最新25平面向量数量积的坐标表示汇总
平面向量数量积的坐标表示
求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a
x2 y2
2两点间的距离公式： 设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来 说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知 的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量 积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平 行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式， 会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计 算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
平面向量数量积及其坐标表示
为a与e的夹角，则
e a a e a cos
这 三 个 尤 其 重 要 哦 ！
a b ab 0
特别地，a a a a
2
2
判定垂直
ab a b 当a与b同向时a b a b 当a与b反向时，
或a aa a
2
cos
a b ab
（2） a·b＝a·c
反之， b＝c b＝ c
×
a·b＝a·c
真命题
（3）
(a b) c a (b c) ×
2、 若 | a | 1,| b | 2, c a b ， a与 b 且 ca ，则向量 的夹角为( 120° )
三、向量的数量积的性质：
设a, b都是非零向量， e是与b方向相同的单位向量，
x1 x2 y1 y2
这就是向量数量积的坐标表示。由此我 们得到：两个向量的数量积等于它们对坐 标的乘积之和。
探讨合作:非零向量 a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ), 它们的 夹角 ，如何用坐标表示cos .若 a b 你又能 得到什么结论？
结论：
(1) cos
是a和b的夹角 , 范围是0
注意（1）两个向量的数量积是数量，
而 不是向量. （2）这个数量的大小与两个向量的 长度及其夹角有关。
规定: 0 a 0
（3）数量积的几何意义：
a b b a cos
B
b
O
a b a b cos
a
A
| b | cos
计算夹角
计算模
ab
ab
基础练习
1、已知a、b是非零的平面向量且满足(a – 2b) ⊥ a， (b – 2a) ⊥ b ,则a与b的夹 60 角是 (° ) 2、已知a 、b均为单位向量，它们的夹 角是60°，那么| a +3b |＝（ 13 ）
教案平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示与模夹角教案章节一：平面向量数量积的定义1.1 向量的概念回顾：向量是有大小和方向的量。
1.2 数量积的定义：两个向量a和b的数量积，记作a·b，是它们的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
1.3 数量积的坐标表示：如果向量a和b在坐标系中表示为a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则它们的数量积可以表示为a·b=x1x2+y1y2。
教案章节二：数量积的性质2.1 数量积的不变性：无论向量的起点如何，向量的数量积保持不变。
2.2 数量积的对称性：向量a和b的数量积等于向量b和a的数量积，即a·b=b·a。
2.3 数量积的交换律：向量a和b的数量积等于它们的相反向量的数量积，即a·b=-b·a。
教案章节三：模长的计算3.1 向量模长的定义：向量a的模长，记作|a|，是向量a的大小，计算公式为|a|=sqrt(x1^2+y1^2)。
3.2 利用数量积计算模长：向量a的模长可以表示为|a|=sqrt(a·a)。
教案章节四：夹角的余弦值4.1 向量夹角的定义：两个非零向量a和b的夹角，记作θ，是它们的数量积与它们的模长的乘积的比值的的反余弦值。
4.2 余弦值的计算公式：cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
教案章节五：向量夹角的范围与性质5.1 向量夹角的范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°。
5.2 向量夹角的性质：当向量a和b同向时，它们的夹角为0°，数量积为正值；当向量a和b反向时，它们的夹角为180°，数量积为负值；当向量a和b垂直时，它们的夹角为90°，数量积为0。
教案章节六：数量积的应用6.1 投影向量：向量a在向量b方向上的投影向量可以表示为proj_ba = (a·b/b·b) b。
6.2 向量间的距离：两个向量a和b之间的距离可以表示为|a b| = sqrt((a b)·(a b))。
平面向量的坐标表示与向量的数量积
平面向量的坐标表示与向量的数量积平面向量是二维向量，可以用坐标表示。
在笛卡尔坐标系中，一个平面向量可以表示为一个有序数对，即两个实数构成的向量。
平面向量的数量积是向量运算中的一种，用于计算两个向量之间的夹角。
下面将详细介绍平面向量的坐标表示和向量的数量积。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对来表示，常用的表示形式有点表示法、分量表示法和单位向量表示法。
1. 点表示法在平面上给定两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，以点A为起点，点B为终点的向量可以用点表示法表示为AB。
例如，向量AB表示为展示向量的箭头上方带上一条小线，表示从A指向B的方向。
2. 分量表示法平面向量也可以用坐标表示，即用向量的水平和垂直分量表示。
假设有向量v，v的水平分量为x，垂直分量为y，那么向量v可以表示为v = (x, y)，其中x和y分别为v在x轴和y轴上的投影长度。
3. 单位向量表示法单位向量是长度为1的向量，可以用坐标表示。
例如，单位向量i 指向x轴的正方向，单位向量j指向y轴的正方向，那么向量v可以表示为v = xi + yj，其中x和y为v的水平和垂直分量。
二、向量的数量积向量的数量积（也称为点积或内积）是一种运算，用于计算两个向量之间的夹角。
向量的数量积可以表示为以下公式：A ·B = |A| |B| cosθ其中A和B为两个向量，|A|和|B|分别为它们的模，θ为两个向量的夹角。
数量积的计算方法如下：A ·B = x₁x₂ + y₁y₂其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)分别是向量A和向量B的坐标。
数量积还有一些性质：1. A · B = B · A（数量积的交换律）2. A · A = |A|²（向量的模的平方等于向量的数量积）3. 若A与B垂直，则A · B = 0，即夹角为90°4. 若A与B平行，则A · B = |A| |B|，即夹角为0°三、结论平面向量可以通过坐标表示法来表示，在笛卡尔坐标系中，一个平面向量可以表示为一个有序数对。
数学-平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示高中数学 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．导语 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？一、平面向量数量积的坐标表示问题 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？提示 i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.知识梳理 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.例1 (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )A．10 B．－10C．3 D．－3答案 B解析 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于( )A．6 B．5 C．4 D．3答案 C解析 由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.反思感悟 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2＝a·a.(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2.