高中自主招生四校联考数学模拟试卷

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广东省“四校”2025届高考数学倒计时模拟卷含解析

广东省“四校”2025届高考数学倒计时模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3．若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12a e e λ=-，且3a =，则实数λ=（）A ．－1B ．2C ．0或－1D ．2或－1 4．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A ．B ．C ．D ．5．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定6．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（） A ．1194B ．1695C ．311D ．10957．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)8．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（） A ．82 B ．8C ．42D ．49．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A ．-1B ．1C ．0D ．210．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,77711．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（）A ．-1B ．0C ．1D ．212． “2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024初升高自主招生数学试卷(四)及参考答案

2024初升高自主招生数学模拟试卷（四）一、选择题1．将4046减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…依此类推，直至最后减去余下的则最后余下的数为()A.4B.3C.2D.12．若正实数a，b，c满足不等式组则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b3．若实数a，b满足等式2a-b=2a2-2则a b=()A. C. D.44．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=33，点D是平面内一动点，且上ADB=30°，连CD，则CD长的最大值是()A.8B.9C.10D.115．已知三个实数x1，x2，x3它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7，则这样的三元数组(x1，x2，x3)共有组()A.3B.4C.5D.66．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sin B=45，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰△ADE，使∠ADE=∠B，连CE，则CEBC ()A.65 B.56 C.58 D.5127．四边形ABCD 中，AC ，BD 是其两对角线，△ABC 是等边三角形，AD =6，BD =10，CD =8，则∠ADC =()A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空题8．已知19个连续整数的和为380，则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__.9．已知x =54-，则(2x +1)(x +1)(2x +3)(x +2)=.10．在实数范围内因式分解：a 2-2b 2+3c 2-ab +bc +4ca =.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A (4，0)，B (4，)，连OB ，AB ，若线段OB ，AB 分别交双曲线(0k y k x =>，0)x >于点D ，E （异于点B ），若DE 丄OB ，则k 的值为.12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相外切，若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于.13．在菱形ABCD 中，∠A =60°，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，将△AEF 沿着EF 对折，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G ，若DG =4，BG =6，则△AEF 的面积等于.14．对于任意不为0的实数a ，b ，c 定义一种新运算“#”：①a #a =1；②a #(b #c )=(a #b )c ，则关于x 的方程(x 2)#2=x +4的根为.三、解答题15．回答下列问题：（1）解方程：x =(x 2+4x 一3)2+4x 2+16x 一15；（2）求所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2-(2a -1)x +4a -3=0的两根均为整数.16．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点（异于C，D），连BE，以BE为对角线作正方形BGEF，EF与BD交于点H，连AF.（1）求证：A，F，C三点共线；（2）若CE：DE=1：2，求DHBH的值.17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=ax2+bx+c(a>0)经过点(0，-3)和(4，-11)，且在x轴上截得的线段长为（1）求抛物线C1的解析式；（2）已知点A在抛物线C1上，且在其对称轴右侧，点B在抛物线C1的对称轴上，若△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；（3）将抛物线C1向左平行移动3个单位得到抛物线C2，直线y=kx(k≠0)与C2交于E，F两点，直线2y xk=-与C2交于G，H两点，若M，N分别为线段EF和线段GH的中点，连接MN.求证：直线MN过定点.18．如图，等边△ABC内有一动点D，△CDE是等边三角形（点B，E在直线AC两侧），直线BD与直线AE交于点F.（1）判断∠AFC的大小是否为定值？若是定值，求出其大小；若不是定值，请说明理由.（2）若AB=5，CD=3，求线段AF长的最小值.参考答案1．答案：C解析：令,第二次余下的数为,,.故选：C.2．答案：B解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选：B.3．答案：A,根据非负性可知,所以故选：A.4．答案：B解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选：B.5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选：C.6．答案：D解析：由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选：D.7．答案：A解析：以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选：A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8．答案：1050解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9．答案：42解析：由条件得,又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.解析：由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以（舍）或12．答案：18解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析：作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14．答案：4或-2解析：令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15．答案：（1）解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为（2）不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16．答案：（1）见解析解析：证明：（1）在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线（2）因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。

