上海高一上学期数学期中试卷含答案(共5套)
上海高一数学上学期期中试卷含答案(共5套)
上海中学高一上学期期中数学卷一、填空题1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A C B =___________2.已知集合{}2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =___________3“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是____________4.若2211()f x x x x+=+，则(3)f =___________ 5.不等式9x x>的解是___________ 6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是___________7.不等式22(3)2(3)30x x ---<的解是____________8.已知集合{}68A x x =-≤≤，{}B x x m =≤，若AB B ≠且A B ≠∅，则m 的取值范围是_____________9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_________ 10.设0,0a b >>，且45ab a b =++，则ab 的最小值为____________11.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是_____________12.已知0a >，0b >，2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________ 二、选择题13..不等式x x x <的解集是（）（A ）{}01x x <<（B ）{}11x x -<<（C ）{}011x x x <<<-或（D ）{}101x x x -<<>或14.若A B ⊆，A C ⊆，{}0,1,2,3,4,5,6B =，{}0,2,4,6,8,10C =，则这样的A 的个数为（）（A ）4 （B ）15 （C ）16 （D ）3215.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）（A ）7-（B ）7（C ）5-（D ）516.已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（）条件（A ）充分不必要（B ）必要不充分（C ）充要（D ）既不充分也不必要三、解答题17.解不等式： （1）2234x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++19.已知二次函数2()1,,f x ax bx a b R =++∈，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()13f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；20.设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；21.已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，记[2]()(())f x f f x =，例：2()1f x x =+，[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；参考答案一、填空题1.{}0,2,6,102.{}1,0,1-3.若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠；4.75.(3,0)(3,)-+∞6.1(,)3-∞- 7.(0,6)8.[6,8)- 9.16 10.25 11.3(3,)2- 12.2+二、选择题13.C 14.C 15.C 16.A三、解答题17.（1）1(,3)3（2）{}(1,0]1(2,)-+∞18.略19.（1）2()21f x x x =++；（2）1334k k <=或； 20.107p <<；21.（1）02x x ==或；（2）4∆>;上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷一. 填空题1. 用∈或∉填空：0 ∅2. {|1,}A x x x R =≤∈，则R C A =3. 满足条件M {1,2}的集合M 有 个4. 不等式2(1)4x ->的解集是5. 不等式2210x mx -+≥对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围是6. 集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，AB R =，则a 的取值范围是 7. 若1x >，92x x+-取到的最小值是 8. 如果0x <，01y <<，那么2y x ，y x ，1x 从小到大的顺序是 9. 一元二次不等式20x bx c ++≤的解集为[2,5]-，则bc =10. 全集为R ，已知数集A 、B 在数轴上表示如下图，那么“x B ∉”是“x A ∈”的条件11. 已知U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，用交、并、补关系将右图中的阴影部分表示出来12. 若规定集合12{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅*()n N ∈的子集12{,,,}m i i i a a a ⋅⋅⋅*()m N ∈为M 的第k 个子集，其中12111222m i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则M 的第25个子集是二. 选择题13. 集合{,,}A a b c =中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形14. 已知0a ≠，下列各不等式恒成立的是（ ） A. 12a a +> B. 12a a +≥ C. 12a a +≤- D. 1||2a a+≥ 15. 集合*1{|,}2m A x x m N ==∈，若1x A ∈，2x A ∈，则（ ） A. 12()x x A +∈ B. 12()x x A -∈ C. 12()x x A ∈ D.12x A x ∈ 16. 设,,x y a R +∈，且当21x y +=时，3a x y+的最小值为121x y +=时，3x ay + 的最小值是（ ）A. 6 C. 12D.三. 解答题 17. 已知实数a 、b ，原命题：“如果2a <，那么24a <”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性；18. 集合2{|0,}2x A x x R x +=≤∈-，{||1|2,}B x x x R =-<∈； （1）求A 、B ；（2）求()U BC A ；19. 设:127m x m α+≤≤+()m R ∈，:13x β≤≤，若α是β的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；20. 某农户计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m 宽的通道，沿前侧保留3m 宽的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最小？并求出最小值；21. 集合{||1|4}A x x =+<，{|(1)(2)0}B x x x a =--<；（1）求A 、B ；，求实数a的取值范围；（2）若A B B上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（2016秋•浦东新区期中）用∈或∉填空：0∉∅．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】转化思想；集合．【分析】根据元素与集合的关系进行判断【解答】解：∵0是一个元素，∅是一个集合，表示空集，里面没有任何元素．∴0∉∅故答案为：∉．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题2．（2016秋•浦东新区期中）A={x|x≤1，x∈R}，则∁R A={x|x＞1} ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据集合A，以及全集R，求出A的补集即可．【解答】解：∵A={x|x≤1，x∈R}，∴∁R A={x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（2016秋•浦东新区期中）满足条件M⊊{1，2}的集合M有3个．【考点】子集与真子集．【专题】综合题；综合法；集合．【分析】根据题意判断出M是集合{1，2}的真子集，写出所有满足条件的集合M，可得答案．【解答】解：由M⊊{1，2}得，M是集合{1，2}的真子集，所以M可以是∅，{1}，{2}，共3个，故答案为：3．【点评】本题考查子集与真子集的定义，写子集时注意按一定的顺序，做到不重不漏，属于基础题．4．（2016秋•浦东新区期中）不等式（x﹣1）2＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞3} ．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据平方数的定义，把不等式化为x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣1）2＞4可化为：x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，解得x＜﹣1或x＞3，所以该不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞3}．故答案为：{x|x＜﹣1或x＞3}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5．（2016秋•浦东新区期中）不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，△≤0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则△≤0，即4m2﹣4≤0，解得﹣1≤m≤1；所以实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．故答案为：﹣1≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题目．6．（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，A∪B=R，则a的取值范围是a≤1．【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题考查集合关系中的参数问题，属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，本题解题的关键是借助于数轴完成题目．7．（2016秋•浦东新区期中）若x＞1，x+﹣2取到的最小值是4．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由x＞1，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件．【解答】解：由x＞1，可得x+﹣2≥2﹣2=4．当且仅当x=，即x=3时，取得最小值4．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等的条件，考查运算能力，属于基础题．8．（2016秋•浦东新区期中）如果x＜0，0＜y＜1，那么，，从小到大的顺序是＜＜．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】由0＜y＜1，可得0＜y2＜y＜1，由x＜0，即可得出大小关系．【解答】解：∵0＜y＜1，∴0＜y2＜y＜1，∵x＜0，∴＜＜．故答案为：＜＜．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2016秋•浦东新区期中）一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，则bc=30．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出b、c的值．【解答】解：一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，所以对应一元二次方程x2+bx+c=0的实数根为﹣2和5，由根与系数的关系得，解得b=﹣3，c=﹣10；所以bc=30．故答案为：30．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及根与系数的关系的应用问题，是基础题目．10．（2016秋•浦东新区期中）全集为R，已知数集A、B在数轴上表示如图所示，那么“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据数轴结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由数轴得A={x|x≥1或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x≤1}，则∁R B={x|x＞1或x＜﹣2}，则∁R B⊊A，即“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据数轴关系求出对应的集合，根据集合关系进行判断是解决本题的关键．11．（2016秋•浦东新区期中）已知U是全集，A、B是U的两个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来B∩（∁U A）【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【专题】对应思想；待定系数法；集合．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁U A）．故答案为：B∩（∁U A）．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．12．（2016秋•浦东新区期中）若规定集合M={a1，a2，…，a n}（n∈N*）的子集{a，a，…a}（m ∈N*）为M的第k个子集，其中k=2+2+…+2，则M的第25个子集是{a1，a4，a5} ．【考点】子集与真子集．【专题】新定义；综合法；集合．【分析】根据定义将25表示成2n和的形式，由新定义求出M的第25个子集．【解答】解：由题意得，M的第k个子集，且k=2+2+ (2)又25=20+23+24=21﹣1+24﹣1+25﹣1，所以M的第25个子集是{a1，a4，a5}，故答案为：{a1，a4，a5}．【点评】本小题主要考查子集与真子集、新定义的应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题．二、选做题13．（2014•万州区校级模拟）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；选D．【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可．14．（2016秋•浦东新区期中）已知a≠0，下列各不等式恒成立的是（）A．a+＞2 B．a+≥2 C．a+≤﹣2 D．|a+|≥2【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】可取a＜0，否定A，B；a＞0，否定C；运用|a+|=|a|+，由基本不等式即可得到结论．【解答】解：取a＜0，则选项A，B均不恒成立；取a＞0，则选项C不恒成立；对于D，|a+|=|a|+≥2=2，当且仅当|a|=1时，等号成立．故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用反例法和基本不等式，属于基础题．15．（2016秋•浦东新区期中）设集合A={x|x=，m∈N*}，若x1∈A，x2∈A，则（）A．（x1+x2）∈A B．（x1﹣x2）∈A C．（x1x2）∈A D．∈A【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】利用元素与集合的关系的进行判定【解答】解：设x1=，x2=，x1x2=•=，p、q∈N，x1x2∈A，故选：B【点评】本题主要考查元素与集合的关系的判定，属于基础题．16．（2016秋•浦东新区期中）设x，y，a∈R*，且当x+2y=1时，+的最小值为6，则当+=1时，3x+ay的最小值是（）A．6 B．6 C．12 D．12【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题设条件，可在+上乘以x+2y构造出积为定值的形式，由基本不等式求得+的最小值为3+2a+2，从而得到3+2a+2=6，同理可得当+=1时，3x+ay 的最小值是3+2a+2，即可求得3x+ay 的最小值是6．【解答】解：由题意x，y，a∈R+，且当x+2y=1 时，+的最小值为6，由于+=（+）（x+2y）=3+2a++≥3+2a+2，等号当=时取到．故有3+2a+2=6，∴3x+ay=（3x+ay ）（+）=3+2a++≥3+2a+2=6，等号当=时取到．故选A．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，及构造出积为定值的技巧，解题的关键是由题设条件构造出积为定值的技巧，从而得出3+2a+2=6，本题中有一疑点，即两次利用基本不等式时，等号成立的条件可能不一样，此点不影响利用3+2a+2求出3x+ay 的最小值是6，这是因为3+2a+2是一个常数，本题是一个中档题目．三、解答题17．（14分）（2016秋•浦东新区期中）已知实数a、b，原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性．【考点】四种命题．