(3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.跟踪训练1 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，＝2，AF → FD → 则·＝________.BE → CF → 答案 23解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A (0,2)，E (2,1)，D (2,2)，B (0,0)，C (2,0)，因为＝2，所以F .AF → FD → (43，2)所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝，BE → CF → (43，2)(－23，2)所以·＝(2,1)·BE → CF → (－23，2)＝2×＋1×2＝.(－23)23二、平面向量的模知识梳理 1．若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝.x 2＋y 22．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝.(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2例2 设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( )A. B.56C. D.1726答案 A解析 ∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝.5反思感悟 求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量a 2x 2＋y 2运算的相互转化．跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝5，则|b |等于( )2A. B. C ．5 D ．25510答案 C解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5，又|a ＋b |＝5，∴(a ＋b )2＝50，2即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.三、平面向量的夹角、垂直问题知识梳理 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.1．cos θ＝＝.a·b |a||b|x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 22．a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.注意点：(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆．(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角．例3 已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝＝5，|b |＝＝，设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.42＋32(－1)2＋225a ·b |a ||b |2552525(2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝.529反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.a ·b |a ||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 2(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为a ·b|a ||b |180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.跟踪训练3 (1)已知向量a ＝(1，)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为，则实数m 等于( )3π6A ．2 B. C ．0 D ．－333答案 B解析 因为a ＝(1，)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝，a ·b ＝3＋m ，39＋m 23又a ，b 的夹角为，所以＝cos ，即＝，所以＋m ＝，解得m ＝.π6a ·b |a ||b |π63＋3m 29＋m 23239＋m 23(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m ，1)，∴a ＋b ＝(－1＋m，2＋1)＝(m －1,3)．又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0，即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.1．知识清单：(1)平面向量数量积的坐标表示．(2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b为非零向量)．(3)cos θ＝(θ为非零向量a ，b 的夹角)．x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 22．方法归纳：化归与转化．3．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错．1．若向量a ＝(x ，2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( )A ．3B ．－3 C. D ．－5353答案 A 解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.2．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( )A.B. 636565C.D.13513答案 A解析 |a |＝＝5，|b |＝＝13.32＋4252＋122a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝＝.635×1363653．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2C ．2D ．4答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝＝2.12＋n 24．已知点A (0,1)，B (1，－2)．向量＝(4，－1)，则·＝________，||＝________.AC → AB → AC → BC → 答案 7 13解析 ＝(1，－3)，AB → ∴·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，AB → AC → ＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3,2)，BC → AC → AB → ∴||＝＝.BC → 32＋2213课时对点练1．(多选)设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝b 2B ．a ·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b答案 AD解析 |a |＝b 2＝2，故A 正确，B ，C 显然错误，a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .故D 正确．2．已知向量a ＝(x ,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |等于( )A.B. 510C ．2D ．105答案 B解析 由题意可得a ·b ＝x ·1＋1×(－2)＝x －2＝0，解得x ＝2.再由a ＋b ＝(x ＋1，－1)＝(3，－1)，可得|a ＋b |＝.103．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 A解析 由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，所以·＝2×8＋(－4)AB → AC → BC → AB → AC → ×4＝0，即⊥.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．AB → AC → 4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. B ．