双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程优秀教案
双曲线及其标准方程一.教学目标:（1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
二.教学重点:双曲线的定义三.教学难点:双曲线方程的推导四.教学过程:(一)复习回顾(二)双曲线的定义:1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢?2. 双曲线的定义: 平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．3.简单演示(使用几何画板).4. （*）注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下：时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）.②当时，表示两条射线.③当时，不表示任何图形.(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是，那么的坐标分别是．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为.(2)点的集合:由定义可知，双曲线就是集合：}．(3)代数方程, ,(4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：,移项整理两边平方可得:(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记)由双曲线定义，即，所以设，代入上式得：．即,这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：(1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到)强调指出：(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，，但不一定大于；(3)如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中的关系是，不同于椭圆方程中．(四).例题分析:练习:写出下列双曲线的焦点坐标:(1)(2)(3)(4)例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解: 根据双曲线的焦点在轴上，设它的标准方程为：,所以所求双曲线的标准方程为:(五)小结(六)作业:课本习题8.3 第1,2,4思考题: 当时，方程表示怎样的曲线？(七)板书设计:。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其应用。
2. 过程与方法：（1）通过观察实例，培养学生的空间想象能力；（2）运用转化思想，引导学生学会用坐标法研究双曲线。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其探求未知的精神；（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其应用。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的推导；（2）双曲线性质的理解与应用。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究；2. 运用数形结合法，直观展示双曲线的性质；3. 采用分组讨论法，培养学生的合作能力；4. 利用实例讲解，提高学生的应用能力。
四、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关概念：椭圆、抛物线；（2）提问：双曲线是什么？它有哪些特点？2. 自主学习：（1）学生自主探究双曲线的定义及其性质；3. 讲解双曲线的标准方程：（1）引导学生观察双曲线的图形，发现其特点；（2）讲解双曲线标准方程的推导过程；（3）让学生尝试写出常见双曲线的标准方程。
4. 应用拓展：（1）利用双曲线标准方程解决实际问题；（2）引导学生发现双曲线在现实生活中的应用。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义及其性质；2. 熟练掌握双曲线的标准方程及其应用；3. 完成课后练习，巩固所学知识。
4. 思考题：（1）双曲线有哪些实际应用场景？（2）如何利用双曲线解决实际问题？六、教学评价1. 课堂讲解：关注学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度，以及能否运用所学知识解决实际问题。
2. 课后作业：检查学生对双曲线知识点的掌握情况，以及应用能力。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互提问、讨论，提高课堂参与度。
七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
双曲线的定义及其标准方程教案
双曲线的定义及其标准方程教案教学目标：1. 理解双曲线的定义2. 掌握双曲线的标准方程及其性质3. 能够应用双曲线标准方程解决实际问题教学重点：双曲线的定义及其标准方程教学难点：双曲线标准方程的推导与应用教学准备：黑板、PPT、教案、练习题教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：复习椭圆的定义及其标准方程2. 提问：椭圆的定义是什么？它的标准方程是什么？二、双曲线的定义（10分钟）1. 提问：双曲线是什么？它的定义是什么？2. 讲解双曲线的定义：双曲线是平面上到两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。
3. 引导学生理解双曲线的性质：双曲线有两条渐近线，渐近线的方程是什么？三、双曲线的标准方程（10分钟）1. 讲解双曲线的标准方程：双曲线的标准方程是\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（a>b>0)。
2. 解释方程中各个参数的含义：a 是双曲线的实轴半长，b 是双曲线的虚轴半长。
3. 引导学生推导双曲线的标准方程：通过焦点和距离关系推导出双曲线的标准方程。
四、双曲线的性质（10分钟）1. 讲解双曲线的性质：引导学生了解双曲线的渐近线、顶点、对称性等性质。
2. 举例说明双曲线的性质：通过具体例子解释双曲线的渐近线、顶点、对称性等性质。
五、应用与练习（10分钟）1. 提问：双曲线在实际生活中有哪些应用？2. 讲解双曲线的应用：通过实际例子讲解双曲线在工程、物理等领域中的应用。
3. 布置练习题：让学生应用双曲线的标准方程解决实际问题。
本节课讲解了双曲线的定义及其标准方程，学生掌握了双曲线的性质及其应用。
