2015年高考新课标全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ）

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）【2015年新课标全国Ⅰ，理1】设复数z 满足1i 1z

z

+=-，则（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】A

【解析】由1i 1z z +=-得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z -+--+=

==++-，故1z =，故选A ． （2）【2015年新课标全国Ⅰ，理2】sin20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ）

（A ）32- （B ）32 （C ）12- （D ）12

-

【答案】D

【解析】原式1

sin 20cos10cos20sin10sin302

=︒︒+︒︒=︒=，故选D ．

（3）【2015年新课标全国Ⅰ，理3】设命题P ：n N ∀∈，22n n >，则P ⌝为（ ）

（A ）n N ∀∈，22n n > （B ）n N ∃∈，22n n ≤ （C ）n N ∀∈，22n n ≤ （D ）n N ∃∈，22n n = 【答案】C

【解析】P ⌝：n N ∀∈，22n n ≤，故选C ． （4）【2015年新课标全国Ⅰ，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投

篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A

【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.60.648C ⨯+=，故选A ．

（5）【2015年新课标全国Ⅰ，理5】已知()00,M x y 是双曲线C ：2

212

x y -=上的一点，1F 、2F 是C 上的两个焦

点，若120MF MF ＜，则0y 的取值范围是（ ） （A ）33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）33,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）2222,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）2323,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

【答案】A

【解析】由题知()13,0F -，()23,0F 且2

20012x y -=，所以()()

1200003,3,MF MF x y x y •=---•-- 222

0003310x y y =+-=-<，解得03333

y -<<

，故选A ． （6）【2015年新课标全国Ⅰ，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书

中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，得163r =．所以米堆的体积为2

1116320354339⎛⎫

⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭

，故堆

放的米约为

320

1.62229

÷≈，故选B ． （7）【2015年新课标全国Ⅰ，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）

（A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1433AD AB AC =-

（C ）4133AD AB AC =+ （D ）41

33AD AB AC =-

【答案】A

【解析】由题知()

1114

3333

AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+，故选A ．

（8）【2015年新课标全国Ⅰ，理8】函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像

如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）

（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13

(2,2),44k k k Z ππ-+∈

（C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13

(2,2),44

k k k Z -+∈

【答案】D

【解析】由五点作图知1

425342

πωϕπ

ωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，取得ωπ=，所以()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，

令22,4

k x k k Z π

ππππ<+

<+∈，解得1

322,44

k x k k Z -<<+∈，故单调减区

间为132,24

4k k ⎛⎫-+ ⎪⎝

⎭

，k Z ∈，故选D ．

（9）【2015年新课标全国Ⅰ，理9】执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，

则输出的n =（ ）

（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】C

【解析】执行第1次，0.01,1,0,0.5,0.5,t S n m S S m =====-=

20.25,1,m m n ===0.50.01S t =>=，是，循环；

执行第2次，0.25,20.125,2,S S m m m n =-==== 0.250.01S t =>=，是，循环；

执行第3次，0.125,20.0625,3,S S m m m n =-==== 0.1250.01S t =>=，是，循环；

执行第4次，0.0625,20.03125,4,S S m m m n =-====0.06250.01S t =>=，是，循环； 执行第5次，0.03125,20.015625,5,S S m m m n =-====0.031250.01S t =>=，是，循环； 执行第6次，0.015625,20.0078125,6,S S m m m n =-====0.0156250.01S t =>=，是，循环；

执行第7次，0.0078125,20.00390625,7,S S m m m n =-====0.00781250.01S t =>=，否，输出7n =，

故选C ．

（10）【2015年新课标全国Ⅰ，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ） （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C

【解析】在()5

2x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因

式取y ，故52x y 的系数为212

53

230C C C =，故选C ． （11）【2015年新课标全国Ⅰ，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组

成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 1620π+，则r =（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B