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的形式与之间的关系，分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；并判断这四个命题的真假性即可．【解答】解：原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，是假命题；逆命题：“如果a2＜4，那么a＜2”，是真命题；否命题：“如果a≥2，那么a2≥4”，是真命题；逆否命题：“如果a2≥4，那么a≥2”，是假命题．【点评】本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假性的判断问题，是基础题目．18．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|≤0，x∈R}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}．（1）求A、B；（2）求B∩（∁U A）．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：（1）A={x|≤0，x∈R}={x|（x+2）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0}={x|﹣2≤x＜2}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}；（2）∁U A={x|x＜﹣2或x≥2}，∴B∩（∁U A）={x|2≤x＜3}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．19．（14分）（2016秋•浦东新区期中）设α：m+1≤x≤2m+7（m∈R），β：1≤x≤3，若α是β的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：设α对应的集合为A，β对应的集合为B，若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，则，即，得﹣2≤m≤0．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键．20．（14分）（2016秋•浦东新区期中）某农户计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m宽的通道，沿前侧保留3m的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最大？并求出最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设出矩形的长为a与宽b，建立蔬菜面积关于矩形边长的函数关系式S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b ﹣2a+8=800﹣2（a+2b）．利用基本不等式变形求解．【解答】解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800．蔬菜的种植面积S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b﹣2a+8=808﹣2（a+2b）．=648（m2）．所以S≤808﹣4=648（m2），当且仅当a=2b，即a=40（m），b=20（m）时，S最大值答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．【点评】本题考查函数的模型的选择与应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．21．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x||x+1|＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣2a）＜0}．（1）求A、B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；分类讨论；集合．【分析】（1）通过解绝对值不等式得到集合A，对于集合B，需要对a的取值进行分类讨论：（2）A∩B=B，则B是A的子集，据此求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x||x+1|＜4}={x|﹣5＜x＜3}，当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．当a=0.5时，B=∅．当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．（2）由（1）知，A={x|﹣5＜x＜3}，∵A∩B=B，∴B⊆A，①当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．此时，，则＜a≤1.5；②当a=0.5时，B=∅．满足题意；③当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．此时，则﹣2.5≤a＜0.5．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2.5，1.5]．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．上海市黄浦区高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是．3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．4．不等式≤0的解集是．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A B（横线上填入⊆，⊇或=）9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=．10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为．11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）=．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=6．【考点】集合的相等．【分析】利用集合相等的定义求解．【解答】解：∵{1，2，3}={a，b，c}，∴a+b+c=1+2+3=6．故答案为：6．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是真命题．【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】原命题的逆否命题和原命题的否命题互为逆命题，进而得到答案．【解答】解：若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是“若x∉Z，则x∉N”，是真命题故答案为：真命题3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=，∴f（x）•g（x）=•=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3），故答案为：﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．4．不等式≤0的解集是{x|x≤或x＞4} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式等价于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≤0等价于，解得x≤或x＞4，∴不等式≤0的解集为：{x|x≤或x＞4}故答案为：{x|x≤或x＞4}．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】确定1≤a+2≤3，即可解关于x的不等式ax+4＞1﹣2x．【解答】解：∵a2≤1，∴﹣1≤a≤1，∴1≤a+2≤3，∴不等式ax+4＞1﹣2x化为（a+2）x＞﹣3，∴x＞﹣，∴关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣}．故答案为{x|x＞﹣}．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是（4，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即[0，4]⊆（﹣∞，a），故a＞4，故答案为：（4，+∞）．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=2x2+3x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】令x﹣1=t，则x=t+1，将x=t+1代入f（x﹣1），整理替换即可．【解答】解：令x﹣1=t，则x=t+1，故f（x﹣1）=f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1，故f（x）=2x2+3x+1，故答案为：2x2+3x+1．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A⊆B（横线上填入⊆，⊇或=）【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，已知分析两个集合中元素的性质，可得结论．【解答】解：根据题意，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，表示所有比7的整数倍大3的整数，其最小值为3，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，表示所有比7的整数倍小4的整数，也表示所有比7的整数倍大3的整数，故A⊆B；故答案为：⊆．9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=[﹣1，1] ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B中函数的值域确定出集合A，B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的函数x+y2=1，得到集合A=（﹣∞，1]，由集合B中的函数y=x2﹣1≥﹣1，集合A=[﹣1，+∞），则A∩B=[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为[﹣1，1] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用函数的定义域的求法，使函数有意义的x的值求得函数的定义域，再求它们的交集即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴解得﹣1≤x≤1；函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为：[﹣1，1]；故答案为：[﹣1，1]11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】根据=1，求出ab的最小值，从而求出三角形面积的最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，=1，∴1≥2，∴≤，ab≥8，当且仅当b=2a时“=”成立，=ab≥4，故S△故答案为：4．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据新概念的定义，写出a×b与b×a，再根据交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0，1，2}，b={1，2，3}，所以a×b={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）}，b×a={（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）}；所以（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．故答案为：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据空集的定义，空集是指不含有任何元素的集合，结合元素和集合关系、集合和集合关系的判断；由∅是任何集合的子集，知∅⊆{0}．【解答】解：元素与集合间的关系是用“∈”，“∉”表示，故选项A、D不正确；∵∅是不含任何元素的∴选项C不正确∵∅是任何集合的子集故选：B．14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个【考点】子集与真子集．【分析】当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，x=2与函数y=f（x）只有一个交点；当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，即可求．【解答】解：当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，对于任意的x=2都有唯一的y与之对应，故x=2与函数y=f（x）只有一个交点，即集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素只有一个，当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，综上可得，集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素的个数为0个或1个故选：D．15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，及集合包含有关系的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得结论．【解答】解：若a=﹣1，b=0，c=﹣1，d=0，则a＜b且c＜d，但ac＞bd，故A错误；若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故B正确；若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A与B不存在包含关系，故D错误；故选：B．16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④【考点】集合中元素个数的最值．【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：①A∩B=∅Û集合A与集合B没有公共元素，正确；②A⊆B集合A中的元素都是集合B中的元素，正确；③A⊈B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误；④A=B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．故选B．三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，（1）计算a=3时集合A，根据补集与交集的定义；（2）A⊈B时，得出关于a的不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}={x|x2﹣7x+10≤0}={x|2≤x≤5}；（1）当a=3时，A={x|4≤x≤9}，∴∁R A={x|x＜4或x＞9}，集合（∁R A）∩B={x|2≤x＜4}；（2）当A⊈B时，a+1＜2或2a+3＞5，解得a＜1或a＞1，所以实数a的取值范围是a≠1．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）a＞0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）＜0，求出a的取值范围即可；（2）根据x1﹣1，x2﹣1同号得出（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2；（1）当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x1＜1＜x2，∴f（1）=a+2﹣2a＜0，解得a＞2，∴a的取值范围是a＞2；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＞0；又x1x2=﹣2，x1+x2=﹣，∴﹣2﹣（）+1＞0，解得0＜a＜2；又△=4﹣4a×（﹣2a）＞0，解得a∈R；综上，实数a的取值范围是0＜a＜2．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，即可得到函数的解析式，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，因此y==+，因为y=+≥2=10，当且仅当，即v=80时取“=”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，物资能最快送到灾区．20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据新定义可得x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3，解得即可，（2）根据新定义可得x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6，解得即可，（3）根据新定义可得x3﹣ax=x3++﹣ax﹣，解得即可．【解答】解：（1）x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3≥4x﹣4x﹣3=﹣3，当且仅当x=1时，取到最小值﹣3，（2）x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6≥3x﹣3x﹣6=﹣6，当且仅当x=3时，取到最小值﹣6，（3）x3﹣ax=x3++﹣ax﹣≥ax﹣ax﹣=﹣，当且仅当x=时，取到最小值﹣上海市华师大二附中高一上学期期中考试试题数学一、填空题：（每空3分，共42分）1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则B A =2、不等式032≥+-x x 的解集为_____________（用区间表示） 3、已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P ＝4、已知全集U=R ，集合}065|{2≥--=x x x P ，那么U C P =5、已知集合A={1，3，2m+3}，B={3, 2m }，若A B ⊆，则实数m=_____6、设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =7、满足{1，2}M ⊆{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是8、已知R x ∈，命题“若52<<x ，则01072<+-x x ”的否命题是9、设0>x ，则13++x x 的最小值为 10、若关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集是11、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是12、若关于x 的不等式123222--≤+-a a x x 在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是 。
