数据的统计描述
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等； 统计表：将统计指标组成表格，可同时呈现多种统计指标，
并进行复杂的样本分组、合并计算； 统计图：按照统计指标的大小将其绘制成一张图形，对于连
续变量数据，常用直方图、箱图加以展示，对于分类变量， 常用条图、饼图加以展示。
变量的类型
Nominal变量 （名义型）
Ordinal变量 （定序型）
Scale变量 （定 距定比型）
全距又称为极差，是一组数据中最大值（Maximum）与 最小值（Minimum）之差.
极差衡量的是变量分布的变异范围或离散幅度。 它仅仅取决于两个极端值的水平，不能反映其间的变量分布。 它容易受个别极端值的影响，并不稳定。
全距一般只用于预备性检查，目的是大体上了解数据的分 布范围。
R X max X min
n
(xi x)2
S 2 i1 n 1
n
(xi x)2
S i1 n 1
方差和标准差的适用范围：
✓由于方差和标准差的计算涉及到每一个变量值，所以它们 反映的信息在离散指标中是最全面、最可靠的变异描述指标。
✓ 由于涉及每一个变量值，方差和标准差也会受极端值的影 响，当数据中有明显的极端值时不宜使用。
分类变量
可视作分类变量， 也可处理后视作 连续变量
连续变量
5
集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，是关于 中心位置的描述。
在统计学中，关于数据分布的中心位置的统计量被称为位 置统计量（Location Statistic）。
常用的位置统计量有：
均数——适用于正态分布和对称分布资料； 中位数——适用于所有分布类型的资料。 众数——适用于所有分布类型的资料。
算术均数（Arithmetic Mean）是最常用的描述数据分布的 集中趋势的统计量。总体均数用μ表示，样本均数用X表示。
X X1 X 2 … X n
Xi
n
n
均数的最重要意义在于它高度浓缩了数据，使大量的观测数 据变为一个代表性数值。但它掩盖了各个观测数据之间的差 异性，且对极端值比较灵敏，在某些情况下也有一定欺骗性。
✓ 只有均数能反映集中趋势时才能使用方差和标准差来反映 离散趋势。因此，方差和标准差的适用范围应当是正态分布。
百分位数（Percentile）是一种位置指标，用Px表示。一个 百分位数将一组观察值分为两部分，理论位置有x%的观察值 比它小，(100－x)%的观察值比它大。
四分位数即三个数据的总称，分别是P25、P50和P75分位数。 这三个分位数将全部总体单位按标志值的大小等分为四部分。 分别记为Q1、Q2和Q3。 四分位数间距即（Q3 —Q1）
均数适用范围： ✓ 单峰和基本对称的分布情况下适用于描述集中趋势。 ✓ 严格讲均数只适用于定距变量，但有时对于定序变量，求 平均等级也可使用均数。
中位数（Median）是将总体各单位的标志值按大小顺序 排列，处于中间位置的那个标志值。剩下的值一半比它大， 一半比它小。设标志值X1 X 2 X3 X n 则中位数M＝X (n1)/2 当n为奇数时 M＝( X n/2 X ) n/21 / 2 当n为偶数时
数据的分布形态主要指数据分布是否对称，偏斜程度如何， 分布陡缓程度等。
选择众数和中位数来代表。
正偏或右偏分布
众数中位均数
X
三值合一
对称分布
均数中位众数数
负偏或左偏分布
由于均数较易受极端值的影响，因此可以考虑将数据排序 后，按一定比例去掉两端的数据，只使用中部的数据来求均数， 即截尾均数。
如果截尾均数和原均数相差不大，则说明数据不存在极端值， 或者两侧极端值的影响正好抵消；反之，则说明数据中有极端 值，此时截尾均数能更好地反映数据的集中趋势。 常用的截尾均数有5%截尾均数，即两端各去掉5%的数。
4.１ 连续变量的统计描述 4.２ 分类变量的统计描述 4.３ 多选题的统计描述 4.4 统计图的呈现
描述性统计分析：用少量数字（即描述指标）概括大量原 始数字，对数据进行描述；