2 C ．4 D ．1233答案 B解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝＝2.a 2＋4a ·b ＋4b 235．设点A (4,2)，B (a ，8)，C (2，a )，O 为坐标原点，若四边形OABC 是平行四边形，则向量与的夹角为( )OA → OC → A. B. C. D.π3π4π6π2答案 B解析 ∵四边形OABC 是平行四边形，∴＝，即(4－0,2－0)＝(a －2,8－a )，OA → CB → ∴a ＝6，∵＝(4,2)，＝(2,6)，OA → OC → 设向量与的夹角为θ，OA → OC → ∴cos θ＝＝＝，OA → ·OC → |OA → ||OC → |4×2＋2×642＋22×22＋6222又θ∈(0，π)，∴与的夹角为.OA → OC → π46．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝3，则b 等于( )5A ．(－3,6) B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)答案 A 解析 由题意，设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b |＝＝|λ|＝3，λ2＋(－2λ)255又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)．7．已知a ＝(－1,1)，b ＝(1,2)，则a ·(a ＋2b )＝________.答案 4解析 ∵a ＋2b ＝(1,5)，∴a ·(a ＋2b )＝4.8．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.答案 －1解析 由题意得m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.9．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝3，且c ∥a ，求向量c 的坐标；2(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解 (1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝3，c ∥a 可得2Error!所以Error!或Error!故c ＝(－3,3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，2即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝＝，a ·b |a |·|b |22因为θ∈[0，π]，所以θ＝.π410．已知向量a ＝(1，)，b ＝(－2,0)．3(1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角；(2)当t ∈[－1,1]时，求|a －t b |的取值范围．解 (1)因为向量a ＝(1，)，b ＝(－2,0)，3所以a －b ＝(1，)－(－2,0)＝(3，)，33设a －b 与a 之间的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.(a －b )·a |a －b |·|a |64332因为θ∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为.π6(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝42＋3.易知当t ∈[－1,1]时，|a －t b |2∈[3,12]，(t ＋12)所以|a －t b |的取值范围是[，2 ]．3311．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案 B解析 由m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.12．(多选)在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可能为AB → AC → ( )A ．－B.23113C. D.3±13223答案 ABC解析 ∵＝(2,3)，＝(1，k )，AB → AC → ∴＝－＝(－1，k －3)．BC → AC → AB → 若∠A ＝90°，则·＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－；AB → AC → 23若∠B ＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，AB → BC → ∴k ＝；113若∠C ＝90°，则·＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，AC → BC → ∴k ＝.3±132故所求k 的值为－或或.231133±13213．已知O 为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x 轴上有一点P 使得·有最小OA → OB → AP → BP → 值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)答案 C解析 设点P 的坐标为(x ，0)，则＝(x －2，－2)，AP → ＝(x －4，－1)．BP → ·＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)AP → BP → ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，所以当x ＝3时，·有最小值1.AP → BP → 此时点P 的坐标为(3,0)．14.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝2，点E 在边CD 上，且＝2，则·2DE → EC → AE → 的值是________．BE →答案 329解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝，BC ＝2，2∴A (0,0)，B (，0)，C (，2)，D (0,2)，22∵点E 在边CD 上，且＝2，DE → EC → ∴E .∴＝，＝，(223，2)AE → (223，2)BE → (－23，2)∴·＝－＋4＝.AE → BE → 4932915．已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案 A解析 因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >，π2即＞A ＞－B ＞0，π2π2又因为函数y ＝sin x 在上单调递增，(0，π2)所以sin A >sin ＝cos B ，(π2－B )所以p ·q ＝sin A －cos B >0，设p 与q 的夹角为θ，所以cos θ＝＞0，p ·q|p ||q |又因为p 与q 不共线，所以p 与q 的夹角是锐角．16．已知向量＝(6,1)，＝(x ，y )，＝(－2，－3)．AB → BC → CD → (1)若∥，求x 与y 之间的关系式；BC → DA → (2)在(1)的条件下，若⊥，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．AC → BD → 解 (1)∵＝＋＋＝(x ＋4，y －2)，AD → AB → BC → CD → ∴＝－＝(－x －4,2－y )．DA → AD → 又∥，且＝(x ，y )，BC → DA → BC → ∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.(2)＝＋＝(x ＋6，y ＋1)，AC → AB → BC → ＝＋＝(x －2，y －3)．BD → BC → CD → ∵⊥，∴·＝0，AC → BD → AC → BD → 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.由(1)知x ＋2y ＝0，与上式联立，化简得y 2－2y －3＝0，解得y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)；AC → BD → 当y ＝－1时，x ＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)；AC → BD → ∴S 四边形ABCD ＝||·||＝16.12AC → BD →。
平面向量数量积的坐标表示
求k的值.
