得到:t² + 20t - 40 = 0解这个二次方程,可求得:t ≈ -23.3 秒或t ≈ 1.7 秒因为时间不能为负数,所以子弹射出约1.7秒后击中地面。

问题二一个人从离地面15m的点以速度20 m/s斜抛一个物体,物体飞行的距离是多少?答案:根据抛物线运动的公式,可以计算出物体的飞行距离。

抛物线运动公式为:d = v₀x t其中,v₀x表示初始水平速度,t表示时间,d表示距离。

我们需要找到物体运动的总时间,然后将其代入公式中计算距离。

首先,我们可以使用重力加速度的公式计算物体运动所需的时间 t₀:h = v₀yt₀ + 1/2gt₀²将公式代入已知数据:h = 15 mv₀y = 20 m/sg = 10 m/s²可得到:15 = 20t₀ + 1/2 * 10 * t₀²将这个方程稍作整理,得到二次方程:5t₀² + 20t₀ - 30 = 0解这个二次方程,可求得:t₀ ≈ -1.85 秒或 t₀ ≈ 0.85 秒因为时间不能为负数,所以物体运动约0.85秒后落地。

然后,我们将求得的 t₀代入公式:d = v₀x * t₀代入已知数据:v₀x = 20 m/st₀ ≈ 0.85 s计算得到物体的飞行距离d ≈ 17 m。

问题三一颗炮弹以45°角发射,速度为400 m/s。

抛物线专题练习(含解析)

抛物线专题练习(含解析)

