二阶线性偏微分方程的分类
二阶线性偏微分方程的分类与总结
物理学中的例子包括波动方程、热传导方程等。 力学中的例子包括弹性力学中的基本方程等。
按照应用分类
根据应用领域，可以 将二阶线性偏微分方 程分为工程、生物医 学、经济和环境科学 四类。
工程领域中的例子包 括电气工程中的传输 线方程、流体力学中 的Navier-Stokes方 程等。
生物医学领域中的例 子包括神经传导方程 、生物化学反应中的 质量传递方程等。
02
非奇异方程是指所有特征根均具有负实部的方程，而奇异方程至少存在一个具 有正实部的特征根。
03
在非奇异方程中，又可以根据波数和频率的关系分为稳定性、不稳定性、临界 稳定性和临界不稳定性的二阶线性偏微分分为物 理、几何和力学三类。
几何学中的例子包括拉普拉斯算子、热力学中的基本 方程等。
弹性力学
在弹性力学中，物体的位移和应力满足二阶线 性偏微分方程，该方程描述了物体的弹性变形 和应力分布及其随时间的变化。
在化学中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率和反应过程的动态变化，以及反应条件对反 应速率的影响。
分子的振动
分子的振动运动满足一个二阶线性偏微分方程，该方程描述了分子振动频率和振幅随时间 的变化以及分子间的相互作用。
重点介绍了二阶线性偏微分方程在数学和物理学中的重要地 位和研究进展。
研究意义
研究二阶线性偏微分方程对于理解和研究自 然现象和实际问题具有重要意义。
对于数学和物理学的发展也具有重要价值， 同时对于解决实际问题提供理论支持和方法
指导。
研究目的
对二阶线性偏微分方程进行分类和总 结，梳理各种类型方程的特点和性质 。
要点三
结构力学
在结构力学中，物体的位移、应力和 变形满足二阶线性偏微分方程，该方 程描述了结构的力学行为随时间的变 化。
二阶线性偏微分方程的分类
1.双曲型
对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简
注：上式中用小写字母 大写字母代表某函数区别开来, 例如
代表常系数，以便与 ．为了化简，
我们不妨令
从而有
(10.4.2)
其中
由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简
注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如
与 是两个不同的函数。
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线． 其特征方程的解为
，所以特征曲
(10.3.5)
因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(10.3.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
(10.4.3)
式中
均为常系数．若令
(10.4.4)
则有 (10.4.5)
其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
（10.4.6）
还可以进一步化简．上式中小写字母
均为常系数．为了化简，不妨令源自从而有(10.4.7)
3.椭圆型
对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)
(10.4.8)
还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(10.4.9)
其中
10.5 线性偏微分方程解的特征
含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下 面的形式： 其中 L 是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数． 线性偏微分算符有以下两个基本特征：
其中
均为常数．进一步有如下结论：
二阶线性偏微分方程的分类与小结
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
二阶线性微分方程的分类
b1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y b 2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y c c, f f
如果选取合适的变换
1 (x, y),
2 ( x, y)
做变换
2 x y ) , 3
3 2
原方程化为
2u 1 u u 0. 6( )
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性(看其系数是否和未知函数有关)，分为线性微分 方程和非线性微分方程；
a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 都是变量 x, y 在区域 上的实函数
2、两个自变量方程的化简
令 ( x, y), ( x, y)
D( , ) x y 且 在( x0 , y0 )处不为零。 D( x, y) x y
由于
2
(1.7 ')
如果(1.7’)存在一个解 ( x, y ) c ,根据隐函数存在定理, 有
x dy dx y
2
所以(1.7’)可以化为
dy dy a11 2a12 a22 0, dx dx
这样(1.7)的求解就化为下述常微分方程在 积分曲线问题:
a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 0
方程化为：
u u Au Bu Cu D.