上海市高一上学期数学期中考试试卷含答案
上海市延安中学第一学期期中考试高一年级数学试卷（考试时间：90分钟 满分：100分）一、 填空题（本大题共42分，每题3分）1、 已知集合{1,2}A =，集合{1,0,1}B =-，则A B = .2、 函数21()21x f x x -=+的定义域是 3、 已知函数2 0() 1 0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则()()2=f f - . 4、 已知函数31()2,()x f x x g x x-==-，则()()f x g x ⋅= . 5、 已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则()U A B = . 6、 已知集合(){},|37A x y x y =-=，集合(){},|23B x y x y =+=，则AB = . 7、 不等式32x +<的解是 .8、 不等式()()()21301x x x ++≤-的解是 . 9、 命题“如果2a >且2b >，那么4a b +>”的否命题是 . 10、 已知集合*65M a N a Z a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭且，用列举法表示集合M = .11、 设集合P 满足{}{}1,20,1,2,3,4P ≠⊆⊂，满足条件的P 的个数为 .12、 定义集合,A B 的一种运算：{}1212,,A B x x x x x A x B *==+∈∈，若{}1,2A =，{}1,2,3B =，则A B *中所有元素之和为 .13、 已知集合{}{}25,121A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤-，且满足B A ⊆，则实数a 的取值范围是 .14、 已知不等式()416a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数x y 、恒成立，则正实数a 的最小值为 .二、 选择题（本大题共15分，每题3分）15、 若a b c R ∈、、，则下列四个命题中，正确的是 （ ）（A ）若a b >，则22ac bc > （B ）若,a b c d >>，则a c b d ->-（C ）若a b >，则11a b < （D ）若a b >，则22a b >16、 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）（A ）2y x =和33y x = （B ）1y x =-和()21y x =-（C ）211x y x -=-和1y x =+ （D ）0y x =和1y = 17、 下列四个命题中，正确的是 （ ）（A ）奇函数的图像一定过原点 （B ）()2144y x x =+-<≤是偶函数 （C ）11y x x =+--是奇函数 （D ）1y x =+是奇函数18、 下列函数中，最小值为2的是 （ ）（A ）2222y x x =+++ （B ）21x y x += （C ）()()22022y x x x =-<< （D ）221y x =+19、 若111222a b c a b c R ∈、、、、、，且都不为零，则“111222a b c a b c ==”是“关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>的解集相同”的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件三、解答题（本大题共43分，其中第20题6分，第21题8分，第22题9分，第23题10分，第24题10分）20、解不等式组11412x x ⎧<⎪⎨⎪->⎩21、对任意x R ∈，函数()()22221y k k x k x =-----的图像始终在x 轴下方，求实数k 的取值范围。
上海高一第一学期期中数学试卷及答案
上海高一第一学期期中数学试卷一、填空题（每题3分，共42分）1、已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{－2，－1,0}，则U C AB ＝____________.2、“1m ”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．3、不等式x>ax ＋32的解集是(4,b)，则b ＝________.4、若集合A ＝{x|(k-1)x 2＋x －k ＝0}有且仅有两个子集，则实数k 的值是________．5、函数232()23x x f x x的定义域是__________________.6、设函数f(x)＝－x ，x ≤0，x 2，x>0，若f(α)＝2，则实数α为________．7、不等式204x x的解集是___________________.8、不等式x 2－3>2|x|的解集是____________．9、已知0,0xy且2223,xy则212x y 的最大值是________________.10、下面几个不等式的证明过程：①若a 、,b R 则22;b a b a ab a b②xR 且0,x则4442;xxxxxx③若a 、,bR 0,ab 则()2 2.b a b a b a abab ab其中正确的序号是___________________.11、若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．12、某种商品将在某一段时间内进行提价，提价方案有三种：第一种：先提价%,m 再提价%;n 第二种：先提价%,2m n 再提价%;2m n 第三种：一次性提价()%.m n 已知0m n ，则提价最多的方案是第_________________种。
13、对a 、.bR 记,(),min ,,(),a ab a bb ab 函数1()min,12()2f x x x x R 的最大值为____________________.14、对,xR y R ,已知()()(),f x y f x f y 且(1)2,f 则(2)(3)(4)(1)(2)(3)f f f f f f (2015)(2016)(2014)(2015)f f f f 的值为____________________.二、选择题（每题3分，共12分）15、设0,xy 则下列各式中正确的是（）A ，2x y x xy y B ，2x y x xy y C ，2x yxyxyD ，2x yxyxy16、已知a 、b 、c 、d 为实数，且cd 则“ab ”是“ac bd ”的（）A ，充分而不必要条件B ，必要而不充分条件C ，充要条件D ，既不充分也不必要条件17、下列各对函数中，相同的是（）A ，2(),()1xx f x g x x xB ，()1,f x g x xC ，11(),()11u v f u g v uvD ，2(),()f x xg x x18、设,,a b c 为实数，2()()(),f x x a x bx c 2()(1)(1).g x ax cxbx 记集合()0,,Sx f x xR ()0,,Tx g x x R 若,S T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A ，10S T 且B ，11S T 且C ，22ST且D ，23ST且三、解答题19、（本题8分，每小题4分）解下列不等式组222116801233421815x x x x x x x x x 20、（本题8分，每小题4分）（1）已知1x，求27101xx yx 的最小值；（2）已知3412x y ，求xy 的最大值.21、（本题8分）已知适合不等式5|3||4|2x a x x的x 的最大值为3,求实数a 的值；并解该不等式.22、（本题12分，每小题4分）已知二次函数()yf x 满足条件1(0),(1)(1)42.2f m f x f x x m (m 为已知实数)（1）求函数()f x 的解析式；（2）如果函数()yf x 的图像与x 轴的两个不同交点在区间（0,4）内，求实数m 的取值范围；（3）当函数()yf x 的图像与x 轴有两个交点时，这两个交点能否在点1(,0)2的两旁？请说明理由.23、（本题10分，每小题5分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。
上海市2021-2022学年高一数学上学期期中试题(含解析).doc
上海市上海师范大学附属中学2021-2021高一数学上学期期中试题（含解析）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，第1-6题每个空格填对得4分，第7-12 题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1.已知集合{}{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==，则A B =_________.【答案】{}3,9 【解析】 【分析】根据集合的交集运算定义可得.【详解】因为{}{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==, 所以AB ={3,9}.故答案为: {}3,9【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.2.函数()()02f x x =+-的定义域为______.【答案】{|1x x ≥-且}2x ≠ 【解析】 【分析】由中根式内部的代数式大于等于0，0指数幂的底数不为0，联立不等式组求解．【详解】由1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且x≠2．∴函数()()02f x x =+-的定义域是】{|1x x ≥-且}2x ≠．即答案为】{|1x x ≥-且}2x ≠【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.已知函数()1(1)3(1)x f x x x >=-+≤⎪⎩，则()5f f -=⎡⎤⎣⎦__________. 【答案】3【分析】先计算(5)8f -=,再计算(8)3f =.【详解】因为()1(1)3(1)x f x x x >=-+≤⎪⎩,所以(5)(5)38f -=--+=,所以(8)13f ==. 故答案为:3【点睛】本题考查了分段函数的求值,属于基础题. 4.“4x >”是“2x >”的___________条件. 【答案】充分非必要 【解析】 【分析】根据充分非必要条件的定义可得答案,【详解】因为“4x >”可以推出“2x >”,且“2x >”不能推出“4x >”, 所以“4x >”是“2x >”的充分非必要条件. 故答案为充分非必要【点睛】本体考查了充分非必要条件的定义,属于基础题. 5.不等式11x≤的解集为__________ 【答案】（-∞，0）∪[1,+∞） 【解析】 【详解】11x≤变形10x x-≥， 等价于()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得1x ≥或0x <，即不等式的解集为（-∞，0）∪[1,+∞）. 6.已知1x >，则41x x +-的取值范围是__________. 【答案】[5,)+∞【分析】化成积为定值的形式后,利用基本不等式可得. 【详解】因为1x >,所以10x ->,所以41x x +-411151x x =-++≥=-,当且仅当411x x -=-,即3x =时取等号.故答案为:[5,)+∞.【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,属于基础题.7.不等式()2212(1)10a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围为________. 【答案】01a <≤ 【解析】 【分析】讨论2x 项的系数,根据二次函数的图象和性质列不等式组可解得答案. 【详解】当1a =时,不等式化为:10-<,符合题意; 当1a =-时,不等式化为:410x -<,解得14x <,不符合题意; 当1a ≠±时,要使不等式()2212(1)10a x a x ----<的解集为R, 必有224(1)4(1)0a a -+-<且210a -<,解得01a <<, 综上所述: 实数a 的取值范围为:01a <≤. 故答案为 01a <≤【点睛】本题考查了分类讨论思想,二次函数的图象和性质,属于基础题.8.已知{(,)|1},{(,|},{(,)|,}M x y y x N x y y x U x y x R y R =≠+=≠-=∈∈，则()U C M N =________. 【答案】11{(,)}22- 【解析】【根据摩根律()()()U U U C M N C M C N ⋃=⋂计算可得答案.【详解】因为{(,)|1},{(,|},{(,)|,}M x y y x N x y y x U x y x R y R =≠+=≠-=∈∈, 所以{(,)|1}U C M x y y x ==+,{(,)|}U C N x y y x ==-,所以()()()U U UC M N C M C N ⋃=⋂=1{(,)|}y x x y y x=+⎧⎨=-⎩11{(,)}22=-. 故答案为: 11{(,)}22-【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算,属于基础题.9.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(xf x x m m =++为常数)，则()f m 的值为__________.【答案】3- 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域中有0,可得(0)0f =,根据0x ≥时的解析式求得(0)1f m =+,从而可求得1m =-,再根据奇函数可得(1)(1)f f -=-,根据解析式可求得.【详解】因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-,所以(0)0f =, 又0(0)220f m =+⨯+,所以10m +=,所以1m =-, 所以()221x f x x ,所以1()(1)(1)(2211)3f m f f =-=-=-+⨯-=-, 故答案为:-3【点睛】本题考查了奇函数的定义,利用奇函数求函数值,属于基础题.10.设集合A ，B 是R 中两个子集，对于x ∈R ，定义: 0,,0,1,,1,x A x Bm n x A x B ⎧∉∉⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩.①若A B ⊆；则对任意(),10x R m n ∈-=；②若对任意,0x R mn ∈=，则A B φ⋂=；③若对任意,1x R m n ∈+=，则A ，B 的关系为R A C B =.上述命题正确的序号是______. (请填写所有正确命题的序号) 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①,按照x A ∈和x A ∉两种情况讨论,可得①正确;对于②,根据,m n 不可能都为1,可得x 不可能既属于A ,又属于B 可得②正确;对于③,根据,m n 中的一个为0,另一个为1,可得x A ∈时,必有x B ∉,或x B ∈时,必有x A ∉,由此可知③正确.【详解】对于①,因为A B ⊆,所以当x A ∉时,根据定义可得0m =,所以(1)0m n -=, 当x A ∈,则必有x B ∈,根据定义有1n =,所以(1)0m n -=, 故对于任意x ∈R ,都有(1)0m n -=,故①正确;对于②,因为对任意,0x R mn ∈=,所以,m n 中不可能都为1,即x A ∈和x B ∈不可能同时成立,所以A B φ⋂=,故②正确;对于③,因为对任意,1x R m n ∈+=,所以,m n 中的一个为0,另一个为1,即x A ∈时,必有x B ∉,或x B ∈时,必有x A ∉,所以R A C B =,故③正确.综上所述: 所有正确命题的序号为:①②③. 故答案为①②③【点睛】本题考查了元素与集合,集合与集合之间的关系,对新定义的理解能力,属于中档题. 11.设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________． 【答案】32a = 【解析】 【详解】当时，代入题中不等式显然不成立当时，令，，都过定点考查函数，令，则与轴的交点为时，均有也过点解得或（舍去），故12.设关于x 的不等式()()222222224704547x a x a a x a a x a a ++-+-<++--+-的解集是一些区间的并集， 且这些区间的长度和(规定:(),a b 的长度为b a -)不小于12，则a 的取值范围为__________. 