2024年重点中学自主招生模拟试卷(1)参考答案

2024年重点中学自主招生模拟试卷（1）数学参考答案一．选择题（共10小题）1．（2024春•礼县校级月考）已知a﹣2+b＝0（a＞0，b＞0），则等于（）A．B．C．D．【分析】由已知可得（）2＝0，则，代入原式计算即可．【解答】解：由已知可得（）2＝0，则，即a＝b，原式＝＝．故选：D．2．（2024•九龙坡区自主招生）在数轴上，若点M、N分别表示数m、n，则|m|表示点M到原点的距离，|m﹣n|表示M、N两点间的距离．以下说法正确的有（）①若|m﹣2|+|n+3|＝0，则m﹣2n＝8；②若|m﹣2|＝|m+3|，则；③若，则；④函数y＝|x2+6|﹣|x2﹣6|与函数y＝x有三个交点．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用非负数的性质得出m＝2，n＝﹣3，代入m﹣2n即可判断①；解绝对值方程求得m的值即可判断②；由可知a＜0，b ＜0，c＞0，得到ab＞0，bc＜0，ac＜0即可判断③；作出函数y＝|x2+6|﹣|x2﹣6|与函数y＝x的图象，根据函数的图象即可判断④．【解答】解：①∵|m﹣2|+|n+3|＝0，∴m﹣2＝0，n+3＝0，∴m＝2，n＝﹣3，∴m﹣2n＝8，故①正确；②∵|m﹣2|＝|m+3|，∴m﹣2＝﹣m﹣3，∴m＝﹣，故②错误；③若，则a＜0，b＜0，c＞0，∴ab＞0，bc＜0，ac＜0，∴，故③正确；④当x2﹣6≤0时，即﹣≤x≤，y＝|x2+6|﹣|x2﹣6|＝2x2；当x2﹣6＞0时，即x＜﹣或x＞，y＝|x2+6|﹣|x2﹣6|＝12；作出函数的图象如图：由图象可知，函数y＝|x2+6|﹣|x2﹣6|与函数y＝x有三个交点，故④正确．故选：C．3．（2023•南安市校级模拟）如图，矩形ABCD由3×4个小正方形组成，此图中不是正方形的矩形有（）A．34个B．36个C．38个D．40个【分析】解答此题要从矩形的两边长进行分类分析，在由3×4个小正方形组成矩形ABCD中，不是正方形的矩形的两边长存在以下几种情况：2、1；3、1；4、1；3、2；3、4；4、2．【解答】解：在由3×4个小正方形组成矩形ABCD中，共有矩形60个，是正方形的有20个，其中，边长为1的12个，边长为2的6个，边长为3的2个；不是正方形的矩形有40个，其中，两边长分别为2和1的有17个；两边长分别为3和1的有10个；两边长分别为4和1的有3个；两边长分别为3和2的有7个；两边长分别为3和4的有1个；两边长分别为4和2的有2个；故选：D．4．（2023•惠城区校级开学）已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（）A．B．C．D．【分析】本题先将u转化为2xy+4，然后根据x2﹣xy+4y2＝4进行配方，确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得解．【解答】解：方法一：∵x2﹣xy+4y2＝4，∴x2+4y2＝xy+4，∴u＝x2+xy+4y2＝2xy+4，∵5xy＝4xy+（x2+4y2﹣4）＝（x+2y）2﹣4≥﹣4，当且仅当x＝﹣2y，即，，或，时等号成立．∴xy的最小值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最小值为，即．∵3xy＝4xy﹣（x2+4y2﹣4）＝4﹣（x﹣2y）2≤4，当且仅当x＝2y，即，或，时等号成立．∴xy的最大值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最大值为，即．∴．方法二：由x2﹣xy+4y2＝4，得x2+4y2＝xy+4，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4．设xy＝t，若x＝0，则u＝4；x≠0时，，将代入x2﹣xy+4y2＝4，得，即x4﹣（t+4）x2+4t2＝0，…①由△＝（t+4）2﹣16t2≥0，解得．将代入方程①，解得，；代入方程①，解得，．∴xy的最大值为，最小值为．因此，，，，故选：C．方法三：由题意得，①﹣②，得2xy＝u﹣4，u＝2xy+4，把②两边加5xy，得（x+2y）2＝4+5xy⩾0，解得：，把②两边减3xy，得（x﹣2y）2＝4﹣3xy⩾0，解得：xy≤，∴，，因此，，，，故选：C．5．（2024•碑林区校级自主招生）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（）A．点数小的牌可能性大B．点数大的牌可能性大C．两者可能性一样大D．无法判断【分析】利用方程组的思想求得已发出的34张牌中的点数大的张数与点数小的张数，从而得到剩余的牌中点数大的张数与点数小的张数，再利用计算概率的方法解答即可．【解答】解：设一副完整的扑克牌已发出的34张牌中点数小的张数为x张，点数大的张数为y张，∴．解得：，∴已发出的34张牌中点数小的张数为22张，点数大的张数为12张，∴剩余的20张牌中点数大的张数为5×4+2﹣12＝10张，点数小的张数为8×4﹣22＝10张，∵剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等，∴下一张发出的牌是点数大的牌的几率是，下一张发出的牌是点数小的牌的几率是，∴两者可能性一样大，故选：C．6．（2021•龙岗区校级自主招生）如图，点A是函数y＝的图象上的点，点B，C的坐标分别为B（﹣，﹣），C（，）．试利用性质：“函数y＝的图象上任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2”求解下面问题：作∠BAC的角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知当点A在函数y＝的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则这条曲线为（）A．直线B．抛物线C．圆D．反比例函数的曲线【分析】如图：延长AC交BF的延长线于G，连接OF．只要证明OF是△BCG的中位线，可得OF＝CG＝，即可解决问题．【解答】解：如图：延长AC交BF的延长线于G，连接OF．∵AF⊥BG，∴∠AFB＝∠AFG＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠G+∠GAF＝90°，∵AE为∠BAG的平分线，∴∠BAF＝∠FAG，∴∠ABF＝∠G，∴AB＝AG，∵AF⊥BG，∴BF＝FG，∵B（﹣，﹣），C（，），∴OB＝OC，∴OF＝CG，∵AC＝AG﹣CG，AB＝AG，∴AB﹣AC＝CG，∵|AB﹣AC|＝2，∴CG＝2，∴OF＝，∴点F在以O为圆心为半径的圆上运动．故选：C．7．（2013•宁波自主招生）正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ＝45°，则PB+QD＝PQ；②若AP＝AQ＝，∠PCQ＝36°，则；③若△PQC是正三角形，若PB＝1，则AP＝．其中正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】（1）延长AB至点E，使BE＝DQ，连接EC，AC，首先通过求证△BEC和△DQC全等推出等量关系，求出∠ECP＝45°，然后再求证△PCE≌△PCQ，通过等量代换即可推出结论，（2）过点Q作∠PQC的角平分线，交PC于点E，首先根据题意推出△PBC 和△QDC全等，推出有关的等量关系，推出△PQC为等腰三角形，然后，通过顶角为36°角的等腰三角形的特殊性质，推出PQ2＝PE•PC，PE＝PC﹣2，解方程组即可推出结论，（3）取PC的中点E，连接BE，做BM⊥PC于点M，首先根据题意推出Rt △PBC和Rt△QDC全等，然后根据其性质推出相关角的度数和PB＝QD，再通过直角三角形斜边上的中线的性质，和解直角三角形，推出4BM＝PC，PC ＝AP，即得，4BM＝AP，然后通过求证△PBM∽△PCB，推出BP：PC ＝BM：BC，最后通过等量代换，求关于AP的方程即可．注意不合适的值要舍去．【解答】（1）证明：延长AB至点E，使BE＝DQ，连接EC，AC，∵正方形ABCD，∴∠BCA＝∠DCA＝45°，CD＝DA＝AB＝BC，∠D＝∠EBC＝90°，∴在△BEC和△DQC中，，∴△BEC≌△DQC（SAS），∴CE＝CQ，∠BCE＝∠DCQ，∵∠PCQ＝45°，∴∠DCQ+∠PCB＝45°，∴∠BCE+∠PCB＝45°，即∠ECP＝45°，∵在△PCE和△PCQ中，，∴△PCE≌△PCQ（SAS），∴PE＝PQ，∵PE＝PB+BE＝PB+QD，∴PQ＝PB+QD，（2）过点Q作∠PQC的角平分线，交PC于点E，∵正方形ABCD，∴∠A＝∠D＝∠B＝90°，AD＝AB＝BC＝CD，∵∠PCQ＝36°，AP＝AQ＝，∴PQ＝2，PB＝QD，∴PE＝PC﹣2，∵在△PBC和△QDC中，，∴△PBC≌△QDC（SAS），∴QC＝PC，∴∠CPQ＝∠CQP＝72°，∴∠PQE＝∠EQC＝36°，∴QE＝QP＝EC＝2，∵△QPE∽△CQP，∴PQ：QC＝PE：PQ，即PQ2＝PE•PC，∵PQ＝2，∴PE•PC＝4，∵PE＝PC﹣2，∴PC2﹣2PC﹣4＝0，解得：PC1＝1﹣＜0（舍去），PC2＝1+，∴PC＝+1，（3）取PC的中点E，连接BE，做BM⊥PC于点M，∵正方形ABCD，∴BC＝CD＝AB＝AD，∠D＝∠B＝∠A＝∠BCD＝90°，∵△PCQ为正三角形，∴QC＝PQ＝PC，∠QCP＝60°，∵在Rt△PBC和Rt△QDC中，，∴Rt△PBC≌Rt△QDC（HL），∴∠BCP＝∠DCQ＝，PB＝QD，∵E为PC的中点，∴BE＝EC＝PE＝，∴∠BEM＝30°，∴2BM＝BE，∴4BM＝PC，∵PC＝AP，∴4BM＝AP，∵BM⊥PC，∠BCP＝15°，∴∠PBM＝15°，∴△PBM∽△PCB，∴BP：PC＝BM：BC，∵PB＝1，∴BC＝AB＝AP+1，∴，∴AP2﹣AP﹣1＝0，解得：AP1＝1+，AP2＝1﹣＜0（舍去），∴AP＝+1，∴其中说法正确的共3个，故选：A．8．（2021•龙岗区校级自主招生）如图，直线AB：y＝﹣x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转120°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD 的长为（）A．B．C．2D．5【分析】如图，设D（0，m）．在BD的下方作等边三角形△BDQ，延长DQ 到M，使得QM＝DQ，连接BM，DE，DE交BQ于点N，作MH⊥x轴于H．想办法求出点E的坐标，构建二次函数，利用二次函数的性质求出m的值即可解决问题；【解答】解：如图，设D（0，m）．由题意：B（5，0）．在BD的下方作等边三角形△BDQ，延长DQ到M，使得QM＝DQ，连接BM，DE，DE交BQ于点N，作MH⊥x轴于H．∵△BDQ是等边三角形，∴∠DQB＝∠DBQ＝60°，∵QM＝BQ，∴∠QMB＝∠QBM，∵∠DQB＝∠QMB+∠BQM，∴∠QMB＝∠QBM＝30°，∴∠DBM＝90°，∴BM＝BD，∵∠DBO+∠ODB＝90°，∠DBO+∠MBH＝90°，∴∠MBH＝∠BDO，∵∠DOB＝∠MHB＝90°，∴△DOB∽△BHM，∴＝＝＝，∵OD＝m，OB＝5，∴BH＝m，MH＝5，∴M（5﹣m，﹣5），∵MQ＝DQ，∴Q（，），∵∠DBE＝120°，∴∠DBN＝∠EBN＝60°，∴DE⊥BQ，DN＝NE，QN＝BN，∴N（，），E（，），∴CE2＝（）2+（）2＝m2﹣6m+91，∴当m＝﹣＝3时，CE的值最小，此时D（0，3），∴CD＝＝2，方法二：如图，将线段OB绕点B逆时针旋转120°得到线段BP，直线EP交x轴于G，作CM⊥PE于M．易证△BOD≌△BPE，BG＝2BP＝10，∴点E的运动轨迹是直线PE，当点E与M重合时，CE的值最小，此时PM＝OD＝3，∴CD＝＝＝2．故选：C．9．（2022秋•高邑县期中）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝6，那么++的值（）A．是正数B．是零C．是负数D．正、负不能确定【分析】根据abc＝6，可以将所求式子化简，然后再根据a+b+c＝0，可以得到bc+ac+ab的正负情况，从而可以判断所求式子的正负情况，本题得以解决．【解答】解：∵abc＝6，∴++＝＝，∵bc+ac+ab＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，a+b+c＝0，∴bc+ac+ab＝﹣（a2+b2+c2），∵a、b、c均不为0，∴bc+ac+ab＜0，∴＜0，即++的值是负数，故选：C．10．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．【分析】设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，设正方形JKLM边长为m，根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，得AF＝AB＝m，证明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL＝FM，设AL＝FM＝x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2＝（m）2，可解得x＝m，有AL＝FM＝m，FL＝2m，从而可得AP＝，FP＝m，BP＝，即知P为AB中点，CP＝AP＝BP＝，由△CPN∽△FPA，得CN＝m，PN＝m，即得AN＝m，而tan∠BAC＝＝＝，又△AEC∽△BCH，得＝，即＝，故CH＝2．【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF ＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，∴△CPN∽△FPA，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴＝，∵CE＝+，∴＝，∴CH＝2，故选：C．二．填空题（共6小题）11．（2023秋•长治月考）如图平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则△DEG与五边形DABFG的面积比值是．【分析】连接BG，先由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC及∠E＝∠CFG；再由F为BC中点及DE：AD＝1：3得DE：CF的比值；然后由∠E＝∠CFG，∠DGE＝∠CGF证得△DGE∽CGF，最后由相似三角形的面积比等于相似比的平方及△CFG和△BGC之间的关系，可得答案．【解答】解：如图，连接BG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠E＝∠CFG，∵F为BC中点，∴FC＝BC＝AD，∵DE：AD＝1：3，∴DE：BC＝1：3，∴DE：CF＝2：3，∵∠E＝∠CFG，∠DGE＝∠CGF，∴△DGE∽CGF，∴DG：CG＝DE：CF＝2：3，设△DEG的面积为a∴SDEG：S△CFG＝4：9＝a：S△CFG，△∴SCFG＝，△取AD的中点Q，连接FQ，∴FQ∥DG，∴△EDG∽△EQF，∴DE：EQ＝1：2.5＝2：5，∴SDEG：S△QEF＝4：25＝a：S△EQF，△∴SEQF＝，△∴SDQFG＝a﹣a＝a，四边形∴SABFQ＝S四边形DQFG+S△CFG＝，四边形∴SDABFG＝．五边形∴△DEG与五边形DABFG的面积比值是．故答案为：．12．（2022•温江区校级自主招生）若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是m＝1或m＞2．【分析】分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．【解答】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x＝，符合题意；当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣，不符合题意；当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，∴x1＝，x2＝．∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，∴0＜＜1，解得m＞0，0＜＜1，解得m＞2．综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．故答案为：m＝1或m＞2．13．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为，点F的坐标为（，0）．【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD 的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．【解答】解：如图，方法一：作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B（b，），D（a，），由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，∴OI＝BI，∴DI＝CI，∴＝，∵∠CID＝∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI＝∠BOI，∴CD∥OB，∴SBOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝，△∵SBOE＝S△DOG＝＝3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，△∴SBEGD＝S△BOD＝，梯形∴•（a﹣b）＝，∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，∴a＝2b，a＝﹣（舍去），∴D（2b，），即：（2b，），在Rt△BOD中，由勾股定理得，OD2+BD2＝OB2，∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2，∴b＝，∴B（，2），D（2，），∵直线OB的解析式为：y＝2x，∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3，当y＝0时，2﹣3＝0，∴x＝，∴F（，0），∵OE＝，OF＝，∴EF＝OF﹣OE＝，∴＝，方法二：如图，连接OD，连接BF，BD，作DG⊥x轴于G，直线BD交x轴于H，由上知：DF∥OB，∴SBOF＝S△BOD＝，△∵SBOE＝|k|＝3，△∴＝＝，设EF＝a，FG＝b，则OE＝2a，∴BE＝，OG＝3a+b，DG＝，∵△BOE∽△DFG，∴＝，∴＝，∴a＝b，a＝﹣（舍去），∴D（4a，），∵B（2a，），∴＝＝，∴GH＝EG＝2a，∵∠ODH＝90°，DG⊥OH，∴△ODG∽△DHG，∴，∴，∴a＝，∴3a＝，∴F（，0）故答案为：，（，0）．14．（2020•黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝﹣．【分析】由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．【解答】解：∵方程有实根，∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，所以＝﹣．故答案为﹣．15．（2022•成都自主招生）如图，面积为4的平行四边形ABCD中，AB＝4，过点B作CD边的垂线，垂足为点E，点E正好是CD的中点，点M、点N分别是AB、AC．上的动点，MN的延长线交线段DE于点P，若点P是唯一使得∠MPB＝45°的点，则线段BM长x的取值范围是x＝2﹣2或＜x≤．【分析】根据点P是唯一使得∠MPB＝45°的点，可看成弦MB所对的圆周角∠MPB＝45°，设△MBP外接圆的圆心为O，分三种情况画图，列出方程即可得结果．【解答】解：∵平行四边形ABCD的面积为4，AB＝4，BE⊥CD，∴BE＝1，∵点P是唯一使得∠MPB＝45°的点，则可看成弦MB所对的圆周角∠MPB＝45°，设△MBP外接圆的圆心为O，则∠MOB＝90°，∴，∵CD与AB之间的距离为1，当⊙O经过点D时，即点P在点D处时，（x）2＝（2﹣x）2+（1﹣x）2解得x＝；当四边形PEBM是正方形时，圆与DE有两个交点，此时BM＝BE＝1；∴1＜x≤；当△PMB 的外接圆经过D 时，算的x ＝，只有当x ＞时才成立，要让有且只有一个点，D 点应该在外接圆内．∴＜x ≤4；当圆与DE 相切时，如图，x +x ＝1，解得x ＝2﹣2．综上所述：线段BM 长x 的取值范围是x ＝2﹣2或＜x ≤4．但是由题意：“MN 的延长线交线段DE 于点P ，若点P 是唯一使得线段∠MPB ＝45°的点”，也就是说点P 只能在线段DE 上，如果x 大于了，那么P 点就在线段EC 上了，与题意不符，因此答案应该是：2倍根号2﹣2或者1＜x ≤（x ＝时，P 与D 重合，P也在线段DE 上）．故答案为：x ＝2﹣2或1＜x ≤．16．（2022秋•长沙月考）已知a ，b ，c ，d ，x ，y ，z ，w 是互不相等的非零实数，且＝＝，则的值为2．【分析】可设＝＝＝，则＝＝＝＝k ，即＝，＝，＝k ，设＝＝k 1，＝＝k 2，由＝k 可得k ＝，由+＝得k1+k2＝k，代入计算即可求解．【解答】解：设＝＝＝，则＝＝＝＝k，整理得+＝+＝+＝＝k，∴＝，＝，＝k，设＝＝k1，＝＝k2，由＝k得k＝，由+＝得k1+k2＝k，∴原式＝2×+2×＝＝2．故答案为：2．三．解答题（共9小题）17．解方程：（1）；（2）|x2+4x﹣5|＝2﹣2x．【分析】（1）设＝t，则原方程可化为t2﹣t﹣6＝0，再解整式方程得到当＝3或当t＝＝﹣2，然后分别解两个无方程；（2）利用绝对值的意义，当x2+4x﹣5≥0时，解得x≤﹣5或x≥1，则x2+4x ﹣5＝2﹣2x；当x2+4x﹣5＜0时，解得﹣5＜x＜1，则x2+4x﹣5＝﹣（2﹣2x），然后分别解两个一元二次方程，最后进行检验确定原方程的解．【解答】解：（1）设＝t，则原方程可化为t2﹣t﹣6＝0，解得t1＝3，t2＝﹣2，当t＝3时，＝3，x2﹣3x+5＝9，解得x1＝4，x2＝﹣1，当t＝﹣2时，＝﹣2，此方程无解所以经检验原方程的解为x1＝4，x2＝﹣1；（2）当x2+4x﹣5≥0时，x≤﹣5或x≥1，所以x2+4x﹣5＝2﹣2x，整理得x2+6x﹣7＝0，解得x1＝1，x2＝﹣7，当x2+4x﹣5＜0时，﹣5＜x＜1，所以x2+4x﹣5＝﹣（2﹣2x），整理得x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝﹣3，综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣7，x3＝﹣3．18．（2022•镜湖区校级自主招生）对a＞b＞c＞0，作二次方程x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca＝0．（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；（2）若方程有实根x0，求证：a＞x0＞b+c；（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c．【分析】（1）若一元二次方程有实根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立a、b、c的关系，则能证明．（2）设f（x）＝x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca，由二次函数性质可证．（3）由根与系数关系可得a、b、c的关系，进而解得a、b、c的值．【解答】解：（1）由方程有实根得，Δ＝（a+b+c）2﹣4（ab+bc+ca）≥0即0≤a2+b2+c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝a（a﹣b﹣c）﹣b（a+c﹣b）﹣c（a+b﹣c）＜a（a﹣b﹣c），由a＞0，得a﹣b﹣c＞0，即a＞b+c．所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边．（4分）（2）设f（x）＝x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca，则f（b+c）＝bc＞0，f（a）＝bc＞0，且f（）＝＜0由（1）知b+c＜＜a，所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间，即a＞x0＞b+c．（7分）（3）由根与系数关系有a+b+c＝15，ab+bc+ca＝54，得a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝225﹣108＝117＜112．由（2）知a＞9，故得92＜a2＜112，∴a＝10．∴b+c＝5，bc＝4，由b＞c，解得b＝4，c＝1，∴a＝10，b＝4，c＝1．（10分）19．（2022•相城区校级自主招生）阅读材料：对于正数a、b，有（﹣）2≥0，所以a+b﹣2≥0，即a+b≥2（当且仅当a＝b时取“＝”）．特别地：a+≥2＝2（当且仅当a＝1时取“＝”）．因此，当a＞0时，a+有最小值2，此时a＝1．简单应用：（1）函数y＝2﹣x﹣（x＞0）的最大值为﹣2．（2）求函数y＝9x+（x＞1），当x＝时，最小值为5．解决问题：（3）已知P（﹣2，3）是反比例函数y＝图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y＝只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值．【分析】（1）求得x+≥4，进而求得结果；（2）变形y＝9x+＝9（x﹣1）++9，进一步求得结果；（3）设点A（a，0），B（0，b），求出AB的解析式和反比例函数的解析式，进而联立得出一元二次方程，由根的判别式为0，求得a，b的关系，进而表示出四边形ABCD的面积，进一步得出结果．【解答】解：（1）∵x+≥2＝4，＝2﹣4＝﹣2，∴y最大故答案为：﹣2；（2）y＝9x+＝9（x﹣1）++9≥2+9＝15，当9（x﹣1）＝时，＝15，即：当x＝时，y最小故答案为：，15；（3）把x＝﹣2，y＝3代入y＝得，3＝，∴k＝﹣6，∴y＝﹣，设点A（a，0），B（0，b），（a＞0，b＜0），∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+b，由﹣＝﹣+b得，bx2﹣abx﹣6a＝0，∵直线AB与双曲线y＝只有一个公共点，∴Δ＝（ab）2+24ab＝0，∴b＝﹣，由y＝+6得：D（0，6），C（﹣4，0），∴AC＝a+4，BD＝6﹣b＝6+，∴SABCD＝＝＝3（a+）+24≥3×2+24四边形＝48，∴当a＝，即：a＝4时，四边形ABCD的面积最小值为：48．20．（2020•汉阳区校级自主招生）如图1，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，3），反比例函数y＝（k＜0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，BC于E，F （E，F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A，D重合．（1）①如图2，当点D恰好在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长；②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．【分析】（1）①如图2中，连接AD交EF于H．想办法证明△AEF∽△ACB，推出EF∥BC，再利用平行线分线段成比例定理证明AE＝EC＝2即可．②如图3中，当点D落在OB上时，连接AD交EF于H．求出CE的长即可判断．（2）由△ABD是等腰三角形，F与B不重合，推出AB≠BD．分两种情形：①如图4中，当AD＝BD时，②如图5中，当AD＝AB时，分别求解即可．【解答】解：（1）①如图2中，连接AD交EF于H．∵四边形ABOC是矩形，A（﹣4，3），∴∠A＝90°，OB＝AC＝4，AB＝OC＝3，∵E，F在y＝时，∴可以假设E（，3），F（﹣4，），∴AE＝4+，AF＝3+，∴AE：AF＝4：3，∵AC：BC＝4：3，∴＝，∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴∠AEF＝∠ACB，∴EF∥BC，∵A，D关于EF对称，点D落在BC上，∴EF垂直平分线段AD，∴AH＝DH，∵EF∥BC，∴＝，∴AE＝EC＝2．②如图3中，当点D落在OB上时，连接AD交EF于H．∵∠EAF＝∠ABD＝90°，∠AEF＝∠BAD，∴△AEF∽△BAD，∴＝，则＝＝，∴BD＝AB÷＝，设AF＝x，则FB＝3﹣x，FD＝AF＝x在Rt△BDF中，∵FB2+BD2＝DF2，∴（3﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，∴AF＝，∴AE＝AF＝，∴EC＝4﹣AE＝4﹣＝，∴＜CE＜4时，折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），线段CE长度的取值范围为：＜CE＜4．（2）∵△ABD是等腰三角形，F与B不重合，∴AB≠BD．①如图4中，当AD＝BD时，∠BAD＝∠ABD，由（1）可知∠BAD＝∠AEF，∴∠ABD＝∠AEF．作DM∥OB交AB于M，交OC于N．则DM⊥AB，MN＝AC＝4，∴∠BMD＝∠EAF＝90°，BM＝AB＝，∴△AEF∽△MBD，∴＝，则＝＝，∴MD＝BM÷＝，∴DN＝MN﹣MD＝4﹣＝，∴D（﹣，）．②如图5中，当AD＝AB时，作DM∥OB交AB于M，交OC于N．则DM⊥AB，MN＝AC＝4，∴∠AMD＝∠EAF＝90°，由（1）可得∠BAD＝∠AEF，∴△AEF∽△MAD，∴＝，则＝＝，设AM＝4a，则MD＝3a，在Rt△MAD中，∵AM2+DM2＝AD2，∴（4a）2+（3a）2＝32，∴a＝，∴AM＝，MD＝，∴BM＝AB＝AM＝3﹣＝，DN＝MN﹣MD＝4﹣＝，∴D（﹣，）．综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣，）或（﹣，）．21．（2020春•禹会区校级月考）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．【分析】先计算出△并且设Δ＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m ﹣1）2+4＝n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m﹣1）2﹣n2＝4，（2m﹣1﹣n）（2m ﹣1+n）＝﹣4，利用m，n都为整数进行讨论即可．【解答】解：当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．理由如下：①当m为整数时，假设关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，则要Δ＝b2﹣4ac为完全平方数，而Δ＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，设Δ＝n2（n为整数），即（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，∵2m﹣1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m＝，②2m﹣1＝0时，m＝（不合题意舍去）．所以当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．22．（2011•浙江校级自主招生）请你利用直角坐标平面上任意两点（x1，y1）、（x2，y2）间的距离公式解答下列问题：已知：反比例函数与正比例函数y＝x的图象交于A、B两点（A在第一象限），点F1（﹣2，﹣2）、F2（2，2）在直线y＝x上．设点P（x0，y0）是反比例函数图象上的任意一点，记点P与F1、F2两点的距离之差d＝|PF1﹣PF2|．试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）．【分析】由和y＝x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为（，）、（，），利用两点间的距离公式可求出线段AB的长度，由P为反比例函数y＝上一点可得出x0与y0的关系式，利用两点间的距离公式可得出PF1、PF2的长，代入d＝|PF1﹣PF2|即可得到x0的表达式，再根据x0的取值范围即可求出d的长，进而得出结论．【解答】解：解由和y＝x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为，（，）、（，），线段AB的长度＝4（2分）∵点P（x0，y0）是反比例函数图象上一点，∴y0＝∴PF1＝＝＝||，PF2＝＝＝||，∴d＝|PF1﹣PF2|＝|||﹣|||，当x0＞0时，d＝4；当x0＜0时，d＝4．因此，无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等．由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线．23．（2023春•宜丰县校级月考）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985．试求正整数n．【分析】首先化简x与y，可得：x＝（）2＝2n+1﹣2，y ＝2n+1+2，所以x+y＝4n+2，xy＝1；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得．【解答】解：化简x与y得：x＝＝2n+1﹣2，y＝＝2n+1+2，∴x+y＝4n+2，xy＝＝[（+）（﹣）]2＝1，∴将xy＝1代入方程，化简得：x2+y2＝98，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2×1＝100，∴x+y＝10．∴4n+2＝10，解得n＝2．24．（淳安县自主招生）如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM+CD．（1）求证：点F是CD边的中点；（2）求证：∠MBC＝2∠ABE．【分析】（1）由正方形得到AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，根据AF⊥BE，求出∠AEB＝∠AFD，推出△BAE≌△ADF，即可证出点F是CD边的中点；（2）延长AD到G使BM＝MG，得到DG＝BC＝DC，证△FDG≌△FCB，求出B，F，G共线，再证△ABE≌△CBF，得到∠ABE＝∠CBF，根据三角形的外角性质即可求出结论．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，∵AF⊥BE，∴∠AOE＝90°，∴∠EAF+∠AEB＝90°，∠EAF+∠BAF＝90°，∴∠AEB＝∠BAF，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，∴∠AEB＝∠AFD，∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE＝DF，∵E为AD边上的中点，∴点F是CD边的中点；（2）证明：延长AD到G．使MG＝MB．连接FG，FB，∵BM＝DM+CD，∴DG＝DC＝BC，∵∠GDF＝∠C＝90°，DF＝CF，∴△FDG≌△FCB（SAS），∴∠DFG＝∠CFB，∴B，F，G共线，∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD＝CD ∴AE＝CF，∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90°，AE＝CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，∵AG∥BC，∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，∴∠MBC＝2∠ABE．。