推断性统计分析：从样本信息回推总体特征。
统计描述中可用的工具
各种初步汇总描述方法：分组汇总、百分位数刻画 各种统计描述指标：均数、标准差、四分位数间距、百分比
四分位数间距（ Q3 － Q1 ）的适用范围：
✓ 四分位数间距包括了中间50%的观察值，因此既排除了两 端极端值的影响，又能够反映较多数据的离散程度，是当方 差、标准差不适用时较好的离散程度描述指标。
✓ 四分位数间距越大表明中间的数据越分散，越小表明中间 的数据越集中，在描述数据的离散程度上比极差的稳定性要 高。
众数不受极端值影响，但对资料的使用不完全，使用众数反 映连续变量会损失很多信息。
✓ 当数据为对称分布或接近对称分布时： 应选择均值作为集中Hale Waihona Puke Baidu势的代表值，因为此时均值与众
数和中位数的差异很小，而又是全部数据的综合，因此具有 很好的代表性。
✓ 当数据为偏斜度较大的非对称分布时： 均值此时受极端值的影响，而偏离数据的集中点；此时应
中位数是位置平均数，因此不受极端值的影响。
中位数适用范围： ✓ 非基本对称的分布情况下可使用于中位数描述集中趋势。 ✓ 中位数对于定序变量、连续变量都可以使用。 ✓ 中位数只考虑居中位置，因此用于描述连续变量会损失很 多信息。所以对于对称分布的资料，往往优先考虑均数。
众数（Mode）是样本数据中出现频次最大的那个数字。
方差：即平均了每个数据的离均差的平方值。可用于不同 含量样本数据分布离散程度的比较。
方差越大，数据分布的离散程度越大。
标准差：将方差开方得到标准差。标准差度量了偏离平均 数的大小，相当于平均偏差，可直接地、概括地、平均地 描述数据变异的大小。
标准差越小，表明数据越整齐，变异程度越小。标准差越 大，表明数据分布越分散，变异程度越大。
离散趋势是指一组数据远离其中心值的程度，是关于数据 波动范围的描述。
在统计学中，关于数据离散趋势的统计量被称为尺度统计 量（Scale Statistic）。
常用的尺度统计量有：
全距——适用于所有分布类型的资料 标准差、方差——适用于正态分布资料 四分位数间距——适用于所有分布类型的资料
并进行复杂的样本分组、合并计算； 统计图：按照统计指标的大小将其绘制成一张图形，对于连
续变量数据，常用直方图、箱图加以展示，对于分类变量， 常用条图、饼图加以展示。
变量的类型
Nominal变量 （名义型）
Ordinal变量 （定序型）
Scale变量 （定 距定比型）
全距又称为极差，是一组数据中最大值（Maximum）与 最小值（Minimum）之差.
极差衡量的是变量分布的变异范围或离散幅度。 它仅仅取决于两个极端值的水平，不能反映其间的变量分布。 它容易受个别极端值的影响，并不稳定。
全距一般只用于预备性检查，目的是大体上了解数据的分 布范围。
R X max X min
n
(xi x)2
S 2 i1 n 1
n
(xi x)2
S i1 n 1
方差和标准差的适用范围：
✓由于方差和标准差的计算涉及到每一个变量值，所以它们 反映的信息在离散指标中是最全面、最可靠的变异描述指标。
✓ 由于涉及每一个变量值，方差和标准差也会受极端值的影 响，当数据中有明显的极端值时不宜使用。
分类变量
可视作分类变量， 也可处理后视作 连续变量
连续变量
5
集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，是关于 中心位置的描述。
在统计学中，关于数据分布的中心位置的统计量被称为位 置统计量（Location Statistic）。
常用的位置统计量有：
均数——适用于正态分布和对称分布资料； 中位数——适用于所有分布类型的资料。 众数——适用于所有分布类型的资料。
算术均数（Arithmetic Mean）是最常用的描述数据分布的 集中趋势的统计量。总体均数用μ表示，样本均数用X表示。
X X1 X 2 … X n
Xi
n
n
均数的最重要意义在于它高度浓缩了数据，使大量的观测数 据变为一个代表性数值。但它掩盖了各个观测数据之间的差 异性，且对极端值比较灵敏，在某些情况下也有一定欺骗性。