例2：将弦振动方程化为标准形式。
解：方程 utt
特征方程:
a uxx 0 的特征线族是
2
二阶线性偏微分方程的分类与总结
特点
1
偏微分方程的意义
2
3
描述现实问题中多个变量之间的动态关系。
建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
通过求解偏微分方程，可以预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
二阶线性偏微分方程的分类
02
特征方程为多项式形式
特征方程为三角函数形式
分离变量法
适用范围：积分变换法适用于具有特定边界条件的二阶线性偏微分方程，如周期性边界、狄利克雷边界等。基本思想：利用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。步骤选择适当的积分变换函数，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。对原方程进行积分变换，得到变换后的常微分方程。求解常微分方程，得到原方程的解。通过反变换得到原方程的通解。
二阶线性偏微分方程的展望与发展
05
有限差分法
通过离散化偏微分方程，将连续的空间离散为多个离散点，并使用差分近似公式来计算每个离散点处的数值解。
有限元法
将连续的空间离散为多个小的单元，每个单元内使用线性函数来近似解，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
谱方法
利用傅里叶变换等函数变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解，具有高精度和高分辨率的优点。
《二阶线性偏微分方程的分类与总结》
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目录
二阶线性偏微分方程概述二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的求解方法二阶线性偏微分方程的应用领域二阶线性偏微分方程的展望与发展二阶线性偏微分方程的案例分析
二阶线性偏微分方程概述
01
VS
二阶线性偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，且方程中未知函数的最高阶偏导数不超过二阶。
第二章 二阶线性偏微分方程的分类
第二章 二阶线性偏微分方程的分类1．把下列方程化为标准形式：（1）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx 解：因为022211212=⋅-=-a a a a a a所以该方程是抛物型方程，其特征方程为122=-±=aa a a dx dy 。
它只有一族实的特征线 c x y =-在这种情况下，我们设x y -=ξ，x =η（或令y =η，总之，此处η是与ξ无关的任一函数，当然宜取最简单的函数形式x =η或y =η）。
方法一：用抛物型方程的标准形式][12122F Cu u B u B A +++-=ηξηηη 先算出：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-====⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=++++=⋅+-+⋅+⋅+⋅=++++==⋅+⋅+=++=b c C b c b a a a b b a a a B c b a a a b b a a a B a a a a a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x x 0F ,1010020 2 1)1(0020 2 002 22122121122122121112221221122ηηηηηξξξξξηηηη ∴])[(1u bu u c b au +++--=ηξηη即01=++-+u au a b u a b c u ηξηη 方法二：应用特征方程，作自变量变换，求出⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+--==+-= ,2 ,ξξηξξξηηξηξξηηηξξηξξξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y x 代入原方程得，0)(=++-+u bu u b c au ηξξη（2）06232=++--y x yy xy xx u u u u u ，解：因为042211212>=-a a a ，所以该方程是双曲型的其特征方程为 ⎩⎨⎧-=+±-=311311dx dy ，特征线为1c y x =-和23c y x =+。
二阶偏微分方程分类
二阶偏微分方程分类二阶偏微分方程是指含有两个独立变量的二阶偏导数的方程。
在数学中，它是一个重要的研究对象，具有广泛的应用领域，如物理学、工程学、生物学等。
本文将对二阶偏微分方程进行分类和介绍。