高中数学自主招生模拟测试题卷四

于是有
（1）。
因此当时，有；当时，有；
当时，有；当时，空集。
（2）。
此时有当时，有；当时，有；当时，有；当时，。
（II）情形。此时不等式为。
于是有
（3）。
因此当时，有；当时，有；当时，空集。
（4）。
因此当时，有；当时，空集。
综合（1）－（4）可得
当时，有；当时，有；当时，。
7.解：（１）设过的直线方程为。又设，，联立方程组，
消去，得。从而有，
，。…………5分
设△ＡＢＣ的重心坐标为，则
消去ｋ，即得。…………10分
（２）因为，，所以
，
上式右边等号成立当且仅当。假设，则
，…………15分
上式右边等号成立当且仅当。由此得到（）。从而有
1、解：
（由题意可知取正号。）
因此，公差为２的等差数列，即。从而可得。答案为。
2、解：由题意，。由此可得
，，以及。
。
答案为：。
3、解：在直角坐标系中，作点，，，，。则
Ｉ＝
＝＋＋＋（应用三角不等式）
＋＋＋＝2007。
如果取，即，那么Ｉ取到最小值2007。
。…………20分
8.解：设非负等差数列的首项为，公差为。
（1）因为，所以，，。
从而有。因为，所以有
于是
。
（2）
又因为，所以有
高考数学自主招生模拟测试卷四姓名
一、填空题（每小题8分，共40分）
1.设为的单调递增数列，且满足，则。
2.设为方程的根（），则。

2024-2025学年广东省深圳宝安区四校联考数学九年级第一学期开学统考模拟试题【含答案】

2024-2025学年广东省深圳宝安区四校联考数学九年级第一学期开学统考模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2、（4分）已知点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在直线2y x =上，且12x x >，下列选项正确的是()A ．12y y =B ．12y y >C ．12y y <D ．无法确定3、（4分）不等式5+2x ＜1的解集在数轴上表示正确的是().A ．B ．C ．D ．4、（4分）如图，在矩形纸片ABCD 中，BC=a ，将矩形纸片翻折，使点C 恰好落在对角线交点O 处，折痕为BE ，点E 在边CD 上，则CE 的长为（）A ．B ．C ．D ．5、（4分）下列方程中，有实数解的方程是（）A ．1+=B ．2022x x x +=--C x =-D 30+=6、（4分）一段笔直的公路AC 长20千米，途中有一处休息点B，AB 长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A 出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．7、（4分）已知菱形的两条对角线分别为6和8，则菱形的面积为（）A ．48B ．25C ．24D ．128、（4分）如图所示，某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压，生产3h 后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量（y）是时间（x）的函数，那么这个函数的大致图像只能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）一个装有进水管出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，在打开出水管放水，至15分钟时，关停进水管.在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y(升)与时间x （分钟）之间的关系如图所示，关停进水管后，经过_____________分钟，容器中的水恰好放完.10、（4分）若一组数据123,,a a a 的平均数4，方差3，则数据12a +，22a +，32a +的方差是_________.11、（4分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，点P ．Q 分別是AB 、AC 上的动点，且满足BP ＝AQ ，D 是BC 的中点，当点P 运动到___时，四边形APDQ 是正方形．12、（4分）△ABC 中，已知：∠C ＝90°，AB ＝17，BC ＝8，则AC ＝_____．13、（4分）如图，矩形ABCD 的面积为20cm 2，对角线交于点O ，以AB 、AO 为邻边作平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边作平行四边形AO 1C 2B 2；…；依此类推，则平行四边形AO 4C 5B 的面积为________，平行四边形AO n C n +1B 的面积为________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，四边形ABCD 和四边形AEFB 都是平行四边形，求证：△ADE ≌△BCF.15、（8分）计算：（2﹣×34÷．16、（8分）(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.17、（10分）已知12,x x 是方程220x x q -+=的两个实数根，且1223x x +=+.（1）求q 的值；（2）求32112323x x x --+的值.18、（10分）如图，在△ABD 中，AB=AD ，将△ABD 沿BD 对折，使点A 翻折到点C ，E 是BD 上一点。

2024年高中自主招生素质检测数学试题及参考答案

学校姓名考场座位号2024年自主招生素质检测数学试题注意事项:1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟㊂2.全卷包括试题卷 (4页)和答题卡 (2页)两部分㊂3.答题一律要求用0.5m m 黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷,作图题使用2B 铅笔作答,考试不使用计算器㊂4.考试结束后,请将试题卷和答题卡一并交回㊂一㊁选择题:共10小题,每小题5分,共50分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂1.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,现拿走一个小立方体,得到几何体的主视图与左视图均没有变化,则拿走的小立方体是A .①B .②C .③D .④2.黄山景色绝美,景观奇特. 五一假期,黄山风景区进山游客近13万人,黄山景区门票旺季190元/人,以此计算, 五一假期黄山景区进山门票总收入用科学计数法表示为A .0.247ˑ107B .2.47ˑ107C .2.47ˑ108D .247ˑ1053.下列因式分解正确的是A .2x 2+y 2+4x y =(2x +y )2B .x 3-2x y +x y 2=x (x -y )2C .x 2-(3y -1)2=(x -1+3y )(x +1-3y )D .a x 2-a y 2+1=a (x +y )(x -y )+14.已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y =a x 2-3x +3上两点,当a -x 1-x 2=2时,y 1=y 2,则该抛物线与坐标轴的交点个数为A .3个或0个B .3个或1个C .2个或0个D .2个5.若关于x 的不等式组x +2a <03x +a <15的解集中的任意x 的值,都能使不等式x -4<0成立,则实数a 的取值范围为A .a <-3B .a <-2C .a ȡ-2D .a ȡ36.如图,已知әA B C 中,A D 为øB A C 的平分线,A B =8,B C =6,A C =10,则D C 的值为A .10B .2C .5D .17.如图,B (-2,0),C (4,0),且B E 所在的直线与A C 垂直,øA C B -øB A O =45ʎ,连接O D ,若射线O D 上有一点M ,横坐标为6,则әB O M 的面积为A .3B .6C .23D .728.定义:用M a ,b ,c 表示这三个数的中位数,用M i n {a ,b ,c }表示这三个数的最小数.例如:M {-1,12,0}=0,M i n {-1,12,0}=-1.如果M {4,x 2,2x -1}=M i n {4,x 2,2x -1},则x 的值为A .2或-2B .1或12C .2或12D .1或529.如图,әA B C 中,A B =B C ,øB =120ʎ,E 为平面内一点,若A E =3,C E =2,则B E 的值可能为A .2.5B .3C .0.3D .0.510.如图,直线A B :y =13x +b 与反比例函数y =kx相交于点A (3,5),与y 轴交于点B ,将射线A B 绕点A 逆时针旋转45ʎ,交反比例函数图象于点C ,则点A ㊁B ㊁C 构成的三角形面积为A .12B .1110C .232D .554二㊁填空题:共4小题,每小题5分,共20分㊂11.某市为改善市容,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均绿地面积的增长率为.12.若x 9+x 8+ +x 2+x +1=0,则x 的值为.13.定义:对于函数y =l g x (x >0),y 随x 的增大而增大,且l g 10=1,l g xy=l g x -l g y ,l g x y =l g x +l g y .若1a +5b =5,则l g a +l g b 的最大值为.14.已知二次函数y =2x 2+b x +c 图象的对称轴为直线x =34,且过点(3,10),若其与直线y =3交于A ㊁B 两点,与直线y =x +5交于P ㊁Q 两点,则P Q 2A B值为.三㊁解答题:共5题,共80分㊂解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤㊂15.(12分)(1)若13a +25b =1,23a +35b =3,求a 2-b 2+8b -172025;(2)先化简再求值:m +2m -m -1m -2ːm -4m 2-4m +4,其中m =2s i n 30ʎ㊃t a n 45ʎ-32t a n 30ʎ.16.(12分)请按以下要求完成尺规作图.(1)如图1,菱形A B C D 中,点P 在对角线B D 上,请作出一对以B D 所在直线为对称轴的全等三角形,使交B A 于点M ,交B C 于点N ,әP B M ɸәP B N .你有几种解法?请在下图中完成;(保留必要作图痕迹,不写作法)(2)如图2,点P 是菱形A B C D 内部一点,请作出一条过点P 的直线,交射线B A ㊁射线B C 于点M ㊁N ,且B M =B N ,聪明的你肯定有多种不同作法?请在下图中完成两种作法,并选择其中一种证明:B M =B N .(保留必要作图痕迹,不写作法)17.(15分)如图,直角三角形A B C中,以直角边A B为直径作圆交A C于点D,过点D作D MʅA B于点M,E为D M的中点,连接A E并延长交B C于点F,B F=E F.(1)求证:C F=B F;(2)求t a nøD E F;(3)若D F=2,求圆的面积.18.(19分)已知四边形A B C D,A B=4,点P在射线B C上运动,连接A P.(1)若四边形A B C D为正方形,点M在A P上,且øA D M=øA P D.请判断A M㊁A P㊁A C之间数量关系,并说明理由;(2)若四边形A B C D为菱形呢?øB=60ʎ,其他条件与(1)同,则(1)中的结论还成立吗?并说明理由;(3)若四边形A B C D为正方形,将线段A P绕点P顺时针旋转90ʎ于P Q,此时D Q的最小值为多少?A Q+D Q的最小值呢?并说明理由.19.(22分)已知抛物线y=a x2+b x+c的顶点坐标为A(1,4),与x轴交点分别为点B㊁C(点B在点C 左侧),与y轴交点为D,一次函数y=k x+4(k>0)与x轴所形成的夹角的正切值为4,方程k x+4=a x2+b x+c有两个相等的实数根.(1)求该抛物线的解析式;(2)点M是该抛物线上一动点,则在抛物线对称轴上是否存在点N,使得以A㊁B㊁M㊁N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出所有满足条件的点N坐标及该平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;(3)若将该抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到抛物线y',点D关于x轴的对称点为D',若过点D'的直线与y'交于P㊁Q两点(点P在点Q左侧),点Q关于y轴的对称点为Q',若әP Q O与әP Q Q'面积相等,求直线P Q的解析式.2024年自主招生素质检测数学参考答案选择题:共10小题,每小题5分,满分50分㊂题号12345678910答案CBCBCABDAD填空题:共4小题,每小题5分,满分20分㊂11.20% 12.-1 13.1 14.2654.ʌ解析ɔ x 1+x 2=a -2,抛物线的对称轴x =--32a,ʑ32a =a -22⇒a 2-2a -3=0⇒(a +1)(a -3)=0⇒a 1=-1,a 2=3,ʑ①当a 1=-1时,y =-x 2-3x +3,Δ=9+12>0,与坐标轴的交点个数为3个;②当a 2=3时,y =3x 2-3x +3,Δ=9-4ˑ3ˑ3<0,与坐标轴的交点个数为1个.5.ʌ解析ɔ x <-2a ,x <15-a 3,①-2a >15-a 3,解得a <-3,ʑx <15-a 3,ȵx <4,ʑ15-a 3ɤ4,解得a ȡ3(舍去);②-2a ɤ15-a 3,解得a ȡ-3,ʑx <-2a ,ȵx <4,ʑ-2a ɤ4,解得a ȡ-2.6.ʌ解析ɔ 由角平分线定理S әA B D S әA C D =A B ㊃h A C ㊃h =45=B D D C ,ʑ45=6-D C D C ,解得D C =103.7.ʌ解析ɔ øB E O =øB A E +øA B E ,øA C B =øB A O +45ʎ,R t әB O E ʐR t әB D C ,ʑøB E O =øA C B ,ʑøA B D =45ʎ,则әA B D 为等腰直角三角形,A D =B D ,ʑR t әA E D ɸR t әB C D ,ʑA E =B C ,S әA E D =S әB C D ,ʑh 1=h 2,ʑ点D 在øA O C 的角平分线上,M (6,6),S әB O M =2ˑ62=6.8.ʌ解析ɔ 由图像知x 2=2x -1,解得x =1;或2x -1=4,解得x =52.9.ʌ解析ɔ 设B E =x ,将әA B E 绕B 点顺时针旋转120ʎ到әC B E ',C E '=A E =3,øE B E '=120ʎ,B E =B E '=x ,易得E E '=3x ,在әC E E '中,C E '-C E <E E '<C E '+C E ,即3-2<3x <2+3,解得33<x <533.10.ʌ解析ɔ 由题知,直线y =13x +b 与反比例函数y =k x相交于点A(3,5),则13ˑ3+b =5,解得b =4,k =15,法一:直线A C 与y 轴交于点M ,从M 点作直线A B 的垂线,垂足为N ,A M =(m -5)2+32,MN =(4-m )s i n θ=(4-m )310,A M =2MN ,ʑ(m -5)2+9=95(m -4)2⇒5(m -5)2+45=9(m -4)2,2m 2-11m -13=0⇒(2m -13)(m +1)=0,ʑm =132(舍)或m =-1,直线A C 的方程为y =2x -1.2x -1=15x ⇒2x 2-x -15=0⇒(2x +5)(x -3)=0,解得x 1=-52,x 2=3,ʑ点C (-52,-6),S әA B C =5ˑ(3+52)2=554.法二:易知l A B :y =13x +4,设l A C :y =k 2x +b ,由倒角公式得t a n 45ʎ=k 2-k 11+k 1k 2=k 2-131+13k 2=1,k 2-13=13k 2+1,两边平方得k 2=2或k 2=-12(舍),又l A C 过点A ,ʑl A C :y =2x -1(与y 轴交点为M ),与y =15x 联立得x C =-52,ʑS әA B C =12BM |x A -x C |=554.12.ʌ答案ɔ -1ʌ解析ɔ 若x =0,等式不成立,则x ʂ0,等式两边同乘x ,ʑx 10+x 9+x 8+ +x 2+x =0⇒x 10-1=0⇒x 10=1,解得x =ʃ1.当x =1时,等式不成立;当x =-1时,等式成立.13.ʌ解析ɔ l g a +l g b =l ga b ,即求a b 的最大值,12a +54b ȡ212a ㊃54b =258a b ,258a b ɤ5⇒a b ɤ10.14.ʌ解析ɔ 由题知,-b 4=34,解得b =-3,抛物线过点(3,10),代入数据解得c =1,抛物线y =2x 2-3x +1,当y =3时,2x 2-3x +1=3,解得x 1=-12,x 2=2,A B =52,当y =x +5时,2x 2-3x +1=x +5⇒x 2-2x -2=0⇒x 3+x 4=2,x 3x 4=-2,(x 3-x 4)2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4=12,P Q =(1+k 2)(x 3-x 4)2=26,P Q 2A B =265.15.(12分)ʌ解析ɔ (1)13a +25b =1, ①23a +35b =3, ②①+②得a +b =4,(2分) a 2-b 2+8b -17=(a +b )(a -b )+8b -17=4a -4b +8b -17=4a +4b -17=-1,(4分)a 2-b 2+8b -17 2025=-1.(6分)(2)原式=m +2m -m -1m -2㊃(m -2)2m -4=m 2-4-(m 2-m )m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -4m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -2m,(8分)m =2ˑ12-32ˑ33=12,(10分) ʑ原式=12-212=-3.(12分) 16.(12分)ʌ解析ɔ (1)提示:作P M ㊁P N 分别垂直于A B ㊁A C ,如图1;(2分)过P 点作MN 垂直于B D ,如图2;(4分)P 作E F ʊB C A B 于点E C D 于点F E M =E P M P 交B C 于点N作法二:先作B M '=B N ',交A B 于点M ',交B C 于点N ',连接M 'N ',将直线M 'N '平移过点P ,交A B 于点M ,交B C 于点N ,即MN 为所求直线,如图4;(8分)选择作法一证明:ȵE M =E P ,ʑøE M P =øE P M ,ȵE F ʊB C ,ʑøE P M =øB NM ,ʑøE M P =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)选择作法二证明:ȵB M '=B N ',ʑøB M 'N '=øB N 'M ',M 'N 'ʊMN ,ʑøB MN =øB M 'N ',øB NM =øB N 'M ',ʑøB MN =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)(作法不限,合理即可)17.ʌ解析ɔ (1)ȵD M ʊB C ,ʑәA D E ʐәA C F ,әA E M ʐәA F B ,ʑA E A F =D E C F ,A E A F =E M B F,(2分) ȵD E =E M ,ʑC F =B F ;(4分)(2)取A B 的中点O ,即为圆心,连接O F ,设圆O 的半径为r ,延长A B 交D F 延长线于G ,由(1)知,F 为R t әB C D 中斜边B C 的中点,ʑD F =B F =E F ,ʑøF D E =øD E F =øA E M ,ȵøG +øG D M =øE A M +øA E M =90ʎ,则øG =øE A M ,ʑA F =F G ,在әA F G 中,F B ʅA G ,则A B =B G =2r ,A O =r ,O G =3r ,(6分)ȵO F ʊA C ,ʑO G A O =F G D F=3,即F G =3D F ,(8分) ȵD F =B F ,ʑF G =3B F ,ʑc o s øB F G =B F F G =13,ʑt a n øD E F =t a n øE D F =t a n øB F G =B G B F=22;(10分)(3)ȵD F =B F ,ʑB F =2,由(2)知,t a n øB F G =B G B F=22,ʑB G =42,(12分)ȵB G =2r ,ʑr =22.(13分)S 圆O =πr 2=8π.(15分)18.ʌ解析ɔ (1)A C 2=2A M ㊃A P .(2分)理由如下:如图1,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D ,ʑA D 2=A M ㊃A P ,在正方形A B C D 中,A D =22A C,ʑ(22A C )2=A M ㊃A P ,ʑA C 2=2A M ㊃A P .(6分)(2)(1)中的结论不成立.(7分) 理由如下:如图2,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D,ʑA D 2=A M ㊃A P ,ȵ在菱形A B C D 中,øB =60ʎ,则B C =A B =A C =A D ,ʑA C 2=A M ㊃A P .(11分)(3)如图3,过点Q 分别作Q E ʅB C 的延长线于点E ,Q F ʅC D 于点F ,ʑQ F =C E ,设B P =m ,A P =Q P ʑR t әA B P ɸR t әP E Q ,则B P =Q E =m ,A B =P E =4,ȵC E +P C =B P +P C =4,ʑC E =B P =m ,在R t әD F Q 中,Q F =C E =m ,D F =C D -C F =4-m ,(15分) D Q 2=D F 2+Q F 2=(4-m )2+m 2=2m 2-8m +16=2(m -2)2+8,当m =2时,D Q 取得最小值,D Q m i n =22,(17分) 分析易知Q 在C D '上运动,作D 关于C D '的对称点C ',连接Q C ',则(A Q +D Q )m i n =(A Q +Q C ')m i n =A C '=42+82=45.(19分) 19.ʌ解析ɔ (1)由题可知k =4,ʑy =4x +4(2分) 2的顶点坐标为A y =a x -12即4x +4=a (x -1)2+4⇒a x 2-(2a +4)x +a =0有两个相等的实数根,ʑΔ=(2a +4)2-4a 2=0,解得a =-1,ʑ抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3;(5分)(2)设M 点坐标为(m ,-m 2+2m +3),N 点坐标为(1,n ),A (1,4),令-x 2+2x +3=0,解得x 1=-1,x 2=3,所以B (-1,0),C (3,0),(7分)若A B 为对角线,1-12=m +12,解得m =-1(舍去);若A M 为对角线,m +12=1-12,解得m =-1(舍去);若A N 为对角线,1+12=m -12,解得m =3;(9分) 4+n 2=0-m 2+2m +32,解得n =-4,此时M (3,0),N (1,-4),(10分)S ▱A B M N =4ˑ82=16;(12分) (3)由题可知,抛物线y '=-x 2,点D (0,3)关于x 轴的对称点D '(0,-3),直线P Q 过点D ',设直线P Q 的解析式为y P Q =k x -3,若k >0,如图1,S әP Q O =S әP Q Q ',则Q 'O ʊP Q ,则әQ 'H O ɸәQ H D ',所以O H =12O D '=32,H (0,-32),所以Q (62,-32),Q '(-62,-32),直线P Q 的解析式为y P Q =62x -3;(16分)若k <0,如图2,过点Q '作直线l ʊP Q ,取l 与y 轴交点M ,作O L ʅP Q 于点L ,MH ʅP Q 于点H ,所以O L ʊHM ,S әP Q O =S әP Q O ',所以O L =HM ,所以四边形O L MH 为平行四边形,则对角线互相平分,所以M (0,-6),同理,әD 'K Q ɸәM K Q ',所以D 'K =K M =12D 'M =32,所以K (0,-92),(20分) 因为点Q 的纵坐标为-92,所以Q (322,-92),直线P Q 的解析式为y P Q =-22x -3.(21分)综上,直线P Q 的解析式为y P Q =6x -3或y P Q =-2x -3.分)。

浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高一上学期10月联考模拟练习数学试题含答案

浙江省四校2024-2025学年高一上学期10月联考模拟练习数学试题（自编供学生使用）（考试时间：120分钟试卷总分：150分）（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．已知集合{2},{1}A x x B x x =>=<∣∣，则()()A B ⋂=R R 痧（）A．∅B．{12}xx <<∣C．{}12xx ≤≤∣D．R2．已知集合{|(38)(2)0}A x x x =-+<{|13}B x x =∈-Z ≤≤，则集合A B ⋂中的元素个数为A．2B．3C．4D．53．命题“,sin 0R αα∃∈=”的否定是（）A．,sin 0R αα∃∈≠B．,sin 0R αα∀∈≠C．,sin 0R αα∀∈<D．,sin 0R αα∀∈>4．已知,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是A．若a b >,则a c b c ->-B．若a b >，则a b c c>C．若ac bc <，则a b<D．若a b >，则22ac bc >5．命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（）A．)(222⎡⎤∞⋃-∞⎣⎦，+，B．2⎡⎣-22，C．)2⎡∞⎣，D．(2-∞，6．关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,x x ，且2115x x -=，则a 的值为（）A．152B．152±C．52D．52±7．已知2(0,0)a b ab a b +=>>，下列说法正确的是（）A．ab 的最大值为8B．1212a b +--的最小值为2C．a b +有最小值32D．2224a a b b -+-有最大值48．给定集合A ，若对于任意a 、b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合{}4,2,0,2,4A =--为闭集合；②集合{}3,A n n k k Z ==∈为闭集合；③若集合1A 、2A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、多选题（本大题共3小题，共18分）9．下列命题中为真命题的是（）A．若0xy =，则0x y +=B．若a b >，则a c b c +>+C．菱形的对角线互相垂直D．若,a b 是无理数，则a b +是无理数10．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．B．在b 克盐水中含有a 克盐(0)b a >>，再加入n 克盐，全部溶解，则盐水变咸了．C．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率为2a b+．D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第二种方式购买一定更实惠．11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数()f x 的结论中，正确的是（）A．函数()f x 满足：()()f x f x -=B．函数()f x 的值域是[]0,1C．对于任意的x ∈R ，都有()()1f f x =D．在()f x 图象上不存在不同的三个点、、A B C ，使得ABC V 为等边三角形三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．命题“π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x ≥”的否定为．13．学校举办秋季运动会时，高一（1）班共有26名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的有人；同时参加田赛和径赛的有人．14．甲、乙两地相距240km，汽车从甲地以速度v (km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为16400v 3元.为使全程运输成本最小，汽车应以km/h 的速度行驶.四、解答题（本大题共5小题，共77分）15．用一段长为16m 的篱笆，围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长度大于16m ），矩形的长宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值？16．已知2:280p x x --≤，()22:200q x mx m m +-≤>，.（1）当1m =时，若命题“p q ∧”为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.17．某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（如图所示），大棚占地面积为S 平方米，其中:1:2a b =.(1)试用x 表示S ，并标明x 的取值范围；(2)求S 的最大值，并求出S 取最大值时x 的值.18．已知函数()f x =的定义域为集合A ，{}B xx a =<∣．(1)求集合A ；(2)若全集{|4}U x x =≤，1a =-，求()U A B ð；(3)若A B A = ，求a 的取值范围．19．已知函数()2f x ax bx c =++（a ，b ，c ∈R ）有最小值4-，且()0f x <的解集为{}13x x -<<．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若对于任意的()1,x ∈+∞，不等式()6f x mx m >--恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案：题号12345678910答案C CBABDBBBCABD题号11答案AC1．C【分析】求出集合,A B 的补集，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】由于{2},{1}A x x B x x =>=<∣∣，故{|2},{|1}A x x B x x =≤=≥R R 痧,所以()()A B ⋂=R R 痧{}12xx ≤≤∣，故选：C 2．C【详解】依题意，()(){}8|3820|23A x x x x x ⎧⎫=-+<=-<<⎨⎬⎩⎭，{|13}B x Z x =∈-≤≤{}1,0,1,2,3=-，A B ⋂{}1,0,1,2=-,有4个元素，故选C.3．B【分析】原命题为存在性量词命题，按规则可写出其否定.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠，故选：B.4．A【分析】由不等式的性质可判断A；取特值0c =，可判断BD；取0c <，结合不等式的性质判断C.【详解】对于A，利用不等式的性质可判断A 正确；对于BD，取0c =时，可知B 和D 均错误；对于C，当0c <时，若ac bc <，则a b >，故C 错误．故选：A 5．B【解析】特称命题为假命题，等价于其否定为真命题,利用判别式，即可确定实数a 的取值范围.【详解】“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，等价于“2,2390x R x ax ∀∈-+≥”为真命题,所以()2=3890a ∆-⨯≤所以a ⎡∈⎣，则实数a 的取值范围为⎡⎣.故选：B.6．D【分析】根据22112122(())4x x x x x x -=+-以及韦达定理即可求解.【详解】因为关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,,x x 12,x x ∴是方程22280x ax a --=的两个不同的实数根，且224320a a ∆=+>，212122,8x x a x x a ∴+==-，2115x x -= ，()22221212154432x x x x a a ∴=+-=+，221536a =，解得52a =±故选：D.7．B【分析】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知8ab ≥，所以A 错误；将原式化成()()122a b --=，即可得()12112121a ab a +=+-≥---，即B 正确；不等式变形可得211ba+=，利用基本不等式中“1”的妙用可知3a b +≥+，C 错误；将式子配方可得222224(1)(2)5a a b b a b -+-=-+--，再利用基本不等式可得其有最小值1-，无最大值，D 错误.【详解】对于A 选项，2ab a b =+≥≥8ab ≥，当且仅当2,4a b ==时等号成立，故ab 的最小值为8，A 错误；对于B 选项，原式化为()()2122,01a ab b a --==>-，故10a ->；02ba b =>-，故20b ->；所以()12112121a ab a +=+-≥---，当且仅当2,4a b ==时等号成立，B 正确；对于C 选项，原式化为211ba +=，故()212123a a b a b b a ba b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当1,2a b =+=+C 错误；对于D 选项，()()222224(1)(2)521251a a b b a b a b -+-=-+--≥---=-，当且仅当12a b ==+1-，D 错误．故选：B 8．B【解析】取2a =，4b =-，利用闭集合的定义可判断①的正误；利用闭集合的定义可判断②的正误；取{}13,A n n k k Z ==∈，{}22,A m m t t Z ==∈，利用特殊值法可判断③的正误.由此可得出合适的选项.【详解】对于命题①，取2a =，4b =-，则6a b A -=∉，则集合{}4,2,0,2,4A =--不是闭集合，①错误；对于命题②，任取1n 、2n A ∈，则存在1k 、2k Z ∈，使得113n k =，223n k =，且12k k Z +∈，12k k Z -∈，所以，()12123n n k k A +=+∈，()12123n n k k A -=-∈，所以，集合{}3,A n n k k Z ==∈为闭集合，②正确；对于命题③，若集合1A 、2A 为闭集合，取{}13,A n n k k Z ==∈，{}22,A m m t t Z ==∈，则{123A A x x k ⋃==或}2,x k k Z =∈，取13A ∈，22A ∈，则()12325A A +=∉⋃，()12321A A -=∉⋃，所以，集合12A A ⋃不是闭集合，③错误.因此，正确的结论个数为1.故选：B.9．BC【分析】对于A，由0xy =得0x =或0y =即可判断；对于B，由不等式性质即可判断；对于C，由菱形性质即可判断；对于D，举反例如a b ==【详解】对于A，若0xy =，则0x =或0y =，故x y +不一定为0，故A 错误；对于B，若a b >，则由不等式性质a c b c +>+，故B 正确；对于C，由菱形性质可知菱形的对角线互相垂直，故C 正确；对于D，若,a b 是无理数，则a b +不一定是无理数，如a b ==0a b +=是有理数，故D 错误.故选：BC.10．ABD【分析】根据题意利用不等式的性质以及作差法、基本不等式逐项分析判断.【详解】对于选项A：设周长为0l >，则圆的面积为22π2π4πl l S ⎛⎫== ⎪⎝⎭圆，正方形的面积为22416l l S ⎛⎫==⎪⎝⎭正方形，因为211,04π16l >>，可得224π16l l >，即S S >圆正方形，故A 正确；对于选项B：原盐水的浓度为a b ，加入0n >克盐，盐水的浓度为a n b n++，则()()n b a a n a b n b b b n -+-=++，因为0,0b a n >>>，可得0,0b a b n ->+>，所以()()0n b a a n a b n b b b n -+-=>++，即a n ab n b+>+，故B 正确；对于选项C：设这两年的平均增长率为x ，则()()()2111A a b A x ++=+，可得1x ，因为()()111122a b a bx ++++=≤=+，即2a b x +≤，当且仅当11a b +=+，即a b =时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于2a b+，故C 错误；对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p 元/kg，购kg n ，第二次购物时的价格为2p 元/kg，购kg n ，两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=；若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1kg mp 物品，第二次仍花m 元钱，能购2kg m p 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++.比较两次购的平均价格：()()()()22121212121212121212124220112222p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +--++-=-==≥++++，当且仅当12p p =时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，故D 正确；故选：ABD.11．AC【分析】利用R 1,Q ()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对选项A，B 和C 逐一分析判断，即可得出选项A，B 和C的正误，选项D，通过取特殊点()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，即可求解.【详解】由于R 1,Q()0,Qx f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对于选项A，设任意x ∈Q ，则()(),1x f x f x -∈-==Q ；设任意Q x ∈R ð，则()()Q,0x f x f x -∈-==R ð，总之，对于任意实数()(),x f x f x -=恒成立，所以选项A 正确，对于选项B，()f x 的值域为{}0,1，又{}[]0,10,1≠，所以选项B 错误，对于选项C，当x ∈Q ，则()()()()1,11f x f f x f ===，当Q x ∈R ð，则()()()()0,01f x f f x f ===，所以选项C 正确，对于选项D，取()0,1,,0,33A B C ⎫⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此时AB AC BC ===ABC V 为等边三角形，所以选项D 错误，故选：AC．12．π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x <【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得答案.【详解】命题“π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎣⎦，sin 0x ≥”为全称命题，它的否定为特称命题，即π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x <；故答案为：π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x <13．62【详解】设只参加游泳比赛有x 人，则12336x -=+=，得6x =．不参加游泳的人为261214-=，参加田赛未参加游泳的人为936-=人，参加径赛未参加游泳的人为13310-=人，则同时参加田赛和径赛的人为106142+-=人．14．80【分析】根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为316400v 元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值．【详解】解：设全程运输成本为y 元，由题意，得3224011601(160)240()64006400y v v v v =+=，0v >，21602240()6400y v v '=-+．令0y '=，得80v =．当80v >时，0'>y ；当080v <<时，0'<y ．所以函数3224011601(160)240()64006400y v v v =+=+在()0,80上递减，在()80,+∞上递增，所以80v =km/h 时，720min y =．故答案为：80.15．长为8宽为4时，菜地面积最大，最大值为32【解析】设菜地长为x ，得162x S x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合基本不等式可求最值【详解】如图，设菜地长为x ，()016x ∈,，则()1611622x S x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，结合基本不等式可知，0160x x >->,，则()()21616642x x x x ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭，当且仅当8x =时，取到最大值，故()116322S x x =-≤，此时长为8，宽为16842-=，菜地面积最大值为3216．（1）21x -≤≤；（2）4≥m .【解析】（1）求出两个命题为真命题时的解集，然后利用p q ∧为真，求解x 的取值范围．（2）依题意可得p q q ⇒，推不出p ，即可得到不等式组224m m -≤⎧⎨≥⎩，解得即可【详解】解：∵2:280P x x --≤，∴24x -≤≤∵22:20q x mx m +-≤，0m >，∴2m x m -≤≤（1）当1m =时，:21q x -≤≤∵p q ∧为真命题，∴p 真且q 真即2421x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，∴21x -≤≤（2）设集合{}|24A x x =-≤≤，{}2|m x m B x -=≤≤若p 是q 的充分不必要条件，则AB∴只需满足224m m -≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立得4≥m 17．(1)()4800180833600S x x x=--<<；(2)S 的最大值为1568，此时40x =.【分析】（1）先由题意得1800,2,333xy b a y a b a ===++=+且3,3x y >>，再结合图形即可求解所求S ；（2）由（1）结合基本不等式即可得解.【详解】（1）由题意可得1800,2,333xy b a y a b a ===++=+且3,3x y >>，所以33y a -=，18003600y x x=>⇒<，所以由图()()()()()3322223383823x y S a b a a a x x x x x --=+⨯⨯=+⋅==⋅-----()()()180034800600180831383836003x x x x x x x -⎛⎫=⋅=⋅=-----<<⎪⎝⎭.（2）由（1）()4800180833600S x x x=--<<，所以4800180818082180824015683S x x ⎛⎫=-≤--=+ ⎪⎝⎭，当且仅当48003x x=即40x =时等号成立，所以S 的最大值为1568，此时40x =.18．(1)(2,3]-；(2)[1,3]-；(3)(3,)+∞﹒【分析】(1)求出使f (x )有意义的x 的范围即可；(2)先计算U B ð，再按交集的运算法则计算即可；(3)A B A A B ⋂=⇒⊆，据此即可求解a 的范围﹒【详解】（1）3020x x -≥⎧⎨+>⎩32x x ≤⎧⎨>-⎩，23x ∴-<≤，(2,3]A ∴=-；（2）当1a =-时，()B =-∞，-1，[1,4]U B ∴=-ð，()[1,3]U A B ∴⋂=-ð；（3）A B A =Q I ，A B ∴⊆，3a ∴>，∴a 的求值范围是(3,)+∞．19．(1)2()23f x x x =--(2)m <【分析】（1）根据韦达定理列出方程组解出即可；（2）分离参数得()2122111x m x x x -+∴<=-+--，1x >，利用基本不等式求出右边最值即可.【详解】（1）令()0f x =，则1,2-为方程20ax bx c ++=的两根，则0a ≠，则由题有244423ac b a b a c a ⎧-=-⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，2()23f x x x ∴=--.（2）由（1）得对()1,x ∀∈+∞，2236x x mx m -->--，即()2231x x m x -+>-，1x >Q ，10x ∴->，()2122111x m x x x -+∴<=-+--，令()211h x x x =-+-，1x >，则()211h x x x =-+≥=-当且仅当211x x-=-，即1x =+时等号成立，故()minh x =m <.。