答案：(1)b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
(2)( 2, 2 2)或( 2, 2 2) (3)k 5
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB，
BC AB，则点C的坐标为
C(3, 29) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a // b(b 0) a b x1 y2 x2 y1 0
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
例4:已知 a 1,2,b 3,2,当k取何值时,
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示， 即两个向量的数量积等于它们对应坐标 的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
得 k
1 3
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向
还是反向?
向量数量积的坐标表示、模、夹角
其中，A·B表示向量A和B 的数量积，||A||和||B||分别 表示向量A和B的模长。
ABCD
cosθ = (A·B) / (||A|| ||B||)
通过计算cosθ的值，可 以进一步求得θ的值。
向量夹角的性质
01
向量夹角具有对称性，即向量 A与向量B的夹角等于向量B与 向量A的夹角。
02
当两个向量的夹角为0或π时， 它们共线；当夹角为π/2时，它 们垂直。
03
向量夹角的余弦值与两个向量 的数量积和它们的模长之积的 比值相等。
05 向量数量积的坐标表示
数量积的定义与性质
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
定义
两个向量$vec{a}$和 $vec{b}$的数量积（也 称为点积）定义为 $vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$，其 中$theta$是$vec{a}$ 和$vec{b}$之间的夹角。
向量的运算
向量的数乘
设向量a=(x,y)，实 数λ，则数λ与向量a 的积为λa=(λx,λy)。
向量的模
设向量a=(x,y)，则 向量a的模为 |a|=√(x²+y²)。
向量的加法
设向量a=(x1,y1)， b=(x2,y2)，则向量 a与b的和为 a+b=(x1+x2,y1+y 2)。
向量的数量积
向量模的性质
非负性
向量的模总是非负的，即 |a| ≥ 0。
零向量的模为零
如果向量 a 是零向量，则 |a| = 0。
向量模的乘法性质
对于任意实数 k 和向量 a，有 |ka| = |k| × |a|。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
解：ka b (k 2, 1), a 3b (7,3)
1平行：3k 2 (1)7 0 k 1 .
3
2垂直：7k 2 (1)3 0
k 17 . 7
练习：已知a 1, 2,b 2, 3, c 2a b, d a mb,
若c与d的夹角为45 ，求实数m的值.
例6、已知a k,1,b 2, 2,且a与b的夹角为锐角，
2利用b // a，设b的坐标为4,3 ，再利用 b 1构造方程.例3、已知ຫໍສະໝຸດ (4,3),求与a垂直的单位向量b.
解：设b x, y
b a且 b 1
4x 3y 0
x
2
y2
1
x
y
3 5
4 5
或
x
y
4 5
3 5
b
3 5
,
4 5
或
3 5
,
4 5
例4、已知A(1, 2), B(2,3),C(2,5),试判断ABC的形状.
1.a b x1x2 y1y2 2. AB x2 x1 2 y2 y1 2
3.a b x1x2 y1y2 0
4.a / /b x1y2 x2 y1 5.cos x1x2 y1y2
x12 y12 . x22 y22
4、两向量共线的坐标表示：已知a x1, y1 ,b x2, y2
a与b共线 a=b x1 y2 x2 y1 0
新知探究： a b a b cos 为a与b的夹角
1、平面向量的数量积的坐标表示：
1i2 __1__，j2 __1__，i j __0__ .
2已知a x1, y1 ,b x2, y2 , a b _x_1_x2___y_1_y_2 _ .