一、常系数二阶线性偏微分方程常系数二阶线性偏微分方程是指系数不随自变量变化而保持不变的二阶线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} + cu = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过特征方程法求解。
二、非齐次线性偏微分方程非齐次线性偏微分方程是指右端项不为零的线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过格林函数法求解。
三、椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac < 0$，即判别式小于零的方程。
它们可以写成以下形式：$$a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程在物理学中有广泛的应用，如热传导方程和电场方程等。
四、双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac > 0$，即判别式大于零的方程。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
要点一
要点二
信号处理
在信号处理中，信号的传递和处理往往涉及到二阶线性偏微分方程，例如差分方程、卷积等，通过求解可以得到信号的频谱、滤波效果等性质。
在工程中的应用
二阶线性偏微分方程的求解方法
在物理中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率，例如反应速度与反应物浓度的关系，通过求解可以得到反应速率常数等参数。
化学振荡
某些化学反应会经历振荡现象，即反应物浓度周期性地变化，二阶线性偏微分方程可以描述这种现象，通过求解可以得到振荡的频率、幅度等性质。
Hale Waihona Puke 在化学中的应用控制工程
要点三
Laplace变换法是一种通过将时域问题转换到复域问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
概述
Laplace变换法
适用于具有初始条件、冲击激励等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如RLC电路中的电压电流关系等。
适用范围
将原方程中的未知函数进行Laplace变换，得到复域中的解析解，再通过反变换得到时域中的解。
04
概述
适用范围
步骤
行波法
分离变量法
要点三
概述
分离变量法是一种通过将多变量问题分解为多个单变量问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有周期性、边界条件等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如Sturm-Liouville方程等。
步骤
将原方程中的未知函数按照某种方式分解为多个单变量函数，通过对每个单变量函数分别求解，最终得到原方程的解。
第三章二阶线性偏微分方程的分类化简
n e m
f o t
t a M
a m he
, s c ti
T I H
D
t r a ep
n e m
f o t
t a M
a m he
, s c ti
T I H
D
t r a ep
n e m
f o t
t a M
a m he
, s c ti
T I H
D
t r a ep
n e m
f o t
t a M
a m he
au xx bu xy cu yy du x eu y fu g
D
t r a ep
t a b 4ac 0 则称方程(1)是双曲型方程 m 在区域D内，如果 e h b 4ac 0 t如果 a 则称方程(1)是抛物型方程 M f o 如果 b 4ac 0 则称方程(1)是椭圆型方程 t n e m二）二阶线性偏微分方程的化简
( x, y ).
2 2 C a x b x y c y 0
经过证明可以上述一阶偏微分方程的解等价于常微分方程： ady 2 bdxdy cdx2 0 ( a( dy )2 b dy c 0 )
dx dx
(3)
D
t r a ep
xx xy yy
2 x x y 2 y x x x y y x y y 2 x x y 2 y xx xy yy x y xx xy yy x y
x
Eu y Fu G
(2)
F f Gg
假设abc不等于零，我们希望选取一个变量替换使得方程(2)中A和B都等 2 2 ( x, y ), 使得 于零.选择变换， A a x b x y c y 0
第二讲二阶线性偏微分方程及其分类
标准形式
2u 2u f x2 y 2
u 2u f
x y2 2u 2u
f x2 y2
例1：判断下面偏微分方程的类型并化简
u xx 2u xy 3u yy 2u x 6u y 0
解：∵ a11 1
a12 1
故 a22 3
C c, F f
从（3-3）中可以看出，如果取一阶偏微分方程
a11
z
2 x
2a12 zx z y
a22
z
2 y
0
的一个特解作为 ，则
a11
2 x
2a12x y