通过练习题的布置，让学生进一步巩固双曲线的知识，并能够应用到实际问题中。
六、双曲线的渐近线（10分钟）1. 讲解双曲线的渐近线：引导学生了解双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x。
2. 解释渐近线的性质：渐近线是双曲线的斜率趋于无穷大的直线，当x 趋于±∞时，双曲线的曲线部分与渐近线趋于重合。
双曲线及其标准方程 教案
双曲线及其标准方程教案教案标题：双曲线及其标准方程教学目标：1. 理解双曲线的定义和性质。
2. 掌握双曲线的标准方程的推导和应用。
3. 能够绘制双曲线的图像并进行相关分析。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺等。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问或展示一幅双曲线的图像来引起学生对双曲线的兴趣和思考。
Step 2：双曲线的定义和性质（15分钟）1. 教师简要介绍双曲线的定义，并解释双曲线与直角坐标系的关系。
2. 教师引导学生发现双曲线的对称性、焦点和准线等性质，并进行简单的解释和讨论。
Step 3：双曲线的标准方程的推导（20分钟）1. 教师通过几何推导的方式，引导学生推导双曲线的标准方程。
2. 教师讲解标准方程的含义和各参数对双曲线图像的影响。
Step 4：双曲线的图像绘制与分析（25分钟）1. 教师通过示范，教学课件或黑板上的绘制，让学生掌握双曲线的图像绘制方法。
2. 学生根据教师的指导，自主绘制双曲线的图像，并进行相关的分析与讨论。
Step 5：练习与巩固（15分钟）1. 学生个别或小组完成相关的练习题，巩固所学内容。
2. 教师对学生的练习情况进行及时的指导和反馈。
Step 6：拓展与应用（15分钟）1. 教师引导学生思考双曲线在实际生活中的应用，并给予一些例子。
2. 学生进行小组或个人的拓展性应用探究，如双曲线在工程设计或物理问题中的应用等。
Step 7：总结与评价（10分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并回顾学生的学习情况。
2. 学生对本节课的教学效果进行自我评价，并提出问题和建议。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的双曲线图像绘制和分析练习，加深对双曲线的理解。
2. 引导学生进行更深入的研究和探索，如双曲线的参数方程等。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和表现情况。
2. 学生完成的练习题和拓展性应用探究的成果。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
双曲线教学设计共3篇 双曲线课程讲解
双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解下面是整理的双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解，以供参考。
双曲线教学设计共1双曲线及其标准方程教学设计一.教学目标: 1.知识目标:掌握双曲线的定义并会推导其方程.2.能力目标:能根据已知条件,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比,化简,分类讨论的思想的理解与运用.3.情感目标:利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育.二.教学重点与难点分析: 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义.本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题.三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下,采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中心,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中,教师利用问题引路,学生独立思考和分组讨论,从而自己解决问题.2.通过课件和动画展示数学知识的发生﹑发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”.学法:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中.四.媒体选择:多媒体课件.39五.教学过程设计: 探索问题一: 定圆圆O1内含于定圆圆O2,当圆M与圆O2内切而与圆O1外切时, 圆M的圆心M的轨迹是什么曲线? 学生: 是椭圆.教师: 面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.若将“距离之和”改为“距离之———差”.那将会出现什么情况呢? 探索问题二: 设圆O1,圆O2外离,其半径分别为r1,r2.动圆圆M与圆O1内切而与圆O2外切,求动圆M的圆心M的轨迹又是什么曲线? 分析: 设动圆M半径为r,有O2M?O1M??r2?rr?r1??r1?r2 教师: 谁能画出点M的轨迹?(没反应)困难在哪里呢? 学生: 动圆M有无数个,画起来困难.所以点M的轨迹画不出来! (课件演示) 教师:原来点M的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况? 学生:如果圆M与圆O1外切而与圆O2内切情况会怎样? 此时, O1M?O2M??r1?rr?r2??r1?r2.大概是开口向右的一条曲线吧.课件演示.教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件).请给出双曲线的定义.学生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹.教师:好.请看——(课件演示)当圆O1与圆O2外切时,虽然MO1?MO2?r1?r2?O1O2,但点在线段O1O2的两侧,是两条射线.动点M必定满足一个什么样的特定条件? 40学生:应在前面的叙述中,在”常数”后加上附加条件”小于O1O2”.教师:如果这个常数为0呢?这时点的轨迹是什么? 学生:平面内与两个定点O1,O2的距离的差的绝对值是0的点的轨迹是线段O1O2的垂直平分线.所以这个常数不能为0.教师:这就完整了.称O1,O2为双曲线的焦点.它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求.教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性.问题延伸: 教师:利用平面直角坐标系,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系? 