抛物线专题练习1.(2020·吉林省长春模拟)点M (5,3)到抛物线y =ax 2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是( )A .x 2=112yB .x 2=112y 或x 2=-136yC .x 2=-136yD .x 2=12y 或x 2=-36y2.(2020·江西省安义中学模拟)已知抛物线y =px 2(其中p 为常数)过点A (1,3),则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.163.(2020·山东省乳山市第一中学模拟)顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是( ) A .y 2=-4xB .x 2=4yC .y 2=-4x 或x 2=4yD .y 2=4x 或x 2=-4y4.(2020·河南省信阳市第一中学模拟)已知AB 是抛物线y 2=8x 的一条焦点弦,|AB |=16,则AB 中点C 的横坐标是( )A .3B .4C .6D .85.(2020·四川省自贡市一中模拟)若直线AB 与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,且AB ⊥x 轴,|AB |=42,则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A .1B .2C .3D .56.(2020·四川省资阳模拟)设F 为抛物线y 2=2x 的焦点,A ,B ,C 为抛物线上三点,若F 为⊥ABC 的重心,则|F A →|+|FB →|+|FC →|的值为( )7.A .1 B .2 C .3 D .47.(2020·陕西省延安模拟)已知F 是抛物线C 1:y 2=2px (p >0)的焦点,曲线C 2是以F 为圆心,p2为半径的圆,直线4x -3y -2p =0与曲线C 1,C 2从上到下依次相交于点A ,B ,C ,D ,则|AB ||CD |=( )A .16B .4 C.83 D.538.(2020·广东省惠州市一中模拟)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线方程为x =-2,过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)两点,若|MN |=8,则y 21+y 22=( )A .16B .32C .24D .489.(2020·湖南省邵阳市二中模拟)已知F 是抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点,过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,R 为线段AB 的中点.若|F A |+|FB |=5,则直线l的斜率为( )A .3B .1C .2D.1210.(2020·湖北省汉川市一中模拟)已知直线l :y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点.若|F A |=2|FB |,则k =( )A.13B.23C.23D.223 11.(2020·山东省菏泽市一中模拟)已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 与双曲线x 23-y 2=1的右焦点重合,若A 为抛物线在第一象限上的一点,且|AF |=3,则直线AF 的斜率为 .12.(2020·江西省任弼时中学模拟)若抛物线x 2=4y 上的点A 到焦点的距离为10,则点A 到x 轴的距离是 .13.(2020·福建省永春一中模拟)已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ,B 在抛物线y 2=3x 上,则⊥AOB 的边长是 .14.(2020·安徽省池州二中模拟)直线y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于A,B两点,若|AB|=163,则k=.15.(2020·江苏省淮北中学模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,y0),且点A到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)直线l:y=x+m与抛物线交于两个不同的点P,Q,若OP⊥OQ,求实数m的值.16.(2020·浙江省丽水中学模拟)如图,已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:GF为⊥AGB的平分线.17.(2020·吉林省松原市二中模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MN⊥F A,垂足为N,求点N的坐标.1.(2020·吉林省长春模拟)点M (5,3)到抛物线y =ax 2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是( )A .x 2=112yB .x 2=112y 或x 2=-136yC .x 2=-136yD .x 2=12y 或x 2=-36y【答案】D【解析】将y =ax 2化为x 2=1a y .当a >0时,准线y =-14a ,则3+14a =6,⊥a =112.当a <0时,准线y =-14a ,则⎪⎪⎪⎪3+14a =6,⊥a =-136. ⊥抛物线方程为x 2=12y 或x 2=-36y2.(2020·江西省安义中学模拟)已知抛物线y =px 2(其中p 为常数)过点A (1,3),则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.16【答案】D【解析】由抛物线y =px 2(其中p 为常数)过点A (1,3),可得p =3,则抛物线的标准方程为x 2=13y ,则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.]3.(2020·山东省乳山市第一中学模拟)顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是( ) A .y 2=-4xB .x 2=4yC .y 2=-4x 或x 2=4yD .y 2=4x 或x 2=-4y 【答案】C【解析】设所求抛物线方程为y 2=kx 或x 2=my ,又点(-4,4)在抛物线上,则有-4k =16或4m =16,解得k =-4或m =4,所求抛物线方程为y 2=-4x 或x 2=4y .故选C.]4.(2020·河南省信阳市第一中学模拟)已知AB 是抛物线y 2=8x 的一条焦点弦,|AB |=16,则AB 中点C 的横坐标是( )A .3B .4C .6D .8【答案】C【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=x 1+x 2+p =16,又p =4,所以x 1+x 2=12,所以点C 的横坐标是x 1+x 22=6.]5.(2020·四川省自贡市一中模拟)若直线AB 与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,且AB ⊥x 轴,|AB |=42,则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A .1B .2C .3D .5【答案】A【解析】由|AB |=42及AB ⊥x 轴,不妨设点A 的纵坐标为22,代入y 2=4x 得点A 的横坐标为2,从而直线AB 的方程为x =2.又y 2=4x 的焦点为(1,0),所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2-1=1,故选A.]6.(2020·四川省资阳模拟)设F 为抛物线y 2=2x 的焦点,A ,B ,C 为抛物线上三点,若F 为⊥ABC 的重心,则|F A →|+|FB →|+|FC →|的值为( )A .1B .2C .3D .4 【答案】C【解析】依题意,设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),又焦点F ⎝⎛⎭⎫12,0,所以x 1+x 2+x 3=3×12=32,则|F A →|+|FB →|+|FC →|=⎝⎛⎭⎫x 1+12+⎝⎛⎭⎫x 2+12+⎝⎛⎭⎫x 3+12=(x 1+x 2+x 3)+32=32+32=3 7.(2020·陕西省延安模拟)已知F 是抛物线C 1:y 2=2px (p >0)的焦点,曲线C 2是以F 为圆心,p2为半径的圆,直线4x -3y -2p =0与曲线C 1,C 2从上到下依次相交于点A ,B ,C ,D ,则|AB ||CD |=( )A .16B .4 C.83 D.53【答案】A【解析】因为直线4x -3y -2p =0过C 1的焦点F (C 2的圆心),故|BF |=|CF |=p 2,所以|AB ||CD |=|AF |-p2|DF |-p2.由抛物线的定义得|AF |-p 2=x A ,|DF |-p2=x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x -3y -2p =0,y 2=2px ,整理得8x 2-17px +2p 2=0,即(8x -p )(x -2p )=0,可得x A =2p ,x D =p 8,故|AB ||CD |=x Ax D =2pp 8=16.故选A 8.(2020·广东省惠州市一中模拟)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线方程为x =-2,过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)两点,若|MN |=8,则y 21+y 22=( )A .16B .32C .24D .48【答案】B【解析】由准线方程为x =-2,可知p =4,则抛物线C 的方程为y 2=8x .由抛物线的定义可知,|MN |=|MF |+|NF |=x 1+x 2+4=8,则x 1+x 2=4,即y 218+y 228=4,故y 21+y 22=32.故选B.] 9.(2020·湖南省邵阳市二中模拟)已知F 是抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点,过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,R 为线段AB 的中点.若|F A |+|FB |=5,则直线l 的斜率为( )A .3B .1C .2 D.12【答案】B【解析】由于R (2,1)为AB 中点,设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ).根据抛物线的定义|F A |+|FB |=x A +x B +p =2×2+p =5,解得p =1,抛物线方程为y 2=2x .y 2A =2x A ,y 2B =2x B,两式相减并化简得y B-y A x B -x A =2y A +y B =22×1=1,即直线l 的斜率为1.故选B.]10.(2020·湖北省汉川市一中模拟)已知直线l :y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点.若|F A |=2|FB |,则k =( )A.13B.23C.23D.223 【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x +2),y 2=8x ,消去y 得k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0.Δ=(4k 2-8)2-16k 4>0,解得-1<k <1.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).x 1+x 2=8k 2-4.⊥ x 1x 2=4.⊥ 根据抛物线的定义及|F A |=2|FB |,得x 1+2=2(x 2+2),即x 1=2x 2+2,⊥且x 1>0,x 2>0,由⊥⊥解得x 1=4,x 2=1,代入⊥得k 2=89,k >0,⊥k =223.故选D.11.(2020·山东省菏泽市一中模拟)已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 与双曲线x 23-y 2=1的右焦点重合,若A 为抛物线在第一象限上的一点,且|AF |=3,则直线AF 的斜率为 .【答案】-22【解析】⊥双曲线x 23-y 2=1的右焦点为(2,0),⊥抛物线方程为y 2=8x .⊥|AF |=3,⊥x A +2=3,得x A =1,代入抛物线方程可得y A =±2 2.⊥点A 在第一象限,⊥A (1,22),⊥直线AF 的斜率为221-2=-2 2.]12.(2020·江西省任弼时中学模拟)若抛物线x 2=4y 上的点A 到焦点的距离为10,则点A 到x 轴的距离是 .【答案】9【解析】根据题意,抛物线x 2=4y 的准线方程为y =-1,点A 到准线的距离为10,故点A 到x 轴的距离是9.]13.(2020·福建省永春一中模拟)已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ,B 在抛物线y 2=3x 上,则⊥AOB 的边长是 .【答案】63【解析】如图,设⊥AOB 的边长为a ,则A ⎝⎛⎭⎫32a ,12a ,⊥点A 在抛物线y 2=3x 上,⊥14a 2=3×32a ,⊥a =6 3.] 14.(2020·安徽省池州二中模拟)直线y =k (x -1)与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,若|AB |=163,则k = .【答案】±3【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为直线AB 经过抛物线y 2=4x 的焦点,所以|AB |=x 1+x 2+2=163,所以x 1+x 2=103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x ,y =k (x -1)得到k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,所以x 1+x 2=2k 2+4k 2=103,所以k =± 3.]15.(2020·江苏省淮北中学模拟)已知抛物线y 2=2px (p >0)过点A (2,y 0),且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)直线l :y =x +m 与抛物线交于两个不同的点P ,Q ,若OP ⊥OQ ,求实数m 的值. 【解析】(1)已知抛物线y 2=2px (p >0)过点A (2,y 0),且点A 到准线的距离为4, ⊥2+p2=4,⊥p =4,⊥抛物线的方程为y 2=8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m ,y 2=8x 得x 2+(2m -8)x +m 2=0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=8-2m ,x 1x 2=m 2,y 1+y 2=x 1+x 2+2m =8,y 1y 2=(x 1+m )(x 2+m )=x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2=8m . ⊥OP ⊥OQ ,⊥x 1x 2+y 1y 2=m 2+8m =0, ⊥m =0或m =-8.经检验,当m =0时,直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合,不符合题意. 当m =-8时,Δ=(-24)2-4×64>0,符合题意. 综上,实数m 的值为-8.16.(2020·浙江省丽水中学模拟)如图,已知点F 为抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点,点A (2,m )在抛物线E 上,且|AF |=3.(1)求抛物线E 的方程;(2)已知点G (-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B ,证明:GF 为⊥AGB 的平分线. 【解析】(1)由抛物线定义可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.⊥抛物线E 的方程为y 2=4x .(2)证明:⊥点A (2,m )在抛物线E 上,⊥m 2=4×2,解得m =±22,由抛物线的对称性,不妨设A (2,22),由A (2,22),F (1,0), ⊥直线AF 的方程为y =22(x -1),由⎩⎨⎧y =22(x -1),y 2=4x ,得2x 2-5x +2=0,解得x =2或12,⊥B ⎝⎛⎭⎫12,-2. 又G (-1,0),⊥k GA =223,k GB =-223,⊥k GA +k GB =0, ⊥⊥AGF =⊥BGF .⊥GF 为⊥AGB 的平分线.17.(2020·吉林省松原市二中模拟)已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B ,OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程;(2)若过M 作MN ⊥F A ,垂足为N ,求点N 的坐标.【解析】(1)抛物线y 2=2px (p >0)的准线为x =-p 2,于是4+p 2=5,⊥p =2. ⊥抛物线方程为y 2=4x .(2)⊥点A 的坐标是(4,4),由题意得B (0,4),M (0,2).又⊥F (1,0),⊥k F A =43, ⊥MN ⊥F A ,⊥k MN =-34. ⊥F A 的方程为y =43(x -1), ⊥ MN 的方程为y -2=-34x , ⊥联立⊥⊥,解得x =85,y =45, ⊥点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85,45.。