【答案】1a ≤-或5a ≥. 【解析】 【分析】 设222(22)470x a x a a ++-+-= 的根为:()1212,x x x x <，()22245470x a a x a a ++--+-=的根为: ()3434,x x x x <，根据根与系数的关系,分析可知1324x x x x <<<,再用1234,,,x x x x 表示不等式的解集,根据这些区间的长度和不小于12列不等式可解得.【详解】设222(22)470x a x a a ++-+-= 的根为: ()1212,x x x x <，()22245470x a a x a a ++--+-=的根为: ()3434,x x x x <，则()212212220470x x a x x a a ⎧+=-+<⎪⎨=-+-<⎪⎩,所以1200x x <⎧⎨>⎩,且()23423445470x x a a x x a a ⎧+=-+-⎪⎨=-+-<⎪⎩,所以3400x x <⎧⎨>⎩,又()()()()22234124522470x x x x a a a a a +-+=-+-++=-+>，优质资料\word 可编辑且22123447(2)30x x x x a a a ==-+-=---<,所以1234,,,x x x x 的大小关系为:1324x x x x <<<, 由()()()()()()22212222342247004547x a x a a x x x x x x x x x a a x a a ++-+---<⇒<--++--+-,故由数轴穿根法得原不等式的解集是: ()()1324,,x x x x ⋃,由题意可得()()()()()()22314234124522x x x x x x x x a a a -+-=+-+=-+-++2247124501a a a a a =-+≥⇒--≥⇒≤-或 5a ≥.故答案为: 1a ≤-或5a ≥.【点睛】本题考查了根与系数的关系,一元二次不等式,高次不等式的解法,分式不等式的解法,属于中档题.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.选对得5分，否则一律得零分.13.A ， B ， C 三个学生参加了一次考试，已知命题p :若及格分高于70分，则A ， B ， C 都没有及格.则下列四个命题中为p 的逆否命题的是（ ） A. 若及格分不高于70分，则A ，B ， C 都及格 B. 若A ，B ， C 都及格，则及格分不高于70分 C. 若A ，B ， C 至少有一人及格，则及格分不高于70分 D. 若A ， B ， C 至少有一人及格，则及格分高于70分 【答案】C 【解析】 【分析】根据逆否命题的定义,直接写出命题p 的逆否命题即可. 【详解】根据原命题与它的逆否命题之间的关系知, 命题p :若及格分高于70分，则A ， B ， C 都没有及格,则p 的逆否命题是:若,,A B C 至少有一人及格,则及格分不低于70分. 故选C【点睛】本题考查了由原命题写其逆否命题,属于基础题. 14.下列各组不等式中解集相同的是（ ）A. 22311x x x x -<--与223x x -< B. (3)(1)01x x x -+>+与30x ->C. 5x <与221153232x x x x x +<+-+-+D.(3)(1)03x x x -+>-与10x +> 【答案】B 【解析】 【分析】对各组不等式中的不等式求解可知答案.【详解】对于A ,根据分母不为0,可知22311x x x x -<--的解集中没有元素1,而223x x -<的解集中有元素1,故A 不正确; 对于B ,由(3)(1)01x x x -+>+得30x ->且1x ≠-,即3x >,由30x ->得3x >,故选项B 正确; 对于C ,由221153232x x x x x +<+-+-+整理得5x <且2320x x -+≠,即5x <且1x ≠且2x ≠,故选项C 不正确; 对于D ,由(3)(1)03x x x -+>-得10x +>且30x -≠,即1x >-且3x ≠,故D 不正确.故选:B【点睛】本题考查了分式不等式的解法,属于基础题.15.观察下列四个函数的图象，其中值域为[]0,4的函数是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的值域的定义,观察图象可知选D .【详解】对于A ,由图象观察可知,值域为(0,4],故A 不正确; 对于B ,观察图象可知,值域不是[0,4],故B 不正确; 对于C ,观察图象可知,值域不是[0,4],故C 不正确; 对于D ,观察图象可知,值域是[0,4],故D 正确; 故选:D【点睛】本题考查了函数的值域的定义,属于基础题. 16.已知非空集合,A B 满足以下两个条件： （ⅰ）{}1,2,3,4,5,6AB =，A B =∅；（ⅱ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(),A B 的个数为 （ ） A. 10 B. 12 C. 14D. 16【答案】A 【解析】 【分析】根据条件：A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，分别讨论集合A 、B 中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果．【详解】根据条件：A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素1、当集合A 只有一个元素时，集合B 中有5个元素，1A ∉且5B ∉，此时仅有一种结果{}5A =，{}1,2,3,4,6B =；2、当集合A 有两个元素时，集合B 中有4个元素，2A ∉且4B ∉，此时集合A 中必有一个元素为4，集合B 中必有一个元素为2，故有如下可能结果：（1）{}1,4A =，{}2,3,5,6B =；（2）{}3,4A =，{}1,2,5,6B =；（3）{}5,4A =，{}1,2,3,6B =；（4）{}6,4A =，{}1,2,3,5B =．共计4种可能．3、可以推测集合A 中不可能有3个元素；4、当集合A 中的4个元素时，集合B 中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A 、B 互换即可．共计4种可能．5、当集合A 中的5个元素时，集合B 中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A 、B 互换即可．共1种可能．综上所述，有序集合对（A ，B ）的个数为10．答案选A ．【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键． 三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置.17.已知集合{|A x y ==，集合{}2|7120B x x x =--->，集合{|121}C x m x m =+≤≤-.(1)求AB ；(2) 若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】(1) ()4,3--； (2) 2m <或6m ≥.【解析】【分析】(1) 根据定义域求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，再根据数轴求交集;(2) 先将条件转化为集合包含关系: CA ，再根据空集进行讨论，最后根据数轴研究两集合包含关系.【详解】(1) 25140x x --≥，2x ∴≤-或7x ≥,即(,2][7,)A =-∞-⋃+∞,227120,7120,x x x x --->++<所以43x -<<-即(4,3)B =--,(4,3)A B ∴⋂=--(2) A C A ⋃=,所以 C A ,当211m m -<+时,即2m <时,C 为空集满足条件:2m <,当211m m -≥+,即2m ≥时,212m -≤-或17m +≥， 解得12m ≤-,或6m ≥, 又2m ≥,所以6m ≥,综上2m <或6m ≥.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,子集关系,分类讨论思想,容易遗漏空集,属于基础题.18.记关于x 的不等式30ax x a-≤+的解集为P . (1)若1a =，求P ；(2)若1P ∉，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|13}P x x =-<≤；(2) (,1](3,)-∞-⋃+∞.【解析】【分析】(1)解分式不等式可得,注意分母不为0;(2) 1P ∉转化为301a a->+或10a +=后可解得. 【详解】(1)当1a =时,30ax x a -≤+化为301x x -≤+,即(3)(1)0x x -+≤且10x +≠, 所以13x -<≤,故{|13}P x x =-<≤.(2)因为1P ∉,所以301a a->+或10a +=, 解得1a <-或3a >或1a =-,故实数a 的取值范围是(,1](3,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法,注意分母不为0,属于基础题. 19.2021年10月1日为庆祝中华人民共和国成立70周年在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，共有580台(套)装备、160 余架各型飞机接受检阅．受阅装备均为中国国产现役主战装备，其中包括部分首次公开亮相的新型装备．例如，在无人机作战第三方队中就包括了两型侦察干扰无人机，可以在遥控设备或自备程序控制操纵的情况下执行任务，进行对敌方通讯设施的电磁压制和干扰，甚至压制敌人的防空系统．某作战部门对某处的战场实施“电磁干扰”实验，据测定，该处的“干扰指数”与无人机干扰源的强度和距离之比成反比，比例系数为常数()0k k >.现已知相距36km 的A. B 两处配置两架无人机干扰源，其对敌干扰的强度分别为1和()0a a >，它们连线段上任意一点C 处的干扰指数y 等于两机对该处的干扰指数之和，设()AC x km =.(1)试将y 表示为x 的函数，指出其定义域；(2)当25,1a k ==时，试确定“干扰指数”最小时C 所处位置.【答案】(1) (036)36k ka y x x x=+<<-；(2) “干扰指数”最小的C 所处位置在距离A 点6km 处.【解析】【分析】(1) 依题意，点C 受A 干扰指数为k x ，点C 受B 干扰指数为36ka x -,两个指数相加可得答案;(2) 将1251125(36)363636y x x x x x x ⎛⎫=+=+-+ ⎪--⎝⎭变形后利用基本不等式可求得最小值. 【详解】(1)依题意，点C 受A 干扰指数为k x ，点C 受B 干扰指数为36ka x -， 其中(0)k k >， 从而点C 处干扰指数: (036)36k ka y x x x =+<<- (2) 036x <<,当25,1a k ==时,1251125(36)363636y x x x x x x ⎛⎫∴=+=+-+ ⎪--⎝⎭136251125(261363636x x x x -⎛⎫=+++≥+= ⎪-⎝⎭ (当且仅当362536x x x x-=-时等号成立)，此时6x =， 答:“干扰指数”最小的C 所处位置在距离A 点6km 处.【点睛】本题考查了函数的应用,基本不等式求和的最小值,属于中档题.20.已知函数()1()||3,,0m f x x m R x x-=+-∈≠. (1)判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；(2)若对于任意的[]()1,4,1x f x ∈≥-恒成立，求满足条件的实数m 的最小值M .(3)对于(2)中的M ，正数a ，b 满足22a b M +=，证明: 2a b ab +≥.【答案】(1) 当1m =时，()f x 为偶函数, 当1m ≠时，既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析；(2)2；(3) 证明见解析.【解析】【分析】(1)对m 分类讨论,结合奇偶性的定义进行判断可得;(2)将不等式转化为212m x x -≥-+对任意的[1,4]x ∈都成立,再构造函数,利用单调性求出最大值即可得到答案;(3)由(2)知2M =,所以1ab ≤,2a b +≤变形可证. 【详解】(1)(i)当m=1时，()||3f x x =-，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞,因为()||3||3()f x x x f x -=--=-=,所以()f x 为偶函数；(ii)当1m ≠时,(1)3f m =-,(1)1f m -=-,(1)(1)f f ≠-,(1)(1)f f ≠--,所以既不是奇函数也不是偶函数.(2) 对于任意的[]()1,4,1x f x ∈≥-,即131m x x-+-≥-恒成立， 所以212m x x -≥-+对任意的[1,4]x ∈都成立,设2()2,[1,4]g x x x x =-+∈,则()g x 为[1,4]上的递减函数,所以1x =时,()g x 取得最大值1,所以11m -≥,即2m ≥.所以2M =.(3)证明: 由(2)知2M =, 222a b ab +≥，所以22ab ≥,1ab ∴≤,1≤，当且仅当a b =时取等号，①又1,22a b ab +≤≤2ab a b ∴≤+，当且仅当a b =时取等号，② 由①②得，12ab a b ≤+, 所以2a b ab +≥,【点睛】本题考查了函数奇偶性的讨论,不等式恒成立问题,不等式的证明问题,属于中档题.21.符号[]x 表示不大于x 的最大整数()x R ∈，例如:[][][]1.31,22,1,22==-=-.(1)解下列两个方程[][]3,23x x ==-；(2)设方程: [|||1|]3x x +-=的解集为A ，集合{}22|211150B x x kx k =-+≥，AB R =，求实数k 的取值范围；(3)求方程2440[]510x x -+=的实数解.【答案】(1)[3,4)，3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；(2) 1245,{0},2556k ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(3) x =；x =；x =x =【解析】【分析】(1)根据对符号[]x 的定义理解可得答案;(2)将[|||1|]3x x +-=化为3|||1|4x x ≤+-<,再分三种情况去绝对值解不等式可得集合A ,然后对k 分类讨论解得集合B ,再根据A B R =,列式可求得k 的范围;(3)先判断出[]0x ≥,再将[][]1x x x ≤<+平方得222([])([]1)x x x ≤<+,再结合方程2440[]510x x -+=可得不等式224([])40[]514([]1)x x x ≤-<+,解不等式可得[]2x =或[]6x =或[]7x =或[]8x =,分别代入方程2440[]510x x -+=可解得答案.【详解】(1) []3,[3,4)x x =∴∈3[2]3,2[3,2),,12x x x ⎡⎫=-∴∈--∴∈--⎪⎢⎣⎭, (2) [|||1|]3x x +-=，3|||1|4x x ≤+-<,当1x ≥时，有314x x ≤+-<,解得 522x ≤<, 当01x <<时，有314x x ≤+-<,[|||1|]3x x +-=无解,当0x ≤时，有314x x ≤--+<,解得: 312x -<≤- 综上所述:35,12,22A ⎛⎤⎡⎫=-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 因为{|(25)(3)0}B x x k x k =--≥当0k >时，5,[3,)2k B k ⎛⎤=-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦因为A B R =，所以552322k k ≤<≤，解得4556k ≤≤；当k 0<时，5(,3],2k B k ⎡⎫=-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，因为A B R =,所以353122kk -≤<≤-，解得: 1225k -≤≤-，当0k =时，B R =,A B R =成立，综上: 实数k 的取值范围1245,{0},2556⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(3)因[][]1x x x ≤<+， 又[]0x <时,方程2440[]510x x -+=不成立, 所以[]0x ≥,所以222([])([]1)x x x ≤<+,所以224([])40[]514([]1)x x x ≤-<+,224([]1)40[]5104[]40[]510x x x x ⎧+-+>∴⎨-+≤⎩,所以224[]32[]5504[]40[]510x x x x ⎧-+>⎨-+≤⎩所以(2[]5)(2[]11)0(2[]3)(2[]17)0x x x x -->⎧⎨--≤⎩,所以11[]2x >或5[]2x <且317[]22x ≤≤,所以35[]22x ≤< 或1117[]22x <≤,所以[]2x =或[]6x =或[]7x =或[]8x =,当[]2x =时,原方程化为24290x -=,所以x =,当[]6x =时,原方程化为241890x -=,所以2x ==,当[]7x =时,原方程化为242290,x x -==,当[]8x =时,原方程化为242690,x x -==， 经检验知，这四个值都是原方程的解.故方程2440[]510x x -+=的实数解为:x =或2x =或2x =或2x =. 【点睛】本题考查了对新定义的理解,一元二次不等式的解法,属于难题.。