学生:以O1,O2所在的直线为x轴,线段O1O2的中垂线为y轴,建立直角坐标系.教师:为什么不以O1或O2为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话, O1与O2就不能关于y轴对称,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁.教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演,教师归纳).教师:同学们都能得出方程?c2?a2?x2?a2y2??c2?a2?a2.仿照推导椭圆方程的方法.可x2y2令c?a?b.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 2?2?1.类似地,当焦点在y轴上ab222时,(或者说以O1O2所在的直线为y轴.线段O1O2的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是———y2x2 学生: 2?2?1ab 41教师:它们都是双曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上.思考问题一: 例1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为F1??5,0?,F2?5,0?,双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在y轴上,焦距为12,且经过点P?2,?5?,求双曲线的方程.(3).求过点A2,43和B?2,?4的双曲线标准方程.(第(1),(2)小题为课本的例习题.) (请三位同学板演,再请三位同学讲评.第(1),(2)小题略.第3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解.过程较繁.) 学生:第(3)题他解对了,但比较繁.我认为只要设mx2?ny2?1.然后把两点坐标分别代入,1得到两个二元一次方程组成的方程组,解得m?1, n??,表明它是双曲线,同时表示不6存在过这两点的椭圆.教师:对!讲得有道理.求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程,只需两个独立变量.这是它们的本质属性.理解这一点,解题运算量就小多了.教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用.思考问题二:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程.(3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施? (学生分组讨论.教师巡视指导.把学生解答用投影仪展示.) 学生(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差为2s,可知A,B两处与爆炸点的距离的42差为PA?PB?680?800,因此爆炸点应该位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.(2)如图,建立直角坐标系xoy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB中点重合.设爆炸点P的坐标为?x,y?.则PA?PB?340?2?680 ?AB 即2a?680,a?340.又AB?800 所以2c?800,c?400b2?c2?a2?因为PA?PB?680?0 所以x?0.x2y2所求双曲线方程为??1(x?0)(3).利用两个不同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C,利用B, C (或A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置.变式一:若将“在A处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s”改为“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚40s”那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 17变式二:若将“A,B两地相距800m”改为“A,B两地相距600m” 那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 变式三:假若在A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点P又在怎样的曲线上呢? 六.小结: 1.双曲线的定义,关键词是绝对值的差小于F1F2.432.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算.3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系.七.教学效果: 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现”主导----主体”现代教学思想,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养.44双曲线教学设计共2双曲线及其标准方程一、学习目标：【知识与技能】:1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.二、学情分析：1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.三、重点难点：教学重点:双曲线的定义、标准方程教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a三、教学过程：【导入】1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；2、观察生活中的双曲线；【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】探究一活动1：类比椭圆的学习，思考：研究双曲线，应该研究什么？怎么研究？从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程；活动二：数学实验：(1)取一条拉链，拉开它的一部分，(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在点F1，F2 上，(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。
双曲线及其标准方程 教案