抛物线经典例题

抛物线经典例题

抛物线习题精选精讲(1)抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章.【例1】P 为抛物线px y 22=上任一点,F 为焦点,则以PF 为直径的圆与y 轴( ).A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定【解析】如图,抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,准线是 :2pl x =-.作PH ⊥l 于H ,交y 轴于Q ,那么PF PH =, 且2pQH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的中位线,()111222MN OF PQ PH PF =+==.故以PF 为直径的圆与y 轴相切,选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则 分别是相离或相交的.(2)焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮助的.【例2】 过抛物线()022 p px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点,求证: (1)12AB x x p =++ (2)pBF AF 211=+ 【证明】(1)如图设抛物线的准线为l ,作1AA l ⊥11111,2pA BB l B AA x ⊥==+于,则AF , 122pBF BB x ==+.两式相加即得:12AB x x p =++(2)当AB ⊥x 轴时,有AF BF p ==,112AF BF p∴+=成立; 当AB 与x 轴不垂直时,设焦点弦AB 的方程为:2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.代入抛物线方程:l XY FA(x,y)11B(x,y)22A 1B 1l2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得:()()222222014p k x p k x k -++=∵方程(1)之二根为x 1,x 2,∴1224k x x ⋅=.()122111212121111112224x x p p pp p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=+++++ ()()121222121222424x x p x x p p p p pp x x p x x ++++===+++++. 故不论弦AB 与x 轴是否垂直,恒有pBF AF 211=+成立.(3)切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明:过抛物线22y px =上一点M (x 0,y 0)的切线方程是:y 0y=p (x+x 0)【证明】对方程22y px =两边取导数:22.py y p y y''⋅=∴=,切线的斜率 00x x p k y y ='==.由点斜式方程:()()20000001p y y x x y y px px y y -=-⇒=-+20021y px =,代入()即得: y 0y=p (x+x 0)(4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意想不到的收获.例如:1.一动圆的圆心在抛物线x y 82=上,且动圆恒与直线02=+x 相切,则此动圆必过定点( )()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -显然.本题是例1的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选B. 2.抛物线22y px =的通径长为2p ;3.设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ,那么:212y y p =-以下再举一例【例4】设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1,证明:以A 1B 1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么A 1B 1=AB=2p ,而A 1B 1与AB 的距离为p ,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想:一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB 的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为()()1122,,,A x y B x y ,那么:22121112.y y p CA CB y y p =-⇒⋅==设抛物线的准线交x 轴于C ,那么.CF p =2111111.90A FB CF CA CB A FB ∴∆=⋅∠=︒中故.这就说明:以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.● 通法 特法 妙法(1)解析法——为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等). 【例5】(07.四川文科卷.10题)已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ,则|AB|等于( )A.3B.4C.32D.42【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直,且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上,因得解法如下.【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称,∴设直线AB的方程为:y x m =+. 由()223013y x mx x m y x =+⎧⇒++-=⎨=-+⎩设方程(1)之两根为x 1,x 2,则121x x +=-. 设AB 的中点为M (x 0,y 0),则120122x x x +==-.代入x+y=0:y 0=12.故有11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 从而1m y x =-=.直线AB 的方程为:1y x =+.方程(1)成为:220x x +-=.解得:2,1x =-,从而1,2y =-,故得:A (-2,-1),B (1,2).AB ∴=,选C.(2)几何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展,但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状,人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法,其中最有成效的就是几何法.【例6】(07.全国1卷.11题)抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过FXYAB FA 1B 11M C XOY ABMl x y +=ÿ物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,则AKF △的面积( )A .4 B. C. D .8 【解析】如图直线AFAFX=60°. △AFK 为正三角形.设准线l 交x 轴于M ,则2,FM p ==且∠KFM=60°,∴24,44AKFKF S ∆===选C. 【评注】(1)平面几何知识:边长为a 的正三角形的面积用公式2S ∆=计算. (2)本题如果用解析法,需先列方程组求点A 的坐标,,再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难,但决没有如上的几何法简单.(3)定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单. 【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>,的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为1F 和2F ;抛物线2C 的线为l ,焦点为21F C ;与2C 的一个交点为M ,则12112F F MF MF MF -等于( )A .1-B .1C .12-D .12【分析】 这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂,而平面几何知识又一时用不上,那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半 焦距c ,离心率为e ,作 MH l H ⊥于,令1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上,1112222,MF MF rMH MF r e MH MF r ∴=====故,这就是说:12||||MF MF 的实质是离心率e.其次,121||||F F MF 与离心率e 有什么关系?注意到: ()1212111122111F F e r r c e a e e MF r r r e +⋅⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭. XY O F(1,0)AK60°Y2=2px L:x=-1M这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于()12112||||11||||F F MF e e MF MF -=-+=-.∴选 A..(4)三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段,可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数,然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困境,简化计算.【例8】(07.重庆文科.21题)如图,倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ,且与抛物线交于A 、B 两点。

(完整版)抛物线练习题(含答案)

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抛物线练习题一、选择题1.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线x +2y =3距离相等的点的轨迹是( )A .直线B .抛物线C .圆D .双曲线2.抛物线y 2=x 上一点P 到焦点的距离是2,则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32,±62B.⎝⎛⎭⎫74,±72C.⎝⎛⎭⎫94,±32D.⎝⎛⎭⎫52,±102 3.抛物线y =ax 2的准线方程是y =2,则a 的值为( )A.18 B .-18C .8D .-8 4.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A .4B .6C .8D .125.设过抛物线的焦点F 的弦为AB ,则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .以上答案都有可能6.过点F (0,3)且和直线y +3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A .y 2=12xB .y 2=-12xC .x 2=12yD .x 2=-12y7.抛物线y 2=8x 上一点P 到x 轴距离为12,则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A .20B .8C .22D .248.抛物线的顶点在坐标原点,焦点是椭圆4x 2+y 2=1的一个焦点,则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A .2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9.设抛物线的顶点在原点,其焦点F 在y 轴上,又抛物线上的点(k ,-2)与F 点的距离为4,则k 的值是( )A .4B .4或-4C .-2D .2或-210.抛物线y =1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0,m 4 B.⎝⎛⎭⎫0,-m 4 C.⎝⎛⎭⎫0,14m D.⎝⎛⎭⎫0,-14m 11.抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点(-5,25)到焦点的距离是6,则抛物线的方程为( )A .y 2=-2xB .y 2=-4xC .y 2=2xD .y 2=-4x 或y 2=-36x12.已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆(x -3)2+y 2=16相切,则p 的值为( )A.12 B .1 C .2 D .4二、填空题13.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1,则∠A1FB1= 。