上海市区域四校联考2023_2024学年高一第一学期12月月考数学测检测模拟试题(附解析)

f (x) f (x) ax2 2x, x 1 ，分
类讨论此时函数的值域即可.
【详解】函数
f
(x)
x 1, x 1 ax2 2x, x
1 的值域为
R
，
当 x 1 时， x 1 2 ， f x2, ，
( , 2] f (x) f (x) ax2 2x, x 1
则有
，
a 0 时， f (x) 2x, x 1 ，不合题意，
要 x0 R ， f (x0 ) M ，命题②错误；
若对于任意的 x1, x2 R x1
x2 ，都有
f
x1 f x2 0
x1 x2
成立，
则任意的 x1 x2 ，有 x1 x2 0 ，都有 f x1 f x2 0 ，即 f x1 f x2 ，
所以 y f (x) 在 R 上严格递减，命题③正确；
(3)当 a 0 时，求函数 y f (x) 在区间[2,4] 上的最小值.
20．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双
sinh(x) ex ex
cosh(x) ex ex
曲余弦函数，其中双曲正弦：
2 ，双曲余弦.
2 （ e 是自然对数
的底数， e 2.71828… ）
．二、选择题（本大题共有 4 小题，满分 18 分，其中第 13、14 题每题 4 分，第 14、15 题每题 5 分） 13．下列选项中的两个函数表示同一函数的是（）
A． f (x) x 与 g(x) = elnx
g(x) 2x2
B． f (x) 2 | x |与
|x|
C． f (x)
即 a 的取值范围为 (, 2) (2, ) ，

四校自招模拟题-数学卷答案

1
1.2 配方
【4】若一个正整数 n 能写成另外两个整数的平方和，则称这样的数 n 为“好数”，若一个实数 x 能写成两个好数的商，则称这样的数 x 为“坏数” 求证：(1)任何两个好数的积还是好数 (2)任何一个坏数可以写成两个有理数的平方和【解析】 (1)设 m a 2 b2 ， n c2 d ，其中 a, b, c, d 均为整数，则 m, n 是好数
【7】 a, b, c 为正整数，若
3
【 8 】关于 x 的方程 1 ax 2 的解集中，有且仅有一个正整数，则 a 的取值范围为 __________________ 【解析】不等式即
a
x
2 1 ，设 b ，即 b x 2b a a
四校自招针对性训练
Part 1 代数式变换
1.1 因式分解
【1】 x, y 是正整数，满足
1 1 的数对 ( x, y) _________________ x y 【解析】式子即 y 4 x xy ，即 xy 4 x y 0 ，即 xy 4 x y 4 4 即 ( x 1)( y 4) 4 x, y 是正整数，则 x 1 0 ，则 x 1 x 1 x 1 或或 y 4 y 4 y 4 因此， ( x, y) (5,5) 或 (3,6) 或 (2,8)
mn (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) a 2 c 2 b 2 c 2 a 2 d 2 b 2 d 2 (a 2 c 2 b 2 d 2 2abcd ) (b 2c 2 a 2 d 2 2abcd ) (ac bd ) 2 (bc ad )

2025年重点高中自主招生考试数学模拟试卷试题(含答案)

2025重点高中自主招生数学针对性模拟试卷（本试卷满分150分，时间2小时）一、选择题（每小题6分，共60分）1.若“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P ，则（）A.P=0B.0<P<1C.P=1P>12.下列命题中，真命题的个数是（）①一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.方程()1112=--x x 的根共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.设{}d c b a ,,,max 表示d c b a ,,,中最大的数，则⎭⎫⎩⎨⎧-210,2,260tan 2,45cos 2max 0π=（）A.045cos 2 B.260tan 20- C.2π D.2105.若关于x 的方程012)14(2=-+++m x m x 的两根分别为1x 、2x ，且321=+x x ，则m =（）A.-1或21 B.-1或1C.21-或21 D.21-或16.如图，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 延长线上，BF=5CF,且四边形CDEF 是平行四边形，△BDE 与△ADE 的面积之和为7，则△ABC 面积为（）A.28 B.29 C.30 D.327.用数字0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位数共有（）A.64个 B.72个 C.96个 D.不同于以上答案8.已知y x ,是整数，则满足方程03432=---y x xy 的数对),(y x 共有（）A.4对B.6对C.8对D.12对9.如图，在△ABC 中，AC=BC=4，D 是BC 的中点，过A,C,D 三点的圆O 与AB 边相切于点A,则圆O 的半径为（）A.2B.5C.214D.714410.若关于x 的方程x k x =-23有三个不同解321,,x x x ，设,321x x x m ++=则m 的取值范围为（）A.2<m B.23->m C.20<<m D.223<<-m 二、填空题（每小题6分共36分）11.已知△ABC 中，BC=1，AC=2，AB=3,则△ABC 的内切圆半径为.12.若y x 、满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2454545yx xy y x xy ，则=+y x .13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22--=x x y 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 左边），点E 在对称轴MN 上，点F 在以点C（-1,-4）为圆心，21为半径的圆上，则AE+EF 的最小值为.14.已知直线)0(1>+=k kx y 与双曲线xy 2=交于A、B 两点，设A、B 两点的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，则=-+-)1()1(1221y x y x .15.若21≤---a x x 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是.16.已知互不相等的正整数20321,,,,a a a a 满足202420321=+++a a a a ，设d 是20321,,,,a a a a 的最大公约数，则d 的最大值为.三、解答题（共54分）17.(12分）已知实数215-=a .（1）求a a +2的值；（2）求3223111aa a a a a +++++的值.18.(12分）已知一次函数)0(1)2(<+-=k x k y 的图象与y x 、轴分别交于点A、B.（1）若2-=k ，试在第一象限内直接写出点),(y x M 的坐标，使得A、B、M 三点构成一个等腰直角三角形；（2）设O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最小值.19.(14分）如图，已知0120=∠AOB ,PT 切圆O 于T,A、B、P 三点共线，∠APT 的平分线依次交AT、BT 于C、D，连接BC、AD.(1)求证：△CDT 为等边三角形；(2)若AC=8，BD=2，求PC 的长.20.(16分）已知函数a x a x y -+-+=3)4(2.(1)若此函数的图象与x 轴交于点)0,()0,(21x B x A 、，且2021≤<≤x x ，求a 的取值范围；(2)若20≤≤x ，求y 的最大值；(3)记a x a x x f -+-+=3)4()(2，若对于任意的40<<a ，都能找到200≤≤x ，使t x f ≥)(0，求t 的取值范围参考答案：一、选择题：1-5CBBDC6-10ACBDD 二、填空题：11、2321-+12、913、2914、-415、31≤≤-a 16、817.（1）∵215-=a ，512=+∴a ，5)12(2=+∴a .4442=+∴a a ，12=+∴a a .(3)a a -=12，12)1()1(23-=--=-=-=∴a a a a a a a a .∴原式==++++-3321112aa a a a 122222112333-+=+=++a a a a a a a .当215-=a 时，原式=353)25(2152521511522152+=++-=-+-=--+-⨯.18.(1)当2-=k 时，52+-=x y ，满足题意的M 点有3个，分别为415,415(),215,5(),25,215(321M M M .(2)易求得)21,0(),0,12(k B kA --.k kk k OB OA S OAB 2212)2112(2121--=--=⋅=∴∆，0<k ，021>-∴k ，02>-k .有均值不等式得4)2(2122=-⋅-+≥∆k kS OAB ，当且仅当k k 221-=-，即21-=k 时，等号成立.∴△ABC 的面积的最小值为4.19.(1)证明：0120=∠AOB ，06021=∠=∠∴AOB ATB .∵PT 切⊙O 于T，∴∠BTP=∠TAP.∵PC 平分∠APT，∴∠APC=∠CPT.∵∠TCD=∠TAP+∠APC，∠CDT=∠BTP+∠CPT.∴∠TCD=∠CDT=00060260180=-.∴△CDT 为等边三角形.(3)解：设CT=DT=x ，∵∠TCD=∠CDT=∠BDP，∠BPD=∠CPT，∴△PCT∽△PDB.∴BDCTPD PC =①,∵∠DTP=∠PAC，∠APC=DPT,∴△ACP∽△TDP.∴PD PC TD AC =，∴TD AC BD CT =.∴xx 82=.∴4=x （负值舍去）.∴CD=DT=CT=4.由①得244=-PC PC ,解得PC=8.20.解：（1）∵0)2()3(4)4(22>-=---=∆a a a ，2≠∴a .①当a x x -==3,121时，则231≤-<a ，∴21<≤a ；②当1,321=-=x a x 时，则130<-≤a .32≤<∴a .综上所述，a 的取值范围为31≤≤a 且2≠a .(2)对称轴为直线24a x -=.分三种情况讨论：①当024<-a，即4>a 时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.②当2240≤-≤a，即40≤≤a 时，此时y 最大值在0=x 或2=x 处取得.（ⅰ）当242024a a --≥--时，则20≤≤a .此时，当0=x 时，a y -=3为最大值；（ⅱ）当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.③当224>-a，即0<a 时，当0=x 时，a y -=3为最大值.综上所述，当2<a 时，y 的最大值为a -3；当2>a 时，y 的最大值为1-a .(3)对称轴为直线24a x -=.∵40<<a ,∴2240<-<a.∴函数a x a x x f -+-+=3)4()(21在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-24,0a 上是减函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,24a 上是增函数.∴对任意的)4,0(∈a ，存在]2,0[0∈x 使得t x f ≥|)(|0可化为对任意的)4,0(∈a ，t f ≥|)0(|或t f ≥|)2(|或t af ≥-)24(有一个成立即可.即t a f f f ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧-max 24(||,)2(||,)0(|即可.①当242024a a --≥--时，则20≤≤a ，|)2(||)0(|f f ≥.∴a a a a f f t -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤3|2)2(||,3||24(||,)0(|max2max ，∴1)3(min =-≤a t .②当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，|)0(||)2(|f f >.1|4)2(||,1||24(),2(|max2-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤∴a a a a f f t .∴1)1(min =-≤a t .综上所述，t 的取值范围为1≤t .。