上海市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题（第1-6题每題4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．若，，则______．2．不等式的解集是______．3．已知，则______．4．不等式“”是“”______的条件．5．已知集合，集合，若集合M 满足，则这样的集合M 共有______个．6．已知，那么等于______．7．已知，，则用m ，n 表示______．8．若关于x 的不等式恰有两个整数解，则a 的取值范围是______．9．命题“任意，为真命题，则实数a 的取值范围是______．10．碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生．碳14原子经过衰变转变为氨原子．由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期（Half-life ）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为______万年．（四舍五入到0.1万年）11．已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合______．12．已知实数a ，b 满足，且，则的最小值为______．二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．14．关于x 的不等式的解集是，那么（）A ．1B ．C ．12D ．{}|31A x x =-≥{}|15B x x =<<A B = 304x x -≤+12510a b ==11a b +=23x x ≤|2|1x -<{}2,3,5,8A ={}2,3,5,8,13,21B =A M B ⊂⊆()223350x x x -+=>1133x x -+9log 5m =3log 7n =35log 9=()22120x a x a -++<x ∈R ()()222240a x a x -+--<β14235{,,,,}A a a a a a =4222221235{,,,},B a a a a a =51234a a a a a <<<<i a ∈Z 1,2,3,4,5i ={}14,B a a A = 1410a a +=22a >A B A =11a b -<<<2a b +=1311a ab ++-4|,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤P Q = {}1,2,4{}0,1,3{}|03x x ≤≤{}|14x x -≤≤2x ax b ≤-{}4log a b =344315．若，，则下列不等式中一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．16．定义集合运算；将称为集合A 与集合B 的对称差，命题甲：：命题乙：则下列说法正确的是（ ）A ．甲乙都是真命题B ．只有甲是真命题C ．只有乙是真命题D ，甲乙都不是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知集合，，若，，则实数a 、b 、c 的值为．18．设关于x 的方程的两个实根分别是，．（1）求实数p 的取值范围；（2）求的取值范围．19．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒x 年（x 为正整数）所用的各种费用总计为万元（1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？（2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：（1）老师请你模仿例题，研究，上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立）；（2）研究，上的最小值；（3）当时，求，的最小值．21．已知有限集，如果A 中的元素满足，就称A 为“完美集”．x a m -<y a n -<2x y m -<2x y n -<x y n m-<-x y n m -<+{}|A B x x A x B -=∈∉且()()A B A B B A ∆=-- ()()()A B C A B A C ∆=∆ △()()()A B C A B A C ∆=∆ {}2|0A x x ax b =++={}2|150B x x cx =++={}3,5A B = {}3A B = 22lg lg 30x x p -+=αβlog log βαβα+2210x x +44x x -()0,x ∈+∞a b c d +++≥a b c d ===3139x x -()0,x ∈+∞0a >3x ax -()0,x ∈+∞{}()12,,2,,n A a a a n n ⋅⋅⋅=≥∈N ()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由：（2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2；（3）若为正整数，求：“完美集”A ．2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题1．【答案】【解析】由题意知，，所以．2．【答案】【解析】，解得或，所以不等式的解集为．3．【答案】【解析】若，可得，，．4．【答案】必要不充分【解析】，，由于是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．5．【答案】3【解析】因为集合，所以集合M 中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素，所以或或，所以满足条件的M 个数为3．6．【解析】由，因，故，即得，．7．【答案】【解析】由，，可得，，又由{11---+1a 2a {}12,a a 1a 2a i a ()1,4(),4A =-∞()1,4A B = ()[),43,-∞-+∞ ()()34030440x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇔⎨++≠⎪⎩4x <-3x ≥()[),43,-∞-+∞ 1-12510b a ==2log 10a =-5log 10b =-()521111lg 5lg 2lg101log 10log 10a b ⎛⎫+=-+=-+=-=- ⎪⎝⎭{}{}23|0|3x x x x x ≤=≤≤{}{}3|21|1x x x x -<=<<{}|13x x <<{}3|0x x ≤≤23x x ≤21x -<A M B ⊂⊆{}2,3,5,8,13M ={}2,3,5,8,21{}2,3,5,8,13,212112233332527x x x x --⎛⎪+=++⎫⎝⎭+ ==0x >11330x x -+>1133x x -+=22m n+9log 5m =3log 7n =31log 52m =3log 7n =8．【答案】【解析】令，解得或．当，即时，不等式，解得，则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得；当，即时，不等式无解，所以不符合题意；当，即时，不等式解得，则不等式中的两个整数解为0和，有，解得．综上，a 的取值范围是9．【答案】【解析】因为“任意，”为真命题，所以不等式在上恒成立，当时，，显然成立，当时，有，解得，综上所述，实数a 的取值范围是．10．【答案】3.8【解析】设第n 个半衰期结束时，碳14含为，由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为，第二个半衰期结束时，碳14含量为；以此类推，为以首项，公比为的等比数列，所以第n 个半衰期结束时，碳14含量为，335333log 922log 9log 35log 5log 72m n===++3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或()22120x a x a -++=1x =2x a =21a >12a >()22120x a x a -++<12x a <<324a <≤322a <≤21a =12a =()22120x a x a -++<12a =21a <12a <()22120x a x a -++<21a x <<1-221a -≤<-112a -≤<-3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或(]2,2-x ∈R ()()222240a x a x -+--<()()222240a x a x -+--<R 2a =40-<2a ≠()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩22a -<<(]2,2-n a 112a =214a ={}n a 112a =12q =12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭令，解得所以这块化石距今约为年，即约为3.8万年：11．【答案】【解析】由，且，得到只可能，即或0，当时，，而，故舍去，则，又，∴，且，∴或，①若时，，不合题意；②若时，此时，，因，从而，又，则，当时，无整数解，当时，，所以，综上，12．【解析】因为，所以，，因为，所以，由，所以所以，11%2n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭2212lg102log 10 6.6410.301lg 2n ---===≈-5730 6.6438047.2⨯={}1,3,5,9,11{}14,A B a a = 12345a a aa a <<<<211a a =1a =11a =0410a ={}14,A B a a = =Z 1a =11410a a +=49a =()24923i a a i ==≤≤23a =33a =33a =22a =23a ={}531,3,,9,A a a ={}22531,9,,81,B a a =22353513981256a a a a +++++++=2255331620a a a a +++-=234a a a <<339a <<3a =4,6,7,85a 35a =511a ={}1,3,5,9,11A ={}1,3,5,9,11A =1-11a b -<<<10a +>10b ->2a b +=()()112a b ++-=2a b +=()32131133111111b a a b a b a b -+=+=+-+-+-+-()()13113311311211a b a b a b ⎡⎤⎢-+-=+++--⎡⎤⎣⎦+-+⎥⎣⎦()31111133432312112a b a b ⎛+- =+++-≥⎝⎛⎫ ⎪⎝+-=+-=- +⎭-当且仅当，即，二、单选题13．【答案】B 【解析】若，则是4的正因数，而4的正因数有1，2，4，所以，因为，所以，故选：B ．14．【答案】D【解析】即，因为解集为，则根据韦达定理知，即，则故选：D ．15．【答案】D 【解析】运用绝对值三角不等式，由于，，运用不等式性质得到故，故选：D ．16．【答案】B【解析】对于甲，，故命题甲正确；对于乙，如图所示：所以，，故命题乙不正确三、解答题17．【答案】，，()31111a b a b +-=+-2a =-+4b =-41y x =+y ∈N 1x +{}4|,0,1,31P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤{}0,1,3P Q = 2x ax b ≤-20x ax b -+≤{}42424a b =⨯⎧⎨=⎩816a b =⎧⎨=⎩32844log log 16log 23a b ===x y x a a y x a a y -=--≤-++-x a m -<y a n -<x a a y m n-+-<+x y m n -<+()()()()A B C A B B C B C A B C A B C ∆=-=- ()()()()()()A B A C A B A C A B A C =-=∆ ()()()A B C A B A C ∆≠∆ ()A B C ∆ ()()A B A C ∆ 6a =-9b =8c =-【解析】因为，所以，所以，得，所以，所以，即有且只有一个实根，所以，，解得，，综上可得，，，．18．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，即，设，则关于t 的方程：的两根为和，所以，解得．（2）由韦达定理，得，所以因为且，所以或，所以或，所以的取值范围为19．【答案】（1）第3年：（2）第7年平均利润最大，为12万元【解析】（1）设利润为y ，则，由整理得，，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利．（2）首先，由（1）得平均利润万元，{}3AB = 3B ∈93150c ++=8c =-{}{}28150|3,5B x x x =-+=={}3A =20x ax b ++=3x =33a +=-33b ⨯=6a =-9b =6a =-9b =8c =-1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()[),22,-∞-+∞ 22lg lg 30x x p -+=2lg 2lg 30x x p -+=lg t x =2230t t p -+=lg αlg β()22120p ∆=-≥-13p ≤lg lg 2lg lg 3pαβαβ+=⎧⎨=⎩22lg lg lg lg log log lg lg lg lg αββαβαβααβαβ++=+=2(lg lg )2lg lg 4642lg lg 33p p pβααβαβ+--===-31p ≤30p ≠443p ≥403p<4223p -≥4223p-<-log log αββα+()[),22,-∞-+∞ ()()22*509821024098y x x x x x x =-++=-+-∈N 2240980x x -+->220490x x -+<1010x -<<x *∈N {}|317x x x *∈∈≤≤N {}|317x x x *∈∈≤≤N 4924024012y x x x ⎛⎫=-++≤-⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当，万元时等号成立，综上，第7年，平均利润最大，为12万元20．【答案】（1）：（2）；（3）【解析】（1）因为，利用，于是，，当且仅当时，取得最小值．（2）因为，利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值．（3）因为利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值21．【解析】（1）由，，则集合是“完美集”．（2）若、是两个不同的正数，且是“完美集”，设，根据根和系数的关系知，和相当于的两根，由，解得或（舍去），所以，又，均为正数所以、至少有一个大于2．（3）不妨设A中，49x x=7x =3-6-0x >a b c d +++≥41114x x ++≥+444111434433x x x x x x -=+++--≥--=-1x =3-0x >a b c ++≥313339x x ++≥331133363363699x x x x x x -=++--≥--=-3x =6-0x >a b c ++≥3x ax +≥33x ax x ax -=-≥x =((112-+-+=-(112--=-{11--+1a 2a {}12,a a 12120a a a a t +=⋅=>1a 2a 20x tx t -+=240t t ∆=->4t >0t <124a a ⋅>1a 2a 1a 2a 312n a a a a <<<⋅⋅⋅<由，得，当时，即有，又为正整数，所以，于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；当时，，故只能，，求得，于是“完美集”A 只有一个，为．当时，由，即有，而，又，因此，故矛盾，所以当时不存在完美集A ，综上知，“完美集”A 为1212n n n a a a a a n a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅<⋅+121n n a a a -⋅⋅<⋅2n =12a <i a 11a =2211a a +=⨯2a 3n =123a a <11a =2a =23a =3{}1,2,34n ≥()1211231n a a a n n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n ≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()()()221242220n n n n n n ---=-+-=--+<()()()121231n n n n --≤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n <⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-4n ≥{}1,2,3。
上海市2021高一数学上学期期中试题(含解析)
试题解析：
（1） 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费.
由 ,得
所以
（2）因为
当且仅当 ,即 时取等号
所以当 为55平方米时, 取得最小值为57.5万元．
（2）导数解法： ，令 得
当 时， ，当 时， ．
所以当 为55平方米时, 取得最小值为57.5万元．
【点睛】本题考查了根据集合关系求参数问题,考查了解分式不等式,考查了求函数的定义域,利用数轴是解题的关键.
18.若实数 、 、 满足 ,则称 比 接近 .
(1)若 比4接近1,求实数 的取值集合 ；
(2)若 、 均属于(1)中集合 ,求证： 比 接近0.
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
考点：导数的应用；导数在研究函数的最值和极值中的应用．
20.已知 是满足下述条件的所有函数 组成的集合：对于函数 定义域内的任意两个自变量 、 ,均有 成立.
(1)已知定义域为 的函数 ,求实数 、 的取值范围；
(2)设定义域为 的函数 ,且 ,求正实数 的取值范围；
(3)已知函数 的定义域为 ,求证： .
6.已知函数 , ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数 的定义域,再求出函数 的定义域,然后进行运算即可.
【详解】函数 的定义域为： ,而函数 的定义域为： ,因此函数
的定义域为 ,所以 .
故答案为：
【点睛】本题考查了求函数的定义域,考查了数学运算能力.
7.已知不等式 的解集中有且只有5个整数，则实数 的取值范围是________.