(整理)平面向量数量积的坐标表示
平面向量的数乘运算的坐标运算一、知识精讲1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们的和，即a·b＝x1x2＋y1y2两个向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝02．三个重要公式[小问题·大思维]1．已知向量a＝(x，y)，与向量a共线的单位向量a0的坐标是什么？提示：∵a0＝±a|a|＝±1x2＋y2(x，y)，∴a0＝(－xx2＋y2，－yx2＋y2)或a 0＝(xx 2＋y 2，y x 2＋y 2)．2．向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则向量a 在向量b 方向上的投影怎样用a ，b 的坐标表示？提示：向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)，而cos θ＝a·b |a ||b |， ∴|a |cos θ＝a·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 二、典例精析例1、已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)，求：(1)2a ·(b －a )；(2)(a ＋2b )·c .[自主解答] 法一：(1)∵2a ＝2(1,3)＝(2,6)，b －a ＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，∴2a ·(b －a )＝(2,6)·(1,2)＝2×1＋6×2＝14.(2)∵a ＋2b ＝(1,3)＋2(2,5)＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)，∴(a ＋2b )·c ＝(5,13)·(2,1)＝5×2＋13×1＝23.法二：(1)2a ·(b －a )＝2a·b －2a 2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14.(2)(a ＋2b )·c＝a·c ＋2b·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)＝23.本例条件中“c ＝(2,1)”若变为“c ＝(2，k )”，且“(a －c )⊥b ”，求k .解：∵a ＝(1,3)，c ＝(2，k )，∴a －c ＝(－1,3－k )，又(a －c )⊥b ，∴－1×2＋(3－k )×5＝0，∴k ＝135. 变式训练若向量a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，求向量b .例2、平面直角坐标系xOy 中，O 是原点(如图)．已知点A (16,12)、B (－5,15)．(1)求| OA u u r |，|AB u u u r |；(2)求∠OAB .变式练习已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 的夹角θ的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665 答案：C例3、已知△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，如图，求D 点及AD u u u r 的坐标．变式练习设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，求m的值．解：法一：∵a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)，又(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0.∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0.∴m＝－2.法二：∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，a2＝b2，则m2＋2m＋10＝2＋m2－2m，解得m＝－2.解题高手已知向量a＝(3，－1)和b＝(1，3)，若a·c＝b·c，试求模为2的向量c 的坐标．三、课后检测一、选择题1．(2012·辽宁高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．1解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1.答案：D2．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB u u u r ⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：AB u u u r ＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB u u u r ⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1.答案：B3．已知向量OA u u u r ＝(2,2)，OB u u u r ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP u u u r ·BP u u u r 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：设P (x,0)，则AP u u u r ＝(x －2，－2)，BP u u u r ＝(x －4，－1)，∴AP u u u r ·BP u u u r ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP u u u r ·BP u u u r 最小，此时P (3,0)．答案：C4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB u u u r ＝(2,4)，AC u u u r ＝(1,3)，则AD u u u r ·BDu u u r 等于( )A ．6B ．8C ．－8D ．－6解析：如图，AD u u u r ＝BC u u u r ＝AC u u u r －AB u u u r ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r ＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，则AD u u u r ·BD u u u r ＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8.答案：B二、填空题5．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋xb 与－b 垂直，则实数x 的值为________． 解析：∵向量a ＋xb 与－b 垂直，∴(a ＋xb )·(－b )＝－a·b －xb 2＝－2－5x ＝0，∴x ＝－25. 答案：－256．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB u u u r ·n |的最大值为________．解析：AB u u u r ＝(2,2)，|AB u u u r |＝22，|AB u u u r ·n |≤|AB u u u r ||n |＝4，当且仅当AB u u u r 与n 共线且同向时取等号．答案：47．向量BA u u u r ＝(4，－3)，向量BC u u u r ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为________．解析：AC u u u r ＝BC u u u r －BA u u u r ＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而AC u u u r ·BC u u u r ＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以AC u u u r ⊥BC u u u r ，又|AC u u u r |≠|BC u u u r |，所以△ABC 是直角非等腰三角形．答案：直角三角形8．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )，由已知条件得|a |＝|b |，a·b ＝|a ||b |cos 45°.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，2x ＋y ＝5×5×22，解得⎩⎨⎧ x ＝22，y ＝322，或⎩⎨⎧ x ＝322，y ＝－22. ∵向量a 按逆时针旋转π4后，向量对应的点在第一象限，∴x >0，y >0，∴b ＝⎝⎛⎭⎫22，322. 答案：⎝⎛⎭⎫22，322 三、解答题9．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .(1)求证：AB ⊥AC ；(2)求向量AD u u u r ；(3)求证：AD 2＝BD ·CD .解：(1)∵AB u u u r ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，AC u u u r ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)，AB u u u r ·AC u u u r ＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB ⊥AC . (2) BC u u u r ＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)．设BD u u u r ＝λBC u u u r ＝(5λ，5λ)则AD u u u r ＝AB u u u r ＋BD u u u r＝(－3，－6)＋(5λ，5λ)＝(5λ－3,5λ－6)，由AD ⊥BC 得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，解得λ＝910， ∴AD u u u r ＝(32，－32)． (3)证明：AD 2u u u u r ＝94＋94＝92， |BD u u u r |＝50λ2＝922，|BC u u u r |＝52，|CD u u u r |＝|BC u u u r |－|BD u u u r |＝22. ∴|AD u u u r |2＝|BD u u u r |·|CD u u u r |，即AD 2＝BD ·CD .10．平面内有向量OA u u u r ＝(1,7)，OB u u u r ＝(5,1)，OP u u u r ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点． (1)当MA u u u r ·MB u u u r 取最小值时，求OM u u u r 的坐标；(2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．解：(1)设OM u u u r ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，∴向量OM u u u r 与OP u u u r 共线，又OP u u u r ＝(2,1)． ∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .∴OM u u u r ＝(2y ，y )．又MA u u u r ＝OA u u u r －OM u u u r ，OA u u u r ＝(1,7)， ∴MA u u u r ＝(1－2y,7－y )．同理MB u u u r ＝OB u u u r －OM u u u r ＝(5－2y,1－y )．于是MA u u u r ·MB u u u r ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12. 可知当y ＝202×5＝2时，MA u u u r ·MB u u u r 有最小值－8，此时OM u u u r ＝(4,2)．(2)当OM u u u r ＝(4,2)，即y ＝2时，有MA u u u r ＝(－3,5)，MB u u u r ＝(1，－1)， |MA u u u r |＝34，|MB u u u r |＝2，MA u u u r ·MB u u u r ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos ∠AMB ＝MA u u u r ·MB u u u r |MA u u u r ||MB u u u r |＝－834×2＝－41717.。
高二数学平面向量数量积的坐标表示
a b | a || b | cos
其中θ 是 a 与 b 的夹角，| b | cos (| a | cos ) 叫做向量 b 在 a
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.
B
| OB1 || b | cos
b
θ O
aA
B1
数度| a | 与b 在 a 的方向上的
投影 | b | cos 的乘积。
B
b
θ O
aA
B1
练习：下列选项正确的是 （ ）
A.若a b 0(a 0)，则 b 0 ； B.若 a b b c(b 0) ，则 a c ；
C.对任意向量 a,b, c，总有(a b)c a(b c) ；
思考：已知是非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2) ，
怎样用 a 与 b 的坐标来表示 a b 。
a b x1x2 y1y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.
1.若 a (x, y) ，则 | a |2 __x_2 __y_2__;| a | ___x_2 __y_2__ . 若表示 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别是 (x1, y1), (x2 , y2 )，则 a _(_x2___x_1,_y_2___y_1_) _; | a | _(_x_1__x_2_)_2__(_y_1___y_2 )_2.
2.4.2平面向量数量积的
坐标表示、模、夹角
目标导学：
1、掌握向量数量积的坐标表达式，会进 行向量数量积的坐标运算。
2、能运用数量积表示两个向量的夹角， 计算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系。
平面向量的数量积：
平面向量数量积的坐标表示
i·i，j·j，i·j分别是多少？ 答案 i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0.
答案
思考2
取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试 将a，b用i，j表示，并计算a·b. 答案 ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋ y1y2.
答案
梳理
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则
(1)cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
思考1: a∥b⇔x1y2 =x2y1
思考2: a在b方向的投影如何用坐标 表示 ?
知识点四 直线的方向向量
第二章 平面向量
§6 平面向量数量积的坐标表示
学习目标
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标 表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的模. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 平面向量数量积的坐标表示 设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.
√A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
解析 ∵|B→A|＝1，|B→C|＝1，
∴cos ∠ABC＝|BB→→AA|·|BB→→CC|＝ 23，
∴∠ABC＝30°.
12345
解析 答案
3.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于
平面向量数量积的坐标表示完整版课件
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.
②
由①②可得xy＝＝11，， 即D点坐标为(1,1)，―A→D ＝(－1,2)， ∴|―A→D |＝ －12＋22＝ 5.
综上，|―A→D |＝ 5，D(1,1)．
[母题探究] 1．(变条件)将本例(1)中的条件“a ＝(2,1)”改为“a ＝(－2,1)”，
A．10 C．3
B．－10 D．－3
解析：a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a
－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 答案：B
与平面向量模有关的问题
[例2] (1)设x，y∈R ，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，
－4)，且a ⊥c，b ∥c，则|a ＋b |＝
AD为BC边上的高，求|―A→D |与点D的坐标．
(1)[解析]
当a 与b 共线时，2k－1＝0，k＝
1 2
，此时a ，b 方
向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0且
a
，b不同向．由a
·b ＝2＋k>0得k>－2，且k≠
1 2
，即实数k的取值
范围是－2，12∪12，＋∞，选B.
