用对偶单纯形法求解线性规划问题教学文案
对偶单纯形法的原理和应用
对偶单纯形法的原理和应用一、原理介绍对偶单纯形法是线性规划的一种求解方法，通过对原问题的对偶问题进行迭代求解，来达到求解原问题的目的。
下面详细介绍对偶单纯形法的原理。
1. 线性规划问题的对偶性在线性规划问题中，我们常常需要求解最小化或最大化线性目标函数的问题，同时满足一系列线性约束条件。
对于这样的问题，可以通过定义对偶问题来求解。
2. 对偶问题的定义对于原问题的最小化形式，可以定义对偶问题的最大化形式。
对于原问题的最大化形式，可以定义对偶问题的最小化形式。
对偶问题和原问题之间具有很强的对称性。
3. 对偶单纯形法的基本思想对偶单纯形法的基本思想是通过迭代求解对偶问题来达到求解原问题的目的。
在每一次迭代中，首先确定最优解是否已经找到，如果找到最优解，则结束算法；否则，确定要改进的变量，通过计算改变最变量之前对应的对偶变量的值，然后再进行下一次迭代。
二、应用场景对偶单纯形法在实际应用中有着广泛的应用场景。
下面列举几个典型的应用场景。
1. 生产计划问题在生产计划问题中，常常需要确定各个生产线的产量，以最小化总成本或最大化总利润。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定生产线的产量。
2. 项目调度问题在项目调度问题中，需要确定各个项目的开始时间和结束时间，以最小化总工期或最大化资源利用率。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定项目的调度方案。
3. 运输问题在运输问题中，需要确定各个供应商到各个销售点的运输量，以最小化总运输成本。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定每个供应商和销售点的运输量。
4. 资源分配问题在资源分配问题中，需要确定各个资源的分配比例，以最大化总效益或最小化总成本。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定资源的分配比例。
(完整版)对偶单纯形法详解
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
用对偶单纯形法求解线性规划问题
用对偶单纯形法求解线性规划问题对偶单纯形法是一种常用于求解线性规划问题的方法。
它通过对原始线性规划问题进行对偶化，将原问题转化为对偶问题，并通过迭代的方式逐步优化，最终得到最优解。
本文将详细介绍对偶单纯形法的基本原理和步骤，并通过一个实例来演示其具体应用。
对偶单纯形法的基本原理是基于线性规划的对偶性理论。
根据对偶性理论，对于原始线性规划问题的最优解，一定存在一个对偶问题，其最优解与原问题的最优解相等。
因此，我们可以通过求解对偶问题来得到原问题的最优解。
对偶问题的形式如下：最大化 W = b'y约束条件为：A'y ≤ c其中，A是原始线性规划问题的约束矩阵，b是原始问题的目标函数系数矩阵，c是原始问题的约束条件矩阵，y是对偶问题的变量向量。
对偶单纯形法的步骤如下：步骤1: 初始化将原始线性规划问题转化为标准型，并初始化基变量和非基变量的初始解。
步骤2: 计算对偶变量值根据对偶问题的约束条件，计算对偶变量的初始值。
步骤3: 计算对偶目标函数值根据对偶问题的目标函数，计算初始的对偶目标函数值。
步骤4: 检验最优性判断当前解是否为最优解。
如果是，则终止算法；否则，进入下一步。
步骤5: 选择入基变量和出基变量根据当前解，选择一个入基变量和一个出基变量。
步骤6: 更新解通过列生成法或其他方法，更新当前解。
步骤7: 更新对偶变量和对偶目标函数值根据更新后的解，更新对偶变量和对偶目标函数值。
步骤8: 转至Step 4重复步骤4至步骤7，直到找到最优解。
下面以一个具体的线性规划问题为例来演示对偶单纯形法的应用。
假设有以下线性规划问题：最大化 Z = 3x1 + 5x2约束条件为：2x1 + x2 ≤ 10x1 + 3x2 ≤ 15x1, x2 ≥ 0首先，将原始问题转化为标准型：最大化 Z = 3x1 + 5x2约束条件为：2x1 + x2 + s1 = 10x1 + 3x2 + s2 = 15x1, x2, s1, s2 ≥ 0初始化基变量和非基变量的初始解为：x1 = 0, x2 = 0, s1 = 10, s2 = 15根据对偶问题的约束条件，计算对偶变量的初始值：y1 = 0, y2 = 0根据对偶问题的目标函数，计算初始的对偶目标函数值：W = 0检验最优性，发现当前解不是最优解，需要进入下一步。
应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
管理运筹学--单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题讲课讲稿
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