抛物线练习题及答案

抛物线练习题及答案

抛物线练习题及答案抛物线练习题及答案抛物线是数学中一个经典的曲线,它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有广泛的应用。

掌握抛物线的性质和解题方法对于理解和应用这一曲线具有重要意义。

本文将介绍一些常见的抛物线练习题,并给出详细的解答。

1. 已知抛物线的顶点为(2, 3),焦点为(2, 1),求抛物线的方程。

解答:由于抛物线的顶点和焦点均在x轴上,所以抛物线的方程可表示为(x-2)^2 = 4p(y-3),其中p为抛物线的焦距。

由题目中给出的焦点坐标可知焦距p=2-1=1。

代入方程中,得到(x-2)^2 = 4(y-3)。

2. 已知抛物线的焦点为(0, 3),直径的两个端点分别为(4, 0)和(-4, 0),求抛物线的方程。

解答:由于抛物线的焦点在y轴上,所以抛物线的方程可表示为x^2 = 4py,其中p为抛物线的焦距。

由题目中给出的直径的两个端点可知焦距p=4/2=2。

代入方程中,得到x^2 = 8y。

3. 已知抛物线的焦点为(-1, 2),过点(3, 4)的直线与抛物线交于两点,求这两点的坐标。

解答:设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。

由题目中给出的焦点坐标可知,焦距为p = 2-(-1) = 3。

由于过点(3, 4)的直线与抛物线交于两点,所以满足方程4 = a(3)^2 + b(3) + c。

另外,这两个点也是抛物线的顶点,所以满足方程c = 2 - a - b。

将以上两个方程代入抛物线的方程中,得到4 = 9a + 3b + (2 - a - b),化简得到3a + 2b = -2。

根据这个方程可以解得a和b的值。

代入抛物线的方程中,得到抛物线的方程为y = -x^2/9 + 4x/3 + 10/9。

4. 已知抛物线的焦点为(-2, 1),过点(0, 3)的直线与抛物线交于两点,求这两点的坐标。

解答:设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。

由题目中给出的焦点坐标可知,焦距为p = 1-(-2) = 3。

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中数学抛物线经典试题集锦【编著】黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A(2,0),C(0, -8)(1)求此二次函数的解析式,(2)在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15,请直接写出p点的坐标。

2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x²+mx+n经过点A(5,0),B(2,-6).(1)求抛物线的表达式及对称轴(2)设点B关于原点的对称点为C,写出过A、C两点直线的表达式。

3、在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点C为(2,4),并在x轴上截得的长度为6。

(1)写出抛物线与x轴交点A、B的坐标(2)求该抛物线的表达式(3)写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,若以A 为顶点,,且开口向下作抛物线,交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C,(1)若△ABC的面积为20,求此时抛物线的解析式(2)若△BDO的面积为8,求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A(2,0),C(0, -8)(1)求此二次函数的解析式,(2)在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15,请直接写出p点的坐标。

解:【第一问】因为函数y=x²+bx+c过点A(2,0),C(0, -8)分别将x=2,y=0代入y=x²+bx+c,得0=4+2b+c-----①将x=0,y=-8代入y=x²+bx+c,得-8=c-------------②将②代入①,解得:b=2--------------------------------------③此时,将②③代入y=x²+bx+c,所以:二次函数的解析式y=x²+ 2x -8【第二问】△ABP的面积= 12│AB│*│y p│----------------------④因为A、B两点在x轴上,令x²+ 2x -8=0(x-2)(x+4)=0解得:x1=2,x2= -4所以:│AB│=│X1- X2│=│2-(- 4)│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥由④⑤⑥,得:12*6*│y p│=15│y p│=5故有:y p= ±5即:p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入y=x²+ 2x -8,即:5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得:x= -1± 14那么,此时p点坐标(-1+ 14,5),(-1- 14,5)-------⑦把y=-5代入y=x²+ 2x -8,即:-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0(x-1)(x+3)=0解得:x= 1或x= -3那么,此时p点坐标(1,-5),(-3,-5)------------------⑧由⑦⑧得,使△ABP的面积为15,p点坐标是:(-1+ 14,5),(-1- 14,5),(1,-5),(-3,-5)2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x²+mx+n经过点A(5,0),B(2,-6).(1)求抛物线的表达式及对称轴(2)设点B关于原点的对称点为C,写出过A、C两点直线的表达式。

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

【编著】 黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x ²+bx+c 过点A (2,0),C (0, -8)(1)求此二次函数的解析式,(2)在抛物线上存在一点p 使△ABP 的面积为15,请直接写出p 点的坐标。

2、在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y=2x ²+mx+n 经过点A (5,0),B (2,-6).(1)求抛物线的表达式及对称轴(2)设点B 关于原点的对称点为C ,写出过A 、C 两点直线的表达式。

初中数学抛物线 经典试题集锦3、在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点C为(2,4),并在x轴上截得的长度为6。

(1)写出抛物线与x轴交点A、B的坐标(2)求该抛物线的表达式(3)写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,若以A为顶点,,且开口向下作抛物线,交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C,(1)若△ABC的面积为20,求此时抛物线的解析式(2)若△BDO的面积为8,求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A(2,0),C(0, -8)(1)求此二次函数的解析式,(2)在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15,请直接写出p点的坐标。

解:【第一问】因为函数y=x ²+bx+c 过点A (2,0),C (0, -8)分别将x=2,y=0代入y=x ²+bx+c , 得 0=4+2b+c-----①将x=0,y=-8代入y=x ²+bx+c ,得-8=c-------------②将②代入①,解得:b=2--------------------------------------③此时,将② ③代入y=x ²+bx+c ,所以:二次函数的解析式 y=x ²+ 2x -8【第二问】△ABP 的面积= 12│AB │*│y p │----------------------④ 因为A 、B 两点在x 轴上,令x ²+ 2x -8=0(x-2)(x+4)=0解得:x 1=2,x 2= -4所以:│AB │=│X 1- X 2│=│2-(- 4)│=6------⑤又△ABP 的面积=--------------------------⑥由 ④ ⑤ ⑥,得 : 12*6*│y p │=15│y p│=5故有:y p= ±5即:p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入 y=x²+ 2x -8,即:5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得:x= -1± 14那么,此时p点坐标(-1+ 14,5),(-1- 14,5)-------⑦把y=-5代入 y=x²+ 2x -8,即:-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0(x-1)(x+3)=0解得:x= 1或x= -3那么,此时p点坐标(1,-5),(-3,-5)------------------⑧由⑦⑧得,使△ABP的面积为15,p点坐标是:(-1+ 14,5),(-1- 14,5),(1,-5),(-3,-5)2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x²+mx+n经过点A(5,0),B(2,-6).(1)求抛物线的表达式及对称轴(2)设点B关于原点的对称点为C,写出过A、C两点直线的表达式。