上海市高一上学期数学期中考试试卷含答案
上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）3.已知，则“ ”是“ ”的（）A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题5.函数的定义域为________6.已知集合，，则________7.不等式的解集是________8.“若且，则”的否命题是________9.已知，则的取值范围是________10.若，，且，则的取值范围是_________11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________12.若函数，则________13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.21.已知，设，，（，为常数）. （1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.参考答案1【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.5【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.17【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21【答案】（1）解：。
2024-2025学年华东师大二附中高一数学上学期期中考试卷及答案解析
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷1. 用Î或Ï填空：0______f .【答案】Ï【解析】【分析】空集中没有任何元素．【详解】由于空集不含任何元素，∴0ÏÆ．故答案为Ï．【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念．2. 实数a ，b 满足31a -££，13b -££，则3a b -的取值范围是________．【答案】[]12,4-【解析】【分析】根据题意利用不等式的性质运算求解.【详解】因为31a -££，13b -££，则933a -££，31b -£-£，可得1234a b -£-£，所以3a b -的取值范围是[]12,4-.故答案为：[]12,4-.3. 若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是______．【答案】2或8【解析】【分析】由53a -=即可求解.【详解】因为{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，且{}5A =，所以53a -=，解得2a =或8a =.故答案为：2或8.4. 命题“1x >”是命题“11x<”的______条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】解出不等式11x<，根据真子集关系即可【详解】11x <，即10x x -<，即()10x x -<，即()10x x -<，解得1x >或0x <，则“1x >”能推出“1x >或0x <”，而“1x >或0x <”不能推出 “1x >”，故命题“1x >”是命题“11x<”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知0x >，则812x x --的最大值为_____________.【答案】7-【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，所以828x x +³=，当82x x=，即2x =时等号成立，所以881212187x x x x æö--=-+£-=-ç÷èø，即812x x--的最大值为7-，故答案为：7-.6. 已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为__________．【答案】(2,6]【解析】【分析】根据3217x <+£可得317x <+£，即可求解.【详解】由于(21)y f x =+定义域为(1,3]，故3217x <+£，因此(1)y f x =+的定义域需满足317x <+£，解得26x <£，故(1)y f x =+的定义域为(2,6]，故答案为：(2,6]7. 已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43æöç÷èø，则a b +=______．【答案】5【解析】【分析】由题意得11,43是方程210ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b 即可.【详解】由题意可知，11,43是方程210ax bx ++=的两个根，且0a >，由根与系数的关系得1134b a +=-且11134a´=，解得12,7a b ==-，则5a b +=.故答案为：58. 设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【答案】89【解析】【分析】根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由Δ≥0，解得 23m £，然后由()2212121222x x x x x x ++×=- ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m D =-+-³，解得 23m £，所以112222322,2x x x x m m m +=×-=+，则 ()2212121222x x x x x x ++×=- ，()22232222m m m +-=-´， 2232m m =-+， 237248m æö=-+ç÷èø，所以2212x x +的最小值为2237823489æö-+=ç÷èø，故答案为：899. 若函数()f x 满足R x "Î，()()11f x f x +=-，且1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是______.【答案】()(),13,-¥-È+¥【解析】【分析】由题意，()f x 在[)1,+¥上单调递增，函数图像关于1x =对称，利用单调性和对称性解不等式.【详解】因为1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，所以()f x 在[)1,+¥上单调递增，R x "Î，()()11f x f x +=-，则函数图像关于1x =对称，若()()1f m f >-，则111m ->--，解得3m >或1m <-.所以m 的取值范围是()(),13,-¥-È+¥.故答案为：()(),13,-¥-È+¥.10. 已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--£>，若A B Ç中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，得{}{}223013A x x x x x x =+-=<-或，{}{2210,0=|B x x ax a x a x a =--£££+；因为，所以若A B Ç中恰含有一个整数，则{}2A B Ç=，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．11. 已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b ++的最小值是________.【答案】2【解析】【分析】利用()3(1)1f x x =-+，单调性与对称性，可知，若有()()2f m f n +=，则必有2m n +=成立.再利用基本不等式求121a b ++的最小值即可.【详解】∵3y x =在R 为单调递增奇函数，∴3y x =有且仅有一个对称中心()0,0，∴()3(1)1f x x =-+单调递增，有且仅有一个对称中心()1,1，又∵()()22(1,0)f a f b a b +=>->，∴22a b +=，则()214a b ++=，∴()1211221141a b a b a b æö+=+++éùç÷ëû++èø()411441a b a b +éù=++êú+ë1424é³+=êêë，当且仅当()411a b a b+=+即0,2a b ==时，等号成立，∴121a b++的最小值是2.故答案为：2.12. 如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x，90ABO DCO Ð=Ð=°，则x 的取值个数为________.【答案】6【解析】【分析】画出等效图形，分9AD =和x 两种情况由勾股定理求出对应x 值即可；的【详解】如图，因为90ABO DCO Ð=Ð=°，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，因为直角三角形ADE 中，斜边AD 一定大于直角边AE 和DE ，所以9AD =或x ，当9AD =时，可分为AE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得x =CE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得5x =；CD x =，此时由勾股定理可得()222519x ++=，解得1x =；当AD x =，可分为()222915x ++=，解得x =()222195x ++=，解得x =；()222519x ++=，解得x =所以x 的取值个数为6，故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答.13. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. 2(),()x f x x g x x== B. ()(),()()f x x x R g x x x Z =Î=ÎC. ,0(),(),0x x f x x g x x x ³ì==í-<î D. 2(),()f x x g x ==【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数()()f x x x R =Î和()()g x x x Z =Î的定义域不同，不是同一函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ³ì==í-<î与,0(),0x x g x x x ³ì=í-<î定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D 中，函数()f x x =定义域为R，2()g x =的定义域为[0,)+¥，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14. 设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（ ）A. (x 1+x 2)∈AB. (x 1﹣x 2)∈AC. (x 1x 2)∈AD. 12x x ∈A 【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合的关系的进行判定.【详解】设112p x =，212q x =， 则12111222p q p qx x +=×=，因为p 、*N q Î，所以*N p q +Î，则x 1x 2∈A ，故选：C ．15. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（ ）的的A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合图象分析即可.【详解】由题意，小球是匀变速运动，所以图象是先缓后陡，在右侧上升时，先陡后缓.故选：C.16. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ÎN 都满足()0i A B j =I 且()1i A B j =U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =I ()i A j g ()i B j ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =U ()+i A j ()i B j ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A j Î=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N \=Æ=I U ，()()01i i A B A B j j \==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B j =I ，则()i A B ÏI ，则i A Î且i B Ï，或i B Î且i A Ï，或i A Ï且i B Ï；()()0i i A B j j \×=；若()1i A B j =I ，则()i A B ÎI ，则i A Î且i B Î； ()()1i i A B j j \×=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i i A B A i B j j j =×I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B j =U （）；()()1,1i i A B j j ==；()()()i i i A B A B j j j \¹+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知关于x 的不等式122x a -£的解集为集合A ，40x B x x ìü-=£íýîþ.（1）若x A Î是x B Î的必要不充分条件，求a 的取值范围.（2）若A B =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）[]0,2（2）(](),24,-¥-+¥U 【解析】分析】（1）首先解不等式求出集合A 、B ，依题意B 真包含于A ，即可得到不等式组，解得即可；（2）首先判断A ¹Æ，即可得到240a +£或244a ->，解得即可.【小问1详解】由122x a -£，即1222x a -£-£，解得2424a x a -££+，所以{}2424|A x x a a -=££+，由40x x -£，等价于()400x x x ì-£í¹î，解得04x <£，所以{}40|04x B x x x x ìü-=£=<£íýîþ，【因为x A Î是x B Î的必要不充分条件，所以B 真包含于A ，所以244240a a +³ìí-£î，解得02a ££，即a 的取值范围为[]0,2；【小问2详解】因为A B =ÆI ，显然A ¹Æ，所以240a +£或244a ->，解得2a £-或4a >，即a 的取值范围为(](),24,-¥-+¥U .18. 已知函数()211y m x mx =+-+．（1）当5m =时，求不等式0y >的解集；（2）若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{13x x <或x >（2）(22-+【解析】【分析】（1）根据题意易得26510x x -+>，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；（2）由题意易得()2110m x mx +-+>的解集为R ，分类讨论1m =-与1m ¹-两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.【小问1详解】根据题意，得2651y x x =-+，由0y >得26510x x -+>，即()()31210x x -->，解得：13x <或12x >，故不等式0y >的解集为{13x x <或x >【小问2详解】由题意得，()2110m x mx +-+>的解集为R ，当1m =-时，不等式可化为10x +>，解得1x >-，即()2110m x mx +-+>的解集为()1,-+¥，不符合题意，舍去；当1m ¹-时，在()211y m x mx =+-+开口向上，且与x 轴没有交点时，()2110m x mx +-+>的解集为R ，所以()210Δ410m m m +>ìí=-+<î，解得22m m >ìïí-<<+ïî22m -<<+，综上：22m -<<+，故实数m的取值范围为(22-+.19. 某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <£且R a Î）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112xx xf x x x +ìÎïï-=í-ïÎïî，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．【答案】（1）7天； （2）min 2m =.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；（2）由题设()5=11413x g x x m x --+׳-，将问题化为()()1375x x m x --³-在[6,11]x Î上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.【小问1详解】因为一次投放4个单位的治污试剂，所以水中释放的治污试剂浓度为()44,0547222,511xx y f x x x x +죣ï==-íï-<£î，当05x ££时，()4147x x+³-，解得35x ££；当511x ££时，2224x -³，解得59x ££；综上，39x ££，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．【小问2详解】设从第一次投放起，经过()611x x ££天后浓度为()()()16511[]117613x x g x x m x m x x+--=-+=-+×---．因为611x ££，则130x ->，50x ->，所以511413x x m x --+׳-，即()()1375x x m x --³-，令5x t -=，[]1,6t Î，所以()()281610t t m t tt --æö³-=-+ç÷èø，因为168t t+³=，所以2m ≥，当且仅当16t t =，4t =即9x =时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m 的最小值为2.20. 对于函数()f x ，若存在0R x Î，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）求函数23y x x =--不动点；（2）若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；（3）若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间(0,2)上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1-和3. （2）()2,+¥（3）(]1,1-U .【解析】【分析】（1）解方程23x x x --=，即可求出不动点；（2）由题意，方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，由0D >即可求出a 的范围，结合韦达定理和二次函数图象性质即可求出1221x x x x +的范围；的（3）由题意，()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，分()()020h h ×<，()00h =，()20h =和0D =四种情况进行讨论即可.【小问1详解】由题意知23x x x --=，即2230x x --=，则()()310x x -+=，解得11x =-，23x =，所以不动点为1-和3.