双曲线及其标准方程教学目标1.掌握双曲线定义和标准方程；2.通过类比椭圆研究双曲线，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力；3.通过画双曲线的图形和建立双曲线的标准方程，让学生感知几何图形的曲线美，对称美；方程的简洁美，培养学生学习数学的兴趣.教学重难点1.教学重点：双曲线的定义及其标准方程；2.教学难点：双曲线点的轨迹的追踪和标准方程的推导.教学过程一、复习引入平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.二、实验探究1.动手画一画；2.请根据你所做的图形，探究以下问题.（各题中M点为图形上任意一点）(1)满足MF1−MF2=2a,2a=0的动点M的轨迹是______________;(2)满足MF1−MF2=2a,2a=F1F2的动点M的轨迹是___________;(3)先完成以下探究中①—⑤:①如图1中,设F2H=2a,则MF1,MF2与2a,三者具有怎样的数量关系?________________________________________.②如图2中,设F1H=2a,则 MF1,MF2与2a,三者具有怎样的数量关系?________________________________________.③将满足图1和图2中动点M的轨迹用集合P 表示为P={M|_____________________________}④常数2a与F1F2的大小关系怎样?______________________.⑤观察画出的图形,请你为上述集合P的对应的平面曲线命一个名称:曲线叫做____________.⑥归纳总结,双曲线的定义：____________________________________________________________________________其中这两个定点F1,F2 , 叫做__________,两焦点的距离F1F2=2c叫做____________.三、双曲线标准方程的推导(类比椭圆标准方程的推导)(1)回顾:求椭圆的标准方程的方法是什么?步骤是哪些?(2)独立完成双曲线标准方程的推导（3）双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程为___________________,焦点坐标为________.焦点在y轴上的双曲线的标准方程为___________________,焦点坐标为________.三、感受理解例1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.变式: 已知双曲线的焦距为10，双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.例2.已知方程x 29−y2m+1=1表示双曲线，则实数m的取值范围为__________.变式 1.已知方程x 2m +y21−m=1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围为__________.变式2.已知方程x 2m +y21−m=1表示双曲线，则实数m的取值范围为__________.四、归纳提炼1、通过本节课你学会了哪些知识?2、通过本节课你掌握了哪些方法?3、通过本节课的学习,你还有其它收获或体会吗?。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义2. 双曲线的性质3. 双曲线的标准方程4. 双曲线方程的求解方法5. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程及其求解方法3. 双曲线在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索双曲线的定义与性质。
2. 利用案例分析法，让学生了解双曲线的标准方程及其应用。
3. 运用数形结合法，帮助学生直观理解双曲线的特点。
4. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的双曲线现象，引发学生对双曲线的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义与性质：引导学生通过观察图形，总结双曲线的特点，进而给出双曲线的定义，并讲解其性质。
3. 介绍双曲线的标准方程：借助实例，引导学生理解双曲线标准方程的推导过程，并掌握其求解方法。
4. 应用实例：让学生运用双曲线方程解决实际问题，体会双曲线在实际中的应用价值。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线及其标准方程的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固学生对双曲线及其标准方程的理解。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评估学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 通过课后习题和实践项目，评估学生对双曲线标准方程的掌握及应用能力。
3. 结合小组讨论和课堂互动，评估学生的合作能力和数学思维能力。
七、教学拓展：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学中的引力定律、天文学中的星系运动等。
2. 介绍双曲线的进一步研究，如双曲线几何性质的深入分析和双曲线方程的多种求解方法。
八、教学资源：1. 教学PPT和教学视频，用于展示双曲线的图形和实例。
双曲线及其标准方程精品教案
双曲线及其标准方程（第一课时）（一）教课目的掌握双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程，能依据条件求简单的双曲线标准方程．（二）教课教程【复习发问】由一位学生口答，教师板书．问题 1：椭圆的第必定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是如何的？【新知探究】1．双曲线的观点假如把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程双是如何的呢？（1）演示如图，定点F1、 F2是两个按钉，MN 是一个细套管，点 M 挪动时， MF1MF2是常数，这样就画出双曲线的一支，由MF2MF1是同一个常数，可以画出双曲线的另一支．这样作出的曲线就叫做双曲线．（ 2）设问①定点 F1、 F2与动点M不在同一平面内，可否获得双曲线？请学生回答，不可以．指出一定“在平面内”．② M 到F1与F2两点的距离的差有什么关系？请学生回答，M 到F1与F2的距离的差的绝对值相等，不然只表示双曲线的一支，即MF1MF2是一个常数．③这个常能否会大于或等F1F2？请学生回答，应小于F1F2 且大于零．当常数F1 F2 时，轨迹是以F1、 F2为端点的两条射线；当常数F1F2 时，无轨迹．