表 对偶变换的规则
好难记呀！
原问题(max,)
对偶问题(min,)
技术系数矩阵 A
技术系数矩阵 AT
价值系数 C
右端项 b
右端项 b
价值系数 C
第 i 行约束条件为 型
对偶变量 yi 0
第 i 行约束条件为 型
对偶变量 yi 0
第 i 行约束条件为 = 型
对偶变量 yi 不限
决策变量 xj 0
1
2 x1 7/2 1
00
初表 中
1 x2 3/2
j B=(P3,P1,P2)
0 10
0
00
B-1= (P'3,P'4,P'5)
0
0
x4
对偶问题及对偶单纯形法完整
(二)非对称型对偶问题
c3 x3 c3 x3 max z c1 x1 c2 x2 a13 x3 a13 x3 b1 s.t. a11 x1 a12 x2 a23 x3 a23 x3 b2 a21x1 a22 x2 a ax a ax b a a ax 21 ax 1x 2x 3x 3x 21 1 22 22 2 23 23 3 23 23 3 2b2 a33 x3 a33 x3 b3 a31x1 a32 x2 , x3 , x3 0 x1, x2 b2 y2 b3 y3 min w b1 y1 b2 y2
第 6页
二、原问题与对偶问题的对应关系
P
max z 3x1 4x2 s.t. x1 x2 6 y 1
x 2x 8 1 2 x2 3 x1 , x2 0
D
y2 y3
矩阵形式： s.t. 1 1
x1 max z (3 4) x2
a12 y1 a22 y2 a32 y3 c2 a13 y1 a23 y2 a33 y3 c3 y2无约束， y3 0 y1 0，
变 量
约 束 条 件
第12页
(一)对称型对偶问题
max z 3x1 4x2 s.t. x1 x2 6
x 2x 8 1 2 x2 3 x1 , x2 0
第 2页
一、对偶问题的提出
对同一问题从不同角度考虑，有两种对立的描述。
周长一定面积最大的矩形是正方形 : 面积一定周长最短的矩形是正方形 某企业生产甲、乙两种产品，要用 A、B、C三种不同的原料。每生产 1 吨甲产品，需耗用三种原料分别为1，1，0单位；生产1吨乙产品，需耗用三 种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知 道每生产1吨甲产品企业利润为300元，每生产1吨乙产品企业利润为400元。
使用单纯形法解线性规划问题说课材料
使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =--约束条件为：1231231312321142321,,0x x x x x x x x x x x -+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩ 用单纯形法列表求解，写出计算过程。
解：1） 将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++s.t.： 123412356137123456721142321,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩2） 找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表3） 换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。
迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。
表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。
之后的单纯形表为：表四：第二次迭代后的单纯形表5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。
之后的单纯形表为：表五：第三次迭代后的单纯形表可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。
结论：综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。
护理应急预案及程序一、重大意外伤害事故护理急救工作规定………………二、常见急性化学中毒的抢救预案及程序……………..三、急性食物中毒病人的抢救应急预案及程序四、传染病救治应急预案及流程五、突然发生猝死应急预案及程序六、药物引起过敏性休克的应急预案及程序七、患者外出或外出不归时的应急预案及程序八、停电和突然停电的应急预案及程序九、使用呼吸机过程中突遇断电的应急预案及程序十、失窃的应急预案及程序十一、消防紧急疏散患者应急预案及程序十二、住院患者出现输液、输血反应的应急预案及程序十三、患者住院期间出现摔伤的应急预案及程序十四、住院患者发生坠床的应急预案及程序十五、医护人员发生针刺伤时的应急预案及程序十六、紧急封存患者病历及反应标本的应急预案及程序十七、处理医疗投诉及纠纷的应急预案及程序十八、复合伤患者的应急预案及程序十九、住院患者发生过敏性休克时的应急预案及程序二十、急诊患者突发呼吸心跳骤停的应急预案及程序二十一、吸氧过程中中心吸氧装置出现故障的应急预案及程序二十二、吸痰过程中中心吸引装置出现故障的应急预案及程序。