湖北省武汉武昌区四校联考2024-2025学年数学九年级第一学期开学经典模拟试题【含答案】

湖北省武汉武昌区四校联考2024-2025学年数学九年级第一学期开学经典模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形可以使它的形状改变.当∠B ＝60°时，如图（1），测得AC ＝2；当∠B ＝90°时，如图（2），此时AC 的长为（）A ．B ．2C D ．2、（4分）点P （2，5）经过某种图形变化后得到点Q （﹣2，5），这种图形变化可以是（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．上下平移3、（4分）不等式组21390x x >-⎧⎨-+≥⎩有（）个整数解．A ．2B ．3C ．4D ．54、（4分）用配方法解方程23610x x -+=时，配方后正确的是（）A ．23(1)0x -=B ．22(1)3x -=C ．223(1)3x -=D ．21(1)3x -=-5、（4分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相较于点O ，BD ＝8，BC ＝5，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长为()A ．5B ．125C ．245D ．1856、（4分）不等式组x 20{x 1x 32->+≥-的解集是A ．x≥8B．x ＞2C ．0＜x＜2D ．2＜x≤87、（4分）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB 的顶点B 的坐标为(2，0)，点A 在第一象限内，将△OAB 沿直线OB 的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点B′的横坐标为5，则点A′的坐标为()A ．B ．C ．D ．8、（4分）x 的取值范围是（）A ．x ≥0B ．x ＞0C ．x ≥﹣2D ．x ＞﹣2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在ABC 中， BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，MDN ∠的两边分别与AB 、AC 相交于M 、N 两点，且180MDN BAC ︒∠+∠=，若6,60AD BAC ︒=∠=，则四边形AMDN 的面积为___________.10、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A （﹣2，5），B （﹣3，﹣1），C （1，﹣1），在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是_____．11、（4分）a 、b 、c 是△ABC +|c-a-b|=_______．12、（4分）若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．13、（4分）函数y=-12x，在x=10时的函数值是______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2:3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做15天完成.（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m 天，乙队共做了n 天完成.已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？15、（8分）在2018年俄罗斯世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≥60）元，销售量为y 套．（1）求出y 与x 的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元？16、（8分）某班进行了一次数学測验，将成绩绘制成频数分布表和频数直方图的一部分如下:成绩频数（人数）频率5060x ≤<50.16070x ≤<100.27080x ≤<200.48090x ≤<a 0.290100x ≤<5b (1)在频数分布表中，a 的值为________，b 的值为________；(2)将频数直方图补充完整；(3)成绩在80分以上(含80)的学生人数占全班总人数的百分比是多少?17、（10分）如图，一次函数y ＝2x +4的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求直线BD 的表达式．18、（10分）如图，P 、Q 是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ 为对角线的格点四边形.（顶点都在格点上的四边形称为格点四边形）（1）在图①中画出一个面积最小的中心对称图形PAQB ，（2）在图②中画出一个四边形PCQD ，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD 由线段PQ 以某一格点为旋转中心旋转得到.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，则(1)(1)a b ++的值是的___．20、（4分）如果点A(1，m)与点B(3，n)都在反比例函数y=3x （k ＞0）的图象上，那么代数式m-3n+6的值为______．21、（4分）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，AC 上的点，且DE ∥AC ，EF ∥AB ，要使四边形ADEF 是正方形，还需添加条件：__________________．22、（4分）如图，矩形ABCD 中，AB=16cm ，BC=8cm ，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D′处，则重叠部分△AFC 的面积为______．23、（4分）在▱ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AB ＝2，AC ＝6，BD ＝8，那么△COD 的周长为_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，CD AD ⊥于点D ，2222AD CD AB +=.求证AB BC =.25、（10分）（1（结果保留根号）；（2）分析（1）的结果在哪两个整数之间?26、（12分）如图，在ABCD 中，AB =2AD ，DE 平分∠ADC ，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，EG ∥AD 交DC 于点G .⑴求证：四边形AEGD 为菱形；⑵若60ADC ∠=︒，AD =2，求DF 的长.参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】根据图1中一个角为60°的等腰三角形可得三角形ABC为等边三角形：AC=BC=2；再图2中由勾股定理可求出AC的长即可.【详解】解：如图1，∵AB=AC，且∠ABC=60°，∴三角形ABC为等边三角形，AB=AC=BC=2；如图2，三角形ABC为等腰直角三角形，由勾股定理得：222AC BC AB=+,即：AC==，故选：A.本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出斜边AC的长度是解题的关键.2、B【解析】根据平面内两点关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变从而得出结论【详解】∵点P（2，5）经过某种图形变化后得到点Q（﹣2，5），∴这种图形变化可以是关于y轴对称．故选B．此题主要考查平面内两点关于y轴对称的点坐标特征3、C【解析】求出不等式组的解集，即可确定出整数解．【详解】21390xx>-⎧⎨-+≥⎩①②，由①得：x＞﹣12，由②得：x ≤3，∴不等式组的解集为﹣12＜x ≤3，则整数解为0，1，2，3，共4个，故选C ．本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及解集的确定方法是解题的关键．4、B 【解析】根据配方法解方程的方法和步骤解答即可．【详解】解：对于方程23610x x -+=，移项，得：2361x x -=-，两边同时除以3，得：2123x x -=-，配方，得：212113x x -+=-+，即()2213x -=．故选：B ．本题考查了用配方法解一元二次方程，属于基础题型，熟练掌握配方的方法和步骤是解答的关键．5、C 【解析】在Rt OBC 中，根据OC =OC ，再利用面积法可得11AE BC BO AC 22⨯⨯=⨯⨯，由此求出AE 即可．【详解】四边形ABCD 是菱形，BD 8=，BO DO 4∴==，BOC 90∠=，在Rt OBC 中，OC 3===，AC 2OC 6∴==，ABC 11S AE BC BO AC 22∴=⨯⨯=⨯⨯故5AE 24=，解得：24AE 5=．故选C ．此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用三角形面积求出AE 的长是解题关键．6、D 【解析】试题分析：解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．因此，x 20x 2{{2x 8x x81x 32->>⇒⇒<≤≤+≥-．故选D ．7、D 【解析】根据等边三角形的性质和平移的性质即可得到结论．【详解】解：∵△OAB 是等边三角形，∵B 的坐标为(2，0)，∴A(1，∵将△OAB 沿直线OB 的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点B′的横坐标为5，∴A′的坐标(4)，故选：D ．本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质．求出点A′的坐标是解题的关键．8、C【解析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【详解】有意义,∴x+1≥0,∴x ≥﹣1．故选：C ．考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、．【解析】作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，依据HL 判定Rt △ADE ≌Rt △ADF ，即可得出AE=AF ；判定△DEM ≌△DFN ，可得S △DEM =S △DFN ，进而得到S 四边形AMDN =S 四边形AEDF ，求得S △ADF =12AF×DF=932，即可得出结论．【详解】解：作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE=DF ，又∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠AED=∠AFD=90°，又∵AD=AD ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ），∴AE=AF ；∵∠MDN+∠BAC=180°，∴∠AMD+∠AND=180°，又∵∠DNF+∠AND=180°∴∠EMD=∠FND ，又∵∠DEM=∠DFN ，DE=DF ，∴△DEM ≌△DFN ，∴S △DEM =S △DFN ，∴S 四边形AMDN =S 四边形AEDF ，∵6,60AD BAC ︒=∠=，AD 平分∠BAC ，∴∠DAF=30°，∴Rt △ADF 中，DF=3，，∴S △ADF =12AF×DF=12×3=932，∴S 四边形AMDN =S 四边形AEDF =2×S △ADF ．故答案为．本题考查全等三角形的性质和判定、角平分线的性质定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．10、（2，5）．【解析】连接AB ，BC ，运用平行四边形性质，可知AD ∥BC ，所以点D 的纵坐标是5，再跟BC 间的距离即可推导出点D 的纵坐标．【详解】解：由平行四边形的性质，可知D 点的纵坐标一定是5；又由C 点相对于B 点横坐标移动了1﹣（﹣3）＝4，故可得点D 横坐标为﹣2+4＝2，即顶点D 的坐标（2，5）．故答案为（2，5）．本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示等知识的直接考查，同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求不高.11、2a.【解析】可根据三角形的性质：两边之和大于第三边．依此对原式进行去根号和去绝对值．【详解】∵a 、b 、c 是△ABC 三边的长∴a+c-b ＞0，a+b-c ＞0∴原式=|a-b+c|+|c-a-b|=a+c-b+a+b-c =2a ．故答案为：2a.考查了二次根式的化简和三角形的三边关系定理．12、72【解析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解：∵一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，∴()()2214241402b ac k k -=--创-=,整理得，22410k k +-=，∴21+22k k =()()2221k k k -+-224k k =--+()224k k =-++当21+22k k =时，()224k k =-++142=-+72=故答案为：72.本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.13、-1【解析】将函数的自变量的值代入函数解析式计算即可得解．【详解】解：当10x =时，y=-12x =-1102⨯=-1．故答案为：-1．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，准确计算即可，比较简单．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.【解析】（1）根据题意列方程求解；（2）用总工作量减去甲队的工作量，然后除以乙队的工作效率得到乙队的施工天数，令施工总费用为w 万元，求出w 与m 的函数解析式，根据m 的取值范围以及一次函数的性质求解即可．【详解】（1）设甲、乙两队单独完成这取工程各需2x ，3x 天，由题意得：11130151233x x x ⎛⎫+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，解得：30x =，经检验：30x =是原方程的根，∴260x =，390x =，答：甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）由题意得：1319060902m n m ⎛⎫=-÷=- ⎪⎝⎭，令施工总费用为w 万元，则31589037202w m m m ⎛⎫=+⨯-=+ ⎪⎝⎭．∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，∴3720840m + ，390802m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，∴2040m ，∴当20m =时，完成此项工程总费用最少，此时390602n m =-=，780w =元，答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．15、(1)y ＝﹣4x +480；(2)70元.【解析】（1）根据销售量=240-（销售单价每提高5元，销售量相应减少20套）列函数关系即可；（2）根据月销售额=月销售量×销售单价=14000，列方程即可求出销售单价.【详解】解：（1）根据题意得：y ＝240﹣4（x ﹣60）＝﹣4x +480；（2）根据题意得：x （﹣4x +480）＝14000，整理得：x 2﹣120x +3500＝0，即（x ﹣50）（x ﹣70）＝0，解得：x ＝50（不合题意，舍去）或x ＝70，则当销售单价为70元时，月销售额为14000元．本题主要考查一元一次方程与一元二次方程在解实际问题中的应用，弄清题意，找出题中的等量关系列出正确的方程是解题的关键.16、（1）10,0.1；（2）答案见解析；（3）占全班总人数百分比为30%.【解析】（1）先计算参加数学測验的总人数，根据a=总人数-各分数段的人的和计算即可得解，b=1-各分数段的频率的和计算即可得解；（2）根据（1）补全直方图；（3）求出成绩在80分以上(含80)的学生人数除以总人数即可．【详解】(1)∵参加数学測验的总人数为：50.1=50÷∴50-5-10-20-5=10a=，1-0.1-0.2-0.4-0.2=0.1b=(2)如图：该直方图为所求作..(3)成绩在80分以上的学生人数为15人，全班总人数为50人，占全班总人数百分比为1530% 50=本题考查了频数（率）分布直方图及频数（率）分布表；概率公式，掌握频数分布直方图及频数分布表是解题的关键17、（1）A（﹣2，0），点B（0，1），D（2，﹣2）；（2）y＝﹣3x+1．【解析】(1)由于ー次函数y=2x+1的图象与x、y轴分别相交于点A、B,所以利用函数解析式即可求出AB两点的坐标,然后过D作DH⊥x轴于H点,由四边形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AHD=90°,AB=AD,接着证明△ABO≌△DAH,最后利用全等三角形的性质可以得到DH=AO=2,AH=BO=1,从而求出点D的坐标;（2）利用待定系数法即可求解【详解】解：（1）∵当y＝0时，2x+1＝0，x＝﹣2．∴点A（﹣2，0）．∵当x＝0时，y＝1．∴点B（0，1）．过D作DH⊥x轴于H点，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠AOB ＝∠AHD ＝90°，AB ＝AD ．∴∠BAO +∠ABO ＝∠BAO +∠DAH ，∴∠ABO ＝∠DAH ．∴△ABO ≌△DAH ．∴DH ＝AO ＝2，AH ＝BO ＝1，∴OH ＝AH ﹣AO ＝2．∴点D （2，﹣2）．（2）设直线BD 的表达式为y ＝kx +b ．∴224k b b +=-⎧⎨=⎩解得34k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BD 的表达式为y ＝﹣3x +1．此题考查一次函数综合题，利用全等三角形的性质是解题关键18、（1）画图见解析；（2）画图见解析.【解析】（1）利用方格纸的特点及几何图形的计算方法，利用割补法，把四边形PAQB 的面积转化为△PAQ 与△PBQ 的面积之和，根据两个三角形的底PQ 一定时，要使面积最小，则满足高最小，且同时满足顶点都在格点上即可得答案；（2）根据题意，画出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD 由线段PQ 以某一格点为旋转中心旋转得到可知此四边形是等腰梯形，根据方格纸的特点，作出满足条件的图形即可.【详解】（1）∵PQ 为对角线，∴S 四边形PAQB =S△PAQ +S △PBQ ，∵PQ 一定时，高最小时，△PAQ 与△PBQ 的面积最小，A 、B 在格点上，∴高为1，∴四边形PAQB 如图①所示：（2）∵四边形PCQD 是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD 由线段PQ 以某一格点为旋转中心旋转得到，∴四边形PCQD 是等腰梯形，∴四边形PCQD 如图②所示：本题考查了作图——旋转变化及利用割补法计算几何图形的面积，熟练掌握旋转的性质及方格纸的特点是解题关键.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、-2【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出a 、b 的值，再代入代数式进行计算即可得解．【详解】2123x a x b -<⎧⎨->⎩①②，由①得，12a x +<，由②得，23x b >+，所以，不等式组的解集是1232a b x ++<<，不等式组的解集是11x -<<，231b ∴+=-，112a +=，解得1a =，2b =-，所以，(1)(1)(11)(21)2a b ++=+-+=-．故答案为：2-．本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．20、1【解析】点A （1，m ）与点B （3，n ）都在反比例函数y=3x （k ＞0）的图象上，代入可求出m 、n ，进而求代数式的值．【详解】解；把点A （1，m ）、B （3，n ）代入y=3x 得：m=3，n=1∴m-3n+1=3-3×1+1=1．故答案为：1．考查反比例函数图象上点的坐标特点，理解函数图象的意义，正确的代入和细心的计算是解决问题的前提．21、∠A＝90°，AD＝AF(答案不唯一)【解析】试题解析：要证明四边形ADEF 为正方形，则要求其四边相等，AB=AC ，点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，则得其为平行四边形，且有一角为直角，则在平行四边形的基础上得到正方形．故答案为△ABC 为等腰直角三角形，且AB=AC ，∠A=90°（此题答案不唯一）．22、1因为BC 为AF 边上的高，要求△AFC 的面积，求得AF 即可，求证△AFD′≌△CFB ，得BF=D′F ，设D′F=x ，则在Rt △AFD′中，根据勾股定理求x ，∴AF=AB-BF ．【详解】解：易证△AFD′≌△CFB ，∴D′F=BF ，设D′F=x ，则AF=16-x ，在Rt △AFD′中，（16-x ）2=x 2+82，解之得：x=6，∴AF=AB-FB=16-6=10，1402AFC S AF BC ∴=⋅⋅=故答案为：1．本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x ，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x 是解题的关键．23、1【解析】△COD 的周长=OC+OD+CD ，根据平行四边形的对角线互相平分的性质求得OC 与OD 的长，根据平行四边形的对边相等可得CD=AB=2，进而求得答案【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OC ＝OA ＝12AC ＝3，OD ＝OB ＝12BD ＝4，CD ＝AB ＝2，∴△COD 的周长＝OC +OD +CD ＝3+4+2＝1．故答案为1．此题考查平行四边形的性质，解题关键在于画出图形二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、见解析根据勾股定理AB 2+BC 2=AC 2，得出AB 2+BC 2=2AB 2，进而得出AB=BC ；【详解】证明：连接AC .∵90ABC ∠=︒，∴222AB BC AC +=.∵CD AD ⊥，∴222AD CD AC +=.∵2222AD CD AB +=，∴2222AB BC AB +=.∴22BC AB =.∴AB BC =.本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键.在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.25、（1）（2）5,6【解析】（1）先去括号，再将二次根式化简为最简二次根式，并合并；（2）确认，再确认25＜27＜36，可得结论．【详解】解：()1原式1336233=-⨯⨯-()2=56∴<<，∴5和6之间.本题考查了二次根式的加减混合运算和无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．26、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）先证出四边形AEGD 是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线证出∠ADE=∠AED ，得出AD=AE ，即可得出结论；（2）连接AG 交DF 于H ，由菱形的性质得出AD=DG ，AG ⊥DE ，证出△ADG 是等边三角形，AG=AD=2，得出∠ADH=30°，AH=12AG=1，由直角三角形的性质得出，得出，证出DG=BE ，由平行线的性质得出∠EDG=∠FEB ，∠DGE=∠C=∠EBF ，证明△DGE ≌△EBF 得出DE=EF ，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠AED=∠GDE ，∵AE ∥DG ，EG ∥AD ，∴四边形AEGD 是平行四边形，∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠GDE ，∴∠ADE=∠AED ，∴AD=AE ，∴四边形AEGD 为菱形；（2）解：连接AG 交DF 于H ，如图所示：∵四边形AEGD 为菱形，∴AD=DG ，AG ⊥DE ，∵∠ADC=60°，AD=2，∴△ADG 是等边三角形，AG=AD=2，∴∠ADH=30°，AH=12AG=1，∴DH=∴∵AD=AE ，AB=2AD ，AD ∥CF ，EG ∥AD ，∴DG=BE ，∠EDG=∠FEB ，∠DGE=∠C=∠EBF ，在△DGE 和△EBF 中，EDG FEB DG EB DGE EBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△DGE ≌△EBF （ASA ），∴DE=EF ，∴DF=2DE=4．本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．。