抛物线的标准方程的练习题及答案

抛物线的标准方程的练习题及答案

抛物线的标准方程1、定长为3的线段AB 的端点B A 、在抛物线x y =2上移动,求AB 中点到y 轴距离的最小值,并求出此时AB 中点的坐标。

2、抛物线y x 42=上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为 。

3、已知抛物线x y 22=的焦点是F ,点P 是抛物线上的动点,又有点()2,3A ,求PF PA + 的最小值,并求出取最小值时P 点的坐标。

4、平面上动点P 到定点()0,1F 的距离比点P 到y 轴的距离大1,求动点P 的轨迹方程。

5、求满足下列条件的抛物线的标准方程 (1)、过点()2,3-;(2)、焦点在直线042=--y x 上;(3)、过抛物线mx y 22=的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于B A 、两点,且6=AB6、直线l 过点()1,0且与抛物线x y 22=只有一个公共点,求直线l 的方程;7、已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点()3,-m M 到焦点的距离为5,求m 的值,抛物线方程和准线方程。

8、已知顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线被直线012=--y x 截得的弦长为15,求此抛物线方程。

9、设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是 。

10、已知抛物线x y 62=的弦AB 经过点()2,4P ,且OB OA ⊥(O 为坐标原点),求弦AB 的长。

11、一辆卡车高m 3,宽m 6.1,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为acm ,求使卡车通过的a 的最小整数值。

12、如图,有一张长为8、宽为4的矩形纸片ABCD ,按如图 方式折叠,使每次折叠后点B 落在AD 边上,此时将B 记为B '(注:图中EF 为折痕,点F 也可落在边CD 上),过点B '作CD T B //'交EF 于点T ,试求点T 的轨迹方程。

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中抛物线经典练习题(含详细答案)初中数学抛物线经典试题集锦,编著者为黄勇权。

以下为题目和解答。

第一组题型】1、已知二次函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$,$C(0,-8)$1)求此二次函数的解析式;2)在抛物线上存在一点$p$使$\triangle ABP$的面积为15,请直接写出$p$点的坐标。

解:第一问】因为函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$,$C(0,-8)$,分别将$x=2$,$y=0$代入$y=x^2+bx+c$,得$0=4+2b+c$-----①。

将$x=0$,$y=-8$代入$y=x^2+bx+c$,得$-8=c$-------------②。

将②代入①,解得:$b=2$--------------------------------------③。

此时,将②③代入$y=x^2+bx+c$,所以二次函数的解析式为$y=x^2+2x-8$。

第二问】因为$A$、$B$两点在$x$轴上,令$x^2+2x-8=0$,解得:$x_1=2$,$x_2=-4$。

所以$|AB|=|x_1-x_2|=|2-(-4)|=6$。

又$\triangle ABP$的面积为15,所以$|y_p|\cdot 6=30$,即$|y_p|=5$。

故$p$点的纵坐标为5或-5,即$p(2,5)$或$p(2,-5)$。

2、在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$,$B(2,-6)$。

1)求抛物线的表达式及对称轴;2)设点$B$关于原点的对称点为$C$,写出过$A$、$C$两点直线的表达式。

解:第一问】因为抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$,$B(2,-6)$,分别将$x=5$,$y=B$代入$y=2x^2+mx+n$,得$B=50+5m+n$-----①。

将$x=2$,$y=-6$代入$y=2x^2+mx+n$,得$-6=8+2m+n$-------------②。

(完整版)《抛物线》典型例题12例(含标准答案解析)

(完整版)《抛物线》典型例题12例(含标准答案解析)