线性规划及单纯形法详解演示文稿
收集 数据 和 建立 模型
求解 模型 和 优化 方案
检验 模型 和 评价 方案
方案 实施 和 不断 改进
制定决策
第1章 线性规划与单纯形法
运筹学的一个主要的分支是数学规划。
数学规划研究：在一些给定的条件（约束条件）下， 求所考察函数（目标函数）在某种意义下的极值（极 小或极大）问题。 例如：在经济决策中，经常会遇到诸如在有限的资源 （人、原材料、资金等）情况下，如何合理安排生产， 使效益达到最大；或者给定具体的任务，如何统筹安 排现有资源，能够完成给定的任务，使花费最小这类 问题。 在这章，我们重点介绍的是应用最为广泛的线性规划 问题。
自己动手试一试【解】 两种新产品的有关数据如表：
车间
1 2 3
单位利润 （元）
单位产品的生产时间 （小时）
门
窗
1
0
0
2
3
2
每周可获得的生产时间 （小时）
4 12 18
300
500
自己动手试一试【解】 设x1为每周门的产量（扇），x2为每周窗的产量 （扇）。 线性规划模型如下：
maxz 300x1 500x2
仅仅生产II产品，设备的生产能力还有剩余。结论是 两种产品都要进行生产。 （4）两种产品的产量会受到什么限制条件呢？ 各种设备的生产能力，即占用各种设备的工时。 （5）要决策的问题是：I产品生产多少？II产品生产多 少？才能实现利润最大化呢？
一、线性规划模型实例（问题的提出）
按工艺资料规定，
生产例每1件-产1【品解I需】占：用各设备分别为2、1、4、0h；
二、线性规划问题的数据模型
1、线性规划模型的一般表达形式 （1）一般形式
min或（max）z c1x1 c2 x2 ... cn xn a11x1 a12 x2 ... a1n xn (, )b1
运筹学——解对偶单纯形法
sea nf("%f",&b[i]);
prin tf("\n请输入目标函数各个变量的系数所构成的系数阵
for(i=0;i <n ;i++)
sea nf("%f",&C[i]);
}
int duiouda nchu nxin g1()
{
int i,k;
int flag;
float min=0;
for(i=0;i<m;i++)
if(b[i]>=0)
flag=1;
else {flag=0;break;}
if(flag==1)
return -1;
for(i=0;i<m;i++)
{
if(mi n>b[i])
{mi n=b[i];k=i;}
}
return k;
} int duiouda nchu nxin g2(i nt a)
if(q==-1) break;
duiouda nchunxin g3(p,q);
流程图
duiouda nchunxin g1();
if(q==-1)
{
printf("\n所得解已经是最优解!\n");
prin t();
for(i=0;i<m;i++)
{pri ntf("x(%d)=%.3f\t", nu m[i],b[i]);}
prin tf("z=%.3f",z);
break;
}
prin t();
对偶单纯形法
3x2 2x2
x4 x5
x7 3
6
用单纯形 法求解
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
对偶单纯形法的优点：
1、不需要人工变量；
2、当变量多于约束时，用对偶单 纯形法可减少迭代次数；
3、在灵敏度分析中，有时需要用对 偶单纯形法处理简化。
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应
X（0）为基本可行 解的X（条0）件为？最优解的 条件？
B-1b≥0 C CBB1 A 0
原问题最优解条件
令Y=CBB-1，代入原问题最优解条件，→YA≥C
min Yb
YA C Y无符号限制
取基本解X1 B1b,0
保证对偶问题的可行性，逐
步改进原问题的可行性，求
x1 x3 2
s.t
x2
2x3
5
x1，x2，x3 0
若取初始基B1 P4，P5
则关于B1的标准型为
max Z 4x1 3x2 8x3
不s可.t 行 x1x2
x3 2x3
x4
2 x5 5
x1，x2，x3 , x4 , x5 0
且由对偶理论知，Y0 CB B 1为（D）的最优解
对偶单纯形法步骤：
1. 列出初始单纯形表，检查b 列的数字若都为非负， 则已得到最优解，停止计算，若b列的数字中至少 有一个负分量，转第二步。
2. 确定出基变量
按 min B1b i B1b i 0 B1b l ,对应的基变量法： 求max Z x6 Mx9
2x2 x3 x4 x5
x9 1
对偶单纯形法详解课件
终止准则