（3）定义在此基础上，指引学生归纳出双曲线的定义：平面内与两个定点F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1 F2）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程此刻我们能够用近似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思虑、回想椭圆标准方程的推导方法，随即指引学生给出双曲线标准方程的推导．（ 1）建系设点取过焦点 F1、 F2的直线为 x 轴，线段 F1F 的垂直平分线为 y 轴成立在直角坐标系（如图）．设 M x， y 为双曲线上随意一点，双曲线的焦距为2c c 0F c，、 F c，0 ，又设点M与F1、 F2 ，则 1 0 2的距离的差的绝对值等于常数2a 2a 2c ．（ 2）点的焦合由定义可知，双曲线上点的会合是P M MF1MF22a （ 3）代数方程x c 2 y 2 x c 2 y 2 2a（4）化简方程由一位学生演板，教师巡视，将上述方程化为x c 2 y2 x c 2 y2 2a移项两边平方后整理得：cx a2 a x c 22y两边再平方后整理得：c2 a2 x2 a 2 y2 a 2 c 2 a2由双曲线定义知 2c 2a 即c a ，∴ c2 a2 0，设c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：x2 y2 1 a 0， b 0a2 b2这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是F c，、 F c，0 ，这里 2 2 2．1 02 c a b假如双曲线的焦点在y 轴上，即焦点F1 0， c ， F2 0， c ，能够获得方程y 2 x21 a 0， b 0a2 b2这个方程也是双曲线的标准方程．教师应该指出：（ 1）双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“－”号连接，（ 2）双曲线方程中 a 0 ， b 0 ，但a不必定大于 b ；（ 3）假如x2的系数是正的，那么焦点在x轴上，假如y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆经过比较分母的大小来判断焦点的地点；（ 4 ）双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2 a 2 b2，不同于椭圆方程中c2 a2 b2．【例题剖析】例 1 说明：椭圆x2 y2 1 与双曲线x2 15 y2 15 的焦点同样．25 9由一位学生板演达成，答案都是4，0 ．例 2 已知两点 F1 5，0 、 F2 5，0 ，求与它们的距离的差的绝对值为 6 的点的轨迹方程．假如把上边的 6 改为 12，其余条件不变，会出现什么状况？由教师解说解：按定义，所求点的轨迹是以F1、 F2为焦点的双曲线．这里 a 3 ， c 5 ，∴ b2 c2 a 2 25 9 16 故所求双曲线的方程为x2 y2 9 116若 2a 12，则2c 10 且2a 2c ，因此动点无轨迹．（三）随堂练习1．求合适以下条件的双曲线的标准方程．（ 1）a 4，b 3 ；（ 2）焦点（ 0，－ 6），（ 0， 6），经过点（ 2，－ 5）．2．已知方程mx2 ny 2 m n m 0 m n ，求它的焦点坐标．x2 y 21表示双曲线，求 m 的取值范围．3．已知方程m m2 1答案： 1．（ 1）x2 y 2 1或 y 2 x2 1 ；（2）y2x2 1；2．0，m2 n2 ；16 9 16 9 20 16 mn 3．m 2 或 m 1（四）总结提炼1．双曲线定义m MF1 MF2 2a 2a F1F2（ F1， F2为定点， a 为常数）图形标准方程x2 y21 a 0， b 0y 2 x 21 a 0， b 0 a2 b2 a2 b2焦点坐标F1 c，0 ， F2 c，0 F1 0， c ， F2 0， ca ，b， c 关系c2 a2 b2 c a 0， cb 02．双曲线的标准方程可一致写成Ax 2 By2 1 AB 0．若A 0 ， B 0 表示焦点在 x 轴上的双曲线，若 A 0 ， B 0 则表示焦点在y 轴上的双曲线．（五）部署作业1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：“MF1 MF2 2a （a为常数）”，命题乙：“ M 点轨迹是F1、F2为焦点的双曲线” ，则甲是乙的（）A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件2．已知A 0，5 ，B 0，5 ， PA PB 2a ，当 a 3和5时， P 点的轨迹为（）A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和二条射线C．双曲线一支和一条直线 D ．双曲线一支和一条射线3．双曲线4x2 y2 64 0 上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一焦点的距离等于 ___________ ；若P到它的一个焦点的距离等于17，则点P到另一焦点的距离等_____________ ．4．假如椭圆x2 y 2 1与双曲线x2 y2 1的焦点同样，那么 a __________．4 a 2 a 2x2y25．已知方程 14 a5 a（1）a为什么值时方程表示双曲线；（2）证明这些双曲线有共同焦点．6．已知双曲线的一个焦点坐标为F1 0， 13 ，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．答案：1． B；2． D；3．17， 1 或 33；4． 1；5． 5 a 4 ，当 5 a 4 时，方程x2 y 21 表示双曲线．方程可表示4 a 5 a为 y2a x 2 1 c2 5 a 4 a 1，焦点坐标为（0，± 1）．5 4 ay2 x 2 6．1．144 25 （六）板书设计（一）复习发问问题 1问题 2 （二）双曲线的观点1演示2设问3定义双曲线及其标准方程（一）（三）双曲线的标准方程1．标准方程的推导2．说明（四）例题与练习例 1例 2练习（五）小结。
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案一、教学目标1. 能正确认识双曲线；2. 能根据图形结构特点认识双曲线；3. 能给出双曲线的标准方程，能根据标准方程判断双曲线的性质；4. 掌握双曲线的几何特征。
二、教学重点1. 能正确认识双曲线；2. 能根据图形结构特点认识双曲线；3. 掌握双曲线的标准方程。
三、教学难点能根据标准方程判断双曲线的性质。
四、教学过程（一）认识双曲线1. 教师讲解：什么是双曲线？2. 学生讨论：双曲线是何种曲线？它有哪些特点？3. 教师回答：双曲线是一种具有明显反曲点的曲线，具有明显的对称性，有两条对称轴，有两个焦点，可以用标准方程来表示。