山东省青岛市局属四校联考2024-2025学年九年级数学第一学期开学调研模拟试题【含答案】

山东省青岛市局属四校联考2024-2025学年九年级数学第一学期开学调研模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如果一组数据3-，2-，0，1，x ，6，9，12的平均数为3，则x 为()A ．2B ．3C ．1-D ．12、（4分）若把分式2xy x y +的x 、y 同时扩大3倍，则分式值（）A ．不变B ．扩大为原来的3倍C ．缩小为原来的13D ．扩大为原来的9倍3、（4分）一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1：3，则这个多边形为（）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形4、（4分）不等式组1{1x x >-≤的解集在数轴上可表示为（）A ．B ．C ．D ．5、（4分）在下列式子中，x 可以取1和2的是()A ．11x -B C D ．12x -6、（4分）下列命题是真命题的是（）A ．方程23240x x --=的二次项系数为3，一次项系数为-2B ．四个角都是直角的两个四边形一定相似C ．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖D ．对角线相等的四边形是矩形7、（4分）已知：如图①，长方形ABCD 中，E 是边AD 上一点，且AE=6cm ，点P 从B 出发，沿折线BE-ED-DC 匀速运动，运动到点C 停止．P 的运动速度为2cm/s ，运动时间为t （s ），△BPC 的面积为y （cm 2），y 与t 的函数关系图象如图②，则下列结论正确的有（）①a=7②AB=8cm ③b=10④当t=10s 时，y=12cm 2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、（4分）一个多边形的每一个内角均为120︒，那么这个多边形是（）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．正方形二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）分解因式：2x 2-8x+8=__________.10、（4分）使分式1x x -有意义的x 的范围是________。

上海四校自招数学试卷

上海市四校自招考试数学试卷时间：120 分钟总分：150 分注意事项：1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 11 页。

2. 请将答案书写在答题纸上，用黑色签字笔或圆珠笔书写。

3. 请仔细检查试卷，确认试卷所有页面齐全。

第 I 卷（选择题）一、单项选择题（每题 3 分，共 30 分）1. 下列函数中，奇函数的是（）(A)(B)(C)(D)2. 若，则的值是（）(A)(B)(C)(D)3. 已知集合，，则是（）(A)(B)(C)(D)4. 已知，则的值为（）(A)(B)(C)(D)5. 下列命题中，真命题是（）(A) 三个角的和大于的三角形是钝角三角形(B) 若两个三角形两边分别相等，那么这两个三角形全等(C) 若，则(D) 若，则6. 已知点在圆上，则的最大值为（）(A) 3(B) 4(C) 5(D) 67. 函数的最小值为（）(A) -2(B) -1(C) 0(D) 18. 已知数列，则的值为（）(A) 120(B) 130(C) 140(D) 1509. 下列说法中，正确的是（）(A) 任何一个集合都是有限集(B) 任何一个非空集合都至少有一个元素(C) 两个集合的交集一定包含这两个集合中的所有元素(D) 两个集合的并集一定包含这两个集合中的所有元素10. 已知向量，，则的值为（）(A) -5(B) -3(C) 3(D) 5二、多项选择题（每题 4 分，共 20 分）11. 下列说法中，正确的是（）(A) 是有理数(B) 是无理数(C) 是有理数(D) 是无理数12. 下列函数中，周期为的是（）(A)(B)(C)(D)13. 下列命题中，真命题是（）(A) 若，，则(B) 若，，则(C) 若，，则(D) 若，，则14. 已知点，分别在抛物线上，且的中点为，则的值为（）(A)(B)(C)(D)15. 下列说法中，正确的是（）(A) 线性方程组的解集一定是有限集(B) 线性方程组的解集一定包含整数解(C) 线性方程组的解集一定包含有理数解(D) 线性方程组的解集一定包含实数解第 II 卷（非选择题）一、填空题（每题 5 分，共 25 分）16. 已知为实数，且，则_________.17. 已知三角形的三边长分别为，，，且，则三角形的形状为_________.18. 已知数列的首项为，公差为，则的值为_________.19. 已知函数，则_________.20. 已知直线与圆相切，则_________.二、解答题（共 75 分）21. （15 分）解不等式：22. （10 分）已知函数，求函数的最小值和最大值。

2024初升高自主招生数学试卷(一)及参考答案

—1—2024初升高自主招生数学模拟试卷（一）1.方程43||||x x x x -=实数根的个数为（）A .1B .2C .3D .42.如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，已知AB =AD =2，AC =4，且BD ：DC =2：3，则△ABC 是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形3.已知G 是面积为24的△ABC 的重心，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，则△DEG 的面积为（）A .1B .2C .3D .44.如图，在Rt △ABC 中，AB =35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC ，则△ABC 的周长为（）A .35B .40C .81D .845.已知2()6f x x ax a =+-，()y f x =的图象与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且1212383(1)()1)(16)(16)a a x x a x a x -=-++----，则a 的值是（）A .1B .2C .0或12D .126.如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =a ，CD =b .若∠ADC =∠BFE ，且四边形ABFE 的面积与四边形CDEF 的面积相等，则EF 的长等于（）A .2a b+B .abC .2ab a b +D .222a b +—2—7.在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 平分∠ACB 交AB 于点E .若BE +CD =BC ，则∠A 的度数为（）A .30°B .45°C .60°D .90°8.设23a =，26b =，212c =.现给出实数a 、b 、c 三者之间所满足的四个关系式：①2a c b +=；②23a b c +=-；③23b c a +=+；④21b ac -=.其中，正确关系式的个数是（）A .1B .2C .3D .49.已知m 、n 是有理数，方程20x mx n ++=2，则m +n =.10.正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE =3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE +PC 的值最小，则PB =.11.已知x y ≠，22()()3x y z y z x +=+=.则2()z x y xyz +-=.12.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD =∠BCD =60°，∠CBD =55°，∠ADB =50°.则∠AOB 的度数为.13.两个质数p 、q 满足235517p q +=，则p q +=.14.如图，四边形ABCD 是矩形，且AB =2BC ，M 、N 分别为边BC 、CD 的中点，AM 与BN 交于点E .若阴影部分的面积为a ，那么矩形ABCD 的面积为.第12题图第14题图15.设k 为常数，关于x 的方程2223923222k k x x k x x k --+=---有四个不同的实数根，求k 的取值范围.—3—16.已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，并且满足1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，求x 的值.17.已知抛物线2y x =与动直线(21)y t x c =--有公共点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且2221223x x t t +=+-.(1)求t 的取值范围；(2)求c 的最小值，并求出c 取最小值时t 的取值.—4—18.如图，已知在⊙O 中，AB 、CD 是两条互相垂直的直径，点E 在半径OA 上，点F 在半径OB 延长线上，且OE=BF ，直线CE 、CF 与⊙O 分别交于点G 、H ，直线AG 、AH 分别与直线CD 交于点N 、M .求证：1DM DN MC NC-=.参考答案。

数学自主招生模拟试题

数学自主招生模拟试题
第一部分：选择题
1. 下列哪个数学符号代表无穷大？
A. √2
B. ∞
C. π
D. e
2. 如果对数a的值为3，那么指数a的值为多少？
A. 9
B. 5
C. 27
D. 81
3. 若a^2 + b^2 = 25，且a + b = 7，则a和b的值分别为多少？
A. a=3, b=4
B. a=4, b=3
C. a=5, b=6
D. a=6, b=5
4. 一个正方形的对角线长度为10，那么它的面积是多少？
A. 25
B. 50
C. 75
D. 100
5. 以下哪个不是三角函数？
A. sin
B. log
C. cos
D. tan
第二部分：填空题
1. 20%的250是多少？
答：50
2. 已知a=3，b=4，c=5，那么a^2 + b^2 = __？
答：25
3. 若a:b=2:3，b:c=3:4，求a:b:c的比值。

答：2:3:4
第三部分：简答题
1. 请简要说明直角三角形的勾股定理。

答：直角三角形的斜边的平方等于直角边的平方和。

2. 请解释什么是复数？
答：复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

3. 请列举一个常用的数学公式，并简要说明其应用场景。

答：圆的面积公式S=πr^2，可以用来计算圆形物体的表面积。

结束语：以上就是数学自主招生模拟试题的内容，希望能帮助大家更好地准备数学招生考试。

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2023-2024学年天津市四校高一上学期期末联考数学试卷含详解