算法终止的准则有多种，如达到预设的 最大迭代次数、解的变化小于预设阈值 等。
VS
终止判断
在每次迭代后，需要判断是否满足终止准 则，如果满足则算法终止，否则继续迭代 。
04 对偶单纯形法的优化策略
预处理技术
预处理技术
通过预处理，可以消除原问题中的冗 余约束，简化问题规模，提高求解效 率。
线性规划问题的转化
对偶单纯形法详解课 件
目录
CONTENTS
• 对偶单纯形法简介 • 对偶单纯形法的基本原理 • 对偶单纯形法的实现步骤 • 对偶单纯形法的优化策略 • 对偶单纯形法的案例分析 • 对偶单纯形法的展望与未来发展方向
01 对偶单纯形法简介
对偶问题的定义
对偶问题是指原问题的一个等价形式，其目标函数和约束条 件与原问题互为对偶。在优化问题中，对偶问题通常用于求 解原问题的最优解。
对偶单纯形法的应用场景
对偶单纯形法广泛应用于各种优化问题，如线性规划、整数规划、二次规划等。 它适用于求解大规模优化问题，并且具有较高的计算效率和精度。
在实际应用中，对偶单纯形法可以与其他优化算法结合使用，如梯度下降法、共 轭梯度法等，以提高求解效率和精度。同时，对偶单纯形法也可以用于解决一些 复杂的组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
对偶问题的形式取决于原问题的类型和约束条件。例如，线 性规划的对偶问题就是将原问题的目标函数和约束条件进行 线性变换，得到一个新的优化问题。
对偶单纯形法的概念
对偶单纯形法是一种求解线性规划的方法，它利用对偶问 题的性质，通过迭代和交换变量的方式，逐步逼近最优解 。
在对偶单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤：一是根据 对偶问题的最优解更新原问题的解；二是根据原问题的最 优解更新对偶问题的解。这两个步骤交替进行，直到达到 最优解或满足一定的停止准则。
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7 用对偶单纯形法求解线性规划问题Min z =5x 1+3x 2X 1 - 6 x 2 A 4在表4-17中,b=-16<0,而yA 0,故该问题无可行解. 注意：对偶单纯形法仍是求解原问题 ，它是适用于当原问题无可行基 ，且所有检验数均为负的情况.若原问题既无可行基，而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.在计算机求解时，只有人工变量法，没有对偶单纯形法.3.对偶问题的最优解由对偶理论可知，在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系 从求解原问题的最优单纯形表中，得到对偶问题的最优解.(1)设原问题(P)为Min z= exs.t.-2 X i + 3x 2 A 6A 0 (j=1,2 )解：将问题转化为 XjMax z = -5X 1 -3 x 2 s.t. 2x i - 3xX 3 = -6-3 x i + 6 X2+ x 4A -4Xj其中，X 3 , X 4 ,3,4 )A 0 (j=1,2 为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.,可以根据这些关系，Xj > 0 (j=1,2 , 3,4 )则标准型 (LP) 为AX b s.t.X0Max z=CXAX b s.t.X0其对偶线性规划(D )为Max z=b T Y AX b s.t.X0用对偶单纯形法求解 时，有 Pj=-e i ， c j =0 (LP ),得最优基B 和最优单纯形表 T ( B )。
对于(LP )来说，当j=n+iT (B )中，对于检验数，有(b n+1,b n+2・・・b n+m) = (C n+i , c n+2…，c n+m ) -C B B -1(Pn +1,Pn+2 …,Pn+m ) =- C B B -1(-I)于是，Y*= (b n+1,b n+2…b n+m T 。
可见，在(LP )的最优单纯形表中，剩余变 量对应的检验数就是对偶问题的最优解。
同时，在最优单纯形表 T ( B )中，由于剩余变量对应的系数 所以从而，在最优单纯形表b n +2 …bB 1 = ( -y n+1 , -y n+2 …-y n+m )例 4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。
对偶单纯形法(经典运筹学)
X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 -2 -1 0 -3 -1 1 0 0 0 0 Z -3
X4
X5
-4 -3 0
1 2 0
1
0
0
1
-6
3
不 可 行
即max Z 2 x1 x2
3 3x1 x 2 x3 4 x 3x x4 6 1 2 s.t x5 3 x1 2 x 2 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0