（二）双曲线的标准方程1. 教师提问：双曲线可以用标准方程表示吗？2. 学生讨论：用什么样的方程表示双曲线？3. 教师讲解：双曲线的标准方程为ax^2 + by^2 + c = 0 ，其中a,b,c为常数。
（三）根据标准方程判断双曲线的性质1. 教师提问：根据标准方程可以判断双曲线的性质吗？2. 学生讨论：如何根据标准方程判断双曲线的性质？3. 教师讲解：可以根据双曲线的标准方程中的参数a,b,c的值来判断双曲线的性质。
当a=0，b=0时，双曲线不存在；当a=0，b≠0时，双曲线为直线；当a,b 同号，c=0时，双曲线为椭圆形；当a,b同号，c＜0时，双曲线为双曲线；当a,b异号，c＞0时，双曲线为心形。
（四）双曲线的几何特征1. 教师提问：双曲线有哪些几何特征？2. 学生讨论：双曲线有哪些几何特征？3. 教师讲解：双曲线有两条对称轴，有两个焦点，双曲线的准则曲线是圆，双曲线的渐近线是直线，双曲线的曲率可以被表示为1/a,1/b。
;。
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案一、教学目标：1.了解双曲线的定义。
2.熟练掌握双曲线的标准方程。
3.能够利用标准方程确定双曲线的基本性质。
二、教学重难点：1.双曲线的标准方程。
2.双曲线的性质及应用。
三、教学过程：Step 1 引入新知识（5分钟）1.师生共同回顾了上一节所学的椭圆，问：椭圆有哪些特点？2.引入新知识：同椭圆一样，双曲线也是一个有两个焦点的曲线。
Step 2 新知呈现（10分钟）1.定义：- 双曲线是平面上满足椭圆定义中的定理四的所有点的集合。
- 双曲线有两个相交的分支，分别在两个焦点的两侧。
2.双曲线的标准方程：- 对于顶点在原点的双曲线：方程形式为：x²/a² - y²/b² = 1 （横轴为 x 轴）方程形式为：y²/a² - x²/b² = 1 （横轴为 y 轴）- 对于顶点不在原点的双曲线：方程形式为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1 （横轴为 x 轴）方程形式为：(y - k)²/a² - (x - h)²/b² = 1 （横轴为 y 轴）3.教师讲解并分析标准方程的含义。
Step 3 梳理知识点（5分钟）1.对比椭圆和双曲线的标准方程。
2.总结双曲线的基本性质。
Step 4 拓展练习（15分钟）1.同学们一起完成教材上的例题，巩固标准方程的应用。
2.同学们根据已学知识，互相出题，进行小组内自主练习。
3.教师带领同学们讨论与解答疑惑。
Step 5 活动延伸（15分钟）1.让同学们观看相关视频，了解更多有关双曲线的知识。
2.设计小组活动，让同学们根据已学知识进行双曲线的绘制，提高运用能力。
四、教学反思：通过本节课的教学，使学生了解了双曲线的定义及其标准方程，掌握了双曲线的基本性质和应用。
在教学过程中，通过引入新知识、新知呈现、梳理知识点、拓展练习和活动延伸等多种教学方法，提高了学生的学习兴趣和参与度，培养了学生的综合运用能力，同时也发现了一些问题和不足，为进一步优化教学提供了思路。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用双曲线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程3. 双曲线方程的求法4. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其求法。
2. 教学难点：双曲线方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质与标准方程。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：简要介绍双曲线的起源和发展，激发学生的学习兴趣。
2. 自主学习：让学生通过阅读教材，了解双曲线的定义与性质。
3. 课堂讲解：讲解双曲线的标准方程及其求法，引导学生掌握关键步骤。
4. 例题分析：分析典型例题，让学生学会运用双曲线方程解决实际问题。
5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用。
7. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固双曲线及其标准方程的知识。
六、教学评价：1. 评价学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 评价学生是否能熟练掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 评价学生是否能运用双曲线方程解决实际问题。
七、教学资源：1. 教材：双曲线及其标准方程相关章节。
2. 课件：双曲线图像、性质和标准方程的示例。
3. 练习题：涵盖双曲线定义、性质、标准方程及应用的题目。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍双曲线定义与性质。
2. 第二课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。
3. 第三课时：例题分析与实际应用。
4. 第四课时：巩固练习与课堂小结。
九、教学反思：1. 反思教学方法是否有效，学生是否能积极参与。
2. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其变化规律。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，培养学生的观察和分析能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生探索双曲线的标准方程。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学美的欣赏，培养其对数学的兴趣；（2）培养学生团结协作、积极探究的精神。
二、教学重难点1. 教学重点：双曲线的定义、性质及标准方程。
2. 教学难点：双曲线标准方程的推导和应用。
三、教学过程1. 导入：（1）回顾椭圆的定义和标准方程；（2）通过提问，引出双曲线的概念。
2. 自主学习：（1）让学生根据已有知识，尝试描述双曲线的特征；3. 合作交流：（1）分组讨论，让学生探究双曲线的标准方程；4. 知识拓展：（1）介绍双曲线在实际应用中的例子；（2）引导学生思考双曲线与其他几何图形的关系。
四、课堂练习1. 填空题：（1）双曲线是平面上一对_____为定值的点的轨迹；（2）双曲线的标准方程为_____。
2. 解答题：（1）已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)，求证它是双曲线；（2）求双曲线\(\frac{x^2}{4} \frac{y^2}{3} = 1\) 的实轴长和虚轴长。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义、性质和标准方程；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 探索双曲线在其他领域的应用。