《抛物线》典型例题12 例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程.22(1)x24 y (2)x ay2(a 0)分析:(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出p,再写出焦点坐标和准线方程.(2)先把方程化为标准方程形式,再对 a 进行讨论,确定是哪一种后,求p 及焦点坐标与准线方程.解:(1)p 2 ,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是:y 12 1 1(2)原抛物线方程为:y2 1 x, 2 p 1 a a①当 a 0时,p 1,抛物线开口向右,2 4a11∴焦点坐标是(1 ,0),准线方程是:x 1.4a 4a②当a 0 时,p 1,抛物线开口向左,2 4a11∴焦点坐标是( ,0),准线方程是:x .4a 4a2 1 1 综合上述,当a 0时,抛物线x ay2的焦点坐标为(1 ,0),准线方程是:x14a 4a 典型例题二例 2 若直线y kx 2与抛物线y28x交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,求此直线方程.分析:由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关,故也可利用“作差法”求 k .故所求直线方程为: y 2x 2 .则所求直线方程为: y 2x 2 .典型例题三例 3 求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切. 分析:可设抛物线方程为 y 2 2px(p 0).如图所示,只须证明 A 2B MM 1 ,解法一:设 A(x 1, y 1) 、 B(x 2, y 2 ) ,则由:y kx 22y 28x可得:k 2x 2 (4k 8)x 4 0.∵直线与抛物线相交, k 0 且 0, 则k1.∵AB 中点横坐标为: x 1 x 2 4k 82 k 22,解得: k 2 或 k 1舍去).解法二: 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) ,则有 y 1 28x 12y28x 2 .两式作差解: ( y 1 y 2)(y 1 y 2) 8(x 1 x 2) ,即y 1 y 2 x 1x28 y 1 y 2x 1 x 2 4 y 1y 2 kx 1 2 kx 2 2 k( x 1 x 2) 4 4k 4 ,k 4k 8 4 故 k2或 k 1 (舍去).1MM 1AB ,故以 AB 为直径的圆,必与抛物线的准线相切.12说明:类似有: 以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离, 以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4(1)设抛物线 y 2 4x 被直线 y 2x k 截得的弦长为 3 5,求 k 值.为 9 时,求 P 点坐标.求 P 点坐标.k 2x 1 x 2 1 k, x 1 x 242 解:( 1)由 yy4x 2x 得: 4x 2 k2(4k 4)x k 2 0AB (1 22)( x 1 x 2)2 5( x 1 x 2)2 4x 1x 2 5 (1 k)2 k 2 5(1 2k)AB 3 5, 5(1 2k) 3 5 ,即 k 4 2)S 9 ,底边长为 3 5 ,∴三角形高 h 2 9 6 535 ∵点 P 在x 轴上,∴设 P 点坐标是 (x 0,0) 则点 P 到直线 y 2x 4的距离就等于 h ,即 0 2 2 22 12655x1或 x 0 5,即所求 P 点坐标是(- 1,0)或( 5,0).典型例题五MM 111 12( AA 1 BB 1) 12(AF2)以(1)中的弦为底边,以x 轴上的点 P 为顶点作三角形,当三角形的面积 分析:(1)题可利用弦长公式求 k ,(2)题可利用面积求高,再用点到直线距离设直线与抛物线交于 A (x 1,y 1)与B (x 2,y 2) 两点.则有:BF )范文 范例 指导 参考例5 已知定直线 l 及定点 A (A 不在 l 上),n 为过A 且垂直于 l 的直线,设 N 为 l 上任一点, AN 的垂直平分线交 n 于 B ,点 B 关于 AN 的对称点为 P ,求证 P 的轨迹为抛物线.分析:要证 P 的轨迹为抛物线, 有两个途径, 一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的 定义,二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程, 可先用第一种方法,由 A 为定点, l 为定直线,为我们提供了利用定义的信息,若能证明 PA PN 且 PN l 即可. 证明: 如图所示,连结 PA 、PN 、NB .由已知条件可知: PB 垂直平分 NA ,且 B 关于 AN 的对称点为 P . ∴ AN 也垂直平分 PB .则四边形 PABN 为菱形.即有 PA PN .AB l. PN l.则 P 点符合抛物线上点的条件:到定点 A 的距离与到定直线的距离相等,所以 P 点的轨迹为抛物线.典型例题六例6 若线段 P 1P 2为抛物线 C:y 2 2px(p 0)的一条 分析: 此题证的是距离问题,如果把它们用两点间 的距离表示出来,其计算量是很大的.我们可以用 抛物线的定义,巧妙运用韦达定理,也可以用抛物线的定义与平面几何知识,把结论证明出来.证法一:F(2p ,0),若过 F 的直线即线段 P 1P 2所在直线斜率不存在时,则有 P 1F P 2F p,111 1 2P 1F P 2F p p p焦点弦, F 为 C 的焦点,求证:1 12 P 1F P 2F p若线段P1P2 所在直线斜率存在时,设为k,则此直线为:y k(x 2p)(k 0) ,且设P1(x1,y1),P2(x2,y2) .k(x p )2得:k(x p )2 k2x2p(k22)xk2p24x 1 x22p(k 22)k2x 1 x 2根据抛物线定义有:P1 F x1 2p,P2F x12p , P1P2 x1 x2 p则 1 1 P1F P2F P1F P2 F P1F P2Fx1x2(x1 2p)(x2 2 )x2 p2p4x1x1x2 2p (x1 x2)1请将①②代入并化简得:112P1F P2F p证法二:如图所示,设P1、P2 、F点在C的准线l 上的射影分别是P1 、P2 、F ,且不妨设P2P2 n m P1P1 ,又设P2 点在FF P1P1 上的射影分别是A、B点,由抛物线定义知,P2 F n, P1F m, FF p又P2 AF ∽P2 BP1 ,AF P2 F BP1 P2P1p(m n ) 2mn 112 m n p即 AB 2psin 2故原命题成立.典型例题七例 7 设抛物线方程为 y 2 2px(p 0) ,过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为 焦点弦长为 AB 2 2p .sin分析: 此题做法跟上题类似,也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题. 