2019年浙江省高考数学理科试题(Word版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪(C R Q)=

A.[2,3]

B.(-2,3]

C.[1,2)

D.(−∞,−2]∪[1,+∞)

2.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m,n满足m∥α，n⊥β，则

A. m∥l

B. m∥n

C. n⊥l

D. m⊥n

3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域{x−2≤0 x+y≥0

x−3y+4≥0

中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=

A.2√2

B.4

C. 3√2

D.6

4.命题“∀x∈R，∃n∈N∗，使得n≥x2”的否定形式是

A. ∀x∈R，∃n∈N∗，使得n

B. ∀x∈R，∀n∈N∗，使得n

C. ∃x∈R，∃n∈N∗，使得n

D. ∃x∈R，∀n∈N∗，使得n

5.设函数f(x)=sin2x+bsinx+c，则f(x)的最小正周期

A.与b有关，且与c有关

B.与b有关，但与c无关

C.与b无关，且与c无关

D.与b无关，但与c有关

6.如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且

|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N∗，

|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N∗.

（P≠Q表示点P与Q不重合）

若d n=|A n B n|，S n为∆A n B n B n+1的面积，则

A.{S n}是等差数列

B.{S n2}是等差数列

C.{d n}是等差数列

D.{d n2}是等差数列

7.已知椭圆C1：x 2

m2+y2=1(m>1)与双曲线C2：x2

n2

−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的

离心率，则

A.m>n且e1e2>1

B.m>n且e1e2<1

C.m1

D.m

8.已知实数a ，b ，c .

A.若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100

B.若|a 2+b +c |+|a +b 2−c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100

C.若|a +b +c 2|+|a +b −c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100

D.若|a 2+b +c |+|a +b 2−c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是.

10.已知2cos 2x +sin2x =Asin (ωx +φ)+b (A >0)，则A=，b=.

11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2

，体积是

cm 3.

12.已知a >b >1，若log a b +log b a =52，a b =b a ，则a=，b=.

13.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，a n+1=2S n +1，

n ∈N ∗，则a 1=，S 5=.

14.如图，在∆ABC 中，AB=BC=2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和

线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值

是.

15.已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，若对任意单位向量e ，均有

|a ·e |+|b ·e |≤√6，则a ·b 的最大值是.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B += （Ⅰ）证明：2A B = （Ⅱ）若ABC ∆的面积2

4

a S =，求角A 的大小.

17.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，已知平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF EC ===，2BC =，3AC =，

（Ⅰ）求证：ACFD BF ⊥平面

（Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.

18. （本题满分15分）设3a ≥，函数2()min{2|1|,242}F x x x ax a =--+-,

其中min{x ，y}={x ，x ≤y

y ，x >y

（Ⅰ）求使得等式2

()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围

（Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a

（ii ）求()F x 在[0,6]上的最大值()M a

19.（本题满分15分）如图，设椭圆C:2221(1)x y a a +=>

（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a,k 表示）

（Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.

20、（本题满分15分）设数列{a n }满足1

||12n n a a +-≤，n ∈N ∗

（Ⅰ）求证：1

1||2(||2)(*)n n a a n N -≥-∈

（Ⅱ）若3

||()2n n a ≤，*n N ∈，证明：||2n a ≤，*n N ∈.