六、教学评价1. 评价目标：了解学生对双曲线及其标准方程的理解和掌握程度。
2. 评价方法：（1）课堂练习的完成情况；（2）课后作业的质量；（3）学生对双曲线实际应用案例的分析能力。
七、教学反思1. 反思内容：（1）学生对双曲线定义和性质的理解程度；（2）学生在探索双曲线标准方程过程中的困难与问题；（3）教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 改进措施：（1）针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度；（2）采用更多直观的教学工具，如图形软件，以增强学生的直观感受；（3）鼓励学生提问和参与课堂讨论，提高学生的主动学习意识。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。
(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。
1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。
(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。
1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。
(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。
第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。
(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。
(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。
2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。
第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。
(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。
3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。
(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。
3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。
第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义和性质。
2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 双曲线的定义与性质定义：双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。
性质：双曲线是中心对称图形，具有对称性、渐进线等性质。
2. 双曲线的标准方程形式：\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0, b > 0\)）焦点：\((\pm c, 0)\)，其中\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)实轴：\(x = \pm a\)虚轴：\(y = \pm b\)渐近线：\(y = \pm\frac{b}{a}x\)三、教学重点与难点1. 重点：双曲线的定义、性质和标准方程。
2. 难点：双曲线标准方程的推导和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质和标准方程。
2. 利用数形结合法，直观展示双曲线的几何特征。
3. 运用实例分析法，让学生学会解决实际问题。
五、教学安排1. 第一课时：介绍双曲线的定义与性质。
2. 第二课时：推导双曲线的标准方程。
3. 第三课时：应用双曲线的标准方程解决实际问题。
4. 第四课时：巩固练习，拓展提高。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学策略1. 利用多媒体课件，展示双曲线的图形，增强学生对双曲线几何形状的认识。
2. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握双曲线的标准方程。
3. 组织小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
七、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度。
2. 练习题：评价学生运用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现和解决问题的能力。
八、教学反馈1. 课堂讲解：通过提问、回答问题等方式，了解学生对双曲线知识点的掌握情况。
教学设计2：3.2.1 双曲线及其标准方程
2222x c y x c y a()()2，222222（）（）x c y x c y a()()2，222cx a a x c y()，22222222c a x a y a c a()()，c a b，代入化简得：（强调优化结构）令22222221(0,0)x ya ba b.从上述过程可以看到，双曲线上的任意一点的坐标都是上述方程的解，反过来，以上述方程的解为坐标的点与双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为2a,即以上述方程的解为坐标的点都在双曲线上，所以上述方程是双曲线的标准方程。
追问5：焦点在y轴上的双曲线标准方程？师生活动：得到焦点在x轴上的双曲线的标准方程后，让学生类比回答焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是什么．当学生类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，回答22221y xa b-=（a＞0，b＞0）后，可通过如下两个方面对22221x ya b-=，22221y xa b-=（a＞0，b＞0）进行比较：一是两个焦点的位置（在x轴上还是在y轴上）与负号的位置，二是方程中,x y与,a b的对应位置，要使他们认识到：若2x项的系数是正数，则双曲线的焦点在x轴上；若2y项的系数是正数，则双曲线的焦点在y轴上．对于双曲线，要强调a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小判断焦点在哪一条坐标轴上．四、例题例1设双曲线的两个焦点分别为F1(−5,0),F2(5,0),双曲线上一点P与F1，F2的距离绝对值等于6，求双曲线标准方程.解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为22221(0,0)x ya ba b由2c=10，2a=6，得c=5，a=3，因此，b2=52−32=16.所以，双曲线得标准方程为221.916x y例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：双曲线的应用。