证法一: 抛物线 y 2 2px( p 0)的焦点为 (2p ,0), 过焦点的弦 AB 所在的直线方程为: y tan ( x 2p ) 由方程组 y tan (x 2p)消去 y 得: y 2 2 px2 2 2 2 24 x 2 tan 2 4 p(tan 2 ) p 2 tan 2,求证:x 1 x2设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2) ,则x1x2p(tan 22)tan 22p4p(1 2cot 2 )又 y 1 y 2 tan ( x 1 x 2 )AB (1 tan 2 )( x 1 x 2)2 (1 tan 2 ) (x 1 x 2) 2 4x 1x 2 (1 tan 2 ) p 2 (1 cot 2 ) 4 p4sec 2 4p 2 cot 2 (1 cot 2 )2p 2 sin1 4 sin证法二: 如图所示,分别作 AA 1、 BB 1垂直于准线 l .由抛物线定义有:AFAA 1 AF cos p BFBB 1pBF cos典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 P (3,2 3) ,它的一个焦点为 F (1,0),对应于该 焦点的准线为 x 1,过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB ,若弦 AB 的长度不超过 8, 且直线 AB 与椭圆 3x 2 2y 2 2 相交于不同的两点,求 ( 1) AB 的倾斜角 的取值范围.(2)设直线 AB 与椭圆相交于 C 、 D 两点,求 CD 中点 M 的轨迹方程. 分析:由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线, AB 为抛物线的焦点弦,设其 斜率为 k ,弦 AB 与椭圆相交于不同的两点, 可求出 k 的取值范围, 从而可得 的 取值范围,求 CD 中点 M 的轨迹方程时,可设出 M 的坐标,利用韦达定理化简即 可.于是可得出:AFp1 cosBFp1 cosABAF BFpp1 cos1 cos2p21 cos2p2sin故原命题成立.解:(1)由已知得PF 4 .故P到x 1 的距离 d 4 ,从而PF d ∴曲线C是抛物线,其方程为y24x .设直线AB的斜率为k,若k 不存在,则直线AB与3x2∴k 存在.设AB的方程为y k ( x 1)4 x 2可得:ky24 y 4k 0 k( x 1)2 y22 无交点.2 由y2y设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2, y2),则:y1y2y1y2 4AB12 (1 k2 )(y1y2)2 1k k2 (y1 y2)2 k4(1 k2 )4y1 y2 k2∵弦AB的长度不超过8,24(1 k 2)k28即k2由y2k(x21)得:(2k23x22 y223)x24k 2x 2(k21)∵AB与椭圆相交于不同的两点,k2由k21和k2 3可得: 1 k故1 tan 3 或 3 tan又0 ,∴所求的取值范围是:3或232) 设CD中点M ( x, y) 、C( x3, y3 )、D(x4,y4)由y2k(x21)得:(2k23)x24k2x3x22 y222(k 21) 0典型例题九例 9 定长为 3的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y 2 x 上移动,求 AB 的中点到 y 轴的距离的最小值,并求出此时 AB 中点的坐标.分析: 线段 AB 中点到 y 轴距离的最小值,就是其横坐标的最小值.这是中点坐 标问题,因此只要研究 A 、 B 两点的横坐标之和取什么最小值即可.解:如图,设 F 是y 2 x 的焦点, A 、 B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD , 又M 到准线的垂线为 MN , C 、 D 和N 是垂足,则x34k 22, x 3 x 12k 232 x3 x 42k 2 2k 2 3 1 232k 2 3 k 2 322k 23 9x42(k 2 1) 2k 2 3则2 51 2k 21 2223即25yx12k 2 2k 2322 y 2 2 (x 1)2 22 y 22 ( x 1) 2化简得: 3x 2 2 y 2 3x∴所求轨迹方程为: 3x 22y 23x 0( 2 x 2) 531 3 1 设M 点的横坐标为 x ,纵坐标为 y , MN x ,则 x 42 4等式成立的条件是 AB 过点 F .2 2 21(y 1 y 2) y 1 y 2 2y 1y 2 2x 2 2,y 1 y 2 2 , y5 2 5 所以 M(54, 22) ,此时 M 到y 轴的距离的最小值为 45 .说明:本题从分析图形性质出发, 把三角形的性质应用到解析几何中, 解法较简.典型例题十例 10 过抛物线 y 2 px 的焦点 F 作倾斜角为 的直线,交抛物线于 A 、B 两点, 求 AB 的最小值.分析:本题可分 2 和 2两种情况讨论.当 2 时,先写出 AB 的表达式, 再求范围.解:(1) 若 2 ,此时 AB 2p .11 12( AC BD) 21( AFBF)12AB当x 45时, y 1y 2 P 214,故MN1AB :y tan (x 2p ),即 x ta y n说明:(2) 若 2 ,因有两交点,所以 0.代入抛物线方程,有 ta 2 3n p y tan p 2 0 .故 ( y 2 y 1 ) 2 4 p 2tan 2 4p 2 4p 2 csc( x 2 x 1) 2 ( y 2 y 1)2tan 2 22 csc4 p 2 2tan 故 AB 22 4 p csc (1 12 ) 4p 2 csc 4 tan 2所以 AB 2p 2 sin 2p .因 2 ,所以这里不能取“=” 综合(1)(2) ,当 2 时, AB 最小值 2p .(1) 此题须对 分 2 和 2两种情况进行讨论;的大小以及判定直线与圆是否相切.解:①点 A 在抛物线上,由抛物线定义,则 AA ' AF 1 2, 又 AA ' // x 轴 1 3 . ∴ 2 3,同理 4 6 , 而 2 3 6 4 180 ,∴ 3 6 90 ,∴ A 'FB ' 90 .选 C .②过AB 中点 M 作MM ' l ,垂中为 M ',∴以 AB 为直径的圆与直线 l 相切,切点为 M ' .又 F ' 在圆的外部,∴ AF 'B 90 . 特别地,当 AB x 轴时, M '与 F '重合, AF 'B 90 .即 AF 'B 90 ,选 B .典型例题十二例 12 已知点 M(3,2), F 为抛物线 y 2 2x 的焦点,点 P 在该抛物线上移动, 当 PM PF 取最小值时,点 P 的坐标为 __________ .分析: 本题若建立目标函数来求 PM PF 的最小值是困难的,若巧妙地利用抛则 MM1(AA ' BB ' ) 2 1 12( AF BF ) 1 AB 2物线定义,结合图形则问题不难解决.1 由定义知PF PE ,故PM PF PF PM ME MN 3 .取等号时,M 、P、E三点共线,∴ P点纵坐标为2,代入方程,求出其横坐标为2,所以P点坐标为(2, 2) .。