2023～2024学年度第一学期高一数学期末四校联考高一数学一、选择题（本愿共9小恩，每小题5分，共计45分、每小题有且仅有一项符合题目要求.）1.已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()UA B ⋂=ð（）A.{}0 B.{}6,8 C.{}0,6,8 D.{}2,4,6,8 2.“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为（）A.存在一个六边形，它的内角和是720︒B.存在一个六边形，它的内角和不是720︒C.所有不是六边形的多边内角和都不是720︒D.所有六边形的内角和都不是720︒4.近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（）生活用电实行分段计电价0~200度用电量0.3元/度201~400度用电量0.6元/度401度以上用电量0.9元/度A.250度B.350度C.450度D.500度5.设0.914a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.84b =，4πlog sin2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b>> D.b c a>>6.已知函数()f x 是定义城为R 的奇函数，当0x ≤时，()2322f x x x =++，则32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.474B.474-C.234D.234-7.若将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位，得到函数图象解析式是（）A.πsin 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭8.若不等式()232911221e e x x a x x --++⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意的()1,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(),5∞--B.(],5-∞-C.[)1,-+∞ D.(),1∞--9.音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘()sin t A ωϕ+’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数()cos sin f x x x =⋅表示，则下列结论中正确的个数是（）①()f x 是周期为π的周期函数②,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间③若()()1214f x f x =-，12x x ≠，则12x x -的最小值为2π④()f x 的对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分.）10.函数311x y a -=-（0a >且1a ≠）无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.11.15πlg 25lg 2sin 24++=______.12.tan 2x =，则3cos sin sin 5cos x xx x-=+________.13.若实数1a >，2b >，且满足250a b +-=，则1112a b +--的最小值为______.14.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.1m OA =，0.4m AD =，125AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为________2m .15.已知函数()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则实数m 的取值范围________.三、解答题（本题共5小题，共75分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分.）16.已知集合{}121A x a x a =+≤≤+，函数()23log 310y x x =--的定义域为B .（1）若集合R B C =ð，求集合C ；（2）在(1)条件下，若3a =，求()R A C ð；（3）在(1)条件下，若“x A ∈”是“x C ∈”充分不必要条件，求实数a 的取值范围.17.已知函数()23sin cos 32f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在2π,123π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（3）若π243f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求4πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.函数()22f x ax bx =++，,a b ∈R（1）若()0f x >的解集是{|1x x <或2}x >，求实数a ，b 的值；（2）当0a =时，若()()42ff x x =-，求实数b 的值；（3）a ∈R ，若()24f =，求()28f x x <-+的解集.19.已知函数()()21,mx f x m n x n+=∈+R 是奇函数，且()()2g x f x =-一个零点为1.（1）求m ，n 的值及()f x 解析式；（2）已知函数()f x 在()0,1单调递减，()t x 在()()1,00,1-U 满足()()t x t x -=，当0x >时，()()t x f x =，若不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()()()233ln 1ln 1h x f x x x k x =--++-+⎡⎤⎣⎦的一个零点为2，求函数()h x 的其余零点.20.已知()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x +=.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明()f x 在区间[)0,∞上是增函数；（3）已知()()()2449F x f x mf x =-+，其中m 是大于1的实数，当[]20,log x m ∈时，()0F x ≥，求实数m 的取值范围.2023～2024学年度第一学期高一数学期末四校联考高一数学一、选择题（本愿共9小恩，每小题5分，共计45分、每小题有且仅有一项符合题目要求.）1.已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()UA B ⋂=ð（）A.{}0 B.{}6,8 C.{}0,6,8 D.{}2,4,6,8【答案】B【分析】根据集合的交集和补集的运算得到结果即可.【详解】因为{}0,2,4,6,8,10U =，{}0,2,4A =所以{}6,8,10U A =ð，又{}0,6,8B =所以(){}6,8U A B ⋂=ð，故选：B 2.“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合三角函数的性质求解即可.【详解】若π2π3x k =+，k ∈Z ，则πsin sin 2π32x k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，充分性成立；若sin 2x =，则π2π3x k =+或2π2π3x k =+，k ∈Z ，必要性不成立，所以“π2π3x k =+，k ∈Z ”是3sin 2x =的充分不必要条件.故选：A.3.命题“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为（）A.存在一个六边形，它的内角和是720︒B.存在一个六边形，它的内角和不是720︒C.所有不是六边形的多边内角和都不是720︒D.所有六边形的内角和都不是720︒【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定的知识：“改量词，否结论”即可确定正确选项.【详解】“所有六边形得内角和都是720︒”的否定为“存在一个六边形，它的内角和不是720︒”.故选：B4.近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（）生活用电实行分段计电价0~200度用电量0.3元/度201~400度用电量0.6元/度401度以上用电量0.9元/度A.250度B.350度C.450度D.500度【答案】B【分析】根据题意，得到本月缴纳的电费和居民用电量的函数关系式，结合题意，列出方程，即可求解.【详解】由题意，设某户居民用电量为x 度，本月缴纳的电费为y ，可得0.3,(0,200]600.6(200),(200,400]1800.9(400),(400,)x x y x x x x ∞∈⎧⎪=+⨯-∈⎨⎪+⨯-∈+⎩，当某户居民本月缴纳的电费为150元时，可得600.6(200)150x +⨯-=，解得350x =，即居民本月的用电量为350度.故选：B.5.设0.914a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.84b =，4πlog sin2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.b c a>>【答案】A【分析】利用指数指数函数的性质及特殊角的正弦值计算即可.【详解】易知00.9.9144a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，由于4x y =单调递增，所以041a b >>=，而πsin12=，所以4log 10c ==，综上c b a <<.故选：A6.已知函数()f x 是定义城为R 的奇函数，当0x ≤时，()2322f x x x =++，则32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）.A.474B.474-C.234D.234-【答案】D 【分析】由3322f f ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解.【详解】因为函数()f x 是定义城为R 的奇函数，233332332222224f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：D7.若将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位，得到函数图象解析式是（）A.πsin 2y x ⎛⎫=⎪⎝⎭ B.πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 2y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用图象平移“左加右减”的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．【详解】将函数ππ()sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移13个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：1π1ππππ()sin ()sin cos 3233222f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭．故答案为：C ．8.若不等式()232911221e e x x a x x --++⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意的()1,4x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(),5∞--B.(],5-∞-C.[)1,-+∞ D.(),1∞--【答案】A【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知a 的取值范围.【详解】因为32219(1)221e()ex x x x a +--+>，所以32219(1)22e e x x x x a +++>，32219(1)22x x x x a ∴+>++，即324(1)x x x a ->+()1,4x ∈ ，241x x a ∴->+当2x =时，24x x -有最小值4-，145a a ∴+<-⇒<-，故选：A9.音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘()sin t A ωϕ+’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数()cos sin f x x x =⋅表示，则下列结论中正确的个数是（）①()f x 是周期为π的周期函数②,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间③若()()1214f x f x =-，12x x ≠，则12x x -的最小值为2π④()f x 的对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】根据三角函数性质周期及对称中心判断①④，根据单调区间及值域分别判断②③.【详解】因为()()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x f x +=++=-=-,所以周期不是π，①错误；πππ1πππ1cos sin cos -sin -444222444222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯=-=⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，ππ44f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是的单调递增区间，②错误；()1sin2,sin 021sin2,sin 02x x f x x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩,因为()()121,4f x f x =-设()()121122f x f x ==-，所以111222πππ,Z,π,Z 44x k k x k k ∈∈=+=-+,所以()121212ππ,Z 2x x k k k k ∈-=+--,所以12x x -的最小值为π2，③正确；()πππ22πcos 22πsin 22πcos sin 222f x k x k x k x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+=+⨯++⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,④正确.故选：C.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分.）10.函数311x y a -=-（0a >且1a ≠）无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.【答案】1(,0)3【分析】根据题意，令310x -=，求得13x =和0y =，即可求解.【详解】由函数311x y a -=-（0a >且1a ≠），令310x -=，解得13x =，则0y =，所以函数恒经过定点1(,0)3.故答案为：1(,0)3.11.15πlg 25lg 2sin 24++=______.【答案】522-【分析】根据对数的运算性质和特殊角的三角函数值可求原式的值.【详解】原式13π32522lg 5lg 2ln e sin 1224222=⨯++-=+-=.故答案为：522-.12.tan 2x =，则3cos sin sin 5cos x xx x-=+________.【答案】17【分析】应用同角三角函数关系结合齐次式求解即可.【详解】因为tan 2x =所以3cos sin 3tan 321sin 5cos tan 5257x x x x x x ---===+++.故答案为：17.13.若实数1a >，2b >，且满足250a b +-=，则1112a b +--的最小值为______.【答案】3+##3【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值.【详解】因为250a b +-=，所以()()2121a b -+-=，又实数1a >，2b >，所以10,20a b ->->所以()()()211111221221121212a b a b a b a b a b --⎛⎫⎡⎤+=+-+-=+++ ⎪⎣⎦------⎝⎭()21233312a b a b --=++≥+=+--，当且仅当()21212250a b a b a b ⎧--=⎪⎨--⎪+-=⎩，即2221a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时，等号成立，故答案为：3+14.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.1m OA =，0.4m AD =，125AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为________2m .【答案】π12【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解.【详解】因为扇形OAB 的院校为π25π12518036AOB ∠=⨯=，又因为0.1m OA =，0.4m AD =，所以，该扇环形砖雕的面积为()22125ππ0.50.123612S =⨯⨯-=.故答案为：π12.15.已知函数()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则实数m的取值范围________.【答案】()2,2-【分析】转化为=与22m y =的图象有3个交点，做出=的图象，结合图象可得答案.【详解】若函数()()22m g x f x =-有三个零点，则=与22m y =的图象有3个交点，()2ln 1,022,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，当0x ≤时，ln 10y x =-≥，当0x >时，()2222111y x x x =-+=-+≥，与y 轴的交点为0,2，()f x 的大致图象如下，要使=与22m y =的图象有3个交点，则2122m <<2m <<，或2m -<<.故答案为：()2,2-⋃.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合.三、解答题（本题共5小题，共75分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分.）16.已知集合{}121A x a x a =+≤≤+，函数()23log 310y x x =--的定义域为B .（1）若集合R B C =ð，求集合C ；（2）在(1)条件下，若3a =，求()R A C ð；（3）在(1)条件下，若“x A ∈”是“x C ∈”充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}25x x -≤≤（2）4{|}2x x -≤<（3）(,2]-∞【分析】（1）由对数函数的性质，求得集合{2B x x =<-或5}x >，结合补集的运算，即可求解；（2）当3a =时，求得R {|4A x x =<ð或7}x >，结合集合交集的运算，即可求解；（3）根据题意，得到A 是C 的真子集，分类讨论，集合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由函数23log (310)y x x =--的定义域为B ，可得23100x x -->，即(2)(5)0x x +->，解得2x <-或5x >，所以集合{2B x x =<-或5}x >，所以{}R 25B C x x ==-≤≤ð.【小问2详解】解：当3a =时，集合{|47}A x x =≤≤，可得R {|4A x x =<ð或7}x >，因为{|25}C x x =-≤≤，所以()R {|24}A C x x ⋂=-≤<ð.【小问3详解】解：若“x A ∈”是“x C ∈”的充分不必要条件，所以A 是C 的真子集，当121a a +>+时，即0a <时，此时A =∅，满足A 是C 的真子集；当A ≠∅时，则满足21121512a a a a +≥+⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩且不能同时取等号，解得02a ≤≤，综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞.17.已知函数()23sin cos 2f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在2π,123π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（3）若π243f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求4πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）π，单调减区间为()5π11ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.（2）min ()1f x =-，max ()1f x =（3）23-【分析】（1）化简函数为()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由(1)得出函数()f x 的单调递增区间，结合π(12f -，5π()12f 和2π(3f 的值，即可求解；（3）根据题意，求得π3sin(2)62α+=，结合4ππ3πcos(2cos[(2)362αα-=+-，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()22313sin cos 2sin cos 2cos 1222f x x x x x x x =-+=⨯--1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫=-=- ⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤-≤+∈，可得5π11πππ,Z 1212k x k k +≤≤∈，所以()f x 的单调减区间为()5π11ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】解：由(1)知，函数的单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，因为π2π,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，在5π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且π()112f -=-，5π(112f =，2π(03f =，所以min ()1f x =-，max ()1f x =.【小问3详解】解：由函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得ππ2()sin(2463f αα+=+=，因为π4π3π(2(2632αα+--=，所以4ππ3ππ2cos(2)cos[(2]sin(2)36263ααα-=+-=-+=-.18.函数()22f x ax bx =++，,a b ∈R （1）若()0f x >的解集是{|1x x <或2}x >，求实数a ，b 的值；（2）当0a =时，若()()42f f x x =-，求实数b 的值；（3）a ∈R ，若()24f =，求()28f x x <-+的解集.【答案】（1）1a =，3b =-（2）2b =-（3）答案见解析【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值.（2）先求出()()f f x ，再根据代数式恒相等可求b 的值.（3）原不等式即为2(32)60ax a x +--<，就a 不同情形分类讨论后可得不等式的解.【小问1详解】不等式220ax bx ++>的解集为{|1x x <或2}x >，0a ∴>，且220ax bx ++=的两根为11x =，22x =，3b a∴-=，22a =，1a =，3b =-.【小问2详解】()2()(2)(2)22242f f x f bx b bx b x b x =+=++=++=-，得24222b b ⎧=⎨+=-⎩，2b ∴=-.【小问3详解】(2)4220f a b =+-=，21a b ∴+=，12b a∴=-即2(32)60ax a x +--<，(3)(2)0ax x ∴+-<（1）当0a =时，2x <（2）当0a ≠时，则3(2)0a x x a +-<，①当0a >时，32x a -<<；②当0a <时，若32a -<，即32a <-时，3x a <-或2x >，若32a -=，即32a =-时，2x ≠；若32a ->，即302a -<<时，2x <或3x a >-；综上所述：当32a <-时，不等式的解集为3{|x x a <-或2}x >；当32a =-时，不等式的解集为{|2}x x ≠；当302a -<<时，不等式的解集为{|2x x <或3}x a>-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <；当0a >时，不等式的解集为3{|2}x x a-<<.19.已知函数()()21,mx f x m n x n+=∈+R 是奇函数，且()()2g x f x =-一个零点为1.（1）求m ，n 的值及()f x 解析式；（2）已知函数()f x 在()0,1单调递减，()t x 在()()1,00,1-U 满足()()t x t x -=，当0x >时，()()t x f x =，若不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()()()233ln 1ln 1h x f x x x k x =--++-+⎡⎤⎣⎦的一个零点为2，求函数()h x 的其余零点.【答案】（1）1m =，0n =，1()f x x x=+（2）3111[,(,]8448a ∈---- （3）0，4.【分析】（1）根据零点和奇函数的定义，联立方程组，解得,m n 的值，得到()f x 解析式，验证()f x 的奇偶性，即可得解；（2）依题意利用偶函数和单调性可得a 满足的条件，进而可求解a 的取值范围；（3）求出()h x 的解析式，依题意求出k ，进而可得ℎ的其他零点.【小问1详解】因为函数()g x 的一个零点是1，所以()10g =⇒(1)2f =，()f x 是奇函数，所以()12f -=-，所以，()()11211121m f n m f n +⎧==⎪⎪+⎨+⎪-==-⎪-+⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩，()211x f x x x x+==+，定义域为()(),00,∞∞-⋃+.()(),00,x ∞∞∀∈-⋃+，都有()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，()f x 是奇函数，满足题意，故1m =，0n =，1()f x x x =+【小问2详解】函数()t x 满足()()t x t x -=，所以()t x 是偶函数且在(0,1)单调递减因为不等式()1412t a t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立所以04111412a a ⎧<+<⎪⎨+≤⎪⎩，11102443188a a a ⎧-<<--<<⎪⎪⎨⎪-≤≤-⎪⎩或所以3111[,(,]8448a ∈---- 【小问3详解】()()21ln 1(3)h x k x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，因为函数ℎ的一个零点为2，所以210(23)k -=-，解得1k =.所以()()211ln 1(3)h x x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，令()0h x =，得2110(3)x -=-或ln(1)0x +=，解得0,2,4x =.所以函数()g x 的其余零点为0，4.20.已知()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x +=.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明()f x 在区间[)0,∞上是增函数；（3）已知()()()2449F x fx mf x =-+，其中m 是大于1的实数，当[]20,log x m ∈时，()0F x ≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()()1222x x f x -=+，()()1222x x g x -=-（2）证明见解析（3）(]1,3【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解；（2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得；（3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可.【小问1详解】()f x ，()g x 分别为定义在上的偶函数和奇函数所以−=，()()g x g x -=-()()2x f x g x +=①，()()()()2x f x g x f x g x --+-=-=②，由①②可知，()()1222x x f x -=+，()()1222x x g x -=-【小问2详解】取120x x ∀>≥，()()()()11221211222222x x x x f x f x ---=+-+2112121212121222222222221212222x x x x x x x x x x x x x x --++--+-+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭因为120x x >≥，所以12220x x ->，1221x x +>，121102x x +->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，得证；【小问3详解】由已知()()()2449F x f x mf x =-+()2222244922x x x x F x m --⎛⎫⎛⎫++=⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2222229x x x x m --=+-⋅++由(2)得()f x 在[]20,log m 上单调递增，1m ∴>，1()1,2m m f x ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦设122=2()2,x x t f x m m -⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，令()2290G t t mt =-+≥0t > ，192m t t ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，12,t m m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦而函数192y t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上递减，在[]3,+t ∞∈递增①当13m m +≤时，35132m +<≤<，192t t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，显然成立即312m +<≤②当13m m +>时，352m +>，min 193323y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，3m ∴≤即353 2m+<≤综上所述，实数m的取值范围是(]1,3.。

四校自招模拟题数学卷.pdf

四校自招针对性训练
学而思高中部胡晓晨老师
Part 1 代数式变换
1.1 因式分解
【1】,x y 是正整数，满足
141x y
+=的数对(,)x y =_________________
【2】,x y 是正整数，且x y ≤，则满足415()xy x y =+的数对(,)x y 有_____________个
【3】一个直角三角形的三边长均为整数，周长为120，则这样的三角形的三边长分别为___________________
1.2 配方
【4】若一个正整数n 能写成另外两个整数的平方和，则称这样的数n 为“好数”，若一个实数x 能写成两个好数的商，则称这样的数x 为“坏数”
求证：(1)任何两个好数的积还是好数
(2)任何一个坏数可以写成两个有理数的平方和
1.3 根式的计算
【5】化简
152= _________________
【6
Part 2 不等式
【7】,,a b c 为正整数，若1111a b c
++=且a b c <<，求,,a b c 的值
【8】关于x 的方程12ax <<的解集中，有且仅有一个正整数，则a 的取值范围为__________________
Part 3 二次方程根与系数的关系
【9】顶点为P 的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，若120APB ∠=︒，则24b ac -=
______________
【10】设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)(1)9a b ++=，求22
11a b +的值。