2340PB点轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支。
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其求法；（3）能够运用双曲线及其标准方程解决相关问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳双曲线的性质，提高学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生理解双曲线的标准方程的求法；（3）培养学生的动手实践能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神；（2）培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作意识；（3）培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其求法。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求法；（2）运用双曲线及其标准方程解决实际问题。
三、教学方法1. 情境导入法：通过展示与双曲线相关的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生进入学习状态。
2. 讲授法：系统讲解双曲线的定义、性质及其标准方程，使学生掌握双曲线的基本知识。
3. 案例分析法：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题，提高学生的实践能力。
4. 小组讨论法：组织学生分组讨论，培养学生的合作精神和团队意识。
四、教学过程1. 导入新课：展示与双曲线相关的实际问题，引导学生关注双曲线在实际生活中的应用。
2. 讲解双曲线的定义及其性质：结合图形，讲解双曲线的定义，引导学生理解双曲线的性质。
3. 讲解双曲线的标准方程：引导学生观察双曲线的性质，引导学生归纳出双曲线的标准方程。
4. 案例分析：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题。
5. 小组讨论：组织学生分组讨论，探讨双曲线及其标准方程在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义及其性质；2. 复习双曲线的标准方程及其求法；3. 完成课后练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对双曲线定义及其性质的理解程度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．3．1双曲线及其标准方程第一课时
《双曲线及其标准方程》
一．教学目标
►知识与技能目标
了解双曲线的定义，几何图形，标准方程
►过程与方法目标
类比椭圆的定义，标准方程，得到双曲线的定义，标准方程，并注意两者的比较
►情感与态度目标
体会运动变化的观点，数形结合的思想方法
二．教材分析：
1、教学分析：学生已经掌握曲线与方程的基础，通过实例给出双曲线的定义，进而去推导双曲线的标准方程，由于前面学习了椭圆的相关知识，这一块对于学生来说是比较熟悉的内容，可让他们自行推导，课本的例1很好的结合了双曲线的定义来考察学生对概念理解的程度，例2将双曲线应用在实际生活当中，后面的探究内容可以充分发挥出学生的主导地位，分析和发现轨迹方程的求法。
2．教学重点：双曲线的定义，标准方程
3．教学难点：双曲线标准方程的推导
三、教学过程：
（一）导入新课
1．回顾椭圆的定义，标准方程
2．提出问题：
平面内到两定点的距离的差为常数的点的轨迹是什么？
3．实验探究上述问题
学生动手实验
P ．52拉链演示
4．多媒体演示
（二）推进新课
1．双曲线的定义：
平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）
的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
即以曲线上的点M 满足：a MF MF 221=-（a 为定值，a F F 221>） 思考：（1）若a F F 221=，点M 的轨迹是什么？
（2）若a F F 221<，点M 的轨迹是什么？
2．双曲线标准方程的推导
以焦点在x 轴的双曲线为例，类比椭圆标准方程的推导过程，按求曲线方程的一般步骤求解。
得到双曲线的标准方程为12222=-b
y a x 说明：
（1）12222=-b y a x 或12222=-b
x a y 均称为双曲线的标准方程； （2）c b a ,,三者的关系：222b a c +=，注意与椭圆中c b a ,,三者关
系的区别；
（3）0,0>>b a ；
（三）讲解范例：
1．讲解P ．54例1：
已知双曲线的两个焦点坐标分别为()0,51-F ，()0,52F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程
分析：由已知，5=c ，3=a 答案：116
922=-y x 例2．已知B A ,两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
分析：结合双曲线的定义，400=c ，340=a 答案：144400
1156002
2=-y x ()0>x （四）课堂练习
P ．55练习1，2，3
1．写出适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）3,4==b a ，焦点在x 轴上；
（2）焦点在x 轴上，经过点()3,2--，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,315； （3）焦点为()6,0-，()6,0，且经过点()5,2-
2．求证：双曲线15152
2=-y x 与椭圆192522=+y x 焦点相同； 3．已知方程11
22
2=+-+m y m x 表示双曲线，求m 的取值范围
（五）课堂小结
1．双曲线的定义、标准方程；
2．标准方程中，c
,三者的关系；
b
a,
（六）布置作业
相应练习题目。