a22
2 y
0
（3-4）
从而A11=0。如果取（3-4）的另外一个特解作为
则A22=0，这样方程（3-2）就可以简化。
，u
y
u
2u x 2
2u
9 2
6
2u
2u
2
2u 2u 2 2u 2u
y 2 2 2
代入原方程得： 16
2u
12
u
4 u
0
即：
2u 3 u 1 u
4 4
s , t ξ-η
例4：判定下列二阶方程的类型 （1）u xx 4u xy 3u yy 2u x 6u y 0 （2）(1 x2 )uxx (1 y2 )uyy xux yuy 0 （3）u xx xu yy 0
a11u xx 2a12u xy a22u yy
若方程(3.1)的主部系数 满足
二阶线性偏微分方程的分类
２ 应用举例
２ １ 双 曲型方 程 ．
求定解 问题 ：
ｆ ＋２ｏｘ‘ ｋ ｅｓ
一ｓ ‘ ｙ —ｓ ｘ’ ｙ：０ ｉ ｎ Ｕ ｙ ｉ ｎ Ｕ
（２ １）
１ （，ｎ） （）（ ｘｓｘ ＝ ， ｕ ｉ 一∞＜ ＜ ） ＋∞
Ｌ （ ｓ ｘ （ ， 一 ∞ ＜ ＜＋ ∞） ，ｉ ）＝ ） （ ｎ
，
ｃ ２
ｆ ３ １
（ ４ ）
代 的 可 行 式 ≠ ． 过 换（ ， ）成 和 的 数 这 还 把 程 １ 换 雅 比 列 ÷ ｄ ０ 代 ２ ｕ ，） 为 函 ． 里，应 方 （ 通 ）（ ， ）
’ ， 。 ’
改用新 的自变数 和 刀 出． 表 为此 ， 作如下计算 ：
１ 二 阶线性偏微分方程 的分类
设 一般 的二 阶线性偏 微分 方程 为 ａｌｘ ｌｕｘ＋２ 】 ＋ ａ２ｙ ｂＵ ｎ２ ２Ｕｙ＋ ｌｘ＋ｂｕ ２ｙ＋ｃ ｄ ＝０ ａ＋ （） １
其中 ａｌａ２ａ ｂ，２Ｃ ｄ ｌ ｌ ，ｌｂ， ， 都是 和Ｙ的函数． ， ，
试自 的 ｛ ； ：； 作变 代 量 换 Ｙ ： 即｛ ： ：
其中系数
Ｂｌ＝ ＧＩ Ｉ ＋ ２ａ１ ２ ＋ ａ２ ２ ＋ ６ ｌ ＋ ６ ２
（） ６
Ｂ２ ＝ ａ ｌ ｌ
Ｃ ＝ Ｃ Ｄ ： ｄ
＋２ １ ａ２
＋ ａ ２］ ＋ ６ ＋ ｂ ｒ ２￣ｙ ｒ ｌ ２ｂ
从 （）可 以看 出 ， ６ 如果 取一 阶偏 微分方 程
ａｌ２ ＋ ２ａｌ ｌ＇ ￣ ２ ＋ ａ ２２ ２
解作为新 自变数 ， Ａ２＝０这样 ， 则 ２ ． 方程（） ５ 就得以化简．
一
阶偏微分方程（） ７ 的求解可转化为常微分方程的求解 ． 事实上 ，７ 可写为 （）
二阶线性偏微分分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简
§1.3 方程的分类
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二 阶线性偏微分方程的分类问题。
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式 特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如 下的形状
a11 0；。a22 0
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
a11(
dy dx
)2
2a12
dy dx
a22
0
4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。
课本上从物理角度对上述解的光滑性差异进行了解释。下面的图形形象 地反映了不同类型方程的解的光滑性。
2） 解的极值性质
热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理，但它们所采 取的形式是有区别的。拉普拉斯方程解的极值只可能存在于 边界。至于热传导方程，区域内部的最大值不能超过区域初 始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原 理，这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。
3） 影响区和依赖区
从影响区和依赖区来看，三类方程也有很大区别。波动方 程的扰动是以有限速度传播的，因而其影响区和依赖区是锥 体状的。对热传导方程而言，其扰动传播进行的十分迅速， 某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面，依赖区是整 个初始值区间。拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态，因 此不存在扰动传播的问题。
阶线性偏微分方程的分类
数学物理方程
第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型
例1 设 R2 . 讨论Tricomi方程的类型
A12 a11 a12 ( ) a22 x x x y x y y y
A22 a11 ( 2 ) 2a12 a22 ( )2 x x y y
（2.1.3）
可以看出，如果取一阶偏微分方程
数学物理方程
第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型 数学物理方程