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《抛物线》典型例题12例典型例题一例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1)y x 42= (2))0(2≠=a ay x分析:(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出p ,再写出焦点坐标和准线方程.(2)先把方程化为标准方程形式,再对a 进行讨论,确定是哪一种后,求p 及焦点坐标与准线方程.解:(1)2=p Θ,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是:1-=y (2)原抛物线方程为:x ay 12=,a p 12=∴①当0>a 时,a p 412=,抛物线开口向右, ∴焦点坐标是)0,41(a ,准线方程是:a x 41-=.②当0<a 时,a p 412-=,抛物线开口向左,∴焦点坐标是)0,41(a ,准线方程是:a x 41-=.综合上述,当0≠a 时,抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a,准线方程是:ax 41-=. 典型例题二例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点,且AB 中点的横坐标为2,求此直线方程.分析:由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关,故也可利用“作差法”求k .解法一:设),(11y x A 、),(22y x B ,则由:⎩⎨⎧=-=x y kx y 822可得:04)84(22=++-x k x k .∵直线与抛物线相交,0≠∴k 且0>∆,则1->k .∵AB 中点横坐标为:2842221=+=+∴k k x x , 解得:2=k 或1-=k (舍去). 故所求直线方程为:22-=x y .解法二:设),(11y x A 、),(22y x B ,则有22212188x y x y ==.两式作差解:)(8))((212121x x y y y y -=+-,即2121218y y x x y y +=--. 421=+x x Θ444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ,448-=∴k k 故2=k 或1-=k (舍去). 则所求直线方程为:22-=x y .典型例题三例3 求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切. 分析:可设抛物线方程为)0(22>=p px y .如图所示,只须证明12MM AB =,则以AB 为直径的圆,必与抛物线准线相切. 证明:作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B .M 为AB 中点,作l MM ⊥1于1M ,则由抛物线的定义可知:BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中:AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21111=+=+=AB MM 211=∴,故以AB 为直径的圆,必与抛物线的准线相切.说明:类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4(1)设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53,求k 值. (2)以(1)中的弦为底边,以x 轴上的点P 为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P 点坐标.分析:(1)题可利用弦长公式求k ,(2)题可利用面积求高,再用点到直线距离求P 点坐标.解:(1)由⎩⎨⎧+==kx y x y 242得:0)44(422=+-+k x k x设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点.则有:4,122121k x x k x x =⋅-=+[][])21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴53)21(5,53=-∴=∴k AB ,即4-=k (2)9=∆S Θ,底边长为53,∴三角形高5565392=⨯=h ∵点P 在x 轴上,∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ,即55612402220=+--x 10-=∴x 或50=x ,即所求P 点坐标是(-1,0)或(5,0).典型例题五例5 已知定直线l 及定点A (A 不在l 上),n 为过A 且垂直于l 的直线,设N 为l 上任一点,AN 的垂直平分线交n 于B ,点B 关于AN 的对称点为P ,求证P 的轨迹为抛物线.分析:要证P 的轨迹为抛物线,有两个途径,一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义,二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程,可先用第一种方法,由A 为定点,l 为定直线,为我们提供了利用定义的信息,若能证明PN PA =且l PN ⊥即可.证明:如图所示,连结P A 、PN 、NB .由已知条件可知:PB 垂直平分NA ,且B 关于AN 的对称点为P . ∴AN 也垂直平分PB .则四边形P ABN 为菱形.即有PN PA =...l PN l AB ⊥∴⊥Θ则P 点符合抛物线上点的条件:到定点A 的距离与到定直线的距离相等,所以P 点的轨迹为抛物线.典型例题六例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦,F 为C 的焦点,求证:p F P FP 21121=+. 分析:此题证的是距离问题,如果把它们用两点间的距离表示出来,其计算量是很大的.我们可以用抛物线的定义,巧妙运用韦达定理,也可以用抛物线的定义与平面几何知识,把结论证明出来.证法一:)0,2(pF Θ,若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时, 则有p F P F P ==21,p p p F P FP 2111121=+=+∴. 若线段21P P 所在直线斜率存在时,设为k ,则此直线为:)0)(2(≠-=k px k y ,且设),(),,(222111y x P y x P .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2()2(p x k y px k y 得:04)2(22222=++-p k x k p x k 2221)2(kk p x x +=+∴ ① 4221p x x =⋅ ②根据抛物线定义有:p x x P P px F P p x F P ++=∴+=+=21211211,2,2 则F P F P F P F P F P F P 21212111⋅+=+4)(2)2)(2(22121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++=请将①②代入并化简得:p F P FP 21121=+ 证法二:如图所示,设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'2P 、F ',且不妨设1122P P m n P P '=<=',又设2P 点在F F '、11P P'上的射影分别是A 、B 点,由抛物线定义知,p F F m F P n F P ='==,,12 又AF P 2∆∽12BP P ∆,1221P P F P BP AF =∴即nm nn m n p +=-- pn m mnn m p 2112)(=+∴=+∴ 故原命题成立.典型例题七例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ,过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α,求证:焦点弦长为α2sin 2pAB =. 分析:此题做法跟上题类似,也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一:抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2(p,过焦点的弦AB 所在的直线方程为:)2(tan px y -=α由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得:0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x设),(),,(2211y x B y x A ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα 又)(tan 2121x x y y -=α[]ααααααααα242222222222122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(pp p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴即α2sin 2pAB =证法二:如图所示,分别作1AA 、1BB 垂直于准线l .由抛物线定义有:ααcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF于是可得出:αcos 1-=p AF αcos 1+=pBFαααα22sin 2cos 12cos 1cos 1p pp p BFAF AB =-=++-=+=∴ 故原命题成立.典型例题八例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ,它的一个焦点为F (1,0),对应于该焦点的准线为1-=x ,过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ,若弦AB 的长度不超过8,且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点,求 (1)AB 的倾斜角θ的取值范围.(2)设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点,求CD 中点M 的轨迹方程. 分析:由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线,AB 为抛物线的焦点弦,设其斜率为k ,弦AB 与椭圆相交于不同的两点,可求出k 的取值范围,从而可得θ的取值范围,求CD 中点M 的轨迹方程时,可设出M 的坐标,利用韦达定理化简即可.解:(1)由已知得4=PF .故P 到1-=x 的距离4=d ,从而d PF = ∴曲线C 是抛物线,其方程为x y 42=.设直线AB 的斜率为k ,若k 不存在,则直线AB 与22322=+y x 无交点. ∴k 存在.设AB 的方程为)1(-=x k y由⎩⎨⎧-==)1(42x k y x y 可得:0442=--k y ky 设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则:442121-=⋅=+y y ky y222122122212)1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y k AB +=-++=-+=∴∵弦AB 的长度不超过8,8)1(422≤+∴kk 即12≥k 由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得:0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k ∵AB 与椭圆相交于不同的两点,32<∴k 由12≥k 和32<k 可得:31<≤k 或13-≤<-k 故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ 又πθ<≤0,∴所求θ的取值范围是:34πθπ<≤或4332πθπ≤< (2)设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得:0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k 9325313231322232)1(2,324222224322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-=⋅+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x ΘΘ则323211522<+-≤k 即3252<≤x . 3)1(2)1(23221222222+-⋅-⋅=+=∴-=x y x y k k x x y k Θ化简得:032322=-+x y x∴所求轨迹方程为:)3252(032322<≤=-+x x y x典型例题九例9 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动,求AB 的中点到y 轴的距离的最小值,并求出此时AB 中点的坐标.分析:线段AB 中点到y 轴距离的最小值,就是其横坐标的最小值.这是中点坐标问题,因此只要研究A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可.解:如图,设F 是x y =2的焦点,A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ,又M 到准线的垂线为MN ,C 、D 和N 是垂足,则2321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN .设M 点的横坐标为x ,纵坐标为y ,41+=x MN ,则454123=-≥x .等式成立的条件是AB 过点F . 当45=x 时,41221-=-=P y y ,故 22122)(212221221=-=++=+x y y y y y y ,221±=+y y ,22±=y . 所以)22,45(±M ,此时M 到y 轴的距离的最小值为45. 说明:本题从分析图形性质出发,把三角形的性质应用到解析几何中,解法较简.典型例题十例10 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线,交抛物线于A 、B 两点,求AB 的最小值. 分析:本题可分2πθ=和2πθ≠两种情况讨论.当2πθ≠时,先写出AB 的表达式,再求范围. 解:(1)若2πθ=,此时p AB 2=.(2)若2πθ≠,因有两交点,所以0≠θ.)2(tan p x y AB -=θ:,即2tan py x +=θ.代入抛物线方程,有0tan 222=--p y py θ. 故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-, θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-. 故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=.所以p p AB 2sin 22>=θ.因2πθ≠,所以这里不能取“=”. 综合(1)(2),当2πθ=时,p AB 2=最小值.说明:(1)此题须对θ分2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论;(2)从解题过程可知,抛物线点弦长公式为θ2sin 2pl =; (3)当2πθ=时,AB 叫做抛物线的通径.通径是最短的焦点弦.典型例题十一例11 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ,l 为准线,过A 、B 作l 的垂线,垂足分别为'A 、'B ,则①''FB A ∠为( ),②B AF '∠为( ). A .大于等于︒90 B .小于等于︒90 C .等于︒90 D 不确定 分析:本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识,关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切.解:①点A 在抛物线上,由抛物线定义,则21'∠=∠⇒=AF AA , 又x AA //'轴31∠=∠⇒. ∴32∠=∠,同理64∠=∠,而︒=∠+∠+∠+∠1804632,∴︒=∠+∠9063, ∴︒=∠90''FB A .选C .②过AB 中点M 作l MM ⊥',垂中为'M ,《抛物线》典型例题11则AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21'''=+=+=.∴以AB 为直径的圆与直线l 相切,切点为'M .又'F 在圆的外部,∴︒<∠90'B AF .特别地,当x AB ⊥轴时,'M 与'F 重合,︒=∠90'B AF .即︒≤∠90'B AF ,选B .典型例题十二例12 已知点)2,3(M ,F 为抛物线x y 22=的焦点,点P 在该抛物线上移动,当PF PM +取最小值时,点P 的坐标为__________.分析:本题若建立目标函数来求PF PM +的最小值是困难的,若巧妙地利用抛物线定义,结合图形则问题不难解决.解:如图,由定义知PE PF =,故213=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM .取等号时,M 、P 、E 三点共线,∴P 点纵坐标为2,代入方程,求出其横坐标为2,所以P 点坐标为)2,2(.。

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