届高考理科数学第一轮复习辅导讲义

选修4经典回顾

主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师

开篇语

选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力

开心自测

题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________．

题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23

a PD =

，30OAP ∠=︒，则CP ＝_________．

考点梳理

选修4—1几何证明选讲部分：

1．垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2．圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3．圆内接四边形的性质定理：

圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角．

4．圆内接四边形的判定定理：

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

5．切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．

6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．

7．相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

8．切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

选修4—4中的坐标系与参数方程部分：

1. 极坐标与直角坐标的关系

设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ，

则

cos,

sin.

x

y

ρθ

ρθ

=

⎧

⎨

=

⎩

或

222,

tan(0).

x y

y

x

x

ρ

θ

⎧=+

⎪

⎨

=≠

⎪⎩

2．过极点的直线的极坐标方程：

0θθ=（0θ为直线与极轴所成的角，允许ρ取负值）；

或0θθπ=+（0θ为直线与极轴所成的角）．

3. 圆的极坐标方程

（1）圆心在极点的圆的方程：r ρ=（r 为圆的半径）．

（2）圆心在极轴上，半径为a 且过极点的圆的方程：2cos a ρθ=．

（3）圆心在(a ，)2π

，且过极点的圆的方程：2sin a ρθ=． 4．直线的参数方程

直线过定点000(,)M x y ，倾斜角为α，直线的参数方程为00cos ,sin .x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩

（t 为参数，其几何意义是：设直线上点(M x ，)y ，满足0M M t =u u u u u u r ）．

5．圆的参数方程

（1）圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩

（θ为参数）；

(2) 圆心在(a ，)b ，半径为r 的圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨

=+⎩

（θ为参数）．

6．圆锥曲线的参数方程 椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. 选修4—5中的不等式选讲部分：

1．绝对值不等式的解法：

|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-；

2．证明不等式的常用方法：

比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．

新题赏析

题一：如图已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且

::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则CE 的长为_________．

题二：在极坐标系中，曲线2sin ρθ=（02θπ≤＜）与cos 1ρθ=-（02θπ≤＜）的交点的极坐标为______________．

题三：已知函数()||f x x a =-．

（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．

名师寄语

要点小结与建议：以上我们对选修系列4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题的主要内容作了相应的梳理，在此基础上，列举了几个典型的问题，进行了分析和求解．高考中涉及这三个专题内容的试题大多是中等题，个别的有一定的难度．因此，建议同学们深刻理解相关概念，精选较为典型的问题进行求解训练，在解题过程中，落实这三个专题的核心

知识，训练解决问题的基本技能，逐步培养和提高推理论证能力和运算求解能力．

开心自测 题一：{11}x x -≤≤ 题二：98

a 金题精讲

题一：2CE =

题二：3)4

π 题三：（Ⅰ）2a

=．（Ⅱ）m 的取值范围是(,5]-∞