【小问2详解】依题意，()221x a x x -++=有两个不相等的实1x 数根1x 、2x ，即方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，所以()22Δ34650a a a =+-=++>，解得5a <-，或1>-a ，且123x x a +=+，121x x =，所以()()2222121212122112232x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-，因为函数()232y x =+-对称轴为3x =-当3x <-时，y 随x 的增大而减小，若5x <-，则2y >；当3x >-时，y 随x 的增大而增大，若1x >-，则2y >；故()()2322,a ¥+-Î+，所以1221x x x x +的取值范围为()2,¥+.【小问3详解】由()()211g x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()g x 在(0,2)上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，①()()020h h ×<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00h =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20h =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0D =，即()()22410m m m +-+=，解得m =（ⅰ）当m =时，方程的根为()2222m m x m m -++=-==（ⅱ）当m =()2222m m x m m -++=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是(]1,1-È.21. 对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n nnA a a a a a a=××××××均为非负整数，且}12n a a a n ++×××+=，集合(){1212,,,,,,n nnB b b b b b b =××××××均为非负整数，且}122n b b b n ++×××+=．设()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，若对任意{}1,2,,i n Î×××都有i i a b £，则记a b p ．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A a Î，存在n B b Î，使得a b p ；（3）设集合(){},,,n nnS A B a b a b a b =ÎÎp 求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的公式，写出集合和即可；（2）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，令()12,,,n b b b b =×××，只需证明n B b Î，即可证明结论成立；（3）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，可证明n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ，再设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××，设集合(){},1,2,,,1,2,,n i i j T i t j t a a a =+=×××=×××，通过证明n n T S Í，n n S T Í，推出n n S T =，即可完成证明．【小问1详解】()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =．【小问2详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，则12,,,n b b b ×××均为非负整数，且()1,2,3,,i i a b i n £=×××．令()12,,,n b b b b =×××，则12n b b b ++×××+()()()12111n a a a =++++×××++()12n a a a n=++×××++2n =，所以n B b Î，且a b p ．【小问3详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，记()1122,,,n n a a a a a a a a +=++×××¢+¢¢¢，则11a a ¢+，22a a ¢+，…，n n a a ¢+均为非负整数，且()()()1122n n a a a a a a ++++×××++¢¢¢()()1212n n a a a a a a ¢=++×××++++××+¢×¢n n =+2n =，所以n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ．设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××．设集合(){},1,2,,,1,2,,n iijT i t j t a a a =+=×××=×××．对任意i n A a Î(1,2,,)i t =×××，都有1i a a +，2i a a +，…，i t n B a a +Î，且i i j a a a +p ，1,2,,j t =×××．所以n n T S Í．若(),n S a b Î，其中()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，设i i i c b a =-()1,2,,i n =×××，因为i i a b £，所以0i i i c b a =-³，记()12,,,n c c c a =×××¢，则12n c c c +++L ()()()1122n n b a b a b a =-+-+-L ()()1212n n b b b a a a =++×××+-++×××+2n n n =-=，所以n A a ¢Î，并且有b a a =+¢，所以(),n T a b Î，所以n n S T Í．所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等.。
2021-2022学年上海市高一上学期期中考试数学试卷含解析
2021-2022学年上海市高一上学期期中考试数学试卷含解析2021-2022学年上海市高一上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知实数集合，，若，则________．2．已知函数（a>0且a≠1）过定点P，且点P在角的终边上，则___________.3．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则______．4．方程的解是___________．5．若关于的方程有负实根，则实数的取值范围是___________6．将函数的图象向左平移个单位得到新函数的图象，则新函数的表达式为______.7．在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G 数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）8．已知集合，若集合满足，则实数的取值范围_____ _______.9．已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为______．10．设无穷等比数列的公比为，且，则该数列的各项和的最小值为__________．11．已知a为奇数且，则关于x的不等式的解集为___________．12．设，若，则的取值范围为___________．二、单选题13．已知实数，，满足，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（?）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．2020年9月我校正式成为市争创特色学校的项目学校（“非遗文创”特色），其中“江南传统民居木作技艺”是一项非遗保护项目，现有木料形状图如下，那么旋转后可以看成函数的图像的是（?）A．B．C．D．15．给出下列六个命题：（1）若，则函数的图像关于对称．（2）函数与在区间上都是增函数．（3）的反函数是（4）无最大值也无最小值.（5）的周期为.（6）有对称轴两条，对称中心三个.则正确题个数是A．1B．2C．3D．416．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x|x﹣1}，则（?）A．A?BB．C．A∩B＝D．A∪B＝R三、解答题17．已知集合，集合.(1)当a=1时，求，；(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18．已知函数．（1）当a=0时，求函数y=f(x)的单调减区间；（2）设方程在内有两个相异的实数根、，求实数a的取值范围及的值；（3）若对任意实数x，恒成立，求实数a的取值范围．19．渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为．（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)若对于任意定义域内的实数x，明年渔场中的鱼群也不能达到最大养殖量，求比例系数k的取值范围．20．已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立．（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数求的取值范围；（3）设函数图像与函数的图像有交点且横坐标为，证明：函数，并求出对应的（结果用表示出来）．21．设且，有限集合，其中，若对任意（），都有，则称集合为“含差集合”.（1）分别判断集合和集合是否是“含差集合”，并说明理由；（2）已知集合，集合，若集合C是“含差集合”，试判断集合与集合的关系，并加以证明.参考答案：1．-1【分析】先根据集合中元素的互异性，求出x、y，代入即可求解.【详解】根据集合中元素的互异性，在集合B中，由元素的互异性，可得：x+y≠|x|≠0，解得x≠0，x≠-y，因为A=B，所以集合A中只能=0，即y=0.此时A={ x，0，1}，B={|x|，x，0}，则有|x|=1，且|x|≠x，所以x=-1.所以-1-0=-1.故答案为：-1.2．【分析】先求出定点P ，再根据三角函数定义求解.【详解】由题可得定点P，点P在角的终边上，由三角函数定义可知：，故答案为： .3．##【分析】根据给定条件利用函数奇偶性定义直接计算作答.【详解】因函数是定义域为R的奇函数，当时，，所以.故答案为：4．【分析】利用指对数的关系，解对数方程即可.【详解】由题意，知：，解得.故答案为：5．【分析】设方程有负实根为，根据指数函数的性质，得到，进而得到，即可求解.【详解】设关于的方程有负实根为，根据指数函数的性质，可得，所以，可得，即实数的取值范围是.故答案为：.6．【分析】利用函数的图象变换可得出新函数的解析式.【详解】将函数的图象向左平移个单位得到新函数的图象，则新函数的表达式为.故答案为：.7．2.5##【分析】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，再根据题意求，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.【详解】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则由题意可知，，，所以倍.所以最大信息传递率C会提升到原来的倍.故答案为：2.58．[2, ＋)【分析】根据结合数轴即可求解.【详解】∵≠?，，∴A与B的关系如图：∴a≥2.故答案为：[2，＋).9．【分析】由基本不等式求得的最小值，解不等式可得的范围．【详解】∵，，，，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为8，由解得，故答案为：．10．【分析】先写出无穷等比数列各项和的表达式，然后利用基本不等式求解即可.【详解】是公比为的无穷等比数列，数列的各项和为，其中，又且，且，，当且仅当，即时取等号，数列的各项和的最小值为.故答案为：11．或【分析】讨论、、分别求对应解集，最后取并即得结果.【详解】由题设，又a为奇数且，则，当时，，，则不满足题设；当时，成立；当时，不等式等价于，若时，，即与题设矛盾；若时，，满足；综上，不等式解集为或.故答案为：或12．【分析】利用绝对值三角不等式可得，即，，利用中与有公共点，讨论或、研究m的范围即可.【详解】，当时等号成立，，当时等号成立，所以，而，故，此时，，令中，与所表示的区域有公共点，当或时，而，故满足；当时，由得：，而，若时，此时，故；若时，此时，故；综上，.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用绝对值三角不等式得确定x、y的范围，再将问题转化为中与有公共点求m的范围即可.13．D【分析】先求出方程表示的曲线为椭圆的充要条件，然后根据充分条件，必要条件的定义来判断．【详解】∵方程表示的曲线为椭圆，化成椭圆方程的标准形式∴，即或；故“”推不出“方程表示的曲线为椭圆”，充分性不成立；“方程表示的曲线为椭圆”也推不出“”，必要性不成立；即“”是“方程表示的曲线为椭圆”的非充分非必要条件．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，熟记椭圆的方程的特点，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于基础题.14．C【解析】根据函数的定义判断．【详解】把它们放到坐标平面上，只有旋转后可以形成对于可取范围的任一有唯一的与之对应，因此旋转后可以看作函数的图象．故选：C．15．A【分析】（1）由对称轴公式得解；（2）求出两个函数的单调性得解；（3）可以采用特殊函数进行验证；（4）时，有最大值；（5）化为，周期可求；（6）注意定义域，可结合图象进行判断．【详解】（1），则函数的图象关于直线对称，所以命题正确；（2）函数在区间上不是增函数，是先减后增，在区间上是增函数．所以该命题错误；（3）取，，，，所以命题错误；（4），时，有最大值，所以命题错误；（5）原函数可化为，周期为，所以命题错误；（6）受的影响，，没有对称轴，只有一个对称中心，所以命题错误．故选．【点睛】本题考查抽象函数和具体函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，问题综合性强.16．D【分析】先求解集合中不等式，计算，依次判断即可【详解】由题意，或由和不存在包含关系，故选：D17．(1)，；(2).【分析】(1)化简集合A，B，再利用交集、并集的定义直接计算得解.(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件可得集合BA，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.（1）当a=1时，，，所以，.（2）因为a>0，则，由(1)知，，因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得BA，则有，解得，所以实数a的取值范围是.18．（1），；（2），；（3）．【分析】（1）利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得，令，依题意在内有两个不相等的实数根据，即或在内有两个不相等的实数根，再根据的取值范围，可判断，即可求出的取值范围，再根据对称性求出；（3）依题意恒成立，令，则在上恒成立，对分类讨论，再参变分离，根据函数的性质求出的取值范围，即可得解；【详解】解：（1）当时，令，解得，所以函数的单调递减区间为；（2）令，则，令，则，即，即或，当时，，所以有两个相异的实数根、，所以，解得，即，且，所以，所以；（3）由（2）可知，因为恒成立，即恒成立，令，则，则在上恒成立；当时，显然恒成立；当时恒成立，因为在上单调递增，所以；当时恒成立，因为在上单调递增，所以；综上可得19．(1)，定义域为；(2)(3)【分析】（1）先表达出空闲率，进而写出y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）在第一问的基础上，配方求出最大值；（3）结合题意与第二问，得到不等式，求出k的取值范围.(1)由题意得：空闲率为，所以，定义域为；(2)由（1）得：，因为，，所以当时，取得最大值，，故鱼群年增长量的最大值为(3)由题意得：，结合第二问可知：，又因为，解得：，又因为，故比例系数k的取值范围是.20．（1），答案见解析；（2）；（3）证明见解析；．【分析】（1）集合M中元素的性质，即有成立，代入函数解析式列出方程，进行求解即可；（2）根据和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）利用和，整理出关于的式子，利用图象与函数的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明.【详解】（1）若在定义域内存在，则方程无解，所以（2）由题意得当时，；当时，由，得，解的综上，；（3）函数又函数图像与函数的图像有交点且横坐标为则，其中即．【点睛】此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.21．（1）A是，B不是；（2），证明见解析.【分析】（1）根据含差集合的定义判断即可；（2）根据“含差集合”的定义，可求出集合，再与集合比较即可.【详解】（1）由，可知或或，因为，所以集合是“含差集合”，由，可知或或，因为，所以不是“含差集合”，（2）因为是含差集合，所以，且对任意（），都有，因为最小，所以，因为，所以或（舍）所以，又且，，可得，；，；当时，；当时，；当时，；因为，，此种情况不成立，当时，；所以，又且，，，，可得，，；，，；当时，；当时，；当时，；当时，，因为，此种情况不成立，当时，；当时，；所以，，，或，所以或此种情况，不成立，所以，而，所以.答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页。
上海浦东新区2022年高一《数学》上学期期中试卷与参考答案
上海市浦东新区2022年高一上学期《数学》期中试卷与参考答案一、填空题本大题共12小题，每题3分，满分36分。
1. 集合的子集个数为________.答案：82. 已知集合，，则________.答案：3. 已知，，则的取值范围是_________.答案：4. 不等式解集是_________.答案：##5. 已知不等式的解集是，则_________.答案：－26. 若，则_________.答案：##或7.不等式的解集是_________.答案：的{}0,1,2{}2|20M x x x =+={}2|20N x x x =-=M N ⋃={2,0,2}-11a -≤≤13b ≤≤3a b -[6,2]-1021x x +≤-1[1,2-1{|1}2x x -≤<220ax bx ++>(1,2)-a b -=232x =x =±-221x x ->+1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭8. 已知，则的最小值为_________.答案：19. 已知集合，，若，则实数的所以可能取值组成的集合是_________.答案：10. 在上定义运算，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________.答案：11 已知集合各元素之和等于3，则实数___________.答案：或12. 集合，是的一个子集，当时，若有且，则称为的一个“孤立元素”，那么的元子集中无“孤立元素”的子集个数是__________．答案：个二、选择题13. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件.1x >-11y x x =++{}1,1A =-{}|10B x ax =+=B A ⊆a {1,0,1}-R :(1)x y x y ⊗⊗=-x ()()1x a x a -⊗+<R a 1322⎛⎫- ⎪⎝⎭，2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=a =232{}0,1,2,3,4,5S =A S x A ∈1x A -∉1x A +∉x A S 461x <20x -<D. 既不充分也不必要条件答案：A14. 下列四个命题中，真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，，则C. 若，则D. 若，则答案：C15. 已知集合，，则集合的子集个数为（）A. 5个B. 8个C. 3个D. 2个答案：B16. 已知，则使得都成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 答案：Ba b >22ac bc >a b >c d >a c b d-<-a b >22a b >a b >11a b<1|0,3x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭{}2|1,B y y x x A ==+∈B 1230a a a >>>2(1)1(1,2,3)i a x i -<=x 110,a ⎛⎫⎪⎝⎭120,a ⎛⎫⎪⎝⎭310,a ⎛⎫⎪⎝⎭310,a ⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题本大题共5小题，满分48分。