抛物型PDE
( x, y) a a11a22 0
2 12
dy a12 dx a11
由此得到一般积分为 ( x, y) C ,
取与
( x, y ) 函数无关的 ( x, y)
由此令
作为另一个新的变量
则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；在邻域；在Ω中
则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;
则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。 相应地， (2.1.7)、(2.1.8)和(2.1.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和 椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。
数学物理方程
第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型
（3*）
2 2 2 B2 a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 , x xy y x y
C c( x( , ), y( , ))
5
数学物理方程
第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型
A11 a11 (
2 ) 2a12 a22 ( ) 2 x x y y
系 数 之 间 （3） 的 关 系
（2）
2 2 A11 a11 ( ) 2a12 a22 ( ) x x y y
偏微分方程分类
目的：从数学上表示出二阶线性偏微分方程的共性与差异.1一、二阶线性偏微分方程的分类二、两个自变量的二阶方程的化简三、两个自变量二阶常系数方程的化简设为自变量，二阶线性偏微分方程的形状：111222122xx xy yy x ya u a u a u bub u cu f +++++=(),x y 其中是关于在区域Ω上的实值函数，且连续可微。
11122212,,,,,,a a a b b c f ,x y12211220,a a a Δ≡−>若在区域Ω上某点()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在点为双曲型的。
()00,x y12211220,a a a Δ≡−=若在区域Ω上某点()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在点为抛物型的。
()00,x y12211220,a a a Δ≡−<若在区域Ω上某点()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在点为椭圆型的。
()00,x y12211220,a a a Δ≡−>若在区域Ω上每一点有()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在内为双曲型的。
Ω12211220,a a a Δ≡−=若在区域Ω上每一点有()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在内为抛物型的。
Ω12211220,a a a Δ≡−<若在区域Ω上每一点有()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在内为椭圆型的。
二阶线性方程的分类
利用（3），即可得 1 ( x, y) 满足（2）。 为了得到（3）的特征线，对此拆解成两个方程
2 a a dy 12 12 a11a22 , dx a11 2 a a dy 12 12 a11a22 . dx a11
a11U 2a12U a22U bU 1 b2U cU f , a11dy2 2a12dxdy a22dx2 0. d1 ( x, y) 1x ( x, y)dx 1y ( x, y)dy 0,
两族不同的实曲线，分别记为 i ( x, y) c, i 1,2. 假设 i 关于 ( x, y ) 偏导数均不为零，则变换 1 ( x, y), 2 ( x, y) 是可逆变换：因为
2 2 a a a a a a 1x dy1 dy2 12 12 11 22 2 x 12 12 a11a22 , , 1 y dx a11 2 y dx a11
为了避免引入复函数，作变换
Re ( x, y) 1 ( x, y), Re( x, y) 2 ( x, y),
则上述两函数是线性无关的。事实上，因 2 a11 x (a12 i a12 a11a22 ) y , 则分离实部与虚部，有 2 a a a a a 11 x 12 y 11 22 12 y , 2 a a a a a 12 y 11 22 12 y 11 x