✓ 只有均数能反映集中趋势时才能使用方差和标准差来反映 离散趋势。因此，方差和标准差的适用范围应当是正态分布。
百分位数（Percentile）是一种位置指标，用Px表示。一个 百分位数将一组观察值分为两部分，理论位置有x%的观察值 比它小，(100－x)%的观察值比它大。
四分位数即三个数据的总称，分别是P25、P50和P75分位数。 这三个分位数将全部总体单位按标志值的大小等分为四部分。 分别记为Q1、Q2和Q3。 四分位数间距即（Q3 —Q1）
均数适用范围： ✓ 单峰和基本对称的分布情况下适用于描述集中趋势。 ✓ 严格讲均数只适用于定距变量，但有时对于定序变量，求 平均等级也可使用均数。
中位数（Median）是将总体各单位的标志值按大小顺序 排列，处于中间位置的那个标志值。剩下的值一半比它大， 一半比它小。设标志值X1 X 2 X3 X n 则中位数M＝X (n1)/2 当n为奇数时 M＝( X n/2 X ) n/21 / 2 当n为偶数时
数据的分布形态主要指数据分布是否对称，偏斜程度如何， 分布陡缓程度等。
选择众数和中位数来代表。
正偏或右偏分布
众数中位均数
X
三值合一
对称分布
均数中位众数数
负偏或左偏分布
由于均数较易受极端值的影响，因此可以考虑将数据排序 后，按一定比例去掉两端的数据，只使用中部的数据来求均数， 即截尾均数。
如果截尾均数和原均数相差不大，则说明数据不存在极端值， 或者两侧极端值的影响正好抵消；反之，则说明数据中有极端 值，此时截尾均数能更好地反映数据的集中趋势。 常用的截尾均数有5%截尾均数，即两端各去掉5%的数。
4.１ 连续变量的统计描述 4.２ 分类变量的统计描述 4.３ 多选题的统计描述 4.4 统计图的呈现
描述性统计分析：用少量数字（即描述指标）概括大量原 始数字，对数据进行描述；
推断性统计分析：从样本信息回推总体特征。
统计描述中可用的工具
各种初步汇总描述方法：分组汇总、百分位数刻画 各种统计描述指标：均数、标准差、四分位数间距、百分比
四分位数间距（ Q3 － Q1 ）的适用范围：
✓ 四分位数间距包括了中间50%的观察值，因此既排除了两 端极端值的影响，又能够反映较多数据的离散程度，是当方 差、标准差不适用时较好的离散程度描述指标。
✓ 四分位数间距越大表明中间的数据越分散，越小表明中间 的数据越集中，在描述数据的离散程度上比极差的稳定性要 高。
众数不受极端值影响，但对资料的使用不完全，使用众数反 映连续变量会损失很多信息。
✓ 当数据为对称分布或接近对称分布时： 应选择均值作为集中Hale Waihona Puke Baidu势的代表值，因为此时均值与众
数和中位数的差异很小，而又是全部数据的综合，因此具有 很好的代表性。
✓ 当数据为偏斜度较大的非对称分布时： 均值此时受极端值的影响，而偏离数据的集中点；此时应
中位数是位置平均数，因此不受极端值的影响。
中位数适用范围： ✓ 非基本对称的分布情况下可使用于中位数描述集中趋势。 ✓ 中位数对于定序变量、连续变量都可以使用。 ✓ 中位数只考虑居中位置，因此用于描述连续变量会损失很 多信息。所以对于对称分布的资料，往往优先考虑均数。
众数（Mode）是样本数据中出现频次最大的那个数字。
方差：即平均了每个数据的离均差的平方值。可用于不同 含量样本数据分布离散程度的比较。
方差越大，数据分布的离散程度越大。
标准差：将方差开方得到标准差。标准差度量了偏离平均 数的大小，相当于平均偏差，可直接地、概括地、平均地 描述数据变异的大小。
标准差越小，表明数据越整齐，变异程度越小。标准差越 大，表明数据分布越分散，变异程度越大。
离散趋势是指一组数据远离其中心值的程度，是关于数据 波动范围的描述。
在统计学中，关于数据离散趋势的统计量被称为尺度统计 量（Scale Statistic）。
常用的尺度统计量有：
全距——适用于所有分布类型的资料 标准差、方差——适用于正态分布资料 四分位数间距——适用于所有分布类型的资料