则x＝ A．6
B．5
C．4
D．3
()
(3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c，满足a ·c＝
2，b·c＝5，则向量c＝________.
[解析] (1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋
2b ＝(－5,6)，∴(a ＋2b )·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
向量夹角和垂直问题
[例3] (1)(链接教材第34页例10)已知向量a＝(2,1)，b＝
向量数量积的坐标表示
05
向量数量积的扩展
向量点乘的坐标表示
总结词
向量点乘的坐标表示是两个向量的对应坐标相乘，然后求和。
详细描述
向量点乘的坐标表示是两个向量的对应坐标相乘，然后求和。设向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, a_3)$，向量$mathbf{B} = (b_1, b_2, b_3)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$。
在工程中的应用
机械系统分析
向量数量积可以用于分析机械系 统的运动状态，例如分析机器人 的关节运动、车辆的行驶轨迹等。
控制系统分析
向量数量积可以用于控制系统的 分析和设计，例如分析系统的稳 定性、设计控制算法等。
信号处理
在信号处理中，向量数量积可以 用于分析信号的频率和相位，例 如进行频谱分析和滤波器设计等。
$mathbf{C} = (c_1, c_2, c_3)$，则$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = (a_1(b_2c_3 - b_3c_2), a_2(b_3c_1 - b_1c_3), a_3(b_1c_2 - b_2c_1))$。
感谢观看
mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
数量积满足分配律，即$(mathbf{A}
+
mathbf{பைடு நூலகம்}) cdot mathbf{C} = mathbf{A}
cdot mathbf{C} + mathbf{B} cdot
mathbf{C}$。
数量积为0当且仅当两个向量垂直，即 $mathbf{A} cdot mathbf{B} = 0$当且仅当 $mathbf{A} perp mathbf{B}$。
高中数学人教A版必修第二册平面向量数量积的坐标表示
cosθ= a • b =
x1x2 + y1y2
|a||b| x12 + y12 x22 + y22
3.平面向量垂直的坐标表示：
设 a =(x1,y1)，b =(x2,y2)，则 a ⊥b ⇔a • b =0⇔x1x2 + y1y2 = 0
4.平面向量长度的坐标表示：
①设 a =(x,y)，则 a 2 = x2 + y2 或 |a |= x2 + y2 ②设 a 的起点、终点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则
A θ
所以 OA OB cosαcosβ+sinαsinβ
O
又 OA OB |OA| |OB|c o sθ cosθ
所以cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ
由α=β+θ+2kπ得 θ=α-β-2kπ 所以cosθ=cos(α-β-2kπ)= cos(α-β)
于是cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
运用向量工具进行探索， 过程多么简洁啊！
高 中 数 学 人 教A版必 修第二 册平面 向量数 量积的 坐标表 示
β终边 B
1x
五、课堂小结 高中数学人教A版必修第二册平面向量数量积的坐标表示
1.平面向量数量积的坐标表示：
a • b= x1x2+y1y2
2.平面向量的夹角的坐标表示：
cosθ= a • b =
|a|
5
55
55
(4)设与
b
垂直的单位向量为(x,y)，则
x2 x
-
y 3
2
y
1. 0
解
得
x
3
数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)
方向性
向量的模只与向量的长度有关， 与其方向无关。
模的计算方法
定义法
根据定义直接计算向量的模 。
勾股定理法
如果向量在直角坐标系中的 坐标已知，可以使用勾股定 理计算模。
向量分解法
将向量分解为两个互相垂直 的分量，然后分别求出分量 的模，再求和。
模的性质
共线性质
如果两个向量共线，那么它们的模相等或互为相反数。
05
实例分析
数量积的坐标表示实例
要点一
总结词
通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数 量积。
要点二
详细描述
假设有两个向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$， 它们的数量积为$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。 通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数量 积。
平面向量的模
定义与性质
定义
平面向量$vec{a}$的模定义为 $left|vec{a}right| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$，其中$a_1$和$a_2$ 分别是向量$vec{a}$模总是非负的，即 $left|vec{a}right| geq 0$。
数量积与夹角的关系
数量积与夹角余弦值的关系
向量的数量积等于两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times costheta$。
6.3.5+平面向量数量积的坐标表示+课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册
a b
a b
a⊥b
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x2 2 y2 2
x1x2＋y1y2＝0
夹角公式的特例
探索新知
例10 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？
证明你的猜想．
3 2) (11)
，
法一： 因为 AB (2 1，
AC (2 1，
1), AC (3，
法二：因为 AB (1，
3), BC (4，
2),
2
2
所以 AB 1 1 2, AC (3) 2 32 18,
2
2
2
BC (4) 2 2 2 20 ,
2
2
2
所以 AB AC BC ,
所以△ABC是直角三角形．
勾股定理逆定理是判断两条直线是否垂直的重要方法之一
(1)求 2a b 的值;
解析：
（1）因为 a 1, 2 ， b 1, 1 ，
所以 2a b 2 1, 2 1, 1 3, 3 ，
所以 2a b 3 3 3 2 ;
2
2
当堂检测
2.Байду номын сангаас知平面向量 a 1, 2 ， b 1, 1 .