-1/3 0 -1/3 0 2/3 1
X 3 X4 X5 0 -3/5 -2/5 Z+12/5 1 -1 -1 0
X2 0 X1 1
1 0
0 0
1/5 4/5 6/5 -2/5 -3/5 3/5
3 6 最优解X （ ，， 0， 0， 0 ） 5 5 最优值Z 12 5
则取xi0 为入基变量
1
1
令X N 0 得X B B b 0 得基本可行解 X 1 B b,0
1
1
1 、若所有的检验数 CN B 1 N 0 , 则X 1为最优解
2、检验数 C N C B B 1 N中存在一个分量 0, 且该分量对应的列 向量中所有的分量 0, 则目标函数值在可行解 域内无上界
1、确定出基变量： 设br =min{bi | bi <0} 则取br所在行的基变量 为出基变量 即取X4为出基变量 2、确定入基变量： 原则： 保持检验行系数≤0
i i0 设 min | a ri 0 a ri a ri 0
1 21 3
X1 检 -2/3 X3 -5/3 X2 4/3 X5 -5/3 X1 检 0 X3 0 X3 X4 0 -1/3 1 0 0
对偶单纯形法 (2)
对偶单纯形法引言对偶单纯形法是线性规划问题求解的一种方法。
它是在单纯形法的基础之上发展起来的，主要用于解决规模较大的线性规划问题。
本文将详细介绍对偶单纯形法的基本思想、步骤以及应用示例。
对偶单纯形法的基本思想对偶单纯形法的基本思想是通过改变原始问题的基本可行解，使得每一次迭代都能改进目标函数的值，并最终找到最优解。
其核心思想是利用对偶问题的信息来指导原始问题的求解。
对于线性规划问题的标准形式： \[ \begin{align} \text{minimize} \quad &c^{T}x \\ \text{subject to} \quad & Ax = b \\ & x \geq 0 \end{align} \] 其中，A是$m\\times n$的系数矩阵，b是$m \\times 1$的常数向量，c是$n \\times 1$的系数向量。
对应的对偶问题为： \[ \begin{align} \text{maximize} \quad & b^{T}y \\\text{subject to} \quad & A^{T}y \leq c \\ & y \text{ 无限制} \end{align} \] 对偶单纯形法的步骤对偶单纯形法的步骤如下：1.将原始问题转化为标准形式，并求得初始基本可行解；2.检验当前基本可行解是否为最优解；若是，则停止迭代，得到最优解；3.如果当前基本可行解不是最优解，则计算出对偶问题的可行解；4.检验对偶问题的可行解是否为最优解；若是，则停止迭代，得到原始问题的最优解；5.如果对偶问题的可行解不是最优解，则通过改变原始问题的基本可行解，继续迭代。
对偶单纯形法的应用示例考虑以下线性规划问题： \[ \begin{align} \text{minimize} \quad & 2x_{1} -3x_{2} \\ \text{subject to} \quad & 3x_{1} + 5x_{2} \leq 8 \\ & 2x_{1} + 4x_{2} \leq 7 \\ & x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0 \end{align} \]首先将原始问题转化为标准形式： \[ \begin{align} \text{minimize} \quad &2x_{1} - 3x_{2} \\ \text{subject to} \quad & 3x_{1} + 5x_{2} + x_{3} = 8 \\ & 2x_{1} +4x_{2} + x_{4} = 7 \\ & x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0, x_{3} \geq 0, x_{4} \geq 0 \end{align} \]得到初始的基本可行解为： \[ \begin{align} x_{1} = x_{2} = 0, \\ x_{3} = 8, \\ x_{4} = 7 \end{align} \]根据对偶问题的定义，可得对偶问题为： \[ \begin{align} \text{maximize}\quad & 8y_{1} + 7y_{2} \\ \text{subject to} \quad & 3y_{1} + 2y_{2} \leq 2 \\ & 5y_{1} + 4y_{2} \leq -3 \\ & y_{1} \text{ 无限制} \\ & y_{2} \text{ 无限制} \end{align} \]计算对偶问题的初始可行解为： \[ \begin{align} y_{1} = y_{2} = 0 \end{align} \]检验当前基本可行解是否为最优解，发现不满足最优性条件，因此进行下一步迭代。
教案五线性规划的对偶问题.doc
数屮的系数变成对偶问题约束条件的右端项.