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1 1 令 ( s t ), ( s t )uss utt A1us B1ut C1u D1 2 2 此方程二阶导数部分与弦振动方程类似，称为双曲型方程。
2 (2)当 =a12 -a11a22 =0时u =Au +Bu Cu D 1 2
0 0
多元二阶线性方程的分类
(3) A( x0 )的m个特征值都是负（正）数方程)在点x0属于椭圆型 2u 2u 2u 位势方程：u 2 + 2 + 2 f ( x, y, z ) x y z -1 A= 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0
三类典型方程
位势方程
椭圆型方程
2u 2u 2u u 2 + 2 + 2 f ( x, y, z ), x, y, z ) , x y z 在热传导问题中，若外界环境及物体内热源不随时间变化， 则经过较长时间后，物体内温度场区域稳定，即温度与时间无关。 2 2 2 = 2 + 2 + 2 是Laplace算子。 x y z f ( x, y, z )=0时称为Laplace方程，也称为调和方程。
多元二阶线性方程的分类
(1) A( x0 )的m个特征值除了一个为正（负）外都是负（正）数 方程)在点x0属于双曲型 -a 2 0 0 2 2 0 0 u u 波动方程： 2 a 2 2 f ( x, t ) A= 2 t x 0 0 -a 0 0 0 0 1 (2) A( x0 )的m个特征值除了一个为0外都是负（正）数 方程)在点x0属于抛物型 -a 2 2 2 2 u u u u 2 热传导方程： a（ + 2 + 2） f ( x, y, z , t ) A= 2 0 t x y z 0 0 0 -a 2 0 0 0 0 0
F ( x, t )是弦所受垂直方向的外力（如重力）的密度。
三类典型方程
热传导方程 抛物型方程
2 2 2 u u u u 2 a（ 2 &#, y , z ) , t 0 t x y z
u ( x, y, z , t )表示均物体在t时刻 x, y, z )点处的温度。 k 1 2 a = , f ( x, y, z , t ) f 0 ( x, y, z , t ), c c k 0为导热系数，c、 分别为物体的比热和质量密度， f 0 ( x, y, z , t )为物体内的热源的热源密度。
2 (3)当 =a12 -a11a22 0时u u =Au +Bu Cu D
此方程二阶导数部分与位势方程类似，称为椭圆型方程。
多元二阶线性方程的分类
一般形式： aij u xi x j bi u xi cu ( x ) f ( x ))
二元二阶线性方程的分类
一般形式： a11u xx 2a12u xy u yy b1u x b2u y cu f , 作自变量的变量替换： = ( x, y ), ( x, y ).
2 (1)当 =a12 -a11a22 0时u =Au +Bu Cu D
i , j 1 i 1 m m
其中aij a ji (i, j 1,
, m),以A表示矩阵(aij )mm ,设x0 R m ,
A( x0 )表示系数矩阵A在点x0的值，由A( x0 )=AT ( x0 ) A( x0 )可以对角化。 (1) A( x0 )的m个特征值除了一个为正（负）外都是负（正）数 方程)在点x0属于双曲型 (2) A( x0 )的m个特征值除了一个为0外都是负（正）数 方程)在点x0属于抛物型 (3) A( x0 )的m个特征值都是负（正）数方程)在点x0属于椭圆型 若对于区域上每一点，方程)属于双曲型（抛物型、椭圆型）， 则称方程)属于双曲型（抛物型、椭圆型）。
三类典型方程
波动方程 一维弦振动方程
二维膜振动方程
双曲型方程
三维电磁波或声波传播方程
2 2u u 2 a f ( x, t ),x (a, b), t 0 2 2 t x u ( x, t )表示均匀柔软且有弹性的弦在t时刻x点处的横向位移。 T F ( x, t ) a 2 , f ( x, t ) , T 是弦的张力， ( x)是弦的质量线密度，
0 0
调和方程
位势方程-u =f ,当 f 0时有 2u 2u 2u u 2 + 2 + 2 =0 x y z 为Laplace方程（调和方程），满足调和方程的解称为调和函数。 2 2 Et 3 2 w 2 w 2 + 2 + 2 q 2 2 y x y 12(1 v ) x 四阶椭圆型方程--------双调和方程
刘庆成 3112001158 2013.4.2
偏微分方程
偏微分方程：含有未知的多元函数u及其偏导数的关系式。 n阶线性偏微分方程：方程中未知函数偏导数的最高阶数为n。 线性偏微分方程：偏微分方程关于未知函数及其偏导数都是线 性的。
例如二阶线性偏微分方程： 2u 2u 2 a( x, y) 2 b( x, y)u 0 x y
令v ue
0
B ( , ) d
v A2v C2v D2
此方程与一维热传导方程类似，称为抛物型方程。
二元二阶线性方程的分类
一般形式： a11u xx 2a12u xy u yy b1u x b2u y cu f , 作自变量的变量替换： = ( x, y ), ( x, y ).