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
探索新知
问题1 若a＝(x，y)，如何计算向量的模|a|呢？
a x 2 y 2 或|a|2＝x2＋y2
问题2 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别
为A (x1，y1) ，B (x2，y2)，如何计算向量a的模？
a AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 ) 2
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25平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示（1）教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。
⑶能用所学知识解决有关综合问题。
教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与ｂ，作«Skip Record If...»＝a，«Skip Record If...»＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫a与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。
C3．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积。
4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。
1）e⋅a = a⋅e =|a|cosθ；2）a⊥b⇔a⋅b = 03）当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|。
特别的a⋅a = |a|2或«Skip Record If...»4）cosθ =«Skip Record If...»；5）|a⋅b| ≤ |a||b|5． 平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(«Skip Record If...»a )⋅b =«Skip Record If...»(a ⋅b ) = a ⋅(«Skip Record If...»b )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，试用«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的坐标表示«Skip RecordIf...»。
设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»轴上的单位向量，«Skip Record If...»是«SkipRecord If...»轴上的单位向量，那么«Skip Record If...»，«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
即«Skip Record If...»«Skip Record If...»2.平面内两点间的距离公式（1）设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。
（2）如果表示向量«Skip Record If...»的有向线段的起点和终点的坐标分别为«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...»(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定1)设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»4.两向量夹角的余弦（«Skip Record If...»）co s θ =«Skip Record If...»222221212121y x y x y y x x +++=三、讲解范例：例1 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b例2 已知a =(-3,-2),b =(-4,k ),若(5a -b )·(b -3a )=-55,试求k 的值.例3已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。
例4 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x 。
例5已知a＝（１，«Skip Record If...»），b＝（«Skip Record If...»＋１，«Skip Record If...»－１），则a与b的夹角是多少?例6 «Skip Record If...»四、课堂练习：1.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|２－４a·b＝（）A.23B.57C.63D.832.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，则△ABC为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）A.«Skip Record If...»或«Skip Record If...»B.«Skip Record If...»或«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»或«Skip Record If...»D.«Skip Record If...»或«Skip Record If...»反思：已知a＝（3，4），b＝（4，3），求x,y的值使(x a+y b)⊥a，且｜x a+y b｜=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a＝（3，4），b＝（4，3），有x a+y b=(3x+4y,4x+3y)又（x a+y b）⊥a«Skip Record If...»(x a+y b)·a＝０«Skip Record If...»3(3x+4y)+4(4x+3y)=0即25x+24y＝０①又｜x a+y b｜=1«Skip Record If...»｜x a+y b｜２＝１«Skip Record If...»（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１整理得：25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１②由①②有24xy+25y２＝１③将①变形代入③可得：y=±«Skip Record If...»再代回①得：«Skip Record If...»平面向量数量积的坐标表示（2）教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。
⑶能用所学知识解决有关综合问题。
教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用教学过程：一、复习引入：1．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»2.平面内两点间的距离公式（1）设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。
（2）如果表示向量«Skip Record If...»的有向线段的起点和终点的坐标分别为«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...»(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»4.两向量夹角的余弦（«Skip Record If...»）co s θ=«Skip Record If...»222221212121y x y x y y x x +++=二、例题例1 设向量a 、b 满足|a |=|b |=1,|3a -2b |=3求|3a +b |的值.例2已知a、b均为非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直.求a与b的夹角.例3若P是正方形ABCD对角线BD上一点，E、F分别在边BC、CD 上，且PFCE是矩形，试用向量法证明：«Skip Record If...»例4已知平行四边形以«Skip Record If...»为两边.（1）求它的两边长和夹角；（2）它的对角线的长和夹角.例5以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B和向量«Skip Record If...»的坐标。