3）原问题约束条件是“<‘，对偶问题的约束条件则是
©原问题约束条件的每一行正好对应于对偶问题的每一列，所以原问题中 约束条件的数目等于对偶问题中变量的数目.
5）原问题屮约朿条件的每一列正好对应于对偶问题的每一行，所以原问题 屮变量的数目正好等于对偶问题屮的约束条件的数目.
（刀对称的对偶线性规划（见课件）
如果一个线性规划具备下面两个条件，则称它具有对称形式：①所有的变 量都是非负的；②所有的约束条件都是不等式，而且在目标函数是求极大值的情 况，不等式具有小于和等于（G的符号，在目标函数是求极小值的情况，不等 式具有大于和等于（n）的符号.
对称形式的原问题和对偶问题叫做对称的对偶线性规划.
公司租用该制药厂用以生产每千克药品I所需4、B、C、D四种设备的台 时的租金不应少于200元，即
2yt+y2+4儿 +°）1 - 200
同样，公司租用该制药厂用以牛产每千克药品n所需A、B、C、D四种设 备的台时的租金不应少于300元，即
2yt+2y2+Oy3+ 4儿》300
公司在考虑自身利益时，其目标是使付出的租金总额为最小，即
变量®•S0
第j个约束条件为y
变量®•无非负条件
第丿•个约束条件为“=”
限定向虽〃
成本或利润向局C
成本或利润向量C
限定向量b
系数矩阵力
系数矩阵人丁
例2-14原问题为：
Max Z= 4兀］+ 5兀2厂3兀］+2x2<20
4兀i -3兀2n10
s.t.兀i+x2= 5
线性规划对偶问题方案
•对偶问题的提出 •原问题与对偶问题的数学模型 •原问题与对偶问题的对应关系
对偶
最具有中国特色的修辞格
定义
根据特定的表达需要，将结构相同、字数 相等、意义相关的词语组成句子或句丛并置在 一起，形成富有对称美的语言组织。
例如
• 圆荷浮小叶， 细麦落轻花。
1、工对 对偶要求严格，避免重字，平仄相对。
二、原问题与对偶问题的数学模型
• 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束 时，称为对称形式的对偶。
情形一：
原问题
max
s.t.
z CX AX b
X 0
对偶问题
ms.itn.
w Yb YA C
Y0
情形二：
原问题
对偶问题
ms.tax
z CX AX b
ms.tin
w YA
5 y1 2 y2 0
s.t.