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上海市浦东新区第一学期普通高中期中联考高一数学试卷总分： 100分 时间：90分钟一、填空题（共12个小题，每题3分，满分36分）1． 已知全集U {}2,x x x R =≤∈，{}1A x x =<-，那么U C A = 2． 若1∈{}2,a a , 则a 的值是3． 集合{}0,1,2,4M =，则集合M 的非空真子集的个数是_______________ 4． 已知集合A={()2,x y y x =}，集合B={(),2x y y x =-}，求A B =________________5． 不等式21x≤的解集是________________ 6． 已知M={21y y x =--}，N={245y y x x =-+}，则M N =_____________________7． 若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠，它是____________（“真命题”或“假命题”）8． 已知A {}32,x x x R =-≤≤∈，B {}x x a =>满足A B ⊆，则实数a 的取值范围是___________ 9． 已知2x >，则52x x +-的最小值是___________ 10. 已知{}2560A x x x =+-=，{}10B x ax =-=，若A B A =，则a 的值是___________11. 已知21,,a b R a b +∈+=、则11a b+的最小值为___________ 12. 定义：关于x 的不等式||x A B -<的解集叫A 的B 邻域。
若2a b +-的a b +邻域为区间(2,2)-，则22a b +的最小值是二、选择题（共4个小题，每小题3分，满分12分）13. 已知..a b c R ∈，命题“ac bc =”是“a b =”的（ ）A ．充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 14. 下列表述中错误的是（ ）A ．若AB A B A =⊆ 则, B ．若B A B B A ⊆=，则C ．)(B A A)(B A D ．()()()B C A C B A C U U U =15. 若011<<ba ，则下列结论不正确的是 （ ） A ．22b a < B ．2b ab < C ．2>+baa b D ．||||||b a b a +>+16. 某个命题与自然数n 有关。
如果当n=k （k N ∈）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立。
现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立 B. 当n=6时该命题成立 C. 当n=4时该命题不成立 D. 当n=4时该命题成立三．解答题（满分52分）17．（本题满分9分）解不等式组231621x x x⎧-≤⎪⎨-≥⎪⎩18．（本题满分9分）已知命题:37,x α-≤<:121,k x k β+≤≤-命题且α是β的必要条件，求实数k 的取值范围。
19. （本小题满分10分）如图设计一幅矩形宣传画，要求画面．．面积为4840 cm 2，画面上下边要留8cm 空白，左右要留5cm 空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画面所用纸张．．面积最小？20. （本题满分12分）若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，求20bx ax c -+<的解集。
21. （本题满分12分）若不等式220x x -->的解集为A ，不等式225250()x a x a +++<的解集为B ， （1）求集合A 、B （2）若{}2A B Z =-，求实数a 的取值范围.第一学期期中联考 高一年级数学参考答案一.填空题:1.[]2,1-2. -13. 144. ()(){}1,14,2-5. ()[)+∞∞-,20,6. (][)+∞-∞-,11, 7.真 8. 3-<a 9. 252+ 10. 61-，1，0 11.322+ 12.2 二.选择题:13.C 14. C 15. D 16.C 三.解答题:17.解:3735613≤≤-⇒≤-x x ……………………….3分 1122=⇒≥-x x x …………………………………6分故原不等式组的解集为：{}1=x x ……………………………9分 18.解：设A={}73-<≤x x , B={}121k -≤≤+k x xA B ⊆⇒∴的必要条件是βα∅≠∅=∴B B 或当=∅B 时, 2121k <⇒->+k k --------------3分时当∅≠B ,⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+71231121k k k k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-≥≥442k k k ⇒42<≤k --------------7分 综上4<k --------------------------------9分19. 解：设画面高为x cm ，宽为y cm ，依意有4840=xy ，0,0>>y x --------2分则所需纸张面积1601016)10)(16(+++=++=x y xy y x S ，即x y S 10165000++=, --------4分 4840,0,0=>>xy y x67604840160216021016=⨯=≥+∴xy x y -----------6分 当且仅当x y 1016=，即55,88==y x 时等号成立。
-----------8分即当画面高为88cm ，宽为55cm 时，所需纸张面积最小为6760cm 2- -------10分20. 解：由题意得： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-<2123ac a b a ……………………………………………3分 012302123212322<-+⇒<+--⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒x x a ax ax a c a b a a …………………9分()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-⇒<+-⇒3110113x x x x ………………………………12分21.解: (1) ()()()()+∞-∞-=⇒>+-⇒>--,21,012022 A x x x x ………3分()()⇒<++⇒<+++05205)25(22a x x a x a x5255,2255,22a B a a a a ⎧∅=⎪⎪⎪⎛⎫=--<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎩当当当……………………………………………………………6分(2) {}2A B Z =-当52a =时，B =∅显然不成立 当52a >时，52,B a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭显然不成立 当52a <时，52,B a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，{}2A B Z =-2332a a ∴-<-≤⇒-≤<综上，a 的取值范围是32a -≤<………………………………………………………6分上海交大附中高一上学期期中数学试卷一. 填空题1. 集合{|03}M x x =<≤，{|02}N x x =<≤，则“a M ∈”是“a N ∈” 条件2. 已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，{2,3}B =，则()()U U A C B C A B =3. 函数1()2f x x=-的定义域为 4. 已知集合{|||1,}A x x a x R =-<∈，2{|1,}1x aB x x R x -=<∈+，且A B =∅，则实数a 的取值范围是5. 已知()y f x =，()y g x =是两个定义在R 上的二次函数，其x 、y 的取值如下表所示：则不等式(())0f g x ≥的解集为 6. 关于x 的不等式23208kx kx ++<的解集不为空集，则k 的取值范围为 7. 已知本张试卷的出卷人在公元2x 年时年龄为8x -岁，则出卷人的出生年份是 （假设出生当年的年龄为1岁）8. 若对任意x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是9. 设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 10. 设函数22220()0x x x f x xx ⎧++≤=⎨->⎩，若(())2f f a =，则a = 11. 若二次函数()y f x =对一切x R ∈恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立，且(5)27f =，则(11)f =12. 已知22()(5)22f x a x x =-++，若不等式()f x x >的解集为A ，已知(0,1)A ⊆，则a 的取值范围为二. 选择题13. 设P 、Q 为两个非空实数集，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，{1,2,6}Q =，则P Q +中元素的个数是（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6 14. 不等式(1)(1||)0x x +->的解集是（ ）A. {|01}x x ≤<B. {|0x x <且1}x ≠-C. {|11}x x -<<D. {|1x x <且1}x ≠- 15. 已知三个不等式0ab >，0bc ad ->，0c da b->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）， 用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命 题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 16. 设0a >，0b >，则以下不等式中不恒成立的是（ ） A. 11()()4a b a b++≥ B. 3322a b ab +≥ C. 22222a b a b ++≥+≥三. 解答题17. 已知ABC ∆为直角三角形，记其两条直角边长分别为,a b R +∈，记面积为S ，周长为C ，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S 表示）.18. 已知a R ∈，若关于x 的方程21||||04x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围.19. 阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题. 证明：2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++证：令A =，B =2222112211221122222211()()22a b a b a b a b a b a b AB AB A B A B A B A B =+=⋅+⋅≤+++ 222212122211()22a ab b A B ++=+=，故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++. （1）若1212,,,x x y y R +∈，利用上述结论，证明：21212()()x x y y ++≥；（2）若121212,,,,,x x y y z z R +∈，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：3121212()()()x x y y z z +++≥. （提示：若,,a b c R +∈，有3333a b c abc ++≥）20. 公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混 合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结 果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合 后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性， 则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x 个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好， 或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的 情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行 若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.21. 函数21()2f x ax x c =-+（,a c R ∈），满足(1)0f =，且()0f x ≥在x R ∈时恒成立. （1）求a 、c 的值； （2）若231()424b h x x bx =-+-，解不等式()()0f x h x +<； （3）是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[,2]m m +上有最小值5-？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. 必要非充分2. {1,3}3. [1,2)(2,)-+∞ 4. 若2a ≤-5. {|1x x ≤}或{|3}x x ≥6. 3k >或0k <7. 1989年8. [1,1]-9. 15a ≥(,[2,)-∞+∞二. 选择题13. B 14. D 15. D 16. B三. 解答题17. 当a b=时，min C =+18. 1[0,]4. 19. 略.20.（1）45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）略.21.（1）14a c ==；（2）11(,)2211(,)2212b b x b b b ⎧<⎪⎪⎪∈>⎨⎪⎪∅=⎪⎩；（3）3m =-或1m =.上海市金山中学第一学期 高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．若全集{1,2,3,4,5}U =且{2,3}U C A =,则集合=A ___________． 2．已知集合{}1,0,1A =-,{}011|<-+=x x x B ,则A B =________． 3．函数,33)(+-=x x x f ,3)(+=x x g 则=⋅)()(x g x f ___________． 4．函数21)(--=x x x f 的定义域是__________________． 5．设函数⎩⎨⎧>≤-=0,0,)(2x x x x x f ,若2)(=a f ,则实数a 为________．6．若01a <<，则关于x 的不等式1()0a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集是_________________．7．已知2:20,:P x x Q x a +->>，若Q 是P 的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是 ______________．8．若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}3135|{<<-x x ，则a =_________． 9．若关于x 的不等式04)1(2)1(2≥--+-a x a 的解集为φ,则实数a 的取值范围是____________．10．已知集合}2,1{-=A ，}01|{>+=mx x B ，且B B A = ，则实数m 的取值范围是_________． 11．设函数2)(-=x x f ，若不等式m x f x f +>+|)(||)3(|对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是_________ ．12．满足不等式||(0,)x A B B A -<>∈R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，若2-+b a 的b a +邻域是一个关于原点对称的区间，则ba 41+的取值范围是_________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是 （ ） （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）等腰三角形 14．设x 取实数，则)(x f 与)(x g 表示同一个函数的是 （ ）（A ）x x f =)( ,2)(x x g =（B ） ()xx x f 2)(=，()2)(x xx g =（C ）1)(=x f ,0)1()(-=x x g （D ）39)(2+-=x x x f ，3)(-=x x g15．若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 （ ）（A ）222)2(2b a b a +≥+ （B ）2≥+baa b （C ）4)11)((≥++b a b a （D ）||2||ab b a ≥+16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那 么函数解析式为122+=x y ，值域为}19,5{的“孪生函数”共有 ( ) （A ）4个 （B ）6个 （C ）8个 （D ）9个三、（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．(本小题满分8分)解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++-<--021122x x x x18．(本小题满分8分)已知集合}02|{2=--=px x x A ，}0|{2=++=r qx x x B ，若}5,1,2{-=B A ，}2{-=B A ，求r q p ++的值19．(本小题满分10分)已知集合}0161|{2有解不等式≤++=ax x a P ，集合}044|{2恒成立对任意实数不等式x ax ax a Q <-+=，求Q P20．(本小题满分12分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分。