y1 4 y2 3 y1 3y2 2
8 y1 2 y 2 4
y1
0,
y2无约束
线性规划的对偶问题
• 点击这里进入第二章“线性规划的对偶问题”的学 习
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
x1 x2 5
x1, x2 0
厂 家
y 设：设备A —— 元／1 时 y 设备B –––– 元／时2
线性规划4—对偶单纯形
出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种
机器的机时如何定价才是最佳决策？
线性规划的对偶模型
Page 5
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：
（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、 乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约 束条件。
（2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时 总收费，以便争取更多用户。
y1 0, y2 0, y3 不限
线性规划的对偶变换规则
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原问题（或对偶问题）
对偶问题（或原问题）
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数变量的系数
约束条件右端项
目标函数 max
目标函数 min
约
m个
束
≤
条
件
≥
=
m个
2 y1 3 y2 y3 2
3 y1 y2 4 y3 3
5 y1
7 y2
6 y3
4
y1 , y2 , y3 0
Page 11
若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成 对称形式再写对偶问题。
线性规划的对偶模型
Page 12
例2 原线性规划问题
max f ( x) 4 x1 5 x2
3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原问题变形为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7x3
3
x1 4 x2 6 x3
5
x1 , x2 , x3 0
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线性规划的对偶模型
对偶问题： minW 2 y1 3 y2 5 y3
[Word]用对偶单纯形法求解线性规划问题
![[Word]用对偶单纯形法求解线性规划问题](https://img.taocdn.com/s3/m/03a385d22dc58bd63186bceb19e8b8f67c1cefb3.png)
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题.Min z =5x1+3x2s.t.-2 x1 + 3x2≥63 x1 - 6 x2≥4Xj≥0（j=1,2）解：将问题转化为Max z = -5 x1 - 3 x2s.t. 2 x1 - 3x2+ x3= -6-3 x1 + 6 x2+ x4≥-4Xj≥0（j=1,2，3,4）其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.表4-17 例4-7单纯形表注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法.3.对偶问题的最优解由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解.(1) 设原问题(p)为Min z=CXs.t. ⎩⎨⎧≥=0X bAX则标准型(LP)为Max z=CX s.t. ⎩⎨⎧≥=0X bAX其对偶线性规划（D ）为Max z=b T Y s.t. ⎩⎨⎧≥=0X b AX用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。
对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有（σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn+1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1(-I)于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m ）T 。
可见，在（LP ）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。
同时，在最优单纯形表T （B ）中，由于剩余变量对应的系数所以B -1 =（-y n+1，-y n+2…-y n+m ）例4-15 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。
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用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题.
Min z =5x1+3x
2
s.t.-2 x1 + 3x
2
≥6
3 x1 - 6 x
2
≥4
Xj≥0（j=1,2）
解：将问题转化为
Max z = -5 x1 - 3 x
2
s.t. 2 x1 - 3x
2+ x
3
= -6
-3 x1 + 6 x
2+ x
4
≥-4
Xj≥0（j=1,2，3,4）
其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.
表4-17 例4-7单纯形表
在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解.
注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.
若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法.
3.对偶问题的最优解
由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解.
(1)设原问题(p)为
Min z=CX
s.t. ⎩⎨⎧≥=0X b
AX
则标准型(LP)为 Max z=CX
s.t. ⎩⎨⎧≥=0X b
AX
其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y
s.t. ⎩⎨⎧≥=0X b
AX
用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。
对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0
从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有
（σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)
于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m）T 。
可见，在（LP）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。
同时，在最优单纯形表T（B）中，由于剩余变量对应的系数
所以
B-1 =（-y n+1，-y n+2…-y n+m）
例4-8求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。
Min z =6x1+8x
2
s.t. x1 + 2x
2
≥20
3 x1 + 2x
2
≥50
Xj≥0（j=1,2）
解：将问题转化为
Max z =-6x1-8x
2
s.t. -x1
— 2x2 + x3=20
-3 x1 - 2x
2+ x
4
=50
Xj≥0（j=1,2，3,4）用对偶单纯形法求解如表
表4-18 例4-8单纯形表
在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。
对于有些线性规划模型，如果在开始求解时不能很快使所有检验数非正，最好还是采用单纯形法求解。
因为，这样可以免去为使检验数全部非正而作的许多工作。
从这个意义上看，可以说，对偶单纯形法是单纯形法的一个补充。
除此之外，在对线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到对偶单纯形方法，可以简化计算。
例4-9：求解线性规划问题：
Min f = 2x1 + 3x2 + 4x3
S.t. x1 + 2x2 + x3 ≥ 3
2x1 - x2 + x3 ≥ 4
x1 , x2 , x3 ≥ 0
标准化：Max z = - 2x1 - 3x2 - 4x3
s.t. -x1-2x2-x3+x4= -3
-2x1+x2-3x3+x5= -4